Ühes eelmistes artiklites mainisime juba arvu astet. Täna proovime selle tähenduse leidmise protsessis orienteeruda. Teaduslikult öeldes mõtleme välja, kuidas õigesti võimsust tõsta. Mõtleme välja, kuidas see protsess läbi viiakse, samal ajal puudutame kõiki võimalikke kraadinäitajaid: loomulik, irratsionaalne, ratsionaalne, tervik.

Niisiis, vaatame lähemalt näidete lahendusi ja uurime, mida see tähendab:

1. Mõiste definitsioon.
2. Negatiivseks tõstmine Art.
3. Terve indikaator.
4. Arvu tõstmine irratsionaalseks astmeks.

Siin on definitsioon, mis peegeldab täpselt tähendust: "Astendamine on arvu astme tähenduse määratlus."

Vastavalt sellele tõstetakse number a artiklile. r ja astendaja a väärtuse leidmise protsess astendajaga r on identsed mõisted. Näiteks kui ülesandeks on arvutada võimsuse väärtus (0,6) 6 ″, siis saab seda lihtsustada avaldisega "Tõstke arv 0,6 astmeni 6".

Pärast seda saate otse ehitusreeglite juurde minna.

Negatiivne astendamine

Selguse huvides peaksite pöörama tähelepanu järgmisele väljendite ahelale:

110 = 0,1 = 1 * 10 miinus 1 silmuses,

1100 = 0,01 = 1 * 10 miinus 2 sammuga.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 miinus 3 silmust,

110 000 = 0,00001 = 1 * 10 miinus 4 kraadi juures.

Tänu nendele näidetele näete selgelt võimalust arvutada koheselt 10 mis tahes miinusvõimsusele. Sel eesmärgil on kümnendkomponenti nihutada üsna rumal:

• 10 kuni -1 kraadi - enne ühikut 1 null;
• -3 juures - kolm nulli enne ühte;
• in -9 on 9 nulli ja nii edasi.

Selle skeemi järgi on sama lihtne aru saada, kui palju on 10 kuni miinus 5 spl. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kuidas tõsta naturaalarvu

Tuletades meelde definitsiooni, võtame arvesse, et naturaalarv a Art. n on võrdne n teguri korrutisega, millest igaüks on võrdne a-ga. Näitame: (a * a * ... a) n, kus n on korrutatud arvude arv. Vastavalt sellele on a tõstmiseks n-ks vaja arvutada järgmise kuju korrutis: a * a * ... ja jagada n-ga.

Sellest selgub, et püstitamine looduskunstis. tugineb võimele paljuneda(Seda materjali käsitletakse reaalarvude korrutamise peatükis). Vaatame probleemi:

Püstitage -2 4. st.

Tegemist on loomuliku näitajaga. Vastavalt sellele on otsuse käik järgmine: (-2) art. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nüüd jääb üle ainult täisarvude korrutamine: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Saame 16.

Vastus probleemile:

(-2) art. 4 = 16.

Näide:

Arvutage väärtus: kolm koma kaks seitset ruudus.

See näide on võrdne järgmise korrutisega: kolm koma kaks seitsmendikku korrutatuna kolme koma kahe seitsmendikuga. Pidades meeles, kuidas segaarvude korrutamine toimub, lõpetame ehituse:

• 3 koma 2 seitsmendikku korrutatakse iseendaga;
• võrdub 23 seitsmendikuga, mis on korrutatud 23 seitsmendikuga;
• võrdne 529 neljakümne üheksandaga;
• lühenda ja saad 10 kolmkümmend üheksa nelikümmend üheksa.

Vastus: 10 39/49

Irratsionaalsele näitajale tõstmise küsimuses tuleb märkida, et arvutusi hakatakse tegema pärast astme aluse esialgse ümardamise lõpetamist teatud kategooriasse, mis võimaldaks saada väärtuse etteantud täpsusega. . Näiteks peame panema arvu P (pi) ruutudesse.

Alustuseks ümardame P sajandikuteks ja saame:

P ruudus = (3,14) 2 = 9,8596. Kui aga vähendada P kümne tuhandeni, saame P = 3,14159. Siis saab ruutudeks hoopis teise numbri: 9.8695877281.

Siinkohal tuleb märkida, et paljude ülesannete puhul pole vaja irratsionaalseid arve astmeks tõsta. Reeglina kirjutatakse vastus kas astme kujul, näiteks 6 juur 3 astmeni, või kui avaldis lubab, viiakse läbi selle teisendus: 5 juur 7. astmeni. = 125 juur 5-st.

Kuidas tõsta arvu täisastmeni

See algebraline manipuleerimine on asjakohane võtta arvesse järgmistel juhtudel:

• täisarvude jaoks;
• nullindikaatori jaoks;
• terve positiivse näitaja jaoks.

Kuna praktiliselt kõik positiivsed täisarvud langevad kokku naturaalarvude massiga, on positiivse täisarvu määramine sama protsess, mis Art. loomulik. Kirjeldasime seda protsessi eelmises lõigus.

Nüüd räägime Art arvutamisest. null. Eespool saime juba teada, et arvu a nullkraadi saab määrata mis tahes nullist erineva a (reaalne), samas kui a artiklis a. 0 võrdub 1-ga.

Vastavalt sellele, mis tahes reaalarvu tõstmine nullini. annab ühe.

Näiteks 10 st 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ja 0 st. 0 ei saa määrata.

Täisarvulise astmeni tõstmise lõpuleviimiseks tuleb otsustada täisarvu negatiivsete väärtuste valikute üle. Mäletame, et Art. alates a täisarvu eksponendiga -z defineeritakse murdosana. Murru nimetaja on Art. positiivse täisarvuga väärtusega, mille väärtust oleme juba õppinud leidma. Nüüd jääb üle vaid kaaluda ehituse näidet.

Näide:

Arvutage arvu 2 väärtus kuubis negatiivse täisarvu astendajaga.

Lahenduse protsess:

Vastavalt negatiivse indikaatoriga kraadi määratlusele tähistame: kaks miinus 3 spl. võrdub üks kuni kaks kolmandas astmes.

Nimetaja arvutatakse lihtsalt: kaks kuubikut;

3 = 2*2*2=8.

Vastus: kaks miinus 3. spl. = üks kaheksandik.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraade vaja? Kus need teile kasulikud on? Miks peate nende uurimiseks aega leidma?

Et teada saada kõike kraadide kohta, milleks need on ja kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada, lugege seda artiklit.

Ja loomulikult viivad teadmised kraadide kohta teid lähemale OGE või USE edukale läbimisele ja unistuste ülikooli astumisele.

Lähme ... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui valemite asemel näete jaburat, tühjendage vahemälu. Selleks vajutage klahvikombinatsiooni CTRL + F5 (Windowsis) või Cmd + R (Maci puhul).

ESIMESE TASE

Astendamine on sama matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeli kasutades väga lihtsaid näiteid. Pane tähele. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemas on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama koolanäite võib kirjutada erinevalt:. Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad viisi, kuidas neid kiiresti "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel... Kõike saab muidugi teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendusnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad sellised probleemid peast – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis esile tõstetud... Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist kraadi ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? See on väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Elu näide nr 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruutmeeterhaaval basseini. Bassein on teie maamajas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhja pindala.

Võite lihtsalt näpuga torkides kokku lugeda, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaat meeter meetri kaupa, vajate tükke. See on lihtne ... Aga kus te olete selliseid plaate näinud? Plaat on tõenäolisemalt cm kaupa.Ja siis piinab sind "sõrmede lugemine". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades saate plaadid ().

Kas olete märganud, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu endaga? Mida see tähendab? Kui sama arv on korrutatud, saame kasutada "astendamise" tehnikat. (Muidugi, kui sul on ainult kaks arvu, siis ikka korrutad või tõstad astmeni. Aga kui neid on palju, siis on astmeni tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu. eksam, see on väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend teises astmes saab (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme esitus.

Näide päriselust nr 2

Siin on teile ülesanne: loendage, mitu ruutu on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja ka teisel pool. Nende arvu kokkulugemiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?

Elunäide nr 3

Nüüd kuubik ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahtusi ja vedelikke, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Üllataval kombel, eks?) Joonistage bassein: põhi on meeter suur ja meeter sügav ning proovige välja arvutada, mitu kuupmeetrit meeterhaaval teie basseini siseneb.

Näita näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli ... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm ... Kui palju see välja tuli? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke näide matemaatikutelt. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Nad taandasid kõik üheks tegevuseks. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida te kunagi näpuga lugesite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubis on võrdne. See on kirjutatud nii:.

See jääb ainult mäleta kraaditabelit... Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga lugemist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid tühikäigud ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte aga teile probleemide tekitamiseks, on siin veel paar näidet elust.

Elunäide nr 4

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite igast miljonist teise miljoni. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa nüüd istud ja “näpuga loed”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - juhtus veel kaks, kolmandal aastal ... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga üks kord. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on konkurss ja need miljonid saab kätte see, kes kiiremini arvutab... Kas tasub meeles pidada arvude astmeid, mida arvate?

Näide päris elust nr 5

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni pealt kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju teil aastate pärast raha on? Loeme. Esimene aasta - korrutage, siis tulemus teisega ... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korda korrutatakse iseenesest. Nii et neljas aste võrdub miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et tõstes arvu astmeni, hõlbustate oluliselt oma elu. Vaatame, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted ... et mitte segadusse sattuda

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid arusaadav ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal seda selline kraadi alus? See on veelgi lihtsam – see on number, mis asub all, põhjas.

Siin on kindel joonis.

Noh, üldiselt, et üldistada ja paremini meelde jätta ... Astmega "" ja indikaatoriga "" loetakse "kraadides" ja kirjutatakse järgmiselt:

Arvu aste naturaalastendajaga

Tõenäoliselt arvasite nüüd: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm ... Kui me loeme objekte, siis me ei ütle: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null punkt, viis kümnendikku". Need ei ole naturaalarvud. Mis numbrid need teie arvates on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati eelkõige võlgade näitamiseks: kui teil on telefonis rublad, tähendab see, et olete operaatorile rublasid võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Mis te arvate, kuidas need tekkisid? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kokkuvõte:

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Arvu suurendamine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Võimsuse omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan sulle nüüd.

Vaatame: mis on ja ?

Definitsiooni järgi:

Kui palju tegureid on kokku?

See on väga lihtne: lisasime kordajatele kordajad ja kokku on kordajad.

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu aste, see tähendab, nagu seda on vaja tõestada.

Näide: avaldise lihtsustamine.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Meie reeglis on oluline seda tähele panna tingimata peavad olema samad alused!
Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

ainult kraadide korrutis!

Mitte mingil juhul ei saa te seda kirjutada.

2.see tähendab -arvu aste

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei tohiks seda kunagi teha kokku:

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada?

Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Negatiivse baasiga kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema astendaja.

Aga mis peaks olema vundament?

Kraadides koos loomulik määr aluseks võib olla suvaline number... Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude võimsus?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Aga negatiivne on veidi huvitavam. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus miinushaaval annab plussi." See tähendab, või. Aga kui me korrutame sellega, siis see töötab.

Otsustage ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Kas said hakkama?

Siin on vastused: esimese nelja näite puhul on loodetavasti kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne.

Noh, välja arvatud juhul, kui alus on null. Vundament pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet treenimiseks

Lahenduse sõelumine 6 näidet

Kui me ignoreerime kaheksandat kraadi, mida me siin näeme? Tuletame meelde 7. klassi programmi. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame nimetajat lähemalt. See näeb välja nagu üks lugejas olevatest kordajatest, aga mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need ümber pöörata, võiks reeglit rakendada.

Aga kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: siin aitab meid nimetaja paarisaste.

Terminid on võluväel vastupidised. See "nähtus" on rakendatav iga väljendi kohta ühtlaselt: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Terve kutsume neile vastandlikke naturaalarvusid (st võetud märgiga "") ja numbrit.

positiivne täisarv, kuid see ei erine looduslikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises jaotises.

Vaatame nüüd mõnda uut juhtumit. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Iga number null kraadis on võrdne ühega:

Nagu alati, esitagem endale küsimus: miks see nii on?

Mõelge kraadile, millel on alus. Võtke näiteks ja korrutage järgmisega:

Niisiis, me korrutasime arvuga ja saime sama, mis see oli -. Ja mis numbrit tuleks korrutada, et midagi ei muutuks? Täpselt nii, edasi. Tähendab.

Sama saame teha suvalise arvuga:

Kordame reeglit:

Iga number null kraadis on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka seal - see on arv (alusena).

Ühest küljest peaks see olema võrdne mis tahes kraadiga - ükskõik kui palju sa korrutad endaga, saad ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullkraadis olev arv, peab see olema võrdne. Niisiis, milline neist on tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nulli tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult nulliga jagada, vaid ka tõsta seda nullastmeni.

Lähme edasi. Täisarvude hulka kuuluvad lisaks naturaalarvudele ja arvudele ka negatiivsed arvud. Et mõista, mis on negatiivne võimsus, teeme sama, mis eelmisel korral: korrutage mõni normaalarv sama negatiivse astmega:

Siit on juba lihtne väljendada, mida otsite:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalises ulatuses:

Niisiis, sõnastame reegli:

Negatiivses astmes olev arv on pöördvõrdeline positiivses astmes oleva sama arvuga. Aga samas alus ei saa olla null:(sest te ei saa jagada).

Teeme kokkuvõtte:

I. Avaldis pole käändes määratud. Kui siis.

II. Mis tahes arv null kraadini on võrdne ühega:.

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga, on negatiivse astmega ja sama arvuga pöördvõrdeline positiivses astmes:.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, ja nagu tavaliselt, näited iseseisva lahenduse jaoks:

Iseseisva lahenduse ülesannete analüüs:

Ma tean, ma tean, numbrid on kohutavad, aga eksamil tuleb kõigeks valmis olla! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud lahendada, ja saate teada, kuidas nendega eksamil hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" arvude ringi laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed arvud. Milliseid arve nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdarvuna, kus ja on täisarvud, pealegi.

Et mõista, mis on Murdjärguline aste, kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled astmeks:

Tuletame nüüd meelde reeglit "Kraadist kraadini":

Millise arvu tuleb astmeni tõsta, et saada?

See sõnastus on th juure määratlus.

Tuletan teile meelde: arvu () astme juur on arv, mis astmeks tõsttuna on võrdne.

See tähendab, et th astme juur on astenduse pöördtehte:.

Selgub, et. Ilmselgelt saab seda konkreetset juhtumit pikendada:.

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastus on lihtne saada kraadist kraadini reegli abil:

Kuid kas baas võib olla suvaline arv? Juurt ei saa ju kõikidest numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: iga paarisastmeni tõstetud arv on positiivne. See tähendab, et te ei saa negatiivsetest arvudest eraldada paarisastme juuri!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa tõsta paarisnimetajaga murdarvuni, see tähendab, et avaldisel pole mõtet.

Aga väljendus?

Kuid siit tekibki probleem.

Arvu saab esitada muude, tühistatavate murdudena, näiteks või.

Ja selgub, et see on küll olemas, aga ei eksisteeri, aga need on vaid kaks erinevat sama numbri kirjet.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saab kirjutada. Aga kui paneme indikaatori teistmoodi kirja ja saame jälle ebameeldivuse: (st saime hoopis teise tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult murdosalise astendajaga positiivne radikaal.

Nii et kui:

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Ratsionaalsed eksponendid on väga kasulikud juuravaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet treenimiseks

5 näite analüüs koolituseks

Ja nüüd kõige raskem osa. Nüüd analüüsime irratsionaalne aste.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadi puhul, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalarvud arvud, mida ei saa esitada murdena, kus ja on täisarvud (st irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalsed).

Loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse indikaatoriga kraadide uurimisel mõtlesime iga kord välja mingi "pildi", "analoogia" või tuttavama kirjelduse.

Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda;

...nullkraadi number- see on justkui arv, mis on üks kord korrutatud iseendaga, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole isegi ilmunud - seega on tulemuseks vaid mingi "tühi number ", nimelt number;

...täisarv negatiivne astendaja- toimus justkui mingi "pöördprotsess" ehk siis arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksindikaatoriga kraadi, see tähendab, et näitaja pole isegi reaalarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

KUHU ME OLEME KINDEL, ET LÄHED! (kui õpid selliseid näiteid lahendama :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest reeglist astme astmeks tõstmiseks:

Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta tuletab sulle midagi meelde? Tuletame meelde lühendatud korrutamise valemit, ruutude erinevust:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome astendajates murrud samale kujule: kas mõlemad kümnendkohad või mõlemad tavalised. Võtame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

KÕRGTASEMEL

Kraadi määramine

Kraad on vormi:, kus:

• — kraadi alus;
• - eksponent.

Kraad naturaalse astendajaga (n = 1, 2, 3, ...)

Arvu suurendamine loomuliku astmeni n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Täisarv (0, ± 1, ± 2, ...)

Kui astendaja on igati positiivne number:

Erektsioon null kraadini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt mis tahes määral - see ja teisest küljest - suvaline arv kuni astmeni - see.

Kui astendaja on terve negatiivne number:

(sest te ei saa jagada).

Veelkord nullidest: avaldis on käändes määramata. Kui siis.

Näited:

Ratsionaalne hinne

• - naturaalarv;
• - täisarv;

Näited:

Võimsuse omadused

Et probleeme oleks lihtsam lahendada, proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

Definitsiooni järgi:

Seega saame selle väljendi paremal küljel järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see astendajaga arvu võimsus, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : .

Näide : avaldise lihtsustamine.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peavad olema samad alused. Seetõttu ühendame kraadid baasiga, kuid see jääb eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel on ainult kraadide korrutisele!

Mitte mingil juhul ei tohiks ma seda kirjutada.

Nii nagu eelmise omaduse puhul, pöördume astme määratluse juurde:

Korraldame selle tüki ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et definitsiooni järgi on see arvu th:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei tohiks seda kunagi teha kokku:!

Meenutagem lühendatud korrutusvalemeid: mitu korda tahtsime kirjutada? Kuid lõppude lõpuks pole see tõsi.

Negatiivse baasiga kraad.

Siiani oleme vaid arutanud, kuidas see peaks olema indikaator kraadi. Aga mis peaks olema vundament? Kraadides koos loomulik indikaator aluseks võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me saame korrutada mis tahes arvud, olgu need positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude võimsus?

Näiteks, kas arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid arve me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Aga negatiivne on veidi huvitavam. Meenub ju 6. klassist lihtne reegel: "miinus miinushaaval annab plussi." See tähendab, või. Kui aga korrutada (-ga), saame -.

Ja nii edasi lõpmatuseni: iga järgneva korrutusega märk muutub. Saate sõnastada sellised lihtsad reeglid:

1. isegi aste, - arv positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
3. Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
4. Null mis tahes astmeni on võrdne nulliga.

Otsustage ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Kas said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Loodan, et esimese nelja näite puhul on kõik selge? Vaatame lihtsalt baasi ja eksponenti ning rakendame sobivat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole vahet, millega baas on võrdne - aste on ühtlane, mis tähendab, et tulemus on alati positiivne. Noh, välja arvatud juhul, kui alus on null. Vundament pole võrdne, eks? Ilmselgelt mitte, kuna (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, kumb on vähem: või? Kui seda meeles pidada, saab see selgeks, mis tähendab, et baas on nullist väiksem. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jällegi kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame üles kraadide määratlused ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne viimase reegli uurimist lahendame mõned näited.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Kui me ignoreerime kaheksandat kraadi, mida me siin näeme? Tuletame meelde 7. klassi programmi. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame nimetajat lähemalt. See näeb välja nagu üks lugejas olevatest kordajatest, aga mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need ümber pöörata, saaks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: siin aitab meid nimetaja paarisaste.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd aga selgub järgmine:

Terminid on võluväel vastupidised. See "nähtus" on rakendatav iga väljendi kohta ühtlaselt: me võime vabalt muuta sulgudes olevaid märke. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad samal ajal! Seda ei saa asendada, muutes ainult ühte puudust, mida me ei soovi!

Läheme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Nüüd avame sulgud. Mitu tähte tuleb? korda kordajatega – kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astendajaga arvu aste:

Näide:

Irratsionaalne hinne

Lisaks teabele kesktaseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse astendajaga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga astme puhul, erandiga - on ju definitsiooni järgi irratsionaalarvud arvud, mida ei saa murdena esitada, kus ja on täisarvud (et on, irratsionaalarvud on kõik reaalarvud, välja arvatud ratsionaalarvud).

Loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse indikaatoriga kraadide uurimisel mõtlesime iga kord välja mingi "pildi", "analoogia" või tuttavama kirjelduse. Näiteks loomulik astendaja on arv, mis on korrutatud iseendaga mitu korda; nullkraadine arv on justkui arv, mis korrutatakse iseendaga üks kord, see tähendab, et seda pole veel korrutama hakatud, mis tähendab, et arv ise pole isegi ilmunud - järelikult on tulemus vaid mingi "tühi number", nimelt number; täisarvulise negatiivse eksponendiga aste on justkui toimuks teatud "pöördprotsess" ehk siis arvu ei korrutatud iseendaga, vaid jagati.

Äärmiselt raske on ette kujutada kraadi irratsionaalse eksponendiga (nagu on raske ette kujutada 4-mõõtmelist ruumi). Pigem on see puhtalt matemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid, et laiendada kraadi mõistet kogu arvude ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli kompleksindikaatoriga kraadi, see tähendab, et näitaja pole isegi reaalarv. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi mõisteid mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Püüame kõigest väest sellest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

1. Tuletame meelde ruutude erinevuse valemit. Vastus:.
2. Toome murrud samale kujule: kas mõlemad komakohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks:.
3. Ei midagi erilist, rakendame tavapäraseid kraadiomadusi:

OSA JA PÕHIVALEMITE KOKKUVÕTE

Kraad nimetatakse väljendiks kujul:, kus:

Täisarv aste

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täis- ja positiivne).

Ratsionaalne hinne

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Irratsionaalne hinne

aste, mille eksponendiks on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Võimsuse omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtusele isegi aste, - arv positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtusele kummaline aste, - arv negatiivne.
• Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
• Null on võrdne mis tahes võimsusega.
• Mis tahes arv null kraadini on võrdne.

NÜÜD SINU SÕNA...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjutage kommentaaridesse, kas teile meeldib või mitte.

Rääkige meile oma kogemustest kraadiomadustega.

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu teile eksamitel!

Eksponenti kasutatakse arvu endaga korrutamise operatsiooni märkimise lihtsustamiseks. Näiteks kirjutamise asemel võite kirjutada 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5))(selgitus selle ülemineku kohta on antud selle artikli esimeses osas). Kraadid muudavad pikkade või keerukate avaldiste või võrrandite kirjutamise lihtsamaks; Samuti saab astmeid hõlpsasti liita ja lahutada, mis viib avaldise või võrrandi lihtsustamiseni (näiteks 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ kuvastiil 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

Märge: kui on vaja lahendada eksponentsiaalvõrrand (sellises võrrandis on tundmatu eksponendis), siis loe.

Sammud

Lihtsamate kraadiülesannete lahendamine

Korrutage astendaja alus astendajaga võrdne arv kordi. Kui teil on vaja astmeülesannet käsitsi lahendada, kirjutage aste ümber korrutustehtena, kus kraadi põhi korrutatakse iseendaga. Näiteks kraadi arvestades 3 4 (\ displaystyle 3 ^ (4))... Sel juhul tuleb astme 3 alus korrutada endaga 4 korda: 3 * 3 * 3 * 3 (\ kuvastiil 3 * 3 * 3 * 3)... Siin on teisi näiteid.

Esiteks korrutage kaks esimest arvu. Näiteks, 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\ kuvastiil 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... Ärge muretsege - arvutusprotsess pole nii keeruline, kui esmapilgul tundub. Esmalt korrutage kaks esimest nelja ja seejärel asendage need oma tulemusega. Nagu nii:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\ kuvastiil 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\ kuvastiil 4 * 4 = 16)

1. Korrutage oma tulemus (meie näites 16) järgmise arvuga. Iga järgmine tulemus suureneb proportsionaalselt. Meie näites korrutage 16 4-ga. Nii:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\ kuvastiil 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\ kuvastiil 16 * 4 = 64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\ kuvastiil 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\ kuvastiil 64 * 4 = 256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\ kuvastiil 4 ^ (5) = 256 * 4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\ displaystyle 256 * 4 = 1024)
   • Jätkake kahe esimese arvu korrutamist järgmise numbriga, kuni saate lõpliku vastuse. Selleks korrutage kaks esimest arvu ja seejärel korrutage tulemus jada järgmise arvuga. See meetod kehtib mis tahes kraadi jaoks. Meie näites peaksite saama: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\ kuvastiil 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Lahendage järgmised ülesanded. Kontrolli vastust kalkulaatoriga.

   • 8 2 (\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\ displaystyle 10 ^ (7))

3. Leidke kalkulaatorist võti sildiga "exp" või " x n (\ kuvastiil x ^ (n))", Või" ^ ". Selle võtmega tõstate arvu astmeni. Suure eksponendiga kraadi käsitsi arvutamine on peaaegu võimatu (näiteks kraadi 9 15 (\ displaystyle 9 ^ (15))), kuid kalkulaator saab selle ülesandega hõlpsalt hakkama. Windows 7-s saab standardse kalkulaatori lülitada insenerirežiimi; selleks vajuta "View" -> "Engineering". Tavarežiimile lülitumiseks klõpsake "View" -> "Normal".

   • Kontrollige saadud vastust otsingumootori (Google või Yandex) abil... Sisestage oma arvuti klaviatuuri klahvi "^" abil väljend otsingumootorisse, mis kuvab kohe õige vastuse (ja võib-olla soovitab uurida sarnaseid väljendeid).

   Astmete liitmine, lahutamine, korrutamine

   1. Saate kraade liita ja lahutada ainult siis, kui neil on samad alused. Kui teil on vaja astmeid lisada samade aluste ja astendajatega, saate liitmistehte asendada korrutustehtega. Näiteks väljendit arvestades 4 5 + 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... Pea meeles, et kraad 4 5 (\ displaystyle 4 ^ (5)) saab kujutada kui 1 ∗ 4 5 (\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); seega, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ kuvastiil 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) = 2 * 4 ^ (5))(kus 1 +1 = 2). See tähendab, et loendage selliste kraadide arv ja seejärel korrutage see aste ja see arv. Meie näites tõstke 4 viienda astmeni ja seejärel korrutage tulemus 2-ga. Pidage meeles, et liitmistehte saab asendada näiteks korrutustehtega. 3 + 3 = 2 * 3 (\ kuvastiil 3 + 3 = 2 * 3)... Siin on teisi näiteid.

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ kuvastiil 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ kuvastiil 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5–4 5 + 2 = 2 (\ kuvastiil 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
      • 4 x 2 – 2 x 2 = 2 x 2 (\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))

   2. Kraadide korrutamisel sama alusega nende näitajad liidetakse (baas ei muutu). Näiteks väljendit arvestades x 2 ∗ x 5 (\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5))... Sel juhul peate lihtsalt näitajad liitma, jättes baasi muutmata. Sellel viisil, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ kuvastiil x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7))... Siin on selle reegli visuaalne selgitus:

      Võimsuse tõstmisel võimsuseks indikaatorid korrutatakse. Näiteks antakse kraad. Kuna eksponendid on korrutatud, siis (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ kuvastiil (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2 * 5) = x ^ (10))... Selle reegli mõte on see, et korrutate kraadi (x 2) (\ displaystyle (x ^ (2))) ise viis korda. Nagu nii:

      • (x 2) 5 (\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ kuvastiil (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Kuna alus on sama, lisatakse eksponendid lihtsalt: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ kuvastiil (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) = x ^ (10))

   3. Negatiivse astendajaga astendaja tuleks teisendada murdarvuks (selle pöördastendajaks). Pole tähtis, kui te ei tea, mis on pöördaste. Kui teile antakse kraad negatiivse astendajaga, näiteks 3 - 2 (\ displaystyle 3 ^ (- 2)), kirjutage see aste üles murdosa nimetajasse (pange lugejasse 1) ja muutke astendaja positiivseks. Meie näites: 1 3 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2))))... Siin on teisi näiteid.

      Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende näitajad (baas ei muutu). Jagamine on korrutamise vastand. Näiteks väljendit arvestades 4 4 4 2 (\ displaystyle (\ frac (4 ^ (4))) (4 ^ (2))))... Lahutage nimetajas olev astendaja lugejas olevast astendajast (ära muuda alust). Sellel viisil, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ kuvamisstiil (\ frac (4 ^ (4))) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .

      • Nimetaja kraadi saab kirjutada järgmiselt: 1 4 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ displaystyle 4 ^ (- 2))... Pidage meeles, et murd on negatiivse astendajaga arv (astendaja, avaldis).

   4. Allpool on mõned väljendid, mis aitavad teil õppida võimsusprobleeme lahendama. Esitatud väljendid hõlmavad selle jaotise materjali. Vastuse nägemiseks tõstke lihtsalt esile võrdusmärgi järel olev tühik.

   Ülesannete lahendamine murdosaastendajatega

   Murdarvulise astendajaga astendaja (näiteks) teisendatakse juurtoiminguks. Meie näites: x 1 2 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (2))) = x (\ displaystyle (\ sqrt (x)))... Pole tähtis, milline arv on murdosa astendaja nimetajas. Näiteks, x 1 4 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (4))) on "x" neljas juur, see tähendab x 4 (\ displaystyle (\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Kui eksponendiks on vale murd, saab selle astendaja ülesande lahendamise lihtsustamiseks laiendada kaheks astmeks. See pole keeruline – pidage meeles kraadide korrutamise reeglit. Näiteks antakse kraad. Teisendage selline aste juureks, mille võimsus on võrdne murdosa astendaja nimetajaga, ja seejärel tõstke see juur astmeks, mis on võrdne murdosa astendaja lugejaga. Selleks pidage meeles seda 5 3 (\ displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\ displaystyle ((\ frac (1) (3))) * 5)... Meie näites:

      • x 5 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 = x 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ displaystyle ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Mõnel kalkulaatoril on nupp kraadide arvutamiseks (esmalt peate sisestama baasi, seejärel vajutama nuppu ja seejärel sisestama astendaja). Seda tähistatakse kui ^ või x ^ y.
   3. Pidage meeles, et suvaline arv esimeses astmes on võrdne iseendaga, näiteks 4 1 = 4. (\ displaystyle 4 ^ (1) = 4.) Lisaks võrdub mis tahes arv, mis on korrutatud või jagatud ühega, võrdne iseendaga, näiteks 5 ∗ 1 = 5 (\ kuvastiil 5 * 1 = 5) ja 5/1 = 5 (\ kuvastiil 5/1 = 5).
   4. Arvestage, et astet 0 0 ei eksisteeri (sel astmel pole lahendust). Kui proovite sellist kraadi lahendada kalkulaatoris või arvutis, saate veateate. Kuid pidage meeles, et mis tahes arv nulliastmeni on näiteks 1, 4 0 = 1. (\ kuvastiil 4 ^ (0) = 1.)
   5. Kõrgemas matemaatikas, mis opereerib imaginaarsete arvudega: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\ displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), kus i = (- 1) (\ displaystyle i = (\ sqrt (()) - 1)); e on konstant, mis on ligikaudu võrdne 2,7; a on suvaline konstant. Selle võrdsuse tõestuse võib leida igast kõrgema matemaatika õpikust.

   Hoiatused

   • Eksponenti suurenemisega suureneb selle väärtus tugevalt. Nii et kui vastus tundub teile vale, võib see olla õige. Saate seda kontrollida, joonistades mis tahes eksponentsiaalse funktsiooni, näiteks 2 x.

Negatiivne astendamine on matemaatika üks põhielemente, millega sageli kokku puututakse algebraliste ülesannete lahendamisel. Allpool on üksikasjalik juhend.

Kuidas tõsta negatiivsesse jõudu – teooria

Kui oleme arv tavalise astmega, korrutame selle väärtuse mitu korda. Näiteks 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Negatiivse murruga on vastupidi. Üldvaade vastavalt valemile on järgmine: a -n = 1 / a n. Seega, et tõsta arvu negatiivsesse astmesse, peate jagama ühiku antud arvuga, kuid positiivse astmega.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - näited tavaarvude kohta

Ülaltoodud reeglit silmas pidades lahendame mõned näited.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Vastus: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Vastus on -4 -2 = 1/16.

Aga miks on esimese ja teise näite vastus sama? Fakt on see, et kui negatiivne arv tõstetakse paarisastmeni (2, 4, 6 jne), muutub märk positiivseks. Kui kraad oli ühtlane, siis jäi miinus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kuidas tõsta negatiivse astmeni - numbrid 0-st 1-ni

Tuletage meelde, et kui tõstate arvu vahemikus 0 kuni 1 positiivse astmeni, väheneb väärtus astme suurenedes. Näiteks 0,5 2 = 0,25. 0,25

Näide 3: Arvutage 0,5 -2
Lahendus: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Vastus: 0,5 -2 = 4

Analüüs (toimingute jada):

• Teisenda kümnendkoha 0,5 väärtuseks 1/2. Nii on lihtsam.
  Tõstke 1/2 negatiivse astmeni. 1 / (2) -2. Jagage 1 1 / (2) 2-ga, saame 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Näide 4: Arvutage 0,5 -3
Lahendus: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Näide 5: Arvutage -0,5 -3
Lahendus: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Vastus: -0,5 -3 = -8

4. ja 5. näite põhjal teeme mitmeid järeldusi:

• Positiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 4), mis on tõstetud negatiivse astmeni, ei ole astme ühtlus või veidrus oluline, avaldise väärtus on positiivne. Veelgi enam, mida suurem kraad, seda suurem on väärtus.
• Negatiivse arvu puhul vahemikus 0 kuni 1 (näide 5), mis on tõstetud negatiivse astmeni, ei oma astme ühtlus või veidrus tähtsust, avaldise väärtus on negatiivne. Veelgi enam, mida kõrgem on kraad, seda madalam on väärtus.

Kuidas tõsta negatiivse astmeni – aste murdarvuna

Seda tüüpi avaldised on järgmisel kujul: a -m / n, kus a on tavaline arv, m on astme lugeja, n on astme nimetaja.

Vaatleme näidet:
Arvuta: 8 -1/3

Lahendus (toimingute jada):

• Pidage meeles reeglit arvu tõstmiseks negatiivsesse astmesse. Saame: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Pange tähele, et nimetaja on 8 murdarvuna. Murdvõimsuse arvutamise üldvaade on järgmine: a m / n = n √8 m.
• Seega 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Saame kaheksa kuupjuure, mis on 2. Selle põhjal 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Vastus: 8 -1/3 = 2

Kooliajast teame kõik astmeni tõstmise reeglit: iga astendajaga N on võrdne selle arvu enda N-nda arvu korrutamise tulemusega. Teisisõnu, 7 3 astmeni on 7 korrutatuna endaga kolm korda ehk 343. Teine reegel on see, et mis tahes väärtuse tõstmine astmeni 0 annab ühe ja negatiivse väärtuse tõstmine on tavalise eksponentsimise tulemus. kui see on paaris, ja sama tulemus koos miinusmärgiga, kui see on paaritu.

Reeglid annavad ka vastuse, kuidas tõsta arv negatiivsesse astmesse. Selleks peate indikaatori mooduli järgi koostama vajaliku väärtuse tavapärasel viisil ja seejärel jagama ühiku tulemusega.

Nendest reeglitest selgub, et tegelike ülesannete täitmine suurte koguste kasutamisel nõuab tehnilisi vahendeid. Käsitsi korrutab see maksimaalse arvude vahemiku kuni kakskümmend kolmkümmend ja seejärel mitte rohkem kui kolm kuni neli korda. Rääkimata sellest, et hiljem ühikut tulemusega jagada. Seetõttu ütleme neile, kellel pole käepärast spetsiaalset insenerikalkulaatorit, kuidas tõsta Excelis arv negatiivse astmeni.

Probleemide lahendamine Excelis

Excel võimaldab võimsuse tõstmisega seotud probleemide lahendamiseks kasutada ühte kahest võimalusest.

Esimene on standardse korgimärgiga valemi kasutamine. Sisestage töölehe lahtritesse järgmised andmed:

Samamoodi saate nõutava väärtuse tõsta mis tahes astmeni - negatiivne, murdosa. Järgime neid samme ja vastame küsimusele, kuidas tõsta arv negatiivsesse astmesse. Näide:

Saate parandada = B2 ^ -C2 otse valemis.

Teine võimalus on kasutada valmisfunktsiooni "Degree", mis võtab kaks nõutavat argumenti - number ja indikaator. Selle kasutamise alustamiseks piisab, kui panna mis tahes vabasse lahtrisse võrdusmärk (=), mis näitab valemi algust, ja sisestada ülaltoodud sõnad. Jääb valida kaks toimingus osalevat lahtrit (või määrata konkreetsed numbrid käsitsi) ja vajutada sisestusklahvi. Vaatame mõnda lihtsat näidet.

			Valem	Tulemus
			KRAD (B2; C2)
			KRAD (B3; C3)	0,002915

Nagu näete, pole midagi keerulist selles, kuidas Exceli abil arvu negatiivsesse astmesse ja tavaliseks tõsta. Tõepoolest, selle probleemi lahendamiseks saate kasutada nii tuttavat sümbolit "kork" kui ka programmi sisseehitatud funktsiooni, mida on lihtne meeles pidada. See on kindel pluss!

Liigume edasi keerukamate näidete juurde. Meenutagem reeglit, kuidas arvu tõsta negatiivse murdarvuni, ja näeme, et seda ülesannet on Excelis väga lihtne lahendada.

Murdnäitajad

Lühidalt, murdosa astendajaga arvu arvutamise algoritm on järgmine.

1. Teisendada murdosa astendaja õigeks või valeks murruks.
2. Tõstke meie arv saadud teisendatud murru lugejani.
3. Arvutage juur eelmises lõigus saadud arvust tingimusel, et juure astendaja on esimeses etapis saadud murdosa nimetaja.

Nõus, et isegi väikeste arvude ja tavaliste murdudega töötades võivad sellised arvutused võtta palju aega. Hea, et Exceli tabeliprotsessoril pole vahet, mis numbrit ja millisel määral tõsta. Proovige Exceli töölehel lahendada järgmine näide:

Ülaltoodud reegleid kasutades saate kontrollida ja veenduda, et arvutus on tehtud õigesti.

Artikli lõpus anname valemite ja tulemustega tabeli kujul mitmeid näiteid arvu tõstmisest negatiivsesse astmesse, samuti näiteid murdarvude ja astmetega töötamise kohta.

Näidete tabel

Vaadake oma Exceli töövihiku töölehel järgmisi näiteid. Et kõik õigesti töötaks, peate valemi kopeerimisel kasutama segalinki. Kinnitage tõstetavat numbrit sisaldava veeru number ja mõõtu sisaldava rea ​​number. Teie valem peaks välja nägema umbes selline: "= $ B4 ^ C $ 3".

Arv / kraad

Pange tähele, et positiivsed arvud (isegi mittetäisarvulised) arvutatakse ühegi näitaja puhul probleemideta. Mingeid numbreid täisnäitajateks tõsta pole probleeme. Kuid negatiivse arvu tõstmine murdarvuni osutub teie jaoks veaks, kuna on võimatu järgida meie artikli alguses näidatud reeglit negatiivsete arvude konstrueerimise kohta, kuna paarsus on ainult INTEGRAALI tunnus. number.

Arv tõstetakse võimsusele on arv, mis korrutatakse iseendaga mitu korda.

Negatiivse väärtusega arvu võimsus (a–n) saab defineerida sarnaselt sellele, kuidas määratakse positiivse eksponendiga sama arvu aste (a n) ... Kuid see nõuab ka täiendavat määratlust. Valem on määratletud järgmiselt:

a - n = (1/a n)

Arvude negatiivsete astmete omadused on sarnased positiivse astendajaga astmetega. Esitatud võrrand a m / a n = a m-n võib olla õiglane

« Mitte kusagil, nagu matemaatikas, ei võimalda järelduse selgus ja täpsus inimesel küsimuse ümber vesteldes vastusest kõrvale hiilida.».

A. D. Aleksandrov

juures n rohkem m ja eest m rohkem n ... Võtame näite: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Esiteks peate määrama arvu, mis on kraadi määratlus. b = a (-n) ... Selles näites -n on eksponent, b - nõutav arvväärtus, a - kraadi baas loomuliku arvväärtuse kujul. Seejärel määrake moodul, st negatiivse arvu absoluutväärtus, mis toimib eksponendina. Arvutage näitajana suhtelise absoluutarvu antud arvu võimsus. Kraadi väärtus leitakse, jagades ühe saadud arvuga.

Riis. üks

Mõelge negatiivse murdosaastendajaga arvu astmele. Kujutage ette, et arv a on mis tahes positiivne arv, arvud n ja m - täisarvud. Definitsiooni järgi a võimule tõstetud - on võrdne ühe jagatud positiivse astmega arvuga (joonis 1). Kui arvu astmeks on murd, siis sellistel juhtudel kasutatakse ainult positiivsete astendajatega arve.

Tasub meeles pidada et null ei saa kunagi olla arvu eksponendiks (nulliga jagamise reegel).

Sellise mõiste nagu arv levikust on saanud sellised manipulatsioonid nagu mõõtmisarvutused, aga ka matemaatika kui teaduse areng. Negatiivsete väärtuste kasutuselevõtt oli tingitud algebra arengust, mis andis aritmeetikaülesannetele üldised lahendused, sõltumata nende konkreetsest tähendusest ja esialgsetest arvandmetest. Indias kasutati 6.–11. sajandil probleemide lahendamisel süstemaatiliselt numbrite negatiivseid väärtusi ja neid tõlgendati samamoodi nagu tänapäeval. Euroopa teaduses hakati negatiivseid arve laialdaselt kasutama tänu R. Descartes'ile, kes andis negatiivsetele arvudele kui segmentide suundadele geomeetrilise tõlgenduse. Descartes tegi ettepaneku määrata astmeks tõstetud arv, mis kuvatakse kahekorruselise valemina a n .

Jõuvalemid kasutatakse keeruliste avaldiste redutseerimisel ja lihtsustamisel, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on an n-arvu aste a millal:

Tehted kraadidega.

1. Korrutades kraadid sama baasiga, saadakse nende näitajad kokku:

olenA n = a m + n.

2. Sama alusega kraadide jaotuses lahutatakse nende näitajad:

3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Murru võimsus võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a / b) n = a n / b n.

5. Kraadi tõstmisel kraadini korrutatakse eksponendid:

(a m) n = a m n.

Kõik ülaltoodud valemid kehtivad vasakult paremale ja vastupidi.

näiteks. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Juuroperatsioonid.

1. Mitme teguri korrutise juur on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Seose juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab, kui tõsta juurarv sellele astmele:

4. Kui suurendate juure astet nüks kord ja samal ajal sisse ehitada n-juurarvu astmes, siis juurväärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure astet n eemaldage juur üks kord ja samal ajal n-radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei muutu:

Kraad negatiivse astendajaga. Mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu võimsus on defineeritud kui ühik, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne mittepositiivse astendaja absoluutväärtusega:

Valem olen: a n = a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka kl m< n.

näiteks. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Nii et valem olen: a n = a m - n muutus õiglaseks, kui m = n, on vajalik nullkraadi olemasolu.

Null hinne. Iga nullist erineva arvu nullastendajaga aste võrdub ühega.

näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Murdastendaja. Reaalarvu püstitamiseks a kraadini m / n, peate juure ekstraheerima n-th aste m-selle arvu aste a.