Vaatlen ristkülikukujulise tetraeedri tahkude projektsioonide valemi küsimust. Esialgu käsitlen tasapinnal α asuva lõigu ortogonaalprojektsiooni, tuues välja kaks juhtumit selle lõigu asukohast sirgjoone l = α∩π suhtes.
Juhtum 1.
AB∥l(joon. 8). Lõik A 1 B 1, mis on lõigu AB ortogonaalprojektsioon, on võrdne ja paralleelne lõiguga AB.
Riis. kaheksa
Juhtum 2.
CD⊥l(joon. 8). Kolme risti teoreemi järgi on sirge C 1 D 1, mis on sirge CD ortogonaalprojektsioon, samuti risti sirgega l. Seetõttu on ∠CEC 1 nurk tasapinna α ja projektsioonide tasapinna π vahel, st kus C 0 D = C 1 D 1... Seetõttu | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Nüüd käsitlen ortogonaalse kolmnurga kujundamise küsimust.
Kolmnurga ristprojektsiooni pindala tasapinnale on võrdne projekteeritud kolmnurga pindalaga, mis on korrutatud kolmnurga tasandi ja projektsioonide tasandi vahelise nurga koosinusega.
Tõestus. Kolmnurga projekteeritud pindala. Kolme risti teoreemi kohaselt on sirge B 1 H 1 - sirge BN ristprojektsioon - risti sirgega l, seetõttu on lõik B 1 H 1 kolmnurga A 1 B 1 C 1 kõrgus. Sellepärast . Seega,.
a) Olgu projekteeritud kolmnurga ABC üks külgedest, näiteks AC, paralleelne sirgjoonega l = α∩π (joonis 9) või asetseb sellel.
Siis on selle kõrgus VN risti sirgega l ja pindala on võrdne, s.o.
Riis. üheksa
b) Projekteeritud kolmnurga ABC ükski külg ei ole paralleelne sirgega l (joon. 10). Tõmmake läbi kolmnurga iga tipu sirge l paralleelselt sirge. Üks neist joontest asub kahe teise vahel (joonisel on see joon m) ja jagab seetõttu kolmnurga ABC kolmnurkadeks ABD ja ACD, mille kõrgused on vastavalt BH ja CE, mis on tõmmatud nende ühisele küljele AD (või selle jätkule). , mis on paralleelne l. Sirge m 1 - sirge m ortogonaalprojektsioon - lõhestab ka kolmnurga A 1 B 1 C 1 - kolmnurga ABC ristprojektsioon - kolmnurkadeks A 1 B 1 D 1 ja A 1 C 1 D 1, kus. Võttes arvesse (9) ja (10), saan
Tuletame meelde, et sirge ja tasandi vaheline nurk on nurk etteantud sirge ja selle tasapinnale projektsiooni vahel (joonis 164).
Teoreem. Hulknurga ristprojektsiooni pindala tasapinnale võrdub projitseeritud hulknurga pindalaga, mis on korrutatud hulknurga tasapinna ja projektsiooni tasapinna poolt moodustatud nurga koosinusega.
Iga hulknurga saab jagada kolmnurkadeks, mille pindalade summa on võrdne hulknurga pindalaga. Seetõttu piisab kolmnurga teoreemi tõestamisest.
Olgu \ (\ Delta \) ABC projekteeritud tasapinnale R... Mõelge kahele juhtumile:
a) üks külgedest \ (\ Delta \) ABC on paralleelne tasapinnaga R;
b) ükski külg \ (\ Delta \) ABC pole paralleelne R.
Kaaluge esimene juhtum: olgu [AB] || R.
Joonistame tasapinna läbi (AB) R 1 || R ja projitseerida ortogonaalselt \ (\ Delta \) ABC edasi R 1 ja edasi R(joon. 165); saame \ (\ Delta \) ABC 1 ja \ (\ Delta \) A'B'S '.
Projektsiooni omaduse järgi on meil \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C' ja seetõttu
S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C'
Joonistage ⊥ ja lõik D 1 C 1. Siis ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ on tasapinna \ (\ Delta \) ABC ja tasapinna vahelise nurga väärtus R 1 . Sellepärast
S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
ja seetõttu S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.
Liigume edasi kaalumise juurde teine juhtum... Joonistame lennuki R 1 || R läbi selle tipu \ (\ Delta \) ABC, kaugus, millest tasapinnani R väikseim (olgu selleks tipp A).
Kujundame lennukis \ (\ Delta \) ABC R 1 ja R(joon. 166); olgu selle projektsioonid vastavalt \ (\ Delta \) AB 1 C 1 ja \ (\ Delta \) A'B'S '.
Olgu (ВС) \ (\ cap \) lk 1 = D. Siis
S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC – S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
Ülesanne. Tasapind tõmmatakse läbi korrapärase kolmnurkse prisma aluse külje nurga φ = 30 ° selle aluse tasapinna suhtes. Leidke saadud lõigu pindala, kui prisma aluse külg a= 6 cm.
Joonistame selle prisma ristlõike (joonis 167). Kuna prisma on õige, on selle külgmised servad risti aluse tasapinnaga. Seega on \ (\ Delta \) ABC \ (\ Delta \) ADC projektsioon, seega
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
või
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$
Hulknurga ortogonaalprojektsiooni teoreemi üksikasjalik tõestus
Kui on korteri projektsioon n -gon tasapinnale, siis kus on hulknurkade tasapindade vaheline nurk ja. Teisisõnu, tasapinnalise hulknurga projekteeritud pindala võrdub projitseeritud hulknurga pindala korrutisega projektsiooni tasandi ja projitseeritud hulknurga tasandi vahelise nurga koosinusega.
Tõestus. ma etapp. Teostame esmalt kolmnurga tõestuse. Vaatleme 5 juhtumit.
1 juhtum. asetsevad projektsioonitasandil .
Laskma olema projektsioonid punktid tasapinnale vastavalt. Meie puhul. Oletame, et. Olgu kõrgus, siis saab kolme risti teoreemi põhjal järeldada, et - kõrgus (- projektsioon on kaldu, - selle alus ja sirgjoon läbib kalde alust, pealegi).
Mõelgem. See on ristkülikukujuline. Koosinuse määratluse järgi:
Teisest küljest, kuna ja siis on definitsiooni järgi tasandite pooltasandite ja piirjoonega moodustatud kahetahulise nurga lineaarnurk ja seetõttu on selle mõõt ka nurga mõõt kolmnurga projektsioonitasandid ja kolmnurk ise, st.
Leiame pindala suhte:
Pange tähele, et valem jääb kehtima ka siis, kui. Sel juhul
2 juhtum. Asub ainult projektsioonitasandil ja on projektsioonitasandiga paralleelne .
Laskma olema projektsioonid punktid tasapinnale vastavalt. Meie puhul.
Joonistame punkti läbiva sirge. Meie puhul lõikub sirge projektsioonitasapinnaga, mis tähendab lemma järgi, et sirge lõikub ka projektsioonitasandiga. Olgu see punktis Kuna, siis asuvad punktid samas tasapinnas ja kuna see on projektsioonitasandiga paralleelne, siis sirge ja tasandi paralleelsuse märgist järeldub, et. Seega on rööpkülik. Kaaluge ja. Need on kolmel küljel võrdsed (- ühised, nagu rööpküliku vastasküljed). Pange tähele, et nelinurk on ristkülik ja on võrdne (piki jalga ja hüpotenuusi), seega on see kolmest küljest võrdne. Sellepärast.
1. juhtumi puhul on kohaldatav:, st.
3 juhtum. Asub ainult projektsioonitasandil ega ole paralleelne projektsioonitasandiga .
Olgu punkt sirge ja projektsioonitasandi lõikepunktiks. Pange tähele, et ja. Ühel korral: ja. Seega saame selle kätte
4 juhtum. Tipud ei asu projektsioonitasandil ... Mõelge perpendikulaaridele. Võtke neist perpendikulaaridest väikseim. Olgu see risti. Võib selguda, et kas ainult või ainult. Siis võtame selle ikkagi.
Jätame lõigu punktist kõrvale punkti, nii et punkt lõigu punktist, nii et. Selline konstruktsioon on võimalik, kuna - on perpendikulaaridest väikseim. Pange tähele, et see on projektsioon ja konstruktsiooni järgi. Tõestame seda ja oleme võrdsed.
Vaatleme nelinurka. Hüpoteesi järgi - risti ühe tasapinnaga, seega, teoreemi järgi, seega. Kuna konstruktsiooni, siis rööpküliku märgi järgi (piki paralleelseid ja võrdseid vastaskülgi), võime järeldada, et see on rööpkülik. Tähendab,. Samamoodi on tõestatud,. Seetõttu on need kolmest küljest võrdsed. Sellepärast. Pange tähele, et ja rööpküliku vastaskülgedena, seega tasandite paralleelsuse märgi järgi,. Kuna need tasapinnad on paralleelsed, moodustavad nad projektsioonitasandiga sama nurga.
Eelnevatel juhtudel kehtib:
5 juhtum. Projektsioonitasand lõikab külgi ... Mõelge sirgjoontele. Need on projektsioonitasandiga risti, seega on need teoreemi järgi paralleelsed. Kaassuunaliste kiirte puhul, mille alguspunkt on punktides, eraldage võrdsed lõigud, nii et tipud asuvad väljaspool projektsioonitasapinda. Pange tähele, et see on projektsioon ja konstruktsiooni järgi. Näitame, et see on võrdne.
Alates ja ehituselt siis. Seetõttu on rööpküliku põhjal (mööda kahte võrdset ja paralleelset külge) tegemist rööpkülikuga. Sarnasel viisil on tõestatud, et ja on rööpkülikud. Kuid siis ja (vastandpoolte puhul) on seega võrdne kolmel küljel. Tähendab,.
Lisaks ja seega ka tasandite paralleelsuse alusel. Kuna need tasapinnad on paralleelsed, moodustavad nad projektsioonitasandiga sama nurga.
Juhtum 4 kehtib:
II etapp. Jagage lame hulknurk kolmnurkadeks, kasutades tipust tõmmatud diagonaale: Seejärel vastavalt eelmistele kolmnurkade juhtumitele:.
Q.E.D.
GEOMEETIA
Tunniplaanid 10 klassile
56. õppetund
Teema. Hulknurga ortogonaalne projektsiooniala
Tunni eesmärk: hulknurga ortogonaalprojektsiooni ala teoreemi õppimine, õpilaste oskuste kujundamine õpitud teoreemi rakendamiseks probleemide lahendamisel.
Varustus: stereomeetriline komplekt, kuubimudel.
Tundide ajal
I. Kodutööde kontrollimine
1. Kaks õpilast reprodutseerivad tahvlile ülesannete nr 42, 45 lahendusi.
2. Frontaalne küsitlus.
1) Määratlege kahe lõikuva tasandi vaheline nurk.
2) Milline on nurk:
a) paralleelsed tasapinnad;
b) risti tasapinnad?
3) Mil määral võib kahe tasapinna vaheline nurk muutuda?
4) Kas on tõsi, et tasapind, mis lõikub paralleelsete tasanditega, lõikab neid samade nurkade all?
5) Kas vastab tõele, et risttasapindu lõikev tasapind lõikub nendega samade nurkade all?
3. Ülesannete nr 42, 45 lahenduse õigsuse kontrollimine, mille õpilased taasloosid tahvlile.
II. Uue materjali tajumine ja teadvustamine
Ülesanne õpilastele
1. Tõesta, et projektsioonitasandil ühe küljega kolmnurga projekteeritud pindala on võrdne selle pindala ja hulknurga tasandi ja projektsioonitasandi vahelise nurga koosinuse korrutisega.
2. Tõesta teoreem juhuks, kui on võre kolmnurk, mille üks külg on paralleelne projektsioonitasandiga.
3. Tõesta teoreem juhuks, kui on olemas võre kolmnurk, mille ükski külg pole projektsioonitasandiga paralleelne.
4. Tõesta teoreem mis tahes hulknurga kohta.
Probleemide lahendamine
1. Leidke hulknurga ristprojektsiooni pindala, mille pindala on 50 cm2 ning hulknurga tasapinna ja selle projektsiooni vaheline nurk on 60 °.
2. Leidke hulknurga pindala, kui selle hulknurga ortogonaalprojektsiooni pindala on 50 cm2 ning hulknurga tasapinna ja selle projektsiooni vaheline nurk on 45 °.
3. Hulknurga pindala on 64 cm2 ja ortogonaalprojektsiooni pindala on 32 cm2. Leia hulknurga tasandite ja selle projektsiooni vaheline nurk.
4. Või äkki on hulknurga ortogonaalprojektsiooni pindala võrdne selle hulknurga pindalaga?
5. Kuubi serv võrdub a-ga. Leidke kuubi ristlõikepindala tasapinnaga, mis läbib aluse tippu selle aluse suhtes 30 ° nurga all ja lõikub kõiki külgservi. (Vastus.)
6. Ülesanne number 48 (1, 3) õpikust (lk 58).
7. Ülesanne number 49 (2) õpikust (lk 58).
8. Ristküliku küljed on 20 ja 25 cm, mille projektsioon tasapinnale on sarnane. Leidke projektsiooni ümbermõõt. (Vastus. 72 cm või 90 cm.)
III. Kodutöö
§4, lk 34; turvaküsimus number 17; ülesanded nr 48 (2), 49 (1) (lk 58).
IV. Tunni kokkuvõte
Küsimus klassile
1) Sõnasta teoreem hulknurga ortogonaalprojektsiooni pindala kohta.
2) Kas hulknurga ortogonaalprojektsiooni pindala võib olla suurem kui hulknurga pindala?
3) Täisnurkse kolmnurga ABC hüpotenuusi AB kaudu tõmmatakse tasapind α kolmnurga tasandiga 45 ° nurga all ja tasapinnaga α risti olev CO. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Märkige, millised järgmistest väidetest on õiged ja millised valed:
a) tasapindade ABC ja α vaheline nurk on võrdne nurgaga CMO, kus punkt H on kolmnurga ABC kõrguse CM alus;
b) CO = 2,4 cm;
c) kolmnurk AOC on kolmnurga ABC ortogonaalprojektsioon tasapinnale α;
d) AOB kolmnurga pindala on 3 cm2.
(Vastus. A) Õige; b) vale; c) vale; d) õige.)
Viimasel ajal on ülesandes C2 ülesanded, mille puhul on vaja konstrueerida hulktahuka lõik tasapinna järgi ja leida selle pindala. Selline ülesanne on välja pakutud demoversioonis. Sageli on mugav leida lõigu pindala selle ortogonaalprojektsiooni ala kaudu. Esitlus sisaldab sellise lahenduse valemit ja probleemi üksikasjalikku analüüsi, millele on lisatud rida jooniseid.
Lae alla:
Eelvaade:
Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Eksamiks valmistumine - 2014 matemaatikas. Ristlõikepinna leidmine selle ortogonaalprojektsiooni ala kaudu. Ülesanne C2 matemaatikaõpetaja MBOU keskkooli nr 143 Krasnojarski Knyazkina TV
Mõelge järgmise ülesande lahendusele: Ristkülikukujulises rööptahukas,. Rööptahuka lõik läbib punkte B ja D ning moodustab tasapinnaga ABC nurga. Leidke ristlõike pindala. Ristlõikepindala on sageli mugav leida selle ortogonaalprojektsiooni pindala järgi. Kolmnurga pindala leidmist selle ristprojektsiooni pindala kaudu on lihtne illustreerida järgmise joonisega:
CH on kolmnurga ABC kõrgus, C 'H on kolmnurga ABC kõrgus ", mis on kolmnurga ABC ristprojektsioon. Täisnurksest kolmnurgast CHC": Kolmnurga ABC pindala on võrdne The pindala Kolmnurga ABC on seega kolmnurga ABC pindala, mis on võrdne kolmnurga ABC pindalaga, mis on jagatud kolmnurga ABC ja kolmnurga ABC tasandite vahelise nurga koosinusega, mis on kolmnurga ABC ristprojektsioon.
Kuna iga hulknurga pindala saab esitada kolmnurkade pindalade summana, võrdub hulknurga pindala selle tasapinnale ristuva projektsiooni pindalaga, mis on jagatud nurga koosinusega hulknurga tasapinnad ja selle projektsioon. Kasutame seda fakti oma probleemi lahendamiseks (vt slaidi 2) Lahendusplaan on järgmine: A) Ehitage sektsioon. B) Leidke selle ortogonaalprojektsioon alustasandile. C) Leidke ortogonaalprojektsiooni pindala. D) Leidke ristlõike pindala.
1. Esiteks peame selle jaotise üles ehitama. Ilmselt kuulub segment BD lõiketasapinnale ja alustasandile, see tähendab, et see kuulub tasandite lõikejoonele:
Kahe tasandi vaheline nurk on nurk kahe ristsuuna vahel, mis on tõmmatud tasandite lõikejoonele ja asuvad neil tasapindadel. Olgu punkt O põhidiagonaalide lõikepunkt. OC - risti tasapindade lõikejoonega, mis asub aluse tasapinnal:
2. Määrake ristlõike asend, mis asub lõiketasandil. (Pea meeles, et kui sirge on risti kaldprojektsiooniga, siis on ta risti kõige kaldsemaga. Otsime kaldprojektsioonis (OC) ning projektsiooni ja kaldprojektsiooni vahelises nurgas). Leidke OC ₁ ja OC vahelise nurga COC ₁ puutuja
Järelikult on lõiketasandi ja alustasandi vaheline nurk suurem kui OC1 ja OC vahel. See tähendab, et lõik asub umbes nii: K on OP ja A ₁C₁ lõikepunkt, LM || B₁D₁.
Niisiis, siin on meie osa: 3. Leidke BLMD lõigu projektsioon aluse tasapinnale. Selleks leiame punktide L ja M projektsioonid.
Nelinurk BL ₁M₁D - läbilõike projektsioon alustasandile. 4. Leidke nelinurga BL ₁M₁D pindala. Selleks lahutage kolmnurga BCD pindalast kolmnurga L CM₁ pindala. Leidke kolmnurga L CM₁ pindala. Kolmnurk L CM₁ on sarnane kolmnurgaga BCD. Leiame sarnasuse koefitsiendi.
Selleks võtke arvesse t-nurki OPC ja OKK₁: Järelikult on kolmnurga L₁CM₁ pindala 4/25 kolmnurga BCD pindalast (sarnaste arvude pindalade suhe on võrdne kolmnurga ruuduga sarnasuskoefitsient). Siis on nelinurga BL₁M₁D pindala võrdne 1-4/25 = 21/25 kolmnurga BCD pindalast ja võrdub
5. Nüüd leiame 6. Ja lõpuks saame: Vastus: 112
Teemal: metoodilised arendused, ettekanded ja märkmed
Testimistöö distsipliinis "Inseneri arvutigraafika" koosneb neljast testimisülesandest vastavuse tuvastamiseks. Ülesannete täitmiseks kulub 15-20 minutit...
Ettevalmistus matemaatika eksamiks-2014. Tuletise ja antiderivaadi kasutamine (prototüübid B8 avatud USE ülesannete pangast)
Esitlus koos teooria lühikursuse ja erinevate B8 prototüüpide lahendustega USE ülesannete avatud pangast. Saab kasutada interaktiivse tahvli või õpilasarvuti jaoks iseõppimiseks ....
Ettevalmistus matemaatika eksamiks-2014. Ülesande C1 lahendus.
Materjal pakub lahendusi ülesandele C1 (trigonomeetriline võrrand) ja 4 võimalust intervalli kuuluvate juurte valimiseks: trigonomeetrilise ringi kasutamine, funktsioonigraafiku kasutamine, toore jõud ...