V minulom videonávode sme sa dozvedeli, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý je súčinom základu sám o sebe, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a výkonových operácií.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Túto prácu uvádzame v plnom znení:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z rovnakého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), ktorý sa vezme 5-krát. A skutočne, ak počítame, potom:

Môžeme teda s istotou konštatovať, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Podobné pravidlo funguje dobre pre akýkoľvek ukazovateľ a z akéhokoľvek dôvodu. Táto vlastnosť násobenia stupňa vyplýva z pravidla zachovania hodnoty výrazov pri transformáciách v súčine. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a) x a (a) y rovná a (x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, konečný monomický znak má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňa prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, že dôvody pre všetkých sú rovnaké. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať tituly a vlastne ani vykonávať žiadne spoločné akcie s dvomi prvkami vyjadrenia, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú aj do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Urobme transformáciu výrazu po členoch na jeho plnú formu a zredukujeme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už pri jeho riešení je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním mocniny druhého výrazu od mocniny prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné odpočítať stupeň deliteľa od stupňa dividendy. Pravidlo funguje s rovnakým základom pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prirodzené stupne. Ako abstrakciu máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definícia pre nultý stupeň vyplýva z pravidla pre delenie rovnakých základov stupňami. Je zrejmé, že nasledujúci výraz je:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Na druhej strane, ak urobíme rozdelenie vizuálnejším spôsobom, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Absurdné však bude, ak 0 (pre akékoľvek násobenia je dávajúci stále 0) sa nejako rovná jednej, preto vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula až nula) jednoducho nedáva zmysel a do vzorec (a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, celková hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: výraz sa rovná jednej.

Lekcia na tému: "Pravidlá násobenia a delenia stupňov s rovnakými a rôznymi ukazovateľmi. Príklady"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, želania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Manuál k učebnici Yu.N. Makarycheva Manuál k učebnici A.G. Mordkovič

Účel lekcie: naučiť sa vykonávať akcie s mocninou čísla.

Na začiatok si spomeňme na pojem „stupeň počtu“. Výraz ako $ \ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ môže byť reprezentovaný ako $ a ^ n $.

Platí to aj naopak: $ a ^ n = \ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Táto rovnosť sa nazýva „zápis stupňa ako produktu“. Pomôže nám určiť, ako násobiť a deliť stupne.
Pamätajte:
a Je základom titulu.
n- exponent.
Ak n = 1, teda číslo a vzal raz a podľa toho: $ a ^ n = 1 $.
Ak n = 0, potom $ a ^ 0 = 1 $.

Prečo sa to deje, môžeme prísť na to, keď sa zoznámime s pravidlami násobenia a rozdelenia právomocí.

Pravidlá násobenia

a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.
Do $ a ^ n * a ^ m $ zapíšeme mocniny ako súčin: $ \ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (m) $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n + m krát, potom $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na veľkú moc.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sú stupne vynásobené rôznymi základmi, ale rovnakým exponentom.
Do $ a ^ n * b ^ n $ napíšte stupne ako súčin: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Ak zameníme faktory a spočítame výsledné dvojice, dostaneme: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Preto $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, ukazovatele sú rôzne.
Zvážte delenie exponentu väčším exponentom delením exponentu menším exponentom.

Takže je to potrebné $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, kde n> m.

Napíšme mocniny ako zlomok:

$ \ frac (\ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Pre pohodlie budeme delenie písať ako jednoduchý zlomok.

Teraz zlomok zrušíme.

Ukazuje sa: $ \ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
znamená, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulovú mocninu. Predpokladajme to n = m, potom $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Príklady.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Napíšme mocniny čísel ako zlomok:

$ \ frac (\ zátvorka (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ zátvorka (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Pre pohodlie si to predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
Podľa toho: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Príklad.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Prvá úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexný sprievodca (2019)

Prečo sú potrebné tituly? Kde sa vám budú hodiť? Prečo si potrebujete nájsť čas na ich štúdium?

Ak sa chcete dozvedieť všetko o tituloch, na čo slúžia, ako využiť svoje znalosti v bežnom živote, prečítajte si tento článok.

A, samozrejme, znalosť titulov vás priblíži k úspešnému absolvovaniu OGE alebo USE a vstupu na univerzitu vašich snov.

Poďme... (Poďme!)

Dôležitá poznámka! Ak namiesto vzorcov vidíte nezmysel, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ak to chcete urobiť, stlačte kombináciu klávesov CTRL + F5 (v systéme Windows) alebo Cmd + R (v systéme Mac).

PRVÁ ÚROVEŇ

Umocňovanie je rovnaká matematická operácia ako sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie.

Teraz všetko vysvetlím ľudskou rečou na veľmi jednoduchých príkladoch. Dávaj pozor. Príklady sú elementárne, ale vysvetľujú dôležité veci.

Začnime s pridávaním.

Nie je čo vysvetľovať. Už viete všetko: je nás osem. Každý má dve fľaše koly. Koľko je tam koly? Správne - 16 fliaš.

Teraz násobenie.

Rovnaký kolový príklad môže byť napísaný inak:. Matematici sú prefíkaní a leniví ľudia. Najprv si všimnú nejaké vzory a potom prídu na spôsob, ako ich rýchlo „spočítať“. V našom prípade si všimli, že každý z ôsmich ľudí má rovnaký počet kolových fliaš a prišli s technikou zvanou násobenie. Súhlasíte, považuje sa to za jednoduchšie a rýchlejšie ako.

Aby ste teda počítali rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb, stačí si zapamätať násobilku... Všetko sa dá, samozrejme, robiť pomalšie, ťažšie a s chybami! Ale…

Tu je tabuľka násobenia. Opakujte.

A ešte jedna, krajšia:

Aké ďalšie šikovné počítacie triky vymysleli leniví matematici? Správny - zvýšenie čísla na mocninu.

Zvýšenie čísla na mocnosť

Ak potrebujete vynásobiť číslo päťkrát, potom matematici hovoria, že toto číslo musíte zvýšiť na piatu mocninu. Napríklad, . Matematici si pamätajú, že dva až piaty stupeň je. A takéto problémy riešia v hlave – rýchlejšie, jednoduchšie a bez chýb.

Všetko, čo musíte urobiť, je zapamätajte si, čo je zvýraznené v tabuľke mocnin čísel... Verte mi, toto vám výrazne uľahčí život.

Mimochodom, prečo sa volá druhý stupeň námestiečísla a tretie - kocka? Čo to znamená? To je veľmi dobrá otázka. Teraz budete mať štvorce aj kocky.

Životný príklad číslo 1

Začnime druhou mocninou čísla.

Predstavte si bazén štvorcový meter krát meter. Bazén je vo vašom vidieckom dome. Je horúco a ja si chcem naozaj zaplávať. Ale ... bazén bez dna! Dno bazéna je potrebné obložiť dlažbou. Koľko dlaždíc potrebujete? Aby ste to mohli určiť, musíte poznať oblasť dna bazéna.

Môžete jednoducho spočítať prstom, že dno bazéna pozostáva z metrových kociek. Ak máte dlaždicu meter po metri, budete potrebovať kusy. Je to jednoduché... Ale kde ste už také obklady videli? Dlaždica je skôr cm po cm.A potom vás bude mučiť "počítanie prstov". Potom sa musíte množiť. Takže na jednu stranu dna bazéna osadíme dlažbu (kusy) a na druhú tiež dlažbu. Vynásobením získate dlaždice ().

Všimli ste si, že sme sami vynásobili rovnaké číslo, aby sme určili plochu dna bazéna? Čo to znamená? Keď sa rovnaké číslo vynásobí, môžeme použiť techniku ​​„umocňovania“. (Samozrejme, keď máte len dve čísla, aj tak ich vynásobíte alebo umocníte. Ak ich však máte veľa, umocnenie na mocninu je oveľa jednoduchšie a vo výpočtoch je tiež menej chýb. veľmi dôležité pre skúšku).
Takže tridsiatka na druhom stupni bude (). Alebo môžete povedať, že tridsať štvorcových bude. Inými slovami, druhá mocnina čísla môže byť vždy reprezentovaná ako štvorec. Naopak, ak vidíte štvorec, je to VŽDY druhá mocnina čísla. Štvorec je vyjadrením druhej mocniny čísla.

Príklad zo života #2

Tu je úloha pre vás, spočítajte, koľko polí je na šachovnici pomocou druhej mocniny čísla... Na jednej strane buniek a na druhej tiež. Ak chcete spočítať ich počet, musíte vynásobiť osem ôsmimi alebo ... ak si všimnete, že šachovnica je štvorec so stranou, potom môžete odmocniť osem. Získate bunky. () Takže?

Príklad života číslo 3

Teraz kocka alebo tretia mocnina čísla. Ten istý bazén. Teraz však musíte zistiť, koľko vody bude potrebné naliať do tohto bazéna. Musíte vypočítať objem. (Mimochodom, objemy a kvapaliny sa merajú v kubických metroch. Prekvapivo, však?) Nakreslite bazén: dno je veľké meter a meter hlboké a skúste si spočítať, koľko metrov kubických na meter sa dostane do vášho bazéna.

Ukážte prstom a počítajte! Jeden, dva, tri, štyri ... dvadsať dva, dvadsať tri ... Koľko to vyšlo? Nestratili ste sa? Je ťažké počítať prstom? Takže to! Vezmite si príklad od matematikov. Sú leniví, a tak si všimli, že na výpočet objemu bazéna je potrebné navzájom vynásobiť jeho dĺžku, šírku a výšku. V našom prípade sa objem bazéna bude rovnať kockám ... Jednoduchšie, však?

Teraz si predstavte, akí leniví a prefíkaní sú matematici, ak zjednodušia aj toto. Všetko zredukovali na jednu akciu. Všimli si, že dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a že to isté číslo sa samo násobí... Čo to znamená? To znamená, že môžete využiť titul. Takže to, čo ste kedysi spočítali prstom, urobia v jednej akcii: tri v kocke sa rovná. Píše sa to takto:.

Zostáva len pamätajte na tabuľku stupňov... Ak, samozrejme, nie ste leniví a prefíkaní ako matematici. Ak radi tvrdo pracujete a robíte chyby, môžete ďalej počítať prstom.

Aby sme vás konečne presvedčili, že tituly vymysleli lenivci a prefíkaní ľudia, aby riešili svoje životné problémy a nie aby vám robili problémy, tu je ešte pár príkladov zo života.

Príklad zo života číslo 4

Máte milión rubľov. Na začiatku každého roka zarobíte z každého milióna ďalší. To znamená, že každý váš milión sa na začiatku každého roka zdvojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Ak teraz sedíte a „počítate prstom“, potom ste veľmi pracovitý človek a ... hlúpy. Ale s najväčšou pravdepodobnosťou odpoviete za pár sekúnd, pretože ste šikovný! Takže v prvom roku - dva krát dva ... v druhom roku - to bolo o dva viac, v treťom roku ... Stop! Všimli ste si, že číslo sa raz vynásobí samo. Takže dve až piata mocnina je milión! Teraz si predstavte, že máte súťaž a tie milióny dostane ten, kto počíta rýchlejšie ... Oplatí sa pamätať si stupne čísel, čo myslíte?

Príklad zo života č. 5

Máš milión. Na začiatku každého roka zarobíte z každého milióna o dva viac. Skvelé, nie? Každý milión sa strojnásobí. Koľko peňazí budete mať za roky? Poďme počítať. Prvý rok - násobte, potom výsledok ďalším ... Už je to nudné, pretože ste už všetko pochopili: trikrát sa násobí samo. Štvrtá mocnina sa teda rovná miliónu. Len si treba uvedomiť, že tri až štvrtá mocnina je alebo.

Teraz už viete, že zvýšením čísla na mocninu si výrazne uľahčíte život. Poďme sa pozrieť na to, čo môžete robiť s titulmi a čo o nich potrebujete vedieť.

Pojmy a pojmy ... aby ste sa neplietli

Najprv si teda definujme pojmy. Co si myslis, čo je exponent? Je to veľmi jednoduché – ide o číslo, ktoré je „navrchu“ mocniny čísla. Nie je to vedecké, ale zrozumiteľné a ľahko zapamätateľné ...

No zároveň to takýto diplomový základ? Je to ešte jednoduchšie - toto je číslo, ktoré je nižšie, na základni.

Tu je pre istotu nákres.

No, vo všeobecnosti, aby sme si to lepšie zovšeobecnili a zapamätali... Titul so základom „“ a indikátorom „“ sa číta ako „v stupni“ a píše sa takto:

Stupeň čísla s prirodzeným exponentom

Pravdepodobne ste už uhádli: pretože exponent je prirodzené číslo. Áno, ale čo je prirodzené číslo? Základné! Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú pri počítaní pri uvádzaní predmetov: jeden, dva, tri ... Keď počítame predmety, nehovoríme: „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“. Tiež nehovoríme: „jedna tretina“ alebo „nula, päť desatín“. Toto nie sú prirodzené čísla. Aké čísla to podľa vás sú?

Čísla ako „mínus päť“, „mínus šesť“, „mínus sedem“ označujú celé čísla. Vo všeobecnosti celé čísla zahŕňajú všetky prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam (t. j. brané so znamienkom mínus) a číslo. Nulu je ľahké porozumieť – vtedy nie je nič. Čo znamenajú záporné („mínusové“) čísla? Boli však vynájdené predovšetkým na označenie dlhov: ak máte v telefóne ruble, znamená to, že dlhujete operátorovi ruble.

Akékoľvek zlomky sú racionálne čísla. Čo myslíte, ako vznikli? Veľmi jednoduché. Pred niekoľkými tisíckami rokov naši predkovia zistili, že im chýbajú prirodzené čísla na meranie dĺžky, hmotnosti, plochy atď. A prišli na to racionálne čísla... Zaujímavé, nie?

Existujú aj iracionálne čísla. Aké sú tieto čísla? Skrátka nekonečný desatinný zlomok. Ak napríklad vydelíte obvod kruhu jeho priemerom, dostanete iracionálne číslo.

Zhrnutie:

Definujme pojem stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (teda celé a kladné číslo).

1. Akékoľvek číslo v prvej mocnine sa rovná samo sebe:
2. Odmocniť číslo znamená vynásobiť ho samo sebou:
3. Kockovať číslo znamená vynásobiť ho samo sebou trikrát:

Definícia. Zvýšenie čísla na prirodzenú mocnosť znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:
.

Výkonové vlastnosti

Odkiaľ sa tieto vlastnosti vzali? Teraz vám to ukážem.

Pozrime sa: čo je a ?

A-priorita:

Koľko faktorov je celkovo?

Je to veľmi jednoduché: k multiplikátorom sme pridali multiplikátory a súčet sú multiplikátory.

Ale podľa definície je to stupeň čísla s exponentom, to znamená, ako je potrebné dokázať.

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie:

Príklad: Zjednodušte výraz.

Riešenie: Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musí mať rovnaké základy!
Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostáva samostatným faktorom:

len pre súčin stupňov!

To v žiadnom prípade nemôžeš napísať.

2. teda -tá mocnina čísla

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy by ste to nemali robiť úplne:

Spomeňme si na skrátené vzorce násobenia: koľkokrát sme chceli písať?

Ale to napokon nie je pravda.

Stupeň so záporným základom

Až do tohto bodu sme diskutovali len o tom, aký by mal byť exponent.

Čo by však malo byť základom?

V stupňoch s prirodzená miera základ môže byť ľubovoľné číslo... V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne.

Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ? Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Negatív je však o niečo zaujímavejší. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme, funguje to.

Sami sa rozhodnite, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli ste to?

Tu sú odpovede: V prvých štyroch príkladoch je snáď všetko jasné? Len sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny.

Teda pokiaľ nie je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý!

6 príkladov na precvičenie

Analýza riešenia 6 príkladov

Ak ignorujeme ôsmy stupeň, čo tu vidíme? Pripomíname program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov! Dostaneme:

Pozrime sa bližšie na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z násobiteľov v čitateli, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by sa mali obrátiť, mohlo by sa uplatniť pravidlo.

Ale ako na to? Ukázalo sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Termíny sú magicky obrátené. Tento „fenomén“ je použiteľný na akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť.

Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

celý nazývame prirodzené čísla oproti nim (teda brané so znamienkom "") a číslo.

kladné celé číslo, ale nelíši sa od prirodzeného, ​​potom všetko vyzerá presne ako v predchádzajúcej časti.

Teraz sa pozrime na niektoré nové prípady. Začnime s ukazovateľom rovným.

Akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej:

Ako vždy, položme si otázku: prečo je to tak?

Zvážte titul so základom. Vezmite si napríklad a vynásobte:

Takže sme číslo vynásobili a dostali sme rovnaké ako -. A aké číslo vynásobiť, aby sa nič nezmenilo? Presne tak, tak. Prostriedky.

To isté môžeme urobiť s ľubovoľným číslom:

Zopakujme si pravidlo:

Akékoľvek číslo v nultom stupni sa rovná jednej.

Existujú však výnimky z mnohých pravidiel. A tu je to tiež tam - toto je číslo (ako základ).

Na jednej strane by sa to malo rovnať akýmkoľvek stupňom - ​​akokoľvek si násobíte, stále dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhej strane, ako každé číslo v nultom stupni, musí sa rovnať. Čo z toho je teda pravda? Matematici sa rozhodli nezapájať a odmietli zvýšiť nulu na nulu. To znamená, že teraz nemôžeme nielen deliť nulou, ale aj zvýšiť na nulovú mocninu.

Poďme ďalej. Okrem prirodzených čísel a čísel patria medzi celé čísla aj záporné čísla. Aby sme pochopili, čo je záporná mocnina, urobme to isté ako naposledy: vynásobte nejaké normálne číslo rovnakou zápornou mocninou:

Odtiaľ je už ľahké vyjadriť, čo hľadáte:

Teraz rozšírime výsledné pravidlo na ľubovoľnú mieru:

Sformulujme teda pravidlo:

Číslo v zápornej mocnine je inverzné k rovnakému číslu v kladnej mocnine. Ale v rovnakom čase základ nemôže byť nulový:(pretože nemôžete deliť).

Poďme si to zhrnúť:

I. Výraz neuvedený v prípade písmen. Ak potom.

II. Akékoľvek číslo s nulovým stupňom sa rovná jednej:.

III. Číslo, ktoré sa nerovná nule, je v zápornej mocnine inverzne k rovnakému číslu v kladnej mocnine:.

Úlohy na samostatné riešenie:

No, a ako obvykle, príklady pre nezávislé riešenie:

Analýza úloh pre samostatné riešenie:

Viem, viem, čísla sú hrozné, ale na skúške treba byť pripravený na všetko! Vyriešte tieto príklady alebo analyzujte ich riešenie, ak ste ich nevedeli vyriešiť, a na skúške sa naučíte, ako sa s nimi ľahko vyrovnať!

Pokračujme v rozširovaní okruhu čísel „vhodných“ ako exponent.

Teraz zvážte racionálne čísla. Aké čísla sa nazývajú racionálne?

Odpoveď: všetko, čo môže byť reprezentované ako zlomok, kde a sú celé čísla, navyše.

Aby ste pochopili, čo je Zlomkový stupeň, zvážte zlomok:

Umocnime obe strany rovnice:

Teraz si pripomeňme pravidlo o "Od stupňa k stupňu":

Aké číslo je potrebné zvýšiť na mocninu, aby ste získali?

Táto formulácia je definíciou th koreňa.

Dovoľte mi pripomenúť: odmocnina tej mocniny čísla () je číslo, ktoré sa po umocnení rovná.

To znamená, že koreň tej mocniny je inverzná operácia umocnenia:.

Ukazuje sa, že. Je zrejmé, že tento konkrétny prípad môže byť rozšírený:.

Teraz pridáme čitateľa: čo to je? Odpoveď sa dá ľahko získať pomocou pravidla od stupňa k stupňu:

Ale môže byť základom akékoľvek číslo? Koniec koncov, koreň nemožno extrahovať zo všetkých čísel.

Žiadne!

Pamätajte na pravidlo: každé číslo umocnené na párnu mocninu je kladné číslo. To znamená, že zo záporných čísel nemôžete extrahovať korene párneho stupňa!

A to znamená, že takéto čísla nemožno zvýšiť na zlomkovú mocninu s párnym menovateľom, to znamená, že výraz nedáva zmysel.

A čo vyjadrovanie?

Tu však nastáva problém.

Číslo môže byť reprezentované ako iné, zrušiteľné zlomky, napr.

A ukázalo sa, že existuje, ale neexistuje, ale sú to len dva rôzne záznamy rovnakého čísla.

Alebo iný príklad: raz, potom môžete písať. Ak si však ukazovateľ zapíšeme iným spôsobom, a opäť nám bude nepríjemnosť: (to znamená, že sme dostali úplne iný výsledok!).

Aby sme sa vyhli takýmto paradoxom, uvažujeme iba kladný radix s zlomkovým exponentom.

Takže ak:

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Racionálne exponenty sú veľmi užitočné na konverziu koreňových výrazov, napríklad:

5 príkladov na precvičenie

Rozbor 5 príkladov na tréning

A teraz to najťažšie. Teraz budeme analyzovať iracionálny stupeň.

Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou

V skutočnosti sú iracionálne čísla podľa definície čísla, ktoré nemožno reprezentovať ako zlomok, kde a sú celé čísla (to znamená, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celistvým a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch.

Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí;

...číslo nula stupňa- je to akoby číslo raz vynásobené samo sebou, teda ešte sa nezačalo násobiť, čiže samotné číslo sa ani neobjavilo - výsledkom je teda len akési „prázdne číslo “, menovite číslo;

...celočíselný záporný exponent- akoby prebiehal akýsi "obrátený proces", teda číslo sa nenásobilo samo sebou, ale delilo.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným ukazovateľom, to znamená, že ukazovateľ nie je ani skutočné číslo.

Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, v inštitúte budete mať možnosť pochopiť tieto nové pojmy.

KAM SOM SI ISTÝ, ŽE PÔJDETE! (ak sa naucis riesit taketo priklady :))

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

Analýza riešení:

1. Začnime s už zaužívaným pravidlom pre zvýšenie moci na moc:

Teraz sa pozrite na indikátor. Pripomína ti niečo? Pripomíname si vzorec pre skrátené násobenie, rozdiel štvorcov:

V tomto prípade,

Ukazuje sa, že:

odpoveď: .

2. Zlomky v exponentoch uvádzame do rovnakého tvaru: buď oba desiatkové, alebo oba obyčajné. Zoberme si napríklad:

odpoveď: 16

3. Nič zvláštne, aplikujeme obvyklé vlastnosti stupňov:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určenie stupňa

Titul je vyjadrením tvaru:, kde:

• — základ titulu;
• - exponent.

Stupeň s prirodzeným exponentom (n = 1, 2, 3, ...)

Zvýšenie čísla na prirodzenú mocninu n znamená vynásobenie čísla samo o sebe krát:

Celočíselný stupeň (0, ± 1, ± 2, ...)

Ak je exponent celé pozitívnečíslo:

Erekcia na nulový stupeň:

Výraz je neurčitý, pretože na jednej strane do akéhokoľvek stupňa - toto a na druhej strane - do akéhokoľvek čísla na tý stupeň - toto.

Ak je exponent celý negatívnyčíslo:

(pretože nemôžete deliť).

Ešte raz o nulách: výraz nie je definovaný v prípade veľkých písmen. Ak potom.

Príklady:

Racionálny stupeň

• - prirodzené číslo;
• - celé číslo;

Príklady:

Výkonové vlastnosti

Aby sme uľahčili riešenie problémov, pokúsme sa pochopiť: odkiaľ tieto vlastnosti pochádzajú? Dokážme ich.

Pozrime sa: čo je a?

A-priorita:

Takže na pravej strane tohto výrazu dostaneme nasledujúci produkt:

Ale podľa definície je to stupeň čísla s exponentom, to znamená:

Q.E.D.

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : .

Príklad : Zjednodušte výraz.

Riešenie : Je dôležité poznamenať, že v našom pravidle nevyhnutne musia mať rovnaké základy. Preto kombinujeme stupne so základňou, ale zostáva samostatným faktorom:

Ešte jedna dôležitá poznámka: toto pravidlo je - len pre súčin stupňov!

To by som v žiadnom prípade nemal písať.

Rovnako ako pri predchádzajúcej vlastnosti, prejdime k definícii stupňa:

Usporiadajme tento kúsok takto:

Ukazuje sa, že výraz sa sám násobí raz, to znamená, že podľa definície je to tá mocnina čísla:

V podstate to možno nazvať „zátvorkou indikátora“. Ale nikdy by ste to nemali robiť úplne:!

Spomeňme si na skrátené vzorce násobenia: koľkokrát sme chceli písať? Ale to napokon nie je pravda.

Titul so záporným základom.

Do tejto chvíle sme len diskutovali o tom, ako by to malo byť index stupňa. Čo by však malo byť základom? V stupňoch s prirodzené indikátor základ môže byť ľubovoľné číslo .

V skutočnosti môžeme navzájom vynásobiť akékoľvek čísla, či už sú kladné, záporné alebo párne. Zamyslime sa nad tým, ktoré znamienka ("" alebo "") budú mať mocniny kladných a záporných čísel?

Napríklad, bude číslo kladné alebo záporné? A? ?

Pri prvom je všetko jasné: bez ohľadu na to, koľko kladných čísel navzájom vynásobíme, výsledok bude pozitívny.

Negatív je však o niečo zaujímavejší. Veď si pamätáme jednoduché pravidlo zo 6. ročníka: „mínus za mínus dáva plus“. Teda resp. Ale ak vynásobíme (), dostaneme -.

A tak ďalej do nekonečna: pri každom ďalšom násobení sa znamenie zmení. Môžete formulovať také jednoduché pravidlá:

1. dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
2. Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
3. Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
4. Nula k akejkoľvek mocnine sa rovná nule.

Sami sa rozhodnite, aké znamenie budú mať nasledujúce výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli ste to? Tu sú odpovede:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dúfam, že v prvých štyroch príkladoch je všetko jasné? Len sa pozrieme na základ a exponent a použijeme príslušné pravidlo.

V príklade 5) tiež nie je všetko také strašidelné, ako sa zdá: nezáleží na tom, čomu sa rovná základňa - stupeň je párny, čo znamená, že výsledok bude vždy pozitívny. Teda pokiaľ nie je základ nula. Základ nie je rovnaký, však? Očividne nie, keďže (lebo).

Príklad 6) už nie je taký jednoduchý. Tu musíte zistiť, čo je menej: alebo? Ak si to pamätáte, je jasné, že to znamená, že základňa je menšia ako nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledok bude negatívny.

A opäť použijeme definíciu stupňa:

Všetko je ako obvykle - zapíšeme definíciu stupňov a rozdelíme ich na seba, rozdelíme do dvojíc a dostaneme:

Pred preskúmaním posledného pravidla vyriešme niekoľko príkladov.

Vypočítajte hodnoty výrazov:

Riešenia :

Ak ignorujeme ôsmy stupeň, čo tu vidíme? Pripomíname program pre 7. ročník. Takže, pamätáš? Toto je vzorec pre skrátené násobenie, a to rozdiel štvorcov!

Dostaneme:

Pozrime sa bližšie na menovateľa. Vyzerá to ako jeden z násobiteľov v čitateli, ale čo je zlé? Nesprávne poradie výrazov. Ak by boli obrátené, mohlo by sa uplatniť pravidlo 3. Ale ako to urobiť? Ukázalo sa, že je to veľmi jednoduché: tu nám pomáha párny stupeň menovateľa.

Ak to vynásobíte, nič sa nezmení, však? Teraz sa však ukazuje nasledovné:

Termíny sú magicky obrátené. Tento „fenomén“ je použiteľný na akýkoľvek výraz v párnej miere: znamienka v zátvorkách môžeme ľubovoľne meniť. Ale je dôležité mať na pamäti: všetky znaky sa menia súčasne! Nedá sa nahradiť zmenou len jednej nevýhody, ktorú nechceme!

Vráťme sa k príkladu:

A opäť vzorec:

Takže teraz posledné pravidlo:

Ako to chceme dokázať? Samozrejme, ako obvykle: rozšírme pojem titul a zjednodušíme:

Teraz otvoríme zátvorky. Koľko písmen bude? krát podľa násobiteľov - ako to vyzerá? Toto nie je nič iné ako definícia operácie násobenie: boli tam len multiplikátory. To znamená, že je to podľa definície stupeň čísla s exponentom:

Príklad:

Iracionálny stupeň

Okrem informácií o stupňoch pre strednú úroveň budeme analyzovať stupeň s iracionálnym exponentom. Všetky pravidlá a vlastnosti stupňov sú tu úplne rovnaké ako pre stupeň s racionálnym exponentom, s výnimkou - napokon iracionálne čísla sú podľa definície čísla, ktoré nemožno znázorniť ako zlomok, kde a sú celé čísla (teda je, že iracionálne čísla sú všetky reálne čísla okrem racionálnych).

Pri štúdiu titulov s prirodzeným, celistvým a racionálnym ukazovateľom sme si zakaždým vytvorili akýsi „obraz“, „analógiu“ alebo opis v známejších výrazoch. Napríklad prirodzený exponent je číslo, ktoré sa niekoľkokrát vynásobí; číslo do nultého stupňa je akoby číslom, ktoré sa raz násobí samo sebou, to znamená, že sa ešte nezačalo násobiť, čo znamená, že samotné číslo sa ešte ani neobjavilo - výsledkom je teda iba druh "prázdneho čísla", konkrétne čísla; stupeň so záporným celočíselným exponentom je ako keby prebiehal nejaký „obrátený proces“, teda číslo sa nenásobilo samo sebou, ale delilo.

Je mimoriadne ťažké predstaviť si stupeň s iracionálnym exponentom (rovnako ako je ťažké predstaviť si 4-rozmerný priestor). Ide skôr o čisto matematický objekt, ktorý matematici vytvorili, aby rozšírili pojem stupňa na celý priestor čísel.

Mimochodom, vo vede sa často používa titul s komplexným ukazovateľom, to znamená, že ukazovateľ nie je ani skutočné číslo. Ale v škole o takýchto ťažkostiach neuvažujeme, v inštitúte budete mať možnosť pochopiť tieto nové pojmy.

Čo teda robíme, keď vidíme iracionálny exponent? Zo všetkých síl sa ho snažíme zbaviť! :)

Napríklad:

Rozhodnite sa sami:

1)

2)

3)

odpovede:

1. Pripomíname si vzorec pre rozdiel štvorcov. Odpoveď: .
2. Zlomky prinášame do rovnakého tvaru: buď obe desatinné miesta, alebo obe obyčajné. Dostaneme napríklad:.
3. Nič zvláštne, používame obvyklé vlastnosti stupňov:

ZHRNUTIE SEKCIE A ZÁKLADNÉ VZORCE

stupňa sa nazýva výraz v tvare:, kde:

Celočíselný stupeň

stupňa, ktorého exponentom je prirodzené číslo (t. j. celé a kladné).

Racionálny stupeň

stupňa, ktorého exponentom sú záporné a zlomkové čísla.

Iracionálny stupeň

stupňa, ktorého exponentom je nekonečný desatinný zlomok alebo odmocnina.

Výkonové vlastnosti

Vlastnosti stupňov.

• Záporné číslo zvýšené na dokonca stupeň, - číslo pozitívne.
• Záporné číslo zvýšené na zvláštny stupeň, - číslo negatívne.
• Kladné číslo v akomkoľvek stupni je kladné číslo.
• Nula sa rovná akejkoľvek moci.
• Akékoľvek číslo s nulovým stupňom sa rovná.

TERAZ VAŠE SLOVO...

Ako sa vám páči článok? Napíšte do komentárov, či sa vám to páči alebo nie.

Povedzte nám o svojich skúsenostiach s vlastnosťami titulov.

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov.

A veľa šťastia pri skúškach!

Každá aritmetická operácia sa niekedy stáva príliš ťažkopádnou na písanie a snažia sa ju zjednodušiť. Kedysi to tak bolo aj s operáciou sčítania. Ľudia potrebovali vykonať viacero dodatkov rovnakého typu, napríklad na výpočet ceny sto perzských kobercov, ktorých cena je 3 zlaté mince. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Kvôli svojej ťažkopádnosti sa vymyslelo zníženie rekordu na 3 * 100 = 300. V skutočnosti rekord „trikrát sto“ znamená, že musíte sto trojíc a spočítajte to. Násobenie sa zakorenilo a získalo všeobecnú obľubu. Svet však nestojí a v stredoveku bolo potrebné vykonať viacnásobné násobenie rovnakého typu. Spomínam si na starú indiánsku hádanku o mudrcovi, ktorý si za odmenu za prácu pýtal nasledovné množstvo pšeničných zŕn: za prvé pole šachovnice si vypýtal jedno zrno, za druhé dve, za tretie štyri, za tretie osem. piaty a tak ďalej. Takto sa objavilo prvé násobenie mocnín, pretože počet zŕn sa rovnal dvom mocnine počtu buniek. Napríklad v poslednej bunke by bolo 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 zŕn, čo sa rovná počtu 18 znakov, čo je v skutočnosti význam hádanky.

Operácia zvyšovania moci sa zakorenila pomerne rýchlo a rýchlo sa stalo aj nevyhnutnosťou vykonávať sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie síl. To posledné stojí za zváženie podrobnejšie. Vzorce na pridávanie stupňov sú jednoduché a ľahko zapamätateľné. Okrem toho je veľmi ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú, ak je výkonová operácia nahradená násobením. Najprv však musíte pochopiť základnú terminológiu. Výraz a^b (čítaj „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by sa malo vynásobiť samo sebou b-krát a „a“ sa nazýva základ stupňa a „b“ sa nazýva mocninový exponent. . Ak sú základy stupňov rovnaké, potom sú vzorce odvodené celkom jednoducho. Konkrétny príklad: nájdite hodnotu výrazu 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Aby ste vedeli, čo by malo dopadnúť, mali by ste pred začatím riešenia zistiť odpoveď v počítači. Po zadaní tohto výrazu do akejkoľvek online kalkulačky, vyhľadávača, zadaním „násobenia stupňov s rôznymi základňami a rovnakým“ alebo matematického balíka bude výstup 128. Teraz napíšeme tento výraz: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 a 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Ukazuje sa, že 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Ukazuje sa, že súčin stupňov s rovnakou základňou sa rovná základni umocnenej na mocninu rovnajúcu sa súčtu dvoch predchádzajúcich stupňov.

Možno si myslíte, že ide o nehodu, ale nie: každý iný príklad môže toto pravidlo len potvrdiť. Vo všeobecnosti teda vzorec vyzerá takto: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Existuje tiež pravidlo, že každé číslo v nultom stupni sa rovná jednej. Tu by sme mali pamätať na pravidlo záporných mocnín: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. To znamená, že ak 2 ^ 3 = 8, potom 2 ^ (- 3) = 1/8. Pomocou tohto pravidla môžeme dokázať rovnosť a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) môže byť zrušené a zostane iba jedno. Z toho vyplýva pravidlo, že podiel stupňov s rovnakými základmi sa rovná tomuto základu do stupňa rovného podielu exponentu dividendy a deliteľa: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Príklad: Zjednodušte výraz 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Násobenie je komutatívna operácia, preto musíte najprv pridať exponenty násobenia: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Ďalším krokom je zaoberať sa delením záporným exponentom. Od indexu dividendy je potrebné odpočítať index deliteľa: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Ukazuje sa, že operácia delenia záporným stupňom je totožná s operáciou násobenia podobným kladným exponentom. Takže konečná odpoveď je 8.

Existujú príklady, kde dochádza k nekanonickému násobeniu stupňov. Násobenie stupňov s rôznymi základmi je veľmi často oveľa ťažšie a niekedy dokonca nemožné. Je potrebné uviesť niekoľko príkladov rôznych možných techník. Príklad: zjednodušte výraz 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Je zrejmé, že dochádza k násobeniu mocnín s rôznymi základmi. Treba však poznamenať, že všetky bázy majú rôzne stupne tripletu. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Pomocou pravidla (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m) by ste mali výraz prepísať do vhodnejšieho tvaru: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3^ (11). Odpoveď: 3 ^ 11. V prípadoch, keď existujú rôzne dôvody, pravidlo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funguje pre rovnaké ukazovatele. Napríklad 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. V opačnom prípade, keď existujú rôzne základy a ukazovatele, nie je možné vykonať úplné násobenie. Niekedy je možné čiastočne zjednodušiť alebo sa uchýliť k pomoci výpočtovej techniky.