คำสั่งเป็นรูปแบบที่ซับซ้อนกว่าชื่อ เมื่อแยกข้อความออกเป็นส่วนที่เรียบง่าย เรามักจะได้รับชื่ออย่างใดอย่างหนึ่ง สมมติว่าคำว่า "ดวงอาทิตย์เป็นดาว" รวมชื่อ "ดวงอาทิตย์" และ "ดาว" ไว้เป็นส่วนประกอบ
พูด -ประโยคที่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์ นำมารวมกับความหมาย (เนื้อหา) ที่แสดงออกมา ซึ่งจริงหรือเท็จ
แนวคิดของคำพูดเป็นหนึ่งในแนวคิดเริ่มต้นที่สำคัญของตรรกะสมัยใหม่ จึงไม่อนุญาตให้ ความหมายที่แน่นอนใช้ได้เท่าๆ กันในส่วนต่างๆ
คำสั่งจะถือเป็นจริงหากคำอธิบายที่ให้มานั้นสอดคล้องกับสถานการณ์จริง และเป็นเท็จหากคำอธิบายนั้นไม่สอดคล้องกับสถานการณ์นั้น "จริง" และ "เท็จ" เรียกว่า "ค่าความจริงของข้อเสนอ"
จากงบส่วนตัว วิธีทางที่แตกต่างคุณสามารถสร้างประโยคใหม่ได้ ตัวอย่างเช่น จากข้อความที่ว่า "ลมพัดแล้ว" และ "ฝนกำลังตก" ประโยคที่ซับซ้อนกว่านี้อาจก่อตัวขึ้นว่า "ลมพัดแล้วฝนก็ตก", "ลมพัดหรือฝนก็ตก", "ถ้า ฝนตกแล้วลมก็พัด” ฯลฯ
คำสั่งนี้เรียกว่า เรียบง่าย,ถ้าไม่รวมข้อความอื่นเป็นส่วนหนึ่งของมัน
คำสั่งนี้เรียกว่า ที่ซับซ้อนหากได้รับด้วยความช่วยเหลือของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะจากอื่น ๆ คำพูดง่ายๆ.
พิจารณาวิธีที่สำคัญที่สุดในการสร้าง ข้อความที่ซับซ้อน.
ข้อความเชิงลบประกอบด้วยข้อความเดิมและการปฏิเสธ มักแสดงด้วยคำว่า "ไม่" "ไม่เป็นความจริง" ข้อเสนอเชิงลบจึงเป็นข้อเสนอแบบประสม: ประกอบด้วยข้อเสนอที่แตกต่างไปจากนี้ด้วย ตัวอย่างเช่น การปฏิเสธคำสั่ง "10 เป็นจำนวนคู่" คือคำสั่ง "10 ไม่ใช่จำนวนคู่" (หรือ: "ไม่เป็นความจริงที่ 10 เป็นจำนวนคู่")
มาแสดงข้อความด้วยตัวอักษร เอ บี ซี... ความหมายที่สมบูรณ์ของแนวคิดเรื่องการปฏิเสธคำสั่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: if the statement แต่เป็นจริง การปฏิเสธนั้นเป็นเท็จ และถ้า แต่เท็จ การปฏิเสธของมันเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เนื่องจากคำสั่ง "1 เป็นจำนวนเต็มบวก" เป็นจริง การปฏิเสธ "1 ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวนบวก" เป็นเท็จ และเนื่องจาก "1 เป็นจำนวนเฉพาะ" เป็นเท็จ การปฏิเสธ "1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ" จึงเป็นจริง
การรวมสองประโยคเข้ากับคำว่า "และ" ทำให้เกิดประโยคประสมที่เรียกว่า ร่วมข้อความที่เชื่อมต่อในลักษณะนี้เรียกว่า "เงื่อนไขการร่วม"
ตัวอย่างเช่น หากข้อความ "วันนี้ร้อน" และ "เมื่อวานเย็น" รวมกันในลักษณะนี้ จะได้คำเชื่อม "วันนี้ร้อนและเมื่อวานเย็น"
คำสันธานเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความทั้งสองเป็นจริง ถ้าเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อเป็นเท็จ คำสันธานทั้งหมดจะเป็นเท็จ
ในภาษาธรรมดา สองข้อความเชื่อมโยงกันโดยสหภาพ "และ" เมื่อมีความเกี่ยวข้องกันในเนื้อหาหรือความหมาย ธรรมชาติของความเชื่อมโยงนี้ไม่ชัดเจนนัก แต่เป็นที่แน่ชัดว่าเราจะไม่ถือว่าคำสันธานว่า "เขาไปเรียนหนังสือ และฉันเข้ามหาวิทยาลัย" เป็นสำนวนที่สมเหตุสมผลและอาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ แม้ว่าข้อความ "2 เป็นจำนวนเฉพาะ" และ "มอสโกเป็นเมืองใหญ่" เป็นความจริง แต่เราไม่อยากพิจารณาคำเชื่อม "2 เป็นจำนวนเฉพาะและมอสโกเป็นเมืองใหญ่" ที่เป็นจริงเช่นกัน เนื่องจากองค์ประกอบ ของข้อความเหล่านี้ไม่เกี่ยวข้องในความหมาย ทำให้ความหมายของคำสันธานและความสัมพันธ์เชิงตรรกะอื่นๆ ง่ายขึ้น และด้วยเหตุนี้ การละทิ้งแนวคิดที่คลุมเครือของ "การเชื่อมโยงข้อความโดยความหมาย" ตรรกะทำให้ความหมายของความเกี่ยวพันเหล่านี้กว้างขึ้นและเฉพาะเจาะจงมากขึ้น
เชื่อมประโยคสองประโยคด้วยคำว่า "หรือ" ให้ disjunctionข้อความเหล่านี้ ข้อความที่ก่อให้เกิดความแตกแยกเรียกว่า "สมาชิกของ disjunction"
คำว่า "หรือ" ในภาษาประจำวันมีความหมายต่างกันสองความหมาย บางครั้งก็หมายถึง "อย่างใดอย่างหนึ่งหรือทั้งสองอย่าง" และบางครั้ง "อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่างร่วมกัน" ตัวอย่างเช่น คำกล่าวที่ว่า "ฤดูกาลนี้ฉันต้องการไปราชินีแห่งโพดำหรือไอด้า" อนุญาตให้ไปเยี่ยมชมกิตติมศักดิ์สองครั้ง ในคำแถลง "เขาเรียนที่มอสโกหรือมหาวิทยาลัยยาโรสลาฟล์" แสดงว่าบุคคลดังกล่าวศึกษาที่มหาวิทยาลัยเหล่านี้เพียงแห่งเดียวเท่านั้น
ความรู้สึกแรกของ "หรือ" เรียกว่า ไม่เฉพาะในแง่นี้ การแยกข้อความสองคำหมายความว่าข้อความเหล่านี้อย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นความจริง ไม่ว่าจะเป็นความจริงหรือไม่ก็ตาม ถ่ายในวินาที พิเศษหรือในความหมายที่เคร่งครัด การแตกแยกของข้อเสนอทั้งสองระบุว่าข้อเสนอข้อใดข้อหนึ่งเป็นความจริงและอีกข้อหนึ่งเป็นเท็จ
การแตกแยกแบบไม่ผูกขาดจะเป็นจริงเมื่อข้อความอย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง และเป็นเท็จก็ต่อเมื่อเงื่อนไขทั้งสองข้อเป็นเท็จเท่านั้น
การแตกแยกแบบเอกสิทธิ์เฉพาะบุคคลจะเป็นจริงเมื่อมีเงื่อนไขเพียงข้อเดียวที่เป็นจริง และเป็นเท็จเมื่อเงื่อนไขทั้งสองเป็นจริงหรือทั้งสองข้อเป็นเท็จ
ในตรรกะและคณิตศาสตร์ คำว่า "หรือ" มักใช้ในความหมายที่ไม่ผูกขาด
คำสั่งแบบมีเงื่อนไข -คำสั่งที่ซับซ้อน ซึ่งมักจะกำหนดโดยใช้ลิงก์ "ถ้า ... แล้ว ..." และกำหนดเหตุการณ์ สถานะ ฯลฯ อยู่ในความหมายหนึ่งหรืออย่างอื่นเป็นพื้นฐานหรือเงื่อนไขสำหรับอีกฝ่ายหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น: “ถ้ามีไฟ แสดงว่ามีควัน”, “หากตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ก็จะหารด้วย 3 ลงตัว” เป็นต้น
คำสั่งแบบมีเงื่อนไขประกอบด้วยคำสั่งที่ง่ายกว่าสองคำสั่ง คำที่ขึ้นต้นคำว่า รากฐาน,หรือ มาก่อน(ก่อน) ประโยคที่มาหลังคำว่า "นั้น" เรียกว่า ผลที่ตามมาหรือ ผลสืบเนื่อง(ภายหลัง).
โดยการยืนยันข้อความแบบมีเงื่อนไข อันดับแรกเราหมายความว่าไม่สามารถเป็นสิ่งที่พูดในรากฐานของมันได้ แต่สิ่งที่กล่าวในผลที่ตามมานั้นขาดหายไป กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปไม่ได้ที่เหตุการณ์ก่อนเป็นจริงและเป็นเท็จที่ตามมา
ในแง่ของเงื่อนไขเงื่อนไข แนวคิดของเงื่อนไขเพียงพอและจำเป็นมักจะถูกกำหนด: ก่อน (ฐาน) เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับผลที่ตามมา (ผล) และผลที่ตามมาคือ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับเรื่องก่อนๆ ตัวอย่างเช่น ความจริงของข้อความแบบมีเงื่อนไข "หากทางเลือกนั้นมีเหตุผล ทางเลือกที่ดีที่สุดก็จะถูกเลือก" หมายความว่าความมีเหตุผลเป็นเหตุผลที่เพียงพอสำหรับการเลือกตัวเลือกที่ดีที่สุดที่มีอยู่ และการเลือกตัวเลือกดังกล่าวเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ ความมีเหตุผล
ฟังก์ชันทั่วไปของคำสั่งแบบมีเงื่อนไขคือการยืนยันคำสั่งหนึ่งโดยอ้างถึงคำสั่งอื่น ตัวอย่างเช่น ความจริงที่ว่าเงินเป็นสื่อกระแสไฟฟ้าสามารถพิสูจน์ได้โดยการอ้างถึงข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นโลหะ: "ถ้าเงินเป็นโลหะ มันก็เป็นสื่อกระแสไฟฟ้า"
ความเชื่อมโยงระหว่างการให้เหตุผลและความชอบธรรม (เหตุผลและผลที่ตามมา) ที่แสดงออกโดยข้อความแบบมีเงื่อนไขนั้นยากที่จะอธิบายลักษณะใน ปริทัศน์และบางครั้งธรรมชาติก็ค่อนข้างชัดเจน ประการแรก การเชื่อมต่อนี้สามารถเชื่อมโยงของผลเชิงตรรกะที่เกิดขึ้นระหว่างสถานที่และข้อสรุปของข้อสรุปที่ถูกต้อง (“หากสิ่งมีชีวิตหลายเซลล์ที่มีชีวิตทั้งหมดเป็นมนุษย์ และแมงกะพรุนเป็นสิ่งมีชีวิตเช่นนั้น แสดงว่ามันเป็นมนุษย์”); ประการที่สองโดยกฎแห่งธรรมชาติ ("ถ้าร่างกายอยู่ภายใต้การเสียดสีก็จะเริ่มร้อนขึ้น"); ประการที่สามโดยเหตุ ("ถ้าดวงจันทร์ที่ดวงจันทร์ใหม่อยู่ที่โหนดของวงโคจรของมัน สุริยุปราคา»); ประการที่สี่ ความสม่ำเสมอทางสังคม กฎเกณฑ์ ประเพณี ฯลฯ (“ถ้าสังคมเปลี่ยน คนก็เปลี่ยน”, “ถ้าคำแนะนำสมเหตุสมผล ก็ต้องดำเนินการ”)
การเชื่อมต่อที่แสดงโดยคำสั่งแบบมีเงื่อนไขมักจะเชื่อมโยงกับความเชื่อมั่นว่าผลที่ตามมาจำเป็นต้อง "ตามมา" จากเหตุผลและมีกฎหมายทั่วไปบางข้อที่สามารถกำหนดได้ ซึ่งเราสามารถสรุปผลที่ตามมาได้อย่างมีเหตุมีผลจากเหตุผล
ตัวอย่างเช่น ข้อความแบบมีเงื่อนไข “หากบิสมัทเป็นโลหะก็คือพลาสติก” อย่างที่เคยเป็นมา หมายความถึงกฎหมายทั่วไปว่า “ที่นี่โลหะเป็นพลาสติก” ซึ่งทำให้ผลที่ตามมาของข้อความนี้เป็นผลที่สืบเนื่องมาจากเหตุก่อน
ทั้งในภาษาธรรมดาและภาษาของวิทยาศาสตร์ คำสั่งแบบมีเงื่อนไข นอกเหนือไปจากหน้าที่ของการให้เหตุผล ยังสามารถทำงานอื่น ๆ ได้อีกหลายอย่าง: เพื่อกำหนดเงื่อนไขที่ไม่เกี่ยวข้องกับกฎหมายหรือกฎทั่วไปโดยนัยใด ๆ (“ถ้า ฉันต้องการฉันจะตัดเสื้อคลุมของฉัน”); แก้ไขลำดับใดๆ (“ถ้าฤดูร้อนปีที่แล้วแห้ง ปีนี้ฝนก็ตก”); เพื่อแสดงความไม่เชื่อในรูปแบบแปลกประหลาด (“ถ้าคุณแก้ปัญหานี้ ฉันจะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์”); ฝ่ายค้าน (“ ถ้าต้นอูเบอร์รีเติบโตในสวนแสดงว่าลุงอาศัยอยู่ใน Kyiv”) เป็นต้น หลายหลากและความแตกต่างของฟังก์ชันของคำสั่งแบบมีเงื่อนไขทำให้การวิเคราะห์มีความซับซ้อนอย่างมาก
การใช้คำสั่งแบบมีเงื่อนไขเกี่ยวข้องกับปัจจัยทางจิตวิทยาบางอย่าง ดังนั้น เรามักจะกำหนดข้อความดังกล่าวเฉพาะในกรณีที่เราไม่ทราบแน่ชัดว่าเหตุการณ์ก่อนเกิดและผลที่ตามมาเป็นจริงหรือไม่ มิฉะนั้น การใช้งานจะดูไม่เป็นธรรมชาติ ("ถ้าสำลีเป็นโลหะ แสดงว่าเป็นตัวนำไฟฟ้า")
คำสั่งแบบมีเงื่อนไขพบว่ามีการใช้เหตุผลอย่างกว้างขวางในทุกด้าน ตามตรรกะ มันมักจะแทนด้วย คำแถลงโดยปริยาย,หรือ ความหมายในเวลาเดียวกัน ตรรกะชี้แจง จัดระบบ และลดความซับซ้อนของการใช้ "ถ้า ... แล้ว ... " ปลดปล่อยมันจากอิทธิพลของปัจจัยทางจิตวิทยา
ลอจิกเป็นนามธรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากข้อเท็จจริงที่ว่าการเชื่อมโยงระหว่างพื้นดินและผลที่ตามมาซึ่งเป็นลักษณะของคำสั่งแบบมีเงื่อนไขสามารถแสดงออกได้ด้วยความช่วยเหลือไม่เพียง แต่ "ถ้า ... แล้ว ... ” แต่ยังอื่น ๆ เครื่องมือภาษา. ตัวอย่างเช่น “เนื่องจากน้ำเป็นของเหลว มันถ่ายเทแรงดันอย่างสม่ำเสมอในทุกทิศทาง”, “แม้ว่าดินน้ำมันจะไม่ใช่โลหะ แต่เป็นพลาสติก”, “ถ้าต้นไม้เป็นโลหะ มันจะนำไฟฟ้าได้” เป็นต้น ข้อความเหล่านี้และข้อความที่คล้ายกันแสดงในภาษาของตรรกะโดยนัย แม้ว่าการใช้ "ถ้า ... แล้ว ... " ในภาษาของตรรกะจะไม่เป็นธรรมชาติทั้งหมด
ในการยืนยันความหมายนั้น เรายืนยันว่าไม่สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อรากฐานเกิดขึ้นและไม่มีผลที่ตามมา กล่าวอีกนัยหนึ่งนัยเป็นเท็จก็ต่อเมื่อเหตุผลเป็นจริงและผลที่ตามมาเป็นเท็จ
คำจำกัดความนี้ถือว่า เช่นเดียวกับคำจำกัดความก่อนหน้าของการเชื่อมต่อ ว่าทุกข้อเสนอเป็นจริงหรือเท็จ และค่าความจริงของข้อเสนอแบบประสมขึ้นอยู่กับค่าความจริงของข้อเสนอที่เป็นส่วนประกอบและวิธีที่เชื่อมต่อกันเท่านั้น.
ความหมายจะเป็นจริงเมื่อทั้งเหตุผลและผลที่ตามมาเป็นจริงหรือเท็จ มันเป็นความจริงหากเหตุผลของมันเป็นเท็จและผลที่ตามมานั้นเป็นจริง เฉพาะในกรณีที่สี่ เมื่อเหตุผลเป็นจริงและผลที่ตามมาเป็นเท็จ เป็นเท็จโดยนัย
ความหมายมิได้หมายความถึงข้อความนั้น แต่และ ที่เกี่ยวข้องกันในแง่ของเนื้อหา ในกรณีของความจริง ที่ว่า "ถ้า แต่,แล้ว ที่"จริงไม่ว่า แต่จริงหรือเท็จและมีความหมายเกี่ยวโยงกับ ที่หรือไม่.
ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ถือว่าเป็นความจริง: “หากมีชีวิตบนดวงอาทิตย์ ดังนั้นสองครั้งสองเท่ากับสี่”, “หากแม่น้ำโวลก้าเป็นทะเลสาบ โตเกียวก็เป็นหมู่บ้านใหญ่” เป็นต้น เงื่อนไขยังเป็นจริงเมื่อ แต่เท็จและไม่แยแสอีกครั้ง true ที่หรือไม่และเกี่ยวข้องกับเนื้อหาถึง แต่หรือไม่. ข้อความต่อไปนี้เป็นความจริง: "ถ้าดวงอาทิตย์เป็นลูกบาศก์ โลกก็คือรูปสามเหลี่ยม", "ถ้าสองครั้ง สอง เท่ากับ 5 แสดงว่าโตเกียวเป็นเมืองเล็ก" ฯลฯ
ในการให้เหตุผลแบบธรรมดา ข้อความทั้งหมดเหล่านี้ไม่น่าจะได้รับการพิจารณาว่ามีความหมาย และแม้แต่น้อยก็เป็นความจริง
แม้ว่าความหมายจะมีประโยชน์สำหรับวัตถุประสงค์หลายประการ แต่ก็ไม่สอดคล้องกับความเข้าใจตามปกติของการเชื่อมโยงแบบมีเงื่อนไข ความหมายครอบคลุมถึงคุณลักษณะที่สำคัญหลายประการของพฤติกรรมเชิงตรรกะของคำสั่งแบบมีเงื่อนไข แต่ในขณะเดียวกัน คำอธิบายดังกล่าวก็ยังไม่เพียงพอ
ในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา ได้มีการพยายามอย่างมากที่จะปฏิรูปทฤษฎีของนัย ในเวลาเดียวกัน มันไม่ใช่คำถามของการละทิ้งแนวคิดที่อธิบายโดยนัย แต่เป็นการแนะนำแนวคิดอีกประการหนึ่งที่ไม่เพียงคำนึงถึงคุณค่าความจริงของข้อความเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเชื่อมโยงในเนื้อหาด้วย
เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับความหมาย ความเท่าเทียมกันบางครั้งเรียกว่า "นัยสองนัย"
ความเท่าเทียมกันเป็นข้อความที่ซับซ้อน "L if and only if B" ซึ่งเกิดขึ้นจากข้อความของ Lee V และแบ่งออกเป็นสองความหมาย: "if แต่,แล้ว B" และ "ถ้า B แล้ว แต่".ตัวอย่างเช่น: "สามเหลี่ยมจะมีด้านเท่ากันหมดก็ต่อเมื่อเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า" คำว่า "ความเท่าเทียมกัน" ยังหมายถึงลิงก์ "... ถ้าหากว่า ... " ด้วยความช่วยเหลือซึ่งคำสั่งที่ซับซ้อนนี้ประกอบขึ้นจากสองข้อความ แทนที่จะใช้ “if and only if”, “if and only if”, “if and only if” ฯลฯ สามารถใช้เพื่อการนี้ได้
หากมีการกำหนดความสัมพันธ์เชิงตรรกะในแง่ของจริงและเท็จ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความที่เป็นส่วนประกอบทั้งสองมีค่าความจริงเท่ากัน กล่าวคือ เมื่อทั้งสองเป็นจริงหรือทั้งสองเป็นเท็จ ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจะเป็นเท็จเมื่อข้อความหนึ่งเป็นจริงและอีกข้อความหนึ่งเป็นเท็จ
ประโยคที่ง่ายและซับซ้อน ปฏิเสธคำสั่ง
ตรรกะทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นรากฐานของ G. Leibniz ในศตวรรษที่ 17 ได้รับการจัดตั้งขึ้นเพื่อเป็นวินัยทางวิทยาศาสตร์เฉพาะในช่วงกลางของศตวรรษที่ 19 โดยต้องขอบคุณงานของนักคณิตศาสตร์ J. Boole และ O. Morgan ผู้สร้าง พีชคณิตของตรรกะ
1. คำสั่งใด ๆ ประโยคบอกเล่าซึ่งทราบกันดีอยู่แล้วว่าจริงหรือเท็จ ข้อความต่างๆ สามารถแสดงออกมาโดยใช้คำ เช่นเดียวกับสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ เคมี และสัญลักษณ์อื่นๆ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:
b) 2+6>8 (ข้อความเท็จ)
c) ผลรวมของตัวเลข 2 และ 6 จำนวนมากขึ้น 8 (ข้อความเท็จ);
d) II + VI > VII (ข้อความจริง);
จ) ภายในดาราจักรของเรามีอารยธรรมนอกโลก (คำกล่าวนี้เป็นความจริงหรือเท็จอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ยังไม่ทราบว่าความเป็นไปได้ใดเป็นความจริง)
เป็นที่ชัดเจนว่าข้อความ b) และ c) หมายถึงสิ่งเดียวกัน แต่แสดงออกต่างกัน โดยทั่วไป เราจะเขียนข้อความดังนี้ a: (ดวงจันทร์เป็นบริวารของโลก); b:(มีจำนวนจริง x เท่ากับว่า 2x+5=15); c: (สามเหลี่ยมทั้งหมดเป็นหน้าจั่ว)
ไม่ใช่ทุกประโยคที่เป็นคำสั่ง ตัวอย่างเช่น ประโยคอุทานและประโยคคำถามไม่ใช่ข้อความ ("บ้านนี้สีอะไร", "เครื่องดื่ม น้ำมะเขือเทศ!", "Stop!" เป็นต้น) คำจำกัดความไม่ใช่คำสั่ง เช่น "เรียกค่ามัธยฐานว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามกัน" ในที่นี้ เฉพาะชื่อของวัตถุบางอย่าง จัดตั้งขึ้น ดังนั้นคำจำกัดความ แต่อาจเป็นจริงหรือเท็จพวกเขาจะแก้ไขเฉพาะการใช้คำศัพท์ที่ยอมรับประโยค "เขาเป็นตาสีเทา" หรือ "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" ไม่ใช่คำสั่ง - พวกเขาทำ ไม่ระบุว่าใคร ในคำถามหรือพิจารณาความเท่าเทียม x อย่างไร ประโยคดังกล่าวที่มีสมาชิกที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) เรียกว่า งบไม่มีกำหนด. โปรดทราบว่าประโยค "บางคนมีตาสีเทา" หรือ "สำหรับทุกคน x ความเท่าเทียมกัน x 2 - 4x + 3 = 0" เป็นข้อความอยู่แล้ว (ประโยคแรกเป็นจริง และประโยคที่สองเป็นเท็จ)
2. คำสั่งที่แยกออกเป็นส่วน ๆ ได้จะเรียกว่าซับซ้อน และคำสั่งที่ไม่สามารถแยกย่อยได้อีก - ง่าย ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า "วันนี้ตอน 4 โมงเย็น ฉันอยู่ที่โรงเรียน และตอน 6 โมงเย็น ฉันไปลานสเก็ต" ประกอบด้วยสองส่วน "วันนี้ตอน 4 โมงเย็น ฉันอยู่ที่โรงเรียน" และ "วันนี้ตอน 6 โมงเย็น ฉันไปที่ลานสเก็ต ลานสเก็ต " หรือคำสั่งนี้: "ฟังก์ชัน y \u003d ax 2 + bx + c เป็นค่าต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้สำหรับทุกค่า เอ็กซ์"ประกอบด้วยข้อความง่ายๆ สองประโยค: "ฟังก์ชัน y = ax 2 + bx + c ต่อเนื่องกันสำหรับค่าทั้งหมดของ x" และ "ฟังก์ชัน y = ax 2 + bx + c นั้นหาอนุพันธ์ได้สำหรับทุกค่าของ x"
เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถหาได้จากตัวเลขที่กำหนดโดยใช้การดำเนินการของการบวก การลบ การคูณ และการหาร ดังนั้นจึงได้ข้อความใหม่จากข้อความที่ระบุโดยใช้การดำเนินการที่มีชื่อพิเศษ: สันธาน การแตกแยก นัยยะ ความสมมูล การปฏิเสธ แม้ว่าชื่อเหล่านี้จะฟังดูผิดปกติ แต่ก็หมายถึงการเชื่อมต่อที่รู้จักกันดีของประโยคแต่ละประโยคที่มีคำเชื่อม "และ", "หรือ", "ถ้า ... แล้ว ... ", "ถ้าและเฉพาะถ้า ... " เช่นกัน เป็นการเพิ่มอนุภาค "ไม่" กับคำสั่ง
3. การปฏิเสธข้อเสนอ a เป็นข้อเสนอที่ a เป็นเท็จ ถ้า a เป็นจริง และ a เป็นจริง ถ้า a เป็นเท็จ การกำหนด a อ่านดังนี้: "ไม่ใช่" หรือ "ไม่เป็นความจริงที่ a" ลองทำความเข้าใจคำจำกัดความนี้ด้วยตัวอย่าง พิจารณาข้อความต่อไปนี้:
a: (วันนี้เวลา 12.00 น. ฉันอยู่ที่ลานสเก็ต);
b: (วันนี้ฉันอยู่ที่ลานสเก็ตไม่ใช่เวลา 12.00 น.);
c: (ฉันอยู่ที่ลานสเก็ตเวลา 12.00 น. ไม่ใช่วันนี้);
d:(วันนี้เวลา 12.00 น. ฉันอยู่ที่โรงเรียน);
e: (วันนี้ฉันอยู่ที่ลานสเก็ตเวลา 15.00 น.);
f:(วันนี้เวลา 12.00 น. ฉันไม่ได้อยู่ที่ลานสเก็ต);
เมื่อมองแวบแรก ข้อเสนอทั้งหมด b - f ปฏิเสธข้อเสนอ a แต่จริงๆแล้วมันไม่ใช่ หากคุณอ่านความหมายของข้อความ b อย่างถี่ถ้วน คุณจะสังเกตเห็นว่าทั้งข้อความ a และ b สามารถกลายเป็นเท็จได้ในเวลาเดียวกัน - จะเป็นเช่นนี้หากวันนี้ฉันไม่ได้อยู่ที่ลานสเก็ตเลย เช่นเดียวกับข้อความ a และ c, a และ a และข้อความ a และ e อาจเป็นจริงทั้งคู่ (เช่น ฉันเล่นสเก็ตตั้งแต่ 11 ถึง 4 โมงเย็นในตอนบ่าย) และในขณะเดียวกันก็เป็นเท็จ (ถ้าวันนี้ฉันไม่ได้อยู่ที่ลานสเก็ตเลย) และมีเพียงข้อเสนอ f เท่านั้นที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: เป็นจริงหากข้อเสนอ a เป็นเท็จ และเป็นเท็จหากข้อเสนอ a เป็นจริง ดังนั้น คำสั่ง f คือการปฏิเสธของคำสั่ง a นั่นคือ f = a ตารางต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างคำสั่ง a และ ;
ตัวอักษร "i" และ "l" เป็นตัวย่อของคำว่า "จริง" และ "เท็จ" ตามลำดับ คำเหล่านี้ในตรรกะเรียกว่าค่าความจริง ตารางนี้เรียกว่าตารางความจริง
เรารักกันมาก คำพูดที่ชาญฉลาดคนที่ดี ผู้ที่มีชื่อจารึกด้วยตัวอักษรสีทองในประวัติศาสตร์โลก แต่ยัง คนธรรมดา, เพื่อน, เพื่อน, เพื่อนร่วมชั้นของเรา บางครั้งพวกเขาจะ "แช่" สิ่งนั้น - แม้กระทั่งยืนหรือล้มลง ในหน้านี้เราได้รวบรวมส่วนผสมที่ลงตัวที่สุดสำหรับคุณในความเห็นของเรา คำพูดที่น่าสนใจเกี่ยวกับชีวิต โชคชะตา ความรัก สร้างสรรค์ อารมณ์ขัน เฉลียวฉลาด ประทับใจ จับใจ คิดบวก...ทุกสี ทุกรสนิยม)
1. เกี่ยวกับงานและเงินเดือน
2. เกี่ยวกับการโกหกและความจริง
การโกหก...มีทางกว้าง...ความจริงมีทางแคบ...การโกหก...มีหลายภาษา...แต่ความจริง...มีความตระหนี่ในคำพูด...คำโกหก...เหล่านี้เป็นคำที่ลื่นไหล ...แต่พวกมันจะเล็ดลอดเข้าไปในหู... และความจริง...เส้นบางๆ... แต่มันทะลุผ่านวิญญาณ!!!
3. ทางขององค์พระผู้เป็นเจ้าไม่น่าเชื่อถือ...
พระเจ้าไม่ได้ให้คนที่คุณต้องการ เขาให้คนที่คุณต้องการ พวกเขาทำร้ายคุณ พวกเขารักคุณ พวกเขาสอนคุณ พวกเขาทำลายคุณเพื่อทำให้คุณเป็นอย่างที่คุณควรเป็น
4. เจ๋ง!!!
เจ๋ง! กลับมาทำงานได้อีกครั้งในรอบ 20 ปี!
5. ระบบคำนวณ…
ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะจ่ายด้วยเงิน สำหรับทุกสิ่งที่สำคัญจริง ๆ พวกเขาจ่ายด้วยจิตวิญญาณ ...
6. คุณต้องมองในแง่บวกในทุกสิ่ง)
หากโชคชะตาโยนมะนาวเปรี้ยวให้คุณลองนึกดูว่าจะหาเตกีลาได้ที่ไหนและสนุกไปกับมัน
7. จาก Erich Maria Remarque
ใครอยากเก็บ-เขาแพ้ ใครพร้อมปล่อยด้วยรอยยิ้ม - พวกเขาพยายามรักษาเขาไว้
8. ความแตกต่างระหว่างสุนัขกับคน…
หากคุณเลือกสุนัขที่หิวโหยและทำให้ชีวิตของเขาเต็มอิ่ม เขาจะไม่มีวันกัดคุณ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสุนัขกับมนุษย์
9. เท่านั้น!
10. ถนนแห่งโชคชะตา
ทุกคนต้องผ่านสิ่งนี้มาในชีวิต ทำลายหัวใจของคนอื่น ทำลายของคุณ แล้วเรียนรู้ที่จะดูแลทั้งหัวใจของตัวเองและของคนอื่น
11. จุดแข็งของตัวละครคืออะไร?
ความแข็งแกร่งของตัวละครไม่ได้อยู่ที่ความสามารถในการทะลุกำแพง แต่อยู่ที่ความสามารถในการหาประตู
12. ลูกของคุณมีพัฒนาการที่ดี)
ผู้หญิงมีความสุขไม่ใช่บุหรี่และจิบเบียร์ ความสุขคือเมื่อคุณไปพบแพทย์และพวกเขาบอกคุณว่า: "ลูกน้อยของคุณมีพัฒนาการที่ดีไม่มีการเบี่ยงเบน!"
13. จากแม่ชีเทเรซา ข้อคิดสำคัญ...
เพื่อสร้างครอบครัวก็เพียงพอที่จะตกหลุมรัก และเพื่อช่วย - คุณต้องเรียนรู้ที่จะอดทนและให้อภัย
14. ดูเหมือน)
เมื่อตอนเป็นเด็ก ดูเหมือนว่าหลังจากสามสิบก็จะอายุมากแล้ว ... ขอบคุณพระเจ้าที่ดูเหมือน!
15. แยกข้าวสาลีออกจากแกลบ...
เรียนรู้ที่จะแยกแยะระหว่างสิ่งสำคัญและไม่สำคัญ อุดมศึกษา- ไม่เป็นเครื่องบ่งชี้จิตใจ คำพูดที่สวยงาม- ไม่ใช่สัญญาณของความรัก รูปลักษณ์ที่สวยงามไม่ใช่ตัวบ่งชี้ ผู้ชายหล่อ. เรียนรู้ที่จะชื่นชมจิตวิญญาณ เชื่อในการกระทำ มองดูสิ่งต่างๆ
16. จากผู้ยิ่งใหญ่ Faina Ranevskaya
ดูแลผู้หญิงที่คุณรัก ท้ายที่สุด ขณะที่เธอดุ กังวล และตกใจ เธอรัก แต่ทันทีที่เธอเริ่มยิ้มและไม่แยแส คุณก็สูญเสียเธอไป
17. เกี่ยวกับเด็ก ...
การตัดสินใจมีลูกเป็นเรื่องใหญ่ หมายถึงการตัดสินใจว่าจากนี้ไปและตลอดไป หัวใจของคุณจะเดินเตร่นอกร่างกายของคุณ
18. สุภาษิตโปรตุเกสที่ฉลาดมาก
เต็นท์ที่พวกเขาหัวเราะมีค่ามากกว่าวังที่พวกเขาร้องไห้
19. ฟัง…
ของมันต้องมีในชีวิต หลักการสำคัญ- รับโทรศัพท์เสมอหากมีคนโทรหาคุณ คนใกล้ชิด. แม้ว่าคุณจะโกรธเคืองเขา แม้ว่าคุณจะไม่ต้องการพูด และยิ่งกว่านั้นถ้าคุณเพียงต้องการสอนบทเรียนให้เขา คุณควรหยิบโทรศัพท์ขึ้นมาและฟังสิ่งที่เขาต้องการบอกคุณอย่างแน่นอน บางทีมันอาจจะเป็นสิ่งที่สำคัญจริงๆ และชีวิตก็คาดเดาไม่ได้เช่นกัน และใครจะรู้ว่าคุณจะได้ยินคนๆ นี้อีกหรือไม่
20. ทุกสิ่งสามารถสัมผัสได้
ทุกสิ่งสามารถสัมผัสได้ในชีวิตนี้ ตราบใดที่ยังมีบางสิ่งให้อยู่ ให้คนรัก มีคนดูแล และใครสักคนที่เชื่อ
21. ข้อผิดพลาด... ใครไม่มีบ้าง?
ความผิดพลาดของคุณ ความแข็งแกร่งของคุณ บนรากที่คดเคี้ยว ต้นไม้จะแข็งแรงขึ้น
22. คำอธิษฐานง่ายๆ
เทวดาผู้พิทักษ์ของฉัน... ฉันเหนื่อยอีกแล้ว... ขอมือของคุณหน่อย และกอดฉันด้วยปีกของคุณ... กอดฉันไว้ให้แน่นเพื่อไม่ให้ฉันล้ม... และถ้าฉันสะดุด คุณจะเลือก ฉันขึ้น...
23. จากมาริลีน มอนโรที่งดงาม)
แน่นอนว่าตัวละครของฉันไม่ใช่นางฟ้า ไม่ใช่ทุกคนที่จะทนได้ ฉันขอโทษ ... และฉันไม่ได้สำหรับทุกคน!
24. สื่อสาร…
เป็นเรื่องโง่ที่จะไม่สื่อสารกับคนที่คุณรัก และมันไม่สำคัญว่าเกิดอะไรขึ้น เขาอาจจะหายไปเมื่อใดก็ได้ คุณสามารถจินตนาการ? ตลอดไปและตลอดไป และคุณจะไม่ได้รับอะไรกลับคืนมา
25. มิติชีวิต
คุณไม่สามารถทำอะไรเกี่ยวกับอายุขัยของคุณได้ แต่คุณสามารถทำอะไรได้มากมายเกี่ยวกับความกว้างและความลึกของมัน
ข้อความเชิงลบ
ท่ามกลางข้อความปฏิเสธ ข้อความที่มีการปฏิเสธภายนอกและภายในมีความโดดเด่น ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการศึกษา ข้อความปฏิเสธสามารถถือได้ว่าเป็นข้อความธรรมดาหรือข้อความที่ซับซ้อน
เมื่อพิจารณาข้อความปฏิเสธเป็นคำสั่งง่ายๆ ภารกิจที่สำคัญคือการกำหนดรูปแบบตรรกะที่ถูกต้องของข้อความ:
ข้อความธรรมดาที่มีการปฏิเสธภายในมักจะเรียกว่าข้อความเชิงลบ (ดู "ประเภทของข้อความแสดงที่มาตามคุณภาพ") ตัวอย่างเช่น: " ผู้อยู่อาศัยในสาธารณรัฐเบลารุสบางคนไม่ใช้เงินกู้จากธนาคาร”, “ไม่ใช่กระต่ายตัวเดียวที่เป็นผู้ล่า”;
รูปแบบตรรกะที่ถูกต้องของคำสั่งง่าย ๆ ที่มีการปฏิเสธภายนอกคือคำสั่งที่ขัดแย้งกับคำสั่งที่กำหนด (ดู "ความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างคำสั่ง สี่เหลี่ยมตรรกะ") ตัวอย่างเช่น: คำสั่ง “ไม่ใช่ทุกคนจะโลภ”สอดคล้องกับข้อความ "บางคนไม่โลภ».
การพิจารณาข้อความเชิงลบเป็นคำสั่งที่ซับซ้อน จำเป็นต้องกำหนดความหมายเชิงตรรกะของมัน
ข้อความเดิม: พระอาทิตย์กำลังส่องแสง(ร).
ข้อความเชิงลบ: แดดไม่ส่อง(┐p).
ข้อความเชิงลบสองครั้ง: แดดไม่ส่องไม่จริง(┐┐p).
| R | ┐r | ┐┐r |
| และ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | หลี่ |
| ข้าว. 16 |
ข้อความเชิงลบเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความเดิมเป็นเท็จ และในทางกลับกัน กฎแห่งการปฏิเสธสองครั้งเชื่อมโยงกับข้อความปฏิเสธ: การปฏิเสธสองครั้งของคำสั่งโดยพลการเทียบเท่ากับข้อความนี้เอง เงื่อนไขสำหรับความจริงของข้อความเชิงลบจะแสดงในรูปที่ 16.
ซับซ้อนคำสั่งจะพิจารณาว่าประกอบด้วยข้อความง่ายๆ หลายประโยคที่เชื่อมต่อโดยใช้ตรรกะ "และ", "หรือ", "ถ้า ... แล้ว ... " ฯลฯ คำสั่งผสมรวมถึงการเชื่อมต่อ, การแยก, เงื่อนไข, คำสั่งเทียบเท่าเช่น รวมถึงการปฏิเสธข้อความ
คำสั่งเกี่ยวโยง (คำสันธาน)- นี่เป็นคำสั่งที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยคำง่าย ๆ เชื่อมต่อโดยใช้การเชื่อมต่อแบบลอจิคัล "และ" สหภาพตรรกะ "และ" (คำสันธาน) สามารถแสดงในภาษาธรรมชาติโดยการรวมไวยกรณ์ "และ", "แต่", "อย่างไรก็ตาม", "และด้วย" เป็นต้น ตัวอย่างเช่น “เมฆมาก็ฝนเริ่มตก” , “ทั้งใหญ่ทั้งเล็กเปรมปรีดิ์ .” ขอให้เป็นวันที่ดี» . บน ภาษาสัญลักษณ์ตรรกะ ข้อความเหล่านี้เขียนดังนี้: p∧q. คำสันธานเป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความง่ายๆ ที่เป็นส่วนประกอบทั้งหมดเป็นจริง (รูปที่ 17)
การแยกคำสั่ง (disjunction)แยกแยะความแตกต่างระหว่างความแตกแยกที่อ่อนแอและแข็งแกร่ง ความแตกแยกที่อ่อนแอสอดคล้องกับการใช้สหภาพ "หรือ" ในความหมายที่เชื่อมต่อกัน (อย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่นหรือทั้งสองอย่างรวมกัน) ตัวอย่างเช่น: "นักเรียนคนนี้เป็นนักกีฬาหรือนักเรียนดีเด่น" (p⋁q), "ปัจจัยทางพันธุกรรม ระบบนิเวศน์ที่ไม่ดี และ นิสัยที่ไม่ดีเป็นสาเหตุของโรคส่วนใหญ่(p⋁q⋁r). การแตกแยกที่อ่อนแอนั้นเป็นจริงเมื่อมีข้อความง่ายๆ อย่างน้อยหนึ่งประโยคที่รวมอยู่ในข้อความนั้นเป็นความจริง (ดูรูปที่ 17)
ความแตกแยกที่แข็งแกร่งสอดคล้องกับการใช้สหภาพ "อย่างใดอย่างหนึ่ง" ในแง่การแบ่งเฉพาะ (อย่างใดอย่างหนึ่งหรืออย่างอื่น แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่างรวมกัน) ตัวอย่างเช่น: “ตอนเย็นฉันจะไปเรียนหรือไปดิสโก้”, “คนๆ หนึ่งจะมีชีวิตอยู่หรือตายไปแล้ว”. สัญกรณ์สัญลักษณ์ p⊻q. การแตกแยกที่รุนแรงจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อข้อความง่ายๆ ที่เป็นองค์ประกอบหนึ่งเป็นจริงเท่านั้น (ดูรูปที่ 17)
คำสั่งแบบมีเงื่อนไข (นัย)- นี่เป็นคำสั่งที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยสองส่วนที่เชื่อมต่อโดยใช้ตรรกะ "ถ้า ... แล้ว ... " คำสั่งหลังอนุภาค "ถ้า" เรียกว่าฐานและคำสั่งหลังจาก "แล้ว" เรียกว่าผลที่ตามมา ในการวิเคราะห์เชิงตรรกะของคำสั่งแบบมีเงื่อนไข พื้นฐานของความหมายจะถูกวางไว้ก่อนเสมอ ในภาษาธรรมชาติมักไม่เคารพกฎนี้ ตัวอย่างของคำสั่งแบบมีเงื่อนไข: "ถ้านกนางแอ่นบินต่ำฝนจะตก" (p→q). ความหมายเป็นเท็จในกรณีเดียวเท่านั้น เมื่อพื้นฐานเป็นจริง และผลที่ตามมาเป็นเท็จ (ดูรูปที่ 17)
คำสั่งเทียบเท่า- นี่คือคำสั่งที่ประกอบด้วยคำง่าย ๆ เชื่อมต่อโดยใช้ตรรกะ "ถ้าและเฉพาะเมื่อ" ("ถ้าและเฉพาะถ้า ... แล้ว ... ") ข้อความที่เทียบเท่ากันแสดงถึงการมีอยู่หรือไม่มีของสองสถานการณ์พร้อมกัน ในภาษาที่เป็นธรรมชาติ ความเท่าเทียมกันสามารถแสดงได้โดยการรวมไวยกรณ์ "ถ้า ... แล้ว ... ", "ก็ต่อเมื่อ ... " เป็นต้น ตัวอย่างเช่น “ทีมของเราจะชนะก็ต่อเมื่อเตรียมมาอย่างดี» ( p↔q). ข้อความที่เทียบเท่าจะเป็นจริงเมื่อข้อความที่ประกอบขึ้นเป็นทั้งจริงหรือเท็จทั้งคู่ (ดูรูปที่ 17)
ในการให้เหตุผลเป็นทางการมีความจำเป็น:
1) ค้นหาและกำหนดพยัญชนะเล็ก ๆ ของข้อความง่าย ๆ ของตัวอักษรละตินซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของพยัญชนะที่ซับซ้อน ตัวแปรถูกกำหนดโดยพลการ แต่ถ้าคำสั่งง่าย ๆ เดียวกันเกิดขึ้นหลายครั้ง ตัวแปรที่เกี่ยวข้องจะถูกใช้จำนวนครั้งเท่ากัน
2) ค้นหาและกำหนดสหภาพตรรกะ (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐) เป็นค่าคงที่ตรรกะ;
3) หากจำเป็นให้วางป้ายทางเทคนิค [...], (...)
ในรูป 18 แสดงตัวอย่างการสร้างประโยคที่ซับซ้อน .
ฉันว่างแล้ว (พี) และ (∧), ถ้าฉัน ไม่จะกักตัว (┐q) หรือ (⋁) ไม่รถเสีย (┐r), แล้ว(→)ฉันจะไปที่นั่นเร็ว ๆ นี้ (ส) .
p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s
ข้าว. สิบแปด
หลังจากเขียนข้อความในรูปแบบสัญลักษณ์แล้ว จะสามารถกำหนดประเภทของสูตรได้ ในตรรกะ มีสูตรจริง เท็จ และเป็นกลางเหมือนกัน สูตรที่เหมือนกัน-จริง โดยไม่คำนึงถึงค่าของตัวแปรที่รวมอยู่ในองค์ประกอบ จะใช้ค่า "จริง" เสมอ และสูตรที่ผิดเหมือนกันจะใช้ค่า "เท็จ" เสมอ สูตรเป็นกลางยอมรับทั้งค่าจริงและเท็จ
ในการกำหนดประเภทของสูตรจะใช้วิธีการแบบตารางซึ่งเป็นวิธีย่อเพื่อตรวจสอบสูตรสำหรับความจริงโดยวิธี "ลดความไร้สาระ" และลดสูตรให้อยู่ในรูปแบบปกติ รูปแบบปกติของสูตรคือนิพจน์ซึ่งสอดคล้องกับ เงื่อนไขดังต่อไปนี้:
ไม่มีสัญญาณของความหมาย ความเท่าเทียมกัน การแตกแยกอย่างเข้มงวด และการปฏิเสธสองครั้ง
เครื่องหมายลบจะพบได้เฉพาะกับตัวแปรเท่านั้น
วิธีกำหนดประเภทของสูตรแบบตาราง:
1. สร้างคอลัมน์ ค่าอินพุตสำหรับแต่ละตัวแปรที่มีอยู่ คอลัมน์เหล่านี้เรียกว่าฟรี (อิสระ) โดยพิจารณาถึงค่าตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด หากมีตัวแปรสองตัวในสูตร จะมีการสร้างคอลัมน์ว่างสองคอลัมน์ขึ้น หากมีตัวแปรสามตัว ก็จะมีสามคอลัมน์ เป็นต้น
2. สำหรับแต่ละสูตรย่อยนั่นคือส่วนหนึ่งของสูตรที่มีอย่างน้อยหนึ่งยูเนี่ยนจะมีการสร้างคอลัมน์ของค่าขึ้น สิ่งนี้คำนึงถึงค่าของคอลัมน์อิสระและคุณสมบัติของลอจิคัลยูเนี่ยน (ดูรูปที่ 17)
3. สร้างคอลัมน์ของค่าผลลัพธ์สำหรับสูตรทั้งหมดโดยรวม ค่าที่ได้รับในคอลัมน์ผลลัพธ์จะเป็นตัวกำหนดประเภทของสูตร ดังนั้น หากคอลัมน์ผลลัพธ์มีเพียงค่า "จริง" สูตรจะอ้างอิงถึงค่าจริงเหมือนกัน และอื่นๆ
| ตารางความจริงสำหรับสูตร(p^q) → r | ||||
| พี | q | r | พี^q | (p^q) → r |
| และ | และ | และ | และ | และ |
| หลี่ | และ | หลี่ | หลี่ | และ |
| หลี่ | หลี่ | และ | หลี่ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ | หลี่ | และ |
| และ | และ | หลี่ | และ | หลี่ |
| และ | หลี่ | และ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | และ | หลี่ | และ |
| หลี่ | หลี่ | หลี่ | หลี่ | และ |
| ข้าว. 19 |
จำนวนคอลัมน์ในตารางเท่ากับผลรวมของตัวแปรที่รวมอยู่ในสูตรและสหภาพในนั้น (ตัวอย่างเช่น ในสูตรในรูปที่ 18 มีตัวแปรสี่ตัวและสหภาพห้าตัว ดังนั้นในตารางจะมีเก้าคอลัมน์)
จำนวนแถวในตารางคำนวณโดยสูตร С = 2n, ที่ไหน นคือจำนวนตัวแปร (ในตารางควรมีสิบหกแถวตามสูตรในรูปที่ 18)
ในรูป 19 แสดงตัวอย่างตารางความจริง
วิธีย่อเพื่อทดสอบสูตรสำหรับความจริงโดยลดความไร้สาระ:
((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))
1. สมมุติว่า สูตรที่กำหนดไม่เป็นความจริงเหมือนกัน ดังนั้น สำหรับชุดของค่าบางชุด จะใช้ค่า "เท็จ"
2. สูตรนี้สามารถรับค่า "เท็จ" ได้ก็ต่อเมื่อฐานของความหมาย (p⋁q)⋁r เป็น "จริง" และผลที่ตามมา p⋁(q⋁r) เป็น "เท็จ"
3. ความหมาย p⋁(q⋁r) จะเป็นเท็จ ถ้า p เป็น "เท็จ" และ q⋁r เป็น "เท็จ" (ดูความหมายของการแตกแยกที่อ่อนแอในรูปที่ 17)
4. ถ้าq⋁rเป็น "เท็จ" ทั้ง q และ r เป็น "เท็จ"
5. เราได้กำหนดว่า p คือ "เท็จ" q คือ "เท็จ" และ r คือ "เท็จ" ฐานความหมาย (p⋁q)⋁r คือ การแตกแยกที่อ่อนแอของตัวแปรเหล่านี้ เนื่องจากการแตกแยกที่อ่อนแอจะใช้ค่า "เท็จ" เมื่อส่วนประกอบทั้งหมดเป็นเท็จ ฐานของความหมาย (p⋁q)⋁r จึงเป็น "เท็จ" ด้วย
6. ในวรรค 2 กำหนดว่าฐานของความหมาย (p⋁q)⋁r คือ "จริง" และในวรรค 5 ระบุว่า "เท็จ" ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นบ่งชี้ว่าสมมติฐานของเราในส่วนที่ 1 นั้นผิดพลาด
7. เนื่องจากสูตรนี้ไม่ใช้ค่า "เท็จ" สำหรับชุดค่าของตัวแปรใด ๆ จึงเป็นจริงเหมือนกัน
3.8. ความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างคำสั่ง
(สี่เหลี่ยมตรรกะ)
มีการสร้างการเชื่อมต่อระหว่างข้อความที่มีความหมายคล้ายกัน พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างข้อความที่เรียบง่ายและซับซ้อน
ในทางตรรกะ ประโยคทั้งชุดถูกแบ่งออกเป็นแบบเทียบเคียงและหาที่เปรียบมิได้ หาที่เปรียบมิได้ในหมู่ประพจน์ง่ายๆคือข้อเสนอที่มีหัวเรื่องหรือภาคแสดงต่างกัน ตัวอย่างเช่น: “นักเรียนทุกคนเป็นนักเรียน” และ “นักเรียนบางคนเป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยม”.
เปรียบเทียบได้คือข้อความที่มีหัวเรื่องและภาคแสดงเดียวกันและต่างกันในการเชื่อมต่อและปริมาณ ตัวอย่างเช่น: “พลเมืองทั้งหมดของสาธารณรัฐเบลารุสมีสิทธิที่จะพักผ่อน” และ “ไม่มีพลเมืองของสาธารณรัฐเบลารุสมีสิทธิที่จะพักผ่อน”
|
ในบรรดาข้อความที่เปรียบเทียบกันได้ มีความโดดเด่นและเข้ากันไม่ได้
ความสัมพันธ์ที่เข้ากันได้
1.ความเท่าเทียมกัน ( เข้ากันได้อย่างเต็มที่) - ข้อความที่มีลักษณะเชิงตรรกะเหมือนกัน: วิชาและภาคแสดงเดียวกัน ประเภทเดียวกันของการยืนยันหรือการเชื่อมต่อเชิงลบ ลักษณะเชิงตรรกะเดียวกัน คำพูดที่เท่าเทียมกันแตกต่างกันในการแสดงออกทางวาจาของความคิดเดียวกัน ด้วยความช่วยเหลือของสี่เหลี่ยมเชิงตรรกะ ความสัมพันธ์ระหว่างข้อความเหล่านี้จะไม่แสดงให้เห็น
2. ความเข้ากันได้บางส่วน (ความตรงกันข้าม ความแตกต่างย่อย). ในความสัมพันธ์นี้มีข้อความยืนยันและข้อความเชิงลบโดยเฉพาะ (I และ O) ซึ่งหมายความว่าสองข้อความดังกล่าวสามารถเป็นจริงได้ทั้งสองอย่าง แต่ไม่สามารถเป็นเท็จทั้งคู่ได้ หากสิ่งใดสิ่งหนึ่งเป็นเท็จ อีกสิ่งหนึ่งจะต้องเป็นจริง หากสิ่งใดสิ่งหนึ่งเป็นจริง อีกสิ่งหนึ่งก็ไม่มีกำหนด
3. การอยู่ใต้บังคับบัญชา (การอยู่ใต้บังคับบัญชา). ในแง่นี้มีข้อความยืนยันทั่วไปและข้อความยืนยันเฉพาะ (A และ I) รวมถึงข้อความเชิงลบทั่วไปและข้อความเชิงลบเฉพาะ (E และ O)
ความจริงของข้อความเฉพาะมักจะติดตามความจริงของข้อความทั่วไป ในขณะที่ความจริงของข้อความเฉพาะบ่งบอกถึงความไม่แน่นอนของข้อความทั่วไป
ความเท็จของข้อความเฉพาะเจาะจงมักบ่งบอกถึงความเท็จของข้อความทั่วไป แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน
ความสัมพันธ์ที่เข้ากันไม่ได้ข้อความที่เข้ากันไม่ได้คือข้อความที่ไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งสองอย่าง:
1. ตรงกันข้าม (ตรงกันข้าม, ตรงกันข้าม)- ในแง่นี้มีข้อความยืนยันโดยทั่วไปและโดยทั่วไปเชิงลบ (A และ E) ความสัมพันธ์นี้หมายความว่าสองข้อความดังกล่าวไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งคู่ แต่อาจเป็นเท็จทั้งคู่ หากข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง อีกข้อหนึ่งต้องเป็นเท็จ หากสิ่งใดสิ่งหนึ่งเป็นเท็จ อีกประการหนึ่งก็ไม่มีกำหนด
2.ความขัดแย้ง (ความขัดแย้ง)- ประกอบด้วยข้อความยืนยันทั่วไปและข้อความเชิงลบเฉพาะ (A และ O) รวมถึงข้อความยืนยันเชิงลบทั่วไปและเฉพาะเจาะจง (E และ I) ข้อความที่ขัดแย้งกันสองคำไม่สามารถเป็นทั้งเท็จและจริงพร้อมกันได้ หนึ่งจำเป็นต้องจริงและอีกอันเป็นเท็จ
การเปรียบเทียบระหว่างข้อความที่ซับซ้อนคือข้อความที่มีองค์ประกอบที่เหมือนกันอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ มิฉะนั้น งบประสมจะเทียบกันไม่ได้
คำสั่งผสมที่เปรียบเทียบกันได้สามารถเข้ากันได้หรือเข้ากันไม่ได้
ความสัมพันธ์ที่เข้ากันได้หมายความว่าข้อความสามารถเป็นได้ทั้งจริง:
| พี | q | p→q | q→p |
| และ | และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | และ | หลี่ |
| หลี่ | หลี่ | และ | และ |
| ข้าว. 22 |
| 3.ความสัมพันธ์ของการติดตาม (การอยู่ใต้บังคับบัญชา) หมายความว่าความจริงของข้อความหนึ่งแสดงถึงความจริงของอีกข้อความหนึ่ง แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน (รูปที่ 23) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. อัตราคลัตช์หมายความว่าความจริง (เท็จ) ของข้อความหนึ่งไม่ได้ยกเว้นความเท็จ (ความจริง) ของอีกข้อความหนึ่ง (รูปที่ 24) |
|
ความสัมพันธ์ของความไม่ลงรอยกันหมายความว่าข้อความไม่สามารถเป็นจริงได้ทั้งสองอย่าง:
| พี | q | p→q | p∧┐q |
| และ | และ | และ | หลี่ |
| และ | หลี่ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | และ | หลี่ |
| หลี่ | หลี่ | และ | หลี่ |
| ข้าว. 26 |
ตรรกะประพจน์ เรียกอีกอย่างว่าตรรกะเชิงประพจน์ - สาขาของคณิตศาสตร์และตรรกะที่ศึกษารูปแบบตรรกะของข้อความที่ซับซ้อนที่สร้างขึ้นจากข้อความธรรมดาหรือข้อความพื้นฐานโดยใช้การดำเนินการทางตรรกะ
ตรรกะของข้อเสนอถูกแยกออกจากข้อเสนอที่มีความหมายและศึกษาคุณค่าความจริงของข้อเสนอ นั่นคือ ไม่ว่าข้อเสนอนั้นจะจริงหรือเท็จ
รูปด้านบนเป็นภาพประกอบของปรากฏการณ์ที่เรียกว่า Liar Paradox ในเวลาเดียวกัน ในความเห็นของผู้เขียนโครงการ ความขัดแย้งดังกล่าวเป็นไปได้เฉพาะในสภาพแวดล้อมที่ไม่ปราศจากปัญหาทางการเมือง ซึ่งใครบางคนสามารถถูกตราหน้าว่าเป็นคนโกหกได้ ในโลกชั้นธรรมชาติบน เรื่องของ "ความจริง" หรือ "ความเท็จ" จะถูกประเมินเฉพาะข้อความที่แยกออกมาเท่านั้น . และต่อมาในบทเรียนนี้ คุณจะได้รู้จักกับ โอกาสในการประเมินข้อความมากมายในเรื่องนี้ (แล้วดูคำตอบที่ถูกต้อง) รวมข้อความที่ซับซ้อนซึ่งข้อความที่ง่ายกว่าเชื่อมโยงถึงกันด้วยสัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะ แต่ก่อนอื่น ให้เราพิจารณาการดำเนินการเหล่านี้เกี่ยวกับข้อเสนอด้วยตัวมันเอง
ตรรกะเชิงประพจน์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรมในรูปแบบของการประกาศตัวแปรตรรกะและกำหนดค่าตรรกะ "เท็จ" หรือ "จริง" ให้กับพวกเขาซึ่งหลักสูตรของการดำเนินการต่อไปของโปรแกรมขึ้นอยู่กับ ในโปรแกรมขนาดเล็กที่มีตัวแปรบูลีนเพียงตัวเดียวที่เกี่ยวข้อง ตัวแปรบูลีนนั้นมักจะได้รับชื่อ เช่น "แฟล็ก" และ "แฟล็ก" จะมีความหมายโดยนัยเมื่อค่าของตัวแปรนั้นเป็น "จริง" และ "แฟล็กลดลง" เมื่อค่าของ ตัวแปรนี้เป็น "เท็จ" ในโปรแกรมขนาดใหญ่ซึ่งมีตัวแปรเชิงตรรกะหลายตัวหรือหลายตัว ผู้เชี่ยวชาญจำเป็นต้องตั้งชื่อตัวแปรเชิงตรรกะที่มีรูปแบบของคำสั่งและโหลดเชิงความหมายที่แยกความแตกต่างจากตัวแปรเชิงตรรกะอื่น ๆ และเข้าใจได้สำหรับตัวแปรอื่น ผู้เชี่ยวชาญที่จะอ่านเนื้อหาของโปรแกรมนี้
ดังนั้นตัวแปรตรรกะชื่อ "UserRegistered" (หรือเทียบเท่าในภาษาอังกฤษ) สามารถประกาศได้โดยมีรูปแบบของคำสั่งซึ่งสามารถกำหนดค่าตรรกะ "จริง" หากตรงตามเงื่อนไขที่ส่งข้อมูลสำหรับการลงทะเบียน โดยผู้ใช้และข้อมูลนี้ได้รับการยอมรับจากโปรแกรมว่าถูกต้อง ในการคำนวณเพิ่มเติม ค่าของตัวแปรอาจเปลี่ยนแปลงได้ขึ้นอยู่กับว่าค่าตรรกะใด ("จริง" หรือ "เท็จ") ที่ตัวแปร "เข้าสู่ระบบของผู้ใช้" มี ในกรณีอื่น ๆ ตัวแปรเช่นชื่อ "มากกว่าสามวันจนถึงวัน" สามารถกำหนดค่า "จริง" ได้ถึงช่วงการคำนวณที่แน่นอนและในระหว่างการดำเนินการโปรแกรมต่อไป ค่านี้สามารถเป็นได้ บันทึกหรือเปลี่ยนเป็น "เท็จ" และการดำเนินการต่อไปขึ้นอยู่กับค่าของโปรแกรมตัวแปรนี้
หากโปรแกรมใช้ตัวแปรเชิงตรรกะหลายตัวที่มีชื่ออยู่ในรูปของข้อเสนอ และมีการสร้างข้อเสนอที่ซับซ้อนขึ้น การพัฒนาโปรแกรมจะง่ายกว่ามาก ถ้าก่อนที่จะพัฒนา การดำเนินการทั้งหมดจากข้อเสนอจะถูกเขียนในรูปแบบของสูตร ใช้ในตรรกะประพจน์มากกว่าที่เราทำในบทเรียนนี้และลองทำกัน
การดำเนินการเชิงตรรกะในคำสั่ง
สำหรับข้อความทางคณิตศาสตร์ เราสามารถเลือกระหว่างสองทางเลือกที่แตกต่างกัน "จริง" และ "เท็จ" แต่สำหรับข้อความที่เขียนในภาษา "วาจา" แนวคิดของ "จริง" และ "เท็จ" ค่อนข้างคลุมเครือมากกว่า อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น รูปแบบวาจาเช่น "กลับบ้าน" และ "ฝนตกไหม" ไม่ใช่คำพูด จึงเป็นที่ชัดเจนว่า วาจาเป็นรูปแบบวาจาซึ่งมีการระบุบางสิ่งบางอย่าง . ประโยคคำถามหรืออุทาน อุทธรณ์ ตลอดจนความปรารถนาหรือข้อเรียกร้องไม่ใช่ข้อความ ไม่สามารถประเมินด้วยค่า "จริง" และ "เท็จ"
ในทางกลับกัน ข้อเสนอสามารถมองเป็นปริมาณที่รับสองค่า: "จริง" และ "เท็จ"
ตัวอย่างเช่น มีการตัดสินว่า "สุนัขเป็นสัตว์", "ปารีสเป็นเมืองหลวงของอิตาลี", "3
ข้อความแรกเหล่านี้สามารถประเมินได้ด้วยสัญลักษณ์ "จริง" ประโยคที่สองคือ "เท็จ" ประโยคที่สามคือ "จริง" และประโยคที่สี่คือ "เท็จ" การตีความข้อเสนอดังกล่าวเป็นเรื่องของพีชคณิตเชิงประพจน์ เราจะแสดงข้อความในอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ อา, บี, ..., และค่าของพวกมัน นั่นคือ จริง และ เท็จ ตามลำดับ และและ หลี่. ในการพูดธรรมดาจะใช้การเชื่อมต่อระหว่างข้อความ "และ", "หรือ" และอื่น ๆ
การเชื่อมโยงเหล่านี้ทำให้เป็นไปได้โดยการรวมข้อความต่างๆ เพื่อสร้างข้อความใหม่ - ข้อความที่ซับซ้อน . ตัวอย่างเช่น พวงของ "และ" ให้ข้อความได้รับ: π มากกว่า 3" และคำสั่ง " π น้อยกว่า 4 คุณสามารถจัดระเบียบใหม่ - คำสั่งที่ซับซ้อน " π มากกว่า 3 และ π น้อยกว่า 4" คำว่า "if π ไม่มีเหตุผล แล้ว π ² ยังไม่มีเหตุผล" ได้มาจากการเชื่อมโยงสองคำสั่งที่มีลิงก์ "ถ้า - แล้ว" ในที่สุด เราสามารถรับคำสั่งใหม่ - ที่ซับซ้อน - จากคำสั่งใด ๆ - ลบล้างคำสั่งเดิม
พิจารณาข้อเสนอเป็นปริมาณที่รับค่า และและ หลี่เรากำหนดเพิ่มเติม การดำเนินการเชิงตรรกะในคำสั่ง ซึ่งช่วยให้เราได้รับข้อความใหม่ที่ซับซ้อนจากข้อความเหล่านี้
ให้สองข้อความตามอำเภอใจได้รับ อาและ บี.
1 . การดำเนินการเชิงตรรกะครั้งแรกของคำสั่งเหล่านี้ - การรวม - คือการก่อตัวของคำสั่งใหม่ซึ่งเราจะแสดงว่า อา ∧ บีและอันไหนจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ อาและ บีจริง. ในการพูดธรรมดา การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการเชื่อมต่อของคำสั่งที่มี "และ" จำนวนมาก
ตารางความจริงสำหรับการรวมกัน:
| อา | บี | อา ∧ บี |
| และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ |
| หลี่ | และ | หลี่ |
| หลี่ | หลี่ | หลี่ |
2 . การดำเนินการเชิงตรรกะที่สองในคำสั่ง อาและ บี- ความแตกแยกแสดงเป็น อา ∨ บีถูกกำหนดดังนี้: เป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความเดิมอย่างน้อยหนึ่งข้อความเป็นจริง ในการพูดธรรมดา การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการเชื่อมต่อของคำสั่งที่มี "หรือ" จำนวนมาก อย่างไรก็ตาม ในที่นี้ เรามี "หรือ" ที่ไม่แยกจากกัน ซึ่งเข้าใจในความหมายของ "หรือ" เมื่อ อาและ บีทั้งสองไม่สามารถเป็นจริงได้ ในนิยามของตรรกะประพจน์ อา ∨ บีจริงหากข้อความใดข้อความหนึ่งเป็นจริง และหากข้อความทั้งสองเป็นจริง อาและ บี.
ตารางความจริงสำหรับการแตกแยก:
| อา | บี | อา ∨ บี |
| และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | และ |
| หลี่ | หลี่ | หลี่ |
3 . การดำเนินการเชิงตรรกะที่สามในคำสั่ง อาและ บีแสดงเป็น อา → บี; คำสั่งผลลัพธ์เป็นเท็จ if และ only if อาจริงและ บีเท็จ. อาเรียกว่า พัสดุ , บี - ผลที่ตามมา และข้อความ อา → บี - กำลังติดตาม เรียกอีกอย่างว่าความหมาย ในคำพูดธรรมดา การดำเนินการนี้สอดคล้องกับลิงก์ "ถ้า - แล้ว": "if อา, แล้ว บี“แต่ในนิยามของตรรกะเชิงประพจน์ ข้อเสนอนี้เป็นจริงเสมอ ไม่ว่าข้อเสนอนั้นจะจริงหรือเท็จ บี. สถานการณ์นี้สามารถกำหนดสั้น ๆ ได้ดังนี้: "สิ่งใดก็ได้ที่คุณชอบจากเท็จ" ในทางกลับกัน ถ้า อาจริงและ บีเท็จ แล้วทั้งประโยค อา → บีเท็จ. มันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ อา, และ บีจริง. โดยสังเขปนี้สามารถกำหนดได้ดังนี้: "เท็จไม่สามารถติดตามจากความจริงได้"
ตารางความจริงที่น่าติดตาม (โดยนัย):
| อา | บี | อา → บี |
| และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ |
| หลี่ | และ | และ |
| หลี่ | หลี่ | และ |
4 . การดำเนินการเชิงตรรกะที่สี่ของคำสั่ง อย่างแม่นยำมากขึ้นในคำสั่งเดียว เรียกว่าการปฏิเสธคำสั่ง อาและเขียนแทนโดย ~ อา(คุณยังสามารถค้นหาการใช้ไม่ใช่สัญลักษณ์ ~ แต่สัญลักษณ์ ¬ เช่นเดียวกับโอเวอร์ไลน์โอเวอร์ อา). ~ อามีข้อความที่เป็นเท็จเมื่อ อาจริงและจริงเมื่อ อาเท็จ.
ตารางความจริงสำหรับการปฏิเสธ:
| อา | ~ อา |
| หลี่ | และ |
| และ | หลี่ |
5 . และสุดท้าย การดำเนินการเชิงตรรกะที่ห้าของข้อเสนอเรียกว่าสมมูลและแสดงแทน อา ↔ บี. ผลลัพธ์ที่ได้ อา ↔ บีเป็นข้อความจริงก็ต่อเมื่อ อาและ บีทั้งจริงหรือเท็จทั้งคู่
ตารางความจริงสำหรับความเท่าเทียมกัน:
| อา | บี | อา → บี | บี → อา | อา ↔ บี |
| และ | และ | และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ | และ | หลี่ |
| หลี่ | และ | และ | หลี่ | หลี่ |
| หลี่ | หลี่ | และ | และ | และ |
ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่มีสัญลักษณ์พิเศษสำหรับค่าตรรกะของคำสั่ง ซึ่งเขียนในเกือบทุกภาษาว่าจริง (จริง) และเท็จ (เท็จ)
มาสรุปข้างต้นกัน ตรรกะประพจน์ ศึกษาความเชื่อมโยงที่กำหนดโดยสมบูรณ์โดยวิธีการที่ข้อความบางคำสร้างขึ้นจากคำอื่น ๆ ที่เรียกว่าข้อความพื้นฐาน ข้อความเบื้องต้นถือเป็นข้อความทั้งหมด ไม่สามารถย่อยสลายเป็นส่วนๆ ได้
เราจัดระบบในตารางด้านล่างชื่อ การกำหนด และความหมายของการดำเนินการเชิงตรรกะในคำสั่ง (เราจะต้องใช้อีกครั้งในการแก้ปัญหาตัวอย่างในเร็วๆ นี้)
| Bundle | การกำหนด | ชื่อปฏิบัติการ |
| ไม่ | ปฏิเสธ | |
| และ | คำสันธาน | |
| หรือ | disjunction | |
| ถ้า...แล้ว... | ความหมาย | |
| แล้วก็เท่านั้น | ความเท่าเทียมกัน |
สำหรับการดำเนินการทางตรรกะเป็นจริง กฎของพีชคณิตของตรรกะซึ่งสามารถใช้ในการลดความซับซ้อนของนิพจน์บูลีน ในเวลาเดียวกัน ควรสังเกตว่าในตรรกะของข้อเสนอ พวกเขาถูกแยกออกจากเนื้อหาเชิงความหมายของข้อเสนอและถูกจำกัดให้พิจารณาจากตำแหน่งที่เป็นจริงหรือเท็จ
ตัวอย่าง 1
1) (2 = 2) และ (7 = 7) ;
2) ไม่(15;
3) ("ต้นสน" = "โอ๊ค") หรือ ("เชอร์รี่" = "เมเปิ้ล");
4) ไม่("ต้นสน" = "โอ๊ค");
5) (ไม่(15 20) ;
6) ("ตามีไว้ให้ดู") และ ("ใต้ชั้นสามเป็นชั้นสอง");
7) (6/2 = 3) หรือ (7*5 = 20) .
1) ค่าของคำสั่งในวงเล็บแรกคือ "จริง" ค่าของนิพจน์ในวงเล็บที่สองก็เป็นจริงเช่นกัน คำสั่งทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะ "AND" (ดูกฎสำหรับการดำเนินการนี้ด้านบน) ดังนั้นค่าตรรกะของคำสั่งทั้งหมดนี้เป็น "จริง"
2) ความหมายของข้อความในวงเล็บคือ "เท็จ" คำสั่งนี้นำหน้าด้วยการดำเนินการปฏิเสธเชิงตรรกะ ดังนั้นค่าตรรกะของคำสั่งทั้งหมดนี้จึงเป็น "จริง"
3) ความหมายของข้อความในวงเล็บแรกคือ "เท็จ" ความหมายของข้อความในวงเล็บที่สองก็คือ "เท็จ" เช่นกัน คำสั่งเชื่อมต่อด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะ "OR" และไม่มีคำสั่งใดที่มีค่า "จริง" ดังนั้น ความหมายเชิงตรรกะของข้อความทั้งหมดนี้จึงเป็น "เท็จ"
4) ความหมายของข้อความในวงเล็บคือ "เท็จ" คำสั่งนี้นำหน้าด้วยการดำเนินการปฏิเสธเชิงตรรกะ ดังนั้น ความหมายเชิงตรรกะของข้อความที่ระบุทั้งหมดจึงเป็น "จริง"
5) ในวงเล็บปีกกาแรก คำสั่งในวงเล็บในจะถูกลบล้าง คำสั่งในวงเล็บนี้จะประเมินเป็น "เท็จ" ดังนั้นการปฏิเสธจะประเมินเป็นค่าตรรกะ "จริง" คำสั่งในวงเล็บที่สองมีค่า "เท็จ" คำสั่งทั้งสองนี้เชื่อมต่อกันด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะ "AND" นั่นคือ ได้รับ "จริงและเท็จ" ดังนั้น ความหมายเชิงตรรกะของข้อความที่ระบุทั้งหมดจึงเป็น "เท็จ"
6) ความหมายของข้อความในวงเล็บแรกคือ "จริง" ความหมายของข้อความในวงเล็บที่สองก็ "จริง" เช่นกัน ข้อความทั้งสองนี้เชื่อมโยงกันด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะ "และ" นั่นคือ ได้รับ "ความจริงและความจริง" ดังนั้น ความหมายเชิงตรรกะของข้อความที่ระบุทั้งหมดจึงเป็น "จริง"
7) ความหมายของข้อความในวงเล็บแรกคือ "จริง" ความหมายของข้อความในวงเล็บที่สองคือ "เท็จ" คำสั่งทั้งสองนี้เชื่อมต่อกันด้วยการดำเนินการเชิงตรรกะ "OR" นั่นคือ ได้รับ "จริงหรือเท็จ" ดังนั้น ความหมายเชิงตรรกะของข้อความที่ระบุทั้งหมดจึงเป็น "จริง"
ตัวอย่าง 2เขียนคำสั่งที่ซับซ้อนต่อไปนี้โดยใช้การดำเนินการทางตรรกะ:
1) "ผู้ใช้ไม่ได้ลงทะเบียน";
2) "วันนี้เป็นวันอาทิตย์ และพนักงานบางคนกำลังทำงานอยู่";
3) "ผู้ใช้ลงทะเบียนเมื่อและเฉพาะเมื่อพบว่าข้อมูลที่ส่งโดยผู้ใช้ถูกต้อง"
1) พี- คำสั่งเดียว "ผู้ใช้ลงทะเบียนแล้ว" การดำเนินการทางตรรกะ: ;
2) พี- คำสั่งเดียว "วันนี้เป็นวันอาทิตย์" q- "พนักงานบางคนกำลังทำงาน" การดำเนินการเชิงตรรกะ: ;
3) พี- คำสั่งเดียว "ผู้ใช้ลงทะเบียนแล้ว" q- "ข้อมูลที่ส่งโดยผู้ใช้ถูกต้อง" การดำเนินการทางตรรกะ: .
แก้ตัวอย่างตรรกะเชิงประพจน์ด้วยตัวคุณเองแล้วดูวิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 3คำนวณค่าบูลีนของคำสั่งต่อไปนี้:
1) ("มี 70 วินาทีในหนึ่งนาที") หรือ ("นาฬิกาที่วิ่งแสดงเวลา");
2) (28 > 7) และ (300/5 = 60) ;
3) ("โทรทัศน์ - เครื่องใช้ไฟฟ้า") และ ("แก้ว - ไม้");
4) ไม่ ((300 > 100) หรือ ("กระหายน้ำดับได้"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
ตัวอย่างที่ 4เขียนคำสั่งที่ซับซ้อนต่อไปนี้โดยใช้การดำเนินการทางตรรกะและคำนวณค่าตรรกะ:
1) "ถ้านาฬิกาไม่แสดงเวลาอย่างถูกต้องคุณสามารถมาเรียนผิดเวลาได้";
2) "ในกระจกคุณสามารถเห็นภาพสะท้อนของคุณและปารีส - เมืองหลวงของสหรัฐอเมริกา";
ตัวอย่างที่ 5กำหนดนิพจน์บูลีน
(พี → q) ↔ (r → ส) ,
พี = "278 > 5" ,
q= "แอปเปิ้ล = ส้ม",
พี = "0 = 9" ,
ส= "หมวกคลุมศีรษะ".
สูตรตรรกะเชิงประพจน์
แนวคิดของรูปแบบตรรกะของคำสั่งที่ซับซ้อนถูกกำหนดด้วยความช่วยเหลือของแนวคิด สูตรตรรกะเชิงประพจน์ .
ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราได้เรียนรู้วิธีเขียนคำสั่งที่ซับซ้อนโดยใช้การดำเนินการทางตรรกะ อันที่จริงเรียกว่าสูตรตรรกะเชิงประพจน์
เพื่อแสดงข้อความดังตัวอย่างข้างต้น เราจะยังคงใช้ตัวอักษร
พี, q, r, ..., พี 1 , q 1 , r 1 , ...
ตัวอักษรเหล่านี้จะเล่นบทบาทของตัวแปรที่ใช้ค่าความจริง "จริง" และ "เท็จ" เป็นค่า ตัวแปรเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าตัวแปรเชิงประพจน์ ต่อจากนี้ไปเราจะเรียกพวกเขาว่า สูตรเบื้องต้น หรือ อะตอม .
ในการสร้างสูตรตรรกะเชิงประพจน์ นอกจากตัวอักษรข้างต้นแล้ว ยังใช้สัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะอีกด้วย
~, ∧, ∨, →, ↔,
เช่นเดียวกับสัญลักษณ์ที่ให้ความเป็นไปได้ของการอ่านสูตรที่ชัดเจน - วงเล็บปีกกาซ้ายและขวา
แนวคิด สูตรตรรกะเชิงประพจน์ กำหนดดังนี้:
1) สูตรเบื้องต้น (อะตอม) เป็นสูตรของตรรกะเชิงประพจน์
2) ถ้า อาและ บี- สูตรตรรกะเชิงประพจน์ จากนั้น ~ อา , (อา ∧ บี) , (อา ∨ บี) , (อา → บี) , (อา ↔ บี) เป็นสูตรของตรรกะเชิงประพจน์ด้วย
3) เฉพาะนิพจน์เหล่านั้นเท่านั้นที่เป็นสูตรตรรกะเชิงประพจน์ซึ่งตามมาจาก 1) และ 2)
คำจำกัดความของสูตรตรรกะเชิงประพจน์ประกอบด้วยการแจงนับกฎสำหรับการก่อตัวของสูตรเหล่านี้ ตามคำจำกัดความทุกสูตรของตรรกะประพจน์เป็นอะตอมหรือเกิดขึ้นจากอะตอมอันเป็นผลมาจากการประยุกต์ใช้กฎ 2) ที่ต่อเนื่องกัน
ตัวอย่างที่ 6อนุญาต พี- คำสั่งเดียว (อะตอม) "จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นของจริง" q- "จำนวนจริงบางจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ", r- "จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นของจริง" แปลเป็นรูปแบบของข้อเสนอทางวาจาสูตรต่อไปนี้ของตรรกะเชิงประพจน์:
6) 
.
1) "ไม่มีจำนวนจริงที่เป็นเหตุเป็นผล";
2) "ถ้าจำนวนตรรกยะทั้งหมดไม่ใช่จำนวนจริง ก็ไม่ใช่ สรุปตัวเลขซึ่งถูกต้อง";
3) "ถ้าจำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จำนวนจริงบางจำนวนก็เป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนตรรกยะบางจำนวนก็เป็นจำนวนจริง";
4) "จำนวนจริงทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนจริงบางจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะและจำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนจริง";
5) "จำนวนตรรกยะทั้งหมดเป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่ใช่กรณีที่จำนวนตรรกยะทั้งหมดไม่ใช่จำนวนจริง";
6) "ไม่ใช่กรณีที่จำนวนตรรกยะไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมด และไม่มีจำนวนจริงที่เป็นตรรกยะหรือจำนวนตรรกยะที่เป็นจำนวนจริง"
ตัวอย่าง 7ทำตารางความจริงสำหรับสูตรตรรกะเชิงประพจน์ 
ซึ่งในตารางสามารถระบุได้ ฉ
.
วิธีการแก้. เราเริ่มรวบรวมตารางความจริงโดยบันทึกค่า ("จริง" หรือ "เท็จ") สำหรับประโยคเดียว (อะตอม) พี , qและ r. ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเขียนในแปดแถวของตาราง นอกจากนี้ เมื่อกำหนดค่าของการดำเนินการโดยนัยและเลื่อนไปทางขวาในตาราง โปรดจำไว้ว่าค่านั้นเท่ากับ "เท็จ" เมื่อ "จริง" หมายถึง "เท็จ"
| พี | q | r | ฉ | ||||
| และ | และ | และ | และ | และ | และ | และ | และ |
| และ | และ | หลี่ | และ | และ | และ | หลี่ | และ |
| และ | หลี่ | และ | และ | หลี่ | หลี่ | หลี่ | หลี่ |
| และ | หลี่ | หลี่ | และ | หลี่ | หลี่ | และ | และ |
| หลี่ | และ | และ | หลี่ | และ | หลี่ | และ | และ |
| หลี่ | และ | หลี่ | หลี่ | และ | หลี่ | และ | หลี่ |
| หลี่ | หลี่ | และ | และ | และ | และ | และ | และ |
| หลี่ | หลี่ | หลี่ | และ | และ | และ | หลี่ | และ |
โปรดทราบว่าอะตอมไม่มีรูปแบบ ~ อา , (อา ∧ บี) , (อา ∨ บี) , (อา → บี) , (อา ↔ บี) . เหล่านี้เป็นสูตรที่ซับซ้อน
จำนวนวงเล็บในสูตรตรรกะเชิงประพจน์สามารถลดลงได้โดยสมมติว่า
1) ในสูตรที่ซับซ้อน เราจะละเว้นวงเล็บคู่ภายนอก
2) สั่งสัญญาณของการดำเนินการเชิงตรรกะ "ตามรุ่นพี่":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
ในรายการนี้ เครื่องหมาย ↔ มีมากที่สุด พื้นที่ขนาดใหญ่การกระทำ และเครื่องหมาย ~ จะเล็กที่สุด ขอบเขตของเครื่องหมายปฏิบัติการเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นส่วนของสูตรตรรกะเชิงประพจน์ซึ่งพิจารณาการเกิดขึ้นของเครื่องหมายนี้ (ซึ่งทำหน้าที่) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะละเว้นในสูตรใด ๆ ของวงเล็บคู่เหล่านั้นที่สามารถเรียกคืนได้โดยคำนึงถึง "ลำดับความสำคัญ" และเมื่อทำการคืนค่าเครื่องหมายวงเล็บ อันดับแรก วงเล็บทั้งหมดจะถูกวางไว้ที่อ้างถึงการเกิดขึ้นทั้งหมดของเครื่องหมาย ~ (ในกรณีนี้ เราจะย้ายจากซ้ายไปขวา) จากนั้นจึงใส่เครื่องหมาย ∧ ที่เกิดขึ้นทั้งหมด และอื่นๆ
ตัวอย่างที่ 8คืนค่าวงเล็บในสูตรตรรกะเชิงประพจน์ บี ↔ ~ ค ∨ ดี ∧ อา .
วิธีการแก้. วงเล็บถูกเรียกคืนทีละขั้นตอนดังนี้:
บี ↔ (~ ค) ∨ ดี ∧ อา
บี ↔ (~ ค) ∨ (ดี ∧ อา)
บี ↔ ((~ ค) ∨ (ดี ∧ อา))
(บี ↔ ((~ ค) ∨ (ดี ∧ อา)))
ไม่ใช่ทุกสูตรตรรกะเชิงประพจน์สามารถเขียนได้โดยไม่มีวงเล็บ เช่น ในสูตร แต่ → (บี → ค) และ ~( อา → บี) ไม่สามารถลบวงเล็บเพิ่มเติมได้
ซ้ำซากและความขัดแย้ง
ซ้ำซากเชิงตรรกะ (หรือเพียงซ้ำซาก) เป็นสูตรของตรรกะเชิงประพจน์ที่หากตัวอักษรถูกแทนที่โดยพลการด้วยข้อเสนอ (จริงหรือเท็จ) ผลลัพธ์จะเป็นข้อเสนอที่แท้จริงเสมอ
เนื่องจากความจริงหรือความเท็จของข้อความที่ซับซ้อนขึ้นอยู่กับความหมายเท่านั้น ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเนื้อหาของข้อความ ซึ่งแต่ละข้อความสอดคล้องกับจดหมายฉบับหนึ่ง ดังนั้นการทดสอบว่าข้อความที่กำหนดนั้นเป็นคำซ้ำซากหรือไม่ สามารถใช้แทนกันได้ ด้วยวิธีต่อไปนี้. ในนิพจน์ภายใต้การศึกษา ค่า 1 และ 0 (ตามลำดับ "จริง" และ "เท็จ") จะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษรในทุกวิถีทางที่เป็นไปได้ และการใช้การดำเนินการทางตรรกะ ค่าตรรกะของนิพจน์จะถูกคำนวณ หากค่าทั้งหมดเหล่านี้เท่ากับ 1 นิพจน์ภายใต้การศึกษาจะเป็นแบบทวนคำ และหากอย่างน้อยหนึ่งการแทนที่ให้ 0 แสดงว่านี่ไม่ใช่การกล่าวซ้ำซาก
ดังนั้นสูตรตรรกะเชิงประพจน์ที่ใช้ค่า "จริง" สำหรับการแจกแจงค่าของอะตอมที่รวมอยู่ในสูตรนี้จึงเรียกว่า สูตรจริงเหมือนกัน หรือ การพูดซ้ำซาก .
ความหมายตรงกันข้ามคือความขัดแย้งเชิงตรรกะ หากค่าข้อเสนอทั้งหมดเป็น 0 แสดงว่านิพจน์มีความขัดแย้งเชิงตรรกะ
ดังนั้นสูตรตรรกะเชิงประพจน์ที่ใช้ค่า "เท็จ" สำหรับการแจกแจงค่าของอะตอมที่รวมอยู่ในสูตรนี้จึงเรียกว่า สูตรเท็จเหมือนกัน หรือ ความขัดแย้ง .
นอกจาก tautology และความขัดแย้งเชิงตรรกะแล้ว ยังมีสูตรของตรรกะเชิงประพจน์ที่ไม่ซ้ำซากและความขัดแย้งอีกด้วย
ตัวอย่างที่ 9จัดทำตารางความจริงสำหรับสูตรตรรกะเชิงประพจน์และพิจารณาว่ามันเป็นแบบทวนคำ ขัดแย้งกัน หรือไม่
วิธีการแก้. เราทำตารางความจริง:
| และ | และ | และ | และ | และ |
| และ | หลี่ | หลี่ | หลี่ | และ |
| หลี่ | และ | หลี่ | และ | และ |
| หลี่ | หลี่ | หลี่ | หลี่ | และ |
ในความหมายของความหมายนั้น เราไม่พบบรรทัดที่ "จริง" หมายถึง "เท็จ" ค่าทั้งหมดของข้อความเดิมมีค่าเท่ากับ "จริง" ดังนั้น สูตรตรรกะเชิงประพจน์นี้จึงเป็นการกล่าวซ้ำซาก