Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zvládnutie skúšky z matematiky na 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie základnej skúšky z matematiky. Ak chcete spraviť skúšku na 90-100 bodov, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!
Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani študent humanitných vied.
Všetka teória, ktorú potrebujete. Rýchle spôsoby riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Demontoval všetky príslušné úlohy časti 1 z Banky úloh FIPI. Kurz plne spĺňa požiadavky skúšky-2018.
Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a priamočiaro.
Stovky úloh na skúšku. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov zadaní skúšok. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvíjanie priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, stupne a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.
Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.
Rovnobežník má všetky vlastnosti štvoruholníkov, ale okrem toho má svoje vlastné charakteristické rysy... Keď ich poznáme, môžeme ľahko nájsť obe strany a uhly rovnobežníka.
Vlastnosti rovnobežníka
- Súčet uhlov v akomkoľvek rovnobežníku, rovnako ako v každom štvoruholníku, je 360 °.
- Stredné čiary rovnobežníka a jeho uhlopriečky sa pretínajú v jednom bode a sú ním rozdelené na polovicu. Tento bod sa zvyčajne nazýva stred symetrie rovnobežníka.
- Opačné strany rovnobežníka sú vždy rovnaké.
- Tento obrázok má tiež vždy opačné uhly.
- Súčet uhlov, ktoré priliehajú na obe strany rovnobežníka, je vždy 180 °.
- Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná dvojnásobku súčtu druhých mocnín jeho dvoch susedných strán. To je vyjadrené vzorcom:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kde d 1 a d 2 sú uhlopriečky, a a b sú susedné strany.
- Kosínus tupého uhla je vždy menší ako nula.
Ako nájsť uhly daného rovnobežníka s použitím týchto vlastností v praxi? A aké ďalšie vzorce nám v tom môžu pomôcť? Zvážte konkrétne úlohy, ktoré si vyžadujú: nájdite hodnoty uhlov rovnobežníka.
Nájdenie uhlov rovnobežníka
Prípad 1. Miera tupého uhla je známa, je potrebné nájsť ostrý uhol.
Príklad: V rovnobežníku ABCD je uhol A 120°. Nájdite mieru zostávajúcich uhlov.
Riešenie: Pomocou vlastnosti 5 môžeme nájsť mieru uhla B susediaceho s uhlom uvedeným v úlohe. Bude sa rovnať:
- 180 ° -120 ° = 60 °
Teraz pomocou vlastnosti č. 4 určíme, že dva zostávajúce uhly C a D sú opačné k uhlom, ktoré sme už našli. Uhol C je opačný k uhlu A, uhol D je opačný k uhlu B. Preto sa im v pároch rovnajú.
- Odpoveď: B = 60 °, C = 120 °, D = 60 °
Prípad 2. Dĺžky strán a uhlopriečok sú známe
V tomto prípade musíme použiť kosínusovú vetu.
Najprv môžeme pomocou vzorca vypočítať kosínus uhla, ktorý potrebujeme, a potom pomocou špeciálnej tabuľky zistiť, aký je samotný uhol.
Pre ostrý uhol je vzorec: 
- cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kde
- a je požadovaný ostrý uhol,
- A a B - strany rovnobežníka,
- d - menšia uhlopriečka
Pre tupý uhol sa vzorec mierne mení:
- cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kde
- ß je tupý uhol,
- strany A a B,
- D - veľká uhlopriečka
Príklad: potrebujete nájsť ostrý uhol rovnobežníka, ktorého strany sú 6 cm a 3 cm a menšia uhlopriečka je 5,2 cm
Nahraďte hodnoty do vzorca na nájdenie ostrého uhla:
- cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
- cosa = 1/2. Podľa tabuľky zistíme, že požadovaný uhol je 60°.
Problém 1... Jeden z uhlov rovnobežníka je 65 °. Nájdite zvyšok uhlov rovnobežníka.
∠C = ∠A = 65° ako opačné uhly rovnobežníka.
∠А + ∠В = 180 ° ako uhly susediace s jednou stranou rovnobežníka.
∠В = 180 ° - ∠А = 180 ° - 65 ° = 115 °.
∠D = ∠B = 115° ako opačné uhly rovnobežníka.
Odpoveď: ∠А = ∠С = 65 °; ∠В = ∠D = 115 °.
Cieľ 2 Súčet dvoch uhlov rovnobežníka je 220 °. Nájdite uhly rovnobežníka.
Pretože rovnobežník má 2 rovnaké ostré rohy a 2 rovnaké tupé uhly, potom dostaneme súčet dvoch tupých uhlov, t.j. ∠В + ∠D = 220 °. Potom ∠В = ∠D = 220 ° :
2 = 110 °.
∠А + ∠В = 180 ° ako uhly susediace s jednou stranou rovnobežníka, teda ∠А = 180 ° - ∠В = 180 ° - 110 ° = 70 °. Potom ∠C = ∠A = 70 °.
Odpoveď: ∠А = ∠С = 70 °; ∠В = ∠D = 110 °.
Cieľ 3 Jeden z rohov rovnobežníka je 3-krát väčší ako druhý. Nájdite uhly rovnobežníka.
Nech ∠A = x. Potom ∠B = 3x. Keď vieme, že súčet uhlov rovnobežníka susediaceho s jeho jednou stranou je 180 °, zostavíme rovnicu.
x = 180 : 4;
Získame: ∠A = x = 45 ° a ∠B = 3x = 3 ∙ 45 ° = 135 °.
Opačné uhly rovnobežníka sú rovnaké, preto
∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °.
Odpoveď: ∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °.
Úloha 4. Dokážte, že ak má štvoruholník dve strany rovnobežné a rovnaké, potom tento štvoruholník je rovnobežník.
Dôkaz.
Nakreslíme uhlopriečku BD a uvažujme Δ ADB a Δ CBD.
AD = BC podľa podmienok. Strana BD je spoločná. ∠1 = ∠2 ako vnútorné križujúce sa čiary s rovnobežnými (podľa podmienky) čiarami AD a BC a sečnou čiarou BD. Preto Δ ADB = Δ CBD na dvoch stranách a uhol medzi nimi (1. znak rovnosti trojuholníkov). V rovnakých trojuholníkoch sú príslušné uhly rovnaké, čo znamená, že ∠3 = ∠4. A tieto uhly sú vnútorné priečne na priamych čiarach AB a CD a sečne BD. To znamená rovnobežnosť priamok AB a CD. V danom štvoruholníku ABCD sú teda protiľahlé strany po pároch rovnobežné, preto je podľa definície ABCD rovnobežník, čo sme museli dokázať.
Úloha 5. Dve strany rovnobežníka sú spojené ako 2 : 5 a obvod je 3,5 m. Nájdite strany rovnobežníka.
∙ (AB + AD).
Označme jednu časť x. potom AB = 2x, AD = 5x metrov. Keď vieme, že obvod rovnobežníka je 3,5 m, zostavíme rovnicu:
2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;
2 ∙ 7x = 3,5;
x = 3,5 : 14;
Jedna časť je 0,25 m. Potom AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.
Vyšetrenie.
Paralelogramový obvod P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).
Pretože protiľahlé strany rovnobežníka sú rovnaké, potom CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Odpoveď: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.
Rovnobežník je štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany rovnobežné, t.j. ležať na rovnobežných čiarach
Vlastnosti rovnobežníka: 
Veta 22.
Opačné strany rovnobežníka sú rovnaké.
Dôkaz. Nakreslite uhlopriečku AC do rovnobežníka ABCD. Trojuholníky ACD a ACB sú rovnaké, pretože majú spoločnú stranu AC a dva páry rovnakých uhlov. vedľa nej: ∠ САВ = ∠ АСD, ∠ АСВ = ∠ DAC (ako priečne ležiace uhly s rovnobežnými priamkami AD a BC). Preto AB = CD a BC = AD, ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď. Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva aj rovnosť zodpovedajúcich uhlov trojuholníkov:
Veta 23.
Opačné uhly rovnobežníka sú: ∠ A = ∠ C a ∠ B = ∠ D.
Rovnosť prvého páru pochádza z rovnosti trojuholníkov ABD a CBD a druhého - ABC a ACD.
Veta 24.
Priľahlé uhly rovnobežníka, t.j. uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov.
Ide totiž o vnútorné jednostranné rohy.
Veta 25.
Uhlopriečky rovnobežníka sa vo svojom priesečníku navzájom pretínajú.
Dôkaz. Zvážte trojuholníky BOC a AOD. Podľa prvej vlastnosti AD = BC ∠ OAD = ∠ OCB a ∠ ODA = ∠ OBC ako kríženie na rovnobežkách AD a BC. Preto sú trojuholníky BOC a AOD rovnaké pozdĺž strany a rohov priľahlých k nej. Preto BO = OD a AO = OS ako zodpovedajúce strany rovnakých trojuholníkov atď.
Paralelogramové znaky
Veta 26.
Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké, ide o rovnobežník.
Dôkaz. Nech má štvoruholník ABCD strany AD a BC, AB a CD (obr. 2). Nakreslíme uhlopriečku AC. Trojuholníky ABC a ACD sú na troch stranách rovnaké. Potom sú uhly BAC a DCA rovnaké, a preto je AB rovnobežná s CD. Rovnobežnosť strán BC a AD vyplýva z rovnosti uhlov CAD a ACB.
Veta 27.
Ak sú opačné uhly štvoruholníka rovnaké, ide o rovnobežník.
Nech ∠ A = ∠ C a ∠ B = ∠ D. Keďže ∠ А + ∠ В + ∠ С + ∠ D = 360 о, potom ∠ А + ∠ В = 180 о a strany AD a BC sú rovnobežné (na základe rovnobežnosti priamych čiar). Tiež dokážeme rovnobežnosť strán AB a CD a dospejeme k záveru, že ABCD je podľa definície rovnobežník.
Veta 28.
Ak priľahlé rohy štvoruholníka, t.j. uhly susediace s jednou stranou sú 180 stupňov, potom ide o rovnobežník.
Ak súčet vnútorných jednostranných uhlov tvorí 180 stupňov, potom sú priamky rovnobežné. To znamená, že AB je rovnobežná s CD a BC je rovnobežná s AD. Štvoruholník sa podľa definície javí ako rovnobežník.
Veta 29.
Ak sú uhlopriečky štvoruholníka vzájomne rozdelené v priesečníku na polovicu, potom je štvoruholník rovnobežník.
Dôkaz. Ak AO = OC, BO = OD, potom sú trojuholníky AOD a BOC rovnaké, pretože majú rovnaké uhly (vertikálne) vo vrchole O, uzavretom medzi pármi rovnakých strán. Z rovnosti trojuholníkov usudzujeme, že AD a BC sú rovnaké. Strany AB a CD sú tiež rovnaké a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa znaku 1.
Veta 30.
Ak má štvoruholník pár rovnakých rovnobežných strán, ide o rovnobežník.
Nech sú strany AB a CD rovnobežné a rovnaké v štvoruholníku ABCD. Nakreslíme si uhlopriečky AC a BD. Z rovnobežnosti týchto priamok vyplýva rovnosť krížových ležiacich uhlov ABO = CDO a BAO = OCD. Trojuholníky ABO a CDO sú rovnaké na strane a uhly priľahlé k nim. Preto AO = OC, BO = OD, t.j. uhlopriečky sú rozdelené na polovicu priesečníkom a štvoruholník sa ukáže ako rovnobežník podľa znaku 4.
V geometrii sa zvažujú špeciálne prípady rovnobežníka.
ŠTYRI ROHY.
§ 43. PARALELÓGRAM.
1. Definícia rovnobežníka.
Ak pretneme dvojicu rovnobežných priamok s ďalšou dvojicou rovnobežiek, dostaneme štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany po pároch rovnobežné.
V štvoruholníkoch ABDC a EFNM (kresba 224) BD || AC a AB || CD;
ЕF || МN a ЕМ || FN.
Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva rovnobežník.
2. Vlastnosti rovnobežníka.
Veta. Uhlopriečka rovnobežníka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.
Nech existuje rovnobežník ABDC (obr. 225), v ktorom AB || CD a AC || BD.
Je potrebné dokázať, že uhlopriečka ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky.
Nakreslíme uhlopriečku CB do rovnobežníka ABDC. Dokážme to /\ CAB = /\ CDB.
Strana CB je spoločná pre tieto trojuholníky; / ABC = / ВСD, ako vnútorné krížové uhly s paralelnými AB a CD a sečnovými CB; / ASV = / CBD, aj ako vnútorné priečne ležiace uhly s paralelnými AC a BD a sečnými CB (§ 38).
Odtiaľ /\ CAB = /\ CDB.
Rovnakým spôsobom sa dá dokázať, že uhlopriečka AD rozdelí rovnobežník na dva rovnaké trojuholníky ACD a ABD.
Dôsledky. 1 . Opačné uhly rovnobežníka sú si navzájom rovné.
/
A = /
D, to vyplýva z rovnosti trojuholníkov CAB a CDB.
Podobne /
C = /
V.
2. Opačné strany rovnobežníka sú si navzájom rovné.
AB = CD a AC = BD, pretože sú to strany rovnakých trojuholníkov a ležia oproti rovnakým uhlom.
Veta 2. Uhlopriečky rovnobežníka sú v bode ich priesečníka polovičné.
Nech BC a AD sú uhlopriečky rovnobežníka ABDC (obr. 226). Dokážme, že AO = OD a CO = OB.
Ak to chcete urobiť, porovnajte napríklad ľubovoľnú dvojicu opačných trojuholníkov /\ AOB a /\ TRESKA.
V týchto trojuholníkoch AB = CD, ako protiľahlé strany rovnobežníka;
/
1 = /
2, ako vnútorné uhly v kríži ležiace s rovnobežkami AB a CD a sečnicou AD;
/
3 = /
4 z rovnakého dôvodu, keďže AB || CD a CB sú ich sekantom (§ 38).
Z toho teda vyplýva /\ AОВ = /\ TRESKA. A v rovnakých trojuholníkoch oproti rovnakým uhlom sú rovnaké strany. Preto AO = OD a CO = OB.
Veta 3. Súčet uhlov susediacich s jednou stranou rovnobežníka je 2 d .
Dokáž sa.
3. Znaky rovnobežníka.
Veta. Ak sú protiľahlé strany štvoruholníka v pároch rovnaké, potom je tento štvoruholník rovnobežník.
Nech v štvoruholníku ABDC (obr. 227) AB = CD a AC = BD. Dokážme, že za tejto podmienky AB || CD a AC || ВD, t.j. štvoruholník ABDC je rovnobežník.
Spojme úsečkou ľubovoľné dva jeho protiľahlé vrcholy - štvoruholník, napríklad C a B. Štvoruholník ABDC rozdelený na dva rovnaké trojuholníky: /\
CAB a /\
CDB. V skutočnosti majú spoločnú stranu CB, AB = CD a AC = BD podľa podmienok. Preto sú tri strany jedného trojuholníka rovnaké ako tri strany druhého trojuholníka /\
CAB = /\
CDB.
Ležte v rovnakých trojuholníkoch proti rovnakým stranám rovnaké uhly, Preto
/
1 = /
2 a /
3 = /
4.
Uhly 1 a 2 sú vnútorné krížové uhly v priesečníku priamok AB a CD priamky CB. Preto AB || CD.
Rovnakým spôsobom sú 3. a 4. uhol vnútornými križujúcimi sa uhlami v priesečníku priamok CA a BD priamky CB, preto CA || BD (§ 35).
Protiľahlé strany štvoruholníka ABDC sú teda po pároch rovnobežné, preto ide o rovnobežník, čo bolo potrebné dokázať.
Veta 2. Ak sú dve protiľahlé strany štvoruholníka rovnaké a rovnobežné, potom je tento štvoruholník rovnobežníkom.
Nech v štvoruholníku ABDС AB = CD a AB || CD. Dokážme, že za týchto podmienok je štvoruholník ABDC rovnobežník (obr. 228).
Spojme úsečkou CB vrcholy C a B. Vzhľadom na rovnobežnosť priamok AB a CD sú uhly 1 a 2 ako vnútorné uhly ležiace v kríži rovnaké (§ 38).
Potom trojuholník CAB rovný trojuholníku CDB, keďže majú spoločnú CB stranu,
AB = CD podmienkou vety a /
1 = /
2, ako bolo preukázané. Rovnosť týchto trojuholníkov znamená rovnosť uhlov 3 a 4, pretože ležia na opačných rovnakých stranách v rovnakých trojuholníkoch.
Ale uhly 3 a 4 sú vnútorné priečne ležiace uhly vytvorené v priesečníku priamok AC a BD priamky CB, preto AC || BD (§ 35), teda štvoruholník
ABDC - rovnobežník.
Cvičenia.
1. Dokážte, že ak sú uhlopriečky štvoruholníka v bode ich vzájomného priesečníka polovičné, potom tento štvoruholník je rovnobežník.
2. Dokážte, že štvoruholník, ktorého súčet vnútorné rohy priľahlé ku každej z dvoch susedných strán sa rovná 2 d, je tam rovnobežník.
3. Zostrojte rovnobežník pozdĺž dvoch strán a uhol medzi nimi:
a) pomocou rovnobežnosti protiľahlých strán rovnobežníka;
b) pomocou rovnosti protiľahlých strán rovnobežníka.
4. Zostrojte rovnobežník pozdĺž dvoch susedných strán a uhlopriečky.
5. Zostrojte rovnobežník pozdĺž jeho dvoch uhlopriečok a uhla medzi nimi.
6. Zostrojte rovnobežník pozdĺž jeho strany a dvoch uhlopriečok.