Viimases videoõpetuses saime teada, et teatud aluse aste on avaldis, mis on aluse produkt iseendal, võetuna eksponendiga võrdses koguses. Uurime nüüd mõningaid olulisemaid omadusi ja jõutoiminguid.

Näiteks korrutame kaks erinevat võimsust sama alusega:

Esitame selle töö täies mahus:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Pärast selle avaldise väärtuse arvutamist saame numbri 32. Teisest küljest, nagu nähtub samast näitest, saab 32 kujutada sama aluse (kahe) korrutisena 5 korda. Ja tõepoolest, kui arvestada, siis:

Seega võib kindlalt järeldada, et:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

See reegel töötab hästi igal mõõdikul ja mis tahes põhjusel. See astme korrutamise omadus tuleneb reeglist, millega säilitatakse väljendite väärtus toote teisenduste ajal. Mis tahes aluse a puhul on kahe avaldise (a) x ja (a) y korrutis võrdne a (x + y). Teisisõnu, kui toodetakse mis tahes sama alusega väljendeid, on lõplikul monoomil koguaste, mis moodustub esimese ja teise avaldise astme liitmisel.

Esitatud reegel töötab suurepäraselt ka mitme avaldise korrutamisel. Peamine tingimus on see, et kõigi põhjused on samad. Näiteks:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

On võimatu lisada kraade ja tõepoolest läbi viia võimuõiguslikke ühisaktsioone kahe väljenduselemendiga, kui nende alused on erinevad.
Nagu meie video näitab, korrutamis- ja jagamisprotsesside sarnasuse tõttu kantakse tootes volituste lisamise reeglid suurepäraselt üle jagamisprotseduurile. Mõelge sellele näitele:

Teeme avaldise tähtajaliselt täies mahus ümber ja vähendame dividendi ja jagaja samu elemente:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Selle näite lõpptulemus pole nii huvitav, sest juba selle lahendamise käigus on selge, et avaldise väärtus on võrdne kahe ruuduga. Ja see on kaks, mis saadakse teise avaldise võimsuse lahutamisega esimese võimsusest.

Jagatise astme määramiseks on vaja dividendi astmest lahutada jagaja aste. Reegel töötab sama alusega kõigi väärtuste ja loomulike kraadide puhul. Abstraktsioonina on meil:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Nullkraadi määratlus tuleneb samade aluste kraadidega jagamise reeglist. Ilmselgelt on järgmine väljend järgmine:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Teisest küljest, kui teeme jaotuse visuaalsemaks, saame:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Murru kõigi nähtavate elementide vähendamisel saadakse alati avaldis 1/1, st üks. Seetõttu on üldiselt aktsepteeritud, et iga nullvõimsusele tõstetud alus võrdub ühega:

Olenemata a väärtusest.

Siiski on absurdne, kui 0 (mis tahes korrutiste korral on andur ikkagi 0) on võrdne ühega, mistõttu vormi (0) 0 (null kuni null kraad) avaldis pole lihtsalt mõttekas ja valem (a) 0 = 1 lisage tingimus: "kui a ei ole võrdne 0".

Lahendame harjutuse. Leiame avaldise väärtuse:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kuna baas on igal pool sama ja võrdne 34, on koguväärtusel kraadiga sama alus (vastavalt ülaltoodud reeglitele):

Teisisõnu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Vastus: avaldis on võrdne ühega.

Õppetund teemal: "Kraadide korrutamise ja jagamise reeglid samade ja erinevate näitajatega. Näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammi poolt kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid veebipoodis Integral 7. klassile
Käsiraamat õpikule Yu.N. Makarycheva käsiraamat õpikule A.G. Mordkovich

Tunni eesmärk: õppida, kuidas sooritada toiminguid arvuvõimsustega.

Alustuseks tuletame meelde mõiste "arvu aste". Sellist avaldist nagu $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ saab esitada kujul $ a ^ n $.

Ka vastupidi: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Seda võrdsust nimetatakse "kraadi kui toote märkimiseks". See aitab meil kindlaks teha, kuidas kraade korrutada ja jagada.
Pidage meeles:
a On kraadi alus.
n- astendaja.
Kui n = 1, seega number a võttis üks kord ja vastavalt: $ a ^ n = 1 $.
Kui n = 0, siis $ a ^ 0 = 1 $.

Miks see juhtub, saame teada, kui tutvume võimude korrutamise ja jagamise reeglitega.

Korrutamise reeglid

a) Kui sama alusega võimud korrutatakse.
$ A ^ n * a ^ m $ jaoks kirjutage kraadid tootena: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ ( m) dollarit.
Joonis näitab, et number a on võtnud n + m korda, siis $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Näide.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Seda omadust on mugav kasutada töö lihtsustamiseks, kui number tõstetakse suurele võimsusele.
Näide.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kui astmed korrutatakse erinevate alustega, kuid sama astendajaga.
$ A ^ n * b ^ n $ jaoks kirjutage kraadid tootena: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) dollarit.
Kui me kordajad vahetame ja saadud paarid kokku loeme, saame: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Seega $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Näide.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Jagunemise reeglid

a) Kraadi alus on sama, näitajad on erinevad.
Kaaluge astendaja jagamist suurema astendajaga, jagades astendaja väiksema astendajaga.

Niisiis, see on vajalik $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, kus n> m.

Kirjutame võimsused murdosa:

$ \ frac (\ alamklamber (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ alumine (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Mugavuse huvides kirjutame jaotuse lihtmurruks.

Nüüd tühistame murdosa.

Selgub: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Tähendab, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

See omadus aitab selgitada olukorda, kui number tõstetakse nulliks. Oletame seda n = m, siis $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Näited.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Kraadi alused on erinevad, näitajad on samad.
Oletame, et vajate $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Kirjutame numbrite võimsused murdosana:

$ \ frac (\ alamklamber (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ alumine (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Mugavuse huvides kujutame ette.

Kasutades murdude omadust, jagame suure murdosa väikeste produktiks, saame.
$ \ alamklamber (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * * frac (a) (b)) _ (n) $.
Vastavalt: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Näide.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Esimene tase

Kraad ja selle omadused. Põhjalik juhend (2019)

Miks on kraadi vaja? Kus need teile kasulikud on? Miks peate nende uurimiseks aega võtma?

Et õppida kõike kraadide kohta, milleks need on mõeldud, kuidas oma teadmisi igapäevaelus kasutada, lugege seda artiklit.

Ja muidugi, teadmised kraadidest viivad teid lähemale OGE või USE edukale läbimisele ja unistuste ülikooli astumisele.

Lähme ... (Lähme!)

Oluline märkus! Kui näete valede asemel jama, tühjendage vahemälu. Selleks peate vajutama klahve CTRL + F5 (Windowsis) või Cmd + R (Macis).

ESIMENE TASE

Eksponentimine on sama matemaatiline toiming nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd selgitan kõike inimkeeles väga lihtsate näidete abil. Pane tähele. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Pole midagi seletada. Te teate juba kõike: meid on kaheksa. Mõlemal on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? See on õige - 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama koola näite võib kirjutada erinevalt :. Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Nad märkavad esmalt mõningaid mustreid ja siis mõtlevad välja viisi, kuidas neid kiiresti “kokku lugeda”. Meie puhul märkasid nad, et igal kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja mõtlesid välja tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Niisiis, kiiremaks, lihtsamaks ja vigadeta lugemiseks peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel... Muidugi saab kõike teha aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laiskad matemaatikud välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine võimule.

Numbri tõstmine võimule

Kui teil on vaja arv korrutada iseenesest viis korda, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on. Ja nad lahendavad selliseid probleeme oma mõtetes - kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on esile toodud numbrite võimsuste tabelis... Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks nimetatakse teist astet ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? See on väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Elu näide 1

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruutmeetrit meetrit basseini. Bassein asub teie maamajas. Kuum on ja tahaks väga ujuda. Aga ... bassein ilma põhjata! Basseini põhi on vaja katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlakstegemiseks peate teadma basseini põhja ala.

Saate lihtsalt sõrmega torgates loendada, et basseini põhja moodustavad meeterhaaval kuubikud. Kui teil on plaatide meeter meetrit, vajate tükke. See on lihtne ... Aga kus sa oled selliseid plaate näinud? Plaat on tõenäolisemalt cm cm. Ja siis piinab teid "sõrmede arv". Siis tuleb korrutada. Niisiis, mahutame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutades, saate plaadid ().

Kas olete märganud, et korrutasime basseini põhja pindala määramiseks sama arvu ise? Mida see tähendab? Kui sama arv on korrutatud, saame kasutada "astendamise" tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks numbrit, saate neid siiski korrutada või võimule tõsta. Aga kui neid on palju, on võimule tõstmine palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu. eksam, see on väga oluline).
Niisiis, teise astme kolmkümmend on (). Või võite öelda, et saab kolmkümmend ruutu. Teisisõnu, arvu teist võimsust saab alati kujutada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI arvu teine ​​võimsus. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide reaalsest elust # 2

Siin on teile ülesanne, loendage, kui palju ruute on malelaual, kasutades numbri ruutu ... Ühel pool lahtreid ja teisel ka. Nende arvu lugemiseks peate kaheksa korrutama kaheksaga või ... kui märkate, et malelaud on küljega ruut, siis saate kaheksa. Saad rakke. () Nii?

Näide tegelikust elust nr 3

Nüüd kuubik ehk numbri kolmas võimsus. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Mahud ja vedelikud, muide, mõõdetakse kuupmeetrites. Üllataval kombel?) Joonistage bassein: põhi on meetri suurune ja meetri sügavune ning proovige arvutada, mitu kuupmeetrit meetri kohta teie basseini siseneb.

Näita sõrmega ja loe! Üks, kaks, kolm, neli ... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm ... Kui palju see välja tuli? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske kokku lugeda? Nii et! Võtke näide matemaatikutelt. Nad on laisad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse korrutama üksteisega. Meie puhul on basseini maht võrdne kuubikutega ... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laiskad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustavad. Nad taandasid kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest ... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, mida te kunagi sõrmega loendasite, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikus on võrdsed. See on kirjutatud nii :.

See jääb alles mäleta kraadide tabelit... Kui sa muidugi pole sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui teile meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võite jätkata näpuga loendamist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid mõtlesid välja jõude ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte aga teie jaoks probleemide loomiseks, siis siin on veel paar näidet elust.

Elu näide nr 4

Teil on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite miljonist miljon. See tähendab, et iga miljon teie aasta alguses kahekordistub. Kui palju raha teil aastate pärast on? Kui sa praegu istud ja “näpuga loendad”, siis oled väga töökas inimene ja .. loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Niisiis, esimesel aastal - kaks korda kaks ... teisel aastal - juhtus veel kaks, kolmandal aastal ... Stopp! Märkasite, et number korrutatakse üks kord iseenesest. Nii et kaks kuni viies võim on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on konkurss ja need miljonid saab kätte see, kes arvutab kiiremini ... Kas tasub meeles pidada numbrikraade, mida arvate?

Elu näide nr 5

Teil on miljon. Iga aasta alguses teenite iga miljoni kohta veel kaks. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aastate pärast on? Loendame. Esimene aasta - korrutage, siis tulemus teisega ... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korda korrutatakse iseenesest. Nii et neljas võim võrdub miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas võim on või.

Nüüd teate, et numbri võimule tõstmisega hõlbustate oma elu oluliselt. Vaatame, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Mõisted ja mõisted ... et mitte segi ajada

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on astendaja? See on väga lihtne - see on number, mis on numbri võimsuse "tipus". Mitte teaduslik, kuid arusaadav ja kergesti meeldejääv ...

Noh, samal ajal see selline kraadibaas? Veelgi lihtsam on number, mis on allosas, põhjas.

Siin on kindel joonis.

Üldiselt, üldistamiseks ja paremaks meeldejätmiseks ... Baasi "" ja indikaatoriga "" kraadi loetakse kui "kraadi" ja see kirjutatakse järgmiselt:

Arvu aste loodusliku astendajaga

Tõenäoliselt arvasite juba: sest eksponent on loomulik arv. Jah, aga mis on loomulik arv? Elementaarne! Loodusarvud on numbrid, mida kasutatakse objektide loendamisel loendamisel: üks, kaks, kolm ... Objekte lugedes ei ütle me: "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse". Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "nullpunkt, viis kümnendikku". Need ei ole looduslikud arvud. Mis arvate, mis numbrid need on?

Numbrid nagu miinus viis, miinus kuus, miinus seitse viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki looduslikke arve, naturaalarvudele vastanduvaid (st miinusmärgiga võetud) numbreid. Nullist on lihtne aru saada - see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on rubla, tähendab see, et olete operaatorile rubla võlgu.

Iga murd on ratsionaalne arv. Mis te arvate, kuidas need tekkisid? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad looduslikud arvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad tulid välja ratsionaalsed numbrid... Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt, lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalse arvu.

Kokkuvõte:

Määratleme astme mõiste, mille astendaja on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga esimese astme arv on endaga võrdne:
2. Arvu ruutmine tähendab selle korrutamist iseenesest:
3. Numbri kuubamine tähendab selle kolmekordset korrutamist:

Määratlus. Numbri loomuliku võimsuseni tõstmine tähendab arvu korrutamist iseendaga:
.

Võimsuse omadused

Kust need omadused tulid? Ma näitan teile nüüd.

Vaatame: mis on ja ?

A-prioriteet:

Mitu tegurit on kokku?

See on väga lihtne: lisasime kordajatele kordajad ja kogusumma on kordaja.

Kuid määratluse järgi on see astme astmega eksponent, see tähendab, nagu on vaja tõestada.

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus:

Näide: Lihtsustage väljendit.

Lahendus: Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peavad olema samad alused!
Seetõttu ühendame kraadid alusega, kuid jääme eraldi teguriks:

ainult kraadide korrutiseks!

Mitte mingil juhul ei saa seda kirjutada.

2. see on -arvu suurus

Nagu eelmise omaduse puhul, pöördugem kraadi määratluse juurde:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseenesest üks kord, see tähendab definitsiooni järgi arvu number kolmas võimsus:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei tohiks seda kunagi teha:

Meenutagem lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda me tahtsime kirjutada?

Kuid see pole ju tõsi.

Negatiivse alusega kraad

Siiani oleme arutanud ainult seda, milline peaks olema eksponent.

Aga mis peaks olema alus?

Kraadides koos loomulik näitaja alus võib olla suvaline number... Tõepoolest, me võime korrutada mis tahes numbreid üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi.

Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude jõud?

Näiteks kas see arv on positiivne või negatiivne? A? ? Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivne on natuke huvitavam. Me ju mäletame lihtsat reeglit 6. klassist: "miinus miinus annab pluss." See tähendab, või. Aga kui me korrutame, siis see toimib.

Otsustage ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Said hakkama?

Siin on vastused: Esimese nelja näite puhul on loodetavasti kõik selge? Me vaatame lihtsalt alust ja astendajat ning rakendame vastavat reeglit.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole oluline, millega alus võrdub - kraad on ühtlane, mis tähendab, et tulemus jääb alati positiivseks.

Noh, kui alus pole null. Vundament pole võrdne, kas pole? Ilmselgelt mitte, sest (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne!

6 näidet treenimiseks

Lahenduse parsimine 6 näidet

Mida me siin näeme peale kaheksanda astme? Meenutame 7. klassi programmi. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus! Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu lugeja üks kordaja, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need tuleks ümber pöörata, saaks reeglit rakendada.

Aga kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: siin aitab meid nimetaja ühtlane aste.

Mõisted on võluväel vastupidised. See "nähtus" on ühtlaselt rakendatav igale väljendile: saame sulgudes olevaid märke vabalt muuta.

Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad korraga!

Tuleme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Terve nimetame neile vastandlikke loomulisi numbreid (st märgiga "") ja numbrit.

positiivne täisarv, kuid see ei erine loomulikust, siis näeb kõik välja täpselt nagu eelmises osas.

Vaatame nüüd mõnda uut juhtumit. Alustame näitajaga, mis on võrdne.

Iga nullkraadi arv on võrdne ühega:

Nagu alati, esitagem endale küsimus: miks see nii on?

Mõelge mingil määral alusega. Võtke näiteks ja korrutage:

Niisiis, korrutasime arvu ja saime sama, mis oli -. Ja mis arvu peaksite korrutama, et midagi ei muutuks? Just, edasi. Tähendab.

Sama võime teha suvalise numbriga:

Kordame reeglit:

Iga nullkraadi arv on võrdne ühega.

Kuid paljudest reeglitest on erandeid. Ja siin on see ka olemas - see on number (alusena).

Ühest küljest peaks see olema võrdne mis tahes astmega - ükskõik kui palju te ise korrutate, saate ikkagi nulli, see on selge. Kuid teisest küljest, nagu iga nullkraadi number, peab see olema võrdne. Milline sellest on siis tõsi? Matemaatikud otsustasid mitte sekkuda ja keeldusid nulli nullist tõstmast. See tähendab, et nüüd ei saa me mitte ainult jagada nulliga, vaid ka tõsta see nullvõimsuseni.

Läheme kaugemale. Negatiivsed arvud kuuluvad lisaks loodusarvudele ja arvudele täisarvudele. Negatiivse võimsuse mõistmiseks teeme sama, mis eelmine kord: korrutage mõni tavaline arv sama negatiivse võimsusega:

Siit on juba lihtne otsitavat väljendada:

Nüüd laiendame saadud reeglit suvalisel määral:

Sõnastame siis reegli:

Negatiivse astme arv on pöördvõrdeline positiivse astme sama arvuga. Aga samas alus ei saa olla null:(sest jagada ei saa).

Teeme kokkuvõtte:

I. Väljendit pole täpsustatud. Kui siis.

II. Iga nullkraadine arv võrdub ühega:.

III. Arv, mis ei ole võrdne nulliga, on negatiivse võimsusega, mis on pöördvõrdeline sama arvuga positiivses astmes :.

Iseseisva lahenduse ülesanded:

Noh, ja nagu tavaliselt, näited sõltumatu lahenduse kohta:

Ülesannete analüüs iseseisvaks lahendamiseks:

Ma tean, ma tean, numbrid on kohutavad, kuid eksamil peate olema valmis kõigeks! Lahendage need näited või analüüsige nende lahendust, kui te ei suutnud neid lahendada ja saate eksamil teada, kuidas nendega hõlpsalt toime tulla!

Jätkame eksponendiks "sobivate" numbrite ringi laiendamist.

Nüüd kaaluge ratsionaalsed numbrid. Milliseid numbreid nimetatakse ratsionaalseteks?

Vastus: kõik, mida saab esitada murdosana, kus ja on täisarvud.

Et mõista, mis on Murdmõte, kaaluge murdosa:

Tõstame võrrandi mõlemad pooled võimsusele:

Tuletagem nüüd meelde reeglit "Kraad kraadini":

Millise numbri tuleb võimule tõsta?

See sõnastus on juure määratlus.

Tuletan meelde: numbri () astme juure juur on arv, mis astmeks tõstmisel on võrdne.

See tähendab, et astme astme juur on astendamise pöördtehe :.

Tuleb välja, et. Ilmselgelt saab seda konkreetset juhtumit pikendada :.

Nüüd lisame lugeja: mis see on? Vastuse saab hõlpsalt astme-kraadi reegli abil:

Kuid kas aluseks võib olla mis tahes number? Juurt ei saa ju kõigist numbritest välja võtta.

Mitte ühtegi!

Pidage meeles reeglit: iga paarisarvuni tõstetud arv on positiivne arv. See tähendab, et negatiivsetest arvudest ei saa ühtlase astme juuri välja tõmmata!

Ja see tähendab, et selliseid numbreid ei saa paarilise nimetajaga murdarvuks tõsta, st väljendil pole mõtet.

Aga ekspressioon?

Kuid siin tekib probleem.

Numbrit saab esitada näiteks muude tühistatavate murdudena või.

Ja tuleb välja, et see on olemas, aga ei eksisteeri, aga need on lihtsalt kaks erinevat sama numbri rekordit.

Või teine ​​näide: üks kord, siis saate kirjutada. Aga kui me kirjutame näitaja teisiti üles ja saame jälle ebameeldivuse: (see tähendab, et saime täiesti erineva tulemuse!).

Selliste paradokside vältimiseks kaalume ainult positiivne raadius koos murdosa astendajaga.

Nii et kui:

• - loomulik arv;
• - täisarv;

Näited:

Ratsionaalsed eksponendid on väga kasulikud juurdunud avaldiste teisendamiseks, näiteks:

5 näidet treenimiseks

Koolituse 5 näite analüüs

Ja nüüd kõige raskem osa. Nüüd analüüsime irratsionaalne hinne.

Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadil, välja arvatud

Tõepoolest, definitsiooni järgi on irratsionaalsed numbrid numbrid, mida ei saa esitada murdosana, kus nad on täisarvud (st irratsionaalsed arvud on kõik tegelikud numbrid, välja arvatud ratsionaalsed).

Loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse näitajaga kraade õppides koostasime iga kord omamoodi "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamalt.

Näiteks looduslik astendaja on arv, mis korrutatakse iseenesest mitu korda;

...nullkraadi number- see on arv, mis korrutatakse iseenesest üks kord, see tähendab, et seda pole veel hakatud korrutama, mis tähendab, et number ise pole isegi ilmunud - seega on tulemus ainult omamoodi "tühi number" ", nimelt number;

...täisarv negatiivne astendaja- justkui toimus mingi "vastupidine protsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseenesest, vaid jagati.

Muide, teaduses kasutatakse sageli keeruka näitajaga kraadi, see tähendab, et näitaja pole isegi pärisarv.

Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

KUS ME OLEME KINDLASTI, KUID SINA LÄHED! (kui õpid selliste näidete lahendamist :))

Näiteks:

Otsustage ise:

Lahenduste analüüs:

1. Alustame juba tavapärasest reeglist võimu tõstmiseks võimule:

Nüüd vaadake indikaatorit. Kas ta tuletab sulle midagi meelde? Meenutame lühendatud korrutamise valemit, ruutude erinevust:

Sel juhul,

Selgub, et:

Vastus: .

2. Toome eksponentides murded samale kujule: kas mõlemad kümnendkohaga või mõlemad tavalised. Võtame näiteks:

Vastus: 16

3. Ei midagi erilist, rakendame tavalisi kraadide omadusi:

EDASIJÕUDNUTE TASE

Kraadi määramine

Kraad on vormi väljendus :, kus:

• — kraadi baas;
• - astendaja.

Kraad loodusliku astendajaga (n = 1, 2, 3, ...)

Numbri tõstmine naturaalseks võimsuseks n tähendab arvu korrutamist iseendaga:

Täisarv (0, ± 1, ± 2, ...)

Kui eksponent on igati positiivne number:

Püstitamine nullini:

Väljend on määramatu, sest ühelt poolt mingil määral - see ja teisest küljest - mis tahes arv kuni astmeni - see.

Kui eksponent on kogu negatiivne number:

(sest jagada ei saa).

Veel kord nullide kohta: väljend on juhuks määratlemata. Kui siis.

Näited:

Ratsionaalne hinne

• - loomulik arv;
• - täisarv;

Näited:

Võimsuse omadused

Probleemide lahendamise hõlbustamiseks proovime mõista: kust need omadused tulid? Tõestame neid.

Vaatame: mis on ja?

A-prioriteet:

Niisiis, selle väljendi paremal küljel saame järgmise toote:

Kuid definitsiooni järgi on see eksponendiga arvu jõud, see tähendab:

Q.E.D.

Näide : Lihtsustage väljendit.

Lahendus : .

Näide : Lihtsustage väljendit.

Lahendus : Oluline on märkida, et meie reeglis tingimata peavad olema samad alused. Seetõttu ühendame kraadid alusega, kuid jääme eraldi teguriks:

Veel üks oluline märkus: see reegel on - ainult kraadide korrutise jaoks!

Ma ei peaks seda mingil juhul kirjutama.

Nagu eelmise omaduse puhul, pöördugem kraadi määratluse juurde:

Korraldame selle osa ümber järgmiselt:

Selgub, et avaldis korrutatakse iseenesest üks kord, see tähendab definitsiooni järgi arvu number kolmas võimsus:

Sisuliselt võib seda nimetada "indikaatori sulgudes". Kuid te ei tohiks seda kunagi kokku teha :!

Meenutagem lühendatud korrutamise valemeid: mitu korda me tahtsime kirjutada? Kuid see pole ju tõsi.

Negatiivse alusega kraad.

Siiani oleme arutanud ainult seda, kuidas see peaks olema indeks kraad. Aga mis peaks olema alus? Kraadides koos loomulik indikaator alus võib olla suvaline number .

Tõepoolest, me võime korrutada mis tahes numbreid üksteisega, olgu need siis positiivsed, negatiivsed või isegi. Mõelgem, millistel märkidel ("" või "") on positiivsete ja negatiivsete arvude jõud?

Näiteks kas see arv on positiivne või negatiivne? A? ?

Esimesega on kõik selge: ükskõik kui palju positiivseid numbreid me üksteisega korrutame, on tulemus positiivne.

Kuid negatiivne on natuke huvitavam. Me ju mäletame lihtsat reeglit 6. klassist: "miinus miinus annab pluss." See tähendab, või. Aga kui korrutame (), saame -.

Ja nii lõpmatuseni: iga järgneva korrutamisega muutub märk. Saate sõnastada sellised lihtsad reeglid:

1. isegi kraad, - number positiivne.
2. Negatiivne arv tõsteti väärtuseni kummaline kraad, - number negatiivne.
3. Positiivne arv on igal juhul positiivne.
4. Null mis tahes võimsusele võrdub nulliga.

Otsustage ise, milline märk on järgmistel väljenditel:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Said hakkama? Siin on vastused:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Esimese nelja näite puhul loodan, et kõik on selge? Me vaatame lihtsalt alust ja astendajat ning rakendame vastavat reeglit.

Näites 5) pole kõik ka nii hirmutav, kui tundub: pole oluline, millega alus võrdub - kraad on ühtlane, mis tähendab, et tulemus jääb alati positiivseks. Noh, kui alus pole null. Vundament pole võrdne, kas pole? Ilmselgelt mitte, sest (sest).

Näide 6) pole enam nii lihtne. Siin peate välja selgitama, mis on vähem: või? Kui mäletate seda, saab selgeks, et see tähendab, et baas on väiksem kui null. See tähendab, et rakendame reeglit 2: tulemus on negatiivne.

Ja jälle kasutame kraadi määratlust:

Kõik on nagu tavaliselt - kirjutame kraadide definitsiooni üles ja jagame need üksteiseks, jagame paarideks ja saame:

Enne viimase reegli uurimist lahendame mõned näited.

Arvutage avaldiste väärtused:

Lahendused :

Mida me siin näeme peale kaheksanda astme? Meenutame 7. klassi programmi. Niisiis, mäletad? See on lühendatud korrutamise valem, nimelt ruutude erinevus!

Saame:

Vaatame hoolikalt nimetajat. See näeb välja nagu lugeja üks kordaja, kuid mis on valesti? Vale terminite järjekord. Kui need vahetataks, saaks rakendada reeglit 3. Aga kuidas seda teha? See osutub väga lihtsaks: siin aitab meid nimetaja ühtlane aste.

Kui see korrutada, ei muutu midagi, eks? Nüüd aga tuleb välja järgmine:

Mõisted on võluväel vastupidised. See "nähtus" on ühtlaselt rakendatav igale väljendile: saame sulgudes olevaid märke vabalt muuta. Kuid on oluline meeles pidada: kõik märgid muutuvad korraga! Seda ei saa asendada ainult ühe puuduse muutmisega, mida me ei taha!

Tuleme tagasi näite juurde:

Ja jälle valem:

Nüüd viimane reegel:

Kuidas me seda tõestame? Muidugi, nagu tavaliselt: laiendame kraadi mõistet ja lihtsustame:

Nüüd avame sulgud. Mitu kirja tuleb? korda kordajate kaupa - kuidas see välja näeb? See pole midagi muud kui operatsiooni määratlus korrutamine: olid ainult kordajad. See tähendab, et see on definitsiooni järgi astme astmeline arv:

Näide:

Irratsionaalne hinne

Lisaks teabele kesktaseme kraadide kohta analüüsime kraadi irratsionaalse eksponendiga. Kõik kraadide reeglid ja omadused on siin täpselt samad, mis ratsionaalse astendajaga kraadil, välja arvatud erand - lõppude lõpuks on irratsionaalsed arvud definitsiooni järgi arvud, mida ei saa esitada murdosana, kus ja on täisarvud (see irratsionaalsed arvud on kõik tegelikud numbrid, välja arvatud ratsionaalsed).

Loodusliku, tervikliku ja ratsionaalse näitajaga kraade õppides koostasime iga kord omamoodi "pildi", "analoogia" või kirjelduse tuttavamalt. Näiteks looduslik astendaja on arv, mis korrutatakse iseenesest mitu korda; arv nullkraadini on nagu arv, mis korrutatakse iseenesest üks kord, see tähendab, et seda pole veel hakatud korrutama, mis tähendab, et number ise pole veel isegi ilmunud - seega on tulemus ainult liik "tühi number", nimelt number; täisarvulise negatiivse astendajaga kraad on justkui teatud "vastupidine protsess", see tähendab, et arvu ei korrutatud iseenesest, vaid jagati.

Irratsionaalse astendajaga kraadi on äärmiselt raske ette kujutada (nagu ka 4-mõõtmelist ruumi on raske ette kujutada). Pigem on see puhtalt matemaatiline objekt, mille matemaatikud lõid, et laiendada astme mõistet kogu numbrite ruumile.

Muide, teaduses kasutatakse sageli keeruka näitajaga kraadi, see tähendab, et näitaja pole isegi reaalne number. Kuid koolis me sellistele raskustele ei mõtle, teil on võimalus instituudis neid uusi kontseptsioone mõista.

Mida me siis teeme, kui näeme irratsionaalset eksponenti? Püüame sellest kõigest väest lahti saada! :)

Näiteks:

Otsustage ise:

1)

2)

3)

Vastused:

1. Meenutame ruutude erinevuse valemit. Vastus:.
2. Toome murded samale kujule: kas mõlemad komakohad või mõlemad tavalised. Saame näiteks :.
3. Ei midagi erilist, rakendame kraadide tavalisi omadusi:

OSA KOKKUVÕTE JA PÕHIVORMID

Kraad nimetatakse vormi väljendiks :, kus:

Täisarv

kraad, mille astendaja on naturaalarv (s.o täis ja positiivne).

Ratsionaalne hinne

kraad, mille astendajaks on negatiivsed ja murdarvud.

Irratsionaalne hinne

kraad, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Võimsuse omadused

Kraadide omadused.

• Negatiivne arv tõsteti väärtuseni isegi kraad, - number positiivne.
• Negatiivne arv tõsteti väärtuseni kummaline kraad, - number negatiivne.
• Positiivne arv on igal juhul positiivne.
• Null on võrdne mis tahes astmega.
• Iga nullkraadine arv on võrdne.

NÜÜD SINU SÕNA ...

Kuidas teile artikkel meeldib? Kirjuta kommentaaridesse, kas sulle meeldib või mitte.

Rääkige meile oma kogemusest kraadide omadustega.

Võib -olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse.

Ja edu eksamitel!

Iga aritmeetiline toiming muutub mõnikord kirjutamiseks liiga tülikaks ja seda püütakse lihtsustada. Varem oli sama ka lisamisoperatsiooniga. Inimestel oli vaja teha mitu sama tüüpi lisamist, näiteks arvutada saja Pärsia vaiba maksumus, millest igaüks maksab 3 kuldmünti. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Oma tülikuse tõttu arvati, et see vähendab rekordi 3 * 100 = 300 -ni. Tegelikult tähendab rekord “kolm korda sada”, et peate võtma sada kolmekordistub ja liidetakse kokku. Korrutamine juurdus ja saavutas üldise populaarsuse. Kuid maailm ei seisa paigal ja keskajal oli vaja läbi viia sama tüüpi mitmekordne korrutamine. Meenub üks vana India mõistatus targa kohta, kes palus oma töö eest preemiaks nisutüki: ta küsis malelaua esimese ruudu eest ühte tera, teist teise, nelja kolmanda, viiendat kaheksa , ja nii edasi. Nii ilmus esimene võimude korrutamine, sest terade arv oli võrdne kahega rakkude arvu võimsusega. Näiteks viimasel lahtril oleks 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 tera, mis võrdub 18 tähemärgi pikkuse arvuga, mis on tegelikult mõistatuse tähendus.

Võimule tõstmise operatsioon juurdus üsna kiiresti ning kiiresti tekkis vajadus teha ka võimude liitmist, lahutamist, jagamist ja korrutamist. Viimast tasub kaaluda üksikasjalikumalt. Kraadide lisamise valemid on lihtsad ja kergesti meeldejäävad. Lisaks on väga lihtne mõista, kust need pärinevad, kui toiteoperatsioon asendatakse korrutamisega. Kuid kõigepealt peate mõistma põhiterminoloogiat. Väljend a ^ b (loe "a astmesse b") tähendab, et arv a tuleks korrutada iseenesest b korda ja "a" nimetatakse astme aluseks ja "b" nimetatakse astmeeksponendiks . Kui kraadide alused on samad, tuletatakse valemid üsna lihtsalt. Konkreetne näide: leidke avaldise 2 ^ 3 * 2 ^ 4 väärtus. Et teada saada, mis peaks välja kujunema, peaksite enne lahenduse alustamist arvutist vastuse uurima. Kui olete selle väljendi haaranud suvalisse veebikalkulaatorisse, otsingumootorisse, sisestades "kraadide korrutamine erinevate alustega ja sama" või matemaatilise paketi, on tulemuseks 128. Nüüd kirjutame selle avaldise: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 ja 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Selgub, et 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Selgub, et sama alusega kraadide korrutis on võrdne alusega, mis on tõstetud võimsuseks, mis on võrdne kahe eelmise kraadi summaga.

Võib arvata, et see on õnnetus, kuid ei: mõni muu näide saab seda reeglit ainult kinnitada. Seega näeb valem üldiselt välja selline: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Samuti kehtib reegel, et mis tahes nullkraadi arv on võrdne ühega. Siin peaksite meeles pidama negatiivsete võimude reeglit: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. See tähendab, et kui 2 ^ 3 = 8, siis 2 ^ (- 3) = 1/8. Selle reegli abil saame tõestada võrdsust a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) saab tühistada ja alles jääb ainult üks. Sellest tuletatakse ka reegel, et samade alustega kraadide jagatis on võrdne selle alusega määral, mis on võrdne dividendi ja jagaja indeksi jagatisega: a ^ n: a ^ m = a ^ ( nm). Näide: lihtsustage avaldist 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Korrutamine on kommuteeriv toiming, seetõttu peate esmalt lisama korrutise astendajad: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Järgmisena peate tegelema negatiivse astendajaga jagamisega. Dividendi indeksist on vaja lahutada jagaja indeks: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1- (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Tuleb välja, et astme negatiivse jagamise operatsioon on identne sarnase positiivse astendajaga korrutamise operatsiooniga. Nii et lõplik vastus on 8.

On näiteid, kus toimub kraanide mittekanooniline korrutamine. Kraadide korrutamine erinevate alustega on väga sageli palju keerulisem ja mõnikord isegi võimatu. Tuleks tuua mitmeid näiteid erinevatest võimalikest tehnikatest. Näide: lihtsustage avaldist 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Ilmselt on erinevate alustega võimude korrutamine. Kuid tuleb märkida, et kõik alused on kolmiku erinevad astmed. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Kasutades reeglit (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), peaksite avaldise mugavamas vormis ümber kirjutama: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 - 4 + 12-10 + 6) = 3 ^ (11). Vastus: 3 ^ 11. Juhul, kui põhjused on erinevad, töötab reegel a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n võrdsete näitajate puhul. Näiteks 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Vastasel juhul, kui on olemas erinevad alused ja näitajad, on võimatu teha täielikku korrutamist. Mõnikord on võimalik osaliselt lihtsustada või kasutada arvutitehnoloogia abi.