Zvážim otázku vzorca pre projekcie plôch pravouhlého štvorstenu. Predbežne zvážim ortogonálny priemet úsečky ležiacej v rovine α, pričom zvýrazním dva prípady umiestnenia tejto úsečky vzhľadom na priamku l = α∩π.
Prípad 1
AB∥l(obr. 8). Úsečka A 1 B 1, ktorá je kolmým priemetom úsečky AB, je rovnaká a rovnobežná s úsečkou AB.
Ryža. osem
Prípad 2
CD⊥l(obr. 8). Podľa vety o troch kolmých priamka C 1 D 1, ktorá je ortogonálnym priemetom priamky CD, je kolmá aj na priamku l. Preto ∠CEC 1 je uhol medzi rovinou α a rovinou priemetov π, t.j. C0D = C1D1... Preto | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Teraz zvážim otázku dizajnu ortogonálneho trojuholníka.
Plocha ortogonálnej projekcie trojuholníka na rovinu sa rovná ploche premietnutého trojuholníka vynásobenej kosínusom uhla medzi rovinou trojuholníka a rovinou projekcií.
Dôkaz. Projektovaná plocha trojuholníka. Podľa vety o troch kolmách je priamka B 1 H 1 - kolmý priemet priamky BN - kolmá na priamku l, preto je úsečka B 1 H 1 výškou trojuholníka A 1 B 1 C 1. Preto . Teda, .
a) Nech je jedna zo strán, napríklad AC, premietnutého trojuholníka ABC rovnobežná s priamkou l = α∩π (obr. 9) alebo na nej leží.
Potom je jeho výška VN kolmá na priamku l a plocha je rovnaká, t.j.
Ryža. deväť
b) Žiadna zo strán premietnutého trojuholníka ABC nie je rovnobežná s priamkou l (obr. 10). Nakreslite priamku cez každý vrchol trojuholníka rovnobežnú s priamkou l. Jedna z týchto čiar leží medzi dvoma ďalšími (na obrázku je to čiara m), a preto rozdeľuje trojuholník ABC na trojuholníky ABD a ACD s výškami BH a CE, nakreslené na ich spoločnú stranu AD (alebo jej pokračovanie), ktorý je paralelný l. Priamka m 1 - kolmý priemet priamky m - rozdeľuje aj trojuholník A 1 B 1 C 1 - kolmý priemet trojuholníka ABC - na trojuholníky A 1 B 1 D 1 a A 1 C 1 D 1, kde. Berúc do úvahy (9) a (10), dostávam
Pripomeňme, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny (obr. 164).
Veta. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka do roviny sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínom uhla vytvoreného rovinou mnohouholníka a rovinou priemetu.
Každý mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky, ktorých súčet plôch sa rovná ploche mnohouholníka. Preto stačí dokázať vetu o trojuholníku.
Nech sa \ (\ Delta \) ABC premietne do roviny R... Zvážte dva prípady:
a) jedna zo strán \ (\ Delta \) ABC je rovnobežná s rovinou R;
b) žiadna zo strán \ (\ Delta \) ABC nie je rovnobežná R.
Zvážte prvý prípad: nech [AB] || R.
Nakreslíme rovinu cez (AB) R 1 || R a premietajte ortogonálne \ (\ Delta \) ABC on R 1 a ďalej R(obr. 165); dostaneme \ (\ Delta \) ABC 1 a \ (\ Delta \) A'B'S '.
Vlastnosťou projekcie máme \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C ', a preto
S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C '
Nakreslite ⊥ a segment D 1 C 1. Potom ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ je hodnota uhla medzi rovinou \ (\ Delta \) ABC a rovinou R 1. Preto
S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
a preto S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.
Prejdime k úvahe druhý prípad... Nakreslíme rovinu R 1 || R cez tento vrchol \ (\ Delta \) ABC, vzdialenosť, z ktorej k rovine R najmenší (nech je to vrchol A).
Poďme navrhnúť \ (\ Delta \) ABC v lietadle R 1 a R(obr. 166); nech sú jej projekcie \ (\ Delta \) AB 1 C 1 a \ (\ Delta \) A'B'S '.
Let (ВС) \ (\ cap \) p 1 = D. Potom
S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC - S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
Úloha. Cez stranu podstavy pravidelného trojuholníkového hranola je vedená rovina pod uhlom φ = 30° k rovine jeho podstavy. Nájdite plochu výslednej časti, ak je strana základne hranola a= 6 cm.
Narysujme si prierez tohto hranolu (obr. 167). Keďže hranol je správny, jeho bočné okraje sú kolmé na rovinu podstavy. Preto \ (\ Delta \) ABC je projekcia \ (\ Delta \) ADC, preto
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
alebo
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$
Podrobný dôkaz vety o ortogonálnom premietaní mnohouholníka
Ak je projekcia bytu n -gon do roviny, teda, kde je uhol medzi rovinami polygnov a. Inými slovami, premietnutá plocha rovinného mnohouholníka sa rovná súčinu plochy premietnutého mnohouholníka kosínusom uhla medzi rovinou projekcie a rovinou premietnutého mnohouholníka.
Dôkaz. ja etapa. Najprv urobme dôkaz pre trojuholník. Zoberme si 5 prípadov.
1 prípad. ležať v projekčnej rovine .
Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade. Predpokladajme, že. Nech je výška, potom z vety o troch kolmiciach môžeme usúdiť, že - výška (- priemet je naklonený, - jeho základňa a priamka navyše prechádza základňou naklonenej).
Uvažujme. Je obdĺžnikový. Podľa definície kosínusu:
Na druhej strane, keďže a teda podľa definície je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny rovín a hraničnej čiary, a preto je jeho miera tiež mierou uhla medzi projekčné roviny trojuholníka a samotný trojuholník, tzn.
Nájdite pomer plochy k:
Všimnite si, že vzorec zostáva platný, aj keď. V tomto prípade
2 prípad. Leží iba v rovine premietania a je rovnobežná s rovinou premietania .
Nech sú projekcie bodov do roviny, resp. V našom prípade.
Nakreslíme priamku cez bod. V našom prípade priamka pretína projekčnú rovinu, čo v leme znamená, že priamka pretína aj premietaciu rovinu. Nech je v bode Keďže, potom body ležia v tej istej rovine, a keďže je rovnobežná s premietacou rovinou, vyplýva zo znamienka rovnobežnosti priamky a roviny, že. Preto je rovnobežník. Zvážte a. Sú rovnaké na troch stranách (- spoločné, ako protiľahlé strany rovnobežníka). Všimnite si, že štvoruholník je obdĺžnik a je rovnaký (pozdĺž nohy a prepony), preto je rovnaký na troch stranách. Preto.
Pre prípad 1 platí:, t.j.
3 prípad. Leží len v rovine premietania a nie je rovnobežná s rovinou premietania .
Nech je bod priesečníkom priamky s premietacou rovinou. Všimnite si, že a. Pri 1 príležitosti: a. Tak to dostávame
4 prípad. Vrcholy neležia v projekčnej rovine ... Zvážte kolmice. Vezmite najmenšiu z týchto kolmíc. Nech je kolmá. Môže sa ukázať, že buď len, alebo len. Potom to aj tak vezmeme.
Vyčleňme bod z bodu na úsečke tak, a z bodu na úsečke, bod, aby. Takáto konštrukcia je možná, pretože je najmenšou z kolmíc. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Dokážme to a sme si rovní.
Zvážte štvoruholník. Podľa hypotézy - kolmice na jednu rovinu, teda podľa vety, preto. Pretože podľa konštrukcie, potom podľa znamienka rovnobežníka (pozdĺž rovnobežných a rovnakých protiľahlých strán), môžeme usúdiť, že ide o rovnobežník. Znamená, . Podobne je dokázané, že,. Preto sú si rovní na troch stranách. Preto. Všimnite si, že a ako protiľahlé strany rovnobežníkov teda na základe rovnobežnosti rovín,. Keďže sú tieto roviny rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.
Pre predchádzajúce prípady platí:
5 prípad. Rovina premietania pretína strany ... Zvážte priame čiary. Sú kolmé na premietaciu rovinu, preto sú podľa vety rovnobežné. Na spoločne nasmerovaných lúčoch s počiatkami v bodoch vyčleňte rovnaké úsečky tak, aby vrcholy ležali mimo rovinu premietania. Všimnite si, že ide o projekciu a podľa konštrukcie. Ukážme, že sa to rovná.
Od a podľa konštrukcie teda. Preto na základe rovnobežníka (pozdĺž dvoch rovnakých a rovnobežných strán) ide o rovnobežník. Podobne je dokázané, že a sú rovnobežníky. Ale potom, a (ako protiľahlé strany), teda je rovnaký na troch stranách. Znamená, .
Okrem toho, a teda na základe rovnobežnosti rovín. Keďže sú tieto roviny rovnobežné, zvierajú s rovinou premietania rovnaký uhol.
Pre prípad 4 platí:
II etapa. Rovinný mnohouholník rozdelíme na trojuholníky pomocou uhlopriečok nakreslených z vrcholu: Potom podľa predchádzajúcich prípadov pre trojuholníky:.
Q.E.D.
GEOMETRIA
Plány hodín pre 10 ročníkov
Lekcia 56
Téma. Polygónová ortogonálna projekčná plocha
Účel lekcie: štúdium vety o oblasti ortogonálnej projekcie mnohouholníka, formovanie zručností študentov aplikovať študovanú vetu na riešenie problémov.
Výbava: stereometrická súprava, model kocky.
Počas vyučovania
I. Kontrola domácich úloh
1. Dvaja žiaci reprodukujú riešenia úloh č. 42, 45 na tabuľu.
2. Čelný prieskum.
1) Definujte uhol medzi dvoma rovinami, ktoré sa pretínajú.
2) Aký je uhol medzi:
a) rovnobežné roviny;
b) kolmé roviny?
3) Do akej miery sa môže meniť uhol medzi dvoma rovinami?
4) Je pravda, že rovina, ktorá pretína rovnobežné roviny, ich pretína pod rovnakými uhlami?
5) Je pravda, že rovina, ktorá pretína kolmé roviny, ich pretína pod rovnakými uhlami?
3. Kontrola správnosti riešenia úloh č.42, 45, ktoré žiaci pretvárali na tabuli.
II. Vnímanie a uvedomenie si nového materiálu
Zadanie študentom
1. Dokážte, že premietnutá plocha trojuholníka s jednou stranou v rovine premietania sa rovná súčinu jeho plochy a kosínusu uhla medzi rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.
2. Dokážte vetu pre prípad, keď existuje mriežkový trojuholník s jednou stranou rovnobežnou s premietacou rovinou.
3. Dokážte vetu pre prípad, keď existuje mriežkový trojuholník, ktorého žiadna strana nie je rovnobežná s premietacou rovinou.
4. Dokážte vetu pre ľubovoľný mnohouholník.
Riešenie problémov
1. Nájdite plochu ortogonálneho priemetu mnohouholníka, ktorého plocha je 50 cm2 a uhol medzi rovinou mnohouholníka a jeho priemetom je 60 °.
2. Nájdite plochu mnohouholníka, ak plocha ortogonálneho priemetu tohto mnohouholníka je 50 cm2 a uhol medzi rovinou mnohouholníka a jeho priemetom je 45 °.
3. Plocha mnohouholníka je 64 cm2 a plocha ortogonálnej projekcie je 32 cm2. Nájdite uhol medzi rovinami mnohouholníka a jeho priemetom.
4. Alebo sa možno plocha ortogonálnej projekcie mnohouholníka rovná ploche tohto mnohouholníka?
5. Hrana kocky sa rovná a. Nájdite plochu prierezu kocky podľa roviny prechádzajúcej vrcholom základne pod uhlom 30 ° k tejto základni a pretínajúcej všetky bočné hrany. (Odpoveď.)
6. Úloha číslo 48 (1, 3) z učebnice (str. 58).
7. Úloha číslo 49 (2) z učebnice (str. 58).
8. Strany obdĺžnika sú 20 a 25 cm, jeho priemet do roviny je podobný. Nájdite obvod projekcie. (Odpoveď 72 cm alebo 90 cm.)
III. Domáca úloha
§ 4, s. bezpečnostná otázka číslo 17; úlohy č. 48 (2), 49 (1) (s. 58).
IV. Zhrnutie lekcie
Otázka pre triedu
1) Formulujte vetu o oblasti ortogonálnej projekcie mnohouholníka.
2) Môže byť plocha ortogonálnej projekcie mnohouholníka väčšia ako plocha mnohouholníka?
3) Cez preponu AB pravouhlého trojuholníka ABC je rovina α vedená pod uhlom 45° k rovine trojuholníka a kolmica CO k rovine α. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Označte, ktoré z nasledujúcich tvrdení sú správne a ktoré nesprávne:
a) uhol medzi rovinami ABC a α sa rovná uhlu CMO, kde bod H je základňou výšky CM trojuholníka ABC;
b) CO = 2,4 cm;
c) trojuholník AOS je kolmý priemet trojuholníka ABC do roviny α;
d) plocha trojuholníka AOB je 3 cm2.
(Odpoveď. A) Správne; b) nesprávne; c) nesprávne; d) správne.)
V poslednej dobe sa v úlohe C2 vyskytujú úlohy, v ktorých je potrebné zostrojiť rez mnohostenom rovinou a nájsť jeho plochu. Táto úloha je navrhnutá v demo verzii. Často je vhodné nájsť oblasť sekcie z hľadiska plochy jej ortogonálnej projekcie. Prezentácia obsahuje vzorec na takéto riešenie a podrobný rozbor problému, ktorý je doplnený sériou nákresov.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Príprava na skúšku - 2014 z matematiky. Nájdenie plochy prierezu cez oblasť jej ortogonálnej projekcie. Úloha C2 Učiteľ matematiky MBOU na strednej škole № 143 v Krasnojarsku Kňazkina TV
Zvážte riešenie nasledujúceho problému: V pravouhlom rovnobežnostene. Rez rovnobežnostena prechádza bodmi B a D a zviera uhol s rovinou ABC. Nájdite plochu prierezu. Často je vhodné nájsť plochu prierezu z hľadiska plochy jej ortogonálnej projekcie. Nájdenie oblasti trojuholníka cez oblasť jeho ortogonálnej projekcie je ľahko znázornené na nasledujúcom obrázku:
CH je výška trojuholníka ABC, C 'H je výška trojuholníka ABC ", čo je ortogonálny priemet trojuholníka ABC. Z pravouhlého trojuholníka CHC": Plocha trojuholníka ABC " sa rovná ploche trojuholník ABC je teda plocha trojuholníka ABC sa rovná ploche trojuholníka ABC' delenej kosínusom uhla medzi rovinami trojuholníka ABC a trojuholníka ABC", čo je kolmá projekcia trojuholníka ABC.
Pretože oblasť ľubovoľného mnohouholníka môže byť vyjadrená ako súčet plôch trojuholníkov, plocha mnohouholníka sa rovná ploche jeho ortogonálnej projekcie do roviny vydelenej kosínusom uhla medzi roviny polygónu a jeho priemet. Túto skutočnosť využívame pri riešení nášho problému (pozri snímku 2) Plán riešenia je nasledovný: A) Postavte sekciu. B) Nájdite jeho kolmý priemet na rovinu podstavy. C) Nájdite oblasť ortogonálnej projekcie. D) Nájdite plochu prierezu.
1. Najprv musíme postaviť túto sekciu. Je zrejmé, že segment BD patrí do roviny rezu a základnej roviny, to znamená, že patrí do priesečníka rovín:
Uhol medzi dvoma rovinami je uhol medzi dvoma kolmicami, ktoré sú nakreslené na priesečník rovín a ležia v týchto rovinách. Nech bod O je priesečníkom základných uhlopriečok. OC - kolmá na priesečník rovín, ktorý leží v rovine základne:
2. Určte polohu kolmice, ktorá leží v rovine rezu. (Pamätajte, že ak je priamka kolmá na naklonenú priemetu, tak je kolmá na najsklonnejšiu. Hľadáme naklonenú v jej priemete (OC) a uhle medzi priemetňou a naklonenou). Nájdite tangens uhla COC ₁ medzi OC ₁ a OC
V dôsledku toho je uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou väčší ako medzi OCi a OC. To znamená, že úsek sa nachádza približne takto: K je priesečník OP a A₁C₁, LM || B₁D₁.
Takže tu je naša sekcia: 3. Nájdite projekciu rezu BLMD na rovinu základne. Aby sme to dosiahli, nájdeme projekcie bodov L a M.
Štvoruholník BL ₁M₁D - projekcia rezu na základnú rovinu. 4. Nájdite obsah štvoruholníka BL₁M₁D. Za týmto účelom odpočítajte obsah trojuholníka L CM₁ od oblasti trojuholníka BCD. Nájdite obsah trojuholníka L CM₁. Trojuholník L CM₁ je podobný trojuholníku BCD. Nájdite koeficient podobnosti.
Za týmto účelom zvážte trojuholníky t OPC a OKK₁: V dôsledku toho je plocha trojuholníka L₁CM₁ 4/25 plochy trojuholníka BCD (pomer plôch podobných obrázkov sa rovná štvorcu koeficient podobnosti). Potom sa plocha štvoruholníka BL₁M₁D rovná 1-4 / 25 = 21/25 plochy trojuholníka BCD a rovná sa
5. Teraz nájdeme 6. A nakoniec dostaneme: Odpoveď: 112
K téme: metodologický vývoj, prezentácie a poznámky
Testovacia práca v disciplíne "Inžinierska počítačová grafika" pozostáva zo štyroch testovacích úloh na overenie zhody. Úlohy sú zadané 15-20 minút ...
Príprava na skúšku-2014 z matematiky. Použitie derivátu a antiderivátu (prototypy B8 z otvorenej banky úloh USE)
Prezentácia s krátkym kurzom teórie a riešení rôznych prototypov B8 z otvorenej banky úloh USE. Možno použiť na interaktívnu tabuľu alebo študentské PC pre samoukov ....
Príprava na skúšku-2014 z matematiky. Riešenie úlohy C1.
Materiál obsahuje riešenia úlohy C1 (trigonometrická rovnica) a 4 spôsoby výberu koreňov patriacich do intervalu: pomocou trigonometrickej kružnice, pomocou grafu funkcie, hrubá sila ...