Viimeisessä video -opetusohjelmassa opimme, että tietyn kannan aste on ilmaisu, joka on kannan tulos itsestään, eksponentin verran. Tutkitaan nyt joitain tärkeimmistä ominaisuuksista ja tehotoiminnoista.

Kerrotaan esimerkiksi kaksi eri tehoa samalla kantalla:

Esittelemme tämän työn kokonaisuudessaan:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Kun olemme laskeneet tämän lausekkeen arvon, saamme luvun 32. Toisaalta, kuten voidaan nähdä samasta esimerkistä, 32 voidaan esittää saman emäksen (kaksi) tulona 5 kertaa. Ja todellakin, jos lasket, niin:

On siis turvallista päätellä, että:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Tämä sääntö toimii hyvin kaikista mittareista ja mistä tahansa syystä. Tämä asteen kertominen johtuu säännöstä, jonka mukaan lausekkeiden arvo säilytetään tuotteen muutosten aikana. Minkä tahansa emäksen a osalta kahden lausekkeen (a) x ja (a) y tulo on yhtä suuri kuin a (x + y). Toisin sanoen, kun tuotetaan mitä tahansa lausekkeita, joilla on sama perusta, lopullisella monomiaalilla on kokonaisaste, joka muodostuu lisäämällä ensimmäisen ja toisen lausekkeen aste.

Esitetty sääntö toimii myös hyvin, kun kerrotaan useita lausekkeita. Pääedellytys on, että perusteet kaikille ovat samat. Esimerkiksi:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

On mahdotonta lisätä tutkintoja ja todellakin toteuttaa vallan ja oikeuden yhteisiä toimia, joissa on kaksi ilmaisua, jos niiden perusteet ovat erilaiset.
Kuten videomme osoittaa, kertolasku- ja jakoprosessien samankaltaisuuden vuoksi tuotteen tehon lisäämistä koskevat säännöt siirretään täydellisesti jakoprosessiin. Harkitse tätä esimerkkiä:

Tehdään lausekkeesta termitiedot täyteen muotoonsa ja vähennetään samoja osinkoja osingossa ja jakajassa:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Tämän esimerkin lopputulos ei ole niin mielenkiintoinen, koska jo ratkaisun aikana on selvää, että lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin kahden neliö. Ja se on kaksi, joka saadaan vähentämällä toisen lausekkeen teho ensimmäisen voimasta.

Jakajan asteen määrittämiseksi on tarpeen vähentää jakajan aste osingon asteesta. Sääntö toimii samalla pohjalla kaikille arvoilleen ja kaikille luonnollisille asteille. Abstraktiona meillä on:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nollaasteen määritelmä seuraa sääntöstä, jonka mukaan samat perusteet jaetaan asteilla. Ilmeisesti seuraava ilmaisu on:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Toisaalta, jos teemme jaon visuaalisemmin, saamme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Kun pienennät murtoluvun kaikkia näkyvät elementit, saadaan aina lauseke 1/1 eli yksi. Siksi on yleisesti hyväksytty, että mikä tahansa nollatehoon nostettu kanta on yhtä:

Riippumatta a: n arvosta.

On kuitenkin järjetöntä, jos 0 (millä tahansa kertoimella antaja on edelleen 0) on jotenkin yhtä kuin yksi, joten muodon (0) 0 (nollasta nollaan) lauseke ei yksinkertaisesti ole järkevä, ja kaava (a) 0 = 1 lisää ehto: "jos a ei ole yhtä kuin 0".

Ratkaistaan ​​harjoitus. Selvitetään lausekkeen arvo:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Koska perusta on sama kaikkialla ja yhtä suuri kuin 34, kokonaisarvolla on sama perusaste tutkinnon kanssa (yllä olevien sääntöjen mukaisesti):

Toisin sanoen:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Vastaus: lauseke on yhtä kuin yksi.

Oppitunti aiheesta: "Asteiden kertomisen ja jakamisen säännöt samoilla ja eri indikaattoreilla. Esimerkkejä"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita. Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit Integral -verkkokaupassa luokalle 7
Oppikirjan opas Yu.N. Makarycheva -oppikirja A.G. Mordkovich

Oppitunnin tarkoitus: oppia suorittamaan toimintoja lukuvoimalla.

Muistetaan aluksi käsite "luvun aste". Lauseke, kuten $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $, voidaan esittää muodossa $ a ^ n $.

Päinvastoin: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Tätä tasa -arvoa kutsutaan "asteen merkitsemiseksi tuotteeksi". Se auttaa meitä määrittämään asteiden kertomisen ja jakamisen.
Muistaa:
a Onko tutkinnon perusta.
n- eksponentti.
Jos n = 1 siis numero a kesti kerran ja vastaavasti: $ a ^ n = 1 $.
Jos n = 0, sitten $ a ^ 0 = 1 $.

Miksi näin tapahtuu, voimme selvittää, kun tutustumme vallan kertomisen ja jakamisen sääntöihin.

Kertosäännöt

a) Jos tehot, joilla on sama perusta, kerrotaan.
Kirjoita $ a ^ n * a ^ m $: lle asteet tuotteeksi: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ ( m) dollaria.
Kuvasta näkyy, että numero a ovat ottaneet n + m kertaa, sitten $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Esimerkki.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Tätä ominaisuutta on kätevä käyttää yksinkertaistamaan työtä, kun numero nostetaan suureksi.
Esimerkki.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jos asteet kerrotaan eri perusteilla, mutta samalla eksponentilla.
Kirjoita $ a ^ n * b ^ n $: lle asteet tuotteena: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) dollaria.
Jos vaihdamme kertoimet ja laskemme tuloksena olevat parit, saamme: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Näin ollen $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Esimerkki.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Jakosäännöt

a) Tutkinnon perusta on sama, indikaattorit ovat erilaisia.
Harkitse eksponentin jakamista suuremmalla eksponentilla jakamalla eksponentti pienemmällä eksponentilla.

Joten se on välttämätöntä $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, missä n> m.

Kirjoitetaan tehot murto -osana:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Kätevyyden vuoksi kirjoitamme jaon yksinkertaisena murto -osana.

Peruuta nyt murto -osa.

Osoittautuu: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Tarkoittaa, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Tämä ominaisuus auttaa selittämään tilanteen, kun numero nostetaan nollatehoon. Oletetaan, että n = m, sitten $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Esimerkkejä.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Tutkinnon perusteet ovat erilaiset, indikaattorit ovat samat.
Oletetaan, että tarvitset $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Kirjoitetaan numeroiden tehot murto -osaan:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Kätevyyden vuoksi kuvitellaan.

Käyttämällä murtolukujen ominaisuutta jaamme suuren murto -osan pienien tuloksi.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
Näin ollen: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Esimerkki.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Ensimmäinen taso

Aste ja sen ominaisuudet. Kattava opas (2019)

Miksi tutkintoja tarvitaan? Missä niistä on sinulle hyötyä? Miksi sinun on käytettävä aikaa niiden tutkimiseen?

Jos haluat oppia kaiken tutkintoista, mitä ne ovat, kuinka käyttää tietämystäsi jokapäiväisessä elämässä, lue tämä artikkeli.

Ja tietysti tutkintojen tuntemus tuo sinut lähemmäksi OGE: n tai USE: n onnistunutta läpäisemistä ja unelmiesi yliopistoon pääsyä.

Mennään ... (Mennään!)

Tärkeä muistiinpano! Jos kaavojen sijaan näet paskaa, tyhjennä välimuisti. Voit tehdä tämän painamalla CTRL + F5 (Windows) tai Cmd + R (Mac).

ENSIMMÄINEN TASO

Eksponointi on sama matemaattinen operaatio kuin yhteenlasku, vähennys, kertolasku tai jako.

Nyt selitän kaiken inhimillisellä kielellä hyvin yksinkertaisilla esimerkeillä. Kiinnittää huomiota. Esimerkit ovat alkeellisia, mutta ne selittävät tärkeitä asioita.

Aloitetaan lisäyksellä.

Ei ole mitään selitettävää. Tiedät jo kaiken: meitä on kahdeksan. Jokaisessa on kaksi pulloa kolaa. Kuinka paljon colaa on? Aivan oikein - 16 pulloa.

Nyt kertolasku.

Sama cola -esimerkki voidaan kirjoittaa eri tavalla :. Matemaatikot ovat taitavia ja laiskoja ihmisiä. He huomaavat ensin joitain malleja ja keksivät sitten tavan laskea ne nopeasti. Meidän tapauksessamme he huomasivat, että jokaisella kahdeksalla ihmisellä oli sama määrä cola -pulloja, ja he keksivät kertolaskun. Samaa mieltä, sen katsotaan olevan helpompaa ja nopeampaa kuin.

Joten laskeaksesi nopeammin, helpommin ja ilman virheitä sinun tarvitsee vain muistaa kertotaulu... Voit tietysti tehdä kaiken hitaammin, vaikeammin ja virhein! Mutta…

Tässä on kertolasku. Toistaa.

Ja toinen, kauniimpi:

Mitä muita älykkäitä laskentatemppuja laiskat matemaatikot ovat keksineet? Aivan - nostaa numeron valtaan.

Numeron nostaminen tehoon

Jos sinun täytyy kertoa luku itse viisi kertaa, niin matemaatikot sanovat, että sinun on nostettava tämä luku viidenteen asteeseen. Esimerkiksi, . Matemaatikot muistavat, että kaksi viidenteen asteeseen on. Ja he ratkaisevat tällaiset ongelmat mielessään - nopeammin, helpommin ja ilman virheitä.

Sinun tarvitsee vain tehdä Muista, mitä numeroiden voimataulukossa on korostettu... Usko minua, tämä helpottaa elämääsi paljon.

Muuten, miksi toista astetta kutsutaan neliö- numerot ja kolmas - kuutio? Mitä se tarkoittaa? Se on erittäin hyvä kysymys. Nyt sinulla on sekä neliöitä että kuutioita.

Elämän esimerkki # 1

Aloitetaan neliöstä tai luvun toisesta voimasta.

Kuvittele neliömetrinen uima-allas. Uima -allas on maalaistalossasi. On kuuma ja haluan todella uida. Mutta ... allas ilman pohjaa! Altaan pohja on peitettävä laattoilla. Kuinka monta laattaa tarvitset? Tämän määrittämiseksi sinun on tiedettävä altaan pohjan alue.

Voit yksinkertaisesti laskea sormellasi, että altaan pohja koostuu metrikohtaisista kuutioista. Jos sinulla on laatta metriä metrillä, tarvitset kappaleita. Se on helppoa ... Mutta missä olet nähnyt tällaisia ​​laattoja? Laatta on todennäköisimmin cm x cm, ja sitten sinua vaivaa "sormien määrä". Sitten sinun on moninkertaistettava. Joten altaan pohjan toiselle puolelle asennamme laatat (kappaleet) ja toiselle myös laatat. Kerrottuna, saat laatat ().

Oletko huomannut, että kerroimme saman luvun itse määrittääksemme altaan pohjan alueen? Mitä se tarkoittaa? Kun sama luku on kerrottu, voimme käyttää "eksponentiaatio" -tekniikkaa. (Tietenkin, kun sinulla on vain kaksi numeroa, voit silti kertoa ne tai nostaa ne tehoksi. Mutta jos niitä on paljon, niin korottaminen tehoon on paljon helpompaa ja laskelmissa on myös vähemmän virheitä. tentti, tämä on erittäin tärkeää).
Joten kolmekymmentä toisessa asteessa on (). Tai voit sanoa, että kolmekymmentä neliötä on. Toisin sanoen luvun toinen teho voidaan aina esittää neliönä. Päinvastoin, jos näet neliön, se on AINA luvun toinen teho. Neliö edustaa luvun toista voimaa.

Tosielämän esimerkki # 2

Tässä on sinulle tehtävä, laske kuinka monta neliötä shakkilaudalla on käyttämällä numeron neliötä ... Solujen toisella puolella ja myös toisella. Jos haluat laskea niiden määrän, sinun on kerrottava kahdeksan kahdeksalla tai ... jos huomaat, että shakkilauta on neliö, jossa on sivu, voit neliön kahdeksan. Saat soluja. () Niin?

Tosielämän esimerkki nro 3

Nyt kuutio tai luvun kolmas teho. Sama allas. Mutta nyt sinun on selvitettävä, kuinka paljon vettä on kaadettava tähän altaaseen. Sinun on laskettava äänenvoimakkuus. (Tilavuudet ja nesteet mitataan muuten kuutiometreinä. Yllättävää, eikö?) Piirrä allas: pohja on metrin kokoinen ja metrin syvä ja yritä laskea kuinka monta kuutiometriä metriin tulee altaaseesi.

Osoita sormeasi ja laske! Yksi, kaksi, kolme, neljä ... kaksikymmentä kaksi, kaksikymmentä kolme ... Kuinka paljon siitä tuli? Ei kadonnut? Onko vaikea laskea sormella? Jotta! Ota esimerkki matemaatikoilta. He ovat laiskoja, joten he huomasivat, että altaan tilavuuden laskemiseksi sinun on kerrottava sen pituus, leveys ja korkeus toisillaan. Meidän tapauksessamme altaan tilavuus on yhtä suuri kuin kuutiot ... Helpompaa, eikö?

Kuvittele nyt kuinka laiskoja ja ovelia matemaatikkoja on, jos he yksinkertaistavat myös tätä. He pienensivät kaiken yhdeksi teoksi. He huomasivat, että pituus, leveys ja korkeus ovat yhtä suuret ja että sama luku kerrotaan itsestään ... Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että voit hyödyntää tutkintoa. Joten mitä kerran laskit sormellasi, he tekevät yhdellä toiminnolla: kolme kuutiossa on yhtä suuri. Se on kirjoitettu näin :.

Se vain jää muista astetaulukko... Ellet tietysti ole yhtä laiska ja ovela kuin matemaatikot. Jos haluat tehdä töitä ja tehdä virheitä, voit jatkaa laskemista sormella.

No, lopuksi vakuuttaakseni teidät siitä, että tutkinnot keksivät joutilaat ja ovelat ihmiset ratkaisemaan elämänongelmansa eikä luomaan ongelmia teille, tässä on vielä pari esimerkkiä elämästä.

Elämän esimerkki nro 4

Sinulla on miljoona ruplaa. Jokaisen vuoden alussa ansaitset miljoonan jokaisesta miljoonasta. Toisin sanoen jokainen miljoonasi vuoden alussa kaksinkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuosiin? Jos istut nyt ja ”lasket sormellasi”, olet erittäin ahkera ihminen ja .. tyhmä. Mutta todennäköisesti annat vastauksen muutamassa sekunnissa, koska olet fiksu! Niinpä ensimmäisenä vuonna - kaksi kertaa kaksi ... toisena vuonna - tapahtui vielä kaksi, kolmannena vuonna ... Lopeta! Huomasit, että luku kerrotaan itsestään kerran. Joten kaksi viidenteen valtaan on miljoona! Kuvittele nyt, että sinulla on kilpailu ja ne miljoonat saavat se, joka laskee nopeammin ... Onko syytä muistaa numeroasteet, mitä mieltä olet?

Elämän esimerkki nro 5

Sinulla on miljoona. Jokaisen vuoden alussa ansaitset kaksi lisää miljoonasta. Hienoa, eikö? Jokainen miljoona kolminkertaistuu. Paljonko sinulla on rahaa vuosiin? Lasketaan. Ensimmäinen vuosi - kerro kerralla, sitten tulos toisella ... Se on jo tylsää, koska olet jo ymmärtänyt kaiken: kolme kertaa kerrotaan itsestään. Neljäs valta on siis miljoona. Sinun tarvitsee vain muistaa, että kolmesta neljään voimaan on tai.

Nyt tiedät, että nostamalla numeron valtaan voit helpottaa elämääsi suuresti. Katsotaanpa, mitä voit tehdä tutkintoilla ja mitä sinun on tiedettävä niistä.

Termit ja käsitteet ... jotta et sekoituisi

Joten määritellään ensin käsitteet. Mitä mieltä sinä olet, mikä on eksponentti? Se on hyvin yksinkertaista - tämä on numero, joka on numeron voiman "yläosassa". Ei tieteellinen, mutta ymmärrettävä ja helppo muistaa ...

No, samaan aikaan sellainen tutkintopohja? Vielä yksinkertaisempi on numero, joka on alareunassa, pohjassa.

Tässä on piirustus varmuuden vuoksi.

Yleisesti ottaen yleistääkseni ja muistaa paremmin ... Tutkinto, jonka perusta "" ja indikaattori "" luetaan "asteeksi" ja kirjoitetaan seuraavasti:

Lukumäärän asteikko luonnollisella eksponentilla

Olet varmaan jo arvannut: koska eksponentti on luonnollinen luku. Kyllä, mutta mikä on luonnollinen luku? Perus! Luonnonluvut ovat numeroita, joita käytetään laskettaessa objektien luetteloinnissa: yksi, kaksi, kolme ... Kun laskemme esineitä, emme sano: "miinus viisi", "miinus kuusi", "miinus seitsemän". Emme myöskään sano: "kolmasosa" tai "nollapiste, viisi kymmenesosaa". Nämä eivät ole luonnollisia lukuja. Mitä numeroita ne mielestäsi ovat?

Numerot, kuten miinus viisi, miinus kuusi, miinus seitsemän, viittaavat kokonaislukuja. Yleensä kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut, luonnollisia numeroita vastakkaiset numerot (eli miinusmerkillä otetut) ja luvun. Nolla on helppo ymmärtää - tämä on silloin, kun mitään ei ole. Mitä negatiiviset ("miinus") numerot tarkoittavat? Mutta ne keksittiin ensisijaisesti osoittamaan velkoja: jos puhelimessasi on ruplaa, se tarkoittaa, että olet operaattorille velkaa.

Kaikki murtoluvut ovat järkeviä lukuja. Miten luulet niiden syntyneen? Erittäin yksinkertainen. Useita tuhansia vuosia sitten esi -isämme havaitsivat, että heiltä puuttui luonnollisia numeroita pituuden, painon, alueen jne. Ja he keksivät järkevät luvut... Mielenkiintoista, eikö totta?

On myös irrationaalisia lukuja. Mitä nämä luvut ovat? Lyhyesti sanottuna ääretön desimaali. Jos esimerkiksi jaat ympyrän kehän sen halkaisijalla, saat irrationaalisen luvun.

Yhteenveto:

Määritellään tutkinnon käsite, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonaisluku ja positiivinen).

1. Mikä tahansa numero ensimmäisellä teholla on yhtä kuin itse:
2. Neliön neliöiminen tarkoittaa sen kertomista itsekseen:
3. Numeron kuutioiminen on kertoa se itsestään kolme kertaa:

Määritelmä. Numeron nostaminen luonnonvoimaan tarkoittaa luvun kertomista itse kertaa:
.

Teho -ominaisuudet

Mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Näytän sinulle nyt.

Katsotaan: mikä on ja ?

A-palkinto:

Kuinka monta tekijää on yhteensä?

Se on hyvin yksinkertaista: lisäsimme kertoimet kertoimiin, ja kokonaismäärä on kertoimia.

Mutta määritelmän mukaan se on luvun aste, jolla on eksponentti, toisin sanoen todistettavaksi.

Esimerkki: Yksinkertaista lauseketta.

Ratkaisu:

Esimerkki: Yksinkertaista lauseketta.

Ratkaisu: On tärkeää huomata, että meidän sääntömme välttämättä täytyy olla samat perusteet!
Siksi yhdistämme astetta pohjaan, mutta se on edelleen erillinen tekijä:

vain astetulokseen!

Missään tapauksessa et voi kirjoittaa sitä.

2. se on -luvun voima

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrymme tutkinnon määritelmään:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsestään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun numero:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "indikaattorin haarukoimiseksi". Mutta sinun ei pitäisi koskaan tehdä tätä yhteensä:

Muistetaan lyhennettyjä kertolaskukaavoja: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa?

Mutta tämä ei ole totta.

Aste negatiivisella pohjalla

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, minkä eksponentin pitäisi olla.

Mutta mikä pitäisi olla perusta?

Asteissa kanssa luonnollinen indikaattori perusta voi olla mikä tahansa numero... Itse asiassa voimme kertoa kaikki luvut toisillemme, olivatpa ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa.

Mietitäänpä, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisia ja negatiivisia lukuja?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ? Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisillemme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiivinen on hieman mielenkiintoisempaa. Loppujen lopuksi muistamme yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus miinuksella antaa plussan". Eli, tai. Mutta jos kerrotaan, se toimii.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hallitsitko?

Tässä ovat vastaukset: Neljä ensimmäistä esimerkkiä, toivottavasti kaikki on selvää? Katsomme vain kantta ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: sillä ei ole väliä, mikä pohja on yhtä suuri - aste on tasainen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen.

No, ellei pohja ole nolla. Perusta ei ole tasa -arvoinen, vai mitä? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin helppoa!

6 esimerkkiä koulutettaviksi

Ratkaisun jäsentäminen 6 esimerkkiä

Mitä näemme täällä kahdeksannen asteen lisäksi? Muistamme seitsemännen luokan ohjelman. Muista siis? Tämä on lyhennetyn kertolaskun kaava, nimittäin neliöiden ero! Saamme:

Katsomme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittimen kertoimista, mutta mikä on vialla? Väärä ehtojärjestys. Jos ne käännettäisiin, sääntöä voitaisiin soveltaa.

Mutta miten se tehdään? Se osoittautuu erittäin helpoksi: tasainen nimittäjä auttaa meitä tässä.

Termit ovat maagisesti päinvastaisia. Tämä "ilmiö" soveltuu kaikkiin ilmaisuihin tasapuolisesti: voimme vapaasti muuttaa merkkejä suluissa.

Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja jälleen kaava:

Koko kutsumme niitä vastakkaisia ​​luonnollisia numeroita (eli merkillä "") ja numeroa.

positiivinen kokonaisluku, mutta se ei eroa luonnollisesta, niin kaikki näyttää täsmälleen kuten edellisessä osassa.

Katsotaan nyt joitain uusia tapauksia. Aloitetaan indikaattorilla, joka on yhtä suuri kuin.

Mikä tahansa nollapisteen luku on yhtä:

Kuten aina, kysytään itseltämme kysymys: miksi näin on?

Harkitse jonkin verran perustaa. Otetaan esimerkiksi ja kerrotaan:

Joten, kerroimme luvun, ja saimme saman kuin se oli -. Ja mikä luku sinun pitäisi kertoa, jotta mikään ei muutu? Aivan, jatkoon. Tarkoittaa.

Voimme tehdä saman mielivaltaisella numerolla:

Toistetaan sääntö:

Mikä tahansa nollan asteen luku on yhtä.

Mutta moniin sääntöihin on poikkeuksia. Ja tässä se on myös siellä - tämä on numero (pohja).

Toisaalta sen pitäisi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa aste - riippumatta siitä, kuinka paljon kerrot itse, saat silti nollan, tämä on selvää. Mutta toisaalta, kuten minkä tahansa nollan asteen luvun, sen on oltava yhtä suuri. Joten mikä näistä on totta? Matemaatikot päättivät olla osallistumatta ja kieltäytyivät nostamasta nollaa nollaan. Eli nyt emme voi vain jakaa nollalla, vaan myös nostaa sen nollatehoon.

Mennään pidemmälle. Luonnollisten lukujen ja numeroiden lisäksi negatiiviset luvut kuuluvat kokonaislukuihin. Ymmärtääksemme, mikä on negatiivinen voima, teemme samoin kuin viime kerralla: kerrotaan jokin normaali luku samalla negatiivisella teholla:

Täältä on jo helppo ilmaista etsimäsi:

Laajennamme nyt syntynyttä sääntöä mielivaltaiseen määrään:

Muotoillaan siis sääntö:

Negatiivisen tehon luku on käänteinen positiivisen tehon samaan lukuun. Mutta samaan aikaan pohja ei voi olla nolla:(koska et voi jakaa).

Tehdään yhteenveto:

I. Ilmaisua ei ole määritelty tapauksessa. Jos sitten.

II. Mikä tahansa nollan asteen luku on yhtä :.

III. Luku, joka ei ole nolla, on negatiivisessa tehossa käänteinen samaan lukuun positiivisessa potenssissa :.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

No, ja kuten tavallista, esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta:

Tehtävien analyysi itsenäiseen ratkaisuun:

Tiedän, tiedän, numerot ovat kauheita, mutta tentissä sinun on oltava valmis kaikkeen! Ratkaise nämä esimerkit tai analysoi niiden ratkaisu, jos et pysty ratkaisemaan niitä ja opit selviytymään niistä helposti tentissä!

Jatketaan eksponentiksi "sopivien" numeroiden ympyrän laajentamista.

Harkitse nyt järkevät luvut. Mitä numeroita kutsutaan järkeviksi?

Vastaus: kaikki, mitä voidaan esittää murtoluvuna, missä ja ovat kokonaislukuja.

Ymmärtää mitä on Murtoluku, harkitse murto -osaa:

Nostetaan yhtälön molemmat puolet potenssiin:

Muistakaamme nyt sääntö "Tutkinto aste":

Mikä numero on nostettava voimaan saadakseen?

Tämä muotoilu on th: n juuren määritelmä.

Muistutan teitä: luvun () voiman juuri on luku, joka on korotettuna potenssiin yhtä suuri kuin.

Toisin sanoen th: n tehon juuri on eksponentaation käänteinen toiminta :.

On käynyt ilmi, että. On selvää, että tätä tapausta voidaan laajentaa :.

Lisäämme nyt osoittimen: mikä se on? Vastaus saadaan helposti käyttämällä aste-aste -sääntöä:

Mutta voiko perusta olla mikä tahansa luku? Loppujen lopuksi juuria ei voida poimia kaikista numeroista.

Ei mitään!

Muista sääntö: mikä tahansa parilliseen potenssiin nostettu luku on positiivinen luku. Toisin sanoen, et voi poimia parillisen tason juuria negatiivisista luvuista!

Ja tämä tarkoittaa, että tällaisia ​​lukuja ei voida nostaa murto -osaan tasaisella nimittäjällä, eli ilmaisussa ei ole järkeä.

Entä ilmaisu?

Mutta tässä ongelma syntyy.

Numero voidaan esittää esimerkiksi muina peruutettavina murto -osina, tai.

Ja käy ilmi, että se on olemassa, mutta ei ole olemassa, mutta nämä ovat vain kaksi eri tietuetta samasta numerosta.

Tai toinen esimerkki: kerran, voit kirjoittaa. Mutta jos kirjoitamme indikaattorin muistiin eri tavalla ja saamme jälleen haitan: (eli saimme täysin erilaisen tuloksen!).

Tällaisten paradoksien välttämiseksi harkitsemme vain positiivinen säde murto -eksponentilla.

Niin jos:

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Järkevät eksponentit ovat erittäin hyödyllisiä juurtuneiden lausekkeiden muuntamisessa, esimerkiksi:

5 esimerkkiä koulutettavaksi

Analyysi viidestä harjoitusesimerkistä

Ja nyt se vaikein osa. Nyt analysoimme järjetön arvosana.

Kaikki tutkintojen säännöt ja ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin asteikolla, jolla on järkevä eksponentti, lukuun ottamatta

Itse asiassa irrationaaliset luvut ovat määritelmän mukaan numeroita, joita ei voida esittää murtoluvuina ja joissa ne ovat kokonaislukuja (toisin sanoen irrationaaliset luvut ovat kaikki todellisia lukuun ottamatta järkeviä numeroita).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisella ja järkevällä indikaattorilla, keksimme joka kerta eräänlaisen "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin.

Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku kerrottuna itsestään useita kertoja;

...nollan asteen numero- se on ikään kuin luku kerrottuna itsestään kerran, toisin sanoen sitä ei ole vielä aloitettu kertomaan, mikä tarkoittaa, että numero itse ei ole edes ilmestynyt - tulos on siis vain eräänlainen "tyhjä numero" ", nimittäin numero;

...kokonaisluku negatiivinen eksponentti- ikään kuin tapahtuisi jonkinlainen "käänteinen prosessi", toisin sanoen lukua ei kerrottu itsestään, vaan jaettiin.

Muuten tieteessä käytetään usein tutkintoa, jolla on monimutkainen indikaattori, eli indikaattori ei ole edes todellinen luku.

Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia, sinulla on tilaisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Mihin olemme varmoja, että menet! (jos opit ratkaisemaan tällaisia ​​esimerkkejä :))

Esimerkiksi:

Päätä itse:

Ratkaisujen analyysi:

1. Aloitetaan jo tavanomaisesta säännöstä tehon nostamiseksi tehoksi:

Katso nyt indikaattoria. Muistuttaako hän sinua mistään? Muistamme lyhennetyn kertolaskun, neliöiden eron:

Tässä tapauksessa,

Osoittautuu, että:

Vastaus: .

2. Tuomme murtoluvut eksponentteihin samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Otetaan esimerkiksi:

Vastaus: 16

3. Ei mitään erityistä, käytämme tutkintojen tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

EDISTYNYT TASO

Tutkinnon määrittäminen

Tutkinto on muotoilua :, jossa:

• — tutkinnon perusta;
• - eksponentti.

Aste luonnollisella eksponentilla (n = 1, 2, 3, ...)

Numeron nostaminen luonnontehoon n tarkoittaa luvun kertomista itse kertaa:

Kokonaisluku (0, ± 1, ± 2, ...)

Jos eksponentti on kokonaisuudessaan positiivinen määrä:

Erektio nollaan:

Ilmaisu on rajoittamaton, koska toisaalta jossain määrin - tämä ja toisaalta - mikä tahansa luku asteessa - tämä.

Jos eksponentti on koko negatiivinen määrä:

(koska et voi jakaa).

Jälleen kerran nollista: lauseke on määrittelemätön. Jos sitten.

Esimerkkejä:

Rationaalinen arvosana

• - luonnollinen luku;
• - kokonaisluku;

Esimerkkejä:

Teho -ominaisuudet

Jotta ongelmien ratkaiseminen olisi helpompaa, yritämme ymmärtää: mistä nämä ominaisuudet ovat peräisin? Todistetaan ne.

Katsotaanpa: mikä on ja?

A-palkinto:

Joten tämän ilmaisun oikealla puolella saamme seuraavan tuotteen:

Mutta määritelmän mukaan se on eksponentin omaavan luvun voima, eli:

Q.E.D.

Esimerkki : Yksinkertaista lauseketta.

Ratkaisu : .

Esimerkki : Yksinkertaista lauseketta.

Ratkaisu : On tärkeää huomata, että meidän sääntömme välttämättä on oltava samat perusasiat. Siksi yhdistämme astetta pohjaan, mutta se on edelleen erillinen tekijä:

Toinen tärkeä huomautus: tämä sääntö on - vain astetta!

En missään tapauksessa saa kirjoittaa sitä.

Aivan kuten edellisen ominaisuuden kohdalla, siirrymme tutkinnon määritelmään:

Järjestämme tämän kappaleen uudelleen näin:

Osoittautuu, että lauseke kerrotaan itsestään kerran, eli määritelmän mukaan tämä on luvun numero:

Pohjimmiltaan tätä voidaan kutsua "indikaattorin haarukoimiseksi". Mutta sinun ei pitäisi koskaan tehdä tätä yhteensä :!

Muistetaan lyhennettyjä kertolaskukaavoja: kuinka monta kertaa halusimme kirjoittaa? Mutta tämä ei ole totta.

Tutkinto, jolla on negatiivinen perusta.

Tähän asti olemme keskustelleet vain siitä, miten sen pitäisi olla indeksi tutkinto. Mutta mikä pitäisi olla perusta? Asteissa kanssa luonnollinen indikaattori perusta voi olla mikä tahansa numero .

Itse asiassa voimme kertoa kaikki luvut toisillemme, olivatpa ne sitten positiivisia, negatiivisia tai jopa. Mietitäänpä, millä merkeillä ("" tai "") on positiivisia ja negatiivisia lukuja?

Onko luku esimerkiksi positiivinen vai negatiivinen? A? ?

Ensimmäisen kanssa kaikki on selvää: riippumatta siitä, kuinka monta positiivista lukua kerromme toisillemme, tulos on positiivinen.

Mutta negatiivinen on hieman mielenkiintoisempaa. Loppujen lopuksi muistamme yksinkertaisen säännön kuudennelta luokalta: "miinus miinuksella antaa plussan". Eli, tai. Mutta jos kerromme luvulla (), saamme -.

Ja niin edelleen äärettömyyteen: jokaisen seuraavan kertomisen jälkeen merkki muuttuu. Voit muotoilla yksinkertaisia ​​sääntöjä:

1. jopa aste, - numero positiivinen.
2. Negatiivinen luku korotettu arvoon outo aste, - numero negatiivinen.
3. Positiivinen luku on joka tapauksessa positiivinen luku.
4. Nolla mihin tahansa tehoon on nolla.

Päätä itse, mikä merkki seuraavilla ilmaisuilla on:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hallitsitko? Tässä ovat vastaukset:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Toivon, että neljässä ensimmäisessä esimerkissä kaikki on selvää? Katsomme vain kantta ja eksponenttia ja sovellamme asianmukaista sääntöä.

Esimerkissä 5) kaikki ei myöskään ole niin pelottavaa kuin miltä näyttää: sillä ei ole väliä, mikä pohja on yhtä suuri - aste on tasainen, mikä tarkoittaa, että tulos on aina positiivinen. No, ellei pohja ole nolla. Perusta ei ole tasa -arvoinen, vai mitä? Ilmeisesti ei, koska (koska).

Esimerkki 6) ei ole enää niin yksinkertaista. Tässä sinun on selvitettävä, mikä on vähemmän: tai? Jos muistat sen, käy selväksi, että se tarkoittaa, että pohja on pienempi kuin nolla. Toisin sanoen käytämme sääntöä 2: tulos on negatiivinen.

Ja taas käytämme tutkinnon määritelmää:

Kaikki on tavalliseen tapaan - kirjoitamme asteiden määritelmän ja jaamme ne toisiinsa, jaamme ne pareiksi ja saamme:

Ennen kuin tutkimme viimeistä sääntöä, ratkaistaan ​​muutama esimerkki.

Laske lausekkeiden arvot:

Ratkaisut :

Mitä näemme täällä kahdeksannen asteen lisäksi? Muistamme seitsemännen luokan ohjelman. Muista siis? Tämä on lyhennetyn kertolaskun kaava, nimittäin neliöiden ero!

Saamme:

Katsomme nimittäjää huolellisesti. Se näyttää paljon yhdeltä osoittimen kertoimista, mutta mikä on vialla? Väärä ehtojärjestys. Jos ne vaihdettaisiin, voitaisiin soveltaa sääntöä 3. Mutta miten tämä voidaan tehdä? Se osoittautuu erittäin helpoksi: tasainen nimittäjä auttaa meitä tässä.

Jos kerrot sen, mikään ei muutu, eikö? Mutta nyt käy ilmi seuraava:

Termit ovat maagisesti päinvastaisia. Tämä "ilmiö" soveltuu kaikkiin ilmaisuihin tasapuolisesti: voimme vapaasti muuttaa merkkejä suluissa. Mutta on tärkeää muistaa: kaikki merkit muuttuvat samaan aikaan! Sitä ei voi korvata muuttamalla vain yhtä haittaa, jota emme halua!

Palataanpa esimerkkiin:

Ja jälleen kaava:

Joten nyt viimeinen sääntö:

Miten aiomme todistaa sen? Tietenkin, kuten tavallista: laajennetaan tutkinnon käsitettä ja yksinkertaistetaan:

Nyt avataan kiinnikkeet. Kuinka monta kirjainta tulee? kertaa kertoimilla - miltä se näyttää? Tämä on vain operaation määritelmä kertolasku: oli vain kertoimia. Eli se on määritelmän mukaan luvun aste, jolla on eksponentti:

Esimerkki:

Irrationaalinen arvosana

Keskitason tutkintoja koskevien tietojen lisäksi analysoimme tutkinnon irrationaalisella eksponentilla. Kaikki asteiden säännöt ja ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin asteella, jolla on rationaalinen eksponentti, lukuun ottamatta - loppujen lopuksi irrationaaliset luvut ovat lukuja, joita ei voida esittää murto -osana, missä ja ovat kokonaislukuja (että irrationaaliset luvut ovat kaikki todellisia numeroita lukuun ottamatta järkeviä).

Kun tutkimme tutkintoja luonnollisella, kokonaisella ja järkevällä indikaattorilla, keksimme joka kerta eräänlaisen "kuvan", "analogian" tai kuvauksen tutummin. Esimerkiksi luonnollinen eksponentti on luku kerrottuna itsestään useita kertoja; nolla asteen luku on ikään kuin luku, joka kerrotaan itsestään kerran, toisin sanoen sitä ei ole vielä aloitettu kertomaan, mikä tarkoittaa, että luku itse ei ole edes ilmestynyt - joten tulos on vain "tyhjä numero", nimittäin numero; aste, jolla on kokonaisluku negatiivinen eksponentti, on kuin tietty "käänteinen prosessi" tapahtuisi, toisin sanoen lukua ei kerrottu itsestään, vaan jaettiin.

On erittäin vaikea kuvitella astetta irrationaalisella eksponentilla (aivan kuten on vaikea kuvitella 4-ulotteista tilaa). Pikemminkin se on puhtaasti matemaattinen objekti, jonka matemaatikot loivat laajentaakseen asteen käsitteen koko numerotilaan.

Muuten tieteessä käytetään usein tutkintoa, jolla on monimutkainen indikaattori, eli indikaattori ei ole edes todellinen luku. Mutta koulussa emme ajattele tällaisia ​​vaikeuksia, sinulla on tilaisuus ymmärtää nämä uudet käsitteet instituutissa.

Joten mitä teemme, kun näemme irrationaalisen eksponentin? Yritämme kaikin voimin päästä siitä eroon! :)

Esimerkiksi:

Päätä itse:

1)

2)

3)

Vastaukset:

1. Muistamme kaavan neliöiden erolle. Vastaus:.
2. Tuomme murtoluvut samaan muotoon: joko molemmat desimaalit tai molemmat tavalliset. Saamme esimerkiksi :.
3. Ei mitään erikoista, käytämme tutkintojen tavanomaisia ​​ominaisuuksia:

YHTEENVETO OSASTA JA PERUSKAAVAT

Tutkinto kutsutaan muotoa:, jossa:

Kokonaisluku

astetta, jonka eksponentti on luonnollinen luku (eli kokonainen ja positiivinen).

Rationaalinen arvosana

aste, jonka eksponentti on negatiivinen ja murtoluku.

Irrationaalinen arvosana

asteen, jonka eksponentti on ääretön desimaalimurto tai juuri.

Teho -ominaisuudet

Tutkintojen ominaisuudet.

• Negatiivinen luku korotettu arvoon jopa aste, - numero positiivinen.
• Negatiivinen luku korotettu arvoon outo aste, - numero negatiivinen.
• Positiivinen luku on joka tapauksessa positiivinen luku.
• Nolla on mikä tahansa aste.
• Mikä tahansa nollan asteen luku on yhtä suuri kuin.

NYT SANASI ...

Mitä pidät artikkelista? Kirjoita kommentteihin, pidätkö siitä vai et.

Kerro kokemuksestasi tutkinto -ominaisuuksista.

Ehkä sinulla on kysymyksiä. Tai ehdotuksia.

Kirjoita kommentteihin.

Ja onnea tentteihin!

Jokaisesta aritmeettisesta operaatiosta tulee joskus liian hankala kirjoittaa ja sitä yritetään yksinkertaistaa. Ennen se oli sama lisäystoiminnon kanssa. Ihmisten täytyi suorittaa useita samantyyppisiä lisäyksiä, esimerkiksi laskea sadan persialaisen maton hinta, joista kukin maksaa 3 kultakolikkoa. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Vaikeutensa vuoksi sen uskottiin pienentävän ennätyksen 3 * 100 = 300. Itse asiassa ennätys ”kolme kertaa sata” tarkoittaa, että sinun on otettava sata kolminkertaistetaan ja lisätään yhteen. Kertoaminen juurtui ja sai yleistä suosiota. Mutta maailma ei pysy paikallaan, ja keskiajalla tuli tarpeelliseksi suorittaa useita saman tyyppisiä kertoja. Muistan vanhan intialaisen arvoituksen viisaasta, joka pyysi vehnäpalkkion työstään: hän pyysi yhden viljan shakkilaudan ensimmäiselle neliölle, kaksi toiselle, neljä kolmannelle, kahdeksan viidennelle , ja niin edelleen. Näin ilmestyi ensimmäinen voimien kertolasku, koska rakeiden lukumäärä oli yhtä suuri kuin kaksi solumäärän tehoon. Esimerkiksi viimeisessä solussa olisi 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 rakeita, mikä vastaa 18 merkin pituista lukua, mikä itse asiassa on arvoituksen tarkoitus.

Voimiin nousun toiminta juurtui melko nopeasti, ja nopeasti tuli tarpeelliseksi myös lisätä, vähentää, jakaa ja jakaa voimia. Jälkimmäistä kannattaa harkita tarkemmin. Asteiden lisäämiskaavat ovat yksinkertaisia ​​ja helposti muistettavia. Lisäksi on erittäin helppo ymmärtää, mistä ne tulevat, jos virtatoiminto korvataan kertomalla. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä perus terminologia. Lauseke a ^ b (lue "a b: n tehoon") tarkoittaa, että luku a kerrotaan itsestään b kertaa ja "a" kutsutaan asteen pohjaksi ja "b" kutsutaan tehon eksponentiksi . Jos asteiden perusteet ovat samat, kaavat johdetaan yksinkertaisesti. Konkreettinen esimerkki: etsi lausekkeen 2 ^ 3 * 2 ^ 4 arvo. Jos haluat tietää, mitä pitäisi tapahtua, sinun on selvitettävä vastaus tietokoneelta ennen ratkaisun aloittamista. Kun olet lyönyt tämän ilmauksen mihin tahansa online -laskimeen, hakukoneeseen, kirjoittamalla "asteiden kertolasku eri perusteilla ja samalla" tai matemaattisella paketilla, tulos on 128. Nyt kirjoitetaan tämä lauseke: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 ja 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. On käynyt ilmi, että 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Osoittautuu, että asteiden tulo, joilla on sama perusta, on yhtä suuri kuin kantta, joka on korotettu kahden edellisen asteen summan suuruiseksi.

Saatat ajatella, että tämä on onnettomuus, mutta ei: mikään muu esimerkki voi vain vahvistaa tämän säännön. Yleisesti ottaen kaava näyttää tältä: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). On myös sääntö, että mikä tahansa nollan asteen luku on yhtä. Tässä sinun pitäisi muistaa negatiivisten voimien sääntö: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Eli jos 2 ^ 3 = 8, niin 2 ^ (- 3) = 1/8. Tämän säännön avulla voimme todistaa yhtäläisyyden a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) voidaan peruuttaa ja vain yksi jäljellä. Tästä johdetaan myös sääntö, että samojen kantojen asteiden osamäärä on yhtä suuri kuin tämä perusta asteessa, joka on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan indeksin osamäärä: a ^ n: a ^ m = a ^ ( nm). Esimerkki: Yksinkertaista lauseketta 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Kertolasku on kommutoiva operaatio, joten sinun on ensin lisättävä kertoeksponentit: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Seuraavaksi sinun on käsiteltävä jakautuminen negatiivisella eksponentilla. Osingon indeksistä on vähennettävä osingon indeksi: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1- (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. On käynyt ilmi, että asteen jakaminen negatiivisella asteella on identtinen vastaavan positiivisen eksponentin kertolaskun kanssa. Lopullinen vastaus on siis 8.

On esimerkkejä, joissa astetta ei-kanonisesti kerrota. Asteiden kertominen eri perusteilla on usein paljon vaikeampaa ja joskus jopa mahdotonta. Olisi annettava useita esimerkkejä erilaisista mahdollisista tekniikoista. Esimerkki: yksinkertaista lauseketta 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. On selvää, että on eri kertoimien voimakertoimia. On kuitenkin huomattava, että kaikki emäkset ovat tripletin eri asteita. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Käyttämällä sääntöä (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), sinun tulee kirjoittaa lauseke uudelleen sopivammassa muodossa: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 - 4 + 12-10 + 6) = 3 ^ (11). Vastaus: 3 ^ 11. Tapauksissa, joissa on erilaisia ​​syitä, sääntö a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n toimii yhtäläisille indikaattoreille. Esimerkiksi 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Muussa tapauksessa, kun on olemassa eri perusteet ja indikaattorit, on mahdotonta tehdä täydellistä kertolaskua. Joskus on mahdollista yksinkertaistaa osittain tai turvautua tietotekniikan apuun.