Veta. Pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľných udalostí a rovná sa súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Dôsledok 1. Pomocou metódy matematickej indukcie možno vzorec (3.10) zovšeobecniť na ľubovoľný počet párovo nekompatibilných udalostí:

Dôsledok 2. Keďže opačné udalosti sú nekompatibilné a ich súčet je spoľahlivá udalosť, potom pomocou (3.10) máme:

Pri riešení problémov sa vzorec (3.12) často používa vo forme:

(3.13)

Príklad 3.29. V experimente s hádzaním kockou nájdite pravdepodobnosť, že získate viac ako 3 a menej ako 6 na hornej hranici počtu bodov.

Označme udalosti spojené so stratou jedného bodu na hornej strane kocky U 1 , dva body naprieč U 2 ,…, cez šesť bodov U 6 .

Nechajte udalosť U- strata na hornej strane kocky počet bodov viac ako 3 a menej ako 6. Táto udalosť nastane, ak nastane aspoň jedna z udalostí U 4 alebo U 5 , preto ho možno znázorniť ako súčet týchto udalostí: . Pretože udalosti U 4 A U 5 sú nekonzistentné, potom na zistenie pravdepodobnosti ich súčtu použijeme vzorec (3.11). Vzhľadom na to, že pravdepodobnosti udalostí U 1 , U 2 ,…,U 6 sú rovnaké, dostaneme:

Komentujte. Predtým sa problémy tohto typu riešili spočítaním počtu priaznivých výsledkov. Udalosť U je v skutočnosti uprednostňovaná dvoma výsledkami a iba šiestimi základnými výsledkami, preto pri použití klasického prístupu k pojmu pravdepodobnosti získame:

Klasický prístup k pojmu pravdepodobnosti je však na rozdiel od vety o pravdepodobnosti súčtu nezlučiteľných udalostí použiteľný len pre rovnako možné výsledky.

Príklad 3.30. Šanca strelca na zasiahnutie terča je 0,7. Aká je pravdepodobnosť, že strelec minie cieľ?

Nech je udalosťou strelec zasiahnutý terč, potom udalosť, že strelec nezasiahne terč, je opačnou udalosťou ako udalosť, pretože v dôsledku každého testu nastane vždy len jedna z týchto udalostí. Pomocou vzorca (3.13) dostaneme:

3.2.10. Pravdepodobnosť vzniku udalostí

Definícia. Podujatie sa volá závislý z udalosti ak pravdepodobnosť udalosti závisí od toho, či udalosť nastala alebo nie.

Definícia. Pravdepodobnosť udalosti vzhľadom na to, že udalosť nastala, sa nazýva podmienená pravdepodobnosť udalosti a je označený

Veta. Pravdepodobnosť súčinu udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že k prvej došlo:

Podmienka nezávislosti udalosti od udalosti možno napísať vo forme Z tohto tvrdenia vyplýva, že pre nezávislé udalosti platí nasledujúci vzťah:

t.j. pravdepodobnosť súčinu nezávislých udalostí a rovná sa súčinu ich pravdepodobností.

Komentujte. Pravdepodobnosť súčinu niekoľkých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a pravdepodobnosť každej ďalšej udalosti v poradí sa vypočíta za podmienky, že sa všetky predchádzajúce udalosti odohrali:

Ak sú udalosti nezávislé, potom máme:

Príklad 3.31. V krabici je 5 bielych a 3 čierne loptičky. Z neho sa náhodne vyžrebujú dve loptičky bez výmeny. Nájdite pravdepodobnosť, že obe gule sú biele.

Nech je udalosťou výskyt bielej gule pri prvom ťahu, výskyt bielej lopty pri druhom ťahu. Vzhľadom na to (pravdepodobnosť výskytu druhej bielej gule za predpokladu, že prvá vytiahnutá guľa bola biela a nebola vrátená do boxu). Keďže udalosti a sú závislé, môžeme zistiť pravdepodobnosť ich súčinu pomocou vzorca (3.15):

Príklad 3.32. Pravdepodobnosť zasiahnutia terča prvým strelcom je 0,8; druhý - 0,7. Každý strelec strieľal na cieľ. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň jeden strelec zasiahne cieľ? Aká je pravdepodobnosť, že jeden strelec zasiahne cieľ?

Nech je udalosťou zásah do terča prvým strelcom, - druhým. Všetky možné možnosti môžu byť reprezentované ako tabuľky 3.5, kde „+“ znamená, že sa udalosť stala, a „-“ – nenastala.

Tabuľka 3.5

Nech je udalosťou zásah aspoň jedného strelca do terča, potom udalosť je súčtom nezávislých udalostí a preto nie je možné v tejto situácii použiť vetu o pravdepodobnosti súčtu nezlučiteľných udalostí.

Uvažujme udalosť opačnú k udalosti, ktorá nastane, keď žiadny strelec nezasiahne cieľ, t. j. je výsledkom nezávislých udalostí. Pomocou vzorcov (3.13) a (3.15) dostaneme:

Nech je udalosťou zásah jedného strelca do terča. Táto udalosť môže byť reprezentovaná nasledovne:

Udalosti a sú nezávislé, udalosti a sú tiež nezávislé. Udalosti, ktoré sú produktmi udalostí, sú nezlučiteľné. Pomocou vzorcov (3.10) a (3.15) dostaneme:

Vlastnosti operácií sčítania a násobenia udalostí:

3.2.11. Vzorec úplnej pravdepodobnosti. Bayesov vzorec

Nech sa udalosť vyskytne len spolu s jednou z párovo nezlučiteľných udalostí (hypotéz),,...,, tvoriacich ucelenú skupinu, t.j.

Pravdepodobnosť udalosti sa zistí podľa vzorca plná pravdepodobnosť:

Ak sa udalosť už stala, potom môžu byť pravdepodobnosti hypotéz nadhodnotené vzorcom Bayes:

(3.17)

Príklad 3.33. Sú tam dve rovnaké urny s loptičkami. Prvá urna obsahuje 5 bielych a 10 čiernych loptičiek a druhá urna obsahuje 3 biele a 7 čiernych loptičiek. Náhodne sa vyberie jedna urna a z nej sa vyžrebuje jedna loptička.

Nájdite pravdepodobnosť, že táto guľa je biela.

Z urny sa náhodne vytiahne biela guľa. Nájdite pravdepodobnosť, že lopta bola vytiahnutá z prvej urny.

\(\blacktriangleright\) Ak vykonanie udalosti \(C\) vyžaduje vykonanie oboch súčasných (ktoré sa môžu vyskytnúť súčasne) udalostí \(A\) a \(B\) (\(C=\(A\ ) a \( B\)\) ), potom sa pravdepodobnosť udalosti \(C\) rovná súčinu pravdepodobnosti udalostí \(A\) a \(B\) .

Všimnite si, že ak sú udalosti nekompatibilné, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu je \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Každá udalosť môže byť reprezentovaná ako kruh. Potom, ak sú udalosti spoločné, potom sa kruhy musia pretínať. Pravdepodobnosť udalosti \(C\) je pravdepodobnosť, že sa dostaneme do oboch kruhov súčasne.

\(\blacktriangleright\) Napríklad pri hádzaní kockou nájdite pravdepodobnosť \(C=\) (hodenie čísla \(6\) ).
Udalosť \(C\) môže byť formulovaná ako \(A=\) (párne číslo) a \(B=\) (číslo deliteľné tromi).
Potom \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\).

Úloha 1 #3092

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Obchod predáva tenisky dvoch značiek: Dike a Ananas. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný pár tenisiek je Dike, je \(0,6\) . Každá firma sa môže pomýliť pri písaní svojho názvu na tenisky. Pravdepodobnosť, že Dike napíše meno nesprávne, je \(0,05\) ; Pravdepodobnosť, že Ananas napíše meno nesprávne, je \(0,025\) . Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne zakúpený pár tenisiek bude mať správny pravopis názvu spoločnosti.

Udalosť A: „pár tenisiek bude mať správny názov“ sa rovná súčtu udalostí B: „pár tenisiek bude od Dike a so správnym názvom“ a C: „pár tenisiek bude z Ananas a so správnym menom.“
Pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčinu pravdepodobnosti udalostí „tenisky vyrobí Dike“ a „názov spoločnosti Dike napísaný správne“: \ Podobne pre udalosť C: \ v dôsledku toho \

Odpoveď: 0,96

Úloha 2 #166

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Ak Timur hrá s bielou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,72. Ak Timur hrá s čiernou dámou, potom porazí Vanyu s pravdepodobnosťou 0,63. Timur a Vanya hrajú dve hry av druhej hre zmenia farbu dám. Nájdite pravdepodobnosť, že Vanya vyhrá v oboch prípadoch.

Vanya vyhráva biely s pravdepodobnosťou \(0,37\) a čierny s pravdepodobnosťou \(0,28\) . Udalosti „z dvoch hier vyhral Vanya bielymi“\(\ \) a „z dvoch hier vyhral Vanya čiernymi“\(\ \) sú nezávislé, potom sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná \

Odpoveď: 0,1036

Úloha 3 #172

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Vstup do múzea strážia dvaja strážcovia. Pravdepodobnosť, že najstarší z nich zabudne vysielačku, je \(0,2\) , a pravdepodobnosť, že najmladší z nich zabudne vysielačku, je \(0,1\) . Aká je pravdepodobnosť, že nebudú mať žiadne vysielačky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Odpoveď: 0,02

Úloha 4 #167

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Kostya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,05\) . Vanya si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Anton si pri skoku z výšky 1 metra zlomí nohu s pravdepodobnosťou \(0,01\) . Kostya, Vanya a Anton súčasne skočia z výšky 1 metra. Aká je pravdepodobnosť, že si nohu zlomí iba Kosťa? Svoju odpoveď zaokrúhlite na tisíciny.

Udalosti „Pri skoku z výšky 1 metra si Kosťa zlomil nohu“\(,\ \) „Pri skoku z výšky 1 metra si Váňa nezlomil nohu“\(\ \) a „Pri skoku z výška 1 metra, Anton si nezlomil nohu“\( \ \) sú nezávislé, preto sa pravdepodobnosť ich súčasného výskytu rovná súčinu ich pravdepodobností: \ Po zaokrúhlení nakoniec dostaneme \(0,049\) .

Odpoveď: 0,049

Úloha 5 #170

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Maxim a Vanya sa rozhodli ísť na bowling. Maxim správne odhadol, že v priemere trafí úder raz za osem hodov. Váňa správne odhadol, že v priemere raz za päť hodov knokautuje úder. Maxim a Vanya urobia každý presne jeden hod (bez ohľadu na výsledok). Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi nebudú štrajky?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. V tomto prípade je pravdepodobnosť, že Maxim nezasiahne štrajk, rovná \ Pravdepodobnosť, že Vanya nezasiahne, je \(1 - 0,2 = 0,8\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \[\dfrac(7)(8)\cdot 0,8 = 0,7.\]

Odpoveď: 0.7

Úloha 6 #1646

Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške

Anton a Kosťa hrajú stolný tenis. Pravdepodobnosť, že Kostya udrie do stola svojím podpisom, je \(0,9\) . Pravdepodobnosť, že Anton vyhrá zhromaždenie, v ktorom sa Kosťa pokúsil zasadiť výrazný úder, je \(0,3\) . Kosťa sa pokúsil udrieť do stola svojou charakteristickou ranou. Aká je pravdepodobnosť, že Kosťa skutočne zasiahne svoj podpis a nakoniec vyhrá túto remízu?

Keďže uvažované udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich súčasného výskytu sa rovná súčinu ich pravdepodobností. Zároveň je pravdepodobnosť, že Anton nevyhrá rally, v ktorej sa Kosťa pokúsil zasadiť svoj podpis, \(1 - 0,3 = 0,7\) . Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná \

Nechať byť ALE A IN sú dve udalosti posudzované v tomto teste. V tomto prípade môže výskyt jednej z udalostí ovplyvniť možnosť výskytu ďalšej. Napríklad výskyt udalosti ALE môže ovplyvniť udalosť IN alebo naopak. Na zohľadnenie takejto závislosti niektorých udalostí od iných sa zavádza pojem podmienenej pravdepodobnosti.

Definícia. Ak pravdepodobnosť udalosti IN sa nachádza pod podmienkou, že event ALE sa stala, potom výsledná pravdepodobnosť udalosti IN volal podmienená pravdepodobnosť vývoj IN. Na označenie takejto podmienenej pravdepodobnosti sa používajú nasledujúce symboly: R ALE ( IN) alebo R(IN / ALE).

Poznámka 2. Na rozdiel od podmienenej pravdepodobnosti sa uvažuje aj o „nepodmienenej“ pravdepodobnosti, keď sú akékoľvek podmienky pre vznik nejakej udalosti IN chýba.

Príklad. Urna obsahuje 5 loptičiek, z toho 3 červené a 2 modré. Postupne sa z nej ťahá jedna loptička s návratom a bez návratu. Nájdite podmienenú pravdepodobnosť vytiahnutia červenej gule po druhýkrát za predpokladu, že prvý raz je: a) červená guľa; b) modrá guľa.

Nechajte udalosť ALE kreslí červenú guľu prvýkrát a udalosť IN– vytiahnutie červenej gule po druhýkrát. To je zrejmé R(ALE) = 3/5; potom v prípade, keď sa po prvýkrát vytiahnutá lopta vráti do urny, R(IN) = 3/5. V prípade, že vyžrebovaná loptička nie je vrátená, pravdepodobnosť ťahania červenej gule R(IN) závisí od toho, ktorá loptička bola vyžrebovaná prvýkrát - červená (udal ALE) alebo modrá (udalosť). Potom v prvom prípade R ALE ( IN) = 2/4 a v druhom ( IN) = 3 / 4.

Veta o násobení pravdepodobnosti udalostí, z ktorých jedna sa odohráva pod podmienkou druhej

Pravdepodobnosť súčinu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, zistenej za predpokladu, že nastala prvá udalosť:

R(A ∙ B) = R(ALE) ∙ R ALE ( IN) . (1.7)

Dôkaz. Skutočne, nech n- celkový počet rovnako pravdepodobných a nezlučiteľných (elementárnych) výsledkov testu. Nechaj to tak n 1 - počet výsledkov, ktoré podporujú udalosť ALE, ktorý sa vyskytuje na začiatku, a m- počet výsledkov, v ktorých sa udalosť vyskytne IN za predpokladu, že udalosť ALE Prišiel. Touto cestou, m je počet výsledkov, ktoré uprednostňujú udalosť IN. Potom dostaneme:

Tie. pravdepodobnosť súčinu niekoľkých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z týchto udalostí podmienenými pravdepodobnosťami ostatných a podmienená pravdepodobnosť každej nasledujúcej udalosti sa počíta za predpokladu, že nastali všetky predchádzajúce udalosti.

Príklad. V tíme 10 športovcov sú 4 majstri športu. Žrebovaním sa z družstva vyberú 3 športovci. Aká je pravdepodobnosť, že všetci vybraní športovci sú majstrami športu?

Riešenie. Zredukujme problém na „urnový“ model, t.j. Predpokladajme, že v urne s 10 loptičkami sú 4 červené loptičky a 6 bielych. Z tejto urny sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky (výber S= 3). Nechajte udalosť ALE spočíva vo vytiahnutí 3 guľôčok. Úlohu možno riešiť dvoma spôsobmi: klasickou schémou a vzorcom (1.9).

Prvá metóda založená na kombinatorike:

Druhá metóda (podľa vzorca (1.9)). Z urny sa vytiahnu 3 loptičky za sebou bez výmeny. Nechať byť ALE 1 - prvá vytiahnutá guľa je červená, ALE 2 - druhá vytiahnutá guľa je červená, ALE 3 - tretia vytiahnutá guľa je červená. Nech aj udalosť ALE znamená, že všetky 3 vytiahnuté loptičky sú červené. potom: ALE = ALE 1 ∙ (ALE 2 / ALE 1) ∙ ALE 3 / (ALE 1 ∙ ALE 2), t.j.

Príklad. Nechajte zo sady kariet a, a, r, b, o, t karty sa ťahajú po jednej. Aká je pravdepodobnosť, že dostane slovo " Job” pri ich postupnom skladaní do jedného riadku zľava doprava?

Nechať byť IN- udalosť, pri ktorej sa získa deklarované slovo. Potom pomocou vzorca (1.9) dostaneme:

R(IN) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Veta o násobení pravdepodobnosti nadobúda svoju najjednoduchšiu formu, keď je súčin tvorený udalosťami nezávislými na sebe.

Definícia. Udalosť IN volal nezávislý z udalosti ALE ak sa jeho pravdepodobnosť nemení bez ohľadu na to, či udalosť nastala ALE alebo nie. Dve udalosti sa nazývajú nezávislé (závislé), ak výskyt jednej z nich nemení (mení) pravdepodobnosť výskytu druhej. Teda na nezávislé podujatia p(B/A) = R(IN) alebo = R(IN) a pre závislé udalosti R(IN/A)

Začnime úlohou.

Povedzme, že máte 0,5 šancu získať A v teste a 0,3 šancu získať B. Aká je pravdepodobnosť, že v teste dostanete 4 alebo 5?

Niektorí okamžite vypadnú: „0,8“, ale prečo presne? Prečo napríklad nie 0,15 (vynásobené, nepripočítané)? Poďme na to.

Predpokladajme, že existuje nejaká skúsenosť, ktorá má výsledky. Z nich je začiatok udalosti priaznivý a udalosť je priaznivá. Nie je ťažké nájsť pravdepodobnosti výskytu každej z udalostí pomocou vzorca - sú to a . Aká je však pravdepodobnosť, že nastane prvá alebo druhá udalosť? Inými slovami, hľadáme pravdepodobnosť kombinácie týchto udalostí. Aby sme to dosiahli, musíme zistiť, koľko priaznivých výsledkov máme. ? Nie naozaj. Koniec koncov, môže sa stať, že tieto udalosti sa vykonajú súčasne.

Potom predpokladajme, že udalosti sa neprekrývajú, to znamená, že ich nemožno vykonať súčasne. Potom získame priaznivé výsledky pre asociáciu -. Takže pravdepodobnosť pripojenia bude:

Pravdepodobnosť kombinácie nekompatibilných udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností.

Venujme pozornosť: tu hovoríme o JEDNOM experimente, v dôsledku ktorého môže nastať buď prvá udalosť, alebo druhá, ale nie obe naraz.

Najmä v príklade s kontrolou chápeme, že žiak nemôže dostať na kontrole súčasne 5 aj 4 (hovoríme o rovnakej známke za tú istú kontrolu), čo znamená, že pravdepodobnosť, že dostane dostať 4 alebo 5 sa rovná súčtu pravdepodobností, teda koniec koncov 0,8.

odpoveď: 0,8.

Ale čo ak sa udalosti pretínajú, to znamená, že existujú výsledky, ktoré sú priaznivé pre oboch? O tejto situácii sa bude diskutovať na konci lekcie.

2. Fórum Math Help Planet ()

3. Webová stránka „Matematika, ktorá sa mi páči“ ()

Domáca úloha

1. Dvaja strelci strieľajú na terč. Prvý strelec zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,9. Druhý strelec zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že cieľ bude zasiahnutý.

2. Náhodný pokus pozostáva z hodu dvoma kockami. Jedna z kociek je modrá, druhá červená. Nájdite pravdepodobnosť, že 3 padne na modrej kocke a 4 padne na červenej kocke.

Produktom alebo priesečníkom udalostí A a B je udalosť pozostávajúca zo súčasného výskytu udalostí a udalostí A a IN. Označenie diela AB alebo L a V.

Napríklad zasiahnutie cieľa dvakrát je výsledkom dvoch udalostí, odpoveď na obe otázky lístka v skúške je výsledkom dvoch udalostí.

Udalosti L a IN sa nazývajú nekonzistentné, ak je ich produktom nemožná udalosť, t.j. LV = V.

Napríklad udalosti L - strata erbu a IN- strata čísel pri jedinom hode mincou nemôže nastať súčasne, ich súčin je nemožná udalosť, udalosti L a B sú nezlučiteľné.

Pojmy súčet a súčin udalostí majú jasnú geometrickú interpretáciu (obr. 6.4).

Ryža. 6.4. Geometrická interpretácia diela (ale) a sumy (b) dve spoločné podujatia

Nech udalosť A je množina bodov v oblasti L a udalosť B je množina bodov v oblasti B. Vytieňovaná oblasť zodpovedá udalosti LP na obr. 6 La a udalosť A + B na obr. 6.46.

Pre nekompatibilné udalosti A a B máme LP = V(obr. 6.5a). Udalosť L + B zodpovedá tieňovanej oblasti na obr. 6.56.

Ryža. 6.5. Geometrická interpretácia produktu ( ale) a sumy (b) dve nezlučiteľné udalosti

Vývoj ALE A ALE sa nazývajú opačné, ak sú nezlučiteľné a celkovo predstavujú spoľahlivú udalosť, t.j.

A A = V; A+A=U.

Napríklad vystrelme jeden výstrel na cieľ: udalosť ALE- strelec zasiahol cieľ ALE- zmeškaný; hodená minca:

udalosť ALE- orlí pád, ALE- strata čísel; školáci píšu test: event ALE- žiadny

chyby v kontrolnej práci, ALE- v kontrolnej práci sú chyby; študent prišiel urobiť test: event ALE- prešiel

ofset, ALE- nepredložil správu.

V triede sú chlapci a dievčatá, výborní žiaci, dobrí žiaci a traja žiaci študujú anglický a nemecký jazyk. Nech je podujatie M buď chlapec, O výborný študent, A študent angličtiny. Môže byť študent, ktorý omylom opustil triedu, chlapec a zároveň vynikajúci študent a študent angličtiny? Toto bude produkt alebo priesečník udalostí MOA.

Príklad 6.15. Hoď kockou - kockou z homogénneho materiálu, ktorej strany sú očíslované. Sledujte počet (počet bodov) padajúcich na hornú plochu. Nechajte udalosť ALE - výskyt nepárneho čísla, príp IN - vzhľad násobku troch. Nájdite výsledky, ktoré tvoria každú z udalostí (?/, A, A + V U AB) a uveďte ich význam.

Riešenie. Výsledok - zobrazenie ktoréhokoľvek z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 na hornej strane. Súbor všetkých výsledkov je priestorom elementárnych udalostí U= (1, 2, 3, 4, 5, 6). Je jasné, že udalosť A =(1, 3, 5), event B = {3, 6}.

Udalosť ALE + B =(1, 3, 5, 6) - výskyt nepárneho čísla alebo čísla, ktoré je násobkom troch. Pri uvádzaní výsledkov sa berie do úvahy, že každý výsledok v súbore môže byť obsiahnutý iba raz.

Udalosť AB =(3) - výskyt nepárneho čísla aj násobku troch.

Príklad 6.16. Kontrolovali sa domáce úlohy troch žiakov. Nechajte udalosť ALE ( - splnenie úlohy i-tým žiakom, G = 1, 2, 3.

Aký je význam udalostí: A = At + A 2+ L 3, ALE A B \u003d A t A 2 A 3?

Riešenie. Udalosť ALE = A x + A 2 + A 3 - splnenie úlohy aspoň jedným žiakom, t.j. alebo ktorýkoľvek jeden študent (alebo prvý, alebo druhý alebo tretí), alebo ktorýkoľvek dvaja, alebo všetci traja.

Udalosť A \u003d A x -A 2 -A 3- úlohu nesplnil žiaden žiak - ani prvý, ani druhý, ani tretí. Udalosť B \u003d A ( A 2 A 3 - plnenie úlohy tromi študentmi - prvým, druhým a tretím.

Pri zvažovaní spoločného výskytu viacerých udalostí existujú prípady, kedy výskyt jednej z nich ovplyvňuje možnosť vzniku ďalšej. Napríklad, ak je na jeseň slnečný deň, potom je menej pravdepodobné, že sa počasie zhorší (začne pršať). Ak nie je vidieť slnko, je pravdepodobnejšie, že bude pršať.

Udalosť L nazývané nezávislé od udalostí IN, ak pravdepodobnosť udalosti ALE sa nemení v závislosti od toho, či udalosť nastala alebo nie IN. Inak udalosť ALE sa nazýva závislý od udalosti IN. Dve udalosti A aIN sa nazývajú nezávislé, ak pravdepodobnosť jedného z nich nezávisí od výskytu alebo nevyskytovania sa druhého, závislé - inak. Udalosti sa nazývajú párovo nezávislé, ak sú každé dve navzájom nezávislé.

Veta o násobení pravdepodobnosti je formulovaná nasledovne. Pravdepodobnosť súčinu dvoch nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí:

Táto veta platí pre ľubovoľný konečný počet udalostí, pokiaľ sú kolektívne nezávislé, t.j. pravdepodobnosť niektorej z nich nezávisí od toho, či k druhej z týchto udalostí došlo alebo nie.

Príklad 6.17. Študent robí tri skúšky. Pravdepodobnosť absolvovania prvej skúšky je 0,9, druhá - 0,65, tretia - 0,35. Nájdite pravdepodobnosť, že neuspeje aspoň v jednej skúške.

Riešenie. Označiť ALE podujatie - žiak neurobil aspoň jednu skúšku. Potom P(A) = 1 - /-'(1/1), kde ALE- opačná udalosť - študent absolvoval všetky skúšky. Keďže absolvovanie každej skúšky nezávisí od iných skúšok, potom P(A)= 1 - P(1/1) = = 1 - 0,9 0,65 0,35 = 0,7953.

Pravdepodobnosť udalosti ALE, vypočítané za predpokladu, že dôjde k udalosti IN, volal podmienená pravdepodobnosť vývoj ALE podlieha vzhľadu IN a označené R B (A) alebo P(A/B).

Veta.Pravdepodobnosť výskytu súčinu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že nastala prvá udalosť.:

Príklad 6.18. Žiak žrebuje dvakrát jeden tiket z 34. Aká je pravdepodobnosť, že skúšku zvládne, ak si pripravil 30 tiketov a na prvý raz vytiahne neúspešný tiket?

Riešenie. Nechajte udalosť ALE spočíva v tom, že ste prvýkrát dostali neúspešný lístok, akciu IN- druhýkrát sa vyžrebuje úspešný tiket. Potom ALE?IN- študent skúšku zloží (za stanovených okolností). Vývoj ALE A IN sú závislé, pretože pravdepodobnosť výberu úspešného tiketu na druhý pokus závisí od výsledku prvého výberu. Preto používame vzorec (6.6):

Všimnite si, že pravdepodobnosť získaná v riešení je „0,107. Prečo je pravdepodobnosť úspešného absolvovania skúšky taká malá, ak sa naučíte 30 lístkov z 34 a dajú sa dva pokusy?!

Rozšírená veta sčítania je formulovaný nasledovne. Pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez pravdepodobnosti ich spoločného výskytu (Tvorba):

Príklad 6.19. Dvaja študenti riešia úlohu. Pravdepodobnosť, že prvý študent vyrieši úlohu (udal ALE), rovná 0,9; pravdepodobnosť, že druhý študent vyrieši úlohu (udal IN), rovná sa 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že sa problém vyrieši?

Riešenie. Nás zaujíma udalosť C, ktorá spočíva v tom, že sa problém vyrieši, t.j. prvý, alebo druhý žiak, alebo dvaja žiaci súčasne. Tak, udalosť záujmu prejsť C \u003d A +IN. Vývoj ALE A IN sú spoločné, potom je veta o sčítaní pravdepodobnosti použiteľná pre prípad spoločných udalostí: P(A + IN) = P(A) + P(B) - P(AB). Pre náš prípad P(A + B) = = 0,9 + 0,8 + 0,9 0,8 = 0,98 (udalosti ALE A IN spoločné, ale nezávislé).

Príklad 6.20. Žiak pozná 20 otázok z 25. Aká je pravdepodobnosť, že odpovie na 3 otázky z 25?

Riešenie. Uveďme udalosť A, - žiak pozná odpoveď i- navrhovaná otázka, i= 1,2,3. Udalosti L, L 2, L 3 - závislé. Preto

Pri zisťovaní pravdepodobnosti udalostí bola použitá klasická definícia pravdepodobnosti.