Priama a nepriama úmernosť. Priame a nepriamo úmerné závislosti

I. Priamo úmerné hodnoty.

Nechajte hodnotu r závisí od hodnoty X... Ak pri zvyšovaní X niekoľkonásobne väčšie pri zvyšuje o rovnaký faktor, potom také hodnoty X a pri sa nazývajú priamo úmerné.

Príklady.

1 ... Množstvo zakúpeného tovaru a náklady na nákup (pri pevnej cene jednej jednotky tovaru - 1 kus alebo 1 kg atď.) Koľkokrát viac tovaru sa nakúpilo, koľkokrát viac zaplatilo.

2 ... Prejdená vzdialenosť a čas strávený na nej (napr konštantná rýchlosť).Koľko krát dlhšia cesta, strávime toľkokrát viac času, aby sme to prešli.

3 ... Objem telesa a jeho hmotnosť. ( Ak je jeden melón 2-krát väčší ako druhý, jeho hmotnosť bude 2-krát väčšia)

II. Vlastnosť priamej úmernosti hodnôt.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľných hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.

Cieľ 1 Pre malinový džem zobral 12 kg maliny a 8 kg Sahara. Koľko cukru je potrebné, ak sa vezme 9 kg maliny?

Riešenie.

Uvažujeme takto: nech sa to vyžaduje x kg cukor na 9 kg maliny. Hmotnosť malín a hmotnosť cukru sú priamo úmerné hodnoty: koľkokrát menej ako maliny, toľkokrát menej cukru je potrebných. Preto pomer prijatých (hmotnostných) malín ( 12:9 ) sa bude rovnať pomeru prijatého cukru ( 8: x). Dostaneme pomer:

12: 9=8: X;

x = 9 · 8: 12;

x = 6. odpoveď: na 9 kg maliny treba brať 6 kg Sahara.

Riešenie problému mohlo to byť usporiadané takto:

Nechaj tak 9 kg maliny treba brať x kg Sahara.

(Šípky na obrázku sú nasmerované jedným smerom, ale nahor alebo nadol nezáleží. Význam: koľkokrát číslo 12 viac čísel 9 , rovnaký počet krát 8 viac čísel X, t.j. existuje priamy vzťah).

odpoveď: na 9 kg maliny treba brať 6 kg Sahara.

Cieľ 2 Auto pre 3 hodiny prešiel vzdialenosť 264 km... Ako dlho to trvá 440 km ak jazdí rovnakou rýchlosťou?

Riešenie.

Nechajte pre x hodín auto prejde vzdialenosť 440 km.

odpoveď: auto prejde 440 km za 5 hodín.

Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné, ak pri viacnásobnom zvýšení jedného z nich sa o rovnakú sumu zvýši aj druhý. Preto, keď sa jeden z nich niekoľkokrát zníži, druhý sa zníži o rovnakú hodnotu.

Vzťah medzi týmito hodnotami je priamo úmerný. Príklady priamej úmernej závislosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné hodnoty;

3) náklady na výrobok zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.

Na rozlíšenie priamej úmernej závislosti od inverznej môžete použiť príslovie: "Čím ďalej do lesa, tým viac palivového dreva."

Úlohy s priamo úmernými veličinami je vhodné riešiť pomocou pomeru.

1) Na výrobu 10 dielov potrebujete 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa spotrebuje na výrobu 12 týchto dielov?

(Uvažujeme takto:

1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od viac na menej.

2. Čím viac častí, tým viac kovu je potrebné na ich výrobu. To znamená, že ide o priamo úmerný vzťah.

Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Urobíme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):

12:10 = x: 3,5

Na nájdenie je potrebné rozdeliť súčin extrémnych členov známym stredným členom:

To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky sa zaplatilo 1 680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?

(1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím menej látok sa kupuje, tým menej za ne musíte platiť. To znamená, že ide o priamo úmerný vzťah.

3. Preto je druhá šípka v rovnakom smere ako prvá).

Nech stojí x rubľov 12 metrov látky. Urobíme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15:12 = 1680: x

Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, vydelíme súčin stredných členov známym extrémnym členom podielu:

To znamená, že 12 metrov stojí 1 344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.

Dnes zvážime, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá inverzne úmerný graf a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.

Také rozdielne proporcie

Proporcionalita volajte dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

Závislosť môže byť priama a inverzná. Následne je vzťah medzi veličinami opísaný priamkou a obrátenej úmernosti.

Priama úmernosť- ide o takú závislosť dvoch veličín, pri ktorej zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.

Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie bude vaše hodnotenie. Alebo čím viac vecí si so sebou na túru beriete, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.

Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej veličiny (tzv. argument) spôsobí úmerné (t.j. rovnako dlho) zvýšenie alebo zníženie závislej veličiny (nazývanej funkcia).

Poďme na ilustráciu jednoduchý príklad... Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. čím viac jabĺk kúpiš, tým menej peňazí ti zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x... V ktorom X≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1. Jeho doménou je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; + ∞).
2. Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E (y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nemá najvyššie a najnižšie hodnoty.
4. Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
5. Neperiodické.
6. Jeho graf nepretína súradnicové osi.
7. Nemá žiadne nuly.
8. Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne v každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ako argument ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné - (0; + ∞). Ako argument ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Aby to bolo jasnejšie, rozoberme si niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.

Problém číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať rýchlosťou 2-krát vyššou?

Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S / V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú v nepriamej úmere.

Aby sme si to overili, nájdime V 2, ktorý je 2-krát vyšší podľa podmienok: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz je celkom jednoduché zistiť čas t 2, ktorý od nás požadujeme podľa zadania problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou oproti originálu auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj vo forme proporcií. Prečo najprv zostavme nasledujúcu schému:

↓ 60 km/h - 6 h

↓ 120 km/h - x h

Šípky označujú nepriamo úmerné vzťahy. A navrhujú to aj pri skladaní pomeru pravá strana záznamy musia byť otočené: 60/120 = x / 6. Odkiaľ dostaneme x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Problém číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým tí, ktorí zostanú, urobia rovnaké množstvo práce?

Zapíšme si podmienky problému vo forme vizuálneho diagramu:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci - x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x / 4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak sa počet pracovníkov zníži 2-krát, zvyšok strávi 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

Problém číslo 3. Do bazéna vedú dve potrubia. Cez jedno potrubie preteká voda rýchlosťou 2 l/sa naplní bazén za 45 minút. Ďalšie potrubie naplní bazén za 75 minút. Akou rýchlosťou vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?

Na začiatok nám prinesme všetky údaje podľa stavu problému hodnoty na rovnaké merné jednotky. K tomu vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Inverzná úmernosť je evidentná. Neznámu rýchlosť vyjadríme pomocou x a zostavíme nasledujúcu schému:

↓ 120 l / min - 45 min

↓ x l / min - 75 min

A potom urobíme pomer: 120 / x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, odpoveď, ktorú sme dostali, prinesieme do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.

Problém číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Keby pracoval rýchlejšie a za hodinu vytlačil 48 vizitiek, ako skoro by mohol ísť domov?

Postupujeme osvedčenou cestou a zostavíme diagram podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 kariet / h - 8 h

↓ 48 kariet / h - x h

Máme pred sebou nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času bude potrebovať na dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, urobme pomer:

42/48 = x / 8, x = 42 * 8/48 = 7 h.

Po dokončení práce za 7 hodín by teda zamestnanec tlačiarne mohol ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Zdá sa nám, že tieto problémy s inverznou proporcionalitou sú skutočne jednoduché. Dúfame, že ich takto teraz vidíte aj vy. A hlavné je, že poznatky o nepriamom úmernom vzťahu veličín sa vám naozaj môžu hodiť viackrát.

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamoúmernej závislosti si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok v sociálnych sieťach aby sa mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.

blog. s úplným alebo čiastočným skopírovaním materiálu, vyžaduje sa odkaz na zdroj.

Proporcionalita je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zmena jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu.

Proporcionalita je priama a inverzná. V tomto návode sa budeme zaoberať každým z nich.

Obsah lekcie

Priama úmernosť

Predpokladajme, že auto ide rýchlosťou 50 km/h. Pamätáme si, že rýchlosť je vzdialenosť prejdená za jednotku času (1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda). V našom príklade sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km / h, to znamená, že za hodinu prejde vzdialenosť rovnajúcu sa päťdesiatim kilometrom.

Znázornime na obrázku vzdialenosť prejdenú autom za 1 hodinu

Nechajte auto jazdiť ďalšiu hodinu rovnakou rýchlosťou rovnajúcou sa päťdesiat kilometrov za hodinu. Potom sa ukáže, že auto prejde 100 km

Ako vidíte na príklade, zdvojnásobenie času viedlo k zvýšeniu prejdenej vzdialenosti o rovnakú hodnotu, teda dvojnásobne.

Veličiny ako čas a vzdialenosť sa nazývajú priamo úmerné. A vzťah medzi takýmito veličinami je tzv priama úmernosť.

Priama úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zvýšenie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zníži o rovnaké číslo.

Predpokladajme, že pôvodne sa plánovalo prejsť 100 km za 2 hodiny, no po prejdení 50 km sa vodič rozhodol dať si prestávku. Potom sa ukáže, že znížením vzdialenosti na polovicu sa čas zníži o rovnakú hodnotu. Inými slovami, zníženie prejdenej vzdialenosti povedie k zníženiu času o rovnakú hodnotu.

Zaujímavosťou priamoúmerných veličín je, že ich pomer je vždy konštantný. To znamená, že keď sa hodnoty priamo úmerných veličín zmenia, ich pomer zostane nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť pôvodne 50 km a čas bol jednu hodinu. Pomer vzdialenosti k času je 50.

Čas cesty sme však predĺžili 2-krát, čím sme dosiahli dve hodiny. V dôsledku toho sa prejdená vzdialenosť zvýšila o rovnakú hodnotu, to znamená, že sa rovnala 100 km. Pomer sto kilometrov k dvom hodinám je opäť číslo 50

Volá sa číslo 50 koeficient priamej úmernosti... Ukazuje, aká vzdialenosť pripadá za hodinu pohybu. V tomto prípade koeficient zohráva úlohu rýchlosti pohybu, pretože rýchlosť je pomer prejdenej vzdialenosti k času.

Proporcie môžu byť vyrobené z priamo úmerných množstiev. Napríklad vzťahy sú proporcionálne:

Päťdesiat kilometrov súvisí s jednou hodinou, ako sto kilometrov súvisí s dvomi hodinami.

Príklad 2... Cena a množstvo nakupovaného tovaru sú priamo úmerné. Ak 1 kg sladkostí stojí 30 rubľov, potom 2 kg rovnakých sladkostí bude stáť 60 rubľov, 3 kg - 90 rubľov. S nárastom hodnoty nakupovaného produktu sa o rovnakú sumu zvyšuje aj jeho množstvo.

Keďže hodnota tovaru a jeho množstvo sú priamo úmerné, ich pomer je vždy konštantný.

Napíšme si, aký je pomer tridsať rubľov k jednému kilogramu

Teraz si napíšme, aký je pomer šesťdesiat rubľov k dvom kilogramom. Tento pomer sa bude opäť rovnať tridsiatim:

Tu je koeficient priamej úmernosti číslo 30. Tento koeficient ukazuje, koľko rubľov na kilogram sladkostí. V tento príklad koeficient zohráva úlohu ceny jedného kilogramu produktu, keďže cena je pomer hodnoty produktu k jeho množstvu.

Obrátený pomer

Zvážte nasledujúci príklad. Vzdialenosť medzi oboma mestami je 80 km. Motocyklista opustil prvé mesto a do druhého mesta sa dostal rýchlosťou 20 km/h za 4 hodiny.

Ak bola rýchlosť motocyklistu 20 km / h, znamená to, že každú hodinu prešiel vzdialenosť rovnajúcu sa dvadsiatim kilometrom. Znázornime na obrázku vzdialenosť, ktorú prejde motocyklista a čas jeho pohybu:

Cestou späť bola rýchlosť motocyklistu 40 km / h a na rovnakej ceste strávil 2 hodiny.

Je ľahké vidieť, že pri zmene rýchlosti sa o rovnakú hodnotu zmenil čas jazdy. Navyše sa zmenilo v opačnom smere - teda rýchlosť sa zvýšila, ale čas sa naopak znížil.

Veličiny ako rýchlosť a čas sa nazývajú nepriamo úmerné. A vzťah medzi takýmito veličinami je tzv obrátenej úmernosti.

Inverzná úmernosť je vzťah medzi dvoma hodnotami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zníženie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zvýši o rovnaké číslo.

Napríklad, ak by na ceste späť bola rýchlosť motocyklistu 10 km / h, potom by rovnakých 80 km prešiel za 8 hodín:

Ako vidíte na príklade, zníženie rýchlosti viedlo k zvýšeniu času jazdy o rovnakú hodnotu.

Zvláštnosťou inverzných pomerov je, že ich súčin je vždy konštantný. To znamená, že keď sa hodnoty nepriamo úmerných veličín zmenia, ich súčin zostáva nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť medzi mestami 80 km. Pri zmene rýchlosti a času pohybu motocyklistu zostala táto vzdialenosť vždy nezmenená.

Motocyklista mohol prejsť túto vzdialenosť rýchlosťou 20 km/h za 4 hodiny a rýchlosťou 40 km/h za 2 hodiny a rýchlosťou 10 km/h za 8 hodín. Vo všetkých prípadoch sa súčin rýchlosti a času rovnal 80 km

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách