Zlomky sú obyčajné a desatinné. Keď sa študent dozvie o jeho existencii, začne pri každej príležitosti prekladať všetko, čo je možné, do desatinnej formy, aj keď sa to nevyžaduje.
Napodiv, preferencie stredoškolákov a študentov sa menia, pretože je jednoduchšie vykonávať mnohé aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami. A hodnoty, s ktorými sa absolventi zaoberajú, je niekedy jednoducho nemožné bez straty previesť do desatinnej podoby. Výsledkom je, že oba typy frakcií sú tak či onak prispôsobené prípadu a majú svoje výhody a nevýhody. Pozrime sa, ako s nimi pracovať.
Definícia
Zlomky sú rovnaké podiely. Ak je v pomaranči desať plátkov a dostali ste jeden, máte v ruke 1/10 ovocia. Pri takomto zápise, ako v predchádzajúcej vete, sa zlomok bude nazývať obyčajný zlomok. Ak napíšete to isté ako 0,1 - desatinné. Obe možnosti sú rovnaké, ale majú svoje výhody. Prvá možnosť je vhodnejšia na násobenie a delenie, druhá - na sčítanie, odčítanie av mnohých ďalších prípadoch.
Ako previesť zlomok do iného tvaru
Predpokladajme, že máte spoločný zlomok a chcete ho previesť na desatinné číslo. Čo mám urobiť?
Mimochodom, musíte sa vopred rozhodnúť, že žiadne číslo nemožno bez problémov zapísať v desiatkovej forme. Niekedy musíte výsledok zaokrúhliť, pričom stratíte určitý počet desatinných miest a v mnohých oblastiach – napríklad v exaktných vedách – ide o úplne nedostupný luxus. Akcie s desatinnými a obyčajnými zlomkami v 5. ročníku zároveň umožňujú vykonať takýto prechod z jedného typu na druhý bez rušenia, aspoň ako tréning.
Ak z menovateľa vynásobením alebo delením celým číslom získate hodnotu, ktorá je násobkom 10, prevod prebehne bez problémov: ¾ sa zmení na 0,75, 13/20 - na 0,65.
Inverzný postup je ešte jednoduchší, pretože vždy môžete získať obyčajný zlomok z desatinného zlomku bez straty presnosti. Napríklad 0,2 sa zmení na 1/5 a 0,08 na 4/25.
Interné konverzie
Pred vykonaním spoločných akcií s obyčajnými zlomkami musíte čísla pripraviť na možné matematické operácie.
Najprv musíte uviesť všetky zlomky v príklade do jedného všeobecného tvaru. Musia byť buď obyčajné alebo desiatkové. Okamžite urobte rezerváciu, že násobenie a delenie je pohodlnejšie vykonať s prvým.
Pri príprave čísel na ďalšie akcie vám pomôže pravidlo známe a používané tak v prvých rokoch štúdia predmetu, ako aj vo vyššej matematike, ktorá sa študuje na vysokých školách.
Vlastnosti frakcie
Predpokladajme, že máte nejakú hodnotu. Povedzme 2/3. Čo sa stane, ak vynásobíte čitateľa a menovateľa tromi? Získajte 6/9. Čo ak je to milión? 2000000/3000000. Ale počkajte, pretože číslo sa kvalitatívne vôbec nemení - 2/3 zostávajú rovné 2000000/3000000. Mení sa len forma, nie obsah. To isté sa stane, keď sú obe časti rozdelené rovnakou hodnotou. Toto je hlavná vlastnosť zlomku, ktorá vám opakovane pomôže vykonávať akcie s desatinnými a obyčajnými zlomkami na testoch a skúškach.
Násobenie čitateľa a menovateľa rovnakým číslom sa nazýva rozšírenie zlomku a delenie sa nazýva zmenšenie. Musím povedať, že preškrtávanie rovnakých čísel hore a dole pri násobení a delení zlomkov je prekvapivo príjemný postup (samozrejme v rámci hodiny matematiky). Zdá sa, že odpoveď je už blízko a príklad je prakticky vyriešený.
Nepravé zlomky
Nesprávny zlomok je zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi. Inými slovami, ak od nej možno odlíšiť celú časť, spadá pod túto definíciu.
Ak je takéto číslo (väčšie alebo rovné jednej) znázornené ako obyčajný zlomok, bude sa nazývať nesprávne. A ak je čitateľ menší ako menovateľ - správne. Oba typy sú rovnako pohodlné pri vykonávaní možných akcií s obyčajnými zlomkami. Dajú sa ľubovoľne násobiť a deliť, pridávať a uberať.
Ak je súčasne vybratá celočíselná časť a zároveň existuje zvyšok vo forme zlomku, výsledné číslo sa bude nazývať zmiešané. V budúcnosti sa stretnete s rôznymi spôsobmi kombinovania takýchto štruktúr s premennými, ako aj s riešením rovníc, kde sú tieto znalosti potrebné.
Aritmetické operácie
Ak je všetko jasné so základnou vlastnosťou zlomku, ako sa potom zachovať pri násobení zlomkov? Akcie s obyčajnými zlomkami v 5. ročníku zahŕňajú všetky druhy aritmetických operácií, ktoré sa vykonávajú dvoma rôznymi spôsobmi.
Násobenie a delenie je veľmi jednoduché. V prvom prípade sa čitatelia a menovatelia dvoch zlomkov jednoducho vynásobia. V druhom - to isté, len krížovo. Čitateľ prvého zlomku sa teda vynásobí menovateľom druhého a naopak.
Ak chcete vykonať sčítanie a odčítanie, musíte vykonať ďalšiu akciu - uviesť všetky zložky výrazu do spoločného menovateľa. To znamená, že spodné časti zlomkov sa musia zmeniť na rovnakú hodnotu – násobok oboch dostupných menovateľov. Napríklad pre 2 a 5 to bude 10. Pre 3 a 6 - 6. Ale čo potom robiť s vrchom? Nemôžeme to nechať tak, ako to bolo, keby sme zmenili ten spodný. Podľa základnej vlastnosti zlomku vynásobíme čitateľa rovnakým číslom ako menovateľ. Táto operácia musí byť vykonaná na každom z čísel, ktoré budeme sčítať alebo odčítať. Takéto akcie s obyčajnými zlomkami v 6. ročníku sa však už vykonávajú „na stroji“ a ťažkosti vznikajú iba v počiatočnej fáze štúdia témy.
Porovnanie
Ak majú dva zlomky rovnakého menovateľa, potom ten s väčším čitateľom bude väčší. Ak sú horné časti rovnaké, potom tá s menším menovateľom bude väčšia. Treba mať na pamäti, že takéto úspešné situácie na porovnanie sa vyskytujú len zriedka. S najväčšou pravdepodobnosťou sa horná a dolná časť výrazov nezhodujú. Potom si musíte pamätať na možné akcie s obyčajnými zlomkami a použiť techniku sčítania a odčítania. Okrem toho si pamätajte, že ak hovoríme o záporných číslach, potom väčšia časť modulu bude menšia.
Výhody bežných zlomkov
Stáva sa, že učitelia deťom povedia jednu frázu, ktorej obsah možno vyjadriť takto: čím viac informácií je pri formulovaní úlohy podaných, tým ľahšie bude riešenie. Znie to zvláštne? Ale naozaj: s veľkým počtom známych hodnôt môžete použiť takmer akýkoľvek vzorec, ale ak je poskytnutých iba niekoľko čísel, môžu byť potrebné ďalšie úvahy, budete si musieť pamätať a dokázať vety, uviesť argumenty v prospech vašej správnosti. ...
Prečo to robíme? Okrem toho obyčajné zlomky môžu pri všetkej ich ťažkopádnosti výrazne zjednodušiť život študenta, čo vám umožní znížiť celé rady hodnôt pri násobení a delení a pri výpočte súčtu a rozdielu brať bežné argumenty a , opäť ich znížte.
Keď je potrebné vykonať spoločné akcie s obyčajnými a desatinnými zlomkami, transformácie sa vykonajú v prospech prvého: ako preložíte 3/17 do desatinnej formy? Len so stratou informácií, inak nie. Ale 0,1 môže byť reprezentované ako 1/10 a potom ako 17/170. Potom je možné tieto dve výsledné čísla sčítať alebo odčítať: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Prečo sú desatinné čísla užitočné?
Ak je pohodlnejšie vykonávať akcie s obyčajnými zlomkami, potom je zapisovanie všetkého s ich pomocou mimoriadne nepohodlné, desatinné miesta tu majú významnú výhodu. Porovnaj: 1748/10000 a 0,1748. Je to rovnaká hodnota prezentovaná v dvoch rôznych verziách. Samozrejme, druhý spôsob je jednoduchší!
Desatinné čísla sa navyše ľahšie reprezentujú, pretože všetky údaje majú spoločný základ, ktorý sa líši len rádovo. Povedzme, že 30% zľavu ľahko rozpoznáme a dokonca ju vyhodnotíme ako významnú. Okamžite pochopíte, čo je viac - 30% alebo 137/379? Desatinné zlomky teda poskytujú štandardizáciu výpočtov.
Na strednej škole žiaci riešia kvadratické rovnice. Tu je už mimoriadne problematické vykonávať akcie s obyčajnými zlomkami, pretože vzorec na výpočet hodnôt premennej obsahuje druhú odmocninu súčtu. V prítomnosti zlomku, ktorý nie je redukovateľný na desatinné miesto, sa riešenie stáva tak komplikovaným, že je takmer nemožné vypočítať presnú odpoveď bez kalkulačky.
Takže každý spôsob znázornenia zlomkov má v príslušnom kontexte svoje výhody.
Formy vstupu
Existujú dva spôsoby, ako písať akcie s obyčajnými zlomkami: cez vodorovnú čiaru, do dvoch „rovín“ a cez lomku (známa ako „lomka“) - do riadku. Keď študent píše do zošita, prvá možnosť je väčšinou pohodlnejšia, a teda bežnejšia. Rozdelenie množstva čísel do buniek prispieva k rozvoju pozornosti pri výpočtoch a transformáciách. Pri zápise do reťazca môžete neúmyselne pomýliť poradie akcií, stratiť akékoľvek dáta – teda urobiť chybu.
V našej dobe je často potrebné tlačiť čísla na počítači. Zlomky môžete oddeliť tradičným vodorovným pruhom pomocou funkcie v programe Microsoft Word 2010 a novších. Faktom je, že v týchto verziách softvéru existuje možnosť nazývaná "vzorec". Zobrazuje obdĺžnikové transformovateľné pole, v ktorom môžete kombinovať ľubovoľné matematické symboly, vytvárať dvoj- a „štvorposchodové“ zlomky. V menovateli a čitateli môžete použiť zátvorky, prevádzkové znaky. Vďaka tomu si budete môcť akékoľvek spoločné akcie zapisovať obyčajnými a desatinnými zlomkami v tradičnej forme, teda tak, ako vás to učia v škole.
Ak používate štandardný textový editor Poznámkový blok, všetky zlomkové výrazy bude potrebné napísať cez lomku. Žiaľ, iná cesta tu nie je.
Záver
Takže sme zvážili všetky základné akcie s obyčajnými zlomkami, ktorých, ako sa ukázalo, nie je toľko.
Ak sa na prvý pohľad môže zdať, že ide o komplexnú časť matematiky, potom je to len dočasný dojem - pamätajte, keď ste si to mysleli o násobilke, a ešte skôr - o bežných písankách a počítaní od jednej do desať.
Je dôležité pochopiť, že zlomky sa používajú všade v každodennom živote. Budete sa zaoberať peniazmi a inžinierskymi výpočtami, informačnými technológiami a hudobnou gramotnosťou a všade - všade! - objavia sa zlomkové čísla. Preto nebuďte leniví a dôkladne si túto tému naštudujte – najmä preto, že to nie je také ťažké.
V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, ako vykonávať základné operácie s obyčajnými zlomkami: sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie. Naučte sa, ako reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok a naopak, a ako zlomky zmenšiť.
Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov
Pripomeň si to menovateľ zlomky sa nazýva číslo, ktoré je zdola, ale čitateľ- číslo, ktoré je vyššie od zlomkovej čiary. Napríklad v zlomku je číslo čitateľ a číslo menovateľ.
spoločný menovateľ je najmenšie možné číslo, ktoré je deliteľné menovateľom prvého zlomku aj menovateľom druhého zlomku.
Príklad 1. Pridajte dva zlomky: .
Použime algoritmus opísaný vyššie:
1) Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné menovateľom prvého zlomku aj menovateľom druhého zlomku, je . Toto číslo bude spoločným menovateľom. Teraz musíte priviesť oba zlomky k spoločnému menovateľovi.
2) Sčítajte výsledné zlomky: 
.
Násobenie obyčajných zlomkov
Inými slovami, pre všetky reálne čísla , , , platí rovnosť:
Príklad 2. Násobenie zlomkov: .
Na vyriešenie tohto problému používame vyššie uvedený vzorec: 
.
Delenie obyčajných zlomkov
Inými slovami, pre všetky reálne čísla , , , , platí rovnosť:
Príklad 3. Delenie zlomkov: .
Na vyriešenie tohto problému používame vyššie uvedený vzorec: 
.
Znázornenie zmiešaného čísla ako nesprávneho zlomku
Teraz poďme zistiť, čo robiť, ak chcete vykonať akúkoľvek operáciu so zlomkami reprezentovanými ako zmiešané čísla. V takom prípade musíte najskôr reprezentovať zmiešané čísla ako nesprávne zlomky a potom vykonať potrebnú operáciu.
Pripomeň si to nesprávne Zlomok sa nazýva, ak je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi.
Pripomeňme tiež, že zmiešané číslo má zlomková časť A celá časť. Napríklad zlomková časť zmiešaného čísla je a celočíselná časť je .
Príklad 4. Vyjadrite zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.
Použime vyššie uvedený algoritmus: 
.
Príklad 5. Nepravý zlomok vyjadrite ako zmiešané číslo.
Žiaci sa v 5. ročníku zoznamujú so zlomkami. Predtým boli ľudia, ktorí vedeli, ako vykonávať akcie so zlomkami, považovaní za veľmi inteligentných. Prvý zlomok bol 1/2, teda polovica, potom sa objavila 1/3 atď. Niekoľko storočí boli príklady považované za príliš zložité. Teraz boli vyvinuté podrobné pravidlá pre prevod zlomkov, sčítanie, násobenie a ďalšie akcie. Stačí trochu pochopiť materiál a riešenie bude ľahké.
Obyčajný zlomok, ktorý sa nazýva jednoduchý zlomok, sa zapisuje ako delenie dvoch čísel: m a n.
M je dividenda, teda čitateľ zlomku, a deliteľ n sa nazýva menovateľ.
Vyberte správne zlomky (m< n) а также неправильные (m >n).
Správny zlomok je menší ako jedna (napríklad 5/6 – to znamená, že z jedného sa vyberie 5 dielov; z jedného sa odoberú 2/8 – 2 diely). Nesprávny zlomok je rovný alebo väčší ako 1 (8/7 - jednotka bude 7/7 a jedna ďalšia časť sa berie ako plus).
Jednotka je teda vtedy, keď sa čitateľ a menovateľ zhodujú (3/3, 12/12, 100/100 a iné).
Akcie s obyčajnými zlomkami 6. stupeň
Pomocou jednoduchých zlomkov môžete urobiť nasledovné:
- Rozšírte zlomok. Ak vynásobíte hornú a spodnú časť zlomku ľubovoľným rovnakým číslom (ale nie nulou), hodnota zlomku sa nezmení (3/5 = 6/10 (len vynásobené 2).
- Zmenšovanie zlomkov je podobné ako rozširovanie, ale tu sú delené číslom.
- Porovnaj. Ak majú dva zlomky rovnakého čitateľa, zlomok s menším menovateľom bude väčší. Ak sú menovatelia rovnakí, potom zlomok s najväčším čitateľom bude väčší.
- Vykonajte sčítanie a odčítanie. S rovnakými menovateľmi je to jednoduché (sčítame horné časti a spodná časť sa nemení). Pre rôzne budete musieť nájsť spoločného menovateľa a ďalšie faktory.
- Násobte a delte zlomky.
Príklady operácií so zlomkami sú uvedené nižšie.
Redukované frakcie 6. stupeň
Zmenšiť znamená rozdeliť hornú a spodnú časť zlomku rovnakým číslom.
Obrázok ukazuje jednoduché príklady redukcie. V prvej možnosti môžete okamžite uhádnuť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 2.
Na poznámku! Ak je číslo párne, potom je ľubovoľným spôsobom deliteľné číslom 2. Párne čísla sú 2, 4, 6 ... 32 8 (končí párnym) atď.
V druhom prípade pri delení 6 18 je hneď jasné, že čísla sú deliteľné 2. Delením dostaneme 3/9. Tento zlomok je tiež deliteľný 3. Potom je odpoveď 1/3. Ak vynásobíte oboch deliteľov: 2 x 3, vyjde vám 6. Ukazuje sa, že zlomok bol delený šiestimi. Toto postupné delenie je tzv postupné zmenšovanie zlomku spoločnými deliteľmi.
Niekto bude okamžite deliť 6, niekto bude potrebovať delenie na časti. Hlavná vec je, že na konci je zlomok, ktorý sa nedá nijako znížiť.
Všimnite si, že ak sa číslo skladá z číslic, ktorých sčítaním vznikne číslo deliteľné 3, potom možno originál zmenšiť aj 3. Príklad: číslo 341. Sčítajte čísla: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 nie je deliteľné 3, takže číslo 341 nemožno bezo zvyšku zmenšiť 3). Ďalší príklad: 264. Pridajte: 2 + 6 + 4 = 12 (delené 3). Dostaneme: 264: 3 = 88. Zjednoduší sa tým zmenšovanie veľkých čísel.
Okrem metódy postupného zmenšovania zlomku spoločnými deliteľmi existujú aj iné spôsoby.
GCD je najväčší deliteľ čísla. Po nájdení GCD pre menovateľa a čitateľa môžete zlomok okamžite znížiť o požadované číslo. Vyhľadávanie prebieha postupným delením každého čísla. Ďalej sa pozerajú na to, ktoré deliče sa zhodujú, ak ich je niekoľko (ako na obrázku nižšie), musíte ich vynásobiť.
Zmiešané frakcie stupeň 6
Všetky nevhodné frakcie možno previesť na zmiešané frakcie tak, že sa v nich izoluje celá časť. Celé číslo sa píše vľavo.
Často musíte vytvoriť zmiešané číslo z nesprávneho zlomku. Proces prevodu v príklade nižšie: 22/4 = 22 delené 4, dostaneme 5 celých čísel (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Dostaneme 5 celých čísel a 2/4 (menovateľ sa nemení). Keďže zlomok je možné zmenšiť, hornú a dolnú časť delíme 2.
Je ľahké zmeniť zmiešané číslo na nesprávny zlomok (je to potrebné pri delení a násobení zlomkov). Ak to chcete urobiť, vynásobte celé číslo spodnou časťou zlomku a pridajte k nemu čitateľa. Pripravený. Menovateľ sa nemení.
Výpočty so zlomkami 6. stupeň
Je možné pridať zmiešané čísla. Ak sú menovatelia rovnakí, potom je to jednoduché: spočítajte časti celého čísla a čitateľa, menovateľ zostane na svojom mieste.
Pri sčítaní čísel s rôznymi menovateľmi je proces zložitejší. Najprv privedieme čísla k jednému najmenšiemu menovateľovi (NOD).
V nižšie uvedenom príklade pre čísla 9 a 6 bude menovateľ 18. Potom sú potrebné ďalšie faktory. Aby ste ich našli, mali by ste 18 vydeliť 9, takže sa nájde ďalšie číslo - 2. Vynásobíme ho čitateľom 4, dostaneme zlomok 8/18). To isté sa robí s druhou frakciou. Prepočítané zlomky už sčítavame (celé čísla a čitateľa zvlášť, menovateľa nemeníme). V príklade bolo potrebné previesť odpoveď na správny zlomok (na začiatku sa ukázalo, že čitateľ je väčší ako menovateľ).
Upozorňujeme, že s rozdielom zlomkov je algoritmus akcií rovnaký.
Pri násobení zlomkov je dôležité umiestniť oba pod jednu čiaru. Ak je číslo zmiešané, zmeníme ho na jednoduchý zlomok. Potom vynásobte hornú a spodnú časť a zapíšte odpoveď. Ak je jasné, že zlomky sa dajú zmenšiť, tak okamžite zredukujeme.
V tomto príklade sme nemuseli nič vystrihovať, len sme zapísali odpoveď a zvýraznili celú časť.
V tomto príklade som musel zmenšiť čísla pod jeden riadok. Aj keď je možné zredukovať aj hotovú odpoveď.
Pri delení je algoritmus takmer rovnaký. Najprv zmiešaný zlomok premeníme na nesprávny, potom čísla zapíšeme pod jeden riadok, pričom delenie nahradíme násobením. Nezabudnite prehodiť hornú a dolnú časť druhého zlomku (toto je pravidlo pri delení zlomkov).
Ak je to potrebné, znížime čísla (v príklade nižšie to znížili o päť a dva). Nevlastný zlomok transformujeme zvýraznením celočíselnej časti.
Základné úlohy na zlomky 6. ročník
Video ukazuje niekoľko ďalších úloh. Kvôli prehľadnosti sa na vizualizáciu zlomkov používajú grafické obrázky riešení.
Príklady násobenia zlomkov 6. stupeň s vysvetlivkami
Násobiace zlomky sa píšu pod jeden riadok. Potom sa znížia delením rovnakými číslami (napríklad 15 v menovateli a 5 v čitateli možno vydeliť piatimi).
Porovnanie zlomkov 6. ročník
Ak chcete porovnávať zlomky, musíte si zapamätať dve jednoduché pravidlá.
Pravidlo 1. Ak sú menovatelia rôzni
Pravidlo 2. Keď sú menovatelia rovnakí
Napríklad porovnajme zlomky 7/12 a 2/3.
- Pozeráme sa na menovateľov, nezhodujú sa. Takže musíte nájsť spoločnú.
- Pre zlomky je spoločný menovateľ 12.
- Najprv delíme 12 dolnou časťou prvého zlomku: 12: 12 = 1 (toto je dodatočný faktor pre 1. zlomok).
- Teraz vydelíme 12 3, dostaneme 4 - pridajte. multiplikátor 2. zlomku.
- Výsledné čísla vynásobíme čitateľmi, aby sme previedli zlomky: 1 x 7 \u003d 7 (prvý zlomok: 7/12); 4 x 2 = 8 (druhý zlomok: 8/12).
- Teraz môžeme porovnať: 7/12 a 8/12. Vyšlo: 7/12< 8/12.
Pre lepšie znázornenie zlomkov môžete pre prehľadnosť použiť kresby, kde je objekt rozdelený na časti (napríklad koláč). Ak chcete porovnať 4/7 a 2/3, tak v prvom prípade sa torta rozdelí na 7 častí a vyberú sa 4 z nich. V druhom sa rozdelia na 3 časti a odoberú 2. Voľným okom bude jasné, že 2/3 budú viac ako 4/7.
Príklady so zlomkami stupňa 6 na školenie
Ako cvičenie môžete vykonať nasledujúce úlohy.
- Porovnajte zlomky
- urobiť násobenie
Tip: Ak je ťažké nájsť najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov (najmä ak sú ich hodnoty malé), môžete vynásobiť menovateľa prvého a druhého zlomku. Príklad: 2/8 a 5/9. Nájdenie ich menovateľa je jednoduché: vynásobte 8 x 9, dostanete 72.
Riešenie rovníc so zlomkami 6. ročník
Pri riešení rovníc si musíte pamätať na akcie so zlomkami: násobenie, delenie, odčítanie a sčítanie. Ak je jeden z faktorov neznámy, potom sa produkt (celkom) vydelí známym faktorom, to znamená, že sa zlomky vynásobia (druhý sa prevráti).
Ak dividenda nie je známa, menovateľ sa vynásobí deliteľom a na nájdenie deliteľa je potrebné rozdeliť dividendu kvocientom.
Predstavme si jednoduché príklady riešenia rovníc:
Tu je potrebné iba vytvoriť rozdiel zlomkov bez toho, aby to viedlo k spoločnému menovateľovi.
Odpoveď je nesprávny zlomok. Dá sa previesť na 1 celok a 3/5.
V druhej metóde sa čitateľ a menovateľ vynásobili 4, aby sa skrátilo dno, a nie preklopenie menovateľa.
Akcie so zlomkami.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme sa zaoberať hlavnou otázkou.
Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
Všetky tieto akcie s desiatkový operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s celými číslami. V skutočnosti sú na to dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.
zmiešané čísla, ako som povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.
A tu sú akcie s bežné zlomky bude múdrejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.
Sčítanie a odčítanie zlomkov.
Každý môže sčítať (odčítať) zlomky s rovnakými menovateľmi (naozaj dúfam!). No, dovoľte mi pripomenúť, že som úplne zábudlivý: pri pridávaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:
Stručne povedané, všeobecne:
Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou hlavnej vlastnosti zlomku (tu sa to opäť hodilo!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:
Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Len preto, aby boli menovatele rovnaké. Podotýkam, pre každý prípad, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 dokonca nič.
Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek úloh v matematike. Keď sme vonku nepríjemné výrazy áno to isté, ale pohodlnejšie na vyriešenie.
Ďalší príklad:
Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým vynásobením 3. Toto je všetko jasné. Ale tu narazíme na niečo ako:
Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:
Ako! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je zároveň rovnomerne deliteľné 7 a 9. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak nejaké číslo vynásobíme napríklad 7, tak výsledok určite vydelíme 7!
Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Musíte len nájsť menovateľa, ktorý je spoločný pre všetky zlomky, a priviesť každý zlomok k rovnakému menovateľovi. Napríklad:
A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Jednoduchšie je odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto je ľahké z týchto čísel dostať 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.
Mimochodom, ak zoberieme 1024 ako spoločného menovateľa, tiež všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Len nie každý sa dostane k tomuto cieľu, kvôli výpočtom ...
Vyriešte príklad sami. Nie logaritmus... Malo by to byť 29/16.
Takže so sčítaním (odčítaním) zlomkov je to dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie je dostupné pre tých, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch ... A na nič nezabudli.
A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable sa tu nájdu, áno ...
Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:
Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! Takže hlavná vlastnosť zlomku hovorí. Preto nemôžem pridať jednotku ku x v prvom zlomku v menovateli. (Ale to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, uvidíte, že všetko porastie! Zapíšeme si teda riadok zlomku, navrchu necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a napíšeme súčin menovateľov nižšie, aby sme nezabudli:
A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa pravej strany, myslíme si: aby sme dostali menovateľ x (x + 1) v prvom zlomku, musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku (x + 1) . A v druhom zlomku - x. Dostanete toto:
Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré mnohí šliapu. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavujú, pretože sa množíme celáčitateľ a celá menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...
Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateľovi pravej strany, t.j. všetko rozmnož a daj like. Netreba otvárať zátvorky v menovateľoch, netreba niečo násobiť! Vo všeobecnosti v menovateloch (akýchkoľvek) je produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:
Tu sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Vyriešte príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v určenom čase, urobte všetky tieto operácie jednou rukou na stroji!
A ešte jedna poznámka. Mnohí sa skvele zaoberajú zlomkami, ale držte sa príkladov celýčísla. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kde upevniť dvojku? Netreba sa nikde pripevňovať, z dvojky treba spraviť zlomok. Nie je to ľahké, je to veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.
No a pri sčítaní - odčítaní zlomkov sa vedomosti osviežili. Premeny zlomkov z jedného typu na druhý – opakované. Môžete tiež skontrolovať. Urovnáme sa trochu?)
Vypočítať:
Odpovede (v neporiadku):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Násobenie / delenie zlomkov - v ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky akcie so zlomkami.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Teraz, keď sme sa naučili sčítať a násobiť jednotlivé zlomky, môžeme uvažovať o zložitejších štruktúrach. Čo ak sa napríklad v jednej úlohe vyskytne sčítanie, odčítanie a násobenie zlomkov?
Najprv musíte previesť všetky zlomky na nesprávne. Potom postupne vykonáme požadované akcie - v rovnakom poradí ako pri bežných číslach. menovite:
- Najprv sa vykoná umocňovanie - zbavte sa všetkých výrazov obsahujúcich exponenty;
- Potom - delenie a násobenie;
- Posledným krokom je sčítanie a odčítanie.
Samozrejme, ak sú vo výraze zátvorky, poradie akcií sa zmení - všetko, čo je v zátvorkách, je potrebné zvážiť ako prvé. A pamätajte na nesprávne zlomky: celú časť musíte vybrať až po dokončení všetkých ostatných akcií.
Preložme všetky zlomky z prvého výrazu na nesprávne a potom vykonajte nasledujúce akcie:
Teraz nájdime hodnotu druhého výrazu. Neexistujú zlomky s celočíselnou časťou, ale sú tu zátvorky, takže najskôr vykonáme sčítanie a až potom delenie. Všimnite si, že 14 = 7 2 . potom:
Nakoniec zvážte tretí príklad. Tu sú zátvorky a stupeň - je lepšie ich počítať samostatne. Vzhľadom na to, že 9 = 3 3, máme:
Venujte pozornosť poslednému príkladu. Ak chcete zlomok zvýšiť na mocninu, musíte zvlášť zvýšiť čitateľ na túto mocninu a zvlášť menovateľ.
Môžete sa rozhodnúť inak. Ak si spomenieme na definíciu stupňa, problém sa zredukuje na obvyklé násobenie zlomkov:
Viacposchodové zlomky
Doteraz sme uvažovali len o „čistých“ zlomkoch, keď v čitateli a menovateli sú obyčajné čísla. To je v súlade s definíciou číselného zlomku uvedenou v úplne prvej lekcii.
Čo však v prípade, ak je do čitateľa alebo menovateľa umiestnený zložitejší objekt? Napríklad ďalší číselný zlomok? Takéto konštrukcie sa vyskytujú pomerne často, najmä pri práci s dlhými výrazmi. Tu je pár príkladov:
Pre prácu s viacpodlažnými frakciami existuje len jedno pravidlo: musíte sa ich okamžite zbaviť. Odstránenie "extra" podláh je celkom jednoduché, ak si pamätáte, že zlomková čiara znamená štandardnú operáciu delenia. Preto je možné ľubovoľný zlomok prepísať takto:
Využitím tohto faktu a dodržaním postupu ľahko zredukujeme akúkoľvek viacpodlažnú frakciu na bežnú. Pozrite si príklady:
Úloha. Preveďte viacpríbehové zlomky na bežné:
V každom prípade prepíšeme hlavný zlomok a nahradíme deliacu čiaru deliacim znakom. Pamätajte tiež, že každé celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok s menovateľom 1. To znamená, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dostaneme:
V poslednom príklade sa zlomky zmenšili pred konečným násobením.
Špecifiká práce s viacpodlažnými frakciami
Vo viacpodlažných zlomkoch je jedna jemnosť, ktorá sa musí vždy pamätať, inak môžete dostať nesprávnu odpoveď, aj keď boli všetky výpočty správne. Pozri sa:
- V čitateli je samostatné číslo 7 a v menovateli zlomok 12/5;
- Čitateľom je zlomok 7/12 a menovateľom je jediné číslo 5.
Takže pre jeden záznam sme dostali dve úplne odlišné interpretácie. Ak počítate, odpovede sa budú tiež líšiť:
Aby bol záznam vždy prečítaný jednoznačne, použite jednoduché pravidlo: deliaca čiara hlavného zlomku musí byť dlhšia ako vnorená čiara. Najlepšie niekoľkokrát.
Ak budete postupovať podľa tohto pravidla, vyššie uvedené zlomky by mali byť napísané takto:
Áno, pravdepodobne je škaredý a zaberá príliš veľa miesta. Ale budete počítať správne. Nakoniec niekoľko príkladov, kde sa skutočne vyskytujú viacúrovňové zlomky:
Úloha. Nájsť hodnoty výrazu:
Poďme teda pracovať s prvým príkladom. Preveďme všetky zlomky na nesprávne a potom vykonajte operácie sčítania a delenia:
Urobme to isté s druhým príkladom. Preveďte všetky zlomky na nesprávne a vykonajte požadované operácie. Aby som čitateľa nenudil, vynechám niekoľko samozrejmých výpočtov. Máme:
Vzhľadom na to, že čitateľ a menovateľ hlavných zlomkov obsahujú súčty, pravidlo pre zápis viacposchodových zlomkov sa dodržiava automaticky. Aj v poslednom príklade sme schválne nechali číslo 46/1 vo forme zlomku, aby sme vykonali delenie.
Všimol som si tiež, že v oboch príkladoch zlomkový stĺpec skutočne nahrádza zátvorky: najskôr sme našli súčet a až potom kvocient.
Niekto povie, že prechod na nesprávne zlomky v druhom príklade bol zjavne zbytočný. Možno je to tak. Ale takto sa poisťujeme proti chybám, pretože nabudúce môže byť príklad oveľa komplikovanejší. Vyberte si sami, čo je dôležitejšie: rýchlosť alebo spoľahlivosť.