Két szög koszinuszának összegének (különbségének) szorzattá alakítása
Két szög koszinuszának összegére és különbségére a következő képletek érvényesek:
Két szög koszinuszának összege egyenlő e szögek félösszegének koszinuszának és félkülönbségének koszinuszának kettős szorzatával.
Két szög koszinusza közötti különbség egyenlő e szögek félösszegének szinuszának és fele-különbségének szinuszának mínusz kétszeresével.
Példák
Az (1) és (2) képleteket sokféleképpen megkaphatjuk. Bizonyítsuk be például az (1) képletet.
cos α cos β = 1 / 2 .
Hinni benne (α + β) = NS , (α - β) = nál nél, eljutunk az (1) képlethez. Ez a módszer hasonló ahhoz, amellyel az előző bekezdésben a két szög szinuszának összegének képletét kaptuk.
2. út. Az előző részben bebizonyítottuk a képletet
Hinni benne α = NS + π / 2, β = nál nél + π / 2, kapunk:
De az öntési képletek szerint bűn ( NS+ π / 2) == cos x, sin (y + π / 2) = cos y;
Ennélfogva,
Q.E.D.
Felkérjük a tanulókat, hogy önállóan bizonyítsák be a (2) képletet. Próbálj legalább két különböző bizonyítási módot találni!
Feladatok
1. Számítsa ki táblázatok nélkül két szög koszinuszának összegét és különbségét képletekkel:
a) cos 105 ° + cos 75 °. G). kötözősaláta 11π / 12- cos 5π / 12..
b). cos 105 ° - cos 75 °. e). cos 15 ° -sin 15 °.
v) kötözősaláta 11π / 12+ cos 5π / 12.. f). bűn π / 12+ cos 11π / 12.
2 ... Egyszerűsítse ezeket a kifejezéseket:
a) cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).
b). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).
3. Mindegyik identitás
bűn α + cos α = \/ 2 bűn ( α + π / 4)
bűn α - cos α = \/ 2 bűn ( α - π / 4)
legalább két különböző módon bizonyítani.
4. Ezeket a kifejezéseket művek formájában kell bemutatni:
a) \/ 2 + 2 cos α ... v) bűn x + cos y.
b). \/ 3 - 2 cos α ... G). bűn x - cos y.
5 ... Egyszerűsítse a sin 2 kifejezést ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .
6 .Kövesse ezeket a kifejezéseket (1156-1159):
a) 1 + bűn α - cos α
b). bűn α + bűn (α + β) + bűn β .
v) kötözősaláta α + cos 2α+ cos 3α
G). 1 + bűn α + cos α
7. Bizonyítsd be a megadott azonosságokat
8. Bizonyítsuk be, hogy a szögek koszinuszai α és β akkor és csak akkor egyenlők
α = ± β + 2 nπ,
ahol n valamilyen egész szám.
Öntött képletek
Az öntési képletek lehetővé teszik a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálását bármilyen szögre (nem csak hegyesre). Segítségükkel olyan transzformációkat hajthat végre, amelyek leegyszerűsítik a trigonometrikus kifejezések formáját.
1. kép
A feladatok megoldásában a redukciós képletek mellett az alábbi alapképletek használatosak.
1) Egy szög képlete:
2) Egyes trigonometrikus függvények kifejezése másokkal:
Megjegyzés
Ezekben a képletekben a gyökjelet meg kell előzni egy $ "+" $ vagy $ "-" $ karakterrel, attól függően, hogy a sarok melyik negyedben van.
Szinuszok összege és különbsége, koszinuszok összege és különbsége
A függvények összegének és különbségének képlete:
A függvények összegének és különbségének képletein kívül a feladatok megoldásánál hasznosak a függvények szorzatának képletei:
A ferde háromszögek elemei közötti alapvető kapcsolatok
Legenda:
$ a $, $ b $, $ c $ - a háromszög oldalai;
$ A $, $ B $, $ C $ - a felsorolt oldalakkal ellentétes szögek;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - félperiméter;
$ S $ - terület;
$ R $ - a körülírt kör sugara;
$ r $ - a beírt kör sugara.
Alapvető kapcsolatok:
1) $ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) = 2 \ cdot R $ - szinusztétel;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ - koszinusz tétel;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (A-B) (2)) $ - érintő tétel;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C = \ sqrt (p \ cdot \ bal (pa \ jobb) \ cdot \ bal (pb \ jobb) \ cdot \ bal (pc \ jobb)) = r \ cdot p = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - területképletek.
Ferde háromszögek megoldása
A ferde háromszögek megoldása magában foglalja az összes elem meghatározását: oldalai és sarkai.
1. példa
Három oldala van $ a $, $ b $, $ c $:
1) háromszögben csak a koszinusztétel használható a szögek kiszámítására, mivel csak az arccosinusz főértéke van a háromszögnek megfelelő $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ pi $ között;
3) keresse meg a $ B $ szöget a $ \ cos B = \ frac koszinusztétel alkalmazásával (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \ cdot a \ cdot c) $, majd inverz trigonometrikus függvény $ B = \ arccos \ left (\ cos B \ right) $;
2. példa
Adott két oldal $ a $, $ b $ és a köztük lévő $ C $ szög:
1) keresse meg a $ c $ oldalt a $ c koszinusztétel alapján ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C $;
2) keresse meg a $ A $ szöget a $ \ cos A = \ frac koszinusztétel alkalmazásával (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \ cdot b \ cdot c) $, majd inverz trigonometrikus függvény $ A = \ arccos \ left (\ cos A \ right) $;
3) keresse meg a $ B $ szöget a következő képlettel: $ B = 180 () ^ \ circ - \ left (A + C \ right) $.
3. példa
Adott két sarok $ A $, $ B $ és egy oldal $ c $:
1) keresse meg a $ C $ szöget a következő képlettel: $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $;
2) keresse meg a $ a $ oldalt a $ a = \ frac (c \ cdot \ sin A) szinusztétel alapján (\ sin C) $;
3) keresse meg a $ b $ oldalt a $ b = \ frac (c \ cdot \ sin B) (\ sin C) $ szinusztétel alapján.
4. példa
Adott $ a $, $ b $ oldalak és egy $ B $ szög a $ b $ oldallal szemben:
1) felírjuk a $ b ^ (2) = a ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $ koszinusztételt a megadott értékek felhasználásával; ebből kapjuk a $ c ^ (2) - \ left (2 \ cdot a \ cdot \ cos B \ right) \ cdot c + \ left (a ^ (2) -b ^ (2) \ right) másodfokú egyenletet = 0 $ a $ c $ oldalakhoz képest;
2) a kapott másodfokú egyenlet megoldása után elméletileg három eset egyikét kaphatjuk - két pozitív érték a $ c $ oldalra, egy pozitív érték a $ c $ oldalra, a pozitív értékek hiánya a $ c $ oldalra. c $ oldal; ennek megfelelően a problémának két, egy vagy nulla megoldása lesz;
3) a $ c $ oldal meghatározott pozitív értékét használva megtaláljuk a $ A $ szöget a $ \ cos A = \ frac koszinusztétel alkalmazásával (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2 )) (2 \ cdot b \ cdot c) $, majd az inverz trigonometrikus függvény $ A = \ arccos \ left (\ cos A \ right) $;
4) keresse meg a $ C $ szöget a következő képlettel: $ C = 180 () ^ \ circ - \ left (A + B \ right) $.
A két α és β szög szinuszainak és koszinuszainak összegére és különbségére vonatkozó képletek lehetővé teszik, hogy a megadott szögek összegéből az α + β 2 és α - β 2 szögek szorzatára jussunk. Azonnal megjegyezzük, hogy ne keverje össze a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit az összeg és a különbség szinuszainak és koszinuszainak képleteivel. Az alábbiakban felsoroljuk ezeket a képleteket, megadjuk származtatásukat, és példákat mutatunk be konkrét feladatokra való alkalmazásukra.
Képletek szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére
Írjuk fel, hogyan néznek ki az összeg- és különbségképletek szinuszokra és koszinuszokra
Összeg és különbség képletek szinuszokhoz
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Összeg és különbség képletek koszinuszokhoz
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β -2 α 2
Ezek a képletek bármely α és β szögre érvényesek. Az α + β 2 és α - β 2 szögeket rendre az alfa és béta szögek félösszegének, illetve félkülönbségének nevezzük. Adjunk meg egy formulát minden képlethez.
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képletei
Két szög szinuszának összege egyenlő e szögek feleösszegének szinuszának a félkülönbség koszinuszának kettős szorzatával.
Két szög szinuszainak különbsége egyenlő e szögek fele-különbségének szinuszának a félösszeg koszinuszának kettős szorzatával.
Két szög koszinuszának összege egyenlő e szögek feleösszegének koszinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével.
Két szög koszinuszainak különbsége egyenlő e szögek feleösszege szinuszának és fele-különbségének koszinuszának kétszeresével, negatív előjellel véve.
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képletei származtatása
Két szög szinuszának és koszinuszának összegének és különbségének képleteinek származtatásához összeadási képleteket használunk. Az alábbiakban bemutatjuk őket
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Magukat a szögeket is félösszegek és félkülönbségek összegeként ábrázoljuk.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Közvetlenül továbblépünk a sin és cos összeg- és különbségképleteinek levezetéséhez.
A szinuszösszeg képletének levezetése
A sin α + sin β összegében cserélje ki α-t és β-t a fenti szögekre vonatkozó kifejezésekkel. Kapunk
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Most alkalmazzuk az összeadási képletet az első kifejezésre, és a szögkülönbségek szinuszos képletét a másodikra (lásd a fenti képleteket)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Bontsa ki a zárójeleket, mutasson be hasonló kifejezéseket, és kapja meg a kívánt képletet
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2
A többi képlet levezetésének lépései hasonlóak.
A szinuszok különbségének képletének levezetése
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α 2 cos α + β 2
A koszinuszösszeg képletének levezetése
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + β cos α - β 2
A koszinuszok különbségének képletének levezetése
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + α 2 sin α - β 2
Példák gyakorlati problémák megoldására
Először is ellenőrizzük az egyik képletet úgy, hogy behelyettesítjük a szögek meghatározott értékeit. Legyen α = π 2, β = π 6. Számítsuk ki e szögek szinuszainak összegét! Először a trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázatát használjuk, majd a szinuszösszeg képletét alkalmazzuk.
Példa 1. Két szög szinuszösszegének képletének ellenőrzése
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Tekintsük most azt az esetet, amikor a szögek értéke eltér a táblázatban bemutatott alapértékektől. Legyen α = 165 °, β = 75 °. Számítsuk ki e szögek szinuszai közötti különbség értékét!
2. példa A szinuszkülönbség képletének alkalmazása
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteivel az összegből vagy a különbségből a trigonometrikus függvények szorzatára lehet lépni. Ezeket a képleteket gyakran összeg-szorzat átmeneti képleteknek nevezik. A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit széles körben használják trigonometrikus egyenletek megoldásában és trigonometrikus kifejezések konvertálásakor.
Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket
Óra témája. Az orrmelléküregek összege és különbsége. A koszinuszok összege és különbsége.
(Az új ismeretek elsajátításának lecke.)
Az óra céljai.
Didaktikus:
képleteket levezetni a szinuszok összegére és a koszinuszösszegekre, és elősegíteni asszimilációjukat a feladatok megoldása során;
folytassa a trigonometrikus képletek használatához szükséges készségek kialakítását;
ellenőrizni a témával kapcsolatos anyag asszimilációs fokát.
Fejlesztés:
hozzájárul a tudás önálló alkalmazásának készségének fejlesztéséhez;
az önkontroll és a kölcsönös kontroll készségeinek fejlesztése;
továbbra is dolgozzon a logikus gondolkodás és a szóbeli matematikai beszéd fejlesztésén a probléma megoldásának keresésében.
Nevelési:
megtanítani a kommunikáció és mások meghallgatásának képességét;
figyelmességre és megfigyelésre nevelni;
serkenti a motivációt és az érdeklődést a trigonometria tanulása iránt.
Felszerelés: bemutató, interaktív tábla, képletek.
Az órák alatt:
Idő szervezése. - 2 perc.
Alapvető ismeretek frissítése. Ismétlés. - 12 perc
Célmeghatározás. - 1 perc.
Az új ismeretek észlelése és megértése. - 3 perc
A megszerzett ismeretek alkalmazása. - 20 perc.
Az eredmények elemzése és a tevékenységek korrekciója. - 5 perc.
Visszaverődés. - 1 perc.
Házi feladat. - 1 perc.
1. Idő szervezése.(1. dia)
- Helló! A trigonometria a matematika egyik legérdekesebb területe, de valamiért a legtöbb diák ezt találja a legnehezebbnek. Ez nagy valószínűséggel azzal magyarázható, hogy ebben a részben több képlet található, mint bármelyik másikban. A trigonometriai feladatok sikeres megoldásához számos képletben kell magabiztosnak lennie. Sok képletet már tanulmányoztak, de kiderült, nem mindegyiket. Ezért ennek a leckének a mottója Pythagoras mondása lesz: "Az utat az fogja elsajátítani, aki jár, a matematikát pedig a gondolkodó." Gondolkozzunk!
2. Alapvető ismeretek felfrissítése. Ismétlés.
1) matematikai diktálás kölcsönös ellenőrzéssel(2-5. dia)
Első feladat. A tanult képletek használata kiszámítja:
1.opció
2. lehetőség
bűn 390 0
cos 420 0
1 - cos 2 30 0
1 - sin 2 60 0
сos 120 0 ∙ cos 30 0 + sin 120 0 ∙ sin 30 0
sin 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ sin 150 0
Válaszok:; 1; -; ; -; - 1; 1; ; ; 0; ; 3. - kölcsönös ellenőrzés.
Értékelési szempontok: (az alkotásokat tanárnak adjuk át)
"4" - 10 - 11
2) problémás feladat(6. dia) - tanulói beszámoló.
Egyszerűsítse a kifejezést trigonometrikus képletekkel:
Megoldható másképp ez a probléma? (Igen, új képletekkel.)
3. Célkitűzés(7. dia)
Az óra témája:
Az orrmelléküregek összege és különbsége. A koszinuszok összege és különbsége. - füzetbe írás
Az óra céljai:
levezetni a képleteket a szinuszok összegére és különbségére, a koszinuszok összegére és különbségére;
tudja alkalmazni azokat a gyakorlatban.
4. Új ismeretek észlelése és megértése. ( dia 8-9)
Levezetjük a szinuszösszeg képletét: - tanár
A többi képlet hasonlóképpen bizonyított: (képletek összeg szorzattá alakítására)
A memorizálás szabályai!
Milyen további trigonometrikus képletek bizonyítására használtak összeadási képleteket?
5. A megszerzett ismeretek alkalmazása.(10-11. dia)
Új képletekkel:
1) Számolja ki: (a táblánál) - Mi lesz a válasz? (szám)
Diktálás tanárral
6. Az eredmények elemzése és a tevékenységek korrekciója.(13. dia)
Differenciált önteszt önteszttel
Kiszámítja:
7. Reflexió.(14. dia)
Elégedett vagy az órán végzett munkájával?
Hogyan értékelnéd magad a teljes leckében?
Mi volt a legérdekesebb pillanat a leckében?
Hova kellett a leginkább koncentrálnod?
8. Házi feladat: képleteket, egyéni feladatokat tanulni kártyákon.
). Ezek a képletek lehetővé teszik a szögek szinuszainak és koszinuszainak összegét vagy különbségét, és a szögek szinuszainak és/vagy koszinuszainak szorzatához és. Ebben a cikkben először felsoroljuk ezeket a képleteket, majd bemutatjuk a származtatásukat, és végezetül tekintsünk meg néhány példát az alkalmazásukra.
Oldalnavigáció.
Képletek listája
Írjuk fel a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteit! Amint el tudja képzelni, négy van belőlük: kettő a szinuszokhoz és kettő a koszinuszokhoz.
Most adjuk meg a megfogalmazásukat. A szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képleteinek megfogalmazásakor a szöget a szögek és a szögek fele összegének, a szöget pedig félkülönbségnek nevezzük. Így,
Megjegyzendő, hogy a szinuszok és koszinuszok összegének és különbségének képletei érvényesek bármely szögre és.
Képletek származtatása
A szinuszok összegének és különbségének képleteinek származtatásához használhat összeadási képleteket, különösen a képleteket
szinusz összeg,
szinusz különbség,
az összeg koszinusza és
a különbség koszinusza.
Szükségünk van a szögek alakbeli ábrázolására is 
és 
... Ez az ábrázolás érvényes, valamint bármely szögre és.
Most részletesen elemezzük két szög szinuszösszegének képletének levezetése faj.
Először is, az összegben helyettesítjük a következővel és tovább , és megkapjuk. Most meg 
alkalmazzuk az összeg szinuszképletét, és -ra 
- a különbség szinuszának képlete: 
Az ilyen kifejezések csökkentése után azt kapjuk 
... Ennek eredményeképpen van egy képletünk az alak szinuszainak összegére.
A többi képlet megjelenítéséhez ugyanezt kell tennie. Íme a szinuszok különbségének, valamint a koszinuszok összegének és különbségének képletei: 
A koszinuszok különbségére kétféle képletet adtunk, ill 
... Azóta egyenértékűek 
, ami az ellentétes szögek szinuszainak tulajdonságaiból következik.
Tehát elemeztük a szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére vonatkozó összes képlet bizonyítását.
Példák a felhasználásra
Nézzünk néhány példát a szinuszok és koszinuszok összegének képletére, valamint a szinuszok és koszinuszok közötti különbségre.
Például ellenőrizzük a képlet érvényességét az alak szinuszainak összegére, felvéve és. Ehhez kiszámítjuk a képlet bal és jobb oldalának értékeit ezekre a szögekre. Mivel és (ha szükséges, lásd a szinuszok és koszinuszok alapértékeinek táblázatát), akkor. Mert és van 
és 
, azután . Így a képlet bal és jobb oldalának értékei a szinuszok összegére és egybeesnek, ami megerősíti ennek a képletnek az érvényességét.
Egyes esetekben a szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére vonatkozó képletek használata lehetővé teszi a trigonometrikus kifejezések értékének kiszámítását, ha a szögek eltérnek az alapszögektől ( 
). Adjunk megoldást egy példára, amely megerősíti ezt az elképzelést.
Példa.
Számítsa ki a 165 és 75 fok szinuszai közötti különbség pontos értékét!
Megoldás.
A 165 és 75 fok szinuszának pontos értékét nem ismerjük, így az adott különbség értékét közvetlenül nem tudjuk kiszámítani. De a szinuszok különbségének képlete lehetővé teszi, hogy válaszoljunk a probléma kérdésére. Valójában a 165 és 75 fokos szögek fele összege 120, a félkülönbség pedig 45, a szinusz 45 fok és a koszinusz 120 fok pontos értéke ismert.
Így van 
Válasz:
.
Kétségtelenül a szinuszok és koszinuszok összegére és különbségére vonatkozó képletek fő értéke az, hogy lehetővé teszik, hogy az összegből és a különbségből a trigonometrikus függvények szorzatára jussunk (ezért ezeket a képleteket gyakran az átmenet képleteinek nevezik az összegből a trigonometrikus függvények szorzatába). Ez pedig hasznos lehet például akkor, amikor trigonometrikus kifejezések konvertálása vagy at trigonometrikus egyenletek megoldása... De ezek a témák külön megbeszélést igényelnek.
Bibliográfia.
- Algebra: Tankönyv. 9 cl-ért. szerda iskola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky.- M .: Oktatás, 1990.- 272 p .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl-re. szerda shk. - 3. kiadás - M .: Oktatás, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebraés az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl-re. Általános oktatás. intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov. - 14. kiadás - M .: Oktatás, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv technikumi jelentkezőknek): Tankönyv. kézikönyv - M .; Magasabb. shk., 1984.-351 p., ill.