Koordinaatide tasapind: mis see on? Kuidas koordinaattasandil punkte märkida ja kujundeid joonistada? Koordinaatide tasapind.

Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on saadaval PDF-vormingus vahekaardil "Töö failid".

Sissejuhatus

Täiskasvanute kõnes võis kuulda järgmist lauset: "Jäta mulle oma koordinaadid." See väljend tähendab, et vestluskaaslane peab jätma oma aadressi või telefoninumbri, mille järgi ta on leitav. Need teist, kes mängisid" merelahing», Kasutas vastavat koordinaatsüsteemi. Sarnast koordinaatsüsteemi kasutatakse males. Kinosaalis on istekohad seatud kahe numbriga: esimene number tähistab rea numbrit ja teine - selle rea tooli numbrit. Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis antiikajal. Koordinaatsüsteem läbib kogu inimese praktilist elu ja sellel on tohutu praktiline kasutamine... Seetõttu otsustasime selle projekti luua, et laiendada oma teadmisi sellel teemal " Koordinaatide tasapind»

Projekti eesmärgid:

tutvuda ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi tekke ajalooga tasapinnal;

selle teemaga tegelevad silmapaistvad tegelased;

huvitavat leida ajaloolised faktid;

kõrva järgi hästi koordinaate tajuma; selgelt ja täpselt teostama ehitusi;

valmistada ette esitlus.

I peatükk. Koordinaatide tasapind

Idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil tekkis juba antiikajal – eelkõige astronoomide ja geograafide seas tähe- ja geograafiliste kaartide, kalendrite koostamisel.

§üks. Koordinaatide päritolu. Koordinaatide süsteem geograafias

200 eKr Kreeka teadlane Hipparkhos võttis kasutusele geograafilised koordinaadid. Ta pakkus, et saab edasi joonistada geograafiline kaart paralleelid ja meridiaanid ning nummerdatud laius- ja pikkuskraad. Nende kahe numbri abil saate täpselt määrata saare, küla, mäe või kaevu asukoha kõrbes ja joonistada need kaardile või maakerale. avatud maailm laeva asukoha laius- ja pikkuskraad, said meremehed valida endale vajaliku suuna.

Idapikkus ja põhjalaius on tähistatud numbritega plussmärgiga ning läänepikkus ja lõunalaius on tähistatud miinusmärgiga. Seega identifitseerib märkidega numbripaar üheselt maakera punkti.

Geograafiline laiuskraad? - nurk antud punktis oleva loodijoone ja ekvaatoritasandi vahel, mõõdetuna 0–90 mõlemal pool ekvaatorit. Geograafiline pikkuskraad? - nurk läbiva meridiaani tasapinna vahel see punkt, ja meridiaani alguse tasapind (vt Greenwichi meridiaan). Pikkuskraade 0 kuni 180 meridiaani algusest ida pool nimetatakse idapoolseks, läänes - lääneks.

Linnas teatud objekti leidmiseks piisab enamikul juhtudel selle aadressi teadmisest. Raskused tekivad siis, kui peate selgitama, kus näiteks maamajade piirkond, koht metsas. Universaalne abinõu asukoht on näidatud geograafiliste koordinaatidega.

Hädaolukorras peaks inimene esimese asjana suutma piirkonnas liigelda. Mõnikord on vaja näiteks edastamiseks määrata oma asukoha geograafilised koordinaadid päästeteenistus või muudel eesmärkidel.

Kaasaegses navigatsioonis kasutatakse standardina maailma koordinaatide süsteemi WGS-84. Kõik Internetis leiduvad GPS-navigaatorid ja suuremad kartograafiaprojektid töötavad selles koordinaatsüsteemis. Koordinaadid WGS-84 süsteemis on sama levinud ja kõigile arusaadavad kui universaalaeg. Üldkasutatav täpsus geograafiliste koordinaatidega töötamisel on 5-10 meetrit maapinnal.

Geograafilised koordinaadid on märgistatud numbrid (laiuskraad -90 ° kuni + 90 °, pikkuskraad -180 ° kuni + 180 °) ja neid saab kirjutada erinevad vormid: kraadides (ddd.ddddd °); kraadid ja minutid (ddd ° mm.mmm "); kraadid, minutid ja sekundid (ddd ° mm" ss.s "). Salvestusvorme saab lihtsalt üksteiseks teisendada (1 kraad = 60 minutit, 1 minut = 60 sekundit ) Koordinaatide märgi tähistamiseks kasutatakse sageli tähti vastavalt põhipunktide nimedele: N ja E - põhjalaius ja idapikkus - positiivsed numbrid, S ja W - lõunalaius ja läänepikkus - negatiivsed numbrid.

Koordinaatide kirjutamise vorm DEGREEDES on käsitsi sisestamiseks kõige mugavam ja ühtib arvu matemaatilise tähistusega. Paljudel juhtudel eelistatakse koordinaatide salvestamise vormi KRAADIDES JA MINUTITES, see vorming on enamikus GPS-navigaatorites vaikimisi määratud ning seda kasutatakse tavaliselt lennunduses ja merel. Klassikaline vorm koordinaatide kirjutamine KRAADIDES, MINUTITES JA SEKUNDITES ei leia tegelikult erilist praktilist kasutust.

§2. Koordinaatide süsteem astronoomias. Tähtkuju müüdid

Nagu eespool mainitud, tekkis iidsetel aegadel astronoomide seas tähekaartide koostamisel idee määrata punkti asukoht tasapinnal numbrite abil. Inimesed pidid lugema aega, ennustama hooajalisi nähtusi (tõusud, mõõnad, hooajalised vihmad, üleujutused), nad pidid reisides maastikul navigeerima.

Astronoomia on teadus tähtedest, planeetidest, taevakehadest, nende ehitusest ja arengust.

Möödunud on tuhanded aastad, teadus on kaugele edasi astunud ja inimene ei suuda ikka veel oma imetlevat pilku öötaeva ilust ära võtta.

Tähtkujud - krundid tähine taevas, iseloomulikud kujundid, mille moodustavad heledad tähed. Kogu taevas on jagatud 88 tähtkujuks, mis hõlbustavad tähtede vahel navigeerimist. Enamik tähtkujude nimesid on pärit antiikajast.

Kõige kuulsam tähtkuju on Ursa Major. V Iidne Egiptus seda kutsuti "Jõehobuseks" ja kasahhid "hobuseks rihma otsas", kuigi väliselt ei meenuta tähtkuju ei üht ega teist looma. Milline see on?

Vanadel kreeklastel oli legend Suure ja Väikese Ursa tähtkujude kohta. Kõikvõimas jumal Zeus otsustas vastu viimase soovi abielluda kauni nümf Calistoga, jumalanna Aphrodite ühe teenijannaga. Päästmaks Calistot jumalanna tagakiusamise eest, muutis Zeus Calistost Suureks Vankriks, tema armastatud koera Väikeseks Ursaks ja viis nad taevasse. Viige tähistaevast koordinaattasandile tähtkujud Suur- ja Väike-Ursa. ... Iga "Bucket" staar Suur Vanker"On oma nimi.

SUUR KARU

Tunnen ära ämbri järgi!

Siin säravad seitse tähte

Ja siin on nende nimi:

DUBKHE valgustab pimedust,

MERAK põleb tema kõrval,

Külg FEKDA koos MEGRETSiga,

Julge sell.

MEGRETSist väljumiseks

ALIOT asub,

Ja tema taga – MITZAR ALKORIga

(Need kaks säravad kooris).

Meie kulp sulgub

Võrreldamatu BENETNASH.

Ta osutab silmale

Teekond VOLOPASA tähtkuju juurde,

Kus ARKTUR ilus särab,

Kõik märkavad teda nüüd!

Mitte vähem ilus legend tähtkujude "Kefeus", "Kassiopeia" ja "Andromeeda" kohta.

Kunagi valitses Etioopiat kuningas Kefeus. Kunagi oli tema abikaasal, kuninganna Cassiopeial, ettevaatamatus kiidelda oma iluga mereelanike – nereiidide – ees. Viimane kaebas solvunud merejumal Poseidonile ning Cassiopeia jultumusest raevunud merevalitseja lasi merekoletise - Kita - Etioopia kallastele. Päästmaks oma kuningriiki hävingust, otsustas Cepheus oraakli nõuandel koletisele ohverdada ja anda talle oma armastatud tütre Andromeeda alla neelata. Ta aheldas Andromeeda rannikukalju külge ja jättis ta ootama oma saatuse otsust.

Samal ajal tegi teisel pool maailma müütiline kangelane Perseus vapra vägiteo. Ta sisenes eraldatud saarele, kus elasid gorgonid – hämmastavad naistekujulised koletised, kelle peas kubisesid juuste asemel maod. Gorgonite pilk oli nii kohutav, et kõik, keda nad vaatasid, muutusid silmapilkselt kiviks.

Kasutades ära nende koletiste und, lõikas Perseus ühel neist, Gorgon Medusa, pea maha. Sel hetkel lendas Medusa mahalõigatud kehast välja hobune Pegasus. Perseus haaras meduusil peast, hüppas Pegasusele peale ja tormas läbi õhu kodumaale. Üle Etioopia lennates nägi ta Andromeedat kivi külge aheldatuna. Sel hetkel oli Kit juba meresügavusest välja tulnud, valmistudes oma ohvrit alla neelama. Kuid Perseus, kes tormas koos Kitiga surelike võitlusse, alistas koletise. Ta näitas Kitile meduusa pead, mis polnud veel jõudu kaotanud, ja koletis muutus kiviks, muutudes saareks. Mis puutub Perseusse, siis pärast Andromeeda sidumist tagastas ta ta oma isale ja õnnest puudutatud Kefeus andis Andromeda Perseusele oma naiseks. Nii lõppes õnnelikult see lugu, mille peategelased asetasid vanad kreeklased taevasse.

Tähekaardilt ei leia mitte ainult Andromeeda koos isa, ema ja abikaasaga, vaid ka võluhobune Pegasus ja kõigi hädade süüdlane - koletis Kit.

Cetuse tähtkuju asub Pegasuse ja Andromeeda all. Kahjuks pole see märgistatud ühegi tunnusega heledad tähed ja kuulub seetõttu väiksemate tähtkujude hulka.

§3. Idee kasutamine ristkülikukujulised koordinaadid maalimises.

Ühe Vana-Egiptuse matmiskambri seinal on kujutatud ristkülikukujuliste koordinaatide idee kasutamise jälgi ruudukujulise ruudustiku (paleti) kujul. Ramsese isa püramiidi matmiskambris on seinal ruutude võrgustik. Nende abiga kanti üle suurendatud pilt. Renessansikunstnikud kasutasid ka ristkülikukujulist võre.

Sõna "perspektiiv" tähendab ladina keelest tõlkes "selgelt näha". Kujutavas kunstis on lineaarne perspektiiv objektide kujutis tasapinnal vastavalt nende suuruse näilisele muutusele. Alus kaasaegne teooria väljavaateid panid renessansi suured kunstnikud - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer jt. Ühel Düreri gravüüril (joonis 3) on kujutatud meetodit elust joonistamiseks läbi klaasi, millele on kantud nelinurkne ruudustik. Seda protsessi saab kirjeldada järgmiselt: kui seisad akna ees ja teed ilma vaatenurka muutmata kõik selle taga nähtavale klaasile ringi peale, siis on saadud joonisel ruumi perspektiivpilt.

Egiptuse disainimeetodid, mis näivad põhinevat ruudukujulistel paigutustel. Egiptuse kunstist on palju näiteid, mis näitavad, et maalijad ja skulptorid maalisid kõigepealt seinale ruudustiku, et seda maalida või nikerdada, et säilitada väljakujunenud proportsioonid. Nende võrgustike lihtsad arvulised suhted on kõigi egiptlaste suurepäraste kunstiteoste keskmes.

Sama meetodit kasutasid paljud renessansi maalikunstnikud, sealhulgas Leonardo da Vinci. Vana-Egiptuses oli see kehastatud Suur püramiid, mida tugevdab selle lähedane seos Marlborough Downi mustriga.

Enne töö alustamist jälgis Egiptuse kunstnik seina sirgjoonte ruudustikuga ja kandis sellele seejärel hoolikalt figuurid. Kuid geomeetriline järjekord ei takistanud tal loodust üksikasjaliku täpsusega uuesti loomast. Iga kala, iga linnu välimus on edasi antud sellise tõepärasusega, et tänapäeva zooloogid saavad nende liigi hõlpsasti kindlaks teha. Joonisel 4 on kujutatud kompositsiooni detail koos illustratsiooniga – Khnumhotepi võrku püütud puu lindudega. Kunstniku käe liikumist ei juhtinud mitte ainult oskuste tagavara, vaid ka looduse piirjoonte suhtes tundlik silm.

Joonis 4 Linnud akaatsial

II peatükk. Koordinaatide meetod matemaatikas

§üks. Koordinaatide rakendamine matemaatikas. Merit

Prantsuse matemaatik René Descartes

Pikka aega kasutas seda tähelepanuväärset leiutist ainult geograafia "maa kirjeldus" ja alles 14. sajandil püüdis prantsuse matemaatik Nicolas Orem (1323-1382) seda rakendada "maa mõõtmise" - geomeetria jaoks. Ta soovitas katta tasapinna ristkülikukujulise ruudustikuga ning nimetada laius- ja pikkuskraadi selleks, mida me praegu nimetame abstsissiks ja ordinaadiks.

Selle eduka uuenduse põhjal tekkis koordinaatide meetod, mis seob geomeetria algebraga. Peamine teene selle meetodi loomisel kuulub suurele prantsuse matemaatikule Rene Descartes'ile (1596–1650). Tema auks nimetatakse sellist koordinaatide süsteemi Descartes'iks, mis tähistab tasapinna mis tahes punkti asukohta kaugustega sellest punktist "nulllaiuskraadini" - abstsisstelljele "ja algmeridiaanile" - ordinaatteljele.

See 17. sajandi (1596–1650) hiilgav prantsuse teadlane ja mõtleja ei leidnud aga elus kohe oma kohta. Aadliperekonnas sündinud Descartes sai hea haridus... 1606. aastal saatis isa ta La Flèche'i jesuiitide kolledžisse. Arvestades Descartes'i mitte eriti head tervist, tehti talle selle ranges režiimis mõningaid järeleandmisi haridusasutus näiteks lubati neil teistest hiljem tõusta. Kolledžis palju teadmisi omandanud Descartes oli samal ajal läbi imbunud antipaatiast skolastilise filosoofia vastu, mida ta säilitas kogu oma elu.

Pärast kolledži lõpetamist jätkas Descartes oma haridusteed. 1616. aastal sai ta Poitiers' ülikoolis õigusteaduse bakalaureusekraadi. Aastal 1617 astus Descartes sõjaväkke ja reisis palju Euroopas.

1619 osutus teaduslikult Descartes'i jaoks võtmeaastaks.

Just sel ajal, nagu ta ise oma päevikus kirjutas, avanesid talle uue "hämmastava teaduse" alused. Tõenäoliselt pidas Descartes silmas universaali avastamist teaduslik meetod, mida ta hiljem edukalt rakendas erinevatel erialadel.

1620. aastatel kohtus Descartes matemaatik M. Mersenniga, kelle kaudu ta "pidas aastaid ühendust" kogu Euroopa teadusringkonnaga.

1628. aastal asus Descartes elama Hollandisse üle 15 aasta, kuid ei asunud elama ühte kohta, vaid vahetas elukohta umbes kakskümmend korda.

1633. aastal, saades teada Galilei hukkamõistmisest kiriku poolt, keeldus Descartes avaldamast loodusfilosoofilist teost "Maailm", mis esitas ideed universumi loomuliku päritolu kohta vastavalt mateeria mehaanilistele seadustele.

Aastal 1637 prantsuse keel ilmus Descartes'i teos "Meetodi diskursus", millest, nagu paljud arvavad, sai alguse kaasaegne Euroopa filosoofia.

Euroopa mõtet mõjutas suuresti ka Descartes’i viimane filosoofiline teos “Hingekeng”, mis ilmus aastal 1649. Samal aastal läks Descartes Rootsi kuninganna Christine’i kutsel Rootsi. Karm kliima ja ebatavaline režiim (kuninganna sundis Descartesi hommikul kell 5 ärkama, et tundi anda ja muid ülesandeid täita) õõnestas Descartesi tervist ja külmetus.

suri kopsupõletikku.

Descartes'i juurutatud traditsiooni kohaselt tähistatakse punkti "laiuskraad" tähega x, "pikkuskraad" tähega y.

Sellel süsteemil põhinevad paljud koha määramise viisid.

Näiteks kinopiletil on kaks numbrit: rida ja istekoht – neid võib pidada saalis istekoha koordinaatideks.

Samasuguseid koordinaate aktsepteeritakse ka males. Ühe numbri asemel võetakse täht: vertikaalsed lahtriread on tähistatud ladina tähestiku tähtedega ja horisontaalsed read - numbritega. Seega määratakse igale malelaua ruudule paar tähte ja numbreid ning maletajad saavad võimaluse oma partiid kirja panna. Koordinaatide kasutamisest kirjutab Konstantin Simonov luuletuses "Kahurväelase poeg".

Terve öö kõndides nagu pendel

Major ei sulgenud silma,

Hüvasti hommikul raadiost

Esimene signaal tuli:

"Pole midagi, jõudsin kohale,

Sakslased minust vasakul

Koordinaadid (3; 10),

Kiirusta, paneme tuld!

Relvad on laetud

Major arvutas kõik ise välja.

Ja mürinaga esimesed volled

Lööge mägedesse.

Ja jälle signaal raadiost:

"Sakslased valitsevad mind,

Koordinaadid (5; 10),

Pigem rohkem tuld!

Maa ja kivid lendasid

Suits tõusis kolonnis.

Sealt nüüd tundus

Keegi ei lahku elusalt.

Kolmas raadiosignaal:

"Sakslased on mu ümber,

Koordinaadid (4; 10),

Ärge säästke tuld.

Major muutus kahvatuks, kui kuulis:

(4; 10) - lihtsalt

Koht, kus tema Lyonka

Peaks nüüd istuma.

Konstantin Simonov "Kahuriväe poeg"

§2. Legendid koordinaatsüsteemi leiutamisest

Descartes’i nime kandva koordinaatsüsteemi leiutamise kohta liigub mitmeid legende.

Legend 1

Selline lugu on jõudnud meie aegadesse.

Pariisi teatreid külastades ei väsinud Descartes olema üllatunud segaduse, tülide ja mõnikord ka väljakutsete üle duellile, mille põhjustas publiku jaotuse elementaarne kord auditooriumis. Tema pakutud nummerdamissüsteem, kus iga koht sai servalt reanumbri ja seerianumbri, eemaldas kohe kõik tülitsemise põhjused ja tekitas Pariisi kõrgseltskonnas tõelise sensatsiooni.

Legend 2. Kord lamas Rene Descartes terve päeva voodis ja mõtles millelegi ning kärbes sumises ringi ega lasknud tal keskenduda. Ta hakkas mõtisklema, kuidas kirjeldada matemaatiliselt kärbse asukohta igal ajahetkel, et ta saaks seda ilma vahele jätmata lüüa. Ja ... tuli välja, Descartes'i koordinaadid, üks suurimad leiutised inimkonna ajaloos.

Markovtsev Yu.

Kord võõras linnas

Noor Descartes saabus.

Nälg piinas teda kohutavalt.

Oli jahe märtsikuu.

Otsustasin pöörduda mööduja poole

Descartes, püüdes oma värinaid vaigistada:

Kus hotell on, ütle mulle?

Ja daam hakkas seletama:

- Mine meiereisse

Siis pagariärisse, tema taha

Mustlanna müüb nööpnõelad

Ja mürk rottidele ja hiirtele,

Nendest leiate kindlasti

Juust, küpsised, puuviljad

Ja mitmevärvilised siidid ...

Ma kuulasin kõiki neid seletusi

Descartes, külmast värisemas.

Ta tahtis väga süüa,

- Kaupluste taga - apteek

(seal apteeker on vuntsidega rootslane),

Ja kirik, kus sajandi alguses

Tundub, et mu vanaisa abiellus ...

Kui proua hetkeks vaikis,

Äkitselt ütles tema teenija:

- Kõnni kolm kvartalit otse

Ja kaks paremale. Sissepääs nurgast.

See on kolmas lugu juhtumist, mis andis Descartesile idee koordinaatidest.

Järeldus

Oma projekti luues õppisime tundma koordinaattasandi kasutamist erinevates teadusvaldkondades ja Igapäevane elu, veidi teavet koordinaattasandi päritolu ajaloost ja matemaatikutest, kes andsid sellesse leiutisse suure panuse. Materjali, mida töö kirjutamise käigus kogusime, saab kasutada kooliringi klassiruumis, nagu lisamaterjal tundidesse. Kõik see võib kooliõpilasi huvitada ja haridusprotsessi ilmestada.

Ja me tahaksime lõpetada nende sõnadega:

"Kujutage oma elu ette koordinaattasandina. Y-telg on teie positsioon ühiskonnas. X-telg liigub edasi, eesmärgi poole, sinu unistuse poole. Ja nagu me teame, on see lõpmatu ... me võime alla kukkuda, minnes aina sügavamale miinusesse, võime jääda nulli ja teha mitte midagi, absoluutselt mitte midagi. Me võime tõusta, me võime kukkuda, saame edasi või tagasi minna ja kõik sellepärast, et kogu meie elu on koordinaattasand ja kõige tähtsam on see, mis on teie koordinaat ... "

Bibliograafia

Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis: - M .: Haridus, 1981. - 239 lk, ill.

Lyatker Ya.A. Descartes. M .: Mõte, 1975. - (Mineviku mõtlejad)

Matvievskaja G.P. Rene Descartes, 1596-1650. Moskva: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordineerida. Kvant. 1977. nr 9

Matemaatika - ajalehe "1. september" lisa, nr 7, nr 20, nr 17, 2003, nr 11, 2000.

Siegel F.Yu. Star ABC: õpilase käsiraamat. - M .: Haridus, 1981 .-- 191 lk., Ill

Steve Parker, Nicholas Harris. Illustreeritud entsüklopeedia lastele. Universumi saladused. Harkov Belgorod. 2008

Materjalid saidilt http://istina.rin.ru/

Mis on koordinaattasand?

Mõiste "koordinaadid" tõlgitud keelest ladina keel tähendab sõna "tellitud".

Oletame, et peame märkima punkti asukoha tasapinnal. Selleks võtame 2 risti asetsevat sirget, mida nimetatakse koordinaattelgedeks, kus X on abstsisstelljeks, Y-teljel on ordinaat ja alguspunktiks punkt O. Koordinaattelgede abil moodustatud täisnurgad on nimetatakse koordinaatnurkadeks.

Niisiis jõudsime definitsioonini ja nüüd teame, et koordinaattasand on etteantud koordinaatsüsteemiga tasapind.

Vaatame nüüd koordinaatide nurkade nummerdamist:

Nüüd kuvame koos sinuga ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja märgime sellesse punkti M.

Järgmiseks peame joonistama sirge läbi punkti M, mis on paralleelne Y-teljega. Nüüd vaatame, mis juhtus. Nagu näete, lõikub joon X-teljega punktis, kus koordinaat on võrdne -2. See koordinaat on punkti M abstsiss.

Nüüd peame joonistama sirge läbi punkti M, mis on paralleelne X-teljega.

Näeme, et see sirge lõikub selles punktis X-teljega, mille koordinaat võrdub kolmega. See koordinaat on punkti M ordinaat.

Hoovuste M koordinaatide rekord näeb välja selline:

Sellises rekordis on abstsisstel alati esikohal ja ordinaat teisel kohal. Kui vaadelda näitena punkti M koordinaate (-2; 3), siis -2 toimib punkti M abstsissina ja selle punkti ordinaat on arv 3.

Sellest järeldub, et koordinaattasandil vastab igale punktile M selline arvupaar nagu selle abstsiss ja ordinaat. Tõsi on ka vastupidine väide, see tähendab, et iga selline arvupaar vastab ühele tasandi punktile, mille jaoks need arvud on koordinaadid.

Harjutus:

Elu koordinaattasand

Kas koordinaattasandi teadmisest võib Sinu arvates igapäevaelus kasu olla? Ja kas olete kunagi kuulnud sellist fraasi nagu "jätke oma koordinaadid" või "mis koordinaadid leiate"? Ja kas olete kunagi mõelnud, mida need väljendid tähendada võivad?

Selgub, et kõik on väga lihtne ja banaalne ning see tähendab selle või selle objekti asukohta, mille järgi on lihtne leida inimest või mõnda konkreetset kohta. Võib kindlalt väita, et koordinaatsüsteemid on vajalikud praktiline elu mees igal pool.

Selline koordinaatsüsteem võib olla kas kodune aadress või telefoninumber, töökoht vms.

Tõepoolest, isegi rongipileteid ostes ei tea te mitte ainult selle numbrit ja sihtkohta, vaid tuleb märkida ka vaguni number ja istekoht.

Klassikaaslase külastamiseks ei piisa ainult maja teadmisest, kus ta elab, vaid on vaja teada ka korteri numbrit.

Harjutus

1. Millist teavet on teil vaja teatris koha saamiseks?
2. Milliseid andmeid on vaja maapinna punktide määramiseks?
3. Milliste koordinaatidega saab määrata koha kinos?
4. Mida on vaja teada nupu asukoha määramiseks malelaual?
5. Milliseid koordinaate kasutate merelahingut mängides?

Ajaloo viide

Koordinaatide kasutamise idee tekkis iidsetel aegadel. Esialgu hakkasid astronoomid neid kasutama taevakehade ja geograafide määramiseks – asukoha ja objektide määramiseks Maa pinnal.

Tänu Vana-Kreeka astronoomi Claudius Plotomey töödele õppisid teadlased juba teisel sajandil pikkus- ja laiuskraade määrama.

Kas sa tead, miks matemaatikas on selline asi nagu "Cartesiaalne koordinaatsüsteem"? Selgub, et koordinaatide meetodi, millel on üldine matemaatiline tähendus, avastasid 17. sajandil prantsuse matemaatikud Pierre Fermat ja Rene Descartes ning 1637. aastal kirjeldas Rene Descartes seda esmakordselt geomeetriaraamatus.

Kuid mõisted "abstsiss", "ordinaat" ja "koordinaadid" võttis esmakordselt kasutusele Wilhelm Leibniz XVII sajandil.

Kodutöö:

§ 1 Koordinaadisüsteem: määratlus ja konstrueerimisviis

Selles tunnis tutvume mõistetega "koordinaatsüsteem", "koordinaattasand", "koordinaatide teljed", õpime koordinaatide järgi tasapinnale punkte koostama.

Võtke koordinaatjoon x lähtepunktiga O, positiivse suuna ja ühikulise lõiguga.

Koordinaatide alguspunkti kaudu tõmmake koordinaatjoone x punkt O teine koordinaatjoon y, mis on risti x-ga, seadke positiivne suund ülespoole, ühiklõik on sama. Seega oleme loonud koordinaatide süsteemi.

Anname definitsiooni:

Kaks vastastikku risti asetsevat koordinaatjoont, mis ristuvad punktis, mis on nende mõlema lähtepunkt, moodustavad koordinaatsüsteemi.

§ 2 Koordinaatide telg ja koordinaattasand

Koordinaatsüsteemi moodustavaid sirgeid nimetatakse koordinaattelgedeks, millest igaühel on oma nimi: x-koordinaadijoon on abstsisstellg, y-koordinaatjoon on ordinaattelg.

Tasapinda, millel koordinaatsüsteem on valitud, nimetatakse koordinaattasandiks.

Kirjeldatud koordinaatsüsteemi nimetatakse ristkülikukujuliseks. Seda nimetatakse sageli prantsuse filosoofi ja matemaatiku René Descartes'i järgi Descartes'i koordinaatsüsteemiks.

Igal koordinaattasandi punktil on kaks koordinaati, mida saab määrata koordinaatteljel olevast punktist risti langetades. Tasapinna punkti koordinaadid on arvupaar, millest esimene arv on abstsiss, teine arv on ordinaat. Abstsissi näitab risti x-teljega, ordinaat on risti y-teljega.

Märgime koordinaattasandile punkti A, tõmbame sellest ristid koordinaatsüsteemi telgedele.

Piki abstsissteljega risti (x-telg) määrame punkti A abstsissi, see võrdub 4-ga, punkti A ordinaat - piki ordinaadteljega risti (y-telg) on 3. meie punktid on 4 ja 3. A (4; 3). Seega võib koordinaadid leida igale koordinaattasandi punktile.

§ 3 Punkti ehitamine tasapinnal

Ja kuidas etteantud koordinaatidega tasapinnale punkt ehitada, st. määrata selle asukoht tasapinna punkti koordinaatide järgi? Sel juhul teostame toimingud vastupidises järjekorras. Koordinaatide telgedel leiame etteantud koordinaatidele vastavad punktid, mille kaudu tõmbame x- ja y-teljega risti olevad sirged. Perpendikulaaride lõikepunkt saab olema soovitud, st. punkt etteantud koordinaatidega.

Täidame ülesande: koostame koordinaattasandile punkti M (2; -3).

Selleks leidke abstsissteljel punkt koordinaadiga 2, tõmmake seda punkti läbiv sirgjoon, mis on risti x-teljega. Ordinaadil leiame punkti koordinaadiga -3, läbi selle tõmbame y-teljega risti oleva sirge. Perpendikulaarsete joonte lõikepunkt on Vali koht M.

Vaatame nüüd mõnda erijuhtumit.

Märgime koordinaattasandile punktid A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Nende punktide abstsissid on 0. Jooniselt on näha, et kõik punktid asuvad ordinaatteljel.

Järelikult asuvad punktid, mille abstsissid on nulliga võrdsed, ordinaatteljel.

Muudame nende punktide koordinaate kohati.

Selgub A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). Sel juhul on kõik ordinaadid võrdsed 0-ga ja punktid asuvad abstsissteljel.

See tähendab, et punktid, mille ordinaadid on võrdsed nulliga, asuvad abstsissteljel.

Vaatame veel kahte juhtumit.

Märgi koordinaattasandile punktid M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

On lihtne näha, et kõik punktide abstsissid on ühesugused. Kui ühendate need punktid, saate sirge, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Järeldus viitab iseenesest: sama abstsissiga punktid asuvad ühel sirgel, mis on paralleelne ordinaatteljega ja risti abstsissteljega.

Kui muuta punktide M, N, P koordinaate kohati, saad M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Punktide ordinaadid muutuvad samaks. Sel juhul, kui need punktid on ühendatud, saate sirge, mis on paralleelne abstsissteljega ja on risti ordinaatteljega.

Seega asuvad sama ordinaatpunktid ühel sirgel, mis on paralleelne abstsissteljega ja on ordinaatteljega risti.

Selles õppetükis tutvusite mõistetega "koordinaatsüsteem", "koordinaattasand", "koordinaatide teljed - abstsisstelg ja ordinaattelg". Õppis leidma koordinaatide tasapinnal oleva punkti koordinaate ja kuidas koostada tasapinnale punkte selle koordinaatide järgi.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

Matemaatika. 6. klass: tunniplaanid õpikule I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // koostanud L.A. Topilin. - Mnemosyne, 2009.
Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutuste õpilastele. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M .: Mnemosina, 2013.
Matemaatika. 6. klass: õpik haridusasutustele / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ja teised / toimetanud G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygin; Venemaa Teaduste Akadeemia, Venemaa Haridusakadeemia. - M .: "Haridus", 2010
Matemaatika viide - http://lyudmilanik.com.ua
Juhend õpilastele Keskkool http://shkolo.ru

Kui ehitate tasapinnale kaks üksteisega risti asetsevat arvtelge: HÄRG ja OY siis kutsutakse neid koordinaatteljed... Horisontaaltelg HÄRG helistas abstsiss(telg x), vertikaalne telg OY - y-telg(telg y).

Punkt O telgede ristumiskohas seisvat nimetatakse päritolu... See on mõlema telje nullpunkt. Positiivsed numbrid on kujutatud abstsissteljel punktidega paremale ja ordinaatteljel - punktid nullpunktist ülespoole. Negatiivsed arvud on kujutatud punktidega, mis jäävad koordinaatide (punktide) alguspunktist vasakule ja allapoole O). Nimetatakse tasapinda, millel asuvad koordinaatteljed koordinaattasand.

Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks osaks, nn veerandid või kvadrandid... Need veerandid on tavaks nummerdada rooma numbritega selles järjekorras, nagu need on joonisel nummerdatud.

Punktide koordinaadid tasapinnal

Kui võtame koordinaattasandil suvalise punkti A ja tõmmake sellest ristid koordinaattelgedele, siis on perpendikulaaride alused kaks arvu. Arvu, millele vertikaalristi osutab, nimetatakse numbrit abstsisspunkt A... Horisontaalse perpendikulaariga näidatud arv on ordinaatpunkt A.

Joonisel punkti abstsiss A on võrdne 3-ga ja ordinaat on 5.

Abstsissi ja ordinaati nimetatakse tasapinna antud punkti koordinaatideks.

Punkti koordinaadid kirjutatakse punkti tähistusest paremale sulgudesse. Kõigepealt kirjutatakse abstsiss, seejärel ordinaat. Nii et salvestage A(3; 5) tähendab, et punkti abstsiss A on kolm ja ordinaat on viis.

Punkti koordinaadid on arvud, mis määravad selle asukoha tasapinnal.

Kui punkt asub abstsissteljel, siis on selle ordinaat null (näiteks punkt B koordinaatidega -2 ja 0). Kui punkt asub ordinaatteljel, siis on selle abstsiss null (näiteks punkt C koordinaatidega 0 ja -4).

Päritolu - punkt O- mille abstsiss ja ordinaat on võrdsed nulliga: O (0; 0).

See süsteem kutsutakse koordinaate ristkülikukujuline või karteeslane.

Ringjoone võrrand koordinaattasandil

Definitsioon 1. Numbritelg ( arvurida, koordinaatrida) Ox nimetatakse sirgeks, millel punkt O on valitud päritolu (päritolu)(joon. 1), suund

O → x

märgitud kui positiivne suund ja märgitakse lõik, mille pikkuseks võetakse pikkuse ühik.

Definitsioon 2. Segmenti, mille pikkust võetakse pikkuseühikuna, nimetatakse skaalaks.

Arvtelje igal punktil on koordinaat, mis on reaalarv. Punkti O koordinaat on null. Suvalise punkti A koordinaat, mis asub kiirel Ox, on võrdne lõigu OA pikkusega. Arvtelje suvalise punkti A koordinaat, mis ei asu kiirel Ox, on negatiivne ja on absoluutväärtuses võrdne lõigu OA pikkusega.

3. määratlus. Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem Oxy tasapinnal helistage kahele vastastikku risti numbriteljed Ox ja Oy koos sama skaala ja ühine võrdluspunkt punktis O ja nii, et pöörlemine kiirelt Ox läbi 90° nurga kiirguse Oy suunas toimub suunas vastupäeva(joon. 2).

Märkus. Joonisel 2 kujutatud ristkülikukujulist Descartes'i koordinaatsüsteemi Oxy nimetatakse õige koordinaatsüsteem, Erinevalt vasakpoolsed koordinaatsüsteemid, milles Ox tala pööramine Oy tala suhtes 90° nurga all toimub päripäeva. Selles juhendis me arvestage ainult paremakäeliste koordinaatsüsteemidega seda täpsustamata.

Kui tutvustada tasapinnal mingit ristkülikukujuliste Descartes'i koordinaatide süsteemi Oxy, siis omandab iga tasandi punkt kaks koordinaati – abstsiss ja ordinaat, mis arvutatakse järgmiselt. Olgu A tasandi suvaline punkt. Kukkugem punktist A ristid AA 1 ja AA 2 joontele vastavalt Ox ja Oy (joonis 3).

4. definitsioon. Punkti A abstsiss on punkti koordinaat A 1 numbriteljel Ox on punkti A ordinaat punkti koordinaat A 2 arvteljel Oy.

Määramine. Punkti koordinaadid (abstsiss ja ordinaat). Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy (joonis 4) on tavaliselt tähistatud A A(x;y) või A = (x; y).

Märkus. Punkt O helistas päritolu, on koordinaadid O(0 ; 0) .

Definitsioon 5. Ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy nimetatakse arvtelge Ox abstsissiks ja arvtelge Oy ordinaadiks (joonis 5).

Definitsioon 6. Iga ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem jagab tasapinna 4 veerandiks (kvadrandiks), mille nummerdamine on näidatud joonisel 5.