Vladimír 2002
Štátna univerzita Vladimíra, Katedra všeobecnej a aplikovanej fyziky
Úvod
Symbol integrálu sa zaviedol od roku 1675 a problematikou integrálneho počtu sa zaoberá od roku 1696. Hoci integrál skúmajú najmä matematici, k tejto vede prispeli aj fyzici. Takmer žiadny vzorec fyziky nie je úplný bez diferenciálneho a integrálneho počtu. Preto som sa rozhodol preskúmať integrál a jeho aplikáciu.
História integrálneho počtu
História pojmu integrál je úzko spätá s problémami hľadania kvadratúr. Matematici starovekého Grécka a Ríma nazvali úlohy kvadratúry jedného alebo druhého plochého čísla ako úlohy na výpočet plôch. Latinské slovo quadratura sa prekladá ako „kvadratúra“. Potreba špeciálneho termínu sa vysvetľuje tým, že v staroveku (a neskôr až do 18. storočia) ešte neboli dostatočne rozvinuté predstavy o reálnych číslach. Matematici operovali so svojimi geometrickými náprotivkami, čiže skalármi, ktoré sa nedajú znásobiť. Preto úlohy na hľadanie oblastí museli byť formulované napríklad takto: „Zostroj štvorec, ktorý sa veľkosťou rovná danej kružnici.“ (Tento klasický problém „vyrovnania kružnice“ nemožno, ako je dobre známe, vyriešiť pomocou kružidla a pravítka.)
Symbol ò zaviedol Leibniz (1675). Tento znak je zmenou latinského písmena S (prvé písmeno slova summ a). Samotné slovo integrál vymyslel J. Bernulli (1690). Pravdepodobne pochádza z latinského integro, čo v preklade znamená privedenie do predchádzajúceho stavu, obnova. (Operácia integrácie skutočne „obnovuje“ funkciu, ktorej deriváciou vznikne integrand.) Pôvod pojmu integrál je možno iný: slovo celé číslo znamená celok.
Počas korešpondencie I. Bernoulli a G. Leibniz súhlasili s návrhom J. Bernoulliho. Potom sa v roku 1696 objavil názov nového odvetvia matematiky - integrálny počet (calculus integrationis), ktorý zaviedol I. Bernoulli.
Ďalšie známe pojmy súvisiace s integrálnym počtom sa objavili oveľa neskôr. V súčasnosti používaný názov primitívna funkcia nahradil skoršiu „primitívnu funkciu“, ktorú zaviedol Lagrange (1797). Latinské slovo primitivus sa prekladá ako „počiatočné“: F(x) = ò f(x)dx – iniciála (alebo iniciálka, alebo primitíva) pre f (x), ktorá sa získa z F(x) diferenciáciou.
V modernej literatúre sa množina všetkých primitív k funkcii f(x) nazýva aj neurčitý integrál. Tento koncept vyzdvihol Leibniz, ktorý si všimol, že všetky primitívne funkcie sa líšia ľubovoľnou konštantou. b
sa nazýva určitý integrál (označenie zaviedol K. Fourier (1768-1830), ale už Euler naznačil hranice integrácie).
Mnoho významných úspechov matematikov starovekého Grécka pri riešení problémov hľadania kvadratúr (t. j. výpočtov plôch) plochých figúrok, ako aj kubatúr (výpočet objemov) telies, súvisí s použitím metódy vyčerpania, ktorú navrhol Eudoxus z Cnidus. (asi 408 - asi 355 pred Kr.). .e.). Pomocou tejto metódy Eudoxus napríklad dokázal, že plochy dvoch kruhov súvisia ako druhé mocniny ich priemerov a že objem kužeľa sa rovná 1/3 objemu valca s rovnakou základňou a výškou. .
Eudoxovu metódu zdokonalil Archimedes. Hlavné fázy charakterizujúce metódu Archimedes: 1) je dokázané, že plocha kruhu je menšia ako plocha akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka opísaného okolo neho, ale väčšia ako plocha akéhokoľvek vpísaného; 2) je dokázané, že pri neobmedzenom zdvojnásobovaní počtu strán sa rozdiel v plochách týchto mnohouholníkov blíži k nule; 3) na výpočet plochy kruhu zostáva nájsť hodnotu, ku ktorej smeruje pomer plochy pravidelného mnohouholníka s neobmedzeným zdvojnásobením počtu jeho strán.
Pomocou metódy vyčerpania a množstva ďalších dômyselných úvah (vrátane tých, ktoré zahŕňali modely mechaniky) Archimedes vyriešil mnohé problémy. Uviedol odhad pre p (3,10/71
Archimedes predpokladal mnoho myšlienok integrálneho počtu. (Dodajme, že v praxi dokázal aj prvé limitné vety.) Trvalo však viac ako jeden a pol tisíca rokov, kým tieto myšlienky našli jasné vyjadrenie a dostali sa na úroveň kalkulu.
Matematici 17. storočia, ktorí získali mnoho nových výsledkov, sa poučili z prác Archimedesa. Aktívne sa používala aj iná metóda - metóda nedeliteľných, ktorá tiež pochádza zo starovekého Grécka (spája sa predovšetkým s atomistickými názormi Demokrita). Predstavili si napríklad krivočiary lichobežník (obr. 1, a) zložený zo zvislých segmentov dĺžky f (x), ktorému však pripísali plochu rovnajúcu sa nekonečne malej hodnote f (x) dx. V súlade s týmto chápaním sa požadovaná plocha považovala za rovnajúcu sa súčtu
nekonečné množstvo nekonečne malých plôch. Niekedy sa dokonca zdôrazňovalo, že jednotlivé členy v tomto súčte sú nuly, ale nuly zvláštneho druhu, ktoré sčítané v nekonečnom počte dávajú presne definovaný kladný súčet.
Na takomto dnes už zdanlivo prinajmenšom pochybnom základe I. Kepler (1571-1630) vo svojich spisoch „Nová astronómia“.
(1609) a „Stereometria vínnych sudov“ (1615) správne vypočítali množstvo plôch (napríklad plocha obrazca ohraničená elipsou) a objemov (telo bolo rozrezané na 6c jemne tenké platne) . V týchto štúdiách pokračovali talianski matematici B. Cavalieri (1598-1647) a E. Torricelli (1608-1647). Princíp formulovaný B. Cavalierim, ktorý zaviedol za určitých dodatočných predpokladov, si zachováva svoj význam aj v našej dobe.
Nech je potrebné nájsť oblasť obrázku znázorneného na obrázku 1,b, kde krivky ohraničujúce obrázok zhora a zdola majú rovnice y = f (x) a y = f (x) + c.
Predstavujúc postavu zloženú z „nedeliteľných“, v Cavalieriho terminológii nekonečne tenkých stĺpikov, všimneme si, že všetky majú spoločnú dĺžku c. Pohybom vo zvislom smere z nich vytvoríme obdĺžnik so základňou b-a a výškou c. Preto sa požadovaná plocha rovná ploche výsledného obdĺžnika, t.j.
S \u003d S1 \u003d c (b - a).
Všeobecný Cavalieriho princíp pre oblasti rovinných obrazcov je formulovaný takto: Nech čiary určitého zväzku rovnobežiek pretínajú obrazce F1 a F2 pozdĺž segmentov rovnakej dĺžky (obr. 1, c). Potom sú plochy obrázkov Ф1 a Ф2 rovnaké.
Podobný princíp funguje v stereometrii a je užitočný pri hľadaní objemov.
V 17. storočí bolo urobených veľa objavov súvisiacich s integrálnym počtom. Takže už v roku 1629 P. Fermat problém kvadratúry ľubovoľnej krivky y \u003d xn, kde n je celé číslo (to znamená, že v podstate odvodil vzorec ò xndx \u003d (1 / n + 1) xn + 1) , a na tomto základe sa rozhodlo množstvo úloh na nájdenie ťažísk. I. Kepler sa pri odvodzovaní svojich slávnych zákonov pohybu planét v skutočnosti spoliehal na myšlienku približnej integrácie. I. Barrow (1630-1677), Newtonov učiteľ, sa priblížil k pochopeniu súvislosti medzi integráciou a diferenciáciou. Veľký význam mali práce o reprezentácii funkcií vo forme mocninných radov.
Napriek všetkému významu výsledkov, ktoré získali mnohí mimoriadne vynaliezaví matematici 17. storočia, však kalkul ešte neexistoval. Bolo potrebné zdôrazniť všeobecné myšlienky, ktoré sú základom riešenia mnohých konkrétnych problémov, ako aj vytvoriť spojenie medzi operáciami diferenciácie a integrácie, čo dáva pomerne všeobecný algoritmus. Urobili to Newton a Leibniz, ktorí nezávisle na sebe objavili skutočnosť známu ako Newton-Leibnizov vzorec. Tak sa všeobecná metóda konečne formovala. Stále bolo potrebné naučiť sa nájsť primitívne funkcie mnohých funkcií, dať nový logický počet atď. Ale to hlavné už bolo urobené: bol vytvorený diferenciálny a integrálny počet.
Metódy matematickej analýzy sa aktívne rozvíjali v nasledujúcom storočí (predovšetkým treba spomenúť mená L. Eulera, ktorý dokončil systematické štúdium integrácie elementárnych funkcií, a I. Bernoulliho). Na vývoji integrálneho počtu sa podieľali ruskí matematici M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894). Zásadný význam mali najmä výsledky Čebyševa, ktorý dokázal, že existujú integrály, ktoré sa nedajú vyjadriť elementárnymi funkciami.
Prísny výklad teórie integrálu sa objavil až v minulom storočí. Riešenie tohto problému sa spája s menami O. Cauchyho, jedného z najväčších matematikov, nemeckého vedca B. Riemanna (1826-1866), francúzskeho matematika G. Darbouxa (1842-1917).
Odpovede na mnohé otázky súvisiace s existenciou plôch a objemov obrazcov získal vytvorením teórie miery K. Jordan (1838-1922).
Rôzne zovšeobecnenia pojmu integrál navrhovali už na začiatku nášho storočia francúzski matematici A. Lebesgue (1875 – 1941) a A. Denjoy (1884 – 1974) a sovietsky matematik A. Ya. Khinchinchin (1894). – 1959).
Definícia a vlastnosti integrálu
Ak je F(x) jednou z primitív funkcie f(x) na intervale J, potom primitívna funkcia na tomto intervale má tvar F(x)+C, kde CнR.
Definícia. Množinu všetkých primitív funkcie f(x) na intervale J nazývame určitý integrál funkcie f(x) na tomto intervale a značíme ò f(x)dx.
ò f(x)dx = F(x)+C, kde F(x) je nejaká primitívna derivácia na intervale J.
f je integrand, f(x) je integrand, x je integračná premenná, C je integračná konštanta.
Vlastnosti neurčitého integrálu.
(ò f(x)dx) ¢ = ò f(x)dx,
ò f(x)dx = F(x)+C, kde F ¢(x) = f(x)
(ò f(x)dx) ¢= (F(x)+C) ¢= f(x)
ò f ¢(x)dx = f(x)+C – z definície.
ò k f (x) dx = k ò f¢ (x) dx
ak k je konštanta a F ¢(x)=f(x),
ò k f (x) dx = k F(x) dx = k(F(x)dx+C1)= k ò f¢(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò dx =
= ò ¢dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= ò f(x)dx + ò g(x)dx +...+ ò h(x)dx, kde C=C1+C2+C3+...+Cn.
integrácia
tabuľkovým spôsobom.
Substitučná metóda.
Ak integrand nie je tabuľkový integrál, potom je možné (nie vždy) použiť túto metódu. Na to potrebujete:
rozdeliť integrand na dva faktory;
označte jeden z multiplikátorov novej premennej;
vyjadri druhý faktor z hľadiska novej premennej;
napíšte integrál, nájdite jeho hodnotu a vykonajte spätnú substitúciu.
Poznámka: pre novú premennú je lepšie určiť funkciu, ktorá je spojená so zvyšným výrazom.
1. ò xÖ(3x2–1)dx;
Nech 3x2–1=t (t³0), vezmite deriváciu oboch častí:
ó dt 1 1 ó 1 1 t 2 2 1 ---Ø
ô- t 2 = - ô t 2dt = – --– + C = -Ö 3x2–1 +C
ò sin x cos 3x dx = ò – t3dt = – – + C
Nech cos x = t
Metóda prevodu integrandu na súčet alebo rozdiel:
ò sin 3x cos x dx = 1/2 ò (sin 4x + sin 2x) dx = 1/8 cos 4x – ¼ cos 2x + C
ó x4+3x2+1 ó 1 1
ô---- dx = ô(x2+2 – --–) dx = - x2 + 2x – arctg x + C
õ x2+1 õ x2+1 3
Poznámka: pri riešení tohto príkladu je dobré urobiť polynómy "uhlom".
Po častiach
Ak nie je možné zobrať integrál v danom tvare a zároveň je veľmi ľahké nájsť primitívnu deriváciu jedného faktora a deriváciu druhého, potom môžete použiť vzorec.
(u(x)v(x))^=u^(x)v(x)+u(x)v(x)
u^(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v^(x)
Spájame obe časti
ò u^(x)v(x)dx=ò (u(x)v(x))^dx – ò u(x)v^(x)dx
ò u^(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – ò u(x)v^(x)dx
ò x cos (x) dx = ò x dsin x = x sin x – ò sin x dx = x sin x + cos x + C
Krivočiary lichobežník
Definícia. Útvar ohraničený grafom spojitej znamienkovej konštantnej funkcie f(x), osou x a priamkami x=a, x=b sa nazýva krivočiary lichobežník.
Spôsoby, ako nájsť oblasť krivočiareho lichobežníka
Veta. Ak je f(x) spojitá a nezáporná funkcia na intervale , potom sa plocha zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka rovná prírastku primitívnych prvkov.
Dané: f(x) je spojitá indef. funkcia, xО.
Dokážte: S = F(b) – F(a), kde F(x) je primitívna derivácia f(x).
dôkaz:
Dokážme, že S(a) je primitívna derivácia f(x).
D(f) = D(S)=
S^(x0)= lim(S(x0+Dx) – S(x0) / Dx), pre Dx®0 DS je obdĺžnik
Dx®0 so stranami Dx a f(x0)
S^(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): od r. x0 je bod, potom S(x) je
Dx®0 Dx®0 antiderivát f(x).
Preto podľa vety o všeobecnom tvare primitívnej derivácie platí S(x)=F(x)+C.
Pretože S(a)=0, potom S(a) = F(a)+C
S = S(b)=F(b)+C = F(b)–F(a)
Limita tohto súčtu sa nazýva určitý integrál.
Súčet pod limitom sa nazýva integrálny súčet.
Určitý integrál je limita integrálneho súčtu na segmente ako n®¥. Integrálny súčet sa získa ako limit súčtu súčinov dĺžky úsečky získanej rozdelením definičného oboru funkcie v ľubovoľnom bode tohto intervalu.
a - dolná hranica integrácie;
b - vrchol.
Newtonov-Leibnizov vzorec.
Porovnaním vzorcov pre oblasť krivočiareho lichobežníka sme dospeli k záveru:
ak F je primitívna derivácia b na , potom
ò f(x)dx = F(b)–F(a)
ò f(x)dx = F(x) ô = F(b) – F(a)
Vlastnosti určitého integrálu.
ò f(x)dx = ò f(z)dz
ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0
ò f(x)dx = – ò f(x)dx
ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))
Ak a, b a c sú ľubovoľné body intervalu I, na ktorých má spojitá funkcia f(x) primitívnu funkciu, potom
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx
F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
(toto je aditívna vlastnosť určitého integrálu)
Ak l a m sú konštanty, potom
ò (lf(x) + m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –
je vlastnosť linearity určitého integrálu.
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –
-(F(a) + G(a) +...+ H(a)) + C=
F(b)–F(a)+C1+G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=
= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
Sada štandardných obrázkov
|
|
S=ò f(x)dx + ò g(x)dx |
Aplikácia integrálu
I. Vo fyzike.
Silová práca (A=FScosa, cosa ¹ 1)
Ak na časticu pôsobí sila F, kinetická energia nezostáva konštantná. V tomto prípade podľa
prírastok kinetickej energie častice v čase dt sa rovná skalárnemu súčinu Fds, kde ds je posunutie častice v čase dt. Hodnota
sa nazýva práca vykonaná silou F.
Nech sa bod pohybuje pozdĺž osi OX pôsobením sily, ktorej priemet na os OX je funkciou f(x) (f je spojitá funkcia). Pôsobením sily sa bod posunul z bodu S1(a) do S2(b). Rozdeľme segment na n segmentov rovnakej dĺžky Dx = (b - a)/n. Práca sily sa bude rovnať súčtu práce sily na výsledných segmentoch. Pretože f(x) je spojité, potom pre malé je práca sily na tomto segmente rovná f(a)(x1–a). Podobne na druhom segmente f(x1)(x2–x1), na n-tom segmente - f(xn–1)(b–xn–1). Práca na sa teda rovná:
А » An = f(a)Dx +f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1))
Približná rovnosť sa zmení na presnú pre n®¥
А = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))= ò f(x)dx (podľa definície)
Nechajte pružinu s tuhosťou C a dĺžkou l stlačenú o polovicu svojej dĺžky. Určte hodnotu potenciálnej energie Ep sa rovná práci A vykonanej silou –F (s) pružnosť pružiny pri jej stlačení, potom
Ep = A= – ò (–F(s)) dx
Z kurzu mechaniky je známe, že F(s)= –Cs.
Odtiaľto nájdeme
En= – ò (–Cs)ds = CS2/2 | = C/2 12/4
Odpoveď: Cl2/8.
Súradnice ťažiska
Ťažisko je bod, cez ktorý prechádza výslednica gravitácie pre akékoľvek priestorové usporiadanie telesa.
Nech hmotná homogénna doska o má tvar krivočiareho lichobežníka (x; y |a £ x £ b; 0 £ y £ f (x)) a funkcia y \u003d f (x) je spojitá na , a plocha tohto krivočiareho lichobežníka sa rovná S, potom súradnice stredu Hmotnosť dosky o nájdeme podľa vzorcov:
x0 = (1/S) ò x f(x) dx; y0 = (1/2S) òf2(x) dx;
Stred omše.
Nájdite ťažisko homogénneho polkruhu s polomerom R.
Nakreslite polkruh v súradnicovom systéme OXY.
y = (1/2S) òÖ(R2–x2)dx = (1/pR2) òÖ(R2–x2)dx =
= (1/pR2)(R2x–x3/3)|= 4R/3p
Odpoveď: M(0; 4R/3p)
Cesta prejdená hmotným bodom
Ak sa hmotný bod pohybuje priamočiaro rýchlosťou u=u(t) a za čas T= t2–t1 (t2>t1) prešiel dráhu S, potom
V geometrii
Objem je kvantitatívna charakteristika priestorového telesa. Kocka s hranou 1mm (1di, 1m atď.) sa berie ako jednotka objemu.
Počet kociek jednotkového objemu umiestnených v danom telese je objem telesa.
Axiómy objemu:
Objem je nezáporná hodnota.
Objem telesa sa rovná súčtu objemov telies, ktoré ho tvoria.
Poďme nájsť vzorec na výpočet objemu:
zvoľte os OX v smere umiestnenia tohto telesa;
určiť hranice umiestnenia tela vzhľadom na OX;
Predstavme si pomocnú funkciu S(x), ktorá definuje nasledujúcu korešpondenciu: ku každému x z úsečky priradíme prierezovú plochu daného obrazca rovinou prechádzajúcou daným bodom x kolmo na os OX.
rozdeľme si úsečku na n rovnakých častí a nakreslime cez každý bod delenia rovinu kolmú na os OX, pričom naše telo bude rozdelené na časti. Podľa axiómy
V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
Dx®0, a Sk®Sk+1 a objem časti uzavretej medzi dvoma susednými rovinami sa rovná objemu valca Vц=SonH.
Máme súčet súčinov funkčných hodnôt v bodoch rozdelenia podľa kroku rozdelenia, t.j. integrálna suma. Podľa definície určitého integrálu sa limita tohto súčtu ako n®¥ nazýva integrál a
V= ò S(x)dx, kde S(x) je rez rovinou, ktorá prechádza
b zvolený bod kolmý na os OX.
Ak chcete nájsť požadovaný objem:
jeden). Vyberte si os OX pohodlným spôsobom.
2). Určte hranice umiestnenia tohto telesa vzhľadom na os.
3). Zostrojte rez daného telesa rovinou kolmou na os OX a prechádzajúcou príslušným bodom.
štyri). Vyjadrite pomocou známych veličín funkciu, ktorá vyjadruje plochu daného úseku.
5). Urobte integrál.
6). Po výpočte integrálu nájdite objem.
Objem rotujúcich postáv
Telo získané v dôsledku rotácie plochého útvaru okolo nejakej osi sa nazýva útvar rotácie.
Funkcia S(x) rotujúceho obrazca má kruh.
Ssec(x)=p f 2(x)
Dĺžka oblúka plochej krivky
Nech funkcia y = f(x) má na intervale spojitú deriváciu y^ = f^(x). V tomto prípade dĺžku oblúka l „kúsku“ grafu funkcie y = f(x), xн možno nájsť podľa vzorca
l = ò r(1+f^(x)2)dx
Bibliografia
M.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartburd, „Algebra a matematická analýza“, Moskva, 1993
„Zbierka problémov v matematickej analýze“, Moskva, 1996.
I. V. Savelyev, „Kurz všeobecnej fyziky“, zväzok 1, Moskva, 1982
Na prípravu tejto práce boli použité materiály zo stránky http://referatovbank.ru/.
Riešenie integrálov je ľahká úloha, ale len pre elitu. Tento článok je pre tých, ktorí sa chcú naučiť chápať integrály, ale vedia o nich málo alebo vôbec nič. Integrálna... Prečo je to potrebné? Ako to vypočítať? Čo sú to určité a neurčité integrály? Ak jediné využitie integrálu, ktoré poznáte, je získať niečo užitočné z ťažko dostupných miest pomocou háčika v tvare integrálnej ikony, potom vitajte! Naučte sa riešiť integrály a prečo sa bez toho nezaobídete.
Študujeme pojem „integrálny“
Integrácia bola známa už v starovekom Egypte. Samozrejme, nie v modernej podobe, ale predsa. Odvtedy matematici napísali na túto tému veľké množstvo kníh. Zvlášť odlíšené newton a Leibniz ale podstata veci sa nezmenila. Ako pochopiť integrály od začiatku? V žiadnom prípade! Na pochopenie tejto témy budete stále potrebovať základné znalosti základov matematickej analýzy. Informácie o , ktoré sú potrebné aj na pochopenie integrálov, sú už v našom blogu.
Neurčitý integrál
Dajme si nejakú funkciu f(x) .
Neurčitý integrál funkcie f(x) takáto funkcia sa nazýva F(x) , ktorého derivácia sa rovná funkcii f(x) .
Inými slovami, integrál je reverzná derivácia alebo primitívna derivácia. Mimochodom, o tom, ako čítať v našom článku.
Pre všetky spojité funkcie existuje primitívna derivácia. K primitívnej derivácii sa často pridáva aj konštantné znamienko, pretože deriváty funkcií, ktoré sa líšia konštantou, sa zhodujú. Proces hľadania integrálu sa nazýva integrácia.
Jednoduchý príklad:
Aby sa neustále nepočítali primitívne derivácie elementárnych funkcií, je vhodné ich preniesť do tabuľky a použiť hotové hodnoty.
Kompletná tabuľka integrálov pre študentov
Určitý integrál
Keď sa zaoberáme pojmom integrál, máme do činenia s nekonečne malými veličinami. Integrál pomôže vypočítať plochu postavy, hmotnosť nehomogénneho telesa, dráhu prejdenú pri nerovnomernom pohybe a oveľa viac. Malo by sa pamätať na to, že integrál je súčtom nekonečne veľkého počtu nekonečne malých členov.
Ako príklad si predstavte graf nejakej funkcie. Ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú grafom funkcie?
S pomocou integrálu! Rozložme krivočiary lichobežník, ohraničený súradnicovými osami a grafom funkcie, na nekonečne malé segmenty. Obrázok bude teda rozdelený do tenkých stĺpcov. Súčet plôch stĺpcov bude plocha lichobežníka. Pamätajte však, že takýto výpočet poskytne približný výsledok. Čím sú však segmenty menšie a užšie, tým presnejší bude výpočet. Ak ich zmenšíme do takej miery, že dĺžka bude mať tendenciu k nule, potom bude súčet plôch segmentov smerovať k ploche obrázku. Toto je určitý integrál, ktorý je napísaný takto:
Body a a b sa nazývajú hranice integrácie.
Bari Alibasov a skupina "Integral" Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10 %.
Pravidlá pre výpočet integrálov pre figuríny
Vlastnosti neurčitého integrálu
Ako vyriešiť neurčitý integrál? Tu zvážime vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré budú užitočné pri riešení príkladov.
- Derivácia integrálu sa rovná integrandu:
- Konštantu je možné vybrať pod znakom integrálu:
- Integrál súčtu sa rovná súčtu integrálov. Platí to aj pre rozdiel:
Vlastnosti určitého integrálu
- Linearita:
- Znamienko integrálu sa zmení, ak sa obrátia hranice integrácie:
- O akýkoľvek bodov a, b a S:
Už sme zistili, že určitý integrál je limita súčtu. Ako však získať konkrétnu hodnotu pri riešení príkladu? Na tento účel existuje Newtonov-Leibnizov vzorec:
Príklady riešenia integrálov
Nižšie uvažujeme o niekoľkých príkladoch hľadania neurčitých integrálov. Ponúkame nezávislé pochopenie zložitosti riešenia, a ak niečo nie je jasné, položte otázky v komentároch.
Na upevnenie materiálu si pozrite video o tom, ako sa integrály riešia v praxi. Nezúfajte, ak sa integrál neuvedie okamžite. Obráťte sa na profesionálny študentský servis a akýkoľvek trojitý alebo krivočiary integrál na uzavretom povrchu bude vo vašich silách.
Ministerstvo školstva mesta Gomel
Výkonný výbor
Štátna vzdelávacia inštitúcia
"Gymnázium č. 71 v Gomeli"
Súťažná práca
"Aplikácia diferenciálneho a integrálneho počtu na riešenie fyzikálnych a geometrických problémov v MATLAb"
Umelec: Orekhova Ksenia Ivanovna,
Žiak 9B triedy
Vedúci: Gorsky Sergey Michajlovič,
IT-učiteľ
Štátna vzdelávacia inštitúcia
"Gymnázium č. 71 v Gomeli"
Úvod
1. História integrálneho a diferenciálneho počtu
2. Diferenciál vo fyzike
3. Aplikácie určitého integrálu na riešenie niektorých úloh z mechaniky a fyziky
4. Diferenciálne rovnice
5. Príklady riešenia úloh v matlabe
Zoznam použitých zdrojov
Úvod
Voliteľný predmet "Aplikácia diferenciálneho a integrálneho počtu pri riešení fyzikálnych a geometrických problémov" si kladie za cieľ naštudovať kurz matematickej analýzy na základe praktického pokrytia látky, založenej na využití metód tejto sekcie matematiky na riešenie úloh geometrie resp. fyzika; ako aj implementáciu týchto úloh na počítači (pomocou balíka MATLAB).
Vo výsledku môžeme konštatovať, že takáto objemná, nekonkrétna formulácia témy a účelu voliteľného predmetu umožňuje jeho realizáciu v škole. V školskom kurze algebry a začatej analýzy je kurz "Aplikácia diferenciálneho a integrálneho počtu pri riešení fyzikálnych a geometrických problémov" zameraný na štúdium určitého integrálu.
Miesto témy v školskom kurze matematiky .
Voliteľný predmet "Aplikácia integrálneho počtu pri riešení fyzikálnych a geometrických problémov" prehlbuje učivo z predmetu algebra a rozbor začal v jedenástom ročníku a odhaľuje možnosti praktického upevňovania učiva na témach zaradených do školského predmetu matematiky. Sú to témy "Derivácia funkcie", "Určitý integrál" v algebre a niektoré témy z geometrie a fyziky. V dôsledku toho tento voliteľný predmet implementuje interdisciplinárne prepojenie algebry a matematickej analýzy s geometriou, informatikou a fyzikou.
Rozvíjanie správnych predstáv študentov o povahe algebrickej reflexie hlavných prvkov v geometrii a fyzike, o úlohe matematického modelovania vo vedeckom poznaní uľahčuje ich oboznámenie sa s riešením a vizualizáciou rôznych matematických problémov na počítači. Prezentácia voliteľného predmetu je založená na hlavných črtách verzie 6.1 matematického a inžinierskeho výpočtového balíka MATLAB, ktorý sa v súčasnosti stal štandardným nástrojom na podporu štúdia vyššej matematiky, numerickej analýzy a iných vzdelávacích kurzov na mnohých univerzitách. Študenti sú oboznámení s hlavnými vlastnosťami numerických a symbolických výpočtov, programovania a vizualizácie výsledkov, ktoré poskytuje jadro systému MATLAB a jeho nadstavbový balík SymbolicMathToolbox.
Základné pojmy voliteľného predmetu: určitý integrál, dĺžka krivky, plocha, rotačná plocha, valcová plocha, objem telesa atď.
Ciele výberového predmetu.
1. Vzdelávacie: uskutočniť praktickú konsolidáciu na tému „Určitý integrál“, oboznámiť študentov s balíkom matematických a inžinierskych výpočtov MATLAB 6.1, ukázať implementáciu interdisciplinárneho prepojenia matematickej analýzy s geometriou, informatikou a fyzikou.
2. Pedagógovia: vytváranie podmienok pre úspešné profesijné sebaurčenie študentov pri riešení náročných problémov pomocou počítača, výchovou svetonázoru a množstva osobnostných vlastností, prostredníctvom hĺbkového štúdia matematiky.
3. Vývoj: rozširovanie obzorov žiakov, rozvíjanie matematického myslenia, formovanie aktívneho kognitívneho záujmu o predmet, rozvíjanie odborných záujmov žiakov, rozvíjanie zručností pre samostatnú a bádateľskú činnosť, rozvíjanie reflexie žiakov (uvedomenie si svojich sklonov a schopností potrebných pre budúcu odbornú činnosť) .
Program:
Stavba astroidu
t=-2*pi:pi/20:2*pi;
h = 300; číslo("Jednotky","Pixely","pozícia",
xlabel("x"); ylabel("y");
os ([-3, 3, -3, 3]);
% Rotačná plocha
t=-2*pi:pi/20:2*pi;
meshgrid(t,v);
set(hFigure, "Farba",);
set(hAxes, "Farba",);
xlabel("x"); ylabel("y"); zlabel("z");
hPlot=plot(X,Y);
set(hPlot,"LineWidth",5)
set(hPlot, "Farba")
Úloha 5. Zostrojte Bernoulliho lemniskát v polárnych súradniciach: 
.
Program:
pre p=0:pi/60:2*pi
ak 2*a^2*cos(2*p)>=0
set(hFigure, "Farba",);
hP=polárny(phi,r);
set(hP,"LineWidth",2);
Výsledok (obr. 17):
Úloha 6. Pomocou numerických a symbolických výpočtov v programe MATLAB nájdite: a) určitý integrál; b) dvojitý integrál; c) plošný integrál (prvého druhu).
a) Klasickým problémom numerickej analýzy je problém výpočtu určitých integrálov. Zo všetkých metód na výpočet určitých integrálov je lichobežníková metóda najjednoduchšia, ale zároveň celkom úspešne používaná. MATLAB poskytuje pre túto metódu funkciu: trapz(x,y) (príkaz edit trapz umožňuje zobraziť text tejto funkcie). Jednorozmerné pole x (vektor) obsahuje diskrétne hodnoty argumentov integrandu. Hodnoty integrandu v týchto bodoch sú sústredené v jednorozmernom poli y. Najčastejšie sa na integráciu vyberá jednotná mriežka, to znamená, že hodnoty prvkov poľa x sú navzájom oddelené rovnakou hodnotou - integračným krokom. Presnosť výpočtu integrálu závisí od hodnoty integračného kroku: čím menší je tento krok, tým väčšia je presnosť.
Úloha 7. Vypočítajte integrál pomocou lichobežníkovej metódy s rôznymi integračnými krokmi (ak chcete dodržať 14 desatinných miest za desatinnou čiarkou, musíte najprv zadať a vykonať príkaz formatlong).
Program: Výsledok:
function=trap(dx)
y=sin(x).*exp(-x);
t=pasce(x,y); >> formát dlhý
ans = 0,42255394026468
>> pasca (0,1)
ans = 0,50144886299125
>> pasca (0,01)
ans = 0,50226667654901
>> pasca(0,001)
ans = 0,50227485744814
Lichobežníková metóda je veľmi všestranná metóda a je vhodná na integráciu funkcií, ktoré nie sú príliš hladké. Ak je funkcia pod znamienkom integrálu hladká (existuje niekoľko prvých derivácií a sú spojité), potom je lepšie použiť integračné metódy vyšších rádov presnosti. Pri rovnakom integračnom kroku dosahujú metódy vyšších rádov presnosti presnejšie výsledky.
V systéme MATLAB sú integračné metódy vyšších rádov presnosti implementované funkciami quad (Simpsonova metóda) a quad8 (Newton-Cotesova metóda 8. rádu presnosti). Obidve tieto metódy sú tiež adaptívny. To znamená, že používateľ nemusí kontrolovať dosiahnutú presnosť výsledku porovnávaním po sebe nasledujúcich hodnôt zodpovedajúcich rôznym integračným krokom. Všetky tieto funkcie vykonávajú tieto funkcie nezávisle.
Funkcia quad8 má vyššiu presnosť v porovnaní s funkciou quad, čo je veľmi dobré pre plynulé funkcie, pretože poskytuje vyššiu presnosť výsledku s väčším integračným krokom (menej zrážok). Funkcia quad však nemôže mať o nič menší, ale o to väčší výkon pre funkcie, ktoré nie sú príliš plynulé (druhá alebo tretia derivácia sú nespojité alebo veľké v absolútnej hodnote). V každom prípade obe tieto funkcie štandardne poskytujú rovnakú relatívnu presnosť 0,001.
Rovnako ako mnohé iné funkcie systému MATLAB, funkcie quad a quad8 môžu mať rôzny počet parametrov. Minimálny formát na volanie týchto funkcií obsahuje tri parametre: názov integrandu, dolnú hranicu integrácie a hornú hranicu integrácie. Ak sa použije štvrtý parameter, potom je to požadovaná relatívna presnosť výsledku výpočtu. Mimochodom, ak obe tieto adaptívne funkcie nedokážu poskytnúť požadovanú presnosť (divergentné alebo blízke tomuto integrálu), potom vrátia symbolické nekonečno Inf.
Na výpočet určitých integrálov symbolickými metódami možno použiť dve riešenia: priamo alebo po etapách (s náhradou symbolických čísel).
Úloha 8. Vypočítajte určitý integrál.
Program: Výsledok:
a1=sym("0"); b1=sym("2");
% 1 spôsob: práca so substitúciou symbolických čísel
symbol=int(w,"t",a,b)
symbol2a=subs(symbol,,)
číslo=vpa(symbol2a)
% 2 spôsob: práca so symbolickými číslami
symbol2b=int(w,"t",a1,b1) symbol =
2.6666666666666666667
Úloha 9. Vypočítajte plochu získanú rotáciou astroidu okolo osi Vôl
: 
. (povrch vykreslený v úlohe 2) .
Program: Výsledok:
t1=sym("0"); t2=sym("pi/2"); a=sym("1");
x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;
f=y.*sqrt(rozdiel(x)^2+rozdiel(y)^2);
symbol=simplify(int(4*pi*f,"t",t1,t2))
číslo=vpa(symbol) symbol =
b) Dvojné integrály sú redukované na výpočet iterovaných určitých integrálov, z ktorých jeden je vnútorný a druhý vonkajší. Vnútorný integrál je integrand pre vonkajší integrál. Pre numerické výpočty by bolo možné napísať nejaký reťazec výpočtov, v ktorom by sa viacnásobné výpočty integrandu zredukovali na viacnásobné volania funkcie quad. Nemusíte to však robiť sami, pretože MATLAB má na to špeciálnu funkciu dblquad.
Úloha 8. Vypočítajte integrál 
, kde .
Program:
výsledok:
funkcia z=fof(x,y)
z=x.*sin(y)+y.*sin(x); >> formát dlhý
>> dblquad("fof",0,1,1,2)
1.16777110966887
Úloha 9. Pomocou symbolických výpočtov získajte nasledujúce integrály 
, 
, 
, 
, 
, kde .
Program:
z=sym("x*sin(y)+y*sin(x)");
i2=int(z,"x",0,1)
i3=int(int(z,"x"),"y")
i4=int(int(z,"x",1,2),"y",0,1)
i5=int(int(x+y,"y",x,1),"x",0,1) i1 =
1/2*x^2*sin(y)-y*cos(x)
1/2*sin(y)-y*cos(1)+y
1/2*x^2*cos(y)-1/2*y^2*cos(x)
1/2*cos(2)-cos(1)+3/2
Keďže symbolické výpočty nedávajú chybu v metóde výpočtu a sú samy osebe presnejšie, je vidieť, že funkcia dblquad dáva presný výsledok až na 7 desatinných miest.
c) Z vyššej matematiky je známe, že mnohé iné typy integrálov možno redukovať na určité a dvojité integrály, napríklad na plošný integrál prvého druhu. Keďže pri jeho nájdení sa používa diferenciácia pod znamienkom integrálu, je nesprávne používať numerické výpočty.
Úloha 10. Vypočítajte plošný integrál 1. druhu: , kde S je časť roviny ležiaca v prvom oktante (podľa vety 2).
Program: Výsledok:
fun=subs(f2,z,f1)
d=1+diff(f1,x)^2+diff(f1,y)^2
syms x1 x2 y1 y2
intpov1=int(int(zábava*sqrt(d),"y",y1,y2),,"x",x1,x2)
číslo=vpa(intpov1) zábava =
Úloha 11. Vypočítajte plošný integrál 1. druhu 
, kde S- guľa 
(podľa vety 3).
Najprv vytvorte funkciu, ktorá popisuje povrch, na ktorom prebieha integrácia:
function=pov;
syms x y z u v a
x=a*sin(u)*cos(v);
y=a*sin(u)*sin(v);
Program:
syms x y z u v a
f=sym("x^2+y^2");
E=diff(x0,"u")^2+diff(y0,"u")^2+diff(z0,"u")^2;
G=diff(x0,"v")^2+diff(y0,"v")^2+diff(z0,"v")^2;
F=diff(x0,"u")*diff(x0,"v")+diff(y0,"u")*
diff(y0,"v")+diff(z0,"u")*diff(z0,"v");
W=sqrt(E*G-F^2); f2=W*subs(f,,);
syms u1 u2 v1 v2
intpov=p*int(int(f2,"v",v1,v2),"u",u1,u2)
intpov2=simplify(intpov)
číslo=vpa(intpov2)
int=subs(intpov2,a,b) intpov =
4/3*a^2*pi*(a^4)^(1/2)*4^(1/2)
8/3*a^4*pi*csgn(a^2)
8,377580412*a^4*csgn(a^2)
Poznámka. Funkcia csgn je špecifická pre MATLAB. Nemôže byť zadaný užívateľom a vyskytuje sa iba pri práci s funkciou simplify (zjednodušenie symbolických výrazov). Napríklad:
>> syms a t
>> t=csgn(a^2)*a^2
Nedefinovaná funkcia alebo premenná „csgn“.
>>simplify((a^4)^(1/2))
>>simplify((a^8)^(1/4))
>>simplify((a^9)^(1/3))
1. Anufriev, I.E. MatLab 5.3/6.x Tutorial / I.E. Anufriev. - Petrohrad: BHV-Petersburg, 2002. - 736 s.
2. Berman, G.N. Zbierka úloh o priebehu matematickej analýzy / G.N. Berman, I.G. Aramanovič, A.F. Bermant a ďalší - M.: Nauka, 1966. - 456 s.
3. Bermant, A.F. Krátky kurz matematickej analýzy pre technické vysoké školy / A.F. Bermant, I.G. Aramanovič. - M.: Nauka, 1966. - 736 s.
4. Gultyaev, A. Vizuálne modelovanie v prostredí MatLab / A. Gultyaev. - Petrohrad: Peter, 2001. - 553 s.
5. Demidovič, B.P. Úlohy a cvičenia z matematickej analýzy pre vysoké školy / B.P. Demidovič, G.S. Baranenkov, V.A. Efimenko a ďalší - M .: Nauka, 1966. - 472 s.
6. Lazarev, Yu.F. MatLab 5.x / Yu.F. Lazarev. - Kyjev: BHV, 2000. - 388 s.
7. Martynov, N.N. Matlab 5.x: výpočty, vizualizácia, programovanie / N.N. Martynov, A.P. Ivanov. - M.: KUDITS-OBRAZ, 2000. - 336 s.
8. Kurinnoy, G.Ch. Matematika: Príručka / G.Ch. Kura. - Charkov: Folio; Rostov na Done: Phoenix, 1997. - 463 s.
9. Piskunov, N.S. Diferenciálny a integrálny počet pre technické vysoké školy v 2 zväzkoch / N.S. Piskunov. - M.: Nauka, 1966. - 2. diel - 312 s.
10. Fikhtengolts, G.M. Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu v 3 zväzkoch / G.M. Fikhtengolts. - M.: Štátne vydavateľstvo fyzikálnej a matematickej literatúry, 1959. - v. 1-3.
11. Stránky http://www/informika.ru, http://www.softline.ru, http://matlab.ru.
A integrálny počet na riešenie fyzikálnych problémov“ má za cieľ študovať priebeh fyziky na základe matematickej analýzy.
Tento kurz prehlbuje učivo z kurzu algebry a začiatkov analýzy v desiatom a jedenástom ročníku a odhaľuje možnosti praktického upevnenia učiva na témy školského kurzu fyziky. Sú to témy "Mechanika", "Elektrostatika", "Termodynamika" vo fyzike a niektoré témy algebry a začiatkov analýzy. Výsledkom je, že tento voliteľný predmet implementuje interdisciplinárne prepojenie algebry a matematickej analýzy s fyzikou.
Ciele výberového predmetu.
1. Výučba: praktickú konsolidáciu tém "Mechanika", "Elektrostatika", "Termodynamika", na ilustráciu implementácie interdisciplinárneho prepojenia medzi matematickou analýzou a fyzikou.
2. Pedagógovia: vytváranie podmienok pre úspešné profesijné sebaurčenie žiakov riešením zložitých problémov, výchovou svetonázoru a množstva osobnostných vlastností, prostredníctvom hĺbkového štúdia fyziky.
3. Rozvíjanie: rozširovanie obzorov žiakov, rozvíjanie matematického myslenia, formovanie aktívneho kognitívneho záujmu o predmet, rozvíjanie odborných záujmov žiakov, rozvíjanie zručností pre samostatnú a bádateľskú činnosť, rozvíjanie reflexie žiakov (uvedomenie si svojich sklonov a schopností potrebných na budúce profesionálne aktivity).
Príklady riešenia úloh vo fyzike pomocou matematického aparátu.
diferenciálna aplikácia počet na riešenie niektorých úloh mechaniky.
1. Job. Nájdite prácu vykonanú danou silou F pri pohybe pozdĺž segmentu osi X. Ak sila F konštantná, potom práca ALE sa rovná produktu F pre dĺžku cesty. Ak sa sila zmení, potom to možno považovať za funkciu X:F = F(X). pracovný prírastok ALE na segmente [X,X+ dx] nemožno presne vypočítať ako súčin F(X) dx, ako sa sila mení, na tomto segmente. Avšak pri malom dx môžeme predpokladať, že sila sa mierne mení a súčin predstavuje hlavnú časť, t.j. je diferenciálom práce ( dA = = F(X) dx). Sila teda môže byť považovaná za derivát práce posunutia.
2. Nabite. Nechaj q - náboj prenášaný elektrickým prúdom prierezom vodiča v priebehu času t. Ak je sila prúdu / konštantná, potom v čase dt prúd bude niesť náboj rovný IDt. So silou prúdu, ktorá sa mení s časom podľa zákona / \u003d / (/), produktu ja(t) dt dáva hlavnú časť prírastku nabíjania v krátkom časovom intervale [ t, t+- dt], t.j. - je rozdiel poplatkov: dq = ja(t) dt. Preto je sila prúdu deriváciou náboja vzhľadom na čas.
3. Hmotnosť tenkej tyče. Nech existuje nehomogénna tenká tyč. Ak zadáte súradnice podľa obr. 130, potom funkcia t = t (1)- hmotnosť kusu prúta z hrotu O k veci /. Nehomogenita tyče znamená, že jej lineárna hustota nie je konštantná, ale závisí od polohy bodu / podľa nejakého zákona p = p(/). Ak predpokladáme na malom segmente tyče, že hustota je konštantná a rovná sa p(/), potom súčin p(/)d/ dáva hmotnostný diferenciál dm. Lineárna hustota je teda deriváciou hmotnosti vzhľadom na dĺžku.
4. Teplo. Zvážte proces zahrievania látky a vypočítajte množstvo tepla Q{ T), potrebné na zahriatie 1 kg látky z 0°C na T. Závislosť Q= Q(T) veľmi zložité a určené experimentálne. Ak tepelná kapacita S tejto látky nezávisela od teploty, potom produktu cdT by spôsobilo zmenu množstva tepla. Počítanie s malým intervalom [ T, T+ dT] tepelná kapacita je konštantná, získame diferenciál množstva tepla dQ = c(T) dT. Preto je tepelná kapacita deriváciou tepla vzhľadom na teplotu.
5. Pracujte znova. Zvážte prácu ako funkciu času. Poznáme charakteristiku práce, ktorá určuje jej rýchlosť v čase – to je sila. Pri práci s konštantným výkonom N pracovať na čas dt rovná sa Ndt. Tento výraz predstavuje diferenciál práce, t.j. dA = N(t) dt, a moc je odvodením práce s ohľadom na čas.
Všetky uvedené príklady boli postavené podľa jedného a toho istého, ktorý je nám známy z kurzu fyziky: práca, posun, sila; náboj, čas, sila prúdu; hmotnosť, dĺžka, lineárna hustota; Zakaždým, keď jedna z týchto veličín pôsobila ako koeficient úmernosti medzi diferenciálmi ostatných dvoch, t. j. zakaždým vzťah v tvare dy = k(X) dx. Tento pomer možno považovať za spôsob určenia hodnoty k(X). Potom k(X) sa nachádza (alebo je definovaný) ako derivát pri na X. Tento záver sme upevnili v každom príklade. Možné je aj opačné vyjadrenie otázky: ako nájsť závislosť pri od X z daného vzťahu medzi ich diferenciálmi.
Aplikácie určitého integrálu na riešenie niektorých úloh v mechanike.
1. Momenty a ťažiská rovinných kriviek. Ak je oblúk krivky daný rovnicou r= f(X), a≤ X≤ b a má hustotu = (X) , potom statické momenty tohto oblúka Mx a môj vzhľadom na súradnicové osi Vôl a O y sú rovnaké
https://pandia.ru/text/80/201/images/image004_89.gif" width="215" height="101 src="> a súradnice ťažiska a - podľa vzorcov 
kde l- hmotnosť oblúka, t.j.
2. Fyzické problémy. Niektoré aplikácie určitého integrálu pri riešení fyzikálnych problémov sú znázornené nižšie v príkladoch.
Rýchlosť priamočiareho pohybu tela vyjadrené vzorcom (m/s). Nájdite dráhu, ktorú telo prejde za 5 sekúnd od začiatku pohybu.
Keďže dráha, ktorú telo prešlo rýchlosťou ( t) za časové obdobie , je vyjadrené integrálom, potom máme: 
Rovnica mechanického pohybu. Nech hmotný bod hmoty t pohybujúce sa pod vplyvom sily F pozdĺž osi X. Označiť t čas jej pohybu, a- rýchlosť, a- zrýchlenie. druhý Newtonov zákon, am = F má podobu diferenciálnej rovnice, ak napíšeme zrýchlenie, a ako druhý derivát: a= X’’.
Integrálny počet je odvetvie matematickej analýzy, ktoré študuje integrály, ich vlastnosti, metódy výpočtu a aplikácie. Spolu s diferenciálnym počtom tvorí základ aparátu matematickej analýzy.
Dátumy výskytu niektorých matematických znakov
|
Význam |
Pri zadaní znamenia rok |
||
|
Objektové znaky |
|||
|
nekonečno |
J. Wallis |
||
|
pomer obvodu k priemeru |
|||
|
druhá odmocnina z |
|||
|
neznáme alebo premenné |
R. Descartes |
||
|
Prevádzkové znaky |
|||
|
prídavok |
nemeckí matematici |
konca 15. storočia |
|
|
odčítanie |
|||
|
násobenie |
W. Outred |
||
|
násobenie |
G. Leibniz |
||
|
G. Leibniz |
|||
|
R. Descartes |
|||
|
X. Rudolf |
|||
|
logaritmus |
I. Kepler |
||
|
B. Cavalieri |
|||
|
arkzín |
J. Lagrange |
||
|
|
diferenciál |
G. Leibniz |
|
|
integrálne |
G. Leibniz |
||
|
derivát |
G. Leibniz |
||
|
určitý integrál |
|||
|
faktoriál |
|||
|
W. Hamilton veľa matematikov |
|||
|
I. Bernoulli |
|||
|
znaky vzťahu |
|||
|
rovnosť |
R. Záznam |
||
|
T. Harriot |
|||
|
porovnateľnosť |
|||
|
paralelizmus |
W. Outred |
||
|
kolmosť |
P. Erigon |
||
Integrálny počet vznikol zvážením veľkého množstva problémov v prírodných vedách a matematike. Najdôležitejším z nich je fyzikálny problém určenia prejdenej vzdialenosti v danom čase známou, ale možno premenlivou rýchlosťou pohybu a oveľa starší problém výpočtu plôch a objemov geometrických útvarov (pozri Geometrické úlohy pre extrémy) .
Ústredným pojmom v integrálnom počte je pojem integrálu, ktorý však má dve rôzne interpretácie, ktoré vedú k pojmom neurčitý a určitý integrál.
V diferenciálnom počte bola zavedená operácia diferenciácie funkcií. V integrálnom počte sa matematická operácia inverzná k diferenciácii nazýva integrácia alebo presnejšie neurčitá integrácia.
Čo je to inverzná operácia a aká je jej neurčitosť?
Operácia diferenciácie porovnáva danú funkciu s jej deriváciou. Predpokladajme, že chceme na základe danej funkcie nájsť funkciu, ktorej deriváciou je funkcia , t.j. Takáto funkcia sa nazýva priraďovacia funkcia.
To znamená, že operácia inverzná k diferenciácii – neurčitá integrácia – spočíva v nájdení primitívnej funkcie danej funkcie.
Všimnite si, že spolu s funkciou priradenou k funkcii bude samozrejme existovať aj akákoľvek funkcia 
, ktorý sa líši od konštantného pojmu : predsa 
.
Na rozdiel od diferenciácie, ktorá porovnáva funkcie s jedinou ďalšou funkciou – deriváciou prvej, teda neurčitá integrácia nevedie k jednej konkrétnej funkcii, ale k celému súboru funkcií, a to je jej neurčitosť.
Miera tejto neistoty však nie je taká veľká. Pripomeňme si, že ak je derivácia nejakej funkcie rovná nule vo všetkých bodoch nejakého intervalu, potom je táto funkcia konštantná na uvažovanom intervale (na intervaloch, kde je rýchlosť zmeny premennej všade nulová, sa nemení). To znamená, že ak je na nejakom intervale , potom je funkcia na tomto intervale konštantná, pretože jej derivácia je vo všetkých bodoch intervalu rovná nule.
Takže dve primitívne derivácie tej istej funkcie sa môžu na intervale líšiť iba konštantným členom.
Priraďovacie funkcie sú označené symbolom
kde sa znamienko číta: integrál. Ide o takzvaný neurčitý integrál. Podľa toho, čo bolo dokázané, neurčitý integrál zobrazuje na uvažovanom intervale nie jednu konkrétnu funkciu, ale akúkoľvek funkciu tvaru
, (1)
kde je nejaká primitívna derivácia funkcie na danom intervale a je ľubovoľná konštanta.
Napríklad na celej číselnej osi
;
; 
.
Tu sme špeciálne označili argumenty integrandov rôznymi symbolmi: , aby sme upozornili na nezávislosť primitívnej derivácie v závislosti od výberu písmena použitého na označenie jej argumentu.
Zapísané rovnosti sa kontrolujú jednoduchým odlíšením ich pravých častí, výsledkom čoho sú funkcie , stojace v ľavých častiach pod znamienkom integrálu, resp.
Je tiež užitočné mať na pamäti nasledujúce zrejmé vzťahy, ktoré vyplývajú priamo z definícií primitívneho, derivačného, diferenciálneho a zo vzťahu (1) pre neurčitý integrál:
,
, 
, 
.
Nájdenie primitívnej derivácie je často uľahčené niektorými všeobecnými vlastnosťami neurčitého integrálu:
(vybratie konštantného multiplikátora);
(súčet integrácie); ak
,
(zmena premennej).
Tieto vzťahy sa tiež overujú priamo pomocou príslušných pravidiel diferenciácie.
Nájdime zákon pohybu voľne padajúceho telesa vo vákuu, založený na jedinom fakte, že v neprítomnosti vzduchu je zrýchlenie voľného pádu v blízkosti zemského povrchu konštantné a nezávisí od vlastností padajúceho telesa. . Fixujeme vertikálnu súradnicovú os; volíme smer na osi smerom k Zemi. Buďme momentálne súradnicou nášho tela. Preto to vieme a je to konštanta. Je potrebné nájsť funkciu - zákon pohybu.
Od , kde , potom, integrovaním postupne, nájdeme
Tak sme to zistili
, (3)
kde a sú nejaké konštanty. No padajúce teleso stále podlieha jednému špecifickému zákonu pohybu, v ktorom už nie je žiadna svojvôľa. To znamená, že existujú niektoré ďalšie podmienky, ktoré sme ešte nepoužili; umožňujú spomedzi všetkých „konkurenčných“ zákonov (3) vybrať ten, ktorý zodpovedá konkrétnemu hnutiu. Tieto podmienky sa dajú ľahko špecifikovať, ak rozumiete fyzickému významu konštánt a . Ak porovnáme extrémne podmienky vzťahu (2) v , potom sa ukáže, že , a z (3) v , sa ukáže, že . Matematika nám teda sama pripomenula, že želaný pohybový zákon
je úplne určená, ak zadáte počiatočnú polohu a počiatočnú rýchlosť tela. Najmä ak a , získame .
Teraz poznamenávame, že medzi operáciou hľadania derivácie (diferenciácia) a operáciou hľadania primitívnej derivácie (neurčitá integrácia) existuje okrem vyššie uvedeného množstvo zásadných rozdielov. Predovšetkým treba mať na pamäti, že ak je derivácia akejkoľvek kombinácie elementárnych funkcií sama vyjadrená elementárnymi funkciami, t.j. je elementárna funkcia, potom primitívna funkcia elementárnej funkcie už nie je vždy funkciou elementárnej funkcie. Napríklad primitívne
elementárna funkcia (nazývaná integrálny sínus a označená špeciálnym symbolom ) môže byť preukázaná, že nie je vyjadrená v elementárnych funkciách. Zásadnú matematickú otázku o existencii vopred danej primitívnej funkcie y si teda netreba zamieňať s nie vždy riešiteľným problémom nájsť túto primitívu medzi elementárnymi funkciami. Integrácia je často zdrojom zavedenia dôležitých a široko používaných špeciálnych funkcií, ktoré nie sú študované horšie ako také „školské“ funkcie ako alebo , hoci nie sú zahrnuté v zozname základných funkcií.
Nakoniec poznamenávame, že nájdenie primitívnej derivácie, aj keď je vyjadrená v elementárnych funkciách, je skôr umením než kanonickým výpočtovým algoritmom, ako je algoritmus diferenciácie. Z tohto dôvodu sú nájdené primitívne derivácie najčastejšie sa vyskytujúcich funkcií zhromaždené vo forme referenčných tabuliek neurčitých integrálov. Nasledujúca mikrotabuľka tohto druhu je zjavne ekvivalentná mikrotabuľke derivátov zodpovedajúcich základných elementárnych funkcií:
Keď sme hovorili o inverzii operácie diferenciácie, dostali sme sa v tejto súvislosti k pojmom primitívny, neurčitý integrál a dali sme počiatočnú definíciu týchto pojmov.
Teraz poukážeme na iný, oveľa starodávnejší prístup k integrálu, ktorý slúžil ako hlavný pôvodný zdroj integrálneho počtu a viedol ku konceptu určitého integrálu alebo integrálu v pravom zmysle slova. Tento prístup možno zreteľne vidieť už u starogréckeho matematika a astronóma Eudoxa z Knidu (približne 408-355 pred Kr.) a Archimeda, t.j. vznikol dávno pred príchodom diferenciálneho počtu a operáciou diferenciácie.
Otázka, ktorou sa zaoberali Eudoxus a Archimedes, ktorí pri jej riešení vytvorili „metódu vyčerpania“, ktorá predpokladala koncepciu integrálu, je otázka výpočtu plochy krivočiareho útvaru. Nižšie sa budeme touto problematikou zaoberať, ale zatiaľ zadáme podľa I. Newtona nasledujúcu úlohu: pomocou rýchlosti tela známej v ktoromkoľvek okamihu z časového intervalu nájdite množstvo pohybu telesa za toto obdobie čas.
Ak by bol známy pohybový zákon, t.j. závislosť súradnice telesa od času, potom by odpoveď, samozrejme, bola vyjadrená rozdielom . Navyše, ak by sme poznali nejakú primitívnu funkciu na intervale , potom, keďže , kde je konštanta, by sme mohli nájsť požadovanú hodnotu posunutia vo forme rozdielu , ktorý sa zhoduje s rozdielom . Toto je veľmi užitočné pozorovanie, ale ak sa nedá nájsť primitívna derivácia danej funkcie, potom treba postupovať úplne iným spôsobom.
Budeme argumentovať nasledovne.
Ak je interval podľa jednotlivých momentov , teda , rozdelený na veľmi malé časové intervaly , , tak na každom z týchto krátkych intervalov sa rýchlosť telesa nestihne výrazne zmeniť. Po ľubovoľnom zafixovaní momentu môžeme teda približne predpokladať, že pohyb prebieha v časovom intervale konštantnou rýchlosťou. V tomto prípade pre hodnotu prejdenej cesty za časový interval získame približnú hodnotu , kde . Sčítaním týchto množstiev dostaneme približnú hodnotu
pre celý posun na intervale .
Zistená približná hodnota je tým presnejšia, čím jemnejšie delenie intervalu urobíme, t.j. čím menšia je hodnota najväčšieho z intervalov, na ktoré je interval rozdelený.
Množstvo posunutia, ktoré hľadáme, je teda limit
(5)
súčty tvaru (4), keď má hodnota tendenciu k nule.
Súčty špeciálneho tvaru (4) sa nazývajú integrálne súčty pre funkciu na intervale , a ich limita (5), získaná nekonečne menšími dielikmi, sa nazýva integrál (alebo určitý integrál) funkcie na intervale . Integrál je označený symbolom
v ktorej sa čísla nazývajú hranice integrácie a - dolná, a - horná hranica integrácie; funkcia pod znakom integrálu sa nazýva integrand; - integrand; - integračná premenná.
Takže podľa definície
. (6)
To znamená, že požadovaná hodnota posunu telesa za časový interval pri známej rýchlosti pohybu je vyjadrená integrálom (6) funkcie za interval .
Porovnaním tohto výsledku s výsledkom uvedeným v priraďovacom jazyku na začiatku tohto príkladu dospejeme k známemu vzťahu:
ak . Rovnosť (7) sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec. V jeho ľavej časti je integrál chápaný ako limita (6) a v pravej časti je rozdiel hodnôt (na koncoch a intervale integrácie) funkcie, primitívnej integrandovej funkcie. Newtonov-Leibnizov vzorec teda spája integrál (6) a primitívnu deriváciu. Tento vzorec je preto možné použiť v dvoch opačných smeroch: na výpočet integrálu nájdením primitívnej derivácie alebo na získanie prírastku primitívnej derivácie nájdením integrálu zo vzťahu (6). Nižšie uvidíme, že obe tieto použitia Newtonovho-Leibnizovho vzorca sú veľmi dôležité.
Integrál (6) a vzorec (7) v princípe riešia problém uvedený v našom príklade. Takže, ak (ako je to v prípade voľného pádu, počnúc stavom pokoja, t.j. z), potom po nájdení primitívnej 
funkcií podľa vzorca (7), dostaneme hodnotu
pohyb v čase, ktorý uplynul od okamihu k okamihu.
Na základe práve analyzovaného fyzikálneho problému, ktorý nás viedol k integrálu a Newton-Leibnizovmu vzorcu, zovšeobecňujúc uskutočnené pozorovania, môžeme teraz povedať, že ak je funkcia daná na určitom intervale, potom delením interval s bodmi, skladanie celočíselných súčtov
kde , , a prechodom na limitu v , kde , získame podľa definície integrál
(6")
z funkcie cez interval . Ak navyše dňa , t.j. je primitívna derivácia funkcie na intervale, potom platí Newton-Leibnizov vzorec:
. (7)
|
LEONARD EULER
Euler, najväčší matematik 18. storočia, sa narodil vo Švajčiarsku. V roku 1727 na pozvanie Petrohradskej akadémie vied prišiel do Ruska. V Petrohrade sa Euler zaradil do okruhu vynikajúcich vedcov: matematici, fyzici, astronómovia, dostali veľké príležitosti na tvorbu a publikovanie svojich diel. Pracoval s nadšením a čoskoro sa stal, podľa jednomyseľného uznania svojich súčasníkov, prvým matematikom na svete. Eulerov vedecký odkaz je pozoruhodný svojím objemom a všestrannosťou. Zoznam jeho diel obsahuje viac ako 800 titulov. Kompletné diela vedca zaberajú 72 zväzkov. Medzi jeho diela patria prvé učebnice diferenciálneho a integrálneho počtu. V teórii čísel Euler pokračoval v práci francúzskeho matematika P. Fermata a dokázal množstvo tvrdení: Fermatovu malú vetu, veľkú Fermatovu vetu pre exponenty 3 a 4 (pozri veľkú Fermatovu vetu). Formuloval problémy, ktoré na desaťročia určovali horizonty teórie čísel. Euler navrhol použiť prostriedky matematickej analýzy v teórii čísel a urobil prvé kroky na tejto ceste. Pochopil, že pri ďalšom postupe je možné odhadnúť počet prvočísel nepresahujúcich , a načrtol tvrdenie, ktoré sa potom v 19. storočí preukáže. matematici P. L. Čebyšev a J. Hadamard. Euler robí veľa práce v oblasti matematickej analýzy. Tu neustále používa komplexné čísla. Formula je pomenovaná po ňom. Vedec ako prvý vyvinul všeobecnú doktrínu logaritmickej funkcie, podľa ktorej všetky komplexné čísla okrem nuly majú logaritmy a každé číslo zodpovedá nekonečnému počtu logaritmických hodnôt. V geometrii položil Euler základ úplne novej oblasti výskumu, ktorá neskôr prerástla do samostatnej vedy – topológie. Eulerovo meno je dané vzorcom týkajúcim sa počtu vrcholov (B), hrán (P) a plôch (G) konvexného mnohostenu: . Aj hlavné výsledky Eulerovej vedeckej činnosti je ťažké vymenovať. Tu je geometria kriviek a plôch a prvý výklad počtu variácií s množstvom nových konkrétnych výsledkov. Mal práce v oblasti hydrauliky, stavby lodí, delostrelectva, geometrickej optiky a dokonca aj hudobnej teórie. Prvýkrát dáva analytickú prezentáciu mechaniky namiesto geometrickej prezentácie Newtona, buduje mechaniku pevného bodu alebo pevnej dosky. Jeden z najvýznamnejších Eulerových úspechov súvisí s astronómiou a nebeskou mechanikou. Vybudoval presnú teóriu pohybu Mesiaca s prihliadnutím na príťažlivosť nielen Zeme, ale aj Slnka. Toto je príklad riešenia veľmi zložitého problému. Posledných 17 rokov Eulerovho života bolo poznamenaných takmer úplnou stratou zraku. Ale naďalej tvoril tak intenzívne ako v mladších rokoch. Len teraz už nepísal sám, ale diktoval svojim žiakom, ktorí za neho vykonávali tie najnáročnejšie výpočty. Pre mnoho generácií matematikov bol Euler učiteľom. Podľa jeho matematických príručiek, kníh o mechanike a fyzike študovalo niekoľko generácií. Hlavný obsah týchto kníh tvoria moderné učebnice. |
, ktorý vytvára spojenie medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami, ktoré vzniká pri použití komplexných čísel.Definujú sa teda najdôležitejšie pojmy integrálneho počtu a získa sa Newton-Leibnizov vzorec, ktorý spája integráciu a diferenciáciu.
Tak ako v diferenciálnom počte nielen problém určenia okamžitej rýchlosti pohybu viedol ku konceptu derivácie, ale aj problém nakreslenia dotyčnice, tak aj v integrálnom počte sa rieši nielen fyzikálny problém určenia prejdenej vzdialenosti pri daná rýchlosť pohybu, ale aj mnohé iné problémy vedú ku koncepcii integrálu.a medzi nimi dávne geometrické problémy výpočtu plôch a objemov.
Nech je potrebné nájsť oblasť znázornenú na obr. 1 obrazec (nazývaný krivočiary lichobežník), ktorého horná "strana" je grafom funkcie danej na úsečke. Bodmi delíme segment na malé segmenty, v každom z nich fixujeme nejaký bod. Oblasť úzkeho krivočiareho lichobežníka ležiaceho nad segmentom je nahradená približne plochou zodpovedajúceho obdĺžnika so základňou a výškou. V tomto prípade bude približná hodnota plochy celého obrazca daná známym integrálnym súčtom a presná hodnota požadovanej plochy sa získa ako limit takýchto súčtov, keď dĺžka najväčšieho segmentu oddiel má tendenciu k nule. Tak dostaneme:
Pokúsme sa teraz podľa Archimeda zistiť, v akom ohľade parabola rozdeľuje oblasť znázornenú na obr. 2 jednotkové štvorce. Za týmto účelom jednoducho vypočítajte na základe vzorca (8) plochu dolného parabolického trojuholníka. V našom prípade a . Poznáme primitívnu vlastnosť funkcie, čo znamená, že môžeme použiť Newtonov-Leibnizov vzorec (7") a ľahko získať
.
Parabola teda rozdeľuje plochu štvorca v pomere 2:1.
Pri práci s integrálmi, najmä pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca, môžete použiť všeobecné vlastnosti neurčitého integrálu, ktoré sú vymenované na začiatku článku. Najmä pravidlo pre zmenu premennej v neurčitom integráli za predpokladu, že , , a berúc do úvahy Newtonov-Leibnizov vzorec, nám umožňuje dospieť k záveru, že
a tak sa získa veľmi užitočný vzorec na zmenu premennej v určitom integráli:
. (9)
Pomocou integrálov sa počítajú aj objemy telies. Ak je znázornené na obr. 1 otočte krivočiary lichobežník okolo osi, potom dostanete rotačné teleso, ktoré možno približne považovať za zložené z úzkych valcov (obr. 3) získaných otáčaním príslušných obdĺžnikov. Pri zachovaní predchádzajúcej notácie zapíšeme objem každého z týchto valcov vo forme (súčin plochy základne a výšky). Súčet udáva približnú hodnotu objemu uvažovaného rotačného telesa. Presná hodnota sa získa ako hranica takýchto súm pri . znamená,
. (10)
Najmä na výpočet objemu znázorneného na obr. 4 kužele, stačí dosadiť vzorec (10) , a , kde je sklon otočenej čiary. Nájdením primitívnej funkcie funkcie a použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca získame
kde je plocha kruhu na základni kužeľa.
V analyzovaných príkladoch sme geometrický obrazec vyčerpali takými obrazcami, ktorých plochy alebo objemy sme vedeli vypočítať, a potom sme prešli až po limit. Táto technika, pochádzajúca z Eudoxu a vyvinutá Archimedesom, sa nazýva metóda vyčerpania. Toto je najbežnejšia metóda uvažovania vo väčšine aplikácií integrálu.
"Keďže sudy sú spojené s kruhom, kužeľom a valcom - čísla sú pravidelné, sú teda prístupné geometrickým zmenám." I. Kepler
Význam je tam, kde sú hady integrálu. Medzi číslami a písmenami, medzi a! V. Ya Bryusov
