\(\blacktriangleright\) Ak vykonanie udalosti \(C\) vyžaduje vykonanie oboch súčasných (ktoré sa môžu vyskytnúť súčasne) udalostí \(A\) a \(B\) (\(C=\(A\ ) a \( B\)\) ), potom sa pravdepodobnosť udalosti \(C\) rovná súčinu pravdepodobností udalostí \(A\) a \(B\) .

Všimnite si, že ak sú udalosti nekompatibilné, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu je \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Každá udalosť môže byť reprezentovaná ako kruh. Potom, ak sú udalosti spoločné, potom sa kruhy musia pretínať. Pravdepodobnosť udalosti \(C\) je pravdepodobnosť, že sa dostaneme do oboch kruhov súčasne.

\(\blacktriangleright\) Napríklad pri hádzaní kockou nájdite pravdepodobnosť \(C=\) (hodenie čísla \(6\) ).
Udalosť \(C\) môže byť formulovaná ako \(A=\) (párne číslo) a \(B=\) (číslo deliteľné tromi).
Potom \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Úloha 1 #3092

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Obchod predáva tenisky dvoch značiek: Dike a Ananas. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný pár tenisiek je Dike, je \(0,6\) . Každá firma sa môže pomýliť pri písaní svojho názvu na tenisky. Pravdepodobnosť, že Dike napíše meno nesprávne, je \(0,05\) ; Pravdepodobnosť, že Ananas napíše meno nesprávne, je \(0,025\) . Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne zakúpený pár tenisiek bude mať správny pravopis názvu spoločnosti.

Udalosť A: „pár tenisiek bude mať správny názov“ sa rovná súčtu udalostí B: „pár tenisiek bude od Dike a so správnym názvom“ a C: „pár tenisiek bude z Ananas a so správnym menom.“
Pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčinu pravdepodobnosti udalostí „tenisky vyrobí Dike“ a „názov spoločnosti Dike napísaný správne“: \ Podobne pre udalosť C: \ v dôsledku toho \

Odpoveď: 0,96

Úloha 2 #166

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Ak Timur hrá s bielou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,72. Ak Timur hrá s čiernou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,63. Timur a Vanya hrajú dve hry av druhej hre zmenia farbu dám. Nájdite pravdepodobnosť, že Vanya vyhrá v oboch prípadoch.

Vanya vyhráva biely s pravdepodobnosťou \(0,37\) a čierny s pravdepodobnosťou \(0,28\) . Udalosti „z dvoch hier vyhral Vanya bielymi“\(\ \) a „z dvoch hier vyhral Vanya čiernymi“\(\ \) sú nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná \

Odpoveď: 0,1036

Úloha 3 #172

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Vstup do múzea strážia dvaja strážcovia. Pravdepodobnosť, že najstarší z nich zabudne vysielačku, je \(0,2\) , a pravdepodobnosť, že najmladší z nich zabudne vysielačku, je \(0,1\) . Aká je pravdepodobnosť, že nebudú mať žiadne vysielačky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Odpoveď: 0,02

Úloha 4 #167

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Kostya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,05\) . Vanya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Anton si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Kostya, Vanya a Anton súčasne skočia z výšky 1 metra. Aká je pravdepodobnosť, že si nohu zlomí iba Kosťa? Svoju odpoveď zaokrúhlite na tisíciny.

Udalosti „Pri skoku z výšky 1 metra si Kosťa zlomil nohu“\(,\ \) „Pri skoku z výšky 1 metra si Váňa nezlomil nohu“\(\ \) a „Pri skoku z výška 1 metra, Anton si nezlomil nohu“\( \ \) sú nezávislé, preto sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná súčinu ich pravdepodobností: \ Po zaokrúhlení nakoniec dostaneme \(0,049\) .

Odpoveď: 0,049

Úloha 5 #170

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Maxim a Vanya sa rozhodli ísť na bowling. Maxim správne odhadol, že v priemere trafí úder raz za osem hodov. Váňa správne odhadol, že v priemere raz za päť hodov knokautuje úder. Maxim a Vanya urobia každý presne jeden hod (bez ohľadu na výsledok). Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi nebudú štrajky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že Maxim nezasiahne štrajk, rovná \ Pravdepodobnosť, že Vanya nezasiahne, je \(1 - 0,2 = 0,8\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Odpoveď: 0.7

Úloha 6 #1646

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Anton a Kosťa hrajú stolný tenis. Pravdepodobnosť, že Kostya udrie do stola svojím podpisom, je \(0,9\) . Pravdepodobnosť, že Anton vyhrá zhromaždenie, v ktorom sa Kosťa pokúsil zasadiť výrazný úder, je \(0,3\) . Kosťa sa pokúsil udrieť do stola svojou charakteristickou ranou. Aká je pravdepodobnosť, že Kosťa skutočne zasiahne svoj podpis a nakoniec vyhrá túto remízu?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Zároveň je pravdepodobnosť, že Anton nevyhrá rally, v ktorej sa Kosťa pokúsil zasadiť svoj podpis, \(1 - 0,3 = 0,7\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Veta o vynásobení pravdepodobnosti dvoch ľubovoľných udalostí: pravdepodobnosť súčinu dvoch ľubovoľných udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z udalostí podmienenej pravdepodobnosti druhej udalosti za predpokladu, že prvá sa už stala:

P(AB)=P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B). (10)

Dôkaz (nie rigorózny): dokážeme násobiacu vetu pre schému šancí (ekvipravdepodobné hypotézy). Nech sú možné výsledky skúsenosti n šancí. Predpokladajme, že udalosť A má m šancí (na obr. 11 vytieňované); udalosť B - k šancí; súčasne udalosti A a B (AB) - l šancí (na obr. 11 majú svetlé zatienenie).

Obrázok 11

Je zrejmé, že m+k-l=n. Podľa klasického spôsobu výpočtu pravdepodobností P(AB)=l/n; P(A) = m/n; P(B) = k/n. A pravdepodobnosť je P(B|A)=l/m, pretože je známe, že nastala jedna z m šancí udalosti A a udalosť B je zvýhodnená l podobnými šancami. Dosadením týchto výrazov do vety (10) dostaneme identitu l/n=(m/n)(l/m). Veta bola dokázaná.

Veta o násobení pravdepodobností pre tri ľubovoľné udalosti:

P(ABC)=|AB=D|=P(DC)=P(D)P(C|D)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P( C|AB).(11)

Analogicky je možné napísať vety o násobení pravdepodobnosti pre viac udalostí.

Dôsledok 1. Ak udalosť A nezávisí od B, potom udalosť B nezávisí ani od A.

Dôkaz. Pretože udalosť A nezávisí od B, potom podľa definície nezávislosti udalostí P(A)=P(A|B)=P(A|). Je potrebné dokázať, že P(B)=P(B|A).

Podľa vety o násobení P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B), teda P(A)P(B|A)=P(B)P (A). Za predpokladu, že P(A)>0, vydelíme obe strany rovnosti P(A) a dostaneme: P(B)=P(B|A).

Dôsledok 1 znamená, že dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhej. V praxi sú udalosti (javy), ktoré sú vzájomne prepojené príčinnou súvislosťou, závislé.

Dôsledok 2. Pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí. Tie. ak sú udalosti A a B nezávislé, potom

P(AB)=P(A)P(B). (jedenásť)

Dôkaz je zrejmý, keďže pre nezávislé udalosti P(B|A)=P(B).

Identita (11) spolu s výrazmi (12) a (13) sú nevyhnutné a postačujúce podmienky pre nezávislosť dvoch náhodných udalostí A a B.

P(A)=P(A|B); P(A)=P(A|); P(A|B)=P(A|); (12)

P(B)=P(B|A); P(B)=P(B|); P(B|A)=P(B|). (13)

Spoľahlivosť niektorých systémov zvyšuje dvojitá redundancia (pozri obr. 12). Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky prvého subsystému (počas určitého prevádzkového času) je 0,9, druhá - 0,8. Určte pravdepodobnosť zlyhania systému ako celku počas daného prevádzkového času, ak sú poruchy podsystémov nezávislé.

Obrázok 12 - Dvojitý redundantný systém

E: Štúdia spoľahlivosti dvojnásobne redundantného riadiaceho systému;

A 1 = (bezporuchová prevádzka (počas určitého prevádzkového času) prvého subsystému); P(Al) = 0,9;

A 2 = (bezpečná prevádzka druhého subsystému); P(A2) = 0,8;

A=(bezpečná prevádzka systému ako celku); P(A)=?

Riešenie. Vyjadrime udalosť A pomocou udalostí A 1 a A 2, ktorých pravdepodobnosti sú známe. Keďže na bezporuchovú prevádzku systému postačuje bezporuchová prevádzka aspoň jedného z jeho podsystémov, je zrejmé, že A=A 1 A 2.

Aplikovaním pravdepodobnostnej vety o sčítaní dostaneme: P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1 A 2). Pravdepodobnosť spoločného výskytu javov A 1 a A 2 je určená vetou o násobení pravdepodobnosti: P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2 |A 1). Vzhľadom na to, že (podľa podmienky) sú udalosti A 1 a A 2 nezávislé, P(A 1 A 2)=P(A 1)P(A 2). Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky systému je teda P(A)=P(A 1 A 2)=P(A 1)+P(A 2)-P(A 1)P(A 2)=0,9 +0, 8-0,90,8 = 0,98.

Odpoveď: pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky systému počas daného prevádzkového času je 0,98.

Komentujte. V príklade 20 je možný iný spôsob definovania udalosti A prostredníctvom udalostí A 1 a A 2: t.j. Zlyhanie systému je možné, keď oba jeho podsystémy zlyhajú súčasne. Aplikovaním vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí získame nasledujúcu hodnotu pravdepodobnosti zlyhania systému: . Pravdepodobnosť bezporuchovej prevádzky systému počas daného prevádzkového času sa preto rovná.

Príklad 21 (paradox nezávislosti)

E: Hodia sa dve mince.

A=(strata erbu na prvej minci), P(A)=0,5;

B=(strata erbu na druhej minci), P(B)=0,5;

C=(erb zobrazený len na jednej z mincí), P(C)=0,5.

Udalosti A, B a C sú párovo nezávislé, pretože sú splnené podmienky pre nezávislosť dvoch udalostí (11)-(13):

P(A)=P(A|B)=0,5; P(B)=P(B|C)=0,5; P(C)=P(C|A)=0,5.

Avšak, P(A|BC)=0P(A); P(A|C)=lP(A); P(B|AC)=0P(B); P(C|AB)=0P(C).

Komentujte. Párová nezávislosť náhodných udalostí neznamená ich nezávislosť v súhrne.

Náhodné udalosti sú kolektívne nezávislé, ak sa pravdepodobnosť výskytu každej z nich nemení s výskytom akejkoľvek kombinácie iných udalostí. Pre náhodné udalosti A 1, A 2, ... A n, nezávislé v súhrne, platí nasledujúca veta o násobení pravdepodobnosti (nevyhnutná a postačujúca podmienka nezávislosti v súhrne n náhodných udalostí):

P(A 1 A 2 ... A n) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A n). (štrnásť)

Napríklad 21, podmienka (14) nie je splnená: P(ABC)=0P(A)P(B)P(C)=0,50,50,5=0,125. Preto párovo nezávislé udalosti A, B a C sú vzájomne závislé.

Príklad 22

V krabici je 12 tranzistorov, z toho tri sú chybné. Na zostavenie dvojstupňového zosilňovača sa náhodne odstránia dva tranzistory. Aká je pravdepodobnosť, že zostavený zosilňovač bude chybný?

E: výber dvoch tranzistorov z krabice s 9 dobrými a 3 zlými tranzistormi;

A=(chybne zostavený zosilňovač); P(A)=?

Riešenie. Je zrejmé, že zostavený dvojstupňový zosilňovač bude chybný, ak je chybný aspoň jeden z dvoch tranzistorov vybraných na montáž. Preto predefinujeme udalosť A takto:

A=(aspoň jeden z dvoch vybraných tranzistorov je chybný);

Definujeme nasledujúce pomocné náhodné udalosti:

A 01 = (chybný je len prvý z dvoch vybraných tranzistorov);

A 10 = (chybný je len druhý z dvoch vybraných tranzistorov);

A 00 = (oba vybrané tranzistory sú chybné);

Je zrejmé, že A=A 01 A 10 A 00 (aby nastala udalosť A, musí nastať aspoň jedna z udalostí A 01 alebo A 10 alebo A 00) a udalosti A 01, A 10 a A 00 sú nekompatibilné (nemôžu sa vyskytovať spolu), takže pravdepodobnosť udalosti nájdeme pomocou vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí:

P(A)=P(A01A10A00)=P(A01)+P(A10)+P(A00).

Na určenie pravdepodobnosti udalostí A 01, A 10 a A 00 uvádzame pomocné udalosti:

B 1 = (prvý zvolený tranzistor je chybný);

B 2 = (Druhý zvolený tranzistor je chybný).

Je zrejmé, že A01 = B1; Aio = B2; Aoo = B1B2; preto na určenie pravdepodobnosti udalostí A 01, A 10 a A 00 použijeme vetu o násobení pravdepodobností.

P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1),

kde P(B 1) je pravdepodobnosť, že prvý vybraný tranzistor bude chybný; P(|B 1) - pravdepodobnosť, že druhý vybraný tranzistor bude dobrý, za predpokladu, že prvý vybraný tranzistor je chybný. Klasickým spôsobom výpočtu pravdepodobností P(B 1)=3/12 a P(|B 1)=9/11 (pretože po výbere prvého zlého tranzistora zostalo v krabici 11 tranzistorov, z toho 9 sú dobré).

Teda P(A01)=P(B1)=P(B1)P(|B1)=3/129/11=0,20(45). Podobne:

P(Aio)=P(B2)=P()P(B2|)=9/123/11=0,20(45);

P(A00)=P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=3/122/11=0,041(6).

Dosaďte získané hodnoty pravdepodobností A 01, A 10 a A 00 do výrazu pre pravdepodobnosť udalosti A:

P(A)=P(A01A10A00)=P(A01)+P(A10)+P(A00)=3/129/11+9/123/11+3/122/11 = 0,45 (45).

Odpoveď: Pravdepodobnosť, že zostavený zosilňovač bude chybný, je 0,4545.

Vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.
Závislé a nezávislé udalosti

Názov vyzerá strašidelne, no v skutočnosti je veľmi jednoduchý. V tejto lekcii sa zoznámime s teorémami sčítania a násobenia pravdepodobností udalostí, ako aj analyzujeme typické úlohy, ktoré spolu s úloha pre klasickú definíciu pravdepodobnosti určite stretnete alebo, čo je pravdepodobnejšie, ste sa už stretli na vašej ceste. Ak chcete efektívne študovať materiály tohto článku, musíte poznať a pochopiť základné pojmy teória pravdepodobnosti a vedieť vykonávať jednoduché aritmetické operácie. Ako vidíte, vyžaduje sa veľmi málo, a preto je tučné plus v majetku takmer zaručené. Ale na druhej strane opäť varujem pred povrchným postojom k praktickým príkladom – jemností je tiež dosť. Veľa štastia:

Sčítací teorém pre pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí: pravdepodobnosť výskytu jedného z týchto dvoch nezlučiteľné udalosti resp (nezáleží na tom čo), sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Podobná skutočnosť platí aj pre väčší počet nekompatibilných udalostí, napríklad pre tri nekompatibilné udalosti a :

Snová veta =) Takýto sen však podlieha dokazovaniu, ktoré možno nájsť napríklad v učebnici V.E. Gmurman.

Zoznámime sa s novými, doteraz nevídanými pojmami:

Závislé a nezávislé udalosti

Začnime nezávislými udalosťami. Udalosti sú nezávislý ak pravdepodobnosť výskytu hociktorý z nich nezávisí od objavenia sa/neobjavenia sa iných udalostí uvažovaného súboru (vo všetkých možných kombináciách). ... Ale načo vybrúsiť bežné frázy:

Veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí: pravdepodobnosť spoločného výskytu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Vráťme sa k najjednoduchšiemu príkladu z 1. lekcie, v ktorom sa hádže dvoma mincami a nasledujúcimi udalosťami:

- hlavy padnú na 1. mincu;
- Hlavy na 2. minci.

Nájdite pravdepodobnosť udalosti (hlavy sa objavia na 1. minci A Eagle sa objaví na 2. minci - pamätajte, ako čítať produkt udalostí!) . Pravdepodobnosť získania hláv na jednej minci nezávisí od výsledku hodu inej mince, preto sú udalosti nezávislé.

Podobne:
je pravdepodobnosť, že na 1. minci pristanú hlavy A na 2. chvoste;
je pravdepodobnosť, že sa na 1. minci objavia hlavy A na 2. chvoste;
je pravdepodobnosť, že prvá minca dopadne na chvosty A na 2. orla.

Všimnite si, že udalosti sa tvoria celá skupina a súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej: .

Veta o násobení sa samozrejme vzťahuje na väčší počet nezávislých udalostí, takže napríklad ak sú udalosti nezávislé, pravdepodobnosť ich spoločného výskytu je: . Poďme si to precvičiť na konkrétnych príkladoch:

Úloha 3

Každá z troch krabičiek obsahuje 10 dielov. V prvej krabici je 8 štandardných častí, v druhej - 7, v tretej - 9. Z každej krabice sa náhodne odoberie jedna časť. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky časti sú štandardné.

Riešenie: pravdepodobnosť extrahovania štandardnej alebo neštandardnej časti z ľubovoľného boxu nezávisí od toho, ktoré diely budú extrahované z iných boxov, takže problém je v nezávislých udalostiach. Zvážte nasledujúce nezávislé udalosti:

– z 1. boxu sa vyberie štandardná časť;
– z 2. boxu sa odstráni štandardný diel;
– Z 3. zásuvky bol odstránený štandardný diel.

Podľa klasickej definície:
sú zodpovedajúce pravdepodobnosti.

Udalosť, ktorá nás zaujíma (Štandardná časť sa odoberie z 1. zásuvky A z 2. štandardu A z 3. štandardu) je vyjadrený produktom.

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

je pravdepodobnosť, že jeden štandardný diel bude extrahovaný z troch boxov.

Odpoveď: 0,504

Po povzbudzujúcich cvičeniach s krabicami nás čakajú nemenej zaujímavé urny:

Úloha 4

Tri urny obsahujú 6 bielych a 4 čierne gule. Z každej urny sa náhodne vyžrebuje jedna loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že: a) všetky tri loptičky budú biele; b) všetky tri loptičky budú rovnakej farby.

Na základe získaných informácií hádajte, ako naložiť s položkou “byť” ;-) Je navrhnutý približný vzor riešenia v akademickom štýle s podrobným popisom všetkých udalostí.

Závislé udalosti. Podujatie sa volá závislý ak je jeho pravdepodobnosť závisí z jednej alebo viacerých udalostí, ktoré sa už stali. Pre príklady nemusíte chodiť ďaleko – stačí zájsť do najbližšieho obchodu:

- Zajtra o 19.00 bude v predaji čerstvý chlieb.

Pravdepodobnosť tejto udalosti závisí od mnohých ďalších udalostí: či zajtra bude doručený čerstvý chlieb, či bude vypredaný pred 19:00 alebo nie atď. V závislosti od rôznych okolností môže byť táto udalosť spoľahlivá aj nemožná. Udalosť teda je závislý.

Chlieb ... a ako to Rimania požadovali, cirkusy:

- na skúške študent získa jednoduchý lístok.

Ak nepôjdete úplne prvý, udalosť bude závisieť, pretože jej pravdepodobnosť bude závisieť od toho, ktoré lístky si už spolužiaci vylosovali.

Ako určiť závislosť/nezávislosť udalostí?

Niekedy je to priamo uvedené v stave problému, ale najčastejšie musíte vykonať nezávislú analýzu. Jednoznačný návod tu neexistuje a fakt závislosti či nezávislosti udalostí vyplýva z prirodzeného logického uvažovania.

Aby sa všetko nehádzalo na jednu kopu, úlohy pre závislé udalosti Zdôrazním nasledujúcu lekciu, ale zatiaľ zvážime najbežnejšiu skupinu teorémov v praxi:

Problémy sčítacích teorémov pre nekonzistentné pravdepodobnosti
a znásobením pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Tento tandem podľa môjho subjektívneho hodnotenia funguje asi v 80% úloh na zvažovanú tému. Hit hitov a skutočná klasika teórie pravdepodobnosti:

Úloha 5

Dvaja strelci vystrelili po jednej rane na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu pre prvého strelca je 0,8, pre druhého - 0,6. Nájdite pravdepodobnosť, že:

a) terč zasiahne iba jeden strelec;
b) aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

Riešenie: Pravdepodobnosť zásahu/minutia jedného strelca je zjavne nezávislá od výkonu druhého strelca.

Zvážte udalosti:
– 1. strelec zasiahne cieľ;
– 2. strelec zasiahne cieľ.

Podľa podmienok: .

Nájdite pravdepodobnosť opačných udalostí - že zodpovedajúce šípky nebudú chýbať:

a) Zvážte udalosť: - terč zasiahne iba jeden strelec. Táto udalosť pozostáva z dvoch nezlučiteľných výsledkov:

Zasiahne 1. strelec A 2. chýba
alebo
1. bude chýbať A 2. zasiahne.

Na jazyku algebry udalostí túto skutočnosť možno zapísať takto:

Najprv použijeme vetu o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí, potom - vetu o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

je pravdepodobnosť, že bude iba jeden zásah.

b) Zvážte udalosť: - aspoň jeden zo strelcov zasiahne terč.

V prvom rade SA ZAMYSLEME – čo znamená podmienka „Aspoň JEDEN“? V tomto prípade to znamená, že buď zasiahne 1. strelec (druhý minie) alebo 2. (prvá chyba) alebo obe šípky naraz - spolu 3 nezlučiteľné výsledky.

Metóda jedna: vzhľadom na pripravenú pravdepodobnosť predchádzajúcej položky je vhodné znázorniť udalosť ako súčet nasledujúcich disjunktných udalostí:

jeden dostane (udalosť pozostávajúca postupne z 2 nezlučiteľných výsledkov) alebo
Ak zasiahnu obe šípky, túto udalosť označíme písmenom .

Touto cestou:

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že zasiahne 1. strelec A Zasiahne 2. strelec.

Podľa vety o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných udalostí:
je pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu do cieľa.

Metóda dva: zvážte opačnú udalosť: – obaja strelci budú chýbať.

Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Ako výsledok:

Venujte zvláštnu pozornosť druhej metóde - vo všeobecnosti je racionálnejšia.

Okrem toho existuje alternatívny, tretí spôsob riešenia, založený na teoréme sčítania spoločných udalostí, o ktorom sa vyššie mlčalo.

! Ak čítate materiál prvýkrát, je lepšie preskočiť nasledujúci odsek, aby ste sa vyhli nejasnostiam.

Metóda tri : udalosti sú spoločné, čo znamená, že ich súčet vyjadruje udalosť „aspoň jeden strelec zasiahne cieľ“ (pozri obr. algebra udalostí). Autor: teorém o sčítaní pravdepodobností spoločných udalostí a veta o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Pozrime sa: udalosti a (0, 1 a 2 prístupy v tomto poradí) tvoria úplnú skupinu, takže súčet ich pravdepodobností sa musí rovnať jednej:
, ktorá mala byť overená.

Odpoveď:

Pri dôkladnom štúdiu teórie pravdepodobnosti narazíte na desiatky úloh militaristického obsahu, a čo je typické, po nich už nebudete chcieť nikoho zastreliť - úlohy sú takmer darčekové. Prečo neurobiť šablónu ešte jednoduchšou? Skrátime zápis:

Riešenie: podľa podmienky: , je pravdepodobnosť zasiahnutia príslušných strelcov. Potom ich pravdepodobnosti zmeškania sú:

a) Podľa teorémov o sčítaní pravdepodobností nezlučiteľných a násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že len jeden strelec zasiahne cieľ.

b) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že obaja strelci netrafia.

Potom: je pravdepodobnosť, že aspoň jeden zo strelcov zasiahne cieľ.

Odpoveď:

V praxi môžete použiť akúkoľvek možnosť dizajnu. Samozrejme, oveľa častejšie idú krátkou cestou, ale netreba zabúdať na 1. spôsob - je síce dlhší, ale je zmysluplnejší - je v ňom prehľadnejší, čo, prečo a prečo sčítava a násobí. V niektorých prípadoch je vhodný hybridný štýl, kedy je vhodné označiť len niektoré udalosti veľkými písmenami.

Podobné úlohy pre nezávislé riešenie:

Úloha 6

Pre požiarny poplach sú nainštalované dva nezávisle fungujúce senzory. Pravdepodobnosť, že senzor bude fungovať počas požiaru, je 0,5 a 0,7 pre prvý a druhý senzor. Nájdite pravdepodobnosť, že pri požiari:

a) oba snímače zlyhajú;
b) oba snímače budú fungovať.
c) pomocou sčítacia veta pre pravdepodobnosti udalostí tvoriacich ucelenú skupinu nájdite pravdepodobnosť, že počas požiaru bude fungovať iba jeden senzor. Výsledok skontrolujte priamym výpočtom tejto pravdepodobnosti (pomocou vety o sčítaní a násobení).

Tu je nezávislosť prevádzky zariadení priamo vyjadrená v stave, čo je mimochodom dôležité objasnenie. Vzorové riešenie je navrhnuté v akademickom štýle.

Čo ak sú v podobnom probléme uvedené rovnaké pravdepodobnosti, napríklad 0,9 a 0,9? Musíte sa rozhodnúť presne rovnako! (čo už bolo v skutočnosti demonštrované na príklade s dvoma mincami)

Úloha 7

Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvým strelcom jednou ranou je 0,8. Pravdepodobnosť, že terč nebude zasiahnutý po tom, čo prvý a druhý strelec vystrelí jeden výstrel, je 0,08. Aká je pravdepodobnosť, že druhý strelec zasiahne cieľ jednou ranou?

A toto je malý hlavolam, ktorý je orámovaný krátkym spôsobom. Podmienka sa dá preformulovať stručnejšie, ale nebudem prerábať originál – v praxi sa musím hrabať v vyšperkovanejších výmysloch.

Zoznámte sa s ním - je to on, kto pre vás ukrojí nepremerané množstvo detailov =):

Úloha 8

Pracovník obsluhuje tri stroje. Pravdepodobnosť, že počas zmeny bude prvý stroj vyžadovať úpravu, je 0,3, druhý - 0,75, tretí - 0,4. Nájdite pravdepodobnosť, že počas zmeny:

a) všetky stroje budú vyžadovať nastavenie;
b) nastavenie bude vyžadovať iba jeden stroj;
c) aspoň jeden stroj bude vyžadovať nastavenie.

Riešenie: keďže podmienka nehovorí nič o jedinom technologickom procese, potom treba prevádzku každého stroja považovať za nezávislú od prevádzky ostatných strojov.

Analogicky k úlohe č. 5 tu môžete brať do úvahy udalosti spočívajúce v tom, že príslušné stroje budú vyžadovať úpravu počas zmeny, zapísať pravdepodobnosti, nájsť pravdepodobnosti opačných udalostí atď. Ale s tromi objektmi sa mi naozaj nechce vypracovávať takúto úlohu - bude to dlhé a únavné. Preto je tu výrazne výhodnejšie použiť „rýchly“ štýl:

Podľa podmienky: - pravdepodobnosť, že počas zmeny budú príslušné stroje vyžadovať ladenie. Potom pravdepodobnosti, že nebudú vyžadovať pozornosť, sú:

Jeden z čitateľov tu našiel skvelý preklep, ani ho neopravím =)

a) Podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:
je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú všetky tri stroje vyžadovať nastavenie.

b) Udalosť „Počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj“ pozostáva z troch nezlučiteľných výsledkov:

1) 1. stroj bude vyžadovať pozornosť A 2. stroj nebude vyžadovať A 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
2) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť A 2. stroj bude vyžadovať A 3. stroj nebude vyžadovať
alebo:
3) 1. stroj nebude vyžadovať pozornosť A 2. stroj nebude vyžadovať A 3. stroj bude vyžadovať.

Podľa teorémov sčítania pravdepodobností nezlučiteľných a násobenia pravdepodobností nezávislých udalostí:

- pravdepodobnosť, že počas zmeny bude vyžadovať nastavenie iba jeden stroj.

Myslím, že už by vám malo byť jasné, odkiaľ ten výraz pochádza

c) Vypočítajte pravdepodobnosť, že stroje nebudú vyžadovať úpravu, a potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:
– skutočnosť, že aspoň jeden stroj bude vyžadovať úpravu.

Odpoveď:

Položku "ve" je možné riešiť aj cez súčet , kde je pravdepodobnosť, že počas zmeny budú vyžadovať úpravu len dva stroje. Táto udalosť zase obsahuje 3 nekompatibilné výsledky, ktoré sú podpísané analogicky s položkou „byť“. Skúste si sami nájsť pravdepodobnosť, že pomocou rovnosti preveríte celý problém.

Úloha 9

Tri delá vystrelili salvu na cieľ. Pravdepodobnosť zásahu jednou ranou iba z prvej zbrane je 0,7, od druhej - 0,6, od tretej - 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že: 1) aspoň jeden projektil zasiahne cieľ; 2) iba dva projektily zasiahnu cieľ; 3) cieľ bude zasiahnutý aspoň dvakrát.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

A opäť o náhodách: v prípade, že sa podľa podmienky zhodujú dve alebo dokonca všetky hodnoty počiatočných pravdepodobností (napríklad 0,7; 0,7 a 0,7), potom by sa mal použiť presne rovnaký algoritmus riešenia.

Na záver článku budeme analyzovať ďalšiu spoločnú hádanku:

Úloha 10

Strelec pri každom výstrele zasiahne cieľ s rovnakou pravdepodobnosťou. Aká je táto pravdepodobnosť, ak pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu z troch výstrelov je 0,973.

Riešenie: označuje - pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri každom výstrele.
a cez - pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Zapíšme si udalosti:
- pri 3 výstreloch strelec zasiahne terč aspoň raz;
- strelec 3 krát minie.

Podľa podmienky potom pravdepodobnosť opačnej udalosti:

Na druhej strane, podľa vety o násobení pravdepodobností nezávislých udalostí:

Touto cestou:

- pravdepodobnosť netrafenia pri každom výstrele.

Ako výsledok:
je pravdepodobnosť zasiahnutia každého výstrelu.

Odpoveď: 0,7

Jednoduché a elegantné.

V uvažovanom probléme možno vzniesť ďalšie otázky o pravdepodobnosti iba jedného zásahu, iba dvoch zásahov a pravdepodobnosti troch zásahov do cieľa. Schéma riešenia bude presne rovnaká ako v dvoch predchádzajúcich príkladoch:

Zásadný podstatný rozdiel je však v tom, že existujú opakované nezávislé testy, ktoré sa vykonávajú postupne, nezávisle od seba a s rovnakou pravdepodobnosťou výsledkov.

Štúdium teórie pravdepodobnosti začína riešením úloh na sčítanie a násobenie pravdepodobností. Hneď stojí za zmienku, že pri zvládnutí tejto oblasti vedomostí môže študent naraziť na problém: ak je možné fyzikálne alebo chemické procesy vizualizovať a pochopiť empiricky, potom je úroveň matematickej abstrakcie veľmi vysoká a pochopenie tu prichádza iba so skúsenosťami. .

Táto hra však stojí za sviečku, pretože vzorce - tie, ktoré sú uvedené v tomto článku, aj tie zložitejšie - sa dnes používajú všade a môžu sa hodiť pri práci.

Pôvod

Napodiv, impulzom pre rozvoj tejto časti matematiky bol ... hazard. Vskutku, kocky, hod mincou, poker, ruleta sú typickými príkladmi, ktoré využívajú sčítanie a násobenie pravdepodobností. Na príklade úloh v ktorejkoľvek učebnici je to jasne vidieť. Ľudia mali záujem dozvedieť sa, ako zvýšiť svoje šance na výhru, a musím povedať, že niektorým sa to aj podarilo.

Napríklad už v 21. storočí jedna osoba, ktorej meno nebudeme prezrádzať, využila tieto stáročia nahromadené poznatky na doslova „vyčistenie“ kasína, pričom v rulete vyhrala niekoľko desiatok miliónov dolárov.

Napriek zvýšenému záujmu o túto tému sa však až v 20. storočí vyvinul teoretický základ, ktorý urobil „teorver“ úplným.V súčasnosti takmer v každej vede možno nájsť výpočty pomocou pravdepodobnostných metód.

Použiteľnosť

Dôležitým bodom pri použití vzorcov na sčítanie a násobenie pravdepodobností, podmienená pravdepodobnosť, je splniteľnosť centrálnej limitnej vety. V opačnom prípade, hoci si to študent nemusí uvedomiť, všetky výpočty, bez ohľadu na to, aké vierohodné sa môžu zdať, budú nesprávne.

Áno, vysoko motivovaný študent je v pokušení využiť nové poznatky pri každej príležitosti. Ale v tomto prípade by ste mali trochu spomaliť a prísne načrtnúť rozsah pôsobnosti.

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá náhodnými udalosťami, ktoré sú z empirického hľadiska výsledkom experimentov: môžeme hádzať šesťstennou kockou, ťahať kartu z balíčka, predpovedať počet chybných častí v dávke. V niektorých otázkach je však kategoricky nemožné použiť vzorce z tejto časti matematiky. O vlastnostiach zvažovania pravdepodobnosti udalosti, teorémoch sčítania a násobenia udalostí budeme diskutovať na konci článku, ale teraz sa obraciame na príklady.

Základné pojmy

Náhodná udalosť je nejaký proces alebo výsledok, ktorý sa môže alebo nemusí objaviť ako výsledok experimentu. Napríklad hodíme sendvič - môže padať maslo hore alebo maslo dole. Každý z týchto dvoch výsledkov bude náhodný a vopred nevieme, ktorý z nich nastane.

Pri štúdiu sčítania a násobenia pravdepodobností potrebujeme ešte dva pojmy.

Spoločné udalosti sú také udalosti, z ktorých výskyt jednej nevylučuje vznik druhej. Povedzme, že dvaja ľudia strieľajú na cieľ súčasne. Ak jeden z nich vyprodukuje úspešnú, neovplyvní to schopnosť toho druhého zasiahnuť terč alebo minúť.

Nekonzistentné udalosti budú také udalosti, ktorých výskyt je súčasne nemožný. Napríklad vytiahnutím iba jednej loptičky z krabice nemôžete získať modrú aj červenú naraz.

Označenie

Pojem pravdepodobnosti sa označuje latinským veľkým písmenom P. Ďalej sú v zátvorkách argumenty označujúce niektoré udalosti.

Vo vzorcoch vety o sčítaní, podmienenej pravdepodobnosti, vete o násobení uvidíte v zátvorkách výrazy, napríklad: A+B, AB alebo A|B. Budú sa počítať rôznymi spôsobmi a teraz sa k nim obrátime.

Doplnenie

Zvážte prípady, v ktorých sa používajú vzorce na sčítanie a násobenie pravdepodobností.

Pre nekompatibilné udalosti je relevantný najjednoduchší sčítací vzorec: pravdepodobnosť ktoréhokoľvek z náhodných výsledkov sa bude rovnať súčtu pravdepodobností každého z týchto výsledkov.

Predpokladajme, že existuje krabica s 2 modrými, 3 červenými a 5 žltými guľôčkami. V krabici je spolu 10 položiek. Aké je percento pravdivosti tvrdenia, že vytiahneme modrú alebo červenú guľu? Bude sa rovnať 2/10 + 3/10, teda päťdesiat percent.

V prípade nekompatibilných udalostí sa vzorec skomplikuje, pretože sa pridáva ďalší výraz. Vrátime sa k nemu v jednom odseku, po zvážení ešte jedného vzorca.

Násobenie

V rôznych prípadoch sa používa sčítanie a násobenie pravdepodobností nezávislých udalostí. Ak sme podľa podmienok experimentu spokojní s jedným z dvoch možných výsledkov, vypočítame súčet; ak chceme získať dva isté výsledky jeden po druhom, uchýlime sa k použitiu iného vzorca.

Ak sa vrátime k príkladu z predchádzajúcej časti, chceme najprv nakresliť modrú guľu a potom červenú. Prvé číslo, ktoré poznáme, sú 2/10. Čo sa stane ďalej? Zostáva 9 loptičiek, stále rovnaký počet červených - tri kusy. Podľa výpočtov dostanete 3/9 alebo 1/3. Ale čo teraz robiť s dvoma číslami? Správna odpoveď je vynásobiť, aby ste dostali 2/30.

Spoločné akcie

Teraz sa môžeme opäť obrátiť na sumárny vzorec pre spoločné akcie. Prečo odbočujeme od témy? Naučiť sa, ako sa násobia pravdepodobnosti. Teraz potrebujeme tieto znalosti.

Už vieme, aké budú prvé dva členy (rovnako ako v predchádzajúcom vzorci sčítania), ale teraz musíme odpočítať súčin pravdepodobností, ktorý sme sa práve naučili vypočítať. Pre názornosť napíšeme vzorec: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Ukazuje sa, že v jednom výraze sa používa sčítanie aj násobenie pravdepodobností.

Povedzme, že musíme vyriešiť jeden z dvoch problémov, aby sme získali úver. Prvý môžeme vyriešiť s pravdepodobnosťou 0,3 a druhý - 0,6. Riešenie: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Všimnite si, že jednoduché sčítanie čísel tu nebude stačiť.

Podmienená pravdepodobnosť

Nakoniec je tu pojem podmienenej pravdepodobnosti, ktorého argumenty sú uvedené v zátvorkách a oddelené zvislou čiarou. Záznam P(A|B) znie takto: "pravdepodobnosť udalosti A danej udalosti B".

Pozrime sa na príklad: priateľ vám dá nejaké zariadenie, nech je to telefón. Môže byť zlomený (20%) alebo dobrý (80%). Akékoľvek zariadenie, ktoré sa vám dostane do rúk, ste schopní opraviť s pravdepodobnosťou 0,4 alebo to nedokážete (0,6). Nakoniec, ak je zariadenie v prevádzkovom stave, môžete sa dostať k správnej osobe s pravdepodobnosťou 0,7.

Je ľahké vidieť, ako podmienená pravdepodobnosť funguje v tomto prípade: nemôžete sa dostať k osobe, ak je telefón pokazený, a ak je dobrý, nemusíte ho opravovať. Ak teda chcete získať nejaké výsledky na „druhej úrovni“, musíte vedieť, ktorá udalosť bola vykonaná na prvej úrovni.

Výpočty

Zvážte príklady riešenia úloh na sčítanie a násobenie pravdepodobností pomocou údajov z predchádzajúceho odseku.

Najprv zistime pravdepodobnosť, že opravíte zariadenie, ktoré ste dostali. Aby ste to dosiahli, po prvé, musí byť chybný a po druhé, musíte sa vyrovnať s opravou. Toto je typický problém násobenia: dostaneme 0,2 * 0,4 = 0,08.

Aká je pravdepodobnosť, že sa okamžite dostanete k správnej osobe? Jednoduchšie ako jednoduché: 0,8 * 0,7 \u003d 0,56. V tomto prípade ste zistili, že telefón funguje a úspešne ste uskutočnili hovor.

Nakoniec zvážte tento scenár: dostali ste pokazený telefón, opravili ste ho, potom vytočili číslo a osoba na opačnom konci telefón zdvihla. Tu je už potrebné násobenie troch komponentov: 0,2 * 0,4 * 0,7 \u003d 0,056.

Ale čo ak máte dva nefunkčné telefóny naraz? Aká je pravdepodobnosť, že opravíte aspoň jeden z nich? o sčítaní a násobení pravdepodobností, keďže sa používajú spoločné udalosti. Riešenie: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Ak sa vám teda do rúk dostanú dve pokazené zariadenia, v 64 % prípadov to dokážete opraviť.

Ohľaduplné používanie

Ako bolo spomenuté na začiatku článku, použitie teórie pravdepodobnosti by malo byť premyslené a vedomé.

Čím väčšia je séria experimentov, tým viac sa teoreticky predpokladaná hodnota približuje hodnote získanej v praxi. Napríklad si hodíme mincou. Teoreticky, keď vieme o existencii vzorcov na sčítanie a násobenie pravdepodobností, môžeme predpovedať, koľkokrát vypadnú hlavy a chvosty, ak experiment vykonáme 10-krát. Uskutočnili sme experiment a zhodou okolností bol pomer strán, ktoré vypadli, 3 ku 7. Ak však vykonáte sériu 100, 1 000 alebo viac pokusov, ukáže sa, že distribučný graf sa čoraz viac približuje k teoretický: 44 až 56, 482 až 518 atď.

Teraz si predstavte, že tento experiment sa nerobí s mincou, ale s výrobou nejakej novej chemickej látky, ktorej pravdepodobnosť nepoznáme. Uskutočnili by sme 10 experimentov a bez úspešného výsledku by sme mohli zovšeobecniť: „látku nie je možné získať“. Ale ktovie, keby sme urobili jedenásty pokus, dosiahli by sme cieľ alebo nie?

Ak teda idete do neznáma, do neprebádanej oblasti, teória pravdepodobnosti nemusí byť použiteľná. Každý ďalší pokus v tomto prípade môže byť úspešný a zovšeobecnenia ako „X neexistuje“ alebo „X je nemožné“ budú predčasné.

Slovo na záver

Takže sme zvážili dva typy sčítania, násobenie a podmienené pravdepodobnosti. Pri ďalšom štúdiu tejto oblasti je potrebné naučiť sa rozlišovať situácie, kedy sa používa každý konkrétny vzorec. Okrem toho musíte pochopiť, či sú pravdepodobnostné metódy všeobecne použiteľné pri riešení vášho problému.

Ak cvičíte, po chvíli začnete vykonávať všetky požadované operácie výlučne vo svojej mysli. Pre tých, ktorí majú radi kartové hry, možno túto zručnosť považovať za mimoriadne cennú – svoje šance na výhru výrazne zvýšite už len spočítaním pravdepodobnosti vypadnutia konkrétnej karty alebo farby. Získané poznatky však možno ľahko uplatniť aj v iných oblastiach činnosti.

Produktom alebo priesečníkom udalostí A a B je udalosť pozostávajúca zo súčasného výskytu udalostí a udalostí A a IN. Označenie diela AB alebo L a V.

Napríklad zasiahnutie cieľa dvakrát je výsledkom dvoch udalostí, odpoveď na obe otázky lístka v skúške je výsledkom dvoch udalostí.

Udalosti L a IN sa nazývajú nekonzistentné, ak je ich produktom nemožná udalosť, t.j. LV = V.

Napríklad udalosti L - strata erbu a IN- strata čísel pri jedinom hode mincou nemôže nastať súčasne, ich súčin je nemožná udalosť, udalosti L a B sú nezlučiteľné.

Pojmy súčet a súčin udalostí majú jasnú geometrickú interpretáciu (obr. 6.4).

Ryža. 6.4. Geometrická interpretácia diela (ale) a sumy (b) dve spoločné podujatia

Nech udalosť A je množina bodov v oblasti L a udalosť B je množina bodov v oblasti B. Vytieňovaná oblasť zodpovedá udalosti LP na obr. 6 La a udalosť A + B na obr. 6.46.

Pre nekompatibilné udalosti A a B máme LP = V(obr. 6.5a). Udalosť L + B zodpovedá tieňovanej oblasti na obr. 6.56.

Ryža. 6.5. Geometrická interpretácia produktu ( ale) a sumy (b) dve nezlučiteľné udalosti

Vývoj ALE A ALE sa nazývajú opačné, ak sú nezlučiteľné a celkovo predstavujú spoľahlivú udalosť, t.j.

A A = V; A+A=U.

Napríklad vystrelme jeden výstrel na cieľ: udalosť ALE- strelec zasiahol cieľ ALE- zmeškaný; hodená minca:

udalosť ALE- orlí pád, ALE- strata čísel; školáci píšu test: event ALE- žiadny

chyby v kontrolnej práci, ALE- v kontrolnej práci sú chyby; študent prišiel urobiť test: event ALE- prešiel

ofset, ALE- nepredložil správu.

V triede sú chlapci a dievčatá, výborní žiaci, dobrí žiaci a traja žiaci študujú anglický a nemecký jazyk. Nech je podujatie M buď chlapec, O výborný študent, A študent angličtiny. Môže byť študent, ktorý omylom opustil triedu, chlapec, výborný študent a študent angličtiny? Toto bude produkt alebo priesečník udalostí MOA.

Príklad 6.15. Hoď kockou - kockou z homogénneho materiálu, ktorej strany sú očíslované. Sledujte počet (počet bodov) padajúcich na hornú plochu. Nechajte udalosť ALE - výskyt nepárneho čísla, príp IN - vzhľad násobku troch. Nájdite výsledky, ktoré tvoria každú z udalostí (?/, A, A + V U AB) a uveďte ich význam.

Riešenie. Výsledok - zobrazenie ktoréhokoľvek z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 na hornej strane. Súbor všetkých výsledkov je priestorom elementárnych udalostí U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Je jasné, že udalosť A =(1, 3, 5), event B = {3, 6}.

Udalosť ALE + B =(1, 3, 5, 6) - výskyt nepárneho čísla alebo čísla, ktoré je násobkom troch. Pri uvádzaní výsledkov sa berie do úvahy, že každý výsledok v súbore môže byť obsiahnutý iba raz.

Udalosť AB =(3) - výskyt nepárneho čísla aj násobku troch.

Príklad 6.16. Kontrolovali sa domáce úlohy troch žiakov. Nechajte udalosť ALE ( - splnenie úlohy i-tým žiakom, G = 1, 2, 3.

Aký je význam udalostí: A = At + A 2+ L 3, ALE A B \u003d A t A 2 A 3?

Riešenie. Udalosť ALE = A x + A 2 + A 3 - splnenie úlohy aspoň jedným žiakom, t.j. alebo ktorýkoľvek jeden študent (alebo prvý, alebo druhý alebo tretí), alebo ktorýkoľvek dvaja, alebo všetci traja.

Udalosť A \u003d A x -A 2 -A 3- úlohu nesplnil žiaden žiak - ani prvý, ani druhý, ani tretí. Udalosť B \u003d A ( A 2 A 3 - plnenie úlohy tromi študentmi - prvým, druhým a tretím.

Pri zvažovaní spoločného výskytu viacerých udalostí existujú prípady, kedy výskyt jednej z nich ovplyvňuje možnosť vzniku ďalšej. Napríklad, ak je na jeseň slnečný deň, potom je menej pravdepodobné, že sa počasie zhorší (začne pršať). Ak nie je vidieť slnko, je pravdepodobnejšie, že bude pršať.

Udalosť L nazývané nezávislé od udalostí IN, ak pravdepodobnosť udalosti ALE sa nemení v závislosti od toho, či udalosť nastala alebo nie IN. Inak udalosť ALE sa nazýva závislý od udalosti IN. Dve udalosti A aIN sa nazývajú nezávislé, ak pravdepodobnosť jedného z nich nezávisí od výskytu alebo nevyskytovania sa druhého, závislé - inak. Udalosti sa nazývajú párovo nezávislé, ak sú každé dve navzájom nezávislé.

Veta o násobení pravdepodobnosti je formulovaná nasledovne. Pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Táto veta platí pre ľubovoľný konečný počet udalostí, pokiaľ sú kolektívne nezávislé, t.j. pravdepodobnosť niektorej z nich nezávisí od toho, či k druhej z týchto udalostí došlo alebo nie.

Príklad 6.17. Študent robí tri skúšky. Pravdepodobnosť absolvovania prvej skúšky je 0,9, druhá - 0,65, tretia - 0,35. Nájdite pravdepodobnosť, že neuspeje aspoň v jednej skúške.

Riešenie. Označiť ALE podujatie - žiak neurobil aspoň jednu skúšku. Potom P(A) = 1 - /-'(1/1), kde ALE- opačná udalosť - študent absolvoval všetky skúšky. Keďže absolvovanie každej skúšky nezávisí od iných skúšok, potom P(A)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Pravdepodobnosť udalosti ALE, vypočítané za predpokladu, že dôjde k udalosti IN, volal podmienená pravdepodobnosť vývoj ALE podlieha vzhľadu IN a označené R B (A) alebo P(A/B).

Veta.Pravdepodobnosť výskytu súčinu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že nastala prvá udalosť.:

Príklad 6.18. Študent žrebuje dvakrát jeden tiket z 34. Aká je pravdepodobnosť, že skúšku zvládne, ak si pripravil 30 tiketov a na prvý raz vytiahne neúspešný tiket?

Riešenie. Nechajte udalosť ALE spočíva v tom, že ste prvýkrát dostali neúspešný lístok, akciu IN- druhýkrát sa vyžrebuje úspešný tiket. Potom ALE?IN- študent skúšku zloží (za stanovených okolností). Vývoj ALE A IN sú závislé, pretože pravdepodobnosť výberu úspešného tiketu na druhý pokus závisí od výsledku prvého výberu. Preto používame vzorec (6.6):

Všimnite si, že pravdepodobnosť získaná v riešení je „0,107. Prečo je pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky taká malá, ak sa naučíte 30 lístkov z 34 a dajú sa dva pokusy?!

Rozšírená veta sčítania je formulovaný nasledovne. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu (Tvorba):

Príklad 6.19. Dvaja študenti riešia úlohu. Pravdepodobnosť, že prvý študent vyrieši úlohu (udal ALE), rovná 0,9; pravdepodobnosť, že druhý študent vyrieši úlohu (udal IN), rovná sa 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že sa problém vyrieši?

Riešenie. Nás zaujíma udalosť C, ktorá spočíva v tom, že sa problém vyrieši, t.j. prvý, alebo druhý žiak, alebo dvaja žiaci súčasne. Tak, udalosť záujmu prejsť C \u003d A +IN. Vývoj ALE A IN sú spoločné, potom je veta o sčítaní pravdepodobnosti použiteľná pre prípad spoločných udalostí: P(A + IN) = P(A) + P(B) - P(AB). Pre náš prípad P(A + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (udalosti ALE A IN spoločné, ale nezávislé).

Príklad 6.20. Žiak pozná 20 otázok z 25. Aká je pravdepodobnosť, že odpovie na 3 otázky z 25?

Riešenie. Uveďme udalosť A, - žiak pozná odpoveď i- navrhovaná otázka, i= 1,2,3. Udalosti L, L 2, L 3 - závislé. Preto

Pri zisťovaní pravdepodobnosti udalostí bola použitá klasická definícia pravdepodobnosti.