Kahe nurga koosinuste summa (vahe) teisendamine korrutiseks
Kahe nurga koosinuste summa ja erinevuse jaoks kehtivad järgmised valemid:
Kahe nurga koosinuste summa on võrdne nende nurkade poolsumma koosinuse ja nende nurkade vahe koosinuse topeltkorrutisega.
Kahe nurga koosinuste vahe on miinus kahekordne nende nurkade poolsumma siinuse ja nende nurkade erinevuse siinuse korrutis.
Näited
Valemeid (1) ja (2) on võimalik saada mitmel viisil. Tõestame näiteks valemit (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Temasse uskudes (α + β) = NS , (α - β) = juures, jõuame valemini (1). See meetod on sarnane sellega, mille abil saadi eelmises lõigus kahe nurga siinuste summa valem.
2. viis. Eelmises osas tõestasime valemit
Temasse uskudes α = NS + π / 2, β = juures + π / 2, saame:
Aga casting valemite järgi patt ( NS+ π / 2) == cos x, sin (y + π / 2) = cos y;
Seega
Q.E.D.
Kutsume õpilasi üles valemit (2) iseseisvalt tõestama. Proovi leida vähemalt kaks erinevat tõestusviisi!
Harjutused
1. Arvutage ilma tabeliteta kahe nurga koosinuste summa ja erinevuse valemite abil:
a). cos 105 ° + cos 75 °. G). cos 11π / 12- cos 5π / 12..
b). cos 105 ° - cos 75 °. e). cos 15 ° -sin 15 °.
v). cos 11π / 12+ cos 5π / 12.. f). patt π / 12+ cos 11π / 12.
2 ... Lihtsusta neid väljendeid:
a). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).
b). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).
3. Iga identiteet
patt α + cos α = \/ 2 patt ( α + π / 4)
patt α - cos α = \/ 2 patt ( α - π / 4)
tõestada vähemalt kahel erineval viisil.
4. Need väljendid tuleks esitada teoste kujul:
a). \/ 2 + 2 cos α ... v). patt x + cos y.
b). \/ 3 - 2 cos α ... G). patt x - cos y.
5 ... Lihtsustage väljendit sin 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .
6 .Järgige neid väljendeid (nr 1156-1159):
a). 1 + patt α - cos α
b). patt α + patt (α + β) + patt β .
v). cos α + cos 2α+ cos 3α
G). 1 + patt α + cos α
7. Tõesta etteantud identiteedid
8. Tõesta, et nurkade koosinused α ja β on võrdsed siis ja ainult siis
α = ± β + 2 nπ,
kus n on mingi täisarv.
Valatud valemid
Valamisvalemid võimaldavad leida trigonomeetriliste funktsioonide väärtused mis tahes nurkade (mitte ainult teravate) jaoks. Nende abiga saate teha teisendusi, mis lihtsustavad trigonomeetriliste avaldiste vormi.
1. pilt.
Ülesannete lahendamisel kasutatakse lisaks redutseerimisvalemitele ka järgmisi põhivalemeid.
1) Ühe nurga valemid:
2) Mõnede trigonomeetriliste funktsioonide väljendamine teiste kaudu:
kommenteerida
Nendes valemites peab radikaali märgile eelnema $ "+" $ või $ "-" $, olenevalt sellest, millises kvartalis nurk asub.
Siinuste summa ja vahe, koosinuste summa ja vahe
Funktsioonide summa ja erinevuse valemid:
Lisaks funktsioonide summa ja erinevuse valemitele on ülesannete lahendamisel kasulikud funktsioonide korrutise valemid:
Põhilised seosed kaldkolmnurkade elementide vahel
Legend:
$ a $, $ b $, $ c $ - kolmnurga küljed;
$ A $, $ B $, $ C $ - loetletud külgede vastasnurgad;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - poolperimeeter;
$ S $ - pindala;
$ R $ - piiritletud ringi raadius;
$ r $ - sisse kirjutatud ringi raadius.
Põhisuhted:
1) $ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) = 2 \ cdot R $ - siinuse teoreem;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ - koosinuse teoreem;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (A-B) (2)) $ - puutuja teoreem;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C = \ sqrt (p \ cdot \ left (pa \ right) \ cdot \ left (pb \ right) \ cdot \ vasak (pc \ parem)) = r \ cdot p = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - ala valemid.
Kaldkolmnurkade lahendamine
Kaldkolmnurkade lahendus hõlmab kõigi selle elementide määratlemist: küljed ja nurgad.
Näide 1
Seal on kolm külge $ a $, $ b $, $ c $:
1) kolmnurgas saab nurkade arvutamiseks kasutada ainult koosinusteoreemi, kuna ainult arkosinuse põhiväärtus jääb kolmnurgale vastavate $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ pi $ piiresse;
3) leidke nurk $ B $, rakendades koosinusteoreemi $ \ cos B = \ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \ cdot a \ cdot c) $, ja seejärel pöördvõrdeline trigonomeetriline funktsioon $ B = \ arccos \ vasak (\ cos B \ right) $;
Näide 2
Antud kaks külge $ a $, $ b $ ja nurk $ C $ nende vahel:
1) leia koosinuse teoreemiga $ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C $;
2) leidke nurk $ A $, rakendades koosinusteoreemi $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \ cdot b \ cdot c) $, ja seejärel pöördvõrdeline trigonomeetriline funktsioon $ A = \ arccos \ vasak (\ cos A \ right) $;
3) leidke nurk $ B $ valemiga $ B = 180 () ^ \ circ - \ left (A + C \ right) $.
Näide 3
Antud kaks nurka $ A $, $ B $ ja külg $ c $:
1) leidke nurk $ C $ valemiga $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $;
2) leia külg $ a $ siinusteoreemiga $ a = \ frac (c \ cdot \ sin A) (\ sin C) $;
3) leia siinuseteoreemi $ b = \ frac (c \ cdot \ sin B) (\ sin C) $ abil külg $ b $.
Näide 4
Antud küljed $ a $, $ b $ ja nurk $ B $ külje $ b $ vastas:
1) kirjutame koosinusteoreemi $ b ^ (2) = a ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $, kasutades etteantud väärtusi; sellest saame ruutvõrrandi $ c ^ (2) - \ vasak (2 \ cdot a \ cdot \ cos B \ right) \ cdot c + \ vasak (a ^ (2) -b ^ (2) \ parem) = 0 $ külgede $ c $ suhtes;
2) pärast saadud ruutvõrrandi lahendamist saame teoreetiliselt ühe kolmest juhtumist - kaks positiivset väärtust $ c $ poolel, üks positiivne väärtus $ c $ poolel, positiivsete väärtuste puudumine $ c $ jaoks. c $ pool; vastavalt sellele on probleemil kaks, üks või null lahendust;
3) kasutades külje $ c $ kindlat positiivset väärtust, leiame nurga $ A $, rakendades koosinusteoreemi $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2 )) (2 \ cdot b \ cdot c) $, millele järgneb pöördtrigonomeetriline funktsioon $ A = \ arccos \ left (\ cos A \ right) $;
4) leidke nurk $ C $ valemiga $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $.
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemid kahe nurga α ja β korral võimaldavad liikuda näidatud nurkade summast nurkade α + β 2 ja α - β 2 korrutisele. Märgime kohe, et siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid ei tohiks segi ajada summa ja erinevuse siinuste ja koosinuste valemitega. Allpool loetleme need valemid, anname nende tuletamise ja näitame näiteid nende rakendamisest konkreetsete ülesannete jaoks.
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemid
Paneme kirja, kuidas näevad välja siinuste ja koosinuste summa- ja vahevalemid
Siinuste summa- ja vahevalemid
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa ja vahe valemid
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β - 2 α 2
Need valemid kehtivad mis tahes nurga α ja β korral. Nurki α + β 2 ja α - β 2 nimetatakse vastavalt nurkade alfa ja beeta poolsummaks ja poolvaheks. Anname iga valemi jaoks sõnastuse.
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemite määratlused
Kahe nurga siinuste summa on võrdne nende nurkade poolsumma siinuse topeltkorrutisega poolvahe koosinusega.
Kahe nurga siinuste erinevus on võrdne nende nurkade poolvahe siinuse topeltkorrutisega poolsumma koosinusega.
Kahe nurga koosinuste summa on võrdne nende nurkade poolsumma koosinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga koosinuste erinevus võrdub nende nurkade poolsumma siinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega, võttes arvesse negatiivse märgiga.
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemite tuletamine
Kahe nurga siinuse ja koosinuse summa ja erinevuse valemite tuletamiseks kasutatakse liitmisvalemeid. Tutvustame neid allpool
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Samuti esitame nurgad ise poolsummade ja poolvahede summana.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Jätkame otse patu ja cos summa ja vahe valemite tuletamisega.
Siinuste summa valemi tuletamine
Sin α + sin β summas asendage α ja β nende nurkade ülaltoodud avaldistega. Saame
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nüüd rakendame esimesele avaldisele liitmisvalemit ja teisele nurkade erinevuste siinusvalemit (vt ülaltoodud valemeid)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Laiendage sulgusid, esitage sarnased terminid ja hankige vajalik valem
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 = 2 sin α + 2 cos α - β 2
Ülejäänud valemite tuletamise etapid on sarnased.
Siinuste erinevuse valemi tuletamine
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa valemi tuletamine
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + β cos α - β 2
Koosinuste erinevuse valemi tuletamine
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Näited praktiliste ülesannete lahendamisest
Esiteks kontrollime ühte valemit, asendades sellega nurkade konkreetsed väärtused. Olgu α = π 2, β = π 6. Arvutame nende nurkade siinuste summa väärtuse. Esiteks kasutame trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtuste tabelit ja seejärel siinuste summa valemit.
Näide 1. Kahe nurga siinuste summa valemi kontrollimine
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Vaatleme nüüd juhtumit, kui nurkade väärtused erinevad tabelis esitatud põhiväärtustest. Olgu α = 165 °, β = 75 °. Arvutame nende nurkade siinuste vahe väärtuse.
Näide 2. Siinuste erinevuse valemi rakendamine
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid kasutades saate minna summalt või erinevuselt trigonomeetriliste funktsioonide korrutisele. Neid valemeid nimetatakse sageli summast korrutisesse ülemineku valemiteks. Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid kasutatakse laialdaselt trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel ja trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter
Tunni teema. Siinuste summa ja vahe. Koosinuste summa ja vahe.
(Õppetund uute teadmiste omandamiseks.)
Tunni eesmärgid.
Didaktiline:
tuletab siinuste summa ja koosinuste summa valemeid ning hõlbustab nende assimilatsiooni ülesannete lahendamise käigus;
jätkata trigonomeetriliste valemite kasutamise oskuste kujundamist;
kontrollida teemakohase materjali assimilatsiooniastet.
Arendamine:
aidata kaasa teadmiste iseseisva rakendamise oskuse kujunemisele;
arendada enesekontrolli ja vastastikuse kontrolli oskusi;
jätkata tööd loogilise mõtlemise ja suulise matemaatilise kõne arendamisel probleemile lahenduse otsimisel.
Hariduslik:
õpetada oskust suhelda ja teisi kuulata;
kasvatada tähelepanelikkust ja tähelepanelikkust;
stimuleerida motivatsiooni ja huvi trigonomeetria õppimise vastu.
Varustus: esitlus, interaktiivne tahvel, valemid.
Tundide ajal:
Aja organiseerimine. - 2 minutit.
Põhiteadmiste värskendamine. Kordamine. - 12 minutit
Eesmärkide seadmine. - 1 minut.
Uute teadmiste tajumine ja mõistmine. - 3 min.
Omandatud teadmiste rakendamine. - 20 minutit.
Saavutuste analüüs ja tegevuste korrigeerimine. - 5 minutit.
Peegeldus. - 1 minut.
Kodutöö. - 1 minut.
1. Aja organiseerimine.(slaid 1)
- Tere! Trigonomeetria on matemaatika üks huvitavamaid valdkondi, kuid millegipärast on enamikule õpilastest see kõige raskem. Seda saab suure tõenäosusega seletada asjaoluga, et selles jaotises on rohkem valemeid kui üheski teises. Trigonomeetriaülesannete edukaks lahendamiseks peate olema kindel paljudes valemites. Paljusid valemeid on juba uuritud, kuid selgub, et mitte kõiki. Seetõttu on selle õppetunni motoks Pythagorase ütlus: "Teed saab valdab see, kes kõnnib, ja matemaatikat mõtleb." Mõtleme!
2. Algteadmiste uuendamine. Kordamine.
1) vastastikuse kontrolliga matemaatiline diktaat(slaidid 2–5)
Esimene ülesanne. Õpitud valemite kasutamine arvutama:
valik 1
2. variant
patt 390 0
hind 420 0
1 - cos 2 30 0
1 - sin 2 60 0
сos 120 0 ∙ cos 30 0 + sin 120 0 ∙ sin 30 0
sin 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ sin 150 0
Vastused:; 1 ; -; ; -; - 1; 1 ; ; ; 0; ; 3. - vastastikune kontrollimine.
Hindamiskriteeriumid: (tööd antakse üle õpetajale)
"4" - 10 - 11
2) probleemne ülesanne(slaid 6) - õpilase aruanne.
Avaldise lihtsustamine trigonomeetriliste valemite abil:
Kas seda probleemi on võimalik teisiti lahendada? (Jah, uute valemitega.)
3. Eesmärkide seadmine(slaid 7)
Tunni teema:
Siinuste summa ja vahe. Koosinuste summa ja vahe. - vihikusse kirjutamine
Tunni eesmärgid:
tuletada valemeid siinuste summa ja vahe, koosinuste summa ja vahe kohta;
oskama neid praktikas rakendada.
4. Uute teadmiste tajumine ja mõistmine. ( slaid 8-9)
Tuletame siinuste summa valemi: - õpetaja
Ülejäänud valemid tõestatakse sarnaselt: (valemid summa teisendamiseks korrutiseks)
Pealtõppimise reeglid!
Milliste teiste trigonomeetriliste valemite tõestuseks kasutati liitvalemeid?
5. Omandatud teadmiste rakendamine.(slaidid 10-11)
Uute valemitega:
1) Arvutage: (tahvli juures) - Mis on vastus? (arv)
Dikteerimine õpetajaga
6. Saavutuste analüüs ja tegevuste korrigeerimine.(slaid 13)
Diferentseeritud enesekontroll enesetestiga
Arvutama:
7. Peegeldus.(slaid 14)
Kas olete oma tööga tunnis rahul?
Kuidas hindaksite end kogu tunni jooksul?
Mis oli tunni kõige huvitavam hetk?
Kuhu pidite kõige rohkem keskenduma?
8. Kodutöö:õppida valemeid, üksikuid ülesandeid kaartidel.
). Need valemid lubavad nurkade siinuste ja koosinuste summast või erinevusest ning lähevad nurkade siinuste ja/või koosinuste korrutisele ja. Selles artiklis loetleme esmalt need valemid, seejärel näitame nende tuletamist ja lõpetuseks vaatleme mitut näidet nende rakendamisest.
Leheküljel navigeerimine.
Valemite loend
Paneme kirja siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemid. Nagu võite ette kujutada, on neid neli: kaks siinuse ja kaks koosinuse jaoks.
Nüüd esitame nende sõnastuse. Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemite sõnastamisel nimetatakse nurka nurkade ja nurkade poolsummaks ning nurka poolvaheks. Niisiis,
Tuleb märkida, et siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemid kehtivad mis tahes nurkade ja.
Valemite tuletamine
Siinuste summa ja erinevuse valemite tuletamiseks võite kasutada liitmisvalemeid, eriti valemeid
siinussumma,
siinuse erinevus,
summa koosinus ja
erinevuse koosinus.
Vajame ka nurkade esitamist vormis 
ja 
... See esitus kehtib, samuti mis tahes nurkade ja.
Nüüd analüüsime üksikasjalikult kahe nurga siinuste summa valemi tuletamine liigid.
Esiteks, summa, asendame ja edasi , ja saame. Nüüd selleks 
rakendame summa siinusvalemit ja 
- erinevuse siinuse valem: 
Pärast selliste tingimuste vähendamist saame 
... Selle tulemusena on meil vormi siinuste summa valem.
Ülejäänud valemite kuvamiseks peate lihtsalt tegema sama. Siin on siinuste erinevuse, aga ka koosinuste summa ja erinevuse valemid: 
Koosinuste erinevuseks oleme andnud kahte tüüpi valemeid ehk 
... Need on samaväärsed alates 
, mis tuleneb vastasnurkade siinuste omadustest.
Niisiis, oleme analüüsinud kõigi siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemite tõestust.
Kasutamise näited
Vaatame mitut näidet siinuste ja koosinuste summa valemite kasutamisest, aga ka siinuste ja koosinuste erinevusest.
Näiteks kontrollime vormi siinuste summa valemi kehtivust, võttes ja. Selleks arvutame nende nurkade jaoks valemi vasaku ja parema külje väärtused. Kuna ja (vajadusel vaadake siinuste ja koosinuste põhiväärtuste tabelit), siis. Sest ja meil on 
ja 
, siis. Seega langevad siinuste ja siinuste summa valemi vasaku ja parema külje väärtused kokku, mis kinnitab selle valemi kehtivust.
Mõnel juhul võimaldab siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemite kasutamine arvutada trigonomeetriliste avaldiste väärtusi, kui nurgad erinevad põhinurkadest ( 
). Anname näitele lahenduse, mis seda ideed kinnitab.
Näide.
Arvutage siinuste 165 ja 75 kraadi erinevuse täpne väärtus.
Lahendus.
Me ei tea siinuste 165 ja 75 kraadi täpseid väärtusi, seega ei saa me antud erinevuse väärtust otseselt arvutada. Kuid siinuste erinevuse valem võimaldab meil vastata ülesande küsimusele. Tõepoolest, nurkade 165 ja 75 kraadi poolsumma on 120 ja poolvahe on 45 ning siinuse 45 kraadi ja koosinuse 120 kraadi täpsed väärtused on teada.
Seega on meil 
Vastus:
.
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemite põhiväärtus on kahtlemata see, et need võimaldavad teil liikuda summalt ja erinevuselt trigonomeetriliste funktsioonide korrutisele (sel põhjusel nimetatakse neid valemeid sageli ülemineku valemiteks summast trigonomeetriliste funktsioonide korrutisele). Ja see omakorda võib olla kasulik näiteks siis, kui trigonomeetriliste avaldiste teisendamine või kell trigonomeetriliste võrrandite lahendamine... Kuid need teemad nõuavad eraldi arutelu.
Bibliograafia.
- Algebra:Õpik. 9 cl eest. kolmapäev kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Haridus, 1990.- 272 lk .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 cl. kolmapäev shk. - 3. väljaanne - M .: Haridus, 1993 .-- 351 lk .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 cl. Üldharidus. institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. väljaanne - M .: Haridus, 2004. - 384 lk: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumi sisseastujatele): Õpik. manuaal. - M .; Kõrgem. shk., 1984.-351 lk., ill.