Problém 1(pri výpočte plochy zakriveného lichobežníka).
V karteziánskom jazyku pravouhlý systém súradnice xOy dané číslom (pozri obrázok), ohraničeným osou x, priamkami x = a, x = b (krivkový lichobežník. Je potrebné vypočítať plochu zakriveného lichobežníka.
Riešenie. Geometria nám dáva recepty na výpočet plôch mnohouholníkov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických úvah budeme schopní nájsť len približnú hodnotu požadovanej plochy, pričom argumentujeme nasledovne.
Rozdelili sme segment [a; b] (základňa zakriveného lichobežníka) na n rovnakých častí; toto rozdelenie je realizovateľné pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nakreslite priame čiary cez tieto body rovnobežné s osou y. Potom sa daný krivočiary lichobežník rozdelí na n častí, na n úzkych stĺpikov. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.
Uvažujme samostatne k-tý stĺpec, t.j. krivočiary lichobežník, ktorého základňou je segment. Nahradíme ho obdĺžnikom s rovnakou základňou a výškou rovnajúcou sa f (x k) (pozri obrázok). Oblasť obdĺžnika je \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \), kde \ (\ Delta x_k \) je dĺžka segmentu; je prirodzené považovať zostavený produkt za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca. 
Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledovnému výsledku: plocha S daného krivočiareho lichobežníka sa približne rovná ploche S n stupňovitého útvaru zloženého z n obdĺžnikov (pozri obrázok):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ bodky + f (x_k) \ Delta x_k + \ bodky + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Tu z dôvodu jednotnosti zápisu predpokladáme, že a = x 0, b = x n; \ (\ Delta x_0 \) - dĺžka segmentu, \ (\ Delta x_1 \) - dĺžka segmentu atď. zároveň, ako sme sa dohodli vyššie, \ (\ Delta x_0 = \ bodky = \ Delta x_ (n-1) \)
Takže, \ (S \ približne S_n \), a táto približná rovnosť je tým presnejšia, čím je n väčšie.
Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu postupnosti (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ až \ infty) S_n $$
Úloha 2(o pohyblivom bode)
Pohyb v priamom smere hmotný bod... Závislosť rýchlosti od času vyjadruje vzorec v = v (t). Nájdite posunutie bodu za určité časové obdobie [a; b].
Riešenie. Ak by bol pohyb rovnomerný, potom by sa úloha riešila veľmi jednoducho: s = vt, t.j. s = v (b-a). Pri nerovnomernom pohybe musíte použiť rovnaké nápady, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
2) Uvažujme časový interval a predpokladajme, že počas tohto časového intervalu bola rýchlosť konštantná, ako napríklad v čase t k. Uvažujeme teda, že v = v (t k).
3) Nájdite približnú hodnotu posunutia bodu za určitý čas, túto približnú hodnotu označíme s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Nájdite približnú hodnotu posunutia s:
\ (s \ približne S_n \) kde
\ (S_n = s_0 + \ bodky + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ bodky + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Požadované posunutie sa rovná limitu sekvencie (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ až \ infty) S_n $$
Poďme si to zhrnúť. Riešenia rôznych problémov boli zredukované na rovnaký matematický model. Mnohé problémy z rôznych oblastí vedy a techniky vedú v procese riešenia k rovnakému modelu. To znamená, že tento matematický model musí byť špeciálne študovaný.
Definitívny integrálny koncept
Uveďme matematický popis modelu, ktorý bol zostrojený v troch uvažovaných úlohách pre funkciu y = f (x), spojitý (ale nie nevyhnutne nezáporný, ako sa predpokladalo v uvažovaných úlohách) na intervale [a; b]:
1) rozdelíme segment [a; b] na n rovnakých častí;
2) vytvorte súčet $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ bodky + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) vypočítajte $$ \ lim_ (n \ až \ infty) S_n $$
V priebehu matematickej analýzy sa dokázalo, že táto limita existuje v prípade spojitej (alebo po častiach spojitej) funkcie. Volá sa určitý integrál funkcie y = f (x) pozdĺž úsečky [a; b] a označené takto:
\ (\ int \ limity_a ^ b f (x) dx \)
Čísla a a b sa nazývajú hranice integrácie (v tomto poradí dolné a horné).
Vráťme sa k vyššie uvedeným úlohám. Definícia oblasti uvedená v úlohe 1 môže byť teraz prepísaná takto:
\ (S = \ int \ limity_a ^ b f (x) dx \)
tu S je oblasť zakriveného lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Toto je geometrický význam určitého integrálu.
Definíciu posunutia s bodu, ktorý sa pohybuje priamočiaro rýchlosťou v = v (t) v časovom intervale od t = a do t = b, uvedenú v úlohe 2, možno prepísať takto:
Formula Newton - Leibniz
Na začiatok si odpovedzme na otázku: aká je súvislosť medzi určitým integrálom a primitívnou deriváciou?
Odpoveď možno nájsť v úlohe 2. Na jednej strane, posunutie s bodu, ktorý sa pohybuje priamočiaro rýchlosťou v = v (t) za časový interval od t = a do t = b, sa vypočíta ako vzorec
\ (S = \ int \ limity_a ^ b v (t) dt \)
Na druhej strane súradnica pohybujúceho sa bodu je primitívnou vlastnosťou rýchlosti - označme ju s (t); preto je posunutie s vyjadrené vzorcom s = s (b) - s (a). V dôsledku toho dostaneme:
\ (S = \ int \ limity_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
kde s (t) je primitívna derivácia pre v (t).
V priebehu matematickej analýzy sa dokázala nasledujúca veta.
Veta. Ak je funkcia y = f (x) spojitá na segmente [a; b], potom platí nasledujúci vzorec
\ (S = \ int \ limity_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
kde F (x) je primitívna derivácia pre f (x).
Vyššie uvedený vzorec sa zvyčajne nazýva podľa Newtonovho - Leibnizovho vzorca na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), ktorí ho dostali nezávisle od seba a takmer súčasne.
V praxi sa namiesto písania F (b) - F (a) používa zápis \ (\ vľavo. F (x) \ vpravo | _a ^ b \) (niekedy tzv. dvojitá substitúcia) a podľa toho prepíšte vzorec Newton - Leibniz do nasledujúceho tvaru:
\ (S = \ int \ limity_a ^ b f (x) dx = \ vľavo. F (x) \ vpravo | _a ^ b \)
Pri výpočte určitého integrálu najprv nájdite primitívnu deriváciu a potom vykonajte dvojitú substitúciu.
Na základe Newtonovho - Leibnizovho vzorca možno získať dve vlastnosti určitého integrálu.
Nehnuteľnosť 1. Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrály:
\ (\ int \ limity_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ limity_a ^ b f (x) dx + \ int \ limity_a ^ b g (x) dx \)
Nehnuteľnosť 2. Konštantný faktor možno vyňať z integrálneho znamienka:
\ (\ int \ limity_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limity_a ^ b f (x) dx \)
Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu
Pomocou integrálu môžete vypočítať plochy nielen krivočiarych lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov komplexný druh, ako je znázornené na obrázku. Obrazec P je ohraničený priamkami x = a, x = b a grafmi spojitých funkcií y = f (x), y = g (x) a na úsečke [a; b] platí nerovnosť \ (g (x) \ leq f (x) \). Na výpočet plochy S takéhoto obrázku budeme postupovať takto:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ limity_a ^ b f (x) dx - \ int \ limity_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limity_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Takže plocha S obrázku ohraničená priamkami x = a, x = b a grafmi funkcií y = f (x), y = g (x), spojité na segmente a také, že pre ľubovoľné x zo segmentu [a; b] platí nerovnosť \ (g (x) \ leq f (x) \), vypočítaná podľa vzorca
\ (S = \ int \ limity_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Tabuľka neurčitých integrálov (antiderivátov) niektorých funkcií
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C $$Tento článok vám ukáže, ako nájsť oblasť tvaru, obmedzené čiarami pomocou výpočtov pomocou integrálov. Prvýkrát sa s formulovaním takéhoto problému stretávame na strednej škole, keď práve prešlo štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.
Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:
- Schopnosť kompetentne zostavovať výkresy;
- Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newton-Leibnizovho vzorca;
- Schopnosť „vidieť“ výhodnejšie riešenie – tj. pochopiť, ako v tomto alebo tom prípade bude pohodlnejšie vykonať integráciu? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
- Kde bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.
Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:
1. Vytvárame výkres. Odporúča sa to urobiť na kuse papiera v klietke s veľkou mierkou. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Podpis grafov sa vykonáva výlučne pre pohodlie ďalších výpočtov. Po prijatí grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite viditeľné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.
2. Ak hranice integrácie nie sú explicitne stanovené, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sú naše grafické riešenie s analytickým.
3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií umiestnené, existujú rôzne prístupy na nájdenie oblasti postavy. Zvážte rôzne príklady nájsť plochu obrazca pomocou integrálov.
3.1. Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Je to plochý obrazec ohraničený osou x. (y = 0), rovný x = a, x = b a ľubovoľná krivka súvislá na intervale od a predtým b... Navyše toto číslo nie je záporné a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu vypočítanému podľa Newton-Leibnizovho vzorca:
Príklad 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Aké sú čiary ohraničujúce postavu? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3 ktorá sa nachádza nad osou OH, je nezáporné, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty... Ďalej rovné čiary x = 1 a x = 3 ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU, sú ohraničujúce čiary tvaru vľavo a vpravo. Dobre y = 0, je to os x, ktorá ohraničuje obrázok zdola. Výsledný tvar je vytieňovaný, ako je vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Máme pred sebou jednoduchý príklad krivočiareho lichobežníka, ktorý ďalej riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.
3.2. V predchádzajúcom odseku 3.1 sme analyzovali prípad, keď sa krivočiary lichobežník nachádza nad osou x. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ďalej zvážime, ako vyriešiť podobný problém.
Príklad 2 ... Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tento príklad máme parabolu y = x2 + 6x + 2 ktorý vychádza pod osou OH, rovný x = -4, x = -1, y = 0... Tu y = 0 ohraničuje požadovaný tvar zhora. Priamy x = -4 a x = -1 toto sú hranice, v rámci ktorých sa vypočíta určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia oblasti obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je stále spojitá na intervale [-4; -1] ... Čo neznamená pozitívne? Ako môžete vidieť na obrázku, obrázok, ktorý je v rámci daných X, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme pri riešení úlohy vidieť a zapamätať si. Hľadáme oblasť postavy pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.
Článok je neúplný.
Určitý integrál. Ako vypočítať plochu tvaru
Teraz prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. - ako vypočítať plochu plochého obrazca pomocou určitého integrálu... Konečne tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. Budem si to musieť v živote priblížiť vidiecka chatová oblasť elementárnych funkcií a nájsť jej obsah pomocou určitého integrálu.
Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:
1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na priemernej úrovni. Preto by sa figuríny mali najskôr oboznámiť s lekciou nie.
2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke si môžete vybudovať vrúcne priateľstvá s určitými integrálmi Určitý integrál. Príklady riešení.
V skutočnosti, aby sme našli oblasť obrazca, nepotrebujeme toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu o veľa viac aktuálny problém budú vaše vedomosti a zručnosti v kreslení. V tomto smere je užitočné osviežiť si pamäť grafov základných elementárnych funkcií a aspoň vedieť postaviť priamku, parabolu a hyperbolu. To sa dá (mnohí potrebujú) pomocou metodický materiál a články o geometrických transformáciách grafov.
V skutočnosti každý pozná problém hľadania oblasti pomocou určitého integrálu už od školy a my pôjdeme trochu ďalej od školské osnovy... Tento článok by možno vôbec neexistoval, no faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študenta trápi nenávidená súprava a s nadšením ovláda kurz vyššej matematiky.
Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.
Začnime zakriveným lichobežníkom.
Zakrivený lichobežník sa nazýva plochý útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie na úsečke, ktorá na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menej os x:
Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu... Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ešte jednu užitočná skutočnosť. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.
teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru... Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand nastavuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí si to želajú, môžu kresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
Toto je typická formulácia zadania. Najprv a najdôležitejší moment riešenia - kreslenie budovy... Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.
Pri zostavovaní výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie postaviť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Je výhodnejšie vytvárať grafy funkcií bodovo, techniku bodovej konštrukcie nájdete v referenčný materiál Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií... Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):
Nebudem vyliahnuť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, v akej oblasti v otázke... Riešenie pokračuje takto:
Na segmente sa nachádza graf funkcie nad osou, Preto:
odpoveď:
Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca 
, pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.
Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na plán a odhadnúť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade "od oka" spočítame počet buniek na výkrese - dobre, bude napísaných asi 9, vyzerá to ako pravda. Je celkom jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom sa, samozrejme, niekde stala chyba - uvažovaný údaj sa zjavne nezmestí na 20 buniek, maximálne desať. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 2
Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami a osou
Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou?
Príklad 3
Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.
Riešenie: Vykonajte kreslenie: 
Ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jej plochu možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade: 
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite oblasť plochej postavy ohraničenú čiarami.
Riešenie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v úlohách na ploche nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:
Teda spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..
Oveľa výnosnejšie a rýchlejšie je konštruovať čiary bod po bode, pričom hranice integrácie sa vyjasnia akoby „samo od seba“. Technika vykresľovania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií... Analytická metóda hľadania limitov sa však niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo presná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.
Vráťme sa k nášmu problému: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Vykonajte kreslenie: 
Opakujem, že v prípade bodovej konštrukcie hranice integrácie najčastejšie zisťuje „automat“.
A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejaká súvislá funkcia, potom plocha postavy, obmedzené rozvrhy z týchto funkcií a priame,, možno nájsť podľa vzorca: 
Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý harmonogram je NAD(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od
Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:
Požadovaný údaj je ohraničený parabolou v hornej časti a priamkou v dolnej časti.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď:
V skutočnosti školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) - špeciálny prípad vzorce 
... Keďže os je daná rovnicou, a graf funkcie je umiestnený nie vyššie os teda 
A teraz pár príkladov na vlastné riešenie
Príklad 5
Príklad 6
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami.
Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres je urobený správne, výpočty sú správne, ale nepozornosťou ... nájde sa oblasť nesprávneho obrázku, takto sa tvoj skromný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:
Príklad 7
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami,,,.
Riešenie: Najprv vykonajte kreslenie: 
... Ej, mizerná kresba vyšla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.
Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne si pozrite stav - čím je postava obmedzená!). V praxi však v dôsledku nepozornosti často vzniká „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená v zelenej farbe!
Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:
1) Čiarový graf je umiestnený na segmente nad osou;
2) Graf hyperboly sa nachádza v segmente nad osou.
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
odpoveď:
Prejdime ešte k jednej zmysluplnej úlohe.
Príklad 8
Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami,
Predstavme si rovnice v „školskej“ forme a vykonáme kreslenie bod po bode: 
Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“:.
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale ktoré? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže to byť aj tak. Alebo root. Čo ak sme graf nakreslili vôbec nesprávne?
V takýchto prípadoch musíte minúť dodatočný čas a analyticky spresniť hranice integrácie.
Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu: 
,
Naozaj,.
Ďalšie riešenie je triviálne, hlavné je nenechať sa zmiasť v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.
Na segmente 
, podľa zodpovedajúceho vzorca: 
odpoveď: 
Na záver lekcie zvážime dve náročnejšie úlohy.
Príklad 9
Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Riešenie: Znázornime túto postavu na výkrese. 
Sakra, zabudol som podpísať rozvrh, ale prerobiť obrázok, pardon, nie hotts. Nekreslím, skrátka dnes je ten deň =)
Pre stavbu bod po bode potrebujete vedieť vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka... V mnohých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a hranice integrácie v zásade správne zobrazené.
S limitmi integrácie nie sú žiadne problémy, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa mení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:
Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:
Ako vložiť matematické vzorce do webovej stránky?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky vygeneruje. Okrem jednoduchosti pomôže táto všestranná metóda zlepšiť viditeľnosť webových stránok vyhľadávače... Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.
Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vašej lokality. Druhý spôsob, ktorý je zložitejší a časovo náročnejší, zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch verzií kódu prevzatého z hlavnej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:
Jeden z týchto variantov kódu musíte skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky
a alebo hneď za značkou ... Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, no nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na hlavný panel svojej lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítavacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok svojej webovej lokality.
Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na konštrukciu Mengerovej huby je pomerne jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 susedných kociek. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu, ktorá už pozostáva zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
V predchádzajúcej časti, venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu, sme získali niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na segmente [a; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na segmente [a; b].
Tieto vzorce sa vzťahujú na rozhodnutie týkajúce sa jednoduché úlohy... V skutočnosti musíme často pracovať so zložitejšími tvarmi. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f (x) alebo x = g (y).
VetaNech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na segmente [a; b], a f1 (x) < f2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [a; b]. Potom vzorec na výpočet plochy obrazca G ohraničeného priamkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude mať tvar S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.
Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrazca ohraničenú priamkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.
Dôkaz
Uvažujme tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.
V prvom prípade, berúc do úvahy vlastnosť plošnej aditivity, sa súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G 1 rovná ploche obrázku G 2. Znamená to, že
Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Posledný prechod môžeme urobiť pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.
V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:
Prejdime k úvahe o všeobecnom prípade, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x.
Priesečníky budú označené ako x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Tieto body rozdeľujú segment [a; b] na n častí x i - 1; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
teda
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.
Znázornime všeobecný prípad na grafe.
Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.
A teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy obrázkov, ktoré sú ohraničené priamkami y = f (x) a x = g (y).
Začneme uvažovať o ktoromkoľvek z príkladov vytvorením grafu. Obrázok nám umožní viac reprezentovať zložité tvary ako zväzky jednoduché figúrky... Ak vám vykresľovanie grafov a tvarov na nich spôsobuje ťažkosti, môžete si pri skúmaní funkcie preštudovať časť o základných atómových funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií a vykresľovaní.
Príklad 1
Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je ohraničená parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Riešenie
Nakreslíme čiary na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme.
Na segmente [1; 4] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu na výpočet určitého integrálu podľa vzorca Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpoveď: S (G) = 13
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 2
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.
Riešenie
V tomto prípade máme iba jednu priamku rovnobežnú s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme druhý integračný limit našli sami.
Zostavme graf a nakreslite doň čiary uvedené v zadaní problému.
Keď máme graf pred očami, môžeme ľahko určiť, že spodná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu priamky y = x a semiparaboly y = x + 2. Na nájdenie úsečky použijeme rovnosti:
y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.
Upozorňujeme na skutočnosť, že v všeobecný príklad na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2; 2), takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať nadbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu poskytli len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar sa vždy najlepšie vypočítajú analyticky.
Na intervale [2; 7] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2. Použime vzorec na výpočet plochy:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpoveď: S (G) = 59 6
Príklad 3
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.
Riešenie
Nakreslíme čiary na grafe.
Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok porovnaním výrazov 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za predpokladu, že x nie je nula, rovnosť 1 x = - x 2 + 4 x - 2 sa stáva ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficientmi. Algoritmus na riešenie takýchto rovníc si môžete osviežiť v časti „Riešenie kubických rovníc“.
Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.
Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v ktorom je nad modrou a pod červenou čiarou vložený obrázok G. To nám pomáha určiť oblasť tvaru:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpoveď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Príklad 4
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou x.
Riešenie
Umiestnime všetky čiary na graf. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho usporiadame symetricky okolo osi x a zdvihneme o jednotku. Rovnica na vodorovnej osi je y = 0.
Označme si priesečníky čiar.
Ako vidno z obrázku, grafy funkcií y = x 3 a y = 0 sa pretínajú v bode (0; 0). Je to preto, že x = 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 = 0.
x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0, preto sa grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 pretínajú v bode (2; 0).
x = 1 je jediný koreň rovnice x 3 = - log 2 x + 1. V tomto smere sa grafy funkcií y = x 3 a y = - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1). Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 = - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y = x 3 je striktne rastúca a funkcia y = - log 2 x + 1 je prísne klesá.
Ďalšie riešenie predpokladá niekoľko možností.
Možnosť číslo 1
Obrázok G môžeme znázorniť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý je umiestnený pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.
Možnosť číslo 2
Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na úsečke x ∈ 0; 2 a druhá je medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré viažu tvar, reprezentované ako funkcie argumentu y.
Vyriešte rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 pre x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Získame požadovanú oblasť:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Príklad 5
Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Riešenie
Nakreslite čiaru na grafe červenou čiarou, daný funkciou y = x. Nakreslite čiaru y = - 1 2 x + 4 modrou farbou a čiaru y = 2 3 x - 3 nakreslite čiernou farbou.
Označme priesečníky.
Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Skontrolujte: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Mám riešenie x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4
Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 Mám riešenie ⇒ (9; 3) priesečník bodov y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 žiadne riešenie
Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3
Metóda číslo 1
Predstavme si plochu požadovaného obrazca ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.
Potom sa plocha obrázku rovná:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metóda číslo 2
Plochu pôvodného tvaru si možno predstaviť ako súčet ostatných dvoch tvarov.
Potom vyriešime rovnicu čiary vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.
y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8
Plocha sa teda rovná:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 r + 9 2 - r 2 dy = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.
Odpoveď: S (G) = 11 3
výsledky
Aby sme našli plochu obrázku, ktorá je ohraničená danými čiarami, musíme postaviť čiary na rovine, nájsť ich priesečníky, použiť vzorec na nájdenie plochy. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie možnosti úloh.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter