5x (x - 4) = 0

5 x = 0 või x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Olles õppinud lahendama esimese astme võrrandeid, tahan loomulikult töötada koos teistega, eriti teise astme võrranditega, mida nimetatakse muul viisil ruutkeskseteks.

Ruutvõrrandid on võrrandid tüüpi ax ² + bx + c = 0, kus muutuja on x, on arvud - a, b, c, kus a ei ole võrdne nulliga.

Kui ruutvõrrandis on üks või teine ​​koefitsient (c või b) võrdne nulliga, siis see võrrand viitab mittetäielikule ruutvõrrandile.

Kuidas saab lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, kui õpilased on seni suutnud lahendada vaid esimese astme võrrandeid? Vaatleme mittetäielikke ruutvõrrandeid erinevad tüübid ja lihtsaid viise nende lahendusi.

a) Kui koefitsient c on 0 ja koefitsient b ei ole võrdne nulliga, taandatakse ax ² + bx + 0 = 0 võrrandiks kujul ax ² + bx = 0.

Sellise võrrandi lahendamiseks on vaja teada mittetäieliku ruutvõrrandi lahendamise valemit, mis seisneb selle vasaku külje faktoriseerimises ja hilisemas korrutise nulliga võrdsuse tingimuse kasutamises.

Näiteks 5x ² - 20x = 0. Koefitsiendi võrrandi vasak pool, sooritades samal ajal tavalist matemaatilist operatsiooni: ühisteguri sulgudest välja võtmine

5x (x - 4) = 0

Kasutame tingimust, et tooted on võrdsed nulliga.

5 x = 0 või x - 4 = 0

Vastus on järgmine: esimene juur on 0; teine ​​juur on 4.

b) Kui b = 0 ja vaba liige ei ole võrdne nulliga, siis taandatakse võrrand ax ² + 0x + c = 0 võrrandiks kujul ax ² + c = 0. Võrrandid lahendatakse kahel viisil. : a) laiendades vasakpoolse võrrandi polünoomi teguriteks ; b) kasutades aritmeetilise ruutjuure omadusi. Selline võrrand lahendatakse ühe meetodi abil, näiteks:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Vastus on: esimene juur on 5/2; teine ​​juur on - 5/2.

c) Kui b võrdub 0 ja c on 0, siis ax ² + 0 + 0 = 0 taandatakse võrrandiks kujul ax ² = 0. Sellises võrrandis võrdub x 0-ga.

Nagu näete, ei saa mittetäielikel ruutvõrranditel olla rohkem kui kaks juurt.

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oskus neid lahendada on hädavajalik.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid võib tinglikult jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus. ruutvõrrandid lineaarsest, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas määrata, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks vaid arv D = b 2 - 4ac.

Peate seda valemit peast teadma. Kust see tuleb – see pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D> 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud mingil põhjusel usuvad. Vaadake näiteid - ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Kirjutame üles esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskriminandi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit sarnasel viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane võrrand jääb alles:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant on null - seal on üks juur.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on kirjutatud koefitsiendid. Jah, see on pikk, jah, see on igav – aga te ei aja koefitsiente segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui "täidate oma käe", ei pea te mõne aja pärast enam kõiki koefitsiente välja kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 võrrandi lahendamist – üldiselt mitte nii palju.

Ruutjuured

Liigume nüüd lahenduse juurde. Kui diskriminant D> 0, saab juured leida valemitega:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest – saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D> 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Otsime need üles:

Teine võrrand:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ võrrandil on jälle kaks juurt. Otsige need üles

\ [\ begin (joonda) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vasak (-1 \ parem)) = 3. \\ \ lõpp (joonda) \]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead valemis negatiivsete koefitsientide asendamisel. Siin aitab jällegi ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, kirjeldage iga sammu - ja varsti saate vigadest lahti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb definitsioonis esitatust mõnevõrra. Näiteks:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

On lihtne näha, et nendes võrrandites puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: nende jaoks pole vaja isegi diskriminanti arvutada. Niisiis, tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. koefitsient muutuja x või vaba elemendi juures on võrdne nulliga.

Muidugi on võimalik väga keeruline juhtum, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b = c = 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 = 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x = 0.

Vaatleme ülejäänud juhtumeid. Olgu b = 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c = 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, on viimane võrdsus mõttekas ainult (−c / a) ≥ 0 korral. Järeldus:

1. Kui ebatäielikus ruutvõrrandis kujul ax 2 + c = 0 kehtib ebavõrdsus (−c / a) ≥ 0, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c / a)< 0, корней нет.

Nagu näete, polnud diskriminanti vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c / a) ≥ 0. Piisab kui väljendada väärtust x 2 ja vaadata, mis asub teisel pool võrdusmärki. Kui seal positiivne arv- tuleb kaks juurt. Kui see on negatiivne, siis pole juuri.

Nüüd käsitleme võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi arvutamisest:

Sulgumine ühine tegur

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Siit on juured. Kokkuvõtteks analüüsime mitmeid selliseid võrrandeid:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Juured puuduvad, tk. ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Esimene tase

Ruutvõrrandid. Põhjalik juhend (2019)

Mõiste "ruut" puhul on võtmesõnaks "ruut". See tähendab, et võrrand peab tingimata sisaldama muutujat (sama x) ruudus ja kolmandas (või suuremas) astmes ei tohi olla x-i.

Paljude võrrandite lahendus taandatakse ruutvõrrandite lahendiks.

Õpime kindlaks tegema, et meil on ruutvõrrand, mitte mõni muu.

Näide 1.

Vabaneme nimetajast ja korrutame võrrandis iga liikme arvuga

Liigutage kõik vasakule ja korraldage terminid x-i astmete järgi kahanevas järjekorras

Nüüd võime kindlalt väita, et see võrrand on ruutkeskne!

Näide 2.

Korrutame vasaku ja parem pool peal:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!

Näide 3.

Korrutame kõik arvuga:

Kardetavasti? Neljas ja teine ​​aste ... Kui aga teeme asendus, siis näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4.

Tundub, et see on olemas, kuid vaatame lähemalt. Liigume kõik vasakule poole:

Näete, see on kahanenud – ja nüüd on see lihtne lineaarvõrrand!

Nüüd proovige ise välja mõelda, millised järgmistest võrranditest on ruutsuurused ja millised mitte:

Näited:

Vastused:

1. ruut;
2. ruut;
3. mitte ruudukujuline;
4. mitte ruudukujuline;
5. mitte ruudukujuline;
6. ruut;
7. mitte ruudukujuline;
8. ruut.

Matemaatikud jagavad kõik ruutvõrrandid tinglikult järgmisele kujule:

• Täielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsiendid ja, samuti vaba liige c ei ole võrdne nulliga (nagu näites). Lisaks on täielike ruutvõrrandite hulgas antud- need on võrrandid, milles koefitsient (esimese näite võrrand pole mitte ainult täielik, vaid ka vähendatud!)

• Mittetäielikud ruutvõrrandid- võrrandid, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

  Need on puudulikud, kuna neil puudub mõni element. Kuid võrrandis peab alati olema x ruudus!!! Vastasel juhul pole see enam ruut, vaid mõni muu võrrand.

Miks sa sellise jaotuse välja mõtlesid? Näib, et seal on X ruudus ja olgu. See jaotus tuleneb lahendusmeetoditest. Vaatleme igaüks neist üksikasjalikumalt.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Kõigepealt peatume mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisel – need on palju lihtsamad!

Mittetäielikud ruutvõrrandid on järgmist tüüpi:

1. , selles võrrandis on koefitsient.
2. , selles võrrandis on vaba liige.
3. , selles võrrandis on koefitsient ja lõikepunkt võrdsed.

1.ja. Kuna me teame, kuidas võtta ruutjuurt, siis väljendame seda võrrandit

Väljend võib olla negatiivne või positiivne. Arv ruudus ei saa olla negatiivne, sest kahe negatiivse või kahe positiivse arvu korrutamisel on tulemuseks alati positiivne arv, seega: kui, siis võrrandil pole lahendeid.

Ja kui, siis saame kaks juurt. Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peaasi, et sa pead teadma ja alati meeles pidama, et vähem ei saa olla.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Lahenda võrrand

Nüüd jääb alles välja tõmmata juur vasakult ja paremalt küljelt. Kas mäletate, kuidas juuri välja tõmmata?

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivseid juuri !!!

Näide 6:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 7:

Lahenda võrrand

Oeh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri!

Võrrandite jaoks, millel pole juuri, on matemaatikud välja mõelnud spetsiaalse ikooni – (tühi komplekt). Ja vastuse saab kirjutada nii:

Vastus:

Seega on sellel ruutvõrrandil kaks juurt. Siin pole piiranguid, kuna me juurt ei ekstraktinud.
Näide 8:

Lahenda võrrand

Võtame sulgudest välja ühisteguri:

Seega

Sellel võrrandil on kaks juurt.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruutvõrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Teeme siin ilma näideteta.

Täielike ruutvõrrandite lahendamine

Tuletame meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrand vormi võrrandist, kus

Täielike ruutvõrrandite lahendamine on veidi keerulisem (lihtsalt veidi) kui etteantud.

Pea meeles, mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Ülejäänud meetodid aitavad teil seda kiiremini teha, kuid kui teil on ruutvõrranditega probleeme, õppige esmalt lahendus selgeks diskriminandi abil.

1. Ruutvõrrandite lahendamine diskriminandi abil.

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on väga lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit.

Kui, siis on võrrandil juur. Erilist tähelepanu astu sammu. Diskriminant () näitab meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis taandatakse etapis olev valem väärtusele. Seega on võrrandil kogu juur.
• Kui, siis ei saa me etapis diskriminandist juurt eraldada. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Läheme tagasi võrrandite juurde ja vaatame mõnda näidet.

Näide 9:

Lahenda võrrand

Samm 1 vahele jätma.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

Seega on võrrandil kaks juurt.

3. samm.

Vastus:

Näide 10:

Lahenda võrrand

Seetõttu esitatakse võrrand standardkujul Samm 1 vahele jätma.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

Seega on võrrandil üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Lahenda võrrand

Seetõttu esitatakse võrrand standardkujul Samm 1 vahele jätma.

2. samm.

Leiame diskrimineerija:

Seetõttu ei saa me diskriminandi juurt eraldada. Võrrandi juured puuduvad.

Nüüd teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti üles kirjutada.

Vastus: Pole juuri

2. Ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, on teatud tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse redutseeritud (kui koefitsient a on võrdne):

Selliseid võrrandeid on Vieta teoreemi abil väga lihtne lahendada:

Juurte summa antud ruutvõrrand on ja juurte korrutis on.

Näide 12:

Lahenda võrrand

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna ...

Võrrandi juurte summa on võrdne, s.o. saame esimese võrrandi:

Ja toode on võrdne:

Koostame ja lahendame süsteemi:

• ja. Summa on võrdne;
• ja. Summa on võrdne;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Lahenda võrrand

Vastus:

Näide 14:

Lahenda võrrand

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vastus:

RUUTVÕRDED. KESKMINE TASE

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on mõned arvud ja.

Numbrit nimetatakse vanimaks või esimene koefitsient ruutvõrrand, - teine ​​koefitsient, a - vaba liige.

Miks? Sest kui, võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaduma.

Pealegi ja võib olla võrdne nulliga. Selles õppetoolis nimetatakse võrrandit mittetäielikuks. Kui kõik tingimused on paigas, see tähendab, et võrrand on valmis.

Erinevat tüüpi ruutvõrrandite lahendused

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

Alustuseks analüüsime mittetäielike ruutvõrrandite lahendamise meetodeid - need on lihtsamad.

Eristada saab järgmist tüüpi võrrandeid:

I., selles võrrandis on koefitsient ja lõikepunkt võrdsed.

II. , selles võrrandis on koefitsient.

III. , selles võrrandis on vaba liige.

Vaatame nüüd igale sellisele alatüübile lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Ruutarv ei saa olla negatiivne, sest kui korrutada kaks negatiivset või kaks positiivset arvu, on tulemuseks alati positiivne arv. Sellepärast:

kui, siis võrrandil pole lahendeid;

kui, meil on kaks juurt

Neid valemeid pole vaja pähe õppida. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et see ei saa olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ärge kunagi unustage negatiivseid juuri!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab, et võrrand

pole juuri.

Lühidalt fikseerimiseks, et probleemil pole lahendusi, kasutame tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Seega on sellel võrrandil kaks juurt: ja.

Vastus:

Tõmmake ühistegur sulgudest välja:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Niisiis, sellel ruutvõrrandil on kaks juurt: ja.

Näide:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Korrutage võrrandi vasak pool ja leidke juured:

Vastus:

Täielike ruutvõrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskriminant

Ruutvõrrandite lahendamine sel viisil on lihtne, peamine on meeles pidada toimingute jada ja paar valemit. Pidage meeles, et mis tahes ruutvõrrandit saab lahendada diskriminandi abil! Isegi mittetäielik.

Kas olete juurvalemis märganud diskriminandi juurt? Kuid diskrimineerija võib olla negatiivne. Mida teha? Erilist tähelepanu tuleb pöörata sammule 2. Diskriminant näitab meile võrrandi juurte arvu.

• Kui, siis on võrrandil juur:
• Kui, siis on võrrandil sama juur, kuid tegelikult üks juur:

  Selliseid juuri nimetatakse topeltjuurteks.

• Kui, siis diskriminandi juurt ei eraldata. See näitab, et võrrandil pole juuri.

Miks on see võimalik erinev summa juured? Pöördume ruutvõrrandi geomeetrilise tähenduse juurde. Funktsioonigraafik on parabool:

Erijuhul, mis on ruutvõrrand,. Ja see tähendab, et ruutvõrrandi juured on lõikepunktid abstsissteljega (teljega). Parabool ei pruugi teljega üldse ristuda või võib seda ristuda ühes (kui parabooli tipp asub teljel) või kahes punktis.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli harude suuna eest. Kui, siis on parabooli oksad suunatud ülespoole ja kui - siis alla.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus:.

Vastus:

Seega lahendusi pole.

Vastus:.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi kasutamine on väga lihtne: tuleb lihtsalt valida numbripaar, mille korrutis on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summaks on teine ​​koefitsient, mis on võetud vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vieta teoreemi saab rakendada ainult selles redutseeritud ruutvõrrandid ().

Vaatame mõnda näidet:

Näide nr 1:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

See võrrand sobib lahendamiseks Vieta teoreemi abil, kuna ... Muud koefitsiendid:; ...

Võrrandi juurte summa on:

Ja toode on võrdne:

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

• ja. Summa on võrdne;
• ja. Summa on võrdne;
• ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega ja on meie võrrandi juured.

Vastus: ; ...

Näide nr 2:

Lahendus:

Valime välja sellised arvupaarid, mis korrutis annavad, ja seejärel kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: liida.

ja: liida. Et saada, peate lihtsalt muutma väidetavate juurte märke: ja lõppude lõpuks ka toodet.

Vastus:

Näide nr 3:

Lahendus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne, mis tähendab, et juurte korrutis on negatiivne arv. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine ​​on positiivne. Seetõttu on juurte summa nende moodulite erinevus.

Valime sellised arvupaarid, mis annavad korrutis ja mille erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on võrdne - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - sobib. Jääb vaid meeles pidada, et üks juurtest on negatiivne. Kuna nende summa peab olema võrdne, peab absoluutväärtuse väikseima juur olema negatiivne:. Kontrollime:

Vastus:

Näide nr 4:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Vaba termin on negatiivne, mis tähendab, et juurte korrutis on negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui võrrandi üks juur on negatiivne ja teine ​​positiivne.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne, ja seejärel määrame, millistel juurtel peaks olema negatiivne märk:

Ilmselt sobivad esimese tingimuse jaoks ainult juured:

Vastus:

Näide nr 5:

Lahenda võrrand.

Lahendus:

Võrrand on taandatud, mis tähendab:

Juurte summa on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Aga kuna nende toode on positiivne, siis on mõlemad juured miinusmärgiga.

Valime sellised arvupaarid, mille korrutis on võrdne:

Ilmselgelt on juurteks numbrid ja.

Vastus:

Tunnistage, väga mugav on juured suuliselt välja mõelda, selle vastiku diskrimineerija lugemise asemel. Proovige kasutada Vieta teoreemi nii sageli kui võimalik.

Kuid Vieta teoreem on vajalik juurte leidmise hõlbustamiseks ja kiirendamiseks. Selle kasutamise kasumlikuks muutmiseks peate toimingud automatiseerima. Ja selleks otsustage veel viie näite kasuks. Kuid ärge petke: te ei saa diskriminanti kasutada! Ainult Vieta teoreem:

Iseseisva töö ülesannete lahendused:

Ülesanne 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Vieta teoreemi järgi:

Nagu ikka, alustame valikut tükiga:

Ei sobi, kuna kogus;

: summa on see, mida vajate.

Vastus: ; ...

2. ülesanne.

Ja jälle meie lemmik Vieta teoreem: summa peaks välja tulema, kuid korrutis on võrdne.

Kuid kuna see peaks olema mitte, vaid, siis muudame juurte märke: ja (summas).

Vastus: ; ...

3. ülesanne.

Hmm... Kus see on?

Kõik tingimused on vaja üle kanda ühte ossa:

Juurte summa on võrdne korrutisega.

Nii et lõpetage! Võrrandit pole antud. Kuid Vieta teoreem on rakendatav ainult ülaltoodud võrrandites. Nii et kõigepealt peate tooma võrrandi. Kui te ei saa seda välja tuua, siis loobuge sellest ettevõtmisest ja lahendage see muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et ruutvõrrandi toomine tähendab juhtiva koefitsiendi muutmist võrdseks:

Hästi. Siis on juurte summa võrdne ja korrutis.

Siit on lihtne üles võtta: lõppude lõpuks - algarv (vabandan tautoloogia pärast).

Vastus: ; ...

4. ülesanne.

Vaba termin on negatiivne. Mis selles nii erilist on? Ja see, et juured on erineva märgiga. Ja nüüd, valiku käigus, kontrollime mitte juurte summat, vaid nende moodulite erinevust: see erinevus on võrdne, vaid korrutis.

Niisiis, juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Vieta teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, st. See tähendab, et väiksemal juurel on miinus: ja, kuna.

Vastus: ; ...

5. ülesanne.

Mis on esimene asi, mida teha? See on õige, esitage võrrand:

Jällegi: valime arvu tegurid ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja, kuid üks neist on miinusega. Milline? Nende summa peab olema võrdne, mis tähendab, et miinusega on suurem juur.

Vastus: ; ...

Kokku võtma:

1. Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruutvõrrandites.
2. Vieta teoreemi kasutades leiad juured valiku teel, suuliselt.
3. Kui võrrandit pole antud või pole ühtegi sobivat vaba termini kordajate paari, siis pole terveid juuri ja tuleb lahendada muul viisil (näiteks diskriminandi kaudu).

3. Tervikruudu valiku meetod

Kui kõik tundmatut sisaldavad liikmed on esitatud lühendatud korrutusvalemite terminitena - summa või vahe ruuduna -, siis võib võrrandi pärast muutujate muutmist esitada mittetäieliku tüübi ruutvõrrandina.

Näiteks:

Näide 1:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

Näide 2:

Lahendage võrrand:.

Lahendus:

Vastus:

V üldine vaade teisendus näeb välja selline:

See tähendab:.

Kas see ei tundu midagi? See on diskrimineerija! See on õige, me saime diskrimineeriva valemi.

RUUTVÕRDED. LÜHIDALT PEAMISEST

Ruutvõrrand on võrrand kujul, kus on tundmatu, on ruutvõrrandi kordajad, on vaba liige.

Täielik ruutvõrrand- võrrand, mille koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient, see on:.

Mittetäielik ruutvõrrand- võrrand, milles koefitsient ja/või vaba liige c on võrdne nulliga:

• kui koefitsient, on võrrandil järgmine kuju:,
• kui vaba liige, on võrrandil vorm:,
• kui ja, on võrrandi vorm:.

1. Algoritm mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks

1.1. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Väljendagem tundmatut:,

2) Kontrollige väljendi märki:

• kui, siis võrrandil pole lahendeid,
• kui, siis võrrandil on kaks juurt.

1.2. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

1) Tõmmake ühistegur sulgudest välja:,

2) Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Seetõttu on võrrandil kaks juurt:

1.3. Vormi mittetäielik ruutvõrrand, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur:.

2. Algoritm täisruutvõrrandite lahendamiseks kujul kus

2.1. Otsus diskriminant kasutades

1) Toome võrrandi standardvaade: ,

2) Arvutame diskriminandi valemiga:, mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leidke võrrandi juured:

• kui, siis on võrrandil juured, mis leitakse valemiga:
• kui, siis on võrrandil juur, mis leitakse valemiga:
• kui, siis võrrandil pole juuri.

2.2. Lahendus Vieta teoreemi abil

Redutseeritud ruutvõrrandi (kuju võrrand, kus) juurte summa on võrdne ja juurte korrutis on võrdne, s.o. , a.

2.3. Täisruudu lahendus

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Valla eelarveline õppeasutus, keskkool number 11

Töö tekst on paigutatud ilma kujutiste ja valemiteta.
Täisversioon töö on saadaval PDF-vormingus vahekaardil "Töö failid".

Ruutvõrrandite ajalugu

Babülon

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis juba antiikajal vajadus lahendada maa-alade leidmisega, astronoomia ja matemaatika enda arenguga seotud probleeme. Nad suutsid ruutvõrrandid lahendada umbes 2000 eKr. NS. babüloonlased. Nende võrrandite lahendamise reeglid, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, langevad sisuliselt kokku tänapäevaste reeglitega, kuid neil tekstidel puudub negatiivse arvu mõiste ja üldised meetodid ruutvõrrandite lahendused.

Vana-Kreeka

aastal viidi läbi ka ruutvõrrandite lahendamine Vana-Kreeka sellised teadlased nagu Diophantus, Euclid ja Heron. Diophantus Diophantus Aleksandriast on Vana-Kreeka matemaatik, kes arvatavasti elas 3. sajandil pKr. Diophantuse peateos on "Aritmeetika" 13 raamatus. Euclid. Euclid on Vana-Kreeka matemaatik, esimese meieni jõudnud teoreetilise matemaatika traktaadi autor Heron. Heron on kreeka matemaatik ja insener esimest korda Kreekas 1. sajandil pKr. annab puhtalgebralise viisi ruutvõrrandi lahendamiseks

India

Ruutvõrrandite probleeme käsitletakse juba astronoomilises traktaadis "Aryabhattiam", mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India õpetlane Brahmagupta (VII sajand) kirjeldas üldreegel ruutvõrrandite lahendused, mis on taandatud ühele kanoonilisele kujule: ax2 + bх = с, а> 0. (1) Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel on sisuliselt sama, mis meil. Indias oli avalik konkurents keeruliste probleemide pärast tavaline. Üks iidsetest India raamatutest ütleb selliste võistluste kohta järgmist: „Nii nagu päike varjutab oma säraga tähti, nii teadlane varjutab populaarsete koosluste hiilguse, pakkudes välja ja lahendades algebralisi probleeme. Ülesanded olid sageli poeetilises vormis.

Siin on üks kuulsa XII sajandi India matemaatiku ülesannetest. Bhaskaras.

"Kirjuv ahvikari

Ja kaksteist liaani sõin jõuga ära, mul oli lõbus

Nad hakkasid rippudes hüppama

Kaheksas osa ruudus

Kui palju ahve seal oli

Ma lõbustasin lagendikul

Ütle mulle, selles pakis?

Bhaskara lahendus näitab, et autor teadis ruutvõrrandite kaheväärtuslikke juuri. Ülesandele vastav Bhaskari võrrand on kirjutatud x2 - 64x = - 768 varjus ja selle võrrandi vasaku külje lõpetamiseks ruuduks lisatakse mõlemale poolele 322, saades siis: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32) 2 = 256, x - 32 = ± 16, x1 = 16, x2 = 48.

Ruutvõrrandid sisse Euroopa XVII sajandil

Al - Khorezmi mudelil Euroopas ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud "Abakuse raamatus". Seda mahukat teost, mis peegeldab matemaatika mõju nii islamimaades kui ka Vana-Kreekas, eristab nii esitusviis kui ka selgus. Mõned uued on autor ise välja töötanud. algebralised näited probleemide lahendamine ja oli esimene Euroopas, kes lähenes sissejuhatusele negatiivsed arvud... Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levitamisele mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljud "Abakuse raamatu" probleemid kandusid peaaegu kõikidesse 16.–17. sajandi Euroopa õpikutesse. ja osaliselt XVIII. Ruutvõrrandi üldisel kujul lahendamise valemi tuletus on Vietis saadaval, kuid Viet tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Mõelge lisaks positiivsetele ja negatiivsetele juurtele. Alles 17. sajandil. Tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle omandab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

Ruutvõrrandi definitsioon

Võrrandit kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a, b, c on arvud, nimetatakse ruuduks.

Ruutvõrrandi koefitsiendid

Arvud a, b, c on ruutvõrrandi koefitsiendid. A on esimene koefitsient (enne x²), a ≠ 0, b on teine ​​koefitsient (enne x), c on vaba liige (ilma x-ita).

Millised antud võrrandid ei ole ruudukujulised?

1. 4x² + 4x + 1 = 0; 2. 5x - 7 = 0; 3. - x² - 5x - 1 = 0; 4. 2 / x² + 3x + 4 = 0; 5. ¼ x² – 6x + 1 = 0; 6. 2x² = 0;

7,4x² + 1 = 0; 8. x² – 1 / x = 0; 9. 2x² – x = 0; 10. x² -16 = 0; 11. 7x² + 5x = 0; 12. -8x² = 0; 13. 5x³ + 6x -8 = 0.

Ruutvõrrandite tüübid

Nimi	Võrrandi üldvaade	Funktsioon (mis on koefitsiendid)	Näited võrranditest
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c – muud numbrid kui 0	1 / 3x 2 + 5x - 1 = 0
Mittetäielik
			x 2 - 1 / 5x = 0
Antud	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redutseeritud on ruutvõrrand, milles juhtiv koefitsient on võrdne ühega... Sellise võrrandi saab kogu avaldise jagamisel juhtiva koefitsiendiga a:

x 2 + px + q = 0, p = b / a, q = c / a

Sellist ruutvõrrandit nimetatakse täielikuks, mille kõik koefitsiendid on nullist erinevad.

Mittetäielik on ruutvõrrand, milles vähemalt üks koefitsient, välja arvatud juhtiv (kas teine ​​koefitsient või vaba liige), on võrdne nulliga.

Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Meetod I. Üldvalem juurte arvutamiseks

Ruutvõrrandi juurte leidmiseks kirves 2 + b + c = 0üldiselt tuleks kasutada järgmist algoritmi:

Arvutage ruutvõrrandi diskriminandi väärtus: seda nimetatakse avaldiseks D = b 2 - 4ac

Valemi tuletamine:

Märge: on ilmne, et kordsuse 2 juure valem on üldvalemi erijuhtum, mis saadakse võrrandi D = 0 asendamisel sellesse ja järeldus tegelike juurte puudumise kohta D0 juures ja (displaystyle (sqrt ( -1)) = i) = i.

Kirjeldatud meetod on universaalne, kuid see pole kaugeltki ainus. Ühe võrrandi lahendusele võib läheneda erinevalt, eelistused sõltuvad enamasti otsustavamast. Lisaks osutuvad mõned meetodid sageli selleks palju elegantsemaks, lihtsamaks ja vähem aeganõudvamaks kui tavaline.

II meetod. Ruutjuured ühtlase koefitsiendiga b III meetod. Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

IV meetod. Koefitsientide osasuhete kasutamine

Ruutvõrrandite puhul on erijuhtumeid, kus koefitsiendid on omavahel suhetes, mis teeb nende lahendamise palju lihtsamaks.

Ruutvõrrandi juured, mille juhtkoefitsiendi ja lõikepunkti summa on võrdne teise koefitsiendiga

Kui ruutvõrrandis kirves 2 + bx + c = 0 esimese koefitsiendi ja vaba liikme summa on võrdne teise koefitsiendiga: a + b = c, siis selle juured on -1 ja arv, mis on vastupidine vaba liikme ja juhtivate koefitsientide suhtele ( -c / a).

Seetõttu tuleks enne ruutvõrrandi lahendamist kontrollida selle teoreemi rakendamise võimalust: võrrelda juhtkoefitsiendi ja vaba liikme summat teise koefitsiendiga.

Ruutvõrrandi juured, mille kõigi koefitsientide summa on võrdne nulliga

Kui ruutvõrrandis on kõigi selle koefitsientide summa null, siis on sellise võrrandi juurteks 1 ja vaba liikme suhe juhtivasse koefitsiendisse ( c / a).

Seetõttu tuleks enne võrrandi lahendamist standardmeetoditega kontrollida selle teoreemi rakendatavust: liita kokku kõik selle võrrandi koefitsiendid ja vaadata, kas see summa on võrdne nulliga.

V meetod. Ruuttrinoomi lagunemine lineaarseteks teguriteks

Kui vormi kolmik (kuvastiil ax ^ (2) + bx + c (anot = 0)) ax 2 + bx + c (a ≠ 0) saab kuidagi esitada lineaarsete tegurite korrutisena (kuvamisstiil (kx + m) (lx + n) = 0) (kx + m) (lx + n), siis leiate võrrandi juured kirves 2 + bx + c = 0- need on tõepoolest -m / k ja n / l, sest (kuvastiil (kx + m) (lx + n) = 0pikkvasakparemnool kx + m = 0 tassi lx + n = 0) (kx + m) (lx + n) = 0 kx + mUlx + n ja lahendades näidatud lineaarvõrrandid, saame ülaltoodu. Pange tähele, et ruuttrinoom ei lagune alati reaalkoefitsientidega lineaarseteks teguriteks: see on võimalik, kui vastaval võrrandil on reaaljuured.

Vaatleme mõningaid erijuhtumeid

Ruutsumma (vahe) valemi kasutamine

Kui ruudukujulise trinoomi kuju on (kuvamisstiil (ax) ^ (2) + 2abx + b ^ (2)) ax 2 + 2abx + b 2, siis rakendades sellele ülaltoodud valemit, saame selle arvutada lineaarseteks teguriteks ja seega leidke juured:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Summa täisruudu väljavõtmine (erinevus)

Nimetatud valemit kasutatakse ka meetodi abil, mida nimetatakse "summa (erinevuse) täisruudu esiletõstmiseks". Antud ruutvõrrandi puhul, millel on eelnevalt kasutusele võetud tähised, tähendab see järgmist:

Märge: kui märkasite see valem langeb kokku jaotises "Taandatud ruutvõrrandi juured" pakutuga, mille saab omakorda saada üldvalemist (1), asendades võrrandi a = 1. See asjaolu ei ole lihtsalt juhus: kirjeldatud meetodiga on siiski võimalik tuletada üldvalem, aga ka diskrimineerija omadusi tõestada.

VI meetod. Kasutades Vieta otse- ja pöördteoreemi

Vieta otseteoreem (vt allpool samanimelist osa) ja selle pöördteoreem võimaldavad taandatud ruutvõrrandeid lahendada suuliselt, kasutamata valemit (1) kasutades üsna tülikaid arvutusi.

Pöördteoreemi kohaselt on võrrandi juurteks suvaline arvupaar (arv) (kuvamisstiil x_ (1), x_ (2)) x 1, x 2, mis on järgmise võrrandisüsteemi lahendus.

Üldjuhul, st enneolematu ruutvõrrandi korral ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b / a, x 1 * x 2 = c / a

Otsene teoreem aitab leida suuliselt neid võrrandeid rahuldavaid numbreid. Tema abiga saate määrata juurte tunnuseid, teadmata juuri ise. Selleks peaksite juhinduma reeglist:

1) kui vaba liige on negatiivne, siis juurtel on erinev märk, ja juurte absoluutväärtuselt suurim - võrrandi teise koefitsiendi märgile vastandmärk;

2) kui vaba liige on positiivne, siis on mõlemal juurtel sama märk ja see on teise koefitsiendi vastandmärk.

VII meetod. Ülekande meetod

Niinimetatud "ülekande" meetod võimaldab redutseerimata ja mittekonverteeritava lahendi taandada täisarvukoefitsientidega taandatud kujule, jagades need võrrandite juhtkoefitsiendiga täisarvuliste koefitsientidega taandatud lahendile. See on järgmine:

Seejärel lahendage võrrand suuliselt, nagu ülalpool kirjeldatud, seejärel minge tagasi algse muutuja juurde ja leidke võrrandite juured (kuvamisstiil y_ (1) = ax_ (1)) y 1 = kirves 1 ja y 2 = kirves 2 . (kuvastiil y_ (2) = ax_ (2))

Geomeetriline tähendus

Ruutfunktsiooni graafik on parabool. Ruutvõrrandi lahendeid (juuri) nimetatakse parabooli ja abstsisstelje lõikepunktide abstsissideks. Kui ruutfunktsiooniga kirjeldatud parabool ei lõiku abstsissiga, pole võrrandil tegelikke juuri. Kui parabool lõikub abstsissiga ühes punktis (parabooli tipus), on võrrandil üks reaaljuur (öeldakse ka, et võrrandil on kaks kattuvat juurt). Kui parabool ületab abstsisstellje kahes punktis, on võrrandil kaks reaaljuurt (vt parempoolset pilti.)

Kui koefitsient (kuvastiil a) a positiivne, on parabooli harud suunatud ülespoole ja vastupidi. Kui koefitsient (kuvastiil b) b positiivne (positiivse (kuvastiil a) a, negatiivse puhul vastupidi), siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil ja vastupidi.

Ruutvõrrandite rakendamine elus

Ruutvõrrand on laialt levinud. Seda kasutatakse paljudes arvutustes, struktuurides, spordis ja ka meie ümber.

Vaatleme ja toome mõned näited ruutvõrrandi rakendamisest.

Sport. Kõrgushüpped: hüppaja jooksu ajal kõige selgema tabamuse saamiseks stardilatti ja kõrge lend kasutage parabooliga seotud arvutusi.

Samasuguseid arvutusi on vaja ka viskamisel. Objekti lennuulatus sõltub ruutvõrrandist.

Astronoomia. Planeetide trajektoori saab leida ruutvõrrandi abil.

Lennuki lend. Lennuki õhkutõus on lennu põhikomponent. Siin tehakse arvutus väikese takistuse ja stardikiirenduse jaoks.

Samuti kasutatakse ruutvõrrandeid erinevates majandusvaldkondades, heli-, video-, vektor- ja rastergraafika töötlemise programmides.

Järeldus

Tehtud töö tulemusena selgus, et ruutvõrrandid tõmbasid teadlasi juba ammustel aegadel, nad olid nendega juba mõne ülesande lahendamisel kokku puutunud ja püüdnud neid lahendada. Arvestades erinevaid viise ruutvõrrandeid lahendades jõudsin järeldusele, et kõik need pole lihtsad. Minu arust kõige rohkem parim viis ruutvõrrandite lahendamine on lahendus valemitega. Valemeid on lihtne meeles pidada, see meetod on universaalne. Kinnitust leidis hüpotees, et võrrandeid kasutatakse elus ja matemaatikas laialdaselt. Pärast teema uurimist õppisin palju huvitavaid fakte ruutvõrranditest, nende kasutamisest, rakendusest, tüüpidest, lahendustest. Ja ma jätkan nende uurimist mõnuga. Loodetavasti aitab see mul eksamitel hästi hakkama saada.

Kasutatud kirjanduse loetelu

Saidi materjalid:

Vikipeedia

Avatud õppetund.rf

Viide jaoks elementaarne matemaatika Vygodsky M. Ya.

On teada, et see on võrdsuse ax 2 + bx + c = o konkreetne versioon, kus a, b ja c on tundmatu x reaalkoefitsiendid ning kus a ≠ o ning b ja c on nullid - samaaegselt või eraldi. Näiteks c = o, in ≠ o või vastupidi. Peaaegu meenus ruutvõrrandi definitsioon.

Teise astme kolmik on võrdne nulliga. Selle esimene koefitsient a ≠ o, b ja c võivad võtta mis tahes väärtused. Muutuja x väärtus on siis see, kui see asendamisel muudab selle tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks. Peatugem reaaljuurtel, kuigi võrrandi lahendid võivad olla ja Täielikuks nimetatakse tavaliselt võrrandit, milles ükski koefitsient pole võrdne o-ga, vaid ≠ o, in ≠ o, ≠ o-ga.
Lahendame näite. 2x 2 -9x-5 = oh, leiame
D = 81 + 40 = 121,
D on positiivne, seega on juured, x 1 = (9 + √121): 4 = 5 ja teine ​​x 2 = (9-√121): 4 = -o, 5. Kontrollimine aitab veenduda, et need on õiged.

Siin on ruutvõrrandi samm-sammuline lahendus

Diskriminandi kaudu saate lahendada mis tahes võrrandi, mille vasakul küljel on teada ruudukujuline kolmik≠ o jaoks. Meie näites. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 + bx + c = o)

Mõelge, mis on mittetäielikud võrrandid teine ​​aste

1. ax 2 + in = o. Vaba liige, koefitsient c x 0 juures on siin võrdne nulliga, ühikutes ≠ o.
   Kuidas lahendada seda tüüpi mittetäielikku ruutvõrrandit? Viige x sulgudest välja. Pidage meeles, kui kahe teguri korrutis on null.
   x (ax + b) = o, see võib olla siis, kui x = o või kui ax + b = o.
   Olles lahendanud 2., saame x = -v / a.
   Selle tulemusena on meil juured x 1 = 0, arvutuste kohaselt x 2 = -b / a.
2. Nüüd on koefitsient punktis x võrdne o-ga ja c ei ole võrdne (≠) o-ga.
   x 2 + c = o. Viides с võrratuse paremale poolele, saame x 2 = -с. Sellel võrrandil on reaaljuured ainult siis, kui -c on positiivne arv (c x 1 on siis võrdne √ (-s), vastavalt x 2 - -√ (-s). Vastasel juhul pole võrrandil üldse juuri.
3. Viimane variant: b = c = o, see tähendab, ax 2 = o. Loomulikult on sellisel lihtsal võrrandil üks juur, x = o.

Erijuhtumid

Oleme kaalunud, kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, ja nüüd võtame kõik tüübid.

• Täisruutvõrrandis on teine ​​koefitsient punktis x paarisarv.
  Olgu k = o, 5b. Meil on valemid diskriminandi ja juurte arvutamiseks.
  D / 4 = k 2 - ac, juured arvutatakse x 1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a D ›o jaoks.
  x = -k / a, kui D = o.
  D ‹o juures pole juuri.
• Seal on antud ruutvõrrandid, kui koefitsient x ruudus on 1, on tavaks kirjutada need x 2 + px + q = o. Nende kohta kehtivad kõik ülaltoodud valemid, arvutused on mõnevõrra lihtsamad.
  Näide, x 2 -4x-9 = 0. Arvutage D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2 + √13, x 2 = 2-√13.
• Lisaks on seda lihtne etteantutele rakendada.See ütleb, et võrrandi juurte summa võrdub -p, teine ​​koefitsient miinusega (tähendab vastupidist märki) ja nende juurte korrutis olema võrdne q-ga, vaba liige. Kontrollige, kui lihtne oleks selle võrrandi juured suuliselt määrata. Redutseerimata koefitsientide puhul (kõikide koefitsientide puhul, mis ei võrdu nulliga) on see teoreem rakendatav järgmiselt: summa x 1 + x 2 võrdub -v / a, korrutis x 1 x 2 on võrdne c / a.

Lõikepunkti c ja esimese koefitsiendi a summa on võrdne koefitsiendiga b. Selles olukorras on võrrandil vähemalt üks juur (lihtne tõestada), esimene on tingimata võrdne -1 ja teine ​​-c / a, kui see on olemas. Kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit, saate seda ise kontrollida. Sama lihtne kui pirukas. Koefitsiendid võivad olla omavahel teatud vahekordades

• x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
• Kõigi koefitsientide summa on o.
  Sellise võrrandi juured on 1 ja s / a. Näide, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Erinevate teise astme võrrandite lahendamiseks on veel mitmeid viise. Siin on näiteks meetod antud polünoomist täieliku ruudu eraldamiseks. Graafilised viisid mitu. Kui te selliste näidetega sageli tegelete, õpite neid nagu seemneid "klõpsama", sest kõik meetodid tulevad automaatselt meelde.