วิธีหามุมแหลมระหว่างเส้นตรง. มุมระหว่างเส้นตรงบนระนาบ

มุมระหว่างเครื่องบิน

พิจารณาสองระนาบα 1 และα 2 ซึ่งกำหนดโดยสมการตามลำดับ:

ภายใต้ มุม ระหว่างระนาบสองระนาบเราหมายถึงหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติกับระนาบα 1 และα 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮิดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุหรือ ... ดังนั้น ... เพราะ และ แล้ว

.

ตัวอย่าง. กำหนดมุมระหว่างระนาบ x+2ย-3z+ 4 \u003d 0 และ 2 x+3ย+z+8=0.

สภาพการขนานกันของเครื่องบินสองลำ

เครื่องบินสองลำα 1 และα 2 ขนานกันถ้าเวกเตอร์ปกติและขนานกันเท่านั้นซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้นระนาบสองลำจะขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ที่พิกัดที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพการตั้งฉากของระนาบ

เป็นที่ชัดเจนว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากและดังนั้นหรือ

ทางนี้, .

ตัวอย่าง.

ตรงไปตรงมาในอวกาศ

สมการเส้นเวกเตอร์

สมการเชิงพารามิเตอร์ของเส้น

ตำแหน่งของเส้นตรงในอวกาศถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุจุดคงที่ใด ๆ ม 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เรียกเวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นตรง แนวทาง เวกเตอร์ของเส้นนี้

ดังนั้นให้มันตรง ล ผ่านจุด ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) นอนบนเส้นตรงขนานกับเวกเตอร์

พิจารณาจุดโดยพลการ ม (x, y, z) บนเส้นตรง ตัวเลขแสดงให้เห็นว่า .

เวกเตอร์และเป็น collinear จึงมีจำนวนดังกล่าว tอะไรคือปัจจัย t สามารถรับค่าตัวเลขใดก็ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด ม บนเส้นตรง ปัจจัย t เรียกว่าพารามิเตอร์ แสดงถึงเวกเตอร์รัศมีของจุด ม 1 และ ม ตามลำดับผ่านและเราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์ สมการของเส้นตรง แสดงว่าสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ t สอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของบางจุด มนอนบนเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปพิกัด สังเกตว่า และจากที่นี่

เรียกสมการที่เป็นผลลัพธ์ พาราเมตริก สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ t เปลี่ยนพิกัด x, ย และ z และจุด ม เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการของคาโนนิกของไดเรค

ให้เป็น ม 1 (x 1 , ย 1 , z 1) เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรง ลและ เป็นเวกเตอร์ทิศทาง ใช้จุดตามอำเภอใจบนเส้นตรงอีกครั้ง ม (x, y, z) และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์และเป็น collinear ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงต้องเป็นสัดส่วนด้วยเหตุนี้

– บัญญัติ สมการเส้นตรง

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถหาได้จากค่าพารามิเตอร์โดยการยกเว้นพารามิเตอร์ t... จากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง. เขียนสมการของเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

เราหมายถึง , จากที่นี่ x = 2 + 3t, ย = –1 + 2t, z = 1 –t.

หมายเหตุ 2. ให้เส้นตรงตั้งฉากกับหนึ่งในแกนพิกัดตัวอย่างเช่นแกน วัว... จากนั้นเวกเตอร์กำกับจะตั้งฉาก วัวด้วยเหตุนี้ ม\u003d 0. ดังนั้นสมการพาราเมตริกของเส้นตรงจึงอยู่ในรูปแบบ

การกำจัดพารามิเตอร์ออกจากสมการ tเราได้สมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตามในกรณีนี้เช่นกันเราตกลงที่จะเขียนสมการของเส้นตรงอย่างเป็นทางการในรูปแบบ ... ดังนั้นถ้าตัวส่วนของเศษส่วนหนึ่งเป็นศูนย์หมายความว่าเส้นตั้งฉากกับแกนพิกัดที่เกี่ยวข้อง

ในทำนองเดียวกันสมการบัญญัติ สอดคล้องกับเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน วัว และ เอ๋ย หรือแกนขนาน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นเป็นเส้นตัดกันของสองแผน

เครื่องบินจำนวนไม่ จำกัด ผ่านแต่ละเส้นตรงในอวกาศ สองคนใด ๆ ที่ตัดกันกำหนดมันในอวกาศ ดังนั้นสมการของเครื่องบินสองลำใด ๆ ที่พิจารณาร่วมกันจึงแสดงถึงสมการของเส้นตรงนี้

โดยทั่วไประนาบที่ไม่ขนานกันสองระนาบที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นตัดกัน สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไป ตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ

ในการสร้างเส้นตรงก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุด วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นกับระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่นจุดตัดกับเครื่องบิน xOy เราได้จากสมการของเส้นตรงการตั้งค่า z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้วเราพบจุด ม 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันการตั้งค่า ย\u003d 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xOz:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรงคุณสามารถไปที่สมการมาตรฐานหรือพาราเมตริกได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องหาจุด ม 1 บนเส้นและเวกเตอร์ทิศทางของเส้น

จุดพิกัด ม 1 จะได้รับจากระบบสมการนี้โดยการกำหนดค่าโดยพลการให้กับหนึ่งในพิกัด ในการหาเวกเตอร์ทิศทางโปรดสังเกตว่าเวกเตอร์นี้ต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติทั้งสอง และ ... ดังนั้นหลังเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง ล เราสามารถนำผลคูณของเวกเตอร์ปกติ:

.

ตัวอย่าง. ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง ไปยังรูปแบบบัญญัติ

หาจุดที่อยู่บนเส้นตรง. ในการดำเนินการนี้เราเลือกพิกัดอย่างใดอย่างหนึ่งโดยพลการตัวอย่างเช่น ย\u003d 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์กำกับจะเป็น

... ดังนั้น ล: .

มุมระหว่างตรง

มุม ระหว่างเส้นตรงในอวกาศเราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันซึ่งเกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดโดยพลการขนานกับข้อมูล

ให้เส้นตรงสองเส้นในอวกาศ:

เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเส้นตรงสามารถนำมาเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางและ ตั้งแต่นั้นมาตามสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เราได้

ฉันจะสั้น ๆ มุมระหว่างเส้นสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นหากคุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a \u003d (x 1; y 1; z 1) และ b \u003d (x 2; y 2; z 2) คุณจะหามุมได้ อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมายในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของคิวบ์เราจึงตั้งค่า AB \u003d 1 แนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดที่จุด A, แกน x, y, z ถูกนำไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 ตอนนี้เราหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นของเรา

ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ AE ในการทำเช่นนี้เราต้องการคะแนน A \u003d (0; 0; 0) และ E \u003d (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 พิกัดจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของจุดสิ้นสุด โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE ตรงกับจุดกำเนิดดังนั้น AE \u003d (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาจัดการกับเวกเตอร์ BF ในทำนองเดียวกันเราแยกวิเคราะห์จุด B \u003d (1; 0; 0) และ F \u003d (1; 0.5; 1) เนื่องจาก F - จุดกึ่งกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1)

ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางพร้อมแล้ว โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางดังนั้นเราจึงมี:

งาน. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จะมีการทำเครื่องหมายจุด D และ E - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างบรรทัด AD และ BE

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุด A แกน x ถูกนำไปตาม AB, z - ตาม AA 1 เรากำหนดทิศทางแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 จงหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการ

ขั้นแรกให้หาพิกัดของเวกเตอร์ AD พิจารณาคะแนน: A \u003d (0; 0; 0) และ D \u003d (0.5; 0; 1) เนื่องจาก D - จุดกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดเราจึงได้ AD \u003d (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาหาพิกัดของเวกเตอร์ พ.ศ. จุด B \u003d (1; 0; 0) เป็นเรื่องง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - มันยากกว่าเล็กน้อย เรามี:

มันยังคงหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จุด K และ L จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AK และ BL

ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: วางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ตรงกลางฐานล่างกำหนดแกน x ตาม FC แกน y ผ่านจุดกึ่งกลางของส่วน AB และ DE และแกน z ขึ้นในแนวตั้ง ส่วนหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1 อีกครั้งให้เราเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เรา:

จุด K และ L คือจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับดังนั้นพิกัดของพวกเขาจะถูกหาโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อรู้จุดเราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้มาหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ใน SABCD พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติขอบทั้งหมดที่มีค่าเท่ากับ 1 จุด E และ F จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของด้าน SB และ SC ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

ขอแนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y จะถูกนำไปตาม AB และ AD ตามลำดับและแกน z จะชี้ขึ้นในแนวตั้ง ส่วนของหน่วยเท่ากับ AB \u003d 1

จุด E และ F คือจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ SB และ SC ตามลำดับดังนั้นพิกัดของพวกเขาจึงถูกพบเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดจบ มาเขียนพิกัดของจุดสนใจให้เรา:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

เมื่อรู้จุดเราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A เป็นจุดกำเนิด มันยังคงหาโคไซน์ของมุม:

คำจำกัดความถ้ากำหนดเส้นตรงสองเส้น y \u003d k 1 x + b 1 ให้ y \u003d k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 \u003d k 2 เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากถ้า k 1 \u003d -1 / k 2

ทฤษฎีบท.เส้นตรง Ax + Vy + C \u003d 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ถ้าС 1 \u003d λСด้วยแสดงว่าเส้นตรงกัน พบพิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นเพื่อแก้ปัญหาระบบสมการของเส้นตรงเหล่านี้

สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นนี้

คำจำกัดความเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y \u003d kx + b แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด

ทฤษฎีบท.หากกำหนดจุด M (x 0, y 0) ระยะทางไปยังเส้นตรง Ax + Vy + C \u003d 0 จะถูกกำหนดเป็น

.

หลักฐาน.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของการตั้งฉากที่หลุดจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถพบได้ในการแก้ปัญหาของระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C \u003d 0,

จากนั้นเราจะได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง... กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง: y \u003d -3 x + 7; y \u003d 2 x + 1

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2; tgφ \u003d ; φ \u003d p / 4

ตัวอย่าง... แสดงว่าเส้นตรง 3x - 5y + 7 \u003d 0 และ 10x + 6y - 3 \u003d 0 ตั้งฉากกัน

การตัดสินใจ... เราพบว่า: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1 ดังนั้นเส้นตรงจึงตั้งฉาก

ตัวอย่าง... กำหนดจุดยอดของสามเหลี่ยม A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ค้นหาสมการสำหรับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

การตัดสินใจ... เราพบสมการของด้าน AB: ; 4 x \u003d 6 ปี - 6;

2 x - 3 y + 3 \u003d 0;

สมการความสูงที่ต้องการคือ: Ax + By + C \u003d 0 หรือ y \u003d kx + b k \u003d. แล้ว y \u003d. เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: ไหน b \u003d 17 รวม:.

คำตอบ: 3 x + 2 y - 34 \u003d 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น สภาพของความขนานและการตั้งฉากของสองเส้น การกำหนดจุดตัดของสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด ก(x 1 , ย 1) ในทิศทางนี้กำหนดโดยความลาดชัน k,

ย - ย 1 = k(x - x 1). (1)

สมการนี้กำหนดดินสอของเส้นที่ผ่านจุด ก(x 1 , ย 1) ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางของลำแสง

2. สมการของเส้นตรงผ่านจุดสองจุด: ก(x 1 , ย 1) และ ข(x 2 , ย 2) เขียนดังนี้:

ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดจะถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง ก และ ข เรียกว่ามุมที่คุณต้องเลี้ยวตรงแรก ก รอบจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนกว่าจะตรงกับเส้นที่สอง ข... ถ้าเส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยสมการที่มีความชัน

ย = k 1 x + ข 1 ,

ย = k 2 x + ข 2 , (4)

จากนั้นมุมระหว่างทั้งสองจะถูกกำหนดโดยสูตร

ควรสังเกตว่าในตัวเศษของเศษส่วนความชันของเส้นตรงแรกจะถูกลบออกจากความชันของเส้นตรงที่สอง

ถ้าสมการของเส้นตรงถูกกำหนดในรูปแบบทั่วไป

ก 1 x + ข 1 ย + ค 1 = 0,

ก 2 x + ข 2 ย + ค 2 = 0, (6)

มุมระหว่างพวกเขาถูกกำหนดโดยสูตร

4. เงื่อนไขสำหรับการขนานของสองบรรทัด:

ก) ถ้าเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ (4) ด้วยความชันเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานของพวกมันคือความเท่ากันของความลาดชัน:

k 1 = k 2 . (8)

b) สำหรับกรณีที่เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความขนานของมันคือค่าสัมประสิทธิ์ที่พิกัดกระแสที่สอดคล้องกันในสมการเป็นสัดส่วนเช่น

5. เงื่อนไขของการตั้งฉากของสองเส้น:

ก) ในกรณีที่เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ (4) ที่มีความชันเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากคือความลาดชันของพวกเขามีขนาดซึ่งกันและกันและตรงข้ามกันในเครื่องหมายเช่น

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนเป็นไฟล์

k 1 k 2 = -1. (11)

b) ถ้าสมการของเส้นตรงถูกกำหนดในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขสำหรับการตั้งฉาก (จำเป็นและเพียงพอ) จะประกอบด้วยการเติมเต็มความเท่าเทียมกัน

ก 1 ก 2 + ข 1 ข 2 = 0. (12)

6. พิกัดของจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้นพบได้โดยการแก้ระบบสมการ (6) เส้นตรง (6) ตัดกันถ้าและต่อเมื่อ

1. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M โดยเส้นหนึ่งขนานและอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด l

อู้ววววววววววววววววววววววววว ดังนั้นเราจะดำเนินการต่อในส่วนแรกฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความฉันจะยังคงร่าเริง

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

กรณีที่ผู้ชมร้องเพลงพร้อมกับคอรัส เส้นตรงสองเส้นสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน:;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว:.

ความช่วยเหลือสำหรับ Dummies : โปรดจำเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของจุดตัดมันจะเป็นเรื่องปกติมาก สัญกรณ์ระบุว่าเส้นนั้นตัดกับเส้นที่จุดใดจุดหนึ่ง

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

เส้นตรงสองเส้นตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนนั่นคือมีจำนวน "แลมด้า" ที่มีความเท่าเทียมกัน

พิจารณาเส้นตรงและสร้างสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน:. มันตามมาจากแต่ละสมการดังนั้นเส้นเหล่านี้จึงตรงกัน

อันที่จริงถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณด้วย -1 (เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ลดลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:.

กรณีที่สองเมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นตรงสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเป็นสัดส่วน: แต่.

ตัวอย่างเช่นพิจารณาสองบรรทัด เราตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตามมันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สามเมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าแลมด้าที่ความเท่าเทียมกันพอใจ

ดังนั้นสำหรับเส้นตรงเราจะสร้างระบบ:

จากสมการแรกเป็นไปตามนั้นและจากสมการที่สอง: ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน (ไม่มีทางแก้ไข) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในปัญหาในทางปฏิบัติคุณสามารถใช้รูปแบบการแก้ปัญหาที่เพิ่งพิจารณา อย่างไรก็ตามมันคล้ายกับอัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับ collinearity ซึ่งเราได้พิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่ใช่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานเวกเตอร์... แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยธรรมมากกว่า:

ตัวอย่าง 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง:

การตัดสินใจ จากการศึกษาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ก) จากสมการเราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง: .

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่เรียงกันเป็นเส้นตรงและเส้นตัดกัน

ในกรณีนี้ฉันจะวางก้อนหินพร้อมตัวชี้ที่ทางแยก:

ส่วนที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วตามต่อไปตรงไปที่ Kashchei the Immortal \u003d)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกันซึ่งหมายความว่าทั้งคู่ขนานกันหรือตรงกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มิแนนต์ที่นี่

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเป็นสัดส่วนในขณะที่

ให้เราค้นหาว่าความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริงหรือไม่:

ทางนี้,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ให้เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้:
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็น collinear เส้นจะขนานกันหรือตรงกัน

ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน "แลมด้า" ไม่ยากที่จะเห็นได้โดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางคอลลิเนียร์ อย่างไรก็ตามสามารถพบได้จากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเอง: .

ทีนี้มาดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ดังนั้น:

ค่าผลลัพธ์เป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใด ๆ ก็ตาม)

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้ไปแล้ว) เพื่อแก้ปัญหาที่พิจารณาด้วยปากเปล่าในเวลาเพียงไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนออะไรสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระมันจะดีกว่าที่จะวางอิฐสำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ไนติงเกลเดอะโม่งลงโทษอย่างหนักเพราะไม่รู้ว่าจะทำอะไรได้ง่ายที่สุด

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ หาเส้นขนานที่ลากผ่านจุด

การตัดสินใจ: ขอหมายถึงจดหมายตรงที่ไม่รู้จัก เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเธอ? เส้นตรงจะผ่านจุด และถ้าเส้นตรงขนานกันจะเห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง "tse" เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง "เด"

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

รูปทรงเรขาคณิตของตัวอย่างดูเรียบง่าย:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) ตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (ถ้าสมการของเส้นไม่เรียบง่ายอย่างเหมาะสมเวกเตอร์จะเรียงกัน)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงตามสมการที่ได้รับหรือไม่

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่ทำได้ง่ายด้วยปากเปล่า ดูสมการสองสมการแล้วพวกคุณหลายคนจะกำหนดความขนานของเส้นตรงได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาดใด ๆ

ตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเองในวันนี้จะสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับบาบายากะและเธอก็รู้ว่าเธอเป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

สร้างสมการของเส้นตรงผ่านจุดขนานกับเส้นตรงถ้า

มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นเหตุเป็นผลและไม่ค่อยมีเหตุผล วิธีที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายของบทเรียน

เราได้ทำงานกับเส้นขนานไปเล็กน้อยแล้วเราจะกลับมาหาพวกเขาในภายหลัง กรณีของเส้นตรงที่ตรงกันนั้นไม่ค่อยน่าสนใจนักดังนั้นให้พิจารณาปัญหาที่คุณรู้จักกันดีจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่งพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ

มากสำหรับคุณ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ไม่รู้จัก เป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน (บ่อยที่สุด) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดกันของเส้น

การตัดสินใจ: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - กราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีกราฟิกคือเพียงแค่วาดเส้นข้อมูลและค้นหาจุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือประเด็นของเรา:. ในการตรวจสอบคุณควรแทนที่พิกัดของมันในแต่ละสมการของเส้นตรงพวกมันควรจะพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งพิกัดของจุดคือทางออกของระบบ โดยทั่วไปเราดูวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้น ด้วยสองสมการสองสิ่งที่ไม่รู้จัก

แน่นอนว่าวิธีกราฟิกนั้นไม่ได้แย่ แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ประเด็นไม่ได้อยู่ที่นักเรียนชั้นปีที่ 7 ตัดสินใจเช่นนั้นประเด็นก็คือต้องใช้เวลาในการวาดภาพที่ถูกต้องและถูกต้อง นอกจากนี้เส้นตรงบางเส้นก็ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะสร้างและจุดตัดอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในสามสิบอาณาจักรนอกแผ่นสมุดบันทึก

ดังนั้นจึงเป็นการสมควรกว่าที่จะมองหาจุดตัดโดยใช้วิธีวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบจึงใช้วิธีการเพิ่มสมการแบบเทอมต่อเทอม เยี่ยมชมบทเรียนเพื่อพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้อง วิธีแก้ระบบสมการ

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดจะต้องเป็นไปตามสมการทุกอย่างในระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นถ้ามันตัดกัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์เงื่อนไขแนะนำสิ่งที่จำเป็น:
1) สร้างสมการของเส้นตรง
2) สร้างสมการของเส้นตรง
3) ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง
4) ถ้าเส้นตัดกันให้หาจุดตัด

การพัฒนาอัลกอริทึมของการกระทำเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตหลาย ๆ อย่างและฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำ ๆ

คำตอบและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทช่วยสอน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่สึกกร่อนเนื่องจากเราไปถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตรงตั้งฉาก ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรกเราได้เรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นนี้และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะหมุน 90 องศา:

จะสร้างเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ หาเส้นตั้งฉากผ่านจุด

การตัดสินใจ: โดยเงื่อนไขเป็นที่ทราบกันดีว่า มันจะเป็นการดีที่จะหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉากเคล็ดลับจึงง่ายมาก:

จากสมการ "ลบ" เวกเตอร์ปกติ: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

ตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิต:

อืม ... ท้องฟ้าสีส้มทะเลสีส้มอูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) นำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ dot product ของเวกเตอร์ เราได้ข้อสรุปว่าเส้นตรงตั้งฉาก:.

อย่างไรก็ตามคุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ง่ายยิ่งขึ้น

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงตามสมการที่ได้รับหรือไม่ .

การตรวจสอบเป็นอีกครั้งที่ง่ายต่อการทำปากเปล่า

ตัวอย่างที่ 7

หาจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และจุด

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันแบบสแตนด์อโลน มีการดำเนินการหลายอย่างในงานดังนั้นจึงสะดวกในการร่างวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด

เบื้องหน้าของเรานั้นเป็นทางตรงของแม่น้ำและหน้าที่ของเราคือต้องไปให้ถึงโดยใช้เส้นทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวางและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดถึงเส้นตรงคือความยาวของเส้นตั้งฉาก

ระยะทางในรูปทรงเรขาคณิตมักแสดงด้วยตัวอักษรกรีก "ro" เช่น - ระยะห่างจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งไปอีกบรรทัด

การตัดสินใจ: สิ่งที่คุณต้องมีคือเสียบตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังและทำการคำนวณ:

ตอบ:

มาดำเนินการวาดภาพ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้นที่พบคือความยาวของเส้นสีแดง หากคุณวาดภาพวาดบนกระดาษตาหมากรุกในขนาด 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

พิจารณางานอื่นสำหรับพิมพ์เขียวเดียวกัน:

ภารกิจคือการค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรง ... ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตัวเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมการแก้ปัญหาด้วยผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้น

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองมีรายละเอียดอยู่ในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง เรารู้พิกัดของตรงกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรสำหรับพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน เราพบ

จะไม่ฟุ่มเฟือยในการตรวจสอบว่าระยะทางเป็น 2.2 หน่วยด้วย

ความยากลำบากในการคำนวณอาจเกิดขึ้นได้ แต่ในหอคอยเครื่องคำนวณขนาดเล็กช่วยได้มากช่วยให้คุณสามารถนับเศษส่วนธรรมดาได้ แนะนำซ้ำจะให้คำแนะนำและอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

หาระยะห่างระหว่างเส้นขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับโซลูชันอิสระ ฉันขอบอกใบ้ให้คุณทราบเล็กน้อย: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหา การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ลองเดาเอาเองดีกว่าฉันคิดว่าความฉลาดของคุณกระจายไปได้ดีทีเดียว

ทำมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมคือวงกบ:


ในรูปทรงเรขาคณิตมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถูกถ่ายเป็นมุมที่เล็กที่สุดซึ่งหมายความโดยอัตโนมัติว่าไม่สามารถป้านได้ ในรูปมุมที่ระบุโดยส่วนโค้งสีแดงไม่ถือเป็นมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาถือว่าเป็นเช่นนั้นหรือ เชิงตรงกันข้าม "Crimson" มุม

ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกันก็สามารถนำมุมทั้ง 4 มุมใดมุมหนึ่งมาเป็นมุมระหว่างพวกเขา

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรกทิศทางของ "การเลื่อน" ของมุมมีความสำคัญพื้นฐาน ประการที่สองมุมเชิงลบจะเขียนด้วยเครื่องหมายลบเช่น if

ทำไมฉันถึงบอกเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าคุณสามารถทำได้ด้วยแนวคิดเรื่องมุมปกติ ความจริงก็คือในสูตรที่เราจะหามุมคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เป็นลบได้อย่างง่ายดายและสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่เลวร้ายไปกว่านี้และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาดสำหรับมุมลบต้องแน่ใจว่าได้ระบุแนวของมันด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร? มีสูตรการทำงานสองสูตร:

ตัวอย่างที่ 10

หามุมระหว่างเส้นตรง

การตัดสินใจ และ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉากแล้ว เชิง สามารถคำนวณมุมระหว่างพวกเขาได้โดยใช้สูตร:

มาใส่ใจกับตัวส่วน - นี่คือตรง ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้าตัวส่วนของสูตรหายไปและเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นตรงตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่มีการจองเกี่ยวกับความไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากข้อมูลข้างต้นคุณสามารถจัดเตรียมโซลูชันได้สองขั้นตอน:

1) คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ดังนั้นเส้นตรงจึงไม่ตั้งฉาก

2) พบมุมระหว่างเส้นตรงโดยสูตร:

การใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้หามุมได้ง่าย ในกรณีนี้เราใช้ความแปลกของอาร์กแทนเจนต์ (ดู. กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน):

ตอบ:

ในคำตอบเราระบุค่าที่แน่นอนรวมทั้งค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งในองศาและในเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ดีลบลบไม่เป็นไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นแนวลบเพราะในคำชี้แจงปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและการ "บิด" ของมุมเริ่มต้นด้วย

ถ้าคุณอยากได้มุมบวกจริงๆคุณต้องสลับเส้นตรงนั่นคือหาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และค่าสัมประสิทธิ์จะถูกนำมาจากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยเส้นตรง .

คำแนะนำ

บันทึก

คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติของแทนเจนต์คือ 180 องศาซึ่งหมายความว่ามุมลาดของเส้นตรงไม่สามารถเกินค่านี้ได้ในค่าสัมบูรณ์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ถ้าความลาดชันเท่ากันมุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเท่ากับ 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวตรงกันหรือขนานกัน

ในการกำหนดค่าของมุมระหว่างการข้ามเส้นตรงจำเป็นต้องย้ายเส้นตรงทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยใช้วิธีการถ่ายโอนแบบขนานก่อนที่จะข้าม หลังจากนั้นคุณควรหาค่าของมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันเป็นผลลัพธ์

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัดสามเหลี่ยมมุมฉากดินสอไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ดังนั้นให้เวกเตอร์ V \u003d (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z \u003d 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติจากนั้นโคไซน์ของมุมαระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: сos α \u003d (a + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่าของมุมเป็นองศาหรือเรเดียนคุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์นั่นคือ โคไซน์ผกผัน: α \u003d arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: ค้นหา มุม ระหว่าง เวกเตอร์ (5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 วิธีแก้ปัญหา: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ปกติของระนาบ N \u003d (2, -5, 3) แทนค่าที่ทราบทั้งหมดเป็นสูตรข้างต้น: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724≈ 0.8 →α \u003d 36.87 °

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เส้นตรงที่มีจุดหนึ่งเหมือนกันกับวงกลมจะสัมผัสกับวงกลม คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของแทนเจนต์คือมันมักจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสนั่นคือแทนเจนต์และรัศมีเป็นเส้นตรง มุม... ถ้าจากจุดหนึ่งเส้นสัมผัสสองเส้นถูกลากไปยังวงกลม AB และ AC พวกมันจะเท่ากัน การกำหนดมุมระหว่างแทนเจนต์ ( มุม ABC) ผลิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำแนะนำ

ในการกำหนดมุมคุณต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดกำเนิดของแทนเจนต์จากจุดศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้นมุม ABO และ ASO จึงเท่ากันรัศมีของ OB เช่น 10 ซม. และระยะทางไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของเส้นสัมผัสตาม สูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB \u003d รากที่สองของ AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;