Neliön muotoisen trinomiaalin suurin arvo. Kuinka ratkaista ongelmia B15 ilman johdannaisia

Tällaisen matemaattisen analyysin objektin tutkimuksella funktiona on suuri arvo ja muilla tieteen aloilla. Esimerkiksi taloudellisessa analyysissä sinun on jatkuvasti arvioitava käyttäytymistä toiminto suurimman voiton määrittämiseksi arvo ja kehittää strategia sen saavuttamiseksi.

Ohjeet

Kenenkään käyttäytymistutkimuksen tulisi aina alkaa verkkotunnuksen löytämisestä. Yleensä tietyn tehtävän ehdon mukaan vaaditaan määrittämään suurin arvo toiminto joko koko tällä alueella tai tietyllä aikavälillä avoimilla tai suljetuilla rajoilla.

Perustuen suurin on arvo toiminto y (x0), jolle eriarvoisuus y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) pätee mihin tahansa määritelmäalueen pisteeseen. Graafisesti tämä piste on korkein, jos järjestät argumentin arvot abskissa pitkin ja itse funktio ordinaatilla.

Suurimman määrittämiseksi arvo toiminto, noudata kolmivaiheista algoritmia. Huomaa, että sinun on pystyttävä työskentelemään yksisuuntaisesti ja laskemaan johdannainen. Joten annetaan jokin funktio y (x), ja sen on löydettävä suurin arvo jollakin aikavälillä raja-arvoilla A ja B.

Selvitä, kuuluuko tämä väli soveltamisalaan toiminto... Tätä varten sinun on löydettävä se ottaen huomioon kaikki mahdolliset rajoitukset: läsnäolo murto-osassa, neliöjuuri jne. Laajuus on joukko argumenttiarvoja, joille funktio on järkevä. Määritä onko annettu väli sen osajoukko. Jos näin on, siirry seuraavaan vaiheeseen.

Etsi johdannainen toiminto ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö tasaamalla johdannainen nollaan. Näin saat ns. Paikallaan olevien pisteiden arvot. Arvioi, kuuluuko vähintään yksi niistä väliin A, B.

Harkitse näitä kohtia kolmannessa vaiheessa, korvaa niiden arvot funktiossa. Suorita seuraavat lisävaiheet aikavälin tyypistä riippuen. Jos on muodon [A, B] segmentti, rajapisteet sisällytetään intervalliin, tämä on merkitty sulkeilla. Laske arvot toiminto x \u003d A ja x \u003d B. Jos avoin väli on (A, B), raja-arvot puhkaistaan, ts. eivät sisälly siihen. Ratkaise x → A: n ja x → B: n yksipuoliset rajat. Lomakkeen [A, B) tai (A, B] yhdistetty intervalli, jonka yksi rajoista kuuluu sille, toinen ei. Etsi yksipuolinen raja, kun x pyrkii lävistettyyn arvoon, ja korvaa Ääretön kaksipuolinen väli (-∞, + ∞) tai yksipuolinen ääretön muoto:, ((-∞, B) Reaalisten rajojen A ja B osalta toimi jo kuvattujen periaatteiden mukaisesti ja äärettömälle raja-arvojen etsinnälle x → -∞ ja x → + ∞.

Tehtävä tässä vaiheessa

Ja sen ratkaisemiseksi tarvitset vain vähän tietoa aiheesta. Seuraava lukuvuosi on loppumassa, kaikki haluavat lähteä lomalle, ja tämän hetken lähentämiseksi ryhdyn heti asiaan:

Aloitetaan alueesta. Ehdossa mainittu alue on rajoitettu suljettu joukko tason pisteitä. Esimerkiksi joukko pisteitä, joita rajaa kolmio, mukaan lukien KOKO kolmio (jos rajoja "Gouge" ainakin yksi piste, niin alue lakkaa olemasta suljettu)... Käytännössä on myös suorakaiteen muotoisia, pyöreitä ja hieman monimutkaisempia alueita. On huomattava, että matemaattisen analyysin teoriassa annetaan tiukat määritelmät rajoitukset, eristäminen, rajat jne., mutta luulen, että kaikki ovat tietoisia näistä käsitteistä intuitiivisella tasolla, ja lisää ei nyt tarvita.

Tasainen alue on merkitty kirjaimena vakiona, ja se asetetaan yleensä analyyttisesti - useilla yhtälöillä (ei välttämättä lineaarinen); harvemmin eriarvoisuutta. Tyypillinen liikevaihto: "suljettu alue, jota rajaavat viivat".

Erottamaton osa tarkasteltavaa tehtävää on alueen rakentaminen piirustuksessa. Kuinka tehdä se? Sinun on piirrettävä kaikki luetellut viivat (tässä tapauksessa 3 suoraan) ja analysoi mitä tapahtui. Haluttu alue on yleensä hieman viivoitettu, ja sen raja on korostettu lihavoituna:


Sama alue voidaan asettaa ja lineaarinen eriarvoisuus:, jotka jostain syystä kirjoitetaan useammin luetteloituna luettelona, \u200b\u200bei järjestelmään.
Koska raja kuuluu alueelle, kaikki eriarvoisuudet tietysti löysä.

Ja nyt ongelman ydin. Kuvittele akseli, joka ulottuu alkuperästä suoraan sinua kohti. Harkitse funktiota, joka jatkuva jokaisessa alueen piste. Tämän funktion kaavio edustaa joitain pinta-, ja pieni onnellisuus on siinä, että tämän päivän ongelman ratkaisemiseksi meidän ei tarvitse tietää, miltä tämä pinta näyttää. Se voi sijaita korkeammalla, alemmalla, leikkaa tason - kaikki tämä ei ole tärkeää. Ja seuraava on tärkeää: mukaan weierstrassin lauseet, jatkuva sisään rajoitettu suljettualueella, toiminto saavuttaa maksimiarvon (korkein") ja pienin (Matalin") arvot, jotka haluat löytää. Tällaiset arvot saavutetaan tai sisään paikallaan olevat kohdat, alueellaD , taipisteissä, jotka sijaitsevat tämän alueen rajalla. Tästä seuraa yksinkertainen ja läpinäkyvä ratkaisualgoritmi:

Esimerkki 1

Rajoitetulla suljetulla alueella

Päätös: Ensinnäkin sinun on kuvattava alue piirustuksessa. Valitettavasti minun on teknisesti vaikeaa tehdä interaktiivinen malli ongelmasta, ja siksi annan heti viimeisen kuvan, joka näyttää kaikki tutkimuksen aikana löydetyt "epäilyttävät" kohdat. Yleensä ne kiinnitetään peräkkäin, kun ne löytyvät:

Johdanto-osan perusteella on kätevää jakaa päätös kahteen kohtaan:

I) Etsi kiinteät kohdat. Tämä on vakiotoiminto, jonka olemme toistuvasti suorittaneet oppitunnilla. useiden muuttujien ääripäät:

Löytyi kiinteä kohta kuuluu alueet: (merkitse se piirustukseen), mikä tarkoittaa, että meidän pitäisi laskea funktion arvo tässä vaiheessa:

- kuten artikkelissa Segmentin funktion suurimmat ja pienimmät arvot, Korostan tärkeät tulokset lihavoituna. Muistikirjassa on kätevää piirtää ne lyijykynällä.

Kiinnitä huomiota toiseen onnellisuuteemme - ei ole mitään järkeä tarkistaa riittävä edellytys ääripäälle... Miksi? Vaikka funktio saavuttaisi jossain vaiheessa esimerkiksi paikallinen minimi, niin se EI VEHÄ VOI, että tuloksena oleva arvo tulee olemaan minimaalinen koko alueella (katso oppitunnin alku ehdottomasta ääripäästä) .

Entä jos kiinteä kohta EI kuulu alueelle? Melkein ei mitään! On huomattava, että ja siirry seuraavaan kohtaan.

II) Tutustu alueen rajaan.

Koska reunus koostuu kolmion sivuista, on kätevä jakaa tutkimus kolmeen alaosaan. Mutta on parempi olla tekemättä sitä missään tapauksessa. Minun mielestäni on aluksi edullisempaa ottaa huomioon segmentit, jotka ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa ja ensinnäkin - makaavat itse akseleilla. Ymmärrä koko toimintajakso ja logiikka yrittämällä tutkia loppu "yhdellä kertaa":

1) Käsittelemme kolmion alaosaa. Tätä varten korvataan suoraan funktioon:

Vaihtoehtoisesti voit järjestää sen näin:

Geometrisesti tämä tarkoittaa, että koordinaattitaso (jonka antaa myös yhtälö) "Carves" ulos pinnoille "Tilallinen" paraboli, jonka kärki joutuu välittömästi epäilyn kohteeksi. Otetaan selvää missä hän on:

- saatu arvo "osui" alueeseen, ja se voi hyvinkin olla siinä kohdassa (merkitse piirustukseen) toiminto saavuttaa suurimman tai pienimmän arvon koko alueella. Suoritamme tavalla tai toisella laskelmia:

Muut "ehdokkaat" ovat tietysti segmentin päät. Lasketaan funktion arvot pisteissä (merkitse piirustukseen):

Täällä, muuten, voit suorittaa sanallisen minitarkistuksen käyttämällä "riisuttua" versiota:

2) Kolmion oikean puolen tutkimiseksi korvataan se funktiolla ja "järjestetään asiat siellä järjestykseen":

Täällä teemme välittömästi karkean tarkistuksen, "soimme" jo käsiteltyyn segmentin päähän:
, hyvin.

Geometrinen tilanne liittyy edelliseen pisteeseen:

- saatu arvo on myös "sisällytetty kiinnostuksemme alueeseen", mikä tarkoittaa, että meidän on laskettava, mitä funktio on yhtä suuri kuin näkyvässä kohdassa:

Tarkastellaan segmentin toista päätä:

Toiminnon käyttäminen , katsotaanpa se:

3) Luultavasti kaikki osaavat tutkia jäljellä olevaa puolta. Korvataan funktio ja suoritamme yksinkertaistuksia:

Segmentti päättyy on jo tutkittu, mutta luonnoksessa tarkistamme edelleen, löysimmekö funktion oikein :
- osui yhteen ensimmäisen alakohdan tuloksen kanssa;
- osui samaan aikaan toisen alakohdan tuloksen kanssa.

On vielä selvitettävä, onko segmentin sisällä jotain mielenkiintoista:

- on! Korvaamalla suora viiva yhtälöön saadaan tämän "mielenkiintoisuuden" ordinaatti:

Merkitään piirustukseen piste ja löydetään funktion vastaava arvo:

Tarkistamme laskelmat "budjetin" version mukaan :
, Tilaus.

Ja viimeinen vaihe: Tarkastelemme huolellisesti kaikki "rasvaiset" numerot, suosittelen, että aloittelijat tekisivät jopa yhden luettelon:

josta valitaan suurimmat ja pienimmät arvot. Vastaus kirjoitamme etsimisen ongelman tyyliin funktion suurimmat ja pienimmät arvot segmentillä:

Joka tapauksessa kommentoin vielä kerran tuloksen geometrista merkitystä:
- tässä on alueen pinnan korkein kohta;
Onko alueen alin pintapiste.

Analysoidussa ongelmassa tunnistimme 7 "epäilyttävää" pistettä, mutta niiden määrä vaihtelee ongelmasta toiseen. Kolmionmuotoisen alueen pienin "tutkimusjoukko" koostuu kolmesta pisteestä. Tämä tapahtuu, kun esimerkiksi funktio asetetaan kone - On täysin selvää, että paikallaan olevia pisteitä ei ole, ja funktio voi saavuttaa suurimmat / pienimmät arvot vain kolmion kärjissä. Mutta on paljon tällaisia \u200b\u200besimerkkejä kerran, kahdesti - yleensä sinun on käsiteltävä joitain 2. asteen pinta.

Jos ratkaiset tällaisia \u200b\u200btehtäviä vähän, pää voi kiertää kolmioista, ja siksi olen valmistanut sinulle epätavallisia esimerkkejä neliön tekemiseksi :))

Esimerkki 2

Etsi suurin ja pienin funktion arvo suljetulla, viivojen rajoittamalla alueella

Esimerkki 3

Etsi funktion suurimmat ja pienimmät arvot rajatulta suljetulta alueelta.

Kiinnitä erityistä huomiota alueen rajan tutkimisen järkevään järjestykseen ja tekniikkaan sekä välitarkastusketjuun, joka lähes kokonaan välttää laskentavirheet. Yleisesti ottaen voit ratkaista sen haluamallasi tavalla, mutta joissakin ongelmissa, esimerkiksi samassa esimerkissä 2, on kaikki mahdollisuudet vaikeuttaa elämääsi merkittävästi. Likimääräinen esimerkki tehtävien viimeistelystä oppitunnin lopussa.

Järjestelemme ratkaisualgoritmi, muuten se, että ahkeruudellani hämähäkkinäni, eksyi jotenkin 1. esimerkin pitkissä kommenttilangoissa:

- Ensimmäisessä vaiheessa rakennamme alueen, on toivottavaa varjostaa se ja korostaa raja rohkealla viivalla. Ratkaisun aikana tulee näkyviin pisteitä, jotka on asetettava piirustukseen.

- Etsi paikallaan olevat pisteet ja laske funktion arvot vain niissäjotka kuuluvat alueeseen. Valitsemme saadut arvot tekstistä (esimerkiksi hahmotellaan ne kynällä). Jos kiinteä piste EI kuulu alueelle, merkitsemme tämän tosiasian kuvakkeella tai suullisesti. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole lainkaan, teemme kirjallisen johtopäätöksen, että niitä ei ole. Tätä tuotetta ei missään tapauksessa voida ohittaa!

- Tutkitaan alueen rajaa. Ensinnäkin on hyödyllistä käsitellä suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa (jos mitään)... Korostamme myös funktion arvot, jotka on laskettu "epäilyttävissä" pisteissä. Paljon on sanottu edellä ratkaisutekniikasta ja alla sanotaan jotain muuta - lue, lukekaa uudelleen, syventykää!

- Valitse valituista numeroista suurin ja pienin arvo ja anna vastaus. Joskus tapahtuu, että funktio saavuttaa tällaiset arvot useissa pisteissä kerralla - tässä tapauksessa kaikkien näiden pisteiden tulisi näkyä vastauksessa. Antakaa esimerkiksi ja se osoittautui pienimmäksi arvoksi. Sitten kirjoitamme sen ylös

Viimeiset esimerkit on omistettu muille hyödyllisille ideoille, jotka ovat hyödyllisiä käytännössä:

Esimerkki 4

Etsi funktion suurimmat ja pienimmät arvot suljetulta alueelta .

Olen säilyttänyt kirjoittajan muotoilun, jossa alue on esitetty kaksinkertaisena eriarvoisuutena. Tämä ehto voidaan kirjoittaa vastaavalla järjestelmällä tai perinteisemmässä muodossa tätä ongelmaa varten:

Muistutan teitä siitä lähtien epälineaarinen eriarvoisuudet, joissa olemme törmänneet, ja jos et ymmärrä tietueen geometrista merkitystä, älä lykkää ja selvitä tilannetta juuri nyt ;-)

Päätös, kuten aina, se alkaa alueen rakentamisesta, joka on eräänlainen "ainoa":

Hmm, joskus sinun täytyy jyrsiä paitsi tieteen graniitti ...

I) Etsi kiinteät kohdat:

System-idiootin unelma :)

Kiinteä piste kuuluu alueelle, nimittäin sen rajalle.

Ja niin, se ei ole mitään ... oppitunti sujui iloisesti - se tarkoittaa juoda oikeaa teetä \u003d)

II) Tutustu alueen rajaan. Aloitetaan ilman lisäsoittoja abscissasta:

1) Jos, niin

Selvitetään missä paraabelin kärki on:
- arvosta sellaisia \u200b\u200bhetkiä - "osu" juuri siihen pisteeseen, josta kaikki on jo selvää. Mutta älä unohda tarkistaa:

Lasketaan funktion arvot segmentin päissä:

2) Käsittelemme "pohjan" alaosan "yhdessä istunnossa" - ilman komplekseja korvataan se funktioon, lisäksi kiinnostamme vain segmenttiä:

Kontrolli:

Tämä tuo jo jonkin verran elpymistä yksitoikkoiseen ajamiseen uritetulla radalla. Etsitään kriittiset kohdat:

Me ratkaisemme asteen yhtälö, muistatko tämän vielä? ... Muista tietysti, muuten et olisi lukenut näitä rivejä \u003d) Jos kahdessa edellisessä esimerkissä desimaalimurtolukujen laskeminen oli kätevää (mikä muuten on harvinaisuus), tässä odotamme tavalliset tavalliset jakeet. Löydämme "x" -juuret ja määritämme yhtälön avulla "ehdokas" -pisteiden vastaavat "peli" -koordinaatit:


Lasketaan funktion arvot löydetyistä pisteistä:

Tarkista toiminto itse.

Nyt tutkimme voitetut palkinnot huolellisesti ja kirjoitamme muistiin vastaus:

Nämä ovat "ehdokkaita", joten "ehdokkaita"!

Riippumaton ratkaisu:

Esimerkki 5

Etsi funktion pienin ja suurin arvo suljetussa tilassa

Kihara-aaltosulkeilla varustettu merkintä kuuluu seuraavasti: "monia pisteitä, sellaisia".

Joskus sellaisissa esimerkeissä he käyttävät lagrangen kertojamenetelmä, mutta todellista tarvetta käyttää sitä ei todennäköisesti tule esiin. Joten esimerkiksi, jos funktio annetaan samalla domeenilla "de", sen jälkeen kun se on korvattu - johdannaisella, jolla ei ole vaikeuksia; lisäksi kaikki on piirretty "yhdelle riville" (merkkein) ilman, että ylempää ja alempaa puoliympyrää on tarkasteltava erikseen. Mutta tietysti on myös monimutkaisempia tapauksia, joissa ilman Lagrange-toimintoa (missä esimerkiksi sama ympyrän yhtälö) sitä on vaikea hallita - kuinka vaikeaa on tehdä ilman hyvää lepoa!

On hyvä, että kaikki läpäisevät istunnon ja nähdään pian ensi kaudella!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Päätös: kuvaa alue piirustuksessa:

Sivu 1

Teoreettiset tosiasiat:

Neliöllä trinomial \u003d ax2 + bx + c on ääriarvo, jonka se on ottanut

Tämä arvo osoittautuu pienimmäksi, jos a\u003e 0, ja suurimmaksi, jos a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.

# 1. Hajota annettu positiivinen luku A kahdeksi termiksi niin, että heidän tuotteensa osoittautuu suurimmaksi.

Päätös. Merkitään yksi vaadituista termeistä x: llä. Sitten toinen termi on yhtä suuri kuin A - x ja niiden tulo tai.

Siten kysymys johti sellaisen x-arvon löytämiseen, jolla tämä neliön muotoinen trinomi saa suurimman arvon. Lauseen 4 mukaan tällainen arvo on varmasti olemassa (koska tässä johtava kerroin on yhtä suuri kuin - 1, ts. Negatiivinen) ja on yhtä suuri kuin Tässä tapauksessa, ja siksi molempien termien on oltava yhtä suuria.

Esimerkiksi numero 30 sallii seuraavat laajennukset:

Kaikki vastaanotetut teokset ovat alle

# 2. Siinä on lanka, jonka pituus on L. Se on taitettava niin, että saadaan suorakulmio, joka rajoittaa suurinta mahdollista aluetta.

Päätös. Merkitään (kuva 1) suorakulmion yksi sivu x: n läpi. Sitten tietysti sen toinen puoli on tai ... Tämä toiminto saa suurimman arvon kohdassa, joka on suorakulmion toisen sivun haluttu arvo. Sitten sen toinen sivu on, toisin sanoen suorakulmiomme osoittautuu neliöksi. Saatu ratkaisu ongelmaan voidaan tiivistää seuraavan lauseen muodossa.

Kaikista suorakulmioista, joilla on sama kehä, neliöllä on suurin alue.

Kommentti.

Ongelmamme on myös helppo ratkaista ongelman 1 ratkaisemisessa saadun tuloksen avulla.

Todellakin näemme, että kiinnostavan suorakulmion alue on Toisin sanoen on olemassa kahden tekijän x tulo ja Mutta näiden tekijöiden summa on , t. eli luku, joka ei riipu x: n valinnasta. Tämä tarkoittaa, että asia pelkistetään luvun hajoamiseksi kahteen termiin siten, että niiden tuote on suurin. Kuten tiedämme, tämä tuote on suurin, kun molemmat termit ovat samat, ts.

Numero 3. Käytettävissä olevista laudoista voit rakentaa 200 m pituisen aidan, joka on suljettava suurimman alueen suorakulmainen piha tällä aidalla käyttämällä tehtaan seinää pihan toiselle puolelle.

trinomiaalisen lauseen johdannaistoiminto

Päätös. Merkitään (kuva 2) pihan toinen sivu x: n kautta. Sitten sen toinen puoli on yhtä suuri ja sen pinta-ala on

Lauseen mukaan tämän toiminnon suurin arvo saavutetaan

Joten pihan sivun, kohtisuorassa tehtaan seinään nähden, tulisi olla 50 m, josta seinän suuntaisen sivun arvo on 100 m, toisin sanoen pihan tulisi olla puolen neliön muotoinen.

Käytännön näkökulmasta mielenkiintoisinta on johdannaisen käyttö funktion suurimpien ja pienimpien arvojen löytämiseen. Mikä on tämän syy? Voiton maksimointi, kustannusten minimointi, optimaalisen laitekuormituksen määrittäminen ... Toisin sanoen monilla elämänaloilla on tarpeen ratkaista parametrien optimoinnin ongelma. Ja nämä ovat tehtävän löytää funktion suurin ja pienin arvo.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa haetaan yleensä jollakin aikavälillä X, joka on joko funktion koko toimialue tai osa toimialueesta. Itse X-väli voi olla segmentti, avoin väli , loputon väli.

Tässä artikkelissa puhutaan yhden muuttujan y \u003d f (x) nimenomaisesti annetun funktion suurimpien ja pienimpien arvojen löytämisestä.

Sivunavigointi.

Funktion korkein ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysykäämme lyhyesti tärkeimmissä määritelmissä.

Funktion suurin arvo että kaikille eriarvoisuus on totta.

Pienin toimintoarvo Y \u003d f (x) aikavälillä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi että kaikille eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) hyväksytty arvo tarkasteltavalla aikavälillä absississa.

Kiinteät kohdat - nämä ovat argumentin arvot, joissa funktion derivaatti katoaa.

Miksi tarvitsemme paikallaan olevia pisteitä, kun löydämme suurimmat ja pienimmät arvot? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos eriytettävällä toiminnolla on jossain vaiheessa ääripää (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), niin tämä kohta on paikallaan. Siten toiminto ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X yhdessä pysähtyneistä pisteistä tältä väliltä.

Myös funktio voi usein saada suurimman ja pienimmän arvon pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä johdannaista ei ole, ja itse funktio on määritelty.

Vastaamme välittömästi yhteen yleisimpiin kysymyksiin tästä aiheesta: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei, ei aina. Joskus intervallin X rajat yhtyvät funktion määrittelyalueen rajojen kanssa, tai intervalli X on ääretön. Ja jotkut toiminnot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat viedä sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään toiminnon suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia ja paljon tulee selväksi.

Segmentissä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimmat (max y) ja pienimmät (min y) arvot segmentin sisäisissä kiinteissä pisteissä [-6; 6].

Tarkastellaan toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Vaihda segmentti kohtaan. Tässä esimerkissä pienin funktion arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka absissi vastaa aikavälin oikeaa reunaa.

Kuvassa 3 segmentin rajapisteet [-3; 2] ovat funktioiden suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden absissit.

Avoimella aikavälillä

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimmat (max y) ja pienimmät (min y) arvot avoimessa välissä sijaitsevissa kiinteissä pisteissä (-6; 6).

Välillä ei voida tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

Äärettömästi

Seitsemännen kuvan esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y) kiinteässä pisteessä, jonka absissi x \u003d 1, ja pienin arvo (min y) saavutetaan aikavälin oikealla reunalla. Miinus äärettömyydessä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti y \u003d 3.

Välillä funktio ei saavuta pienintä eikä suurinta arvoa. Kun suuntaan x \u003d 2 oikealla puolella, funktion arvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora viiva x \u003d 2 on pystysuora asymptootti), ja kun abscissa taipuu plus äärettömään, funktion arvot asymptoottisesti lähestyä y \u003d 3. Tämän esimerkin graafinen kuva on esitetty kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimpien ja pienimpien arvojen löytämiseksi segmentille.

Kirjoitetaan algoritmi, jonka avulla voimme löytää funktion suurimman ja pienimmän arvon segmentiltä.

1. Etsi funktion toimialue ja tarkista, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä johdannaista ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia \u200b\u200bpisteitä löytyy funktioista, joiden argumentti on moduulimerkin alla, ja tehofunktioissa, joissa on murto-osainen järkevä eksponentti). Jos tällaisia \u200b\u200bkohtia ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritä kaikki kiinteät kohdat, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten asetamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos ei ole paikallaan olevia pisteitä tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan kohtaan.
4. Laskemme funktion arvot valituissa kiinteissä pisteissä (jos sellaisia \u200b\u200bon), pisteissä, joissa ensimmäistä johdannaista ei ole (jos sellaista on), sekä x \u003d a: lle ja x \u003d b: lle.
5. Saaduista funktion arvoista valitsemme suurimman ja pienimmän - ne ovat vastaavasti halutut suurimmat ja pienimmät funktion arvot.

Analysoimme algoritmi ratkaistessamme esimerkkiä funktion suurimpien ja pienimpien arvojen löytämisestä segmentiltä.

Esimerkki.

Löydä suurin ja pienin funktion arvo

• segmentillä;
• segmentillä [-4; -1].

Päätös.

Funktion toimialue on koko reaalilukujoukko, lukuun ottamatta nollaa. Molemmat segmentit kuuluvat määritelmäalueeseen.

Etsi funktion derivaatti suhteessa:

On selvää, että funktion derivaatti on segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4; -1].

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä. Ainoa kelvollinen juuri on x \u003d 2. Tämä kiinteä piste kuuluu ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa lasketaan funktion arvot segmentin päissä ja kiinteässä pisteessä, ts. X \u003d 1, x \u003d 2 ja x \u003d 4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan arvolla x \u003d 1 ja pienin arvo - x \u003d 2.

Toisessa tapauksessa funktion arvot lasketaan vain segmentin [-4; -1] päistä (koska se ei sisällä yhtä kiinteää pistettä):

Joskus ongelmat B15 kohtaavat "huonoja" toimintoja, joille on vaikea löytää johdannaista. Aikaisemmin tämä oli vain koettimissa, mutta nyt nämä tehtävät ovat niin yleisiä, että niitä ei voida enää jättää huomiotta valmistauduttaessa todelliseen kokeeseen.

Tässä tapauksessa toimii muita temppuja, joista yksi on - yksivärinen.

Funktiota f (x) kutsutaan segmentin monotonisesti kasvavaksi, jos seuraava pätee tämän segmentin mihin tahansa pisteeseen x 1 ja x 2:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

Funktiota f (x) kutsutaan monotonisesti pieneneväksi segmentillä, jos tämän segmentin minkä tahansa pisteen x 1 ja x 2 kohdalla on totta:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).

Toisin sanoen kasvavaa funktiota varten, mitä suurempi on x, sitä suurempi on f (x). Pienenevässä funktiossa päinvastoin: mitä suurempi x, se vähemmän f (x).

Esimerkiksi logaritmi kasvaa yksitoikkoisesti, jos emäs a\u003e 1, ja pienenee yksitoikkoisesti, jos 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Aritmeettisen neliön (eikä vain neliön) juuri kasvaa monotonisesti koko määritelmän alueella:

Eksponenttifunktio käyttäytyy samalla tavalla kuin logaritmi: se kasvaa arvolle\u003e 1 ja pienenee arvolle 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Lopuksi negatiiviset eksponentit. Voit kirjoittaa ne murtolukuna. Pidä epäjatkuvuuspiste, jossa yksitoikkoisuus on rikki.

Kaikkia näitä toimintoja ei koskaan löydetä puhtaassa muodossa. Ne lisäävät polynomeja, murto-osia ja muita hölynpölyjä, minkä vuoksi johdannaisen laskeminen on vaikeaa. Mitä tässä tapauksessa tapahtuu - nyt analysoimme.

Parabola-kärjen koordinaatit

Useimmiten funktion argumentti korvataan neliön kolmiominen muodon y \u003d ax 2 + bx + c. Hänen kaavionsa on tavallinen paraboli, josta olemme kiinnostuneita:

1. Parabola-oksat - voivat nousta ylös (a\u003e 0) tai alas (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Parabolan kärkipiste on toisen asteen funktion ääripiste, jossa tämä funktio saa pienimmän (a\u003e 0) tai suurimman (a< 0) значение.

Suurinta mielenkiintoa on juuri parabolin kärki, jonka absissi lasketaan kaavalla:

Joten olemme löytäneet neliöllisen funktion ääripisteen. Mutta jos alkuperäinen funktio on yksitoikkoinen, piste x 0 on sille myös ääripiste. Siksi muotoilemme avaimen säännön:

Neliöllisen trinomiaalin ääripisteet ja monimutkainen toiminto, johon se tulee, ovat osuvia. Siksi voit etsiä neliötä trinomiaalille x 0 ja pisteyttää funktion.

Edellä esitetyn perusteella on epäselvää, minkä pisteen saamme: maksimin tai pienimmän. Tehtävät on kuitenkin suunniteltu niin, että sillä ei ole väliä. Tuomari itse:

1. Ongelmassa ei ole segmenttiä. Siksi sinun ei tarvitse laskea f (a) ja f (b). On vielä tarkasteltava vain ääripisteitä;
2. Mutta on vain yksi tällainen piste - tämä on parabolin x 0 kärki, jonka koordinaatit lasketaan kirjaimellisesti suullisesti ja ilman johdannaisia.

Siten ongelman ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti ja siinä on vain kaksi vaihetta:

1. Kirjoita parabolin yhtälö y \u003d ax 2 + bx + c ja etsi sen kärki kaavalla: x 0 \u003d −b / 2a;
2. Etsi alkuperäisen funktion arvo täältä: f (x 0). Jos lisäehtoja ei ole, tämä on vastaus.

Ensi silmäyksellä tämä algoritmi ja sen perustelut saattavat tuntua monimutkaisilta. En tarkoituksella lähetä "paljasta" ratkaisumallia, koska tällaisten sääntöjen harkitsematon soveltaminen on täynnä virheitä.

Harkitse matematiikan kokeen todellisia ongelmia - juuri tämä tekniikka esiintyy useimmiten. Samalla varmistamme, että tällä tavalla monista B15-tehtävistä tulee melkein sanallisia.

Juuren alla on neliöfunktio y \u003d x 2 + 6x + 13. Tämän funktion kaavio on haarautuva paraboli, koska kerroin a \u003d 1\u003e 0.

Parabolin kärki:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 1) \u003d −6/2 \u003d −3

Koska parabolan haarat ovat suunnattu ylöspäin, pisteessä x 0 \u003d −3 funktio y \u003d x 2 + 6x + 13 saa pienimmän arvon.

Juuri kasvaa yksitoikkoisesti, joten x 0 on koko funktion vähimmäispiste. Meillä on:

Tehtävä. Etsi pienin funktion arvo:

y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmin alla on jälleen neliöfunktio: y \u003d x 2 + 2x + 9. Kuvaaja on parabola, jossa on haaroja ylöspäin, koska a \u003d 1\u003e 0.

Parabolin kärki:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −2 / (2 1) \u003d −2/2 \u003d −1

Joten pisteessä x 0 \u003d −1 neliöfunktio saa pienimmän arvon. Mutta funktio y \u003d log 2 x on yksitoikkoinen, siksi:

y min \u003d y (−1) \u003d log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Eksponentti sisältää neliöfunktion y \u003d 1 - 4x - x 2. Kirjoita se uudelleen normaalimuodossaan: y \u003d −x 2 - 4x + 1.

Tämän funktion kaavio on tietysti parabola, joka haarautuu alas (a \u003d −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 (−1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d −2

Alkuperäinen funktio on eksponentiaalinen, se on yksitoikkoinen, joten suurin arvo on löydetyssä pisteessä x 0 \u003d −2:

Huomaavainen lukija huomaa todennäköisesti, että emme kirjoittaneet juuren ja logaritmin kelvollisten arvojen aluetta. Mutta tätä ei vaadittu: sisällä on toimintoja, joiden arvot ovat aina positiivisia.

Seuraukset funktion toimialueelta

Joskus paraabelin kärjen löytäminen ei riitä ongelman B15 ratkaisemiseen. Haluttu arvo voi olla segmentin lopussa, mutta ei ääripäässä. Jos tehtävässä ei ole määritetty segmenttiä ollenkaan, katso kelvollisten arvojen alue alkuperäinen toiminto. Nimittäin:

Huomaa vielä kerran: nolla voi hyvinkin olla juuren alla, mutta ei koskaan murto-osan logaritmissa tai nimittäjässä. Katsotaanpa, miten tämä toimii, ja esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi funktion suurin arvo:

Juuren alla on jälleen neliöllinen funktio: y \u003d 3 - 2x - x 2. Sen kaavio on paraboli, mutta haarautuu alaspäin, koska a \u003d −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Kirjoitamme hyväksyttävien arvojen alueen (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; yksi]

Löydetään nyt paraabelin kärki:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 (−1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d −1

Piste x 0 \u003d −1 kuuluu ODZ-segmenttiin - ja tämä on hyvä. Lasketaan nyt funktion arvo pisteessä x 0 sekä ODZ: n päissä:

y (−3) \u003d y (1) \u003d 0

Joten saimme numerot 2 ja 0. Meitä pyydetään löytämään suurin - tämä on numero 2.

Tehtävä. Etsi pienin funktion arvo:

y \u003d log 0,5 (6x - x 2-5)

Logaritmin sisällä on neliöfunktio y \u003d 6x - x 2 - 5. Tämä on paraboli, jossa on haaroja alaspäin, mutta logaritmissa ei voi olla negatiivisia lukuja, joten kirjoitamme ODZ:

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Huomaa: epätasa-arvo on tiukka, joten päät eivät kuulu ODZ: hen. Näin logaritmi eroaa juuresta, jossa segmentin päät ovat varsin sopivia meille.

Etsimme parabolan yläosaa:

x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 (−1)) \u003d −6 / (- 2) \u003d 3

Parabolan kärki sopii ODV: lle: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Mutta koska meitä eivät kiinnosta segmentin päät, otamme funktion arvon huomioon vain pisteessä x 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 3 - 3 2-5) \u003d log 0,5 (18-9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d −2