Štúdium takého predmetu matematickej analýzy ako funkcie má veľký význam význam a v iných oblastiach vedy. Napríklad v ekonomická analýza neustále potrebuje hodnotiť správanie funkciu zisku, konkrétne určiť jeho najväčší význam a vyvinúť stratégiu na jeho dosiahnutie.
Inštrukcie
Prieskum správania každého človeka by mal vždy začať hľadaním definičnej domény. Obvykle sa podľa stavu konkrétnej úlohy vyžaduje určiť najväčšiu význam funkciu buď v celej tejto oblasti, alebo v určitom intervale s otvorenými alebo uzavretými hranicami.
Na základe toho je najväčší význam funkciu y (x0), pre ktoré platí nerovnosť y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) pre akýkoľvek bod definičnej oblasti. Tento bod bude graficky najvyšší, ak umiestnite hodnoty argumentu na osi x a samotnú funkciu na súradnicu.
Určiť najväčšie význam funkciu, postupujte podľa trojstupňového algoritmu. Všimnite si toho, že musíte byť schopní pracovať s jednosmerným a, a tiež vypočítať derivát. Nech je teda daná nejaká funkcia y (x) a musí sa nájsť jej najväčšia význam v nejakom intervale s hraničnými hodnotami A a B.
Zistite, či je tento interval v rozsahu definície funkciu... Aby ste to urobili, musíte to nájsť po zvážení všetkých možných obmedzení: prítomnosť zlomku, odmocniny, atď. Rozsah je množina argumentových hodnôt, pre ktoré má funkcia zmysel. Určte, či je daný interval jeho podmnožinou. Ak je to tak, prejdite na ďalší krok.
Nájdite derivát funkciu a výslednú rovnicu vyriešite tak, že deriváciu budete rovnať nule. Získate tak hodnoty takzvaných stacionárnych bodov. Odhadnite, či aspoň jeden z nich patrí do intervalu A, B.
V tretej fáze zvážte tieto body, nahraďte ich hodnoty funkciou. Vykonajte nasledujúce ďalšie kroky v závislosti od typu intervalu. V prítomnosti segmentu tvaru [A, B] sú hraničné body zahrnuté v intervale, čo je uvedené v zátvorkách. Vypočítajte hodnoty funkciu pri x = A a x = B. Ak je otvorený interval (A, B), hraničné hodnoty sa prepichnú, t.j. nie sú v ňom zahrnuté. Vyriešte jednostranné limity pre x → A a x → B. Kombinovaný interval tvaru [A, B) alebo (A, B], ktorého jedna z hraníc mu patrí, druhá nie. Nájdite jednostrannú hranicu, pretože x smeruje k prerazenej hodnote, a nahraďte druhú do funkcie. Nekonečný obojstranný interval (-∞, + ∞) alebo jednostranné nekonečné intervaly tvaru :, (-∞, B) Pri skutočných medziach A a B postupujte podľa už popísaných zásad a pre nekonečný pohľad na limity pre x → -∞ a x → + ∞.
Úloha v tejto fáze
A aby ste to vyriešili, potrebujete minimálne znalosti o danej téme. Koniec nabudúce akademický rok„každý chce ísť na dovolenku, a aby som tento okamih priblížil, okamžite sa pustím do práce:
Začnime oblasťou. Oblasť uvedená v stave je obmedzený zatvorené množina bodov roviny. Napríklad množina bodov ohraničených trojuholníkom vrátane CELÉHO trojuholníka (ak z hranice„Dráždite“ najmenej jeden bod, potom sa oblasť prestane zatvárať)... V praxi existujú aj oblasti obdĺžnikových, okrúhlych a o niečo zložitejších tvarov. Je potrebné poznamenať, že v teórii matematickej analýzy sú uvedené prísne definície obmedzenia, izolácia, hranice atď.„Myslím si však, že každý si tieto koncepty uvedomuje na intuitívnej úrovni a viac teraz nie je potrebné.
Rovná plocha je obvykle označená písmenom a spravidla je stanovená analyticky - niekoľkými rovnicami (nie nevyhnutne lineárne); menej často nerovnosti. Typický obrat: „uzavretá oblasť ohraničená čiarami“.
Neoddeliteľnou súčasťou zvažovanej úlohy je konštrukcia oblasti na výkrese. Ako to spraviť? Je potrebné nakresliť všetky uvedené čiary (v tomto prípade 3 rovno) a analyzujte, čo sa stalo. Požadovaná oblasť je zvyčajne mierne šrafovaná a jej okraj je zvýraznený tučnou čiarou: 
Rovnakú oblasť je možné nastaviť aj lineárne nerovnosti:, ktoré sa z nejakého dôvodu častejšie zapisujú ako vymenovaný zoznam, a nie systému.
Pretože hranica patrí regiónu, všetky nerovnosti, samozrejme, laxný.
A teraz podstata problému. Predstavte si os, ktorá sa tiahne od počiatku priamo k vám. Zvážte funkciu, ktorá kontinuálne v každom bod oblasti. Graf tejto funkcie predstavuje niektoré povrchu, a malé šťastie spočíva v tom, že na vyriešenie dnešného problému nepotrebujeme vedieť, ako tento povrch vyzerá. Môže byť umiestnený vyššie, nižšie, pretínať rovinu - to všetko nie je dôležité. A dôležité je nasledovné: podľa Weierstrassove vety, kontinuálne v obmedzene zatvorené oblasti, funkcia dosiahne maximum (najvyšší") a najmenší (najnižšie") hodnoty, ktoré chcete nájsť. Také hodnoty sa dosahujú alebo v stacionárne body, patriace do regiónuD , alebo v bodoch, ktoré ležia na hranici tejto oblasti. Z toho vyplýva jednoduchý a transparentný algoritmus riešenia:
Príklad 1
V obmedzenom uzavretý priestor
Riešenie: V prvom rade musíte na výkrese znázorniť oblasť. Bohužiaľ je pre mňa technicky náročné vytvoriť interaktívny model problému, a preto okamžite poskytnem konečnú ilustráciu, ktorá ukazuje všetky „podozrivé“ body zistené počas štúdie. Obvykle sú pripevnené jeden po druhom, ako sa nachádzajú: 
Na základe preambuly je vhodné rozdeliť rozhodnutie do dvoch bodov:
I) Nájdite stacionárne body. to štandardná akcia, ktoré sme na hodine opakovane vykonávali extrémy viacerých premenných:
Nájdený stacionárny bod patrí oblasti: (označte to na výkrese), čo znamená, že v tomto mieste by sme mali vypočítať hodnotu funkcie:
- ako v článku Najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente, Dôležité výsledky zvýrazním hrubým písmom. Je vhodné ich načrtnúť v zošite s ceruzkou.
Dávajte pozor na naše druhé šťastie - nemá zmysel kontrolovať dostatočná podmienka pre extrém... Prečo? Aj keď v určitom bode funkcia dosiahne napr. lokálne minimum, potom STÁLE NEZNAMENÁ, že výsledná hodnota bude minimálna v celom regióne (pozri začiatok hodiny o bezpodmienečných extrémoch) .
Čo keď stacionárny bod NEPATRÍ do oblasti? Takmer nič! Je potrebné poznamenať, že prejdite na ďalší bod.
II) Preskúmajte hranicu regiónu.
Pretože hranica pozostáva zo strán trojuholníka, je vhodné štúdiu rozdeliť do 3 podsekcií. Ale je lepšie to nerobiť. Z môjho pohľadu je spočiatku výhodnejšie zvážiť segmenty rovnobežné so súradnicovými osami, a predovšetkým - ležiace na samotných osiach. Aby ste pochopili celú postupnosť a logiku akcií, skúste naštudovať koniec „jedným ťahom“:
1) Poďme sa zaoberať spodnou stranou trojuholníka. Za týmto účelom nahradíme priamo funkciu:
Alternatívne to môžete zariadiť takto: 
Geometricky to znamená súradnicová rovina (čo je tiež dané rovnicou)„Vyrezáva“ von povrchu„Priestorová“ parabola, ktorej vrchol sa okamžite dostáva do podozrenia. Poďme zistiť kde je:
- získaná hodnota „zasiahla“ oblasť a môže sa pokojne stať, že v danom bode (značka na výkrese) funkcia dosahuje najvyššiu alebo najnižšiu hodnotu v celej oblasti. Tak či onak vykonávame výpočty:
Ďalšími „kandidátmi“ sú, samozrejme, konce segmentu. Vypočítame hodnoty funkcie v bodoch 
(značka na výkrese):
Tu, mimochodom, môžete vykonať verbálnu minikontrolku pomocou „vyzlečenej“ verzie: 
2) Aby sme študovali pravú stranu trojuholníka, nahradíme ho funkciou a „dáme tam veci do poriadku“:
Tu okamžite vykonáme hrubú kontrolu „vyzváňaním“ už spracovaného konca segmentu:
, perfektné.
Geometrická situácia súvisí s predchádzajúcim bodom:
- výsledná hodnota je tiež „zahrnutá do rozsahu našich záujmov“, čo znamená, že musíme vypočítať, čomu sa funkcia rovná v bode, ktorý sa objaví:
Pozrime sa na druhý koniec segmentu:
Použitie funkcie 
, pozrime sa na to: 
3) Pravdepodobne každý vie, ako preskúmať zostávajúcu stranu. Nahradíme funkciu a vykonáme zjednodušenia:
Segment končí 
už preskúmané, ale na koncepte stále kontrolujeme, či sme funkciu našli správne 
:
- sa zhoduje s výsledkom prvého pododseku;
- sa zhoduje s výsledkom druhého pododseku.
Zostáva zistiť, či je v segmente niečo zaujímavé:
- existuje! Nahradením priamky do rovnice dostaneme súradnicu tejto „zaujímavosti“:
Označíme bod na výkrese a nájdeme zodpovedajúcu hodnotu funkcie:
Výpočty skontrolujeme podľa verzie „rozpočtu“ 
:
, objednať.
A posledný krok: POZORNE sa pozrieme na všetky „tučné“ čísla a odporúčam začiatočníkom, aby si dokonca urobili jeden zoznam: 
z ktorých vyberáme najväčšie a najmenšie hodnoty. Odpoveď zapisujeme do štylistiky problému hľadania najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente:
Pre každý prípad sa ešte raz vyjadrím k geometrickému významu výsledku:
- tu je najvyšší bod povrchu v oblasti;
- tu je najnižší bod povrchu v oblasti.
V analyzovanom probléme sme identifikovali 7 „podozrivých“ bodov, ale ich počet sa líši v závislosti od úlohy. Pre trojuholníkovú oblasť sú minimálnym „súborom výskumu“ tri body. Stáva sa to vtedy, keď sa napríklad nastaví funkcia lietadlo- je úplne zrejmé, že neexistujú žiadne stacionárne body a funkcia môže dosiahnuť najväčšie / najmenšie hodnoty iba na vrcholoch trojuholníka. Existuje však veľa takýchto príkladov raz alebo dvakrát - väčšinou sa s niektorými musíte vyrovnať povrch 2. rádu.
Ak trochu vyriešite takéto úlohy, potom sa hlava môže obísť z trojuholníkov, a preto som pre vás pripravil neobvyklé príklady, aby to bolo hranaté :))
Príklad 2
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií 
v uzavretej oblasti, obmedzené čiarami
Príklad 3
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v ohraničenej uzavretej oblasti.
Osobitná pozornosť venujte pozornosť racionálnemu poriadku a technike štúdia hranice regiónu, ako aj reťazcu medziľahlých kontrol, ktoré takmer úplne vyhnú výpočtovým chybám. Všeobecne povedané, môžete to vyriešiť tak, ako chcete, ale pri niektorých problémoch, napríklad v tom istom Príklade 2, je každá šanca výrazne si skomplikovať život. Približný príklad dokončenia úloh na konci hodiny.
Poďme systematizovať algoritmus riešenia, inak sa s mojou usilovnosťou ako pavúk akosi stratil v dlhom vlákne komentárov z prvého príkladu:
- V prvom kroku postavíme oblasť, je žiaduce ju zatieniť a zvýrazniť hranicu hrubou čiarou. V priebehu riešenia sa objavia body, ktoré je potrebné umiestniť na výkres.
- Nájdite stacionárne body a vypočítajte hodnoty funkcie len v tých z nich ktoré patria do oblasti. Získané hodnoty vyberieme do textu (napríklad ich obkreslíme ceruzkou). Ak pevný bod NEPATRÍ do regiónu, označíme túto skutočnosť ikonou alebo slovne. Ak nie sú žiadne stacionárne body, urobíme písomný záver, že chýbajú. V každom prípade túto položku nemožno preskočiť!
- Poďme preskúmať hranicu oblasti. Po prvé, je výhodné zaoberať sa priamkami, ktoré sú rovnobežné s osami súradníc (Ak nejaký)... Tiež zvýrazňujeme hodnoty funkcie vypočítané v „podozrivých“ bodoch. O technike riešenia bolo už vyššie povedané veľa a nižšie bude povedané niečo iné - prečítajte si to, znova prečítajte, ponorte sa do toho!
- Z vybraných čísel vyberte najväčšie a najmenšie hodnoty a dajte odpoveď. Niekedy sa stane, že funkcia dosiahne také hodnoty vo viacerých bodoch naraz - v tomto prípade by sa všetky tieto body mali odraziť v odpovedi. Nechajme napr. 
a ukázalo sa, že toto najmenšia hodnota... Potom to napíšeme
Záverečné príklady sa zameriavajú na ostatných užitočné nápadyčo bude v praxi užitočné:
Príklad 4
Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti 
.
Ponechal som autorskú formuláciu, v ktorej je kraj daný ako dvojitá nerovnosť. Túto podmienku možno pre tento problém napísať ekvivalentným systémom alebo tradičnejšou formou: 
Pripomínam vám, že odvtedy nelineárne nerovnosti, s ktorými sme sa stretli, a ak nerozumiete geometrickému významu zápisu, potom prosím neodkladajte a objasnite situáciu práve teraz ;-)
Riešenie, ako vždy, začína sa budovaním oblasti, ktorá je akousi „podrážkou“: 
Hmm, niekedy musíte obhrýzť nielen žulu vedy ...
I) Nájdite stacionárne body: 
Systémový idiotský sen :) 
Do regiónu patrí stacionárny bod, konkrétne leží na jeho hranici.
A tak to je, nič ... lekcia prebehla veselo - to znamená piť správny čaj =)
II) Preskúmajte hranicu regiónu. Bez ďalších okolkov začnime na osi x:
1) Ak, tak
Zistite, kde je vrchol paraboly:
- oceniť také momenty - „trafiť“ sa priamo v mieste, z ktorého je už všetko jasné. Ale stále nezabúdame na kontrolu: 
Vypočítajme hodnoty funkcie na koncoch segmentu: 
2) C. dno Poďme zistiť „podrážky“ „na jedno sedenie“ - bez akýchkoľvek komplexov ich nahradíme funkciou, navyše nás bude zaujímať iba segment:
Ovládanie:
To už prináša isté oživenie monotónnej jazdy po vrúbkovanej trati. Nájdeme kritické body:
Riešime kvadratická rovnica, pamätáte si ešte tento? ... Pamätajte však, samozrejme, inak by ste tieto riadky nečítali =) Ak v dvoch predchádzajúcich príkladoch výpočty v desatinné zlomky(čo je, mimochodom, vzácnosť), potom obvyklé bežné zlomky... Nájdeme korene „x“ a pomocou rovnice určíme zodpovedajúce „herné“ súradnice bodov „kandidáta“: 
Vypočítajme hodnoty funkcie v nájdených bodoch: 
Skontrolujte funkciu sami.
Teraz pozorne študujeme získané trofeje a zapisujeme si odpovedz:
Toto sú „kandidáti“, teda „kandidáti“!
Príklad 5
Nájdite najmenšie a najväčšie hodnoty funkcie 
v uzavretom priestore 
Záznam so zloženými zátvorkami znie takto: „množina bodov, taká, že“.
Niekedy v podobné príklady používať Lagrangeova metóda multiplikátora, ale skutočná potreba jeho aplikácie pravdepodobne nevznikne. Napríklad, ak je funkcia daná s rovnakou doménou „de“, potom po substitúcii do nej - s derivátom bez ťažkostí; navyše je všetko nakreslené „v jednom riadku“ (so znakmi) bez toho, aby bolo potrebné zvlášť zvažovať horný a dolný polkruh. Ale, samozrejme, existujú zložitejšie prípady, kde bez funkcie Lagrange (kde napríklad rovnaká rovnica kruhu)ťažko zvládnuteľné - ako ťažko sa bez toho zaobísť príjemný odpočinok!
Je dobré, aby každý absolvoval reláciu a čoskoro sa uvidíme v ďalšej sezóne!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2: Riešenie: vykreslite oblasť na výkrese:
Stránka 1
Teoretické fakty:
Štvorec trinomický = ax2 + bx + c má extrémnu hodnotu, ktorú vzal za
Táto hodnota je najmenšia, ak a> 0, a najväčšia, ak a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
# 1. Rozložte dané kladné číslo A na dva výrazy, aby sa ich produkt ukázal ako najväčší.
Riešenie. Označme jeden z požadovaných výrazov x. Potom sa druhý člen bude rovnať A - x a ich súčinu 
alebo. 
Otázka teda viedla k nájdeniu takej hodnoty x, pri ktorej bude mať táto štvorcová trojica najväčšiu hodnotu. Podľa vety 4 takáto hodnota určite existuje (pretože tu je počiatočný koeficient rovný - 1, t. J. Záporný) a je rovná V tomto prípade, a preto sa oba výrazy musia navzájom rovnať.
Číslo 30 napríklad umožňuje nasledujúce rozšírenia:
Všetky prijaté práce sú nižšie ako
Č. 2 Existuje drôt dĺžky L. Je potrebné ho ohnúť tak, aby bol získaný obdĺžnik obmedzujúci najväčšiu možnú plochu.
Riešenie. Označme (obr. 1) jednu zo strán obdĺžnika cez x. Potom bude jeho druhou stranou a 
alebo 
... Táto funkcia nadobúda svoju najväčšiu hodnotu v, ktorá bude požadovanou hodnotou jednej zo strán obdĺžnika. Potom bude jeho druhou stranou, to znamená, že náš obdĺžnik sa ukáže ako štvorec. Získané riešenie problému je možné zhrnúť do formy nasledujúcej vety.
Štvorec má zo všetkých obdĺžnikov, ktoré majú rovnaký obvod, najväčšiu plochu.
Komentovať.
Náš problém je tiež ľahko vyriešiteľný pomocou výsledku získaného pri riešení problému 1.
Skutočne vidíme, že plocha obdĺžnika, ktorý nás zaujíma, je Inými slovami, existuje súčin dvoch faktorov x a Ale súčet týchto faktorov je 
, T. to znamená číslo, ktoré nezávisí od výberu x. To znamená, že hmota sa redukuje na rozklad čísla na dva termíny, takže ich produkt je najväčší. Ako vieme, tento produkt bude najväčší, ak sú oba výrazy rovnaké, t.j.
Č. 3 Z dostupných dosiek môžete postaviť plot dlhý 200 m. K tomuto plotu je potrebné uzavrieť obdĺžnikový dvor najväčšia plocha pomocou výrobnej steny pre jednu stranu dvora.
derivačná funkcia trinomickej vety
Riešenie. Označme (obr. 2) jednu zo strán nádvoria cez x. Potom bude jeho druhá strana rovnaká a jeho plocha bude
Podľa vety pre ňu dosahuje najväčšiu hodnotu tejto funkcie
Strana dvora, kolmá na stenu továrne, by mala byť 50 m, odkiaľ pre stranu rovnobežnú so stenou má hodnota 100 m, to znamená, že dvor by mal mať tvar polovice štvorca.
Z praktického hľadiska je najzaujímavejšie použitie derivácie na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. Čo je toho dôvodom? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, stanovenie optimálneho zaťaženia zariadenia ... Inými slovami, v mnohých sférach života je potrebné vyriešiť problém optimalizácie akýchkoľvek parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie.
Je potrebné poznamenať, že najväčšia a najmenšia hodnota funkcie sa zvyčajne hľadá na nejakom intervale X, čo je buď celá doména funkcie, alebo časť domény. Samotný interval X môže byť úsečka, otvorený interval 
, nekonečný interval.
V tomto článku budeme hovoriť o explicitnom nájdení najväčších a najmenších hodnôt danú funkciu jedna premenná y = f (x).
Navigácia na stránke.
Najvyššia a najnižšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.
Pozrime sa stručne na hlavné definície.
Najväčšia hodnota funkcie 
to pre hocikoho 
nerovnosť je pravdivá.
Najmenšia funkčná hodnota y = f (x) na intervale X sa nazýva taká hodnota 
to pre hocikoho nerovnosť je pravdivá.
Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota v uvažovanom intervale na osi x.
Stacionárne body Sú hodnoty argumentu, pri ktorom derivácia funkcie zaniká.
Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Z tohto intervalu teda funkcia často vezme svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov.
Tiež funkcia môže často mať najväčšiu a najmenšiu hodnotu v bodoch, kde neexistuje prvá derivácia tejto funkcie a je definovaná samotná funkcia.
Okamžite si odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je možné vždy určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami oblasti definície funkcie alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach definičnej oblasti môžu mať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch sa nedá povedať nič o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.
Pre prehľadnosť poskytneme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a veľa bude jasných.
Na segmente
Na prvom obrázku funkcia preberá najväčšie (max. Y) a najmenšie (min. Y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6; 6].
Zoberme si prípad uvedený na druhom obrázku. Zmeniť segment na. V tomto prípade je najmenšia hodnota funkcie dosiahnutá v stacionárnom bode a najväčšia - v bode s osou x zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.
Na obrázku 3 sú hraničnými bodmi segmentu [-3; 2] úsečky bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.
V otvorenom intervale
Na štvrtom obrázku funkcia preberá najväčšie (max. Y) a najmenšie (min. Y) hodnoty v stacionárnych bodoch nachádzajúcich sa v otvorenom intervale (-6; 6).
O intervale nemožno vyvodiť žiadne závery o najväčšej hodnote.
V nekonečne
V príklade uvedenom na siedmom obrázku funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu (max. Y) v stacionárnom bode s osou x = 1 a najmenšiu hodnotu (min. Y) dosiahneme na pravom okraji intervalu. Pri mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y = 3.
Na intervale funkcia nedosiahne ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď majú sklon k x = 2 vpravo, hodnoty funkcie majú tendenciu mínus nekonečno (rovná čiara x = 2 je vertikálna asymptota), a keď os x má plus nekonečno, hodnoty funkcie asymptoticky pristupovať k y = 3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.
Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie v segmente.
Napíšeme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v segmente.
- Nájdite doménu funkcie a skontrolujte, či obsahuje celý segment.
- Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (spravidla sa tieto body nachádzajú vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a vo výkonových funkciách so zlomkovým racionálnym exponentom). Ak také body neexistujú, prejdite na ďalšiu položku.
- Určte všetky stacionárne body, ktoré spadajú do segmentu. Za týmto účelom ho prirovnáme k nule, vyriešime výslednú rovnicu a zvolíme príslušné korene. Ak nie sú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalšiu položku.
- Vypočítame hodnoty funkcie vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, kde neexistuje prvá derivácia (ak existujú), ako aj pre x = a a x = b.
- Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšie a najmenšie - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.
Analyzujme algoritmus pri riešení príkladu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie v segmente.
Príklad.
Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie
- na segmente;
- na segmente [-4; -1].
Riešenie.
Doménou funkcie je celá množina reálnych čísel, okrem nuly. Oba segmenty spadajú do oblasti definície.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na: 
Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4; -1].
Stacionárne body sú určené z rovnice. Jediný platný koreň je x = 2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.
V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, to znamená pre x = 1, x = 2 a x = 4: 
Preto najväčšia hodnota funkcie 
sa dosiahne pri x = 1 a najmenšej hodnote 
- pre x = 2.
V druhom prípade vypočítame hodnoty funkcie iba na koncoch segmentu [-4; -1] (pretože neobsahuje ani jeden stacionárny bod): 
Problémy B15 niekedy narazia na „zlé“ funkcie, pre ktoré je ťažké nájsť derivát. Predtým to bolo len na sondách, ale teraz sú tieto úlohy také bežné, že ich už nemožno ignorovať pri príprave na skutočnú skúšku.
V tomto prípade fungujú ďalšie triky, z ktorých jeden je - monotónny.
Funkcia f (x) sa nazýva monotónne rastúca na segmente, ak pre akékoľvek body x 1 a x 2 tohto segmentu platí:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Funkcia f (x) sa nazýva monotónne klesajúca v segmente, ak pre body x 1 a x 2 tohto segmentu platí nasledujúce:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).
Inými slovami, pre rastúcu funkciu platí, že čím väčšie je x, tým väčšie je f (x). Pri klesajúcej funkcii platí opak: čím väčšie je x, tým je menšie f (x).
Logaritmus sa napríklad monotónne zvyšuje, ak je báza a> 1, a monotónne sa znižuje, ak 0< a < 1. Не забывайте про область prípustné hodnoty logaritmus: x> 0.
f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)
Aritmetický druhou (a nielen druhou) odmocninou sa monotónne zvyšuje v celej definičnej oblasti:
Exponenciálna funkcia sa správa podobne ako logaritmus: rastie o> 1 a klesá o 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, exponenciálna funkcia je definovaný pre všetky čísla, nielen pre x> 0:
f (x) = a x (a> 0)
Nakoniec negatívni exponenti. Môžete ich napísať ako zlomok. Majú bod prerušenia, v ktorom je narušená monotónnosť.
Všetky tieto funkcie sa nikdy nenachádzajú v ich čistej forme. Pridávajú polynómy, zlomky a ďalšie nezmysly, kvôli ktorým je ťažké derivát spočítať. Čo sa stane v tomto prípade - teraz budeme analyzovať.
Súradnice vrcholu paraboly
Argument funkcie je najčastejšie nahradený znakom štvorcový trojčlen tvaru y = os 2 + bx + c. Jeho graf je štandardnou parabolou, v ktorej nás zaujíma:
- Vetvy paraboly - môžu ísť hore (za a> 0) alebo dole (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vrchol paraboly je extrémny bod kvadratickej funkcie, v ktorom táto funkcia má svoj najmenší (pre a> 0) alebo najväčší (a< 0) значение.
Najväčší záujem je presne vrchol paraboly, ktorej vodorovná os x sa vypočíta podľa vzorca:
Našli sme teda extrémny bod kvadratickej funkcie. Ak je však pôvodná funkcia monotónna, bod x 0 pre ňu bude tiež extrémnym bodom. Preto sformulujeme kľúčové pravidlo:
Extrémne body štvorcový trojčlen a komplexná funkcia, do ktorej vstupuje, sa zhodujú. Preto môžete vyhľadať x 0 pre štvorcový trojčlen a skóre pre funkciu.
Z vyššie uvedených dôvodov zostáva nejasné, ktorý bod dostaneme: maximálny alebo minimálny. Úlohy sú však špeciálne navrhnuté tak, aby na tom nezáležalo. Posúďte sami:
- Vo vyhlásení o probléme nie je žiadny segment. Preto nie je potrebné počítať f (a) a f (b). Zostáva zvážiť iba extrémne body;
- Existuje však iba jeden taký bod - toto je vrchol paraboly x 0, ktorého súradnice sa vypočítavajú doslova ústne a bez akýchkoľvek derivácií.
Riešenie problému je teda výrazne zjednodušené a pozostáva iba z dvoch krokov:
- Napíšte rovnicu paraboly y = ax 2 + bx + c a nájdite jej vrchol podľa vzorca: x 0 = −b / 2a;
- V tomto mieste nájdite hodnotu pôvodnej funkcie: f (x 0). Ak neexistujú žiadne ďalšie podmienky, bude to odpoveď.
Na prvý pohľad sa tento algoritmus a jeho zdôvodnenie môžu zdať skľučujúce. Zámerne nezverejňujem „holú“ schému riešenia, pretože bezohľadné uplatňovanie takýchto pravidiel je plné chýb.
Zvážte skutočné úlohy od skúšobná skúška v matematike - tu sa táto technika vyskytuje najčastejšie. Zároveň zaistíme, aby sa týmto spôsobom mnohé úlohy B15 stali takmer verbálnymi.
Pod koreňom je kvadratická funkcia y = x 2 + 6x + 13. Graf tejto funkcie je parabola s vetvami nahor, pretože koeficient a = 1> 0.
Vrchol paraboly:
x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3
Pretože vetvy paraboly smerujú nahor, v bode x 0 = −3 má funkcia y = x 2 + 6x + 13 najmenšiu hodnotu.
Koreň sa monotónne zvyšuje, takže x 0 je minimálny bod celej funkcie. Máme:
Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Pod logaritmom je opäť kvadratická funkcia: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s vetvami nahor, pretože a = 1> 0.
Vrchol paraboly:
x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1
Takže v bode x 0 = −1 má kvadratická funkcia najmenšiu hodnotu. Ale funkcia y = log 2 x je monotónna, preto:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Exponent obsahuje kvadratickú funkciu y = 1 - 4x - x 2. Prepíšeme ho v normálnej forme: y = −x 2 - 4x + 1.
Graf tejto funkcie je zrejme parabola s vetvami nadol (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b / (2a) =- (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2
Pôvodná funkcia je exponenciálna, je monotónna, takže najväčšia hodnota bude v nájdenom bode x 0 = −2:
Pozorný čitateľ si pravdepodobne všimne, že sme nevypísali rozsah prípustných hodnôt koreňa a logaritmu. To sa však nevyžaduje: vo vnútri sú funkcie, ktorých hodnoty sú vždy kladné.
Dôsledky z oblasti funkcie
Nájdenie vrcholu paraboly niekedy nestačí na vyriešenie problému B15. Požadovaná hodnota môže ležať na konci segmentu, ale nie v extrémnom bode. Ak v probléme nie je žiadny segment špecifikovaný, pozrieme sa na rozsah platných hodnôt pôvodná funkcia. Menovite:
Znovu si všimnite: nula môže byť pod koreňom, ale nikdy nie v logaritme alebo menovateli zlomku. Pozrime sa, ako to funguje, na konkrétnych príkladoch:
Úloha. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie:
Pod koreňom je opäť kvadratická funkcia: y = 3 - 2x - x 2. Jeho graf je parabola, ale vetvy nadol, pretože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Odmocnina záporného čísla neexistuje.
Vypíšeme rozsah prípustných hodnôt (ODZ):
3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Teraz nájdeme vrchol paraboly:
x 0 = −b / (2a) =- (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1
Bod x 0 = −1 patrí do segmentu ODZ - a to je dobré. Teraz vypočítame hodnotu funkcie v bode x 0, ako aj na koncoch ODZ:
y (−3) = y (1) = 0
Získali sme teda čísla 2 a 0. Žiada sa, aby sme našli najväčšie - toto je číslo 2.
Úloha. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie:
y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)
V logaritme je kvadratická funkcia y = 6x - x 2 - 5. Toto je parabola s vetvami nadol, ale logaritmus nemôže obsahovať záporné čísla, takže vypíšeme ODZ:
6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Upozorňujeme, že nerovnosť je prísna, takže konce nepatria ODZ. Takto sa logaritmus líši od koreňa, kde sú konce segmentu pre nás celkom vhodné.
Hľadáme vrchol paraboly:
x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3
Vrchol paraboly je vhodný pre ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Pretože však konce segmentu nie sú pre nás zaujímavé, uvažujeme hodnotu funkcie iba v bode x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2