1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Riešenie. Ukážme, že vektory 1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) tvoria základ. Nájdite determinant zložený zo súradníc týchto vektorov.

Vykonávame základné transformácie:

Odpočítať od riadku 3 riadok 1 vynásobený (-1)

Odčítajte riadok 2 od riadku 3, odčítajte riadok 2 od riadku 4

Vymeňte riadky 3 a 4.

V tomto prípade determinant zmení znamienko na opačné:

Pretože determinant sa nerovná nule, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

Rozložme vektor na vektory danej bázy: , tu, ? požadované súradnice vektora v základe, . V súradnicovom tvare je to rovnica (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1 , 0, 1, 5) má tvar:

Systém riešime Gaussovou metódou:

Systém zapisujeme vo forme rozšírenej matice

Pre pohodlie výpočtov vymeníme riadky:

Vynásobte 3. riadok (-1). K 2. riadku pridáme 3. riadok. Vynásobte 3. riadok 2. Pridajte 4. riadok k 3.:

Vynásobte 1. riadok 3. Vynásobte 2. riadok (-2). Pridajme 2. riadok k 1.:

Vynásobte 2. riadok 5. Vynásobte 3. riadok 3. Pridajte 3. riadok k 2.:

Vynásobte 2. riadok (-2). Pridajme 2. riadok k 1.:

Z 1. riadku vyjadrujeme? 4

Od 2. riadku vyjadrujeme? 3

Od 3. riadku vyjadrujeme? 2

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Poďme sa najprv zaoberať podmienkou. Podľa podmienky sú dané štyri vektory, a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Čo je základ - nezaujíma nás. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu tvoriť nový základ. A prvý krok je úplne rovnaký ako pri riešení príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:

vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité: vektorové súradnice nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie reťazce. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Teraz si pripomeňme teoretickú časť: ak vektory tvoria základ, potom môže byť akýkoľvek vektor jediná cesta expandovať cez daný základ: , kde sú súradnice vektora v základe .

Keďže naše vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru (to už bolo dokázané), vektor sa dá na tomto základe jedinečným spôsobom rozšíriť:
, kde sú súradnice vektora v základe .

Podľa podmienok a je potrebné nájsť súradnice.

Pre ľahšie vysvetlenie vymením diely: . Aby ste ju našli, táto rovnosť by mala byť napísaná súradnicovo:

Na základe čoho sú usporiadané koeficienty? Všetky koeficienty ľavej strany sú presne prenesené z determinantu , v pravá strana sú zapísané vektorové súradnice.

Ukázalo sa systém troch lineárne rovnice o troch neznámych. Zvyčajne sa rozhoduje podľa Cramerove vzorce, často aj v stave problému existuje takáto požiadavka.

Hlavný determinant systému už bol nájdený:
, takže systém má unikátne riešenie.

Ďalej je to otázka technológie:

Touto cestou:
je expanzia vektora z hľadiska bázy .

odpoveď:

Ako som už poznamenal, problém má algebraický charakter. Uvažované vektory nie sú nevyhnutne tie vektory, ktoré možno nakresliť v priestore, ale predovšetkým abstraktné vektory kurzu lineárnej algebry. Pre prípad dvojrozmerných vektorov sa dá sformulovať a vyriešiť podobný problém, riešenie bude oveľa jednoduchšie. V praxi som sa však s takouto úlohou ešte nestretol, preto som ju v predchádzajúcej časti preskočil.

Rovnaký problém s 3D vektormi pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 9

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ a nájdite súradnice vektora v tomto základe. Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Kompletné riešenie a približnú ukážku ukončenia na konci hodiny.

Podobne možno uvažovať o štvorrozmernom, päťrozmernom atď. vektorové priestory, kde vektory majú 4, 5 alebo viac súradníc. Pre tieto vektorové priestory existuje aj pojem lineárna závislosť, lineárna nezávislosť vektorov, existuje základ, vrátane ortonormálneho, expanzia vektora z hľadiska bázy. Áno, takéto priestory sa nedajú nakresliť geometricky, ale fungujú v nich všetky pravidlá, vlastnosti a vety dvoj a trojrozmerných prípadov – čistá algebra. Vlastne som bol už v článku nútený hovoriť o filozofických otázkach Parciálne derivácie funkcií troch premenných, ktorý sa objavil pred touto lekciou.

Milujte vektory a vektory vás budú milovať!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: zostavte pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov:

odpoveď: pri

Príklad 4: Dôkaz: HrazdaŠtvoruholník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.
1) Skontrolujte rovnobežnosť protiľahlých strán a .
Poďme nájsť vektory:


, takže tieto vektory nie sú kolineárne a strany nie sú rovnobežné.
2) Skontrolujte rovnobežnosť protiľahlých strán a .
Poďme nájsť vektory:

Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:
, takže tieto vektory sú kolineárne a .
Výkon: Dve strany štvoruholníka sú rovnobežné, ale ostatné dve strany nie sú rovnobežné, takže ide podľa definície o lichobežník. Q.E.D.

Príklad 5: Riešenie:
b) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.
Jednoduchší dizajn:
- druhá a tretia súradnica nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.
odpoveď: vektory nie sú kolineárne.
c) Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne, tzv
Toto je miesto, kde metóda „foppish“ dizajnu jednoducho nefunguje.
odpoveď:

Príklad 6: Riešenie: b) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne závislé a netvoria základ trojrozmerného priestoru.
Odpoveď : tieto vektory netvoria základ

Príklad 9: Riešenie: Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:


Vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ.
Predstavme si vektor ako lineárnu kombináciu základných vektorov:

súradnica:

Systém riešime pomocou Cramerových vzorcov:
, takže systém má unikátne riešenie.

odpoveď:Vektory tvoria základ,

Vyššia matematika pre korešpondenčných študentov a nielen >>>

(Prejsť na hlavnú stránku)

Vektorový súčin vektorov.
Zmiešaný súčin vektorov

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov. Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, možno až dosť na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako rovnaký skalárny produkt, dokonca bude menej typických úloh. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí uvidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú praktická práca

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dopadlo to dobre. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektory.
Základy vektorov. afinný systém súradnice

V hľadisku je vozík s čokoládami a dnes každý návštevník dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok sa dotkne dvoch častí vyššej matematiky naraz a uvidíme, ako spolu vychádzajú v jednom obale. Dajte si pauzu, zjedzte Twix! ... sakra, no, argumentovať nezmysly. Aj keď v poriadku, nedám gól, nakoniec by mal existovať pozitívny prístup k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna nezávislosť vektorov, vektorový základ a iné pojmy majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry nie je vždy tým „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Dôkaz nemusíte hľadať ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru . Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve šiel do Gismetea: - teplota a atmosférický tlak, resp. Príklad je, samozrejme, nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre ako vektor. Dych jesene...

Nie, nebudem vás nudiť teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) sú z algebraického hľadiska použiteľné pre všetky vektory, ale príklady budú uvedené geometricky. Všetko je teda jednoduché, prístupné a vizuálne. Okrem problémov analytickej geometrie sa budeme zaoberať aj niektorými typickými úlohami algebry. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny A Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zvážte svoju rovinu počítačový stôl(len stolík, nočný stolík, podlaha, strop, čokoľvek sa vám páči). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne jasné, že na zostavenie základu sú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým položkám v tabuľke.

Nebuďte prekvapení, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ukazovákľavá ruka na okraj dosky stola tak, aby sa pozeral na monitor. Toto bude vektor. Teraz miesto malý prst pravá ruka na okraj stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval na obrazovku monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! Čo možno povedať o vektoroch? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak: , kde je nenulové číslo.

Obrázok tejto akcie môžete vidieť v lekcii. Vektory pre figuríny, kde som vysvetlil pravidlo pre násobenie vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základ v rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť sám smer, zatiaľ čo rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová "lineárny", "lineárny" označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach, výrazoch neexistujú žiadne mocniny, mocniny, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol akýkoľvek uhol okrem 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie sú závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne. Takže základ je prijatý. Netreba sa hanbiť, že základ sa ukázal ako „šikmý“ s nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta rozšírené z hľadiska základu:
, kde sú reálne čísla . Volajú sa čísla vektorové súradnice v tomto základe.

Aj to hovoria vektorprezentované vo formulári lineárna kombinácia bázové vektory. To znamená, že výraz sa nazýva vektorový rozkladzáklad alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Môžete napríklad povedať, že vektor je rozšírený v ortonormálnom základe roviny , alebo môžete povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov .

Poďme formulovať definícia základu formálne: rovinný základ je dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , kde akýkoľvek rovinný vektor je lineárnou kombináciou základných vektorov.

Podstatným bodom definície je fakt, že sa berú vektory v určitom poradí. základne Toto sú dva úplne odlišné základy! Ako sa hovorí, malíček ľavej ruky sa nedá presunúť na miesto malíčka pravej ruky.

Na základ sme prišli, no nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo nie dosť? Vektory sú voľné a putujú po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým malým špinavým bodkám tabuľky, ktoré zostali z divokého víkendu? Je potrebný východiskový bod. A takýmto referenčným bodom je bod známy každému - počiatok súradníc. Pochopenie súradnicového systému:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je štandardný obrázok:

Keď sa hovorí o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste zadať do vyhľadávača „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám prezradia, aké súradnicové osi sú známe z 5. – 6. ročníka a ako zakresľovať body do roviny.

Na druhej strane sa zdá, že áno pravouhlý systém súradnice možno určiť z hľadiska ortonormálneho základu. A takmer je. Znenie znie takto:

pôvodu, A ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém roviny . Teda pravouhlý súradnicový systém určite je definovaný jedným bodom a dvoma jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte výkres, ktorý som uviedol vyššie - v geometrických úlohách sa často (ale zďaleka nie vždy) kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že to každý pochopí pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD roviny a AKÝKOĽVEK VEKTOR roviny je možné priradiť súradnice. Obrazne povedané, „všetko v lietadle sa dá očíslovať“.

Musia byť súradnicové vektory jednotkové? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Počiatok súradníc s vektormi definuje súradnicovú sieť a ľubovoľný bod roviny, ľubovoľný vektor má svoje súradnice v danej báze. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou je, že súradnicové vektory všeobecne majú rôzne dĺžky iné ako jednota. Ak sú dĺžky rovné jednej, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : v ortogonálnej základni, ako aj pod afinnými základňami roviny a priestoru sa berú do úvahy jednotky pozdĺž osí PODMIENKY. Napríklad jedna jednotka pozdĺž úsečky obsahuje 4 cm, jedna jednotka pozdĺž ordináty obsahuje 2 cm.Táto informácia je dostatočná na to, aby sme v prípade potreby previedli „neštandardné“ súradnice na „naše obvyklé centimetre“.

A druhá otázka, ktorá už bola vlastne zodpovedaná - je potrebné, aby uhol medzi základnými vektormi bol 90 stupňov? nie! Ako hovorí definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne. V súlade s tým môže byť uhol akýkoľvek okrem 0 a 180 stupňov.

Bod v lietadle tzv pôvodu, A nekolineárne vektory, , sada afinný súradnicový systém roviny :

Niekedy sa tento súradnicový systém nazýva šikmé systém. Body a vektory sú na obrázku znázornené ako príklady:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, ktoré sme zvažovali v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú. Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov súvisiacich s skalárny súčin vektorov. Ale platia pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto ohľade, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime.

Záverom je, že najvhodnejším konkrétnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju, jej vlastnú, treba najčastejšie vidieť. ... Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých je vhodné mať šikmý (alebo nejaký iný napr. polárny) súradnicový systém. Áno, a humanoidom môžu takéto systémy prísť na chuť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky problémy v tejto lekcii platia pre pravouhlý súradnicový systém aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je dostupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva rovinné vektory sú kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich príslušné súradnice boli proporcionálne.V podstate ide o súradnicu po súradnici spresnenie zjavného vzťahu .

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ? ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „foppish“ verzii aplikácie tohto pravidla, ktorá v praxi funguje celkom dobre. Cieľom je okamžite zostaviť pomer a zistiť, či je správny:

Urobme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skracujeme:
, takže zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto

Je možné vytvoriť vzťah a naopak, toto je ekvivalentná možnosť:

Na samotestovanie sa dá využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade ide o rovnosť . Ich platnosť sa dá ľahko skontrolovať pomocou elementárnych operácií s vektormi:

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , z druhej rovnice vyplýva, že , čo znamená, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Výkon: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zostavte pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov :
, preto sú tieto vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne recenzenti túto možnosť neodmietajú, ale problém nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. Páči sa ti to: . Alebo takto: . Alebo takto: . Ako sa tu prepracovať k pomeru? (Naozaj sa nedá deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „fupské“.

odpoveď: a) , b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 2

Pri akej hodnote parametra vektory bude kolineárny?

Vo vzorovom roztoku sa parameter zistí prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob, ako skontrolovať kolinearitu vektorov. Systematizujme naše znalosti a pridajte ich ako piaty bod:

Pre dva rovinné vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť navzájom lineárne vyjadrené;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Naozaj, naozaj dúfam tento moment už rozumiete všetkým splneným termínom a vyhláseniam.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory sú kolineárne práve vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:. Aby ste túto funkciu mohli používať, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

my sa rozhodneme Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajte determinant, zložený zo súradníc vektorov :
, takže tieto vektory sú kolineárne.

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov :
, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a) , b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť segmentov, priamok. Zvážte niekoľko problémov so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať kresbu, pretože riešenie bude čisto analytické. Pamätajte na definíciu rovnobežníka:
Paralelogram Nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a .

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor („podľa školy“ - rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale je lepšie sa rozhodnúť správne, s usporiadaním. Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:
, takže tieto vektory sú kolineárne a .

Výkon: Protiľahlé strany štvoruholníka sú po pároch rovnobežné, takže podľa definície ide o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a odlišných postáv:

Príklad 4

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre presnejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie získať definíciu lichobežníka, ale stačí si len zapamätať, ako vyzerá.

Toto je úloha pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli úmerné.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

ale) ;
b)
v)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

"Zjednodušené" sa robí kontrolou pomeru. V tomto prípade:
– zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú body pre nezávislé rozhodnutie. Vyskúšajte to dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov a prostredníctvom determinantu tretieho rádu, tadiaľto zahrnuté v článku Krížový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a čiar.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť trojrozmerných priestorových vektorov.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo zákonitostí, ktoré sme zvažovali v lietadle, budú platiť aj pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať zhrnutie teórie, keďže leví podiel informácií už bol prežutý. Napriek tomu vám odporúčam pozorne si prečítať úvodnú časť, keďže sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola preskúmajme trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz vnútri, niekto vonku, no v žiadnom prípade nemôžeme utiecť z troch rozmerov: šírky, dĺžky a výšky. Na vytvorenie základne sú preto potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrejeme na prstoch. Zdvihnite ruku a roztiahnite ju rôznymi smermi palec, ukazovák a prostredník. Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, nemusíte to demonštrovať učiteľom, bez ohľadu na to, ako krútite prstami, ale nemôžete sa dostať preč od definícií =)

Ďalej si položíme dôležitú otázku, či nejaké tri vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na dosku stola počítača. Čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, stratili sme jedno z meraní - výšku. Takéto vektory sú koplanárny a je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba si uvedomiť, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, len Salvador Dali sa tak vytratil =)).

Definícia: vektory sa nazývajú koplanárny ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavte, že ležia v rovnakej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, ale môžu byť aj kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo je ľahké uhádnuť z materiálov predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že nie sú žiadnym spôsobom vyjadrené cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru sa nazýva trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí, zatiaľ čo ľubovoľný vektor priestoru jediná cesta expanduje v danom základe , kde sú súradnice vektora v danom základe

Pre pripomenutie môžete tiež povedať, že vektor je reprezentovaný ako lineárna kombinácia bázové vektory.

Koncept súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, postačuje jeden bod a akékoľvek tri lineárne nezávislé vektory:

pôvodu, A nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, ale napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje určite určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, v afinnom súradnicovom systéme priestoru nebudú fungovať niektoré vzorce, ktoré som už spomínal.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako si každý môže domyslieť, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

bod v priestore tzv pôvodu, A ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém priestoru . známy obrázok:

Predtým, ako pristúpime k praktickým úlohám, opäť systematizujeme informácie:

Pre tri priestorové vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je odlišný od nuly.

Opačné tvrdenia sú podľa mňa pochopiteľné.

Lineárna závislosť / nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (položka 5). Zostávajúce praktické úlohy budú mať vyslovene algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu na klinec a oháňať sa baseballovou pálkou z lineárnej algebry:

Tri priestorové vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule: .

Upozorňujem na malú technickú nuanciu: súradnice vektorov je možné písať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa od toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie na riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí trochu zabudli na metódy výpočtu determinantov, alebo sa možno vôbec zle orientujú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:

V podstate je potrebné vyriešiť rovnicu s determinantom. Letíme do núl ako šarkani do jerbov - najvýhodnejšie je otvoriť determinant v druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšiu lineárnu rovnicu:

Odpoveď: o

Tu je ľahké to skontrolovať, preto musíte výslednú hodnotu nahradiť pôvodným determinantom a uistiť sa jeho opätovným otvorením.

Na záver sa zamyslime nad ďalším typickým problémom, ktorý má skôr algebraický charakter a je tradične súčasťou kurzu lineárnej algebry. Je taký bežný, že si zaslúži samostatnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v danom základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Poďme sa najskôr zaoberať podmienkou. Podľa podmienky sú dané štyri vektory, a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Čo je základ - nezaujíma nás. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu tvoriť nový základ. A prvý krok je úplne rovnaký ako pri riešení príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:

vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : vektorové súradnice nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie reťazce. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Základ vesmíru nazývame taký systém vektorov, v ktorom môžu byť všetky ostatné vektory priestoru reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov zahrnutých v základe.
V praxi je to všetko celkom jednoduché. Základ sa spravidla kontroluje v rovine alebo v priestore, a preto musíte nájsť determinant matice druhého, tretieho rádu, zloženú zo súradníc vektorov. Schematicky napísané nižšie podmienky, za ktorých vektory tvoria základ

Komu rozšíriť vektor b z hľadiska bázových vektorov
e,e...,e[n] je potrebné nájsť koeficienty x, ..., x[n], pre ktoré sa lineárna kombinácia vektorov e,e...,e[n] rovná vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Na tento účel by sa vektorová rovnica mala previesť na systém lineárnych rovníc a nájsť riešenia. Je tiež pomerne jednoduché implementovať.
Nájdené koeficienty x, ..., x[n] sa volajú súradnice vektora b v zákl e,e...,e[n].
Prejdime k praktická stránka témy.

Rozklad vektora na bázické vektory

Úloha 1. Skontrolujte, či vektory a1, a2 tvoria základ v rovine

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Riešenie: Zo súradníc vektorov poskladajte determinant a vypočítajte ho

Determinant sa nerovná nule, V dôsledku toho vektory sú lineárne nezávislé, čo znamená, že tvoria základ.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Riešenie: Vypočítame determinant zložený z vektorov

Determinant sa rovná 13 (nerovná sa nule) - z toho vyplýva, že vektory a1, a2 sú bázou v rovine.

---=================---

Zvážte typické príklady z programu IAPM v disciplíne „Vyššia matematika“.

Úloha 2. Ukážte, že vektory a1, a2, a3 tvoria základ trojrozmerného vektorového priestoru a rozšírte vektor b v tomto základe (pri riešení sústavy lineárnych algebraické rovnice použiť Cramerovu metódu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Riešenie: Najprv zvážte sústavu vektorov a1, a2, a3 a skontrolujte determinant matice A

postavené na vektoroch iných ako nula. Matica obsahuje jeden nulový prvok, preto je účelnejšie vypočítať determinant ako rozvrh pre prvý stĺpec alebo tretí riadok.

Výsledkom výpočtov sme teda zistili, že determinant je odlišný od nuly vektory a1, a2, a3 sú lineárne nezávislé.
Podľa definície tvoria vektory základ v R3. Zapíšme si rozvrh vektora b z hľadiska základu

Vektory sú rovnaké, keď sú ich zodpovedajúce súradnice rovnaké.
Preto z vektorovej rovnice získame sústavu lineárnych rovníc

Vyriešte SLAE Cramerova metóda. Za týmto účelom napíšeme sústavu rovníc do formulára

Hlavný determinant SLAE sa vždy rovná determinantu zloženému z bázových vektorov

Preto sa v praxi nepočíta dvakrát. Aby sme našli pomocné determinanty, umiestnime stĺpec voľných členov na miesto každého stĺpca hlavného determinantu. Determinanty sa vypočítavajú podľa pravidla trojuholníkov



Nájdené determinanty dosaďte do Cramerovho vzorca



Takže rozšírenie vektora b z hľadiska bázy má tvar b=-4a1+3a2-a3 . Súradnice vektora b v báze a1, a2, a3 budú (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Riešenie: Skontrolujeme vektory pre základ - zo súradníc vektorov poskladáme determinant a vypočítame ho.

Determinant sa teda nerovná nule vektory tvoria základ v priestore. Zostáva nájsť rozvrh vektora b z hľadiska daného základu. Aby sme to dosiahli, napíšeme vektorovú rovnicu

a transformovať na sústavu lineárnych rovníc

Napíšte maticovú rovnicu

Ďalej pre Cramerove vzorce nájdeme pomocné determinanty



Aplikácia Cramerových vzorcov



Daný vektor b má teda rozvrh cez dva bázové vektory b=-2a1+5a3 a jeho súradnice v báze sú rovné b(-2,0, 5).

Úlohy na kontrolnú prácu

Úloha 1 - 10. Sú dané vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe:

Sú uvedené vektory ε 1 (3;1;6), ε2 (-2;2;-3), ε3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora X v tomto základe.

Táto úloha pozostáva z dvoch častí. Najprv musíte skontrolovať, či vektory tvoria základ. Vektory tvoria základ, ak je determinant zložený zo súradníc týchto vektorov nenulový, inak vektory nie sú bázou a vektor X sa v tejto báze nedá rozšíriť.

Vypočítajte determinant matice:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Maticový determinant je ∆ =37

Keďže determinant je nenulový, vektory tvoria bázu, preto je možné vektor X rozšíriť o túto bázu. Tie. existujú také čísla α 1 , α 2 , α 3, že rovnosť platí:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Túto rovnosť zapíšeme v súradnicovom tvare:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Pomocou vlastností vektorov získame nasledujúcu rovnosť:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Podľa vlastnosti rovnosti vektorov máme:

3ai-2a2-4a3 = 3

1α1 + 2α2 + 5α3 = 0

6ai-3a2-1a3 = 1

Výslednú sústavu rovníc riešime Gaussova metóda alebo Cramerova metóda.

X \u003d ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Riešenie bolo prijaté a spustené pomocou služby:

Vektorové súradnice v základe

Spolu s touto úlohou riešia aj:

Riešenie maticových rovníc

Cramerova metóda

Gaussova metóda

Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou

Inverzná matica prostredníctvom algebraických doplnkov

Násobenie matice online