Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základ vektorov. Afinný systém súradnice

V publiku je vozík s čokoládami a každý návštevník dnes dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok sa dotkne dvoch častí vyššej matematiky naraz a uvidíme, ako koexistujú v jednom obale. Pauza, zjedz Twix! ... sakra, no a argumentoval nezmyslami. Aj keď, dobre, nedám gól, v konečnom dôsledku by mal byť pozitívny vzťah k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna nezávislosť vektorov, vektorový základ a iné pojmy majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry nie je vždy tým „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Pre dôkaz nemusíte chodiť ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru ... Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve šiel do Gismetea: - teplota a atmosférický tlak, resp. Príklad je samozrejme nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre vektorom. Dych jesene….

Nie, nebudem vás zaťažovať teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) sú z algebraického hľadiska použiteľné pre všetky vektory, ale budú uvedené geometrické príklady. Všetko je teda jednoduché, prístupné a prehľadné. Okrem úloh analytickej geometrie zvážime aj niektoré typické úlohy algebry. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny a Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zvážte svoju rovinu počítačový stôl(len stolík, nočný stolík, podlaha, strop, kto má čo rád). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte Základ roviny... Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne jasné, že na vytvorenie základne sú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým objektom na stole.

Nebuďte prekvapení, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ukazovákľavá ruka na okraji pracovnej dosky tak, aby sa pozerala do monitora. Toto bude vektor. Teraz dajte malý prst pravá ruka na okraji stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval k obrazovke monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! A čo vektory? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak:, kde je iné číslo ako nula.

Obrázok tejto akcie je možné vidieť v lekcii Vektory pre figuríny kde som vysvetlil pravidlo násobenia vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základnú čiaru na rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť jeden smer a rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová "lineárny", "lineárny" označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach, výrazoch nie sú žiadne štvorce, kocky, iné stupne, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol akýkoľvek uhol okrem 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne... Takže základ je získaný. Netreba sa hanbiť, že základ sa ukázal ako „šikmý“ s nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

akýkoľvek vektorová rovina jedinečným spôsobom rozložené na základe:
, kde sú reálne čísla. Čísla sa volajú vektorové súradnice v tomto základe.

Tiež sa to hovorí vektorprezentované vo formulári lineárna kombinácia bázové vektory... To znamená, že výraz sa nazýva rozklad vektorana základe alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad môžeme povedať, že vektor je rozložený na ortonormálnej báze roviny, alebo môžeme povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov.

Poďme formulovať základná definícia formálne: Základná rovina nazýva sa dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , kde akýkoľvek rovinný vektor je lineárna kombinácia základných vektorov.

Podstatným bodom v definícii je skutočnosť, že sa berú vektory v určitom poradí... Základy Sú to dve úplne odlišné základne! Ako sa hovorí, malíček ľavej ruky sa nedá preskupiť na miesto malíčka pravej ruky.

Vymysleli sme základ, ale nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo nie dosť? Vektory sú voľné a potulujú sa po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým špinavým malým stolíkom, ktoré zostali po búrlivom víkende? Je potrebný východiskový bod. A takýmto referenčným bodom je bod známy všetkým - počiatok súradníc. Práca so súradnicovým systémom:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je typický obrázok:

Keď sa hovorí o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste zadať do vyhľadávača „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám prezradia, aké súradnicové osi známe z 5.-6. ročníka a ako klásť body do roviny.

Na druhej strane sa zdá, že áno pravouhlý systém súradnice možno určiť z hľadiska ortonormálneho základu. A to je takmer tento prípad. Znenie je nasledovné:

pôvodu, a ortonormálny základ je daný súradnicový systém kartézskej pravouhlej roviny ... Teda pravouhlý súradnicový systém jednoznačne definované jedným bodom a dvomi jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte kresbu, ktorú som uviedol vyššie - v geometrických úlohách sa často (ale nie vždy) kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že každý chápe, že pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD roviny a AKÝKOĽVEK VEKTOR roviny môžete priradiť súradnice. Obrazne povedané, „v rovine sa dá očíslovať všetko“.

Musia byť súradnicové vektory jednotkové? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne... Počiatok súradníc s vektormi nastavuje súradnicovú mriežku a každý bod roviny, ktorýkoľvek vektor má svoje súradnice v tomto základe. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou sú súradnicové vektory všeobecne majú rôzne dĺžky okrem jednej. Ak sú dĺžky rovné jednej, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : v ortogonálnej základni, ako aj nižšie v afinných základniach roviny a priestoru sú jednotky pozdĺž osí PODMIENKY... Napríklad jedna jednotka na úsečke obsahuje 4 cm a jedna jednotka na zvislej osi je 2 cm.Táto informácia je dostatočná na prevod „neštandardných“ súradníc na „naše obvyklé centimetre“, ak je to potrebné.

A druhá otázka, ktorá bola vlastne zodpovedaná - je uhol medzi základnými vektormi nevyhnutne rovný 90 stupňom? Nie! Ako hovorí definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne... V súlade s tým môže byť uhol akýkoľvek iný ako 0 a 180 stupňov.

Bod roviny tzv pôvodu, a nekolineárne vektory, , sada afinný rovinný súradnicový systém :

Niekedy sa tento súradnicový systém nazýva šikmé systém. Body a vektory sú na výkrese znázornené ako príklady:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, ktoré sme zvažovali v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú. Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov spojených s bodový súčin vektorov... Ale pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto ohľade, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime, sú pravdivé.

A záver je, že najvhodnejším konkrétnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju, drahá, najčastejšie musíte rozjímať. ... Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých je vhodné šikmé (alebo iné napr. polárny) súradnicový systém. A humanoidom sa takéto systémy môžu páčiť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky ciele tejto lekcie sú platné pre pravouhlé súradnicové systémy aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je dostupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva vektory roviny sú kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli úmerné V podstate ide o súradnicový detail zjavného vzťahu.

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „frajerskej“ verzii aplikácie tohto pravidla, ktorá je v praxi dosť účinná. Cieľom je okamžite zistiť pomer a zistiť, či je správny:

Zostavme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skracujeme:
, teda zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto,

Pomer môže byť zložený a naopak, toto je ekvivalentná možnosť:

Pre autotest môžete využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade platí rovnosť ... Ich platnosť sa dá ľahko overiť pomocou elementárnych akcií s vektormi:

b) Dva vektory roviny tvoria bázu, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Pozrime sa na kolinearitu vektorov ... Poďme zostaviť systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že z druhej rovnice teda vyplýva, že systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Výkon: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Poskladajme pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov :
, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne túto možnosť recenzenti neodmietajú, ale problém nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. Páči sa ti to: ... Alebo takto: ... Alebo takto: ... Ako tu konať prostredníctvom proporcie? (naozaj nemôžete deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „vole“.

odpoveď: a), b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 2

Pri akej hodnote parametra vektory bude kolineárny?

Vo vzorke roztoku sa parameter nachádza prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob kontroly kolinearity vektorov. Systematizujeme naše znalosti a pridáme ich do piateho bodu:

Pre dva vektory roviny sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Naozaj, naozaj dúfam tento moment už rozumiete všetkým pojmom a výrokom, s ktorými ste sa stretli.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc týchto vektorov rovná nule:. Aby ste túto funkciu mohli používať, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

budeme riešiť Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov :
preto sú tieto vektory kolineárne.

b) Dva vektory roviny tvoria bázu, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov :
, takže vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a), b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť úsečiek. Zvážte niekoľko problémov so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Uvedené sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať výkres, pretože riešenie bude čisto analytické. Pripomeňme si definíciu rovnobežníka:
Paralelogram nazývaný štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany po pároch rovnobežné.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a.

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor ("podľa školy" - rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale rozhodnutie je stále lepšie zostaviť správne, s usporiadaním. Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov:
, preto sú tieto vektory kolineárne a.

Výkon: Protiľahlé strany štvoruholníka sú párovo rovnobežné, čo znamená, že ide podľa definície o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a rôznych tvarov:

Príklad 4

Uvedené sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre presnejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie zobrať si definíciu lichobežníka, ale stačí si zapamätať, ako vyzerá.

Toto je nezávislá úloha. Kompletné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas potichu sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli úmerné.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

a) ;
b)
v)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá riešenie, takže vektory nie sú kolineárne.

"Zjednodušené" sa zostavuje kontrolou pomeru. V tomto prípade:
- zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú položky pre nezávislé rozhodnutie. Skúste to navrhnúť dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov a prostredníctvom determinantu tretieho rádu, tadiaľto zvýraznené v článku Vektorový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a priamok.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov trojrozmerného priestoru.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo vzorov, ktoré sme zvažovali v lietadle, budú platiť aj pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať abstrakt v teórii, keďže leví podiel informácií už bol prežutý. Napriek tomu vám odporúčam pozorne si prečítať úvodnú časť, pretože sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola preskúmajme trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz v miestnosti, niekto na ulici, ale v žiadnom prípade nemôžeme uniknúť z troch rozmerov: šírky, dĺžky a výšky. Preto sú na zostavenie základu potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrievame na prstoch. Prosím, zdvihnite ruku a roztiahnite ju. palec, ukazovák a prostredník... Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, vaša základná 3D čiara je pripravená! Mimochodom, toto nie je potrebné demonštrovať učiteľom, bez ohľadu na to, ako krútite prstami, a nemôžete sa dostať preč z definícií =)

Ďalej si položme dôležitú otázku, tvoria akékoľvek tri vektory základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na dosku počítača. Čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, jedno z našich meraní zmizlo - výška. Takéto vektory sú koplanárny a je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba si uvedomiť, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, takže vypadol iba Salvador Dalí =)).

Definícia: volajú sa vektory koplanárny ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom ani vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavme, že ležia v jednej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, ale navyše môžu byť kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený v termínoch akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo - je ľahké uhádnuť z materiálov predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že nie sú žiadnym spôsobom vyjadrené cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru je trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí a ľubovoľný vektor priestoru jedinečným spôsobom rozložené podľa daného základu, kde sú súradnice vektora v danom základe

Pripomínam, že môžeme tiež povedať, že vektor je reprezentovaný vo forme lineárna kombinácia bázové vektory.

Pojem súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, postačuje jeden bod a akékoľvek tri lineárne nezávislé vektory:

pôvodu, a nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, ale napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje jednoznačne určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, niektoré vzorce, ktoré som už spomínal, nebudú fungovať v afinnom súradnicovom systéme priestoru.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako každý háda, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

Bod vo vesmíre tzv pôvodu, a ortonormálny základ je daný kartézsky pravouhlý súradnicový systém priestoru ... Známy obrázok:

Skôr než prejdeme k praktickým úlohám, preorganizujeme informácie:

Pre tri vektory priestoru sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

Opačné tvrdenia sú podľa mňa pochopiteľné.

Lineárna závislosť / nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (položka 5). Zvyšné praktické úlohy budú mať výrazne algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu na klinec a oháňať sa baseballovou pálkou z lineárnej algebry:

Tri vektory priestoru koplanárny vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc týchto vektorov rovná nule: .

Upozorňujem na malú technickú nuansu: súradnice vektorov je možné písať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa od toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie na riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí na metódy výpočtu determinantov už trochu zabudli a možno sa nimi aj zle orientujú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

vektory sú teda lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak je determinant zložený zo súradníc týchto vektorov nula:

V podstate musíte vyriešiť rovnicu s determinantom. Nasadili sme nuly ako draky na jerboas - je najvýhodnejšie otvoriť determinant na druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšiu lineárnu rovnicu:

Odpoveď: o

Tu je ľahké to skontrolovať, preto musíte výslednú hodnotu nahradiť pôvodným determinantom a uistiť sa, že to je jeho opätovným odhalením.

Na záver sa zamyslíme nad ďalším typickým problémom, ktorý má viac algebraický charakter a je tradične zahrnutý do kurzu lineárnej algebry. Je taký rozšírený, že si zaslúži samostatnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v tomto základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Najprv sa zaoberáme stavom. Podľa podmienky sú dané štyri vektory a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Aký je základ, nás nezaujíma. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvá fáza sa úplne zhoduje s riešením príkladu 6, musíte skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov:

vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : súradnice vektorov nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant skôr ako do reťazcov. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Úlohy na kontrolnú prácu

Úloha 1 - 10. Dané vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe:

Dané vektory ε 1 (3; 1; 6), ε 2 (-2; 2; -3), ε 3 (-4; 5; -1), X (3; 0; 1). Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora X v tomto základe.

Táto úloha má dve časti. Najprv musíte skontrolovať, či vektory tvoria základ. Vektory tvoria základ, ak je determinant zložený zo súradníc týchto vektorov nenulový, inak vektory nie sú základné a vektor X sa v tomto základe nedá rozšíriť.

Vypočítame determinant matice:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Determinant matice je ∆ = 37

Keďže determinant je nenulový, vektory tvoria základ, preto vektor X môže byť rozšírený v tomto základe. Tie. existujú čísla α 1, α 2, α 3 také, že platí rovnosť:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Napíšme túto rovnosť v súradnicovom tvare:

(3; 0; 1) = α (3; 1; 6) + α (-2; 2; -3) + α (-4; 5; -1)

Pomocou vlastností vektorov dostaneme nasledujúcu rovnosť:

(3; 0; 1) = (3α 1; 1α 1; 6α 1;) + (-2α 2; 2α 2; -3α 2;) + (-4α 3; 5α 3; -1α 3;)

(3; 0; 1) = (3α 1-2α 2-4α 3; 1α 1 + 2α 2 + 5α 3; 6α 1-3α 2-1α 3)

Podľa vlastnosti rovnosti vektorov máme:

3ai-2a2-4a3 = 3

1α1 + 2α2 + 5α3 = 0

6ai-3a2-1a3 = 1

Výslednú sústavu rovníc riešime Gaussova metóda alebo Cramerova metóda.

X = ei + 2e2-e3

Riešenie bolo získané a formalizované pomocou služby:

Vektorové súradnice v základe

Spolu s touto úlohou riešia aj:

Riešenie maticových rovníc

Cramerova metóda

Gaussova metóda

Inverzná matica Jordan-Gaussovou metódou

Inverzná matica z hľadiska algebraických doplnkov

Online násobenie matíc

1 (1, 2, 0, 1) , 2 (0, 1, 2, 3) , 3 (1, 3, 2, 2) , 4 (0, 1, 3, 1) , (1, 0, 1, 5).

Riešenie. Ukážme, že vektory 1 (1, 2, 0, 1), 2 (0, 1, 2, 3), 3 (1, 3, 2, 2), 4 (0, 1, 3, 1) tvoria základ. Nájdite determinant zložený zo súradníc týchto vektorov.

Vykonávame základné transformácie:

Odčítať od 3. riadku 1 vynásobeného (-1)

Odčítajte riadok 2 od riadku 3, odčítajte riadok 2 od riadku 4

Vymeňme riadky 3 a 4.

V tomto prípade determinant zmení svoje znamienko na opačné:

Pretože determinant nie je nula, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

Rozviňme vektor z hľadiska vektorov danej bázy:, tu,? požadované súradnice vektora v základe,. V súradnicovom tvare je to rovnica (1, 2, 0, 1) + (0, 1, 2, 3) + (1, 3, 2, 2) + (0, 1, 3, 1) = (1 , 0, 1, 5) má tvar:

Systém riešime Gaussovou metódou:

Systém zapisujeme vo forme rozšírenej matice

Pre pohodlie výpočtov si vymeníme riadky:

Vynásobte 3. riadok číslom (-1). K 2. riadku pridáme 3. riadok. Vynásobte 3. riadok 2. Pridajte 4. riadok k 3.:

Vynásobte 1. riadok 3. Vynásobte 2. riadok (-2). Pridajme 2. riadok k 1.:

Vynásobte 2. riadok 5. Vynásobte 3. riadok 3. Pridajte 3. riadok k 2.:

Vynásobte 2. riadok (-2). Pridajme 2. riadok k 1.:

Z 1. riadku vyjadrujeme? 4

Z 2. riadku vyjadrujeme? 3

Od 3. riadku vyjadrujeme? 2

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Najprv sa zaoberáme stavom. Podľa podmienky sú dané štyri vektory a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Aký je základ, nás nezaujíma. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvá fáza sa úplne zhoduje s riešením príkladu 6, musíte skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov:

vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité: súradnice vektorov nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant skôr ako do reťazcov. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Teraz si pripomeňme teoretickú časť: ak vektory tvoria základ, potom ním môže byť akýkoľvek vektor jediná cesta rozložiť podľa daného základu:, kde sú súradnice vektora v základe.

Keďže naše vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru (to už bolo dokázané), vektor môže byť na tomto základe jedinečne rozšírený:
, kde sú súradnice vektora v zákl.

Podľa stavu je potrebné nájsť súradnice.

Pre ľahšie vysvetlenie vymením diely: ... Aby sme našli, táto rovnosť by mala byť napísaná súradnicovo:

Ako sú usporiadané koeficienty? Všetky koeficienty na ľavej strane sú presne prenesené z determinantu , v pravá strana súradnice vektora sú zaznamenané.

Ukázalo sa systém troch lineárne rovnice o troch neznámych. Zvyčajne sa to rieši Cramerove vzorce, často je takáto požiadavka aj v problémovom vyhlásení.

Hlavný determinant systému už bol nájdený:
, čo znamená, že systém má unikátne riešenie.

Ďalej - technologická záležitosť:

Takto:
- rozšírenie vektora z hľadiska základu.

odpoveď:

Ako som už poznamenal, problém má algebraický charakter. Uvažované vektory nie sú nevyhnutne vektory, ktoré možno nakresliť v priestore, ale predovšetkým abstraktné vektory priebehu lineárnej algebry. Pre prípad dvojrozmerných vektorov môžete sformulovať a vyriešiť podobný problém, riešenie bude oveľa jednoduchšie. V praxi som sa však s takouto úlohou ešte nestretol, preto som ju v predchádzajúcej časti preskočil.

Rovnaký problém s trojrozmernými vektormi pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ a nájdite súradnice vektora v tomto základe. Riešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Kompletné riešenie a hrubá ukážka konečnej úpravy na konci tutoriálu.

Podobne môžete zvážiť štvorrozmerné, päťrozmerné atď. vektorové priestory, kde vektory majú 4, 5 a viac súradníc. Pre tieto vektorové priestory existuje aj pojem lineárna závislosť, lineárna nezávislosť vektorov, existuje základ, vrátane ortonormálneho, rozklad vektora z hľadiska bázy. Áno, takéto priestory sa nedajú nakresliť geometricky, ale fungujú v nich všetky pravidlá, vlastnosti a vety dvoj a trojrozmerných prípadov – čistá algebra. Vlastne som sa už v článku snažil rozprávať o filozofických otázkach Parciálne derivácie funkcií troch premenných ktorý sa objavil pred týmto tutoriálom.

Milujte vektory a vektory vás budú milovať!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: zostavte pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov:

odpoveď: pri

Príklad 4: Dôkaz: Lichobežník nazývaný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.
1) Skontrolujeme rovnobežnosť protiľahlých strán a.
Nájsť vektory:


takže tieto vektory nie sú kolineárne a strany nie sú rovnobežné.
2) Skontrolujeme rovnobežnosť protiľahlých strán a.
Nájsť vektory:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov:
, preto sú tieto vektory kolineárne a.
Výkon: Dve strany štvoruholníka sú rovnobežné a ďalšie dve strany nie sú rovnobežné, čo znamená, že ide podľa definície o lichobežník. Q.E.D.

Príklad 5: Riešenie:
b) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá riešenie, takže vektory nie sú kolineárne.
Jednoduchší dizajn:
- druhá a tretia súradnica nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.
odpoveď: vektory nie sú kolineárne.
c) Preskúmajme kolinearitu vektorov ... Poďme zostaviť systém:

Zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne, čo znamená
Práve tu nefunguje „frajerský“ spôsob registrácie.
odpoveď:

Príklad 6: Riešenie: b) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

, preto sú vektory lineárne závislé a netvoria základ trojrozmerného priestoru.
Odpoveď : tieto vektory netvoria základ

Príklad 9: Riešenie: Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov:


Vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ.
Vektor reprezentujeme ako lineárnu kombináciu základných vektorov:

Súradnicovo:

Systém riešime pomocou Cramerových vzorcov:
, čo znamená, že systém má unikátne riešenie.

odpoveď:Vektory tvoria základ,

Vyššia matematika pre korešpondenčných študentov a nielen >>>

(Prejdi na domovskú stránku)

Vektorový súčin vektorov.
Zmiešaný súčin vektorov

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve vektorové operácie: vektorový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov... Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie okrem bodový súčin vektorov, chce to viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto by mohol mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je palivového dreva vôbec málo, až na to, že je ho dosť na Buratino. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý skalárny produkt, dokonca aj typické úlohy budú menšie. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí budú presvedčení alebo už boli presvedčení, je NEMÝLIŤ SA VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné znalosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú praktická práca

Ako vás hneď potešiť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma alebo aj tromi loptičkami. Obratne sa ukázalo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a rovinné vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!