ÚHEL MEDZI PLÁNMI
Uvažujme dve roviny α 1 a α 2, dané príslušnými rovnicami:
Pod uhol medzi dvoma rovinami máme na mysli jeden z dihedrálnych uhlov tvorených týmito rovinami. Uhol medzi normálnymi vektormi a rovinami α 1 a α 2 je evidentne rovný jednému z uvedených susedných dihedrálnych uhlov alebo 
... Preto 
... Pretože 
a 
potom
.
Príklad. Určte uhol medzi rovinami X+2r-3z+ 4 = 0 a 2 X+3r+z+8=0.
Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín.
Dve roviny α 1 a α 2 sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich normálne vektory a sú rovnobežné, čo znamená 
.
Dve roviny sú teda navzájom rovnobežné len vtedy, ak sú koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach proporcionálne:
alebo
Podmienka kolmosti rovín.
Je zrejmé, že dve roviny sú kolmé vtedy a len vtedy, ak sú ich normálne vektory kolmé, a teda, príp.
Preto.
Príklady
PRIAMO V PRIESTORE.
ROVNOVÁHA VEKTOROVÉHO RIADKU.
PARAMETRICKÉ ROVNICE RIADKU
Poloha priamky v priestore je úplne určená zadaním ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.
Nazýva sa vektor rovnobežný s priamkou vedenie vektor tejto čiary.
Nech je to teda na rovinu l prechádza bodom M 1 (X 1 , r 1 , z 1) ležiaci na priamke rovnobežnej s vektorom.
Zvážte ľubovoľný bod M (x, y, z) na priamke. Obrázok to ukazuje 
.
Vektory a sú kolineárne, takže existuje také číslo t, čo, kde je faktor t môže mať akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t nazývaný parameter. Označovanie vektorov polomeru bodov M 1 a M respektíve cez a, dostaneme. Táto rovnica sa nazýva vektor rovnica priamky. Ukazuje, že pre každú hodnotu parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M ležiaci na priamke.
Napíšte túto rovnicu v súradnicovej forme. Všimni si , 
a odtiaľto
Výsledné rovnice sa nazývajú parametrický rovnice priamky.
Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r a z a bod M pohybuje sa v priamke.
Kanonické rovnice
Nechaj byť M 1 (X 1 , r 1 , z 1) je bod ležiaci na priamke l a 
Je to jeho smerový vektor. Opäť vezmite ľubovoľný bod na priamke M (x, y, z) a uvažuj vektor.
Je zrejmé, že vektory sú kolineárne, takže ich zodpovedajúce súradnice musia byť preto proporcionálne
– kanonický rovnice priamky.
Poznámka 1. Všimnite si toho, že kanonické rovnice priamky je možné získať z parametrických rovníc vylúčením parametra t... Skutočne, z parametrických rovníc získame 
alebo .
Príklad. Napíšte rovnicu priamky 
v parametrickej forme.
Označujeme 
, odtiaľ X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.
Poznámka 2. Nech je priamka kolmá na jednu zo súradnicových osí, napríklad na os Vôl... Potom je riadiaci vektor kolmý Vôl, teda, m= 0. V dôsledku toho nadobúdajú formu parametrické rovnice priamky
Vylúčenie parametra z rovníc t, získame rovnice priamky vo forme
Avšak aj v tomto prípade súhlasíme s formálnym zapísaním kanonických rovníc priamky do formulára 
... Ak je teda menovateľ jednej zo zlomkov nula, potom to znamená, že priamka je kolmá na zodpovedajúcu súradnicovú os.
Podobne aj kanonické rovnice 
zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl a Oy alebo rovnobežne s osou Oz.
Príklady
VŠEOBECNÉ ROVNICE RIADKU AKO RIADKU PRIERZOVANIA DVOCH ROVINOV
Každou priamkou vo vesmíre prechádza nespočetné množstvo lietadiel. Akékoľvek dve z nich, pretínajúce sa, ju definujú v priestore. V dôsledku toho rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spoločne, predstavujú rovnice tejto priamky.
Vo všeobecnosti akékoľvek dve neparalelné roviny dané všeobecnými rovnicami
definujte čiaru ich priesečníka. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.
Príklady
Zostrojte priamku danú rovnicami 
Na zostrojenie priamky stačí nájsť akékoľvek dva jej body. Najľahšie je vybrať priesečníky priamky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky, nastavenia z= 0:
Po vyriešení tohto systému nachádzame zmysel M 1 (1;2;0).
Podobne aj nastavenie r= 0, dostaneme bod priesečníka priamky s rovinou xOz:
Zo všeobecných rovníc priamky môžete prejsť na jej kanonické alebo parametrické rovnice. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerujúci vektor priamky.
Súradnice bodov M 1 bude získaný z tohto systému rovníc priradením ľubovoľnej hodnoty jednej zo súradníc. Ak chcete nájsť smerový vektor, uvedomte si, že tento vektor musí byť kolmý na oba normálne vektory 
a 
... Preto za smerujúcim vektorom priamky l môžeme vziať krížový súčin normálnych vektorov:
.
Príklad. Uveďte všeobecné rovnice priamky 
do kanonickej podoby.
Nájdite bod ležiaci na priamke. Za týmto účelom ľubovoľne vyberieme jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:
Normálne vektory rovín definujúcich priamku majú súradnice 
Riadiaci vektor priamky teda bude
... Preto, l: 
.
ÚHEL MEDZI ROVNÝM
Roh medzi priamymi čiarami v priestore nazveme ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma rovnými čiarami nakreslenými ľubovoľným bodom rovnobežným s údajmi.
Nech sú v priestore uvedené dve rovné čiary:
Uhol medzi priamymi čiarami je zrejmé, že môže byť braný ako uhol medzi ich smerovými vektormi a. Pretože potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme
Budem stručný. Uhol medzi dvoma čiarami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak teda nájdete súradnice smerových vektorov a = (x 1; y 1; z 1) a b = (x 2; y 2; z 2), môžete nájsť uhol. Presnejšie, kosínus uhla podľa vzorca:
Pozrime sa, ako tento vzorec funguje, na konkrétnych príkladoch:
Úloha. Body E a F sú označené v kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - stredné body hrán A 1 B 1 a B 1 C 1. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.
Pretože hrana kocky nie je označená, nastavíme AB = 1. Zaveďte štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x, y, z sú nasmerované pozdĺž AB, AD a AA 1. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Teraz nájdeme súradnice smerových vektorov pre naše čiary.
Nájdeme súradnice vektora AE. Na to potrebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Pretože bod E je stredným bodom segmentu A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Všimnite si toho, že pôvod vektora AE sa zhoduje s počiatkom, takže AE = (0,5; 0; 1).
Teraz sa budeme zaoberať vektorovým BF. Podobne rozoberieme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), pretože F - stredný bod segmentu B 1 C 1. Máme:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Vektory smeru sú teda pripravené. Kosínus uhla medzi priamkami je kosínus uhla medzi smerovými vektormi, takže máme:
Úloha. V pravidelnom trojstrednom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body D a E - stredové body hrán A 1 B 1, respektíve B 1 C 1. Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.
Predstavme si štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x smeruje pozdĺž AB, z - pozdĺž AA 1. Os y smerujeme tak, aby sa rovina OXY zhodovala s rovinou ABC. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Nájdite súradnice smerových vektorov pre hľadané čiary.
Najprv nájdeme súradnice vektora AD. Zvážte body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), pretože D - stredný bod segmentu A 1 B 1. Pretože pôvod vektora AD sa zhoduje s počiatkom, získame AD = (0,5; 0; 1).
Teraz nájdeme súradnice vektora BE. Bod B = (1; 0; 0) je ľahký. S bodom E - stredom segmentu C 1 B 1 - je to trochu ťažšie. Máme:
Zostáva nájsť kosínus uhla:
Úloha. V pravidelnom šesťuholníkovom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú označené body K a L - stredové body hrán A 1 B 1, respektíve B 1 C 1. Nájdite uhol medzi čiarami AK a BL.
Predstavme štandardný súradnicový systém pre hranol: pôvod súradníc umiestnite do stredu spodnej základne, os x nasmerujte pozdĺž FC, os y cez stredové body segmentov AB a DE a z- os vertikálne nahor. Segment jednotky je opäť rovný AB = 1. Vypíšeme súradnice bodov záujmu, ktoré sú pre nás zaujímavé:
Body K a L sú stredmi segmentov A 1 B 1 a B 1 C 1, v tomto poradí, takže ich súradnice sa zisťujú pomocou aritmetického priemeru. Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AK a BL:
Teraz nájdeme kosínus uhla:
Úloha. V pravidelnom štvoruholníkovom pyramíde SABCD, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú označené body E a F - stredové body strán SB a SC. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.
Predstavme si štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x a y sú nasmerované pozdĺž AB a AD, a os z je smerovaná zvisle nahor. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.
Body E a F sú stredné body segmentov SB a SC, takže ich súradnice sa nachádzajú ako aritmetický priemer koncov. Napíšte nám súradnice bodov záujmu, ktoré nás zaujímajú:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AE a BF:
Súradnice vektora AE sa zhodujú so súradnicami bodu E, pretože bod A je pôvodom. Zostáva nájsť kosínus uhla:
Definícia. Ak sú uvedené dve priamky y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito rovnými čiarami bude definovaný ako
Dve priame čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve priame čiary sú kolmé, ak k 1 = -1 / k 2.
Veta. Rovné čiary Ax + Vy + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C1 = 0 sú rovnobežné, ak proporcionálne koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamych čiar sa nachádzajú ako riešenie systému rovníc týchto priamych čiar.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom
Kolmo na túto priamku
Definícia. Priamku prechádzajúcu bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmú na priamku y = kx + b reprezentuje rovnica:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M (x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C = 0 určená ako
.
Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Od 0 + C = 0,
potom po vyriešení dostaneme:
Nahradením týchto výrazov do rovnice (1) nájdeme:
Veta je dokázaná.
Príklad... Určte uhol medzi rovnými čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Príklad... Ukážte, že rovné čiary 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.
Riešenie... Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, preto sú priame čiary kolmé.
Príklad... Sú uvedené vrcholy trojuholníka A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky vytiahnutej z vrcholu C.
Riešenie... Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4 x = 6 r - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k =. Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jeho súradnice vyhovujú tejto rovnici: 
odkiaľ b = 17. Spolu :. 
Odpoveď: 3 x + 2 r - 34 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi. Uhol medzi dvoma rovnými čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch čiar. Určenie priesečníka dvoch čiar
1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určený sklonom k,
r - r 1 = k(X - X 1). (1)
Táto rovnica definuje zväzok priamych čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.
2. Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2) je napísaný takto:
Sklon priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom
3. Uhol medzi rovnými čiarami A a B nazýva sa uhol, o ktorý musíte otočiť prvú priamku A okolo bodu priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhým riadkom B... Ak sú dve rovné čiary dané rovnicami so sklonom
r = k 1 X + B 1 ,
r = k 2 X + B 2 , (4)
potom je uhol medzi nimi určený vzorcom
Všimnite si toho, že v čitateľovi zlomku sa sklon prvej priamky odpočíta od sklonu druhej priamky.
Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnej forme
A 1 X + B 1 r + C. 1 = 0,
A 2 X + B 2 r + C. 2 = 0, (6)
uhol medzi nimi je určený vzorcom
4. Podmienky rovnobežnosti dvoch čiar:
a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) so sklonom, potom potrebná a dostatočná podmienka ich rovnobežnosti spočíva v rovnosti ich sklonov:
k 1 = k 2 . (8)
b) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnej forme (6), je potrebnou a dostačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty na zodpovedajúcich aktuálnych súradniciach v ich rovniciach boli proporcionálne, t.j.
5. Podmienky kolmosti dvoch čiar:
a) V prípade, že sú priamky dané rovnicami (4) so sklonom, je potrebnou a dostačujúcou podmienkou ich kolmosti, aby ich svahy boli recipročné vo veľkosti a opačné v znamienku, t.j.
Túto podmienku je možné napísať aj vo formulári
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ak sú rovnice priamych čiar uvedené vo všeobecnej forme (6), potom podmienka ich kolmosti (potrebná a dostatočná) spočíva v splnení rovnosti
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Súradnice priesečníka dvoch priamych čiar zistíme riešením sústavy rovníc (6). Rovné čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy
1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá je kolmá na danú priamku l.
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Preto pristúpime k prvej časti, dúfam, že do konca článku si zachovám veselú náladu.
Relatívna poloha dvoch priamych čiar
Prípad, keď obecenstvo spieva spolu s refrénom. Dve priame čiary môžu:
1) zápas;
2) byť paralelný :;
3) alebo sa pretínajú v jednom bode :.
Pomoc pre figuríny : zapamätajte si matematický znak križovatky, bude to veľmi bežné. Záznam naznačuje, že sa čiara v bode pretína s čiarou.
Ako určiť relatívnu polohu dvoch priamych čiar?
Začnime prvým prípadom:
Dve priame čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje taký počet „lambdov“, že rovnosti
Zoberme si rovné čiary a zostavme tri rovnice zo zodpovedajúcich koeficientov :. Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa preto zhodujú.
Skutočne, ak sú všetky koeficienty rovnice 
vynásobte -1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice 
znížená o 2, dostanete rovnakú rovnicu :.
Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:
Dve priame čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty pre premenné proporcionálne: 
, ale.
Uvažujme napríklad o dvoch riadkoch. Kontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné: 
Je však celkom zrejmé, že.
A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:
Dve priame čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty pre premenné NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká lambda hodnota, aby boli rovnosti splnené 
Pre rovné čiary teda zostavíme systém: 
Z prvej rovnice vyplýva, že az druhej rovnice platí: systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.
Záver: čiary sa pretínajú
V praktických úlohách môžete použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je veľmi podobný algoritmu na kontrolu vektorov na kolinearitu, o ktorom sme uvažovali v lekcii Pojem lineárnej (ne) závislosti vektorov. Základ vektorov... Existuje však civilizovanejší obal:
Príklad 1
Zistite relatívnu polohu priamych čiar: 
Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamok:
a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamych čiar: 
.
, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.
Pre každý prípad položím na križovatku kameň s ukazovateľmi:
Zvyšok skočí cez kameň a pokračuje ďalej, priamo do Kashchey the Immortal =)
b) Nájdite smerové vektory priamych čiar: 
Riadky majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné alebo sa zhodujú. Ani tu nie je potrebné rátať determinant.
Koeficienty pre neznáme sú očividne proporcionálne, zatiaľ čo.
Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá: 
Preto
c) Nájdite smerové vektory priamych čiar: 
Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov: 
smerové vektory sú preto kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo sa zhodujú.
Koeficient proporcionality „lambda“ je možné ľahko vidieť priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa však nájsť aj pomocou koeficientov samotných rovníc: 
.
Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba bezplatné termíny sú nulové, takže:
Výsledná hodnota vyhovuje tejto rovnici (spravidla ju spĺňa akékoľvek číslo).
Čiary sa teda zhodujú.
Odpoveď:
Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa dokonca už naučili), ako vyriešiť uvažovaný problém ústne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod ponúkať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:
Ako vytvoriť priamku rovnobežnú s danou?
Za ignoráciu tejto jednoduchej úlohy Slávny zbojník tvrdo trestá.
Príklad 2
Rovnica je daná rovnicou. Vyrovnajte rovnobežnú priamku, ktorá prechádza bodom.
Riešenie: Označme neznáme rovné písmeno. Čo o nej hovorí tento stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú rovné čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerovací vektor priamky „tse“ je vhodný aj na konštrukciu priamky „de“.
Smerový vektor vyberieme z rovnice:
Odpoveď:
Geometria príkladu vyzerá jednoducho: 
Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:
1) Skontrolujeme, či majú čiary rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, potom budú vektory kolineárne).
2) Skontrolujte, či bod zodpovedá získanej rovnici.
Analytické preskúmanie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na paralelizmus priamych čiar bez kresby.
Príklady riešenia „urob si sám“ dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.
Príklad 3
Vytvorte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou, ak
Existuje racionálne a nie veľmi racionálne riešenie. Najkratšia cesta je na konci hodiny.
Trochu sme pracovali s rovnobežnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodných priamych čiar je málo zaujímavý, preto sa zamyslite nad problémom, ktorý je vám dobre známy zo školských osnov:
Ako nájsť priesečník dvoch čiar?
Ak rovno 
pretnú v bode, potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc 
Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.
Toľko k vám geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch neznámych Sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) rovné čiary v rovine.
Príklad 4
Nájdite priesečník čiar
Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafické a analytické.
Grafickým spôsobom je jednoducho nakresliť údajové čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu: 
Tu je náš bod:. Na kontrolu by ste mali v každej rovnici priamky nahradiť jej súradnice, mali by sa hodiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V zásade sme sa pozreli na grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.
Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že by o tom rozhodli žiaci siedmeho ročníka, ide o to, že získanie správneho a PRESNÉHO nákresu bude nejaký čas trvať. Niektoré rovné čiary navyše nie je také ľahké zostaviť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo listu poznámkového bloku.
Preto je účelnejšie hľadať priesečník pomocou analytickej metódy. Vyriešime systém: 
Na vyriešenie systému bola použitá metóda priebežného pridávania rovníc. Ak si chcete vybudovať relevantné schopnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť systém rovníc?
Odpoveď:
Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať všetky rovnice v systéme.
Príklad 5
Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.
Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Úlohu je vhodné rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, čo je potrebné:
1) Vytvorte rovnicu priamky.
2) Vytvorte rovnicu priamky.
3) Zistite relatívnu polohu priamych čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, potom nájdite priesečník.
Vývoj algoritmu akcií je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.
Úplné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:
Pár topánok ešte nebol opotrebovaný, pretože sme sa dostali k druhej časti hodiny:
Kolmé priame čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi rovnými čiarami
Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako vytvoriť rovnú čiaru rovnobežnú s touto a teraz sa chata na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:
Ako vytvoriť priamku kolmú na danú?
Príklad 6
Rovnica je daná rovnicou. Zarovnajte kolmú čiaru cez bod.
Riešenie: Podmienkou je známe, že. Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Pretože čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:
Z rovnice „odstráňte“ normálny vektor :, ktorý bude smerovým vektorom priamky.
Zostavme rovnicu priamky podľa bodu a smerového vektora:
Odpoveď: 
Rozšírime geometrický náčrt:
Hmmm ... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.
Analytické overenie roztoku:
1) Vyberte rovnice z vektorov smeru 
a s pomocou bodový súčin vektorov dospejeme k záveru, že priame čiary sú skutočne kolmé :.
Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.
2) Skontrolujte, či bod zodpovedá získanej rovnici 
.
Kontrolu je opäť ľahké vykonať verbálne.
Príklad 7
Ak je rovnica známa, nájdite priesečník kolmých čiar 
a bod.
Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. V úlohe je niekoľko akcií, takže je vhodné zostaviť riešenie bod po bode.
Naša vzrušujúca cesta pokračuje:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dosiahnuť ho najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou cestou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmej čiary.
Vzdialenosť v geometrii je tradične označovaná gréckym písmenom „ro“, napríklad: - vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.
Vzdialenosť od bodu k čiare 
vyjadrené vzorcom
Príklad 8
Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke 
Riešenie: Všetko, čo je potrebné, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:
Odpoveď: 
Vykonajme kresbu: 
Vzdialenosť od bodu k nájdenej čiare je presne dĺžka červenej čiary. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť merať obyčajným pravítkom.
Zvážte inú úlohu pre ten istý plán:
Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku 
... Navrhujem vykonať akcie sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:
1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na čiaru.
2) Nájdite priesečník čiar: 
.
Obe akcie sú podrobne popísané v tejto lekcii.
3) Bod je stredným bodom úsečky. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Od vzorce pre súradnice stredového bodu segmentu nachádzame.
Nebude nadbytočné kontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.
Problémy tu môžu nastať pri výpočtoch, ale vo veži vám veľmi pomôže mikro kalkulačka, ktorá vám umožní počítať bežné zlomky. Opakovane radené, poradí a znova.
Ako zistiť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?
Príklad 9
Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami
Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Dovoľte mi malú nápovedu: spôsobov, ako to vyriešiť, je nekonečne veľa. Rozbor na konci hodiny, ale skúste to hádať sami, myslím, že sa vám celkom dobre podarilo rozptýliť vašu vynaliezavosť.
Uhol medzi dvoma rovnými čiarami
Každý uhol je hranica: 
V geometrii je uhol medzi dvoma rovnými čiarami braný ako NAJMENŠÍ uhol, z ktorého automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepočíta ako uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami. A jeho „zelený“ sused je ako taký považovaný, príp opačne orientovaný"Karmínový" roh.
Ak sú rovné čiary kolmé, ako uhol medzi nimi možno považovať ktorýkoľvek zo 4 uhlov.
Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „posúvania“ rohu je zásadne dôležitý. Za druhé, negatívne orientovaný uhol sa napíše so znamienkom mínus, napríklad ak.
Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že od obvyklého konceptu uhla sa dá upustiť. Faktom je, že vo vzorcoch, pomocou ktorých nájdeme uhly, môžete ľahko získať negatívny výsledok, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre negatívny uhol určite jeho orientáciu naznačte šípkou (v smere hodinových ručičiek).
Ako nájsť uhol medzi dvoma rovnými čiarami? Existujú dva pracovné vzorce:
Príklad 10
Nájdite uhol medzi rovnými čiarami
Riešenie a Metóda jedna
Zvážte dve rovné čiary dané rovnicami vo všeobecnej forme: 
Ak rovno nie kolmo potom orientovaný uhol medzi nimi sa dá vypočítať podľa vzorca: 
Všímajme si menovateľa - presne to je skalárny produkt smerové vektory priamych čiar:
Ak, potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a rovné čiary sú kolmé. Preto bola urobená výhrada k ne kolmosti rovných čiar vo formulácii.
Na základe vyššie uvedeného je vhodné navrhnúť riešenie v dvoch krokoch:
1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, takže priame čiary nie sú kolmé.
2) Uhol medzi rovnými čiarami nájdete podľa vzorca:
Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade používame zvláštnosť arktangensu (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):
Odpoveď: 
V odpovedi uvádzame presnú a približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.
No, mínus, tak mínus, to je v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia: 
Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože vo vyhlásení o probléme je prvé číslo rovná čiara a začalo s ním „skrútenie“ uhla.
Ak chcete skutočne získať kladný uhol, musíte vymeniť priame čiary, to znamená, že vezmite koeficienty z druhej rovnice 
, a koeficienty sú prevzaté z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s rovnou čiarou 
.
Inštrukcie
Poznámka
Obdobie trigonometrickej funkcie dotyčnice je 180 stupňov, čo znamená, že svahy priamych čiar nemôžu v absolútnej hodnote prekročiť túto hodnotu.
Užitočná rada
Ak sú svahy navzájom rovnaké, potom je uhol medzi týmito priamkami 0, pretože tieto priame čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné.
Na určenie hodnoty uhla medzi križujúcimi sa priamkami je potrebné obe rovnice (alebo jednu z nich) posunúť do novej polohy pomocou metódy paralelného prenosu pred krížením. Potom by ste mali nájsť hodnotu uhla medzi výslednými pretínajúcimi sa rovnými čiarami.
Budete potrebovať
- Pravítko, pravouhlý trojuholník, ceruzka, uhlomer.
Inštrukcie
Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N sa rovná: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Na výpočet hodnoty uhla v stupňoch alebo radiánoch musíte z výsledného výrazu vypočítať funkciu inverznú ku kosínu. inverzný kosínus: α = oblúky ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Príklad: nájsť injekciou medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo dané všeobecnou rovnicou 2 x - 5 y + 3 z = 0 Riešenie: zapíšte si súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Nahraďte všetky známe hodnoty do vyššie uvedeného vzorca: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.
Podobné videá
Priamka, ktorá má s kruhom jeden spoločný bod, je dotyčnicou kruhu. Ďalšou vlastnosťou dotyčnice je, že je vždy kolmá na polomer ťahaný k bodu dotyčnice, to znamená, že dotyčnica a polomer tvoria priamku. injekciou... Ak sú z jedného bodu A nakreslené dve dotyčnice ku kružnici AB a AC, potom sú vždy navzájom rovnaké. Určenie uhla medzi dotyčnicami ( injekciou ABC) sa vyrába pomocou Pytagorovej vety.
Inštrukcie
Na určenie uhla potrebujete vedieť polomer kružnice OB a OS a vzdialenosť počiatočného bodu dotyčnice od stredu kružnice - O. Takže uhly ABO a ASO sú rovnaké, polomer OB napríklad 10 cm a vzdialenosť od stredu kruhu AO je 15 cm. Určte dĺžku dotyčnice podľa vzorca v súlade s Pytagorovou vetou: AB = druhá odmocnina z AO2 - OB2 alebo 152 - 102 = 225 - 100 = 125;