Muunna kahden kulman kosinien summa (erotus) tuloksi
Kahden kulman kosinien summalle ja erolle ovat totta seuraavat kaavat:
Kahden kulman kosinien summa on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolisumman kosinin ja puolikkaan eron kosinin kaksoistulo.
Kahden kulman kosinien ero on yhtä suuri kuin miinus kaksi kertaa näiden kulmien puolisumman sinin ja puolikkaan eron sinin tulo.
Esimerkkejä
Kaavat (1) ja (2) voidaan saada monella tavalla. Todistakaamme esimerkiksi kaava (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Häneen uskominen (α + β) = NS , (α - β) = klo, tulemme kaavaan (1). Tämä menetelmä on samanlainen kuin se, jolla kaava kahden kulman sinien summalle saatiin edellisessä kappaleessa.
2. tapa. Edellisessä osiossa todistimme kaavan
Häneen uskominen α = NS + π / 2, β = klo + π / 2, saamme:
Mutta valukaavojen mukaan synti ( NS+ π / 2) == cos x, sin (y + π / 2) = cos y;
Siten,
Q.E.D.
Pyydämme opiskelijoita todistamaan kaavan (2) itse. Yritä löytää ainakin kaksi eri tapaa todistaa!
Harjoitukset
1. Laske ilman taulukoita kaavoilla kahden kulman kosinien summalle ja erolle:
a). cos 105 ° + cos 75 °. G). cos 11π / 12- cos 5π / 12..
b). cos 105 ° - cos 75 °. e). cos 15 ° -sin 15 °.
v). cos 11π / 12+ cos 5π / 12.. f). synti π / 12+ cos 11π / 12.
2 ... Yksinkertaista näitä ilmaisuja:
a). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).
b). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).
3. Jokainen identiteetistä
synti α + cos α = \/ 2 synti ( α + π / 4)
synti α - cos α = \/ 2 synti ( α - π / 4)
todistaa ainakin kahdella eri tavalla.
4. Nämä ilmaisut tulee esittää teosten muodossa:
a). \/ 2 + 2 cos α ... v). synti x + cos y.
b). \/ 3 - 2 cos α ... G). synti x - cos y.
5 ... Yksinkertaista lauseke sin 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .
6 .Noudata näitä ilmaisuja (nro 1156-1159):
a). 1 + synti α - cos α
b). synti α + synti (α + β) + synti β .
v). cos α + cos 2α+ cos 3α
G). 1 + synti α + cos α
7. Todista annetut henkilöllisyydet
8. Todista, että kulmien kosinit α ja β ovat samanarvoisia jos ja vain jos
α = ± β + 2 nπ,
missä n on jokin kokonaisluku.
Valukaavat
Valukaavojen avulla on mahdollista löytää trigonometristen funktioiden arvot mille tahansa kulmille (ei vain teräville). Niiden avulla voit suorittaa muunnoksia, jotka yksinkertaistavat trigonometristen lausekkeiden muotoa.
Kuva 1.
Pelkistyskaavojen lisäksi tehtävien ratkaisemisessa käytetään seuraavia peruskaavoja.
1) Yhden kulman kaavat:
2) Joidenkin trigonometristen funktioiden ilmaisu muiden suhteen:
Kommentti
Näissä kaavoissa radikaalimerkkiä edeltää $ "+" $ tai $ "-" $ riippuen siitä, millä neljänneksellä kulma on.
Sinien summa ja erotus, kosinien summa ja erotus
Kaavat funktioiden summalle ja erolle:
Funktioiden summan ja eron kaavojen lisäksi tehtäviä ratkaistaessa ovat hyödyllisiä funktioiden tulokaavat:
Perussuhteet vinojen kolmioiden elementtien välillä
Legenda:
$ a $, $ b $, $ c $ - kolmion sivut;
$ A $, $ B $, $ C $ - lueteltujen sivujen vastakkaiset kulmat;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - puoliperimetri;
$ S $ - alue;
$ R $ - rajatun ympyrän säde;
$ r $ - piirretyn ympyrän säde.
Perussuhteet:
1) $ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) = 2 \ cdot R $ - sinilause;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ - kosinilause;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (A-B) (2)) $ - tangenttilause;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C = \ sqrt (p \ cdot \ vasen (pa \ oikea) \ cdot \ vasen (pb \ oikea) \ cdot \ vasen (pc \ oikea)) = r \ cdot p = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - aluekaavat.
Viistojen kolmioiden ratkaiseminen
Vintojen kolmioiden ratkaisu sisältää kaikkien sen elementtien määrittelyn: sivut ja kulmat.
Esimerkki 1
Sivuja on kolme $ a $, $ b $, $ c $:
1) kolmiossa kulmien laskemiseen voidaan käyttää vain kosinilausetta, koska vain arkosinin pääarvo on kolmiota vastaavan $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ pi $ sisällä;
3) etsi kulma $ B $ soveltamalla kosinilausetta $ \ cos B = \ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \ cdot a \ cdot c) $, ja sitten käänteinen trigonometrinen funktio $ B = \ arccos \ left (\ cos B \ right) $;
Esimerkki 2
Annettu kaksi sivua $ a $, $ b $ ja kulma $ C $ niiden välillä:
1) etsi sivu $ c $ kosinilauseella $ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C $;
2) etsi kulma $ A $ soveltamalla kosinilausetta $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \ cdot b \ cdot c) $, ja sitten käänteinen trigonometrinen funktio $ A = \ arccos \ left (\ cos A \ right) $;
3) etsi kulma $ B $ kaavalla $ B = 180 () ^ \ circ - \ left (A + C \ right) $.
Esimerkki 3
Annettu kaksi kulmaa $ A $, $ B $ ja sivu $ c $:
1) etsi kulma $ C $ kaavalla $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $;
2) etsi $ a $ sivu sinilauseella $ a = \ frac (c \ cdot \ sin A) (\ sin C) $;
3) etsi sivu $ b $ sinilauseella $ b = \ frac (c \ cdot \ sin B) (\ sin C) $.
Esimerkki 4
Kun otetaan huomioon sivut $ a $, $ b $ ja kulma $ B $ vastapäätä sivua $ b $:
1) kirjoitetaan annettuja arvoja käyttäen kosinilause $ b ^ (2) = a ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $; tästä saamme toisen asteen yhtälön $ c ^ (2) - \ left (2 \ cdot a \ cdot \ cos B \ right) \ cdot c + \ left (a ^ (2) -b ^ (2) \ oikea) = 0 $ suhteessa sivuihin $ c $;
2) kun saatu toisen asteen yhtälö on ratkaistu, voimme teoriassa saada yhden kolmesta tapauksesta - kaksi positiivista arvoa $ c $ -puolelle, yksi positiivinen arvo $ c $ -puolelle, positiivisten arvojen puuttuminen $ c $ -puolelle c $ puoli; vastaavasti ongelmalla on kaksi, yksi tai nolla ratkaisua;
3) käyttämällä sivun $ c $ tiettyä positiivista arvoa, löydämme kulman $ A $ soveltamalla kosinilausetta $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2 )) (2 \ cdot b \ cdot c) $ ja sen jälkeen käänteinen trigonometrinen funktio $ A = \ arccos \ left (\ cos A \ right) $;
4) Etsi kulma $ C $ kaavalla $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $.
Kahden kulman α ja β sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavat mahdollistavat sen, että kulmien summasta voidaan siirtyä kulmien α + β 2 ja α - β 2 tuloon. Huomaa heti, että sinun ei pidä sekoittaa sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja summan ja erotuksen sinien ja kosinien kaavoihin. Alla luetellaan nämä kaavat, annamme niiden johtamisen ja näytämme esimerkkejä sovelluksista tiettyihin ongelmiin.
Kaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle
Kirjataan ylös, miltä summa- ja erotuskaavat näyttävät sineille ja kosineille
Summa- ja erotuskaavat sineille
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Kosinien summa- ja erotuskaavat
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β - 2 α 2
Nämä kaavat pätevät kaikille kulmille α ja β. Kulmia α + β 2 ja α - β 2 kutsutaan vastaavasti kulmien alfa ja beta puolisummaksi ja puoli-eroksi. Annetaan jokaiselle kaavalle formulaatio.
Kaavojen määritelmät sinien ja kosinien summalle ja erolle
Kahden kulman sinien summa on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolikkaan summan sinin kaksinkertainen tulo puolieron kosinilla.
Kahden kulman sinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolikkaan eron sinin puolisumman kosinin kaksoistulo.
Kahden kulman kosinien summa on kaksi kertaa näiden kulmien puolisumman kosinin ja puolikkaan eron kosinin tulo.
Kahden kulman kosinien ero on yhtä suuri kuin näiden kulmien puolisumman sinin ja puolikkaan eron kosini negatiivisella etumerkillä otettuna.
Kaavojen johtaminen sinien ja kosinien summalle ja erolle
Kahden kulman sinin ja kosinin summan ja eron kaavojen johtamiseen käytetään summauskaavoja. Esittelemme ne alla
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Esitämme myös itse kulmat puolisummien ja puolierojen summana.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Siirrymme suoraan sinin ja cosin summa- ja erotuskaavojen johtamiseen.
Sinien summan kaavan johtaminen
Korvaa summassa sin α + sin β α ja β näiden kulmien lausekkeilla, jotka on annettu edellä. Saamme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nyt sovelletaan yhteenlaskukaavaa ensimmäiseen lausekkeeseen ja kulmaerojen sinikaavaa toiseen (katso yllä olevat kaavat)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Laajenna sulut, esitä samanlaiset termit ja hanki vaadittu kaava
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β α + 2 cos α - β 2
Muiden kaavojen johtamisvaiheet ovat samanlaisia.
Sinien eron kaavan johtaminen
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 - α cos α + β 2
Kosinien summan kaavan johtaminen
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + β cos α - β 2
Kosinien erotuksen kaavan johtaminen
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2
Esimerkkejä käytännön ongelmien ratkaisemisesta
Ensin tarkistetaan yksi kaavoista korvaamalla siihen kulmien tietyt arvot. Olkoon α = π 2, β = π 6. Lasketaan näiden kulmien sinien summan arvo. Ensin käytämme trigonometristen funktioiden perusarvojen taulukkoa ja sitten käytämme kaavaa sinien summalle.
Esimerkki 1. Kahden kulman sinien summan kaavan tarkistaminen
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Tarkastellaan nyt tapausta, jossa kulmien arvot poikkeavat taulukossa esitetyistä perusarvoista. Olkoon α = 165 °, β = 75 °. Lasketaan näiden kulmien sinien välisen erotuksen arvo.
Esimerkki 2. Kaavan soveltaminen sinien erolle
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Käyttämällä sinien ja kosinien summan ja erotuksen kaavoja voit siirtyä summasta tai erotuksesta trigonometristen funktioiden tuloon. Näitä kaavoja kutsutaan usein summa-tulo-siirtymäkaavoiksi. Sinien ja kosinien summan ja eron kaavoja käytetään laajasti trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen lausekkeiden muuntamisessa.
Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter
Oppitunnin aihe. Poskionteloiden summa ja erotus. Kosinien summa ja erotus.
(Oppitunti uuden tiedon omaksumisesta.)
Oppitunnin tavoitteet.
Didaktinen:
johtaa kaavoja sinien ja kosinien summalle ja helpottaa niiden assimilaatiota tehtävien ratkaisun aikana;
jatkaa trigonometristen kaavojen käytön taitojen muodostumista;
valvoa aiheen materiaalin assimilaatioastetta.
Kehitetään:
edistää tiedon itsenäisen soveltamisen taidon kehittymistä;
kehittää itsehillinnän ja keskinäisen hallinnan taitoja;
jatkaa työtä loogisen ajattelun ja suullisen matemaattisen puheen kehittämiseksi etsimään ratkaisua esitettyyn ongelmaan.
Koulutuksellinen:
opettaa kykyä kommunikoida ja kuunnella muita;
kouluttaa tarkkaavaisuutta ja tarkkaavaisuutta;
lisää motivaatiota ja kiinnostusta trigonometrian oppimiseen.
Laitteet: esitys, interaktiivinen taulu, kaavat.
Tuntien aikana:
Ajan järjestäminen. - 2 minuuttia.
Perustietojen päivittäminen. Kertaus. - 12 minuuttia
Tavoitteiden asettaminen. - 1 minuutti.
Uuden tiedon havaitseminen ja ymmärtäminen. - 3 min.
Hankitun tiedon soveltaminen. - 20 minuuttia.
Saavutusten analysointi ja toimintojen korjaaminen. - 5 minuuttia.
Heijastus. - 1 minuutti.
Kotitehtävät. - 1 minuutti.
1. Ajan järjestäminen.(dia 1)
- Hei! Trigonometria on yksi mielenkiintoisimmista matematiikan osa-alueista, mutta jostain syystä useimmat opiskelijat pitävät sitä vaikeimpana. Tämä selittyy todennäköisesti sillä, että tässä osiossa on enemmän kaavoja kuin missään muussa. Trigonometriaongelmien ratkaisemiseksi onnistuneesti sinun on oltava varma lukuisista kaavoista. Monia kaavoja on jo tutkittu, mutta käy ilmi, etteivät kaikki. Siksi tämän oppitunnin motto on Pythagoraan sanonta "Kävelevä hallitsee tien ja ajatteleva matematiikan". Mietitään!
2. Perustietojen päivittäminen. Kertaus.
1) matemaattinen sanelu keskinäisellä tarkistuksella(diat 2-5)
Ensimmäinen tehtävä. Opittujen kaavojen käyttö laskea:
Vaihtoehto 1
Vaihtoehto 2
synti 390 0
hinta 420 0
1 - cos 2 30 0
1 - sin 2 60 0
cos 120 0 ∙ cos 30 0 + sin 120 0 ∙ sin 30 0
sin 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ sin 150 0
Vastaukset:; 1; -; ; -; - 1; 1; ; ; 0; ; 3. - keskinäinen todentaminen.
Arviointikriteerit: (työt luovutetaan opettajalle)
"4" - 10 - 11
2) ongelmallinen tehtävä(dia 6) - opiskelijan esitys.
Yksinkertaista lauseke trigonometristen kaavojen avulla:
Onko mahdollista ratkaista tämä ongelma toisin? (Kyllä, uusilla kaavoilla.)
3. Tavoitteen asettaminen(dia 7)
Oppitunnin aihe:
Poskionteloiden summa ja erotus. Kosinien summa ja erotus. - kirjoittaa muistikirjaan
Oppitunnin tavoitteet:
johda kaavoja sinien summalle ja erolle, kosinien summalle ja erolle;
osata soveltaa niitä käytännössä.
4. Uuden tiedon havaitseminen ja ymmärtäminen. ( dia 8-9)
Johdetaan sinien summan kaava: - opettaja
Loput kaavat todistetaan samalla tavalla: (kaavat summan muuntamiseksi tuloksi)
Muista säännöt!
Mitä muita trigonometrisiä kaavoja todistuksessa käytettiin summauskaavoja?
5. Hankitun tiedon soveltaminen.(diat 10-11)
Uusilla kaavoilla:
1) Laske: (taululla) - Mikä on vastaus? (määrä)
Sanelu opettajan kanssa
6. Saavutusten analysointi ja toimintojen korjaaminen.(dia 13)
Eriytetty itsetesti itsetestillä
Laskea:
7. Heijastus.(dia 14)
Oletko tyytyväinen työhösi oppitunnilla?
Miten arvioisit itseäsi koko oppitunnin ajalta?
Mikä oli oppitunnin mielenkiintoisin hetki?
Mihin sinun piti keskittyä eniten?
8. Kotitehtävät: oppia kaavoja, yksittäisiä tehtäviä korteilla.
). Nämä kaavat sallivat kulmien sinien ja kosinien summan tai eron ja menevät kulmien sinien ja/tai kosinien tuloon ja. Tässä artikkelissa luettelemme ensin nämä kaavat, näytämme sitten niiden johtamisen ja tarkastelemme lopuksi useita esimerkkejä niiden soveltamisesta.
Sivulla navigointi.
Luettelo kaavoista
Kirjataan ylös kaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle. Kuten voit kuvitella, niitä on neljä: kaksi sinejä ja kaksi kosineja.
Antakaamme nyt heidän sanamuotonsa. Kun muotoillaan kaavoja sinien ja kosinien summalle ja erolle, kulmaa kutsutaan kulmien puolisummaksi ja kulmaa kutsutaan puoli-eroksi. Niin,
On huomattava, että kaavat sinien ja kosinien summalle ja erolle pätevät kaikille kulmille ja.
Kaavojen johtaminen
Kaavojen johtamiseen sinien summalle ja erolle voit käyttää yhteenlaskukaavoja, erityisesti kaavoja
sinisumma,
siniero,
summan kosini ja
eron kosini.
Tarvitsemme myös kulmien esityksen muodossa 
ja 
... Tämä esitys on voimassa, samoin kuin kaikille kulmille ja.
Nyt analysoimme yksityiskohtaisesti kahden kulman sinien summan kaavan johtaminen lajit.
Ensinnäkin, summa, korvaamme ja edelleen , ja saamme. Nyt siihen 
sovellamme summan sinikaavaa, ja 
- erotuksen sinin kaava: 
Tällaisten ehtojen vähentämisen jälkeen saamme 
... Tämän seurauksena meillä on kaava muodon sinien summalle.
Jos haluat näyttää loput kaavat, sinun tarvitsee vain tehdä sama. Tässä on sinien erotuksen kaavojen johtaminen sekä kosinien summa ja erotus: 
Kosinien eroa varten olemme antaneet kahden tyyppisiä kaavoja tai 
... Ne ovat samanarvoisia siitä lähtien 
, mikä seuraa vastakkaisten kulmien sinien ominaisuuksista.
Joten olemme analysoineet kaikkien sinien ja kosinien summan ja eron kaavojen todisteet.
Esimerkkejä käytöstä
Katsotaanpa useita esimerkkejä sinien ja kosinien summan kaavojen käytöstä sekä sinien ja kosinien eroista.
Tarkastetaan esimerkiksi muodon sinien summan kaavan pätevyys, ottaen ja. Tätä varten laskemme näiden kulmien kaavan vasemman ja oikean puolen arvot. Koska ja (katso tarvittaessa sinien ja kosinien perusarvojen taulukko), sitten. Sillä ja meillä on 
ja 
, sitten. Siten kaavan vasemman ja oikean puolen arvot sinien summalle ja ovat samat, mikä vahvistaa tämän kaavan pätevyyden.
Joissakin tapauksissa kaavojen käyttö sinien ja kosinien summalle ja erolle antaa sinun laskea trigonometristen lausekkeiden arvot, kun kulmat eroavat peruskulmista ( 
). Annetaan ratkaisu esimerkkiin, joka vahvistaa tämän ajatuksen.
Esimerkki.
Laske 165 ja 75 asteen sinien välisen eron tarkka arvo.
Ratkaisu.
Emme tiedä 165 ja 75 asteen sinien tarkkoja arvoja, joten emme voi suoraan laskea annetun eron arvoa. Mutta sinien eron kaava antaa meille mahdollisuuden vastata ongelman kysymykseen. Todellakin, kulmien 165 ja 75 asteen puolisumma on 120 ja puoliero on 45, ja sinin 45 asteen ja kosinin 120 asteen tarkat arvot tunnetaan.
Näin ollen meillä on 
Vastaus:
.
Epäilemättä sinien ja kosinien summan ja eron kaavojen pääarvo on, että niiden avulla voit siirtyä summasta ja erotuksesta trigonometristen funktioiden tuloon (tästä syystä näitä kaavoja kutsutaan usein siirtymän kaavoiksi summasta trigonometristen funktioiden tuloksi). Ja tästä puolestaan voi olla hyötyä esimerkiksi silloin, kun trigonometristen lausekkeiden muuntaminen tai klo trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen... Mutta nämä aiheet vaativat erillisen keskustelun.
Bibliografia.
- Algebra: Oppikirja. 9 cl:lle. keskiviikko koulu / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Koulutus, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. keskiviikko shk. - 3. painos - M .: Koulutus, 1993 .-- 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analyysin alku: Oppikirja. 10-11 cl. Yleissivistävä koulutus. instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. painos - M .: Koulutus, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin korkeakouluihin hakijoille): Oppikirja. käsikirja - M .; Korkeampi. shk., 1984.-351 s., ill.