Megvizsgálom a négyszögletes tetraéder lapjainak vetületeinek képletét. Előzetesen egy α síkban fekvő szakasz merőleges vetületét veszem figyelembe, kiemelve két esetet, amikor ez a szakasz az l = α∩π egyeneshez viszonyítva helyezkedik el.
1. eset.
AB∥l(8. ábra). Az A 1 B 1 szakasz, amely az AB szakasz ortogonális vetülete, egyenlő és párhuzamos az AB szakaszsal.
Rizs. nyolc
2. eset.
CD⊥l(8. ábra). A három merőleges tétel szerint a C 1 D 1 egyenes, amely a CD egyenes ortogonális vetülete, szintén merőleges az l egyenesre. Ezért ∠CEC 1 az α sík és a π vetületek síkja közötti szög, azaz ahol C 0 D = C 1 D 1... Ezért | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Most megvizsgálom az ortogonális háromszög tervezésének kérdését.
Egy háromszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített háromszög területével, megszorozva a háromszög síkja és a vetületek síkja közötti szög koszinuszával.
Bizonyíték. A háromszög vetített területe. A három merőleges tétel szerint a B 1 H 1 egyenes - a BN egyenes merőleges vetülete - merőleges az l egyenesre, ezért a B 1 H 1 szakasz az A 1 B 1 C 1 háromszög magassága. Ezért . És így, .
a) Legyen az ABC kivetített háromszög egyik oldala, például AC, párhuzamos az l = α∩π egyenessel (9. ábra), vagy feküdjön rajta.
Ekkor a VN magassága merőleges az l egyenesre, és a területe egyenlő, azaz.
Rizs. kilenc
b) Az ABC vetített háromszög egyik oldala sem párhuzamos az l egyenessel (10. ábra). A háromszög minden csúcsán keresztül húzz egy egyenest az l egyenessel párhuzamosan. Ezen egyenesek egyike két másik között helyezkedik el (az ábrán ez az m egyenes), és ezért az ABC háromszöget ABD és ACD háromszögekre bontja, amelyek magassága rendre BH és CE, a közös AD oldalukra (vagy annak folytatására) húzva. , amely párhuzamos l. Az m 1 egyenes - az m egyenes merőleges vetülete - az A 1 B 1 C 1 háromszöget is felosztja - az ABC háromszög merőleges vetülete - A 1 B 1 D 1 és A 1 C 1 D 1 háromszögekre, ahol. A (9) és (10) figyelembe vételével megkapom
Emlékezzünk vissza, hogy az egyenes és a sík közötti szög az adott egyenes és annak síkra való vetülete közötti szög (164. ábra).
Tétel. A sokszög síkra merőleges vetületének területe egyenlő a kivetített sokszög területével, megszorozva a sokszög síkja és a vetület síkja által alkotott szög koszinuszával.
Minden sokszög háromszögekre osztható, amelyek területeinek összege megegyezik a sokszög területével. Ezért elegendő a háromszög tételének bizonyítása.
Legyen \ (\ Delta \) ABC vetítve a síkra R... Tekintsünk két esetet:
a) a \ (\ Delta \) ABC egyik oldala párhuzamos a síkkal R;
b) a \ (\ Delta \) ABC egyik oldala sem párhuzamos R.
Fontolgat első eset: legyen [AB] || R.
Rajzoljunk egy síkot át (AB) R 1 || Rés ortogonálisan vetítjük \ (\ Delta \) ABC be R 1 és tovább R(165. ábra); \ (\ Delta \) ABC 1 és \ (\ Delta \) A'B'S ' kapjuk.
A projekció tulajdonsága szerint van \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C ', és ezért
S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C '
Rajzolja meg ⊥ és a D 1 C 1 szakaszt. Ekkor ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ az \ (\ Delta \) ABC sík és a sík közötti szög értéke R 1 . Ezért
S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
és ezért S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.
Térjünk át a mérlegelésre második eset... Rajzoljunk egy síkot R 1 || R azon a csúcson keresztül \ (\ Delta \) ABC, az a távolság, amelytől a sík R a legkisebb (legyen az A csúcs).
Tervezzük meg a \ (\ Delta \) ABC-t a síkon R 1 és R(166. ábra); a vetületei legyenek rendre \ (\ Delta \) AB 1 C 1 és \ (\ Delta \) A'B'S '.
Legyen (ВС) \ (\ cap \) p 1 = D. Akkor
S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC - S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
Feladat. Egy szabályos háromszög alakú prizma alaplapjának oldalán φ = 30°-os szöget bezáró síkot húzunk át az alaplap síkjával. Keresse meg a kapott szakasz területét, ha a prizma alapjának oldala a= 6 cm.
Rajzoljuk meg ennek a prizmának a keresztmetszetét (167. ábra). Mivel a prizma helyes, oldalélei merőlegesek az alap síkjára. Ezért a \ (\ Delta \) ABC a \ (\ Delta \) ADC vetülete, ezért
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
vagy
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$
A sokszög ortogonális vetületére vonatkozó tétel részletes bizonyítása
Ha a lakás vetülete n -gon a síkra, akkor hol van a sokszögek síkjai közötti szög és. Más szavakkal, egy sík sokszög vetített területe egyenlő a vetített sokszög területének a vetítés síkja és a vetített sokszög síkja közötti szög koszinuszával.
Bizonyíték. én színpad. Végezzük el először a bizonyítást egy háromszögre. Tekintsünk 5 esetet.
1 eset. fekszenek a vetítési síkban .
Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben. Feltételezem, hogy. Legyen a magasság, akkor a három merőleges tételével arra következtethetünk, hogy - a magasság (- a vetület ferde, - az alapja és az egyenes is átmegy a ferde alapján).
Mérlegeljük. Ez téglalap alakú. A koszinusz definíciója szerint:
Másrészt, mivel és akkor definíció szerint a síkok félsíkjai által és a határvonallal alkotott diéderszög lineáris szöge, és ezért mértéke egyben a kétszög szöge is. a háromszög vetületi síkjai és maga a háromszög, azaz.
Határozzuk meg a terület arányát:
Vegye figyelembe, hogy a képlet akkor is érvényes marad, ha. Ebben az esetben
2 eset. Csak a vetítési síkban fekszik és párhuzamos a vetítési síkkal .
Legyen a pontok vetületei a síkra, ill. A mi esetünkben.
Rajzoljunk egy egyenest a ponton keresztül. Esetünkben az egyenes metszi a vetítési síkot, ami azt jelenti, hogy a lemma szerint az egyenes a vetítési síkot is metszi. Legyen egy pontban Mivel, akkor a pontok ugyanabban a síkban fekszenek, és mivel párhuzamos a vetítési síkkal, az egyenes és egy sík párhuzamosságának jeléből következik, hogy. Ezért egy paralelogramma. Fontolja meg és. Három oldalon egyenlők (- közös, mint a paralelogramma szemközti oldalai). Vegyük észre, hogy a négyszög téglalap, és egyenlő (a láb és az alsó rész mentén), ezért három oldalán egyenlő. Ezért.
Az 1. esetre vonatkozik:, azaz.
3 eset. Csak a vetítési síkban fekszik, és nem párhuzamos a vetítési síkkal .
Legyen a pont az egyenes és a vetítési sík metszéspontja. Vegye figyelembe, hogy és. 1 alkalommal: és. Tehát ezt kapjuk
4 eset. A csúcsok nem a vetítési síkban helyezkednek el ... Vegye figyelembe a merőlegeseket. Vegyük ezek közül a merőlegesek közül a legkisebbet. Legyen merőleges. Kiderülhet, hogy vagy csak, vagy csak. Akkor úgyis visszük.
Tegyünk félre egy pontot egy szakaszon egy pontból úgy, hogy egy pontot a szakaszon lévő pontból, így. Egy ilyen konstrukció lehetséges, mivel - a merőlegesek közül a legkisebb. Vegye figyelembe, hogy ez egy vetület, és konstrukció szerint. Bizonyítsuk be, hogy és egyenlőek.
Tekintsünk egy négyszöget. Hipotézis szerint - merőlegesek egy síkra, tehát a tétel szerint, ezért. Mivel szerkesztéssel, majd egy paralelogramma előjelével (párhuzamos és egyenlő ellentétes oldalak mentén) megállapíthatjuk, hogy paralelogramma. Azt jelenti, . Hasonlóképpen bebizonyosodik,. Ezért három oldalról egyenlőek. Ezért. Vegyük észre, hogy és mint a paralelogrammák ellentétes oldalai, ezért a síkok párhuzamosságának jelével,. Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.
Az előző esetekre érvényes:
5 eset. A vetítési sík metszi az oldalakat ... Vegye figyelembe az egyenes vonalakat. Ezek merőlegesek a vetítési síkra, ezért a tétel szerint párhuzamosak. Azon az egyirányú sugarakon, amelyeknek origója a pontokban van, egyenlő szegmenseket tegyünk félre úgy, hogy a csúcsok a vetítési síkon kívül legyenek. Vegye figyelembe, hogy ez egy vetület, és konstrukció szerint. Mutassuk meg, hogy egyenlő.
Azóta és építkezés szerint akkor. Ezért egy paralelogramma alapján (két egyenlő és párhuzamos oldal mentén) paralelogramma. Hasonló módon bizonyított, hogy a és paralelogrammák. De akkor, és (szemben lévő oldalakkal) tehát egyenlő három oldalon. Azt jelenti, .
Ráadásul, és ezért a síkok párhuzamossága alapján. Mivel ezek a síkok párhuzamosak, azonos szöget zárnak be a vetítési síkkal.
4 esetre vonatkozik:
II színpad. Egy lapos sokszöget a csúcsból húzott átlók segítségével ossza fel háromszögekre: Ezután az előző háromszög esetek szerint:.
Q.E.D.
GEOMETRIA
Óratervek 10 évfolyamra
56. lecke
Téma. Sokszög merőleges vetületi terület
Az óra célja: a sokszög merőleges vetületének területére vonatkozó tétel tanulmányozása, a tanulók képességeinek kialakítása a tanult tétel alkalmazására a problémák megoldására.
Felszereltség: sztereometrikus készlet, kocka modell.
Az órák alatt
I. Házi feladat ellenőrzése
1. Két tanuló reprodukálja a táblára a 42. és 45. számú feladatok megoldásait.
2. Frontális szavazás.
1) Adja meg a szög definícióját két metsző sík között!
2) Mekkora a szög az alábbiak között:
a) párhuzamos síkok;
b) merőleges síkok?
3) Mennyiben változhat két sík közötti szög?
4) Igaz-e, hogy a párhuzamos síkokat metsző sík azonos szögben metszi azokat?
5) Igaz-e, hogy a merőleges síkokat metsző sík azonos szögben metszi azokat?
3. A tanulók által a táblán újraalkotott 42., 45. számú feladatok megoldásának helyességének ellenőrzése.
II. Új anyag észlelése és tudatosítása
Feladat a diákok számára
1. Bizonyítsuk be, hogy egy olyan háromszög vetületi területe, amelynek egyik oldala a vetítési síkban egyenlő a területének és a sokszög síkja és a vetítési sík közötti szög koszinuszának szorzatával.
2. Bizonyítsa be a tételt arra az esetre, amikor van olyan rácsháromszög, amelynek egyik oldala párhuzamos a vetítési síkkal.
3. Igazolja a tételt arra az esetre, amikor van olyan rácsháromszög, amelynek egyik oldala sem párhuzamos a vetítési síkkal.
4. Bizonyítsa be a tételt bármely sokszögre!
Problémamegoldás
1. Határozza meg egy olyan sokszög merőleges vetületének területét, amelynek területe 50 cm2, és a sokszög síkja és a vetülete közötti szög 60 °.
2. Határozza meg egy sokszög területét, ha ennek a sokszögnek az ortogonális vetületének területe 50 cm2, és a sokszög síkja és a vetülete közötti szög 45 °.
3. A sokszög területe 64 cm2, az ortogonális vetületé 32 cm2. Határozza meg a sokszög síkjai és vetülete közötti szöget!
4. Vagy talán egy sokszög merőleges vetületének területe egyenlő ennek a sokszögnek a területével?
5. A kocka éle egyenlő a. Határozza meg a kocka keresztmetszeti területét egy olyan síkkal, amely az alap csúcsán halad át 30 ° -os szöget zárva ezzel az alappal, és metszi az összes oldalélt. (Válasz.)
6. 48. számú feladat (1, 3) a tankönyvből (58. o.).
7. 49. (2) számú feladat a tankönyvből (58. o.).
8. A téglalap oldalai 20 és 25 cm, síkra vetítése hasonló ahhoz. Keresse meg a vetület kerületét. (Válasz. 72 cm vagy 90 cm.)
III. Házi feladat
4. §, 34. o.; 17-es számú biztonsági kérdés; feladatok 48. (2), 49. (1) (58. o.).
IV. Óra összefoglalója
Kérdés az osztályhoz
1) Fogalmazzuk meg a tételt egy sokszög merőleges vetületének területéről!
2) Lehet-e nagyobb egy sokszög merőleges vetületének területe, mint egy sokszög területe?
3) Az ABC derékszögű háromszög AB befogóján keresztül az α síkot 45°-os szöget zárjuk be a háromszög síkjával, a CO-t pedig az α síkkal. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Jelölje meg, hogy az alábbi állítások közül melyik helyes és melyik helytelen:
a) az ABC és α síkok közötti szög egyenlő a CMO szöggel, ahol a H pont az ABC háromszög CM magasságának alapja;
b) CO = 2,4 cm;
c) az AOC háromszög az ABC háromszög merőleges vetülete az α síkra;
d) az AOB háromszög területe 3 cm2.
(Válasz. A) Helyes; b) rossz; c) rossz; d) helyes.)
Mostanában a C2 feladatban olyan problémák merültek fel, amelyekben egy poliéder egy szakaszát egy sík mentén kell megszerkeszteni, és meg kell találni a területét. Ilyen feladatot javasol a demó verzió. Gyakran célszerű megtalálni egy szakasz területét az ortogonális vetületének területe alapján. Az előadás egy ilyen megoldás képletét és a probléma részletes elemzését tartalmazza, amelyhez rajzok sora is társul.
Letöltés:
Előnézet:
A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre magának egy Google-fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diafeliratok:
Felkészülés a vizsgára - 2014 matematikából. A keresztmetszeti terület meghatározása az ortogonális vetületének területén keresztül. C2. feladat matematika tanár MBOU középiskola № 143 Krasznojarszk Knyazkina TV
Tekintsük a következő feladat megoldását: Téglalap alakú paralelepipedonban,. A paralelepipedon szakasza áthalad a B és D pontokon, és szöget zár be az ABC síkkal. Keresse meg a keresztmetszeti területet. Gyakran célszerű megtalálni a keresztmetszeti területet az ortogonális vetületének területén. Egy háromszög területének megtalálása az ortogonális vetületén keresztül könnyen szemléltethető a következő ábrán:
CH az ABC háromszög magassága, C 'H az ABC háromszög magassága, amely az ABC háromszög merőleges vetülete. A CHC derékszögű háromszögből: Az ABC háromszög területe egyenlő a területe Az ABC háromszög tehát az ABC háromszög területe egyenlő az ABC háromszög területével, osztva az ABC háromszög és az ABC háromszög síkjai közötti szög koszinuszával, ami az ABC háromszög merőleges vetülete.
Mivel bármely sokszög területe a háromszögek területének összegeként ábrázolható, a sokszög területe egyenlő a síkra merőleges vetületének területével, osztva a sokszög közötti szög koszinuszával. a sokszög síkjai és vetülete. Ezt a tényt használjuk fel a problémánk megoldására (lásd a 2. diát) A megoldási terv a következő: A) Építsünk egy szakaszt. B) Határozza meg annak ortogonális vetületét az alapsíkra! C) Keresse meg az ortogonális vetület területét. D) Határozza meg a keresztmetszeti területet!
1. Először is fel kell építenünk ezt a szakaszt. Nyilvánvalóan a BD szakasz a metszetsíkhoz és az alapsíkhoz tartozik, vagyis a síkok metszésvonalához tartozik:
A két sík közötti szög a síkok metszésvonalára húzott és ezeken a síkokon fekvő két merőleges közötti szög. Legyen az O pont az alapátlók metszéspontja. OC - merőleges a síkok metszésvonalára, amely az alap síkjában fekszik:
2. Határozza meg a metszetsíkban elhelyezkedő merőleges helyzetét! (Ne felejtsük el, hogy ha egy egyenes merőleges a ferde vetületre, akkor merőleges a legferdebbre. A vetületében (OC) és a vetület és a ferde közötti szögben ferdet keresünk). Keresse meg az OC ₁ és OC közötti COC ₁ szög érintőjét
Következésképpen a metszetsík és az alapsík közötti szög nagyobb, mint az OC₁ és az OC között. Vagyis a szakasz valahogy így helyezkedik el: K az OP és A ₁C₁ metszéspontja, LM || B₁D₁.
Tehát itt van a szakaszunk: 3. Keresse meg a BLMD metszet vetületét az alap síkjára. Ehhez megkeressük az L és M pontok vetületeit.
BL ₁M₁D négyszög - metszet vetület az alapsíkra. 4. Határozza meg a BL ₁M₁D négyszög területét! Ehhez vonjuk ki az L CM₁ háromszög területét a BCD háromszög területéből. Keressük meg az L CM₁ háromszög területét. Az L CM₁ háromszög hasonló a BCD háromszöghöz. Keressük a hasonlósági együtthatót.
Ehhez vegyük figyelembe az OPC és az OKK₁ t-szögleteket: Következésképpen az L₁CM₁ háromszög területe a BCD háromszög területének 4/25-e (a hasonló ábrák területének aránya egyenlő a háromszög négyzetével). a hasonlósági együttható). Ekkor a BL₁M₁D négyszög területe egyenlő a BCD háromszög területének 1-4/25 = 21/25-ével, és egyenlő
5. Most találjuk a 6-ot. És végül megkapjuk: Válasz: 112
A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek
A „Műszaki számítógépes grafika” szakterületen végzett tesztelési munka négy tesztfeladatból áll a megfelelőség megállapítására. A feladatok elvégzése 15-20 percet vesz igénybe...
Felkészülés a vizsgára-2014 matematikából. Származtatott és antiderivált (B8 prototípusok az USE feladatok nyílt bankjából) használata
Prezentáció rövid elméleti tanfolyammal és különféle B8 prototípusok megoldásaival az USE feladatok nyílt bankjából. Használható interaktív táblához vagy diák PC-hez önálló tanuláshoz...
Felkészülés a vizsgára-2014 matematikából. A C1 feladat megoldása.
Az anyag megoldásokat ad a C1 feladatra (trigonometrikus egyenlet) és 4 módot kínál az intervallumhoz tartozó gyökök kiválasztására: trigonometrikus kör használatával, függvénygráf segítségével, nyers erő ...