ใช่ใช่: การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นคุณ :)

เพื่อนถ้าคุณอ่านข้อความนี้หมวกด้านในที่เห็นได้ชัดบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าการคืบหน้าการคณิตศาสตร์คืออะไร แต่มาก (ไม่เช่นนี้: oooooo!) ต้องการที่จะรู้ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานการเข้าถึงที่ยาวนานและไปที่กรณีทันที

สำหรับเริ่มต้นสองสามตัวอย่าง พิจารณาตัวเลขหลายชุด:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

ชุดเหล่านี้เป็นเรื่องปกติอะไร อย่างรวดเร็วก่อน - ไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีอะไรบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากหนึ่งก่อนหน้าและหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกคือการอยู่ในแถวของหมายเลขแต่ละคนต่อไปจะยิ่งใหญ่กว่าอันก่อนหน้า ในกรณีที่สองความแตกต่างระหว่างตัวเลขใกล้เคียงมีค่าเท่ากับห้า แต่ความแตกต่างนี้ยังคงคงที่ ในกรณีที่สามโดยทั่วไปราก อย่างไรก็ตาม $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ และ $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, i.e. และในกรณีนี้แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่ม $ \\ sqrt (2) $ (และปล่อยให้มันไม่น่ากลัวว่าหมายเลขนี้ไม่มีเหตุผล)

ดังนั้นลำดับทั้งหมดดังกล่าวเรียกว่าคณิตศาสตร์ความก้าวหน้า ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

นิยาม ลำดับของตัวเลขที่แต่ละคุณสมบัติถัดไปแตกต่างจากก่อนหน้านี้และค่าเดียวกันเรียกว่าการพัฒนาคณิตศาสตร์ ขนาดของจำนวนแตกต่างกันเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าและส่วนใหญ่ที่ระบุโดยตัวอักษร $ D $

การกำหนด: $ \\ left ((((a) _ (n)) \\ ขวา) $ - ความก้าวหน้าของตัวเอง $ D คือความแตกต่าง

และความคิดเห็นที่สำคัญสองข้อทันที ครั้งแรกความคืบหน้าถือเป็นเท่านั้น อย่างเป็นระเบียบ ลำดับของตัวเลข: พวกเขาได้รับอนุญาตให้อ่านอย่างเคร่งครัดตามลำดับที่พวกเขาถูกบันทึก - และในทางใดทางหนึ่ง มันเป็นไปไม่ได้ที่จะจัดเรียงใหม่และเปลี่ยนจำนวนตัวเลข

ประการที่สองลำดับของตัวเองสามารถเป็นทั้ง จำกัด และไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่นชุด (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้าย แต่ถ้าคุณเขียนอะไรบางอย่างในวิญญาณ (1; 2; 3; 4; ... ) - นี่คือความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด หลังจากที่สี่หลังจากที่สี่อย่างที่มันเป็นคำแนะนำแล้วก็ยังมีตัวเลขน้อย ตัวอย่างเช่นมากตัวอย่างเช่น :)

ฉันต้องการทราบว่าความก้าวหน้ากำลังเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นการเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ... ) แต่ตัวอย่างของการก้าวร้าวจากมากไปน้อย:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

โอเคโอเค: ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ส่วนที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจได้ ดังนั้นเราแนะนำคำจำกัดความใหม่:

นิยาม ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

1. การเพิ่มขึ้นหากทุกองค์ประกอบต่อไปมีค่ามากกว่าหนึ่งก่อนหน้า;
2. จากมากไปน้อยถ้าในทางตรงกันข้ามองค์ประกอบที่ตามมาแต่ละองค์ประกอบน้อยกว่าก่อนหน้านี้

นอกจากนี้ยังมีลำดับ "นิ่ง" ที่เรียกว่า - ประกอบด้วยจำนวนที่เกิดขึ้นเดียวกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ... )

มีคำถามเดียวเท่านั้น: วิธีการแยกความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากการลดลง? โชคดีที่ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของหมายเลข $ D $ I.E. ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

1. ถ้า $ d \\ gt 0 $ จากนั้นความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น;
2. ถ้า $ d \\ lt 0 $ จากนั้นความก้าวหน้าจะลดลงอย่างเห็นได้ชัด;
3. ในที่สุดมีกรณี $ D \u003d 0 $ - ในกรณีนี้ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงในลำดับที่อยู่กับหมายเลขเดียวกัน: (1; 1; 1; 1; ... ) ฯลฯ

ลองคำนวณความแตกต่างของ $ D $ สำหรับความคืบหน้าการลดลงสามข้อที่ให้ไว้ข้างต้น ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะใช้องค์ประกอบที่อยู่ติดกันสองรายการ (ตัวอย่างเช่นแรกและที่สอง) และลบออกจากด้านขวารายการหมายเลข มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $

อย่างที่คุณเห็นในทั้งสามกรณีความแตกต่างกลับกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เมื่อเรามีคำจำกัดความที่คิดออกมามากหรือน้อยก็ถึงเวลาที่จะจัดการกับความก้าวหน้าที่อธิบายไว้และคุณสมบัติที่พวกเขามี

ความก้าวหน้าและสูตรกำเริบ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ในสถานที่พวกเขาสามารถกำหนดหมายเลข:

\\ [\\ ซ้าย ((((a) _ (n)) \\ ขวา) \u003d \\ left \\ ((a) _ (1)), \\ (a) _ (2)), ((a) _ (2) )), ... \\ ขวา \\) \\]

องค์ประกอบที่แยกต่างหากของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกความก้าวหน้า พวกเขาบ่งบอกถึงพวกเขาด้วยความช่วยเหลือของจำนวน: กระเจี๊ยวแรกเทอมที่สอง ฯลฯ

นอกจากนี้เมื่อเรารู้อยู่แล้วสมาชิกเพื่อนบ้านของความก้าวหน้าเกี่ยวข้องกับสูตร:

\\ [(a) _ (n)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d d \\ rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + D \\]

ในระยะสั้นเพื่อค้นหาสมาชิก $ N $ -D ของความก้าวหน้าคุณต้องรู้จักสมาชิก $ N-1 $ -th และความแตกต่าง $ D $ สูตรดังกล่าวเรียกว่ากำเริบเนื่องจากสามารถใช้ในการค้นหาหมายเลขใดก็ได้เท่านั้นที่รู้ว่าก่อนหน้านี้ (และในความเป็นจริง - ทั้งหมดก่อนหน้านี้) มันไม่สะดวกมากดังนั้นจึงมีสูตรฉลาดแกมโกงที่ช่วยลดการคำนวณใด ๆ ให้กับสมาชิกคนแรกและความแตกต่าง:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ ขวา) d \\]

แน่นอนคุณได้พบกับสูตรนี้แล้ว เธอชอบที่จะให้ในทุกไดเรกทอรีและ reshebnikh ใช่และในตำราอธิบายใด ๆ ในคณิตศาสตร์เธอไปหนึ่งในครั้งแรก

อย่างไรก็ตามฉันเสนอให้เครียดเล็กน้อย

หมายเลขงาน 1 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมาชิกสามคนแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของ $ \\ left (((a) _ (n)) \\ ขวา) $, ถ้า $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $

การตัดสินใจ ดังนั้นเรารู้ว่า $ $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 และความแตกต่างในความก้าวหน้าของ $ D \u003d -5 $ เราใช้เพียงสูตรที่เกิดขึ้นและทดแทน $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 และ $ n \u003d $ 3:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ ซ้าย (N-1 \\ ขวา) D; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ ซ้าย (1-1 \\ ขวา) D \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ ซ้าย (2-1 \\ ขวา) D \u003d ((a) _ (1)) + D \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ ซ้าย (3-1 \\ ขวา) D \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (จัด) \\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบ: ความก้าวหน้าของเรามากไปน้อย

แน่นอนว่า $ N \u003d 1 $ ไม่สามารถทดแทนสมาชิกคนแรกที่เรารู้จักกัน อย่างไรก็ตามการแทนที่หน่วยเราเชื่อว่าแม้สำหรับสมาชิกคนแรกสูตรของเราทำงาน ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างถูกนำไปยังคณิตศาสตร์ซ้ำ

หมายเลขงานที่ 2 เขียนสมาชิกสามคนแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากสมาชิกที่เจ็ดคือ -40 และสมาชิกที่สิบเจ็ดคือ -50

การตัดสินใจ เราเขียนเงื่อนไขของงานในเงื่อนไขปกติ:

\\ [(a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ ซ้าย \\ (\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (17)) \u003d (A) _ (1)) + 16d \\\\\\ end (จัดตำแหน่ง) \\ ขวา \\]

\\ [\\ ซ้าย \\ (\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (จัด) \\ ขวา \\]

ฉันตั้งค่าระบบเนื่องจากข้อกำหนดเหล่านี้ควรดำเนินการพร้อมกัน และตอนนี้เราทราบถ้าคนแรกที่หักสมการแรก (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเพราะเรามีระบบ) เราได้รับสิ่งนี้:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ ซ้าย ((a) _ (1)) + 6d \\ ขวา) \u003d - 50- \\ ขวา (-40 \\ ขวา); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1 \\\\ \\ end (จัด) \\]

ง่ายมากที่เราพบความแตกต่างในความก้าวหน้า! มันยังคงเปลี่ยนหมายเลขที่พบให้กับสมการระบบใด ๆ ตัวอย่างเช่นในครั้งแรก:

\\ [\\ เริ่มต้น (เมทริกซ์) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ donyarrow \\\\ (a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ (a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34 \\\\ \\ end (เมทริกซ์) \\]

ตอนนี้รู้ว่าสมาชิกคนแรกและความแตกต่างมันยังคงหากระเจี๊ยวที่สองและสาม:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + D \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36 \\\\ \\ end (จัด) \\]

พร้อมแล้ว! งานได้รับการแก้ไข

คำตอบ: (-34; -35; -36)

ให้ความสนใจกับทรัพย์สินที่อยากรู้อยากเห็นของความก้าวหน้าที่เราพบ: หากคุณรับ $ N $ และสมาชิก $ M $ -y และลบออกจากกันและกันเราจะได้รับความแตกต่างในความก้าวหน้าคูณด้วย $ n-m $

\\ [(a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ ขวา) \\]

คุณสมบัติที่เรียบง่าย แต่มีประโยชน์มากที่ต้องเป็นที่รู้จัก - กับมันคุณสามารถเร่งการแก้ปัญหามากมายเกี่ยวกับความก้าวหน้า นี่คือตัวอย่างที่สดใส:

หมายเลขงาน 3 ระยะที่ห้าของการพัฒนาเลขคณิตคือ 8.4 และสมาชิกที่สิบคือ 14.4 ค้นหาสมาชิกที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

การตัดสินใจ ตั้งแต่ $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4 และคุณต้องค้นหา $ ((a) _ (15)) $ จากนั้นหมายเหตุต่อไปนี้:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5D; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5D \\\\ \\ end (จัด) \\]

แต่โดยเงื่อนไข $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6 ดังนั้น $ 5D \u003d $ 6 จากที่เรามี:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20.4 \\\\ \\ end (จัด) \\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องเป็นระบบสมการบางอย่างและพิจารณาสมาชิกคนแรกและความแตกต่าง - ทุกอย่างตัดสินใจอย่างแท้จริงในสองบรรทัด

ตอนนี้พิจารณาภารกิจอื่น - เพื่อค้นหาสมาชิกเชิงลบและเป็นบวกของความก้าวหน้า มันไม่มีความลับที่ถ้าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นกับสมาชิกคนแรกของเธอในแง่ลบของเธอจากนั้นไม่ช้าก็เร็วจะมีสมาชิกในเชิงบวก เกือบ: สมาชิกของการลดความก้าวหน้าไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นลบ

ในขณะเดียวกันก็ไม่สามารถเพิ่มช่วงเวลานี้ได้เสมอไป "ในหน้าผาก" ซึ่งเปลี่ยนองค์ประกอบตามลำดับ บ่อยครั้งที่งานได้รับการออกแบบเพื่อให้มีหลายแผ่นโดยไม่ทราบว่าสูตร - เราจะหลับไปในขณะที่พวกเขาพบคำตอบ ดังนั้นลองแก้ปัญหาเหล่านี้ในวิธีที่เร็วขึ้น

หมายเลขงานที่ 4 จำนวนสมาชิกเชิงลบในการพัฒนาเลขคณิตคือ -38.5; -35.8; ... ?

การตัดสินใจ ดังนั้น $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8 ที่เราค้นหาความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างเป็นบวกดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น สมาชิกคนแรกเป็นลบดังนั้นในบางจุดที่เราจะขัดขวางจำนวนบวก คำถามเดียวคือเมื่อมันเกิดขึ้น

ให้เราลองค้นหา: นานแค่ไหน (i.e. กับจำนวนเงินตามธรรมชาติ $ n $) การปฏิเสธของสมาชิกถูกเก็บรักษาไว้:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัด) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ ขวา) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ left (n-1 \\ ขวา) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ ขวา \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ ขวา) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15 \\\\ \\ end (จัด) \\]

บรรทัดสุดท้ายต้องมีคำอธิบาย ดังนั้นเรารู้ว่า $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $ ในทางกลับกันเราจะจำลองเฉพาะค่าจำนวนเต็มของจำนวน (มากกว่า: $ n \\ in \\ mathbb (n) $) ดังนั้นหมายเลขที่อนุญาตที่ใหญ่ที่สุดคือ $ n \u003d $ 15 และในกรณีที่ไม่มี 16.

งานหมายเลข 5 ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของ $ (() _ (5)) \u003d - 150, ((() _ (6)) \u003d - $ 147 ค้นหาสมาชิกในเชิงบวกคนแรกของความก้าวหน้านี้

มันจะเป็นงานเดียวกันกับที่ก่อนหน้านี้เราไม่ทราบ $ ((a) _ (1)) $ แต่สมาชิกเพื่อนบ้านเป็นที่รู้จักกันดี: $ ((a) _ (5)) $ และ $ ((a) _ (6)) $ ดังนั้นเราจะค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ลองแสดงให้เห็นถึงกระเจี๊ยวที่ห้าผ่านครั้งแรกและความแตกต่างตามสูตรมาตรฐาน:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ ซ้าย (n-1 \\ ขวา) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4D; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162 \\\\ \\ end (จัด) \\]

ตอนนี้เราทำโดยการเปรียบเทียบกับงานก่อนหน้านี้ เราพบว่าจุดใดในลำดับของเราจะมีจำนวนบวก:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ ซ้าย (n-1 \\ ขวา) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ rightarrow ((n) _ (\\ นาที)) \u003d 56 \\\\ \\ end (จัด) \\]

โซลูชันจำนวนเต็มขั้นต่ำของความไม่เท่าเทียมนี้คือหมายเลข 56

โปรดทราบ: ในภารกิจสุดท้ายทุกอย่างสดใสขึ้นเพื่อความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดดังนั้นตัวเลือก $ n \u003d $ 55 จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เมื่อเราเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาง่ายๆเราหันไปซับซ้อนมากขึ้น แต่ก่อนอื่นเรามาศึกษาสมบัติที่มีประโยชน์มากขึ้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งในอนาคตจะช่วยให้เราประหยัดเวลาและเซลล์ที่ไม่เท่ากัน :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเยื้องที่เท่าเทียมกัน

พิจารณาสมาชิกหลายคนติดต่อกันของการเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $ \\ ext (((a) _ (n)) \\ ขวา) $ ลองทำเครื่องหมายให้เป็นตัวเลขตรง:

สมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในเชิงตัวเลขโดยตรง

ฉันสังเกตเห็นสมาชิกโดยพลการโดยเฉพาะ $ ((a) _ (n-3)), ... , ((a) _ (n + 3)) $ และไม่ใช่ $ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), \\ (A) _ (3)) $ ฯลฯ เพราะกฎที่ฉันจะบอกตอนนี้มันทำงานได้อย่างเท่าเทียมกันสำหรับ "เซ็กเมนต์" ใด ๆ

และกฎนั้นง่ายมาก จำสูตรการกำเริบและเขียนให้กับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + D; \\\\ & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + D; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + D; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + D; \\\\ \\ end (จัด) \\]

อย่างไรก็ตามความเสมอภาคเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n - 1)) \u003d ((a) _ (n)) - D; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + D; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; \\\\ \\ end (จัด) \\]

ดังนั้นอะไร และความจริงที่ว่าสมาชิก $ ((a) _ (n - 1)) $ และ $ ((a) _ (n + 1)) อยู่ในระยะทางเดียวกันจาก $ ((a) _ (n)) $ และระยะนี้คือ $ D $ เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับสมาชิกของ $ ((a) _ (n - 2)) $ และ $ ((a) _ (n + 2)) $ - พวกเขาจะถูกลบออกจาก $ ((a) _ (n )) $ ในระยะเดียวกันเท่ากับ $ 2D $ คุณสามารถดำเนินการต่อไปยังไม่มีที่สิ้นสุด แต่จุดนี้แสดงให้เห็นอย่างดีจากภาพ

สมาชิกความก้าวหน้าอยู่ในระยะทางเดียวกันจากศูนย์กลาง

สิ่งนี้หมายความว่าสำหรับเรา ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหา $ ((a) _ (n)) $ ถ้าเพื่อนบ้านเป็นที่รู้จัก:

\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

เราได้รับการอนุมัติอย่างมาก: สมาชิกทุกคนของการคืบหน้าการคณิตศาสตร์นั้นเท่ากับสมาชิกที่อยู่ติดกับเลขคณิตเฉลี่ย! ยิ่งไปกว่านั้น: เราสามารถถอยห่างจาก $ ((((a) _ (n)) $ ซ้ายและขวาไม่ได้หนึ่งขั้นตอนและใน $ k $ ขั้นตอน - และยังคงสูตรจะถูกต้อง:

\\ [(a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

ที่. เราสามารถค้นหา $ ((a) _ (150)) $ ถ้าเรารู้จัก $ ((a) _ (100)) $ และ $ ((a) _ (200)) $ เพราะ $ ((a) _ (150)) \u003d \\ FRAC ((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $ อย่างรวดเร็วก่อนมันอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้อะไรกับเราที่มีประโยชน์ อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติภารกิจจำนวนมากมี "แหลม" โดยเฉพาะเพื่อใช้เลขคณิตเฉลี่ย ลองดูสิ:

หมายเลขงาน 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $ x $ ซึ่งหมายเลข $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ และ $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ เป็นสมาชิกที่สอดคล้องกันของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามที่ระบุ)

การตัดสินใจ เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าสภาพของเลขคณิตเฉลี่ยจะดำเนินการสำหรับพวกเขา: องค์ประกอบกลาง $ x + 1 $ สามารถแสดงผ่านองค์ประกอบที่อยู่ติดกัน:

\\ [เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 (x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 (x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0 \\\\ \\ end (จัด) \\]

มันกลายเป็นสมการสแควร์คลาสสิก รากของเขา: $ x \u003d $ 2 และ $ x \u003d -3 $ - นี่คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่า $$ ที่หมายเลข $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับที่ระบุ)

การตัดสินใจ อีกครั้งเราแสดงสมาชิกโดยเฉลี่ยผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกเพื่อนบ้าน:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac ((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ ขวา; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0 \\\\ \\ end (จัด) \\]

อีกครั้งสมการตาราง และอีกสองราก: $ x \u003d $ 6 และ $ x \u003d 1 $

คำตอบ: 1; 6.

หากอยู่ในขั้นตอนการแก้ปัญหาคุณมีตัวเลขที่โหดร้ายหรือไม่มั่นใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบนั่นคือเทคนิคที่ยอดเยี่ยมช่วยให้คุณสามารถตรวจสอบได้: เราแก้ปัญหาหรือไม่

สมมติว่าในหมายเลขงาน 6 เราได้รับคำตอบ -3 และ 2 วิธีการตรวจสอบว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้องหรือไม่ มาแทนที่พวกเขาในสภาพเดิมและดูว่าเกิดอะไรขึ้น ให้ฉันเตือนคุณว่าเรามีสามตัวเลข ($ -6 (((() ^ (2)) $, $ + 1 $ และ $ 14 + 4 (() ^ (2)) $) ซึ่งควรเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทดแทน $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x \u003d -3 \\ rightarrow \\\\ & -6 (x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50 \\ end (จัด) \\]

หมายเลขที่ได้รับ -54; -2; 50 ซึ่งแตกต่างกันที่ 52 - ไม่ต้องสงสัยนี่คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นที่ $ x \u003d $ 2:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & x \u003d 2 \\ rightarrow \\\\ & -6 (x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30 \\ end (จัด) \\]

ความก้าวหน้าอีกครั้ง แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้นภารกิจจะแก้ไขได้จริง ผู้ที่ต้องการสามารถตรวจสอบงานที่สองด้วยตัวเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างเป็นจริงเช่นกัน

โดยทั่วไปแล้วการแก้ปัญหาสุดท้ายเราสะดุดความจริงที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งที่ต้องจำไว้ว่า:

หากตัวเลขสามตัวเป็นเช่นนั้นที่สองคือเลขคณิตกลางเป็นครั้งแรกและสุดท้ายตัวเลขเหล่านี้สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคตความเข้าใจของคำแถลงนี้จะช่วยให้เราสามารถ "ออกแบบ" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหา แต่ก่อนที่เราจะจัดการกับ "การออกแบบ" ดังกล่าวคุณควรใส่ใจกับข้อเท็จจริงอื่นที่เกิดขึ้นโดยตรงจากการพิจารณาแล้ว

การจัดกลุ่มและปริมาณขององค์ประกอบ

มากลับไปที่แกนตัวเลขกันเถอะ เราสังเกตเห็นว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้าระหว่างที่อาจเป็นไปได้ มีสมาชิกอื่นจำนวนมาก:

6 องค์ประกอบถูกทำเครื่องหมายบนตัวเลขตรง

ลองแสดง "หางซ้าย" ผ่าน $ (((a) _ (n)) $ และ $ D $ และ "หางขวา" ถึง $ ((a) _ (k)) $ และ $ D $ มันง่ายมาก:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + D; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - D; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2D \\\\ \\ end (จัด) \\]

และตอนนี้เราทราบว่าจำนวนต่อไปนี้เท่ากับ:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + D + (a) _ (k)) - D \u003d s; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ end (จัด) \\]

เพียงแค่ใส่ถ้าเราพิจารณาองค์ประกอบทั้งสองของความก้าวหน้าเป็นการเริ่มต้นซึ่งในจำนวนเงินเท่ากับจำนวน $ S $ S $ S $ S $ S $ S $ S $ จากนั้นเริ่มเดินจากรายการเหล่านี้ในด้านตรงข้าม (ต่อกันหรือในทางกลับกันในทางกลับกันเพื่อลบ) จากนั้น จำนวนองค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน $ s $ ชัดเจนที่สุดสามารถแสดงกราฟิกได้อย่างชัดเจน:

เยื้องเดียวกันให้จำนวนเท่ากัน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราสามารถแก้ไขภารกิจของระดับความซับซ้อนที่สูงขึ้นกว่าที่เราพิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

หมายเลขงาน 8 กำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งเทอมแรกคือ 66 และการทำงานของสมาชิกที่สองและสิบสองเป็นไปได้ที่เล็กที่สุด

การตัดสินใจ เราเขียนทุกอย่างที่เรารู้จัก:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ นาที \\ end (จัด) \\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างในความก้าวหน้าของ $ D $ ที่จริงแล้วรอบ ๆ ความแตกต่างและจะถูกสร้างขึ้นทางออกทั้งหมดเนื่องจากผลิตภัณฑ์คือ $ ((A) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ สามารถเขียนใหม่ดังนี้:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + D \u003d 66 + D; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11D; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ ซ้าย (66 + d \\ ขวา) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ ขวา) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (D + 66 \\ ขวา) \\ cdot \\ left (D + 6 \\ ขวา) \\ end (จัด) \\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันดำเนินการคูณทั่วไปของวงเล็บที่สอง 11 ดังนั้นผลิตภัณฑ์ที่ต้องการเป็นฟังก์ชั่นกำลังสองที่สัมพันธ์กับตัวแปร $ D $ D ดังนั้นเราจึงพิจารณาฟังก์ชั่น $ f \\ exp (d \\ ขวา) \u003d 11 \\ left (D + 66 \\ ขวา) \\ ซ้าย (D + 6 \\ ขวา) $ - ตารางเวลาของมันจะเป็นสาขาพาราโบลาขึ้นเพราะ หากคุณเปิดเผยวงเล็บจากนั้นเราจะได้รับ:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & f \\ ext (d \\ ขวา) \u003d 11 \\ ext ((((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ ขวา) \u003d \\\\ \\ \u003d 11 ( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (จัด) \\]

อย่างที่เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์กับเงื่อนไขอาวุโสเท่ากับ 11 - นี่คือจำนวนบวกดังนั้นจึงมีการจัดการกับสาขาพาราโบลาขึ้นจริง ๆ :

กำหนดการของฟังก์ชั่นกำลังสอง - พาราโบลา

โปรดทราบ: ค่าต่ำสุดของพาราโบลานี้ใช้เวลาในจุดสุดยอดกับ abscissa $ ((d) _ (0)) $ แน่นอนเราสามารถคำนวณ abscissa นี้ตามรูปแบบมาตรฐาน (มี $ formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2A) \\; $) แต่ยอดเยี่ยมมากจะสังเกตเห็นว่าต้องการมาก ด้านบนอยู่บนแกนที่สมมาตรของพาราโบลาดังนั้นจุด $ ((d) _ (0)) $ เท่ากับรากของสมการ $ f \\ ext (d \\ ขวา) \u003d 0 $:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัด) & f \\ ext (d \\ ขวา) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (D + 66 \\ ขวา) \\ cdot \\ left (D + 6 \\ ขวา) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (จัด) \\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบกลับที่จะเปิดเผยวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมรากที่เรียบง่ายและง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับเลขคณิตเฉลี่ย -66 และ -6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

อะไรทำให้เราตรวจพบหมายเลข? ด้วยงานที่ต้องการใช้ค่าที่น้อยที่สุด (เราไม่ได้พิจารณา $ ((y) _ (\\ นาที)) $ - ไม่จำเป็นต้องใช้กับเรา) ในเวลาเดียวกันหมายเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น I.e. เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

หมายเลข 9 ระหว่างตัวเลข $ - \\ FRAC (1) (2) $ และ $ - \\ frac (1) (6) $ ใส่ตัวเลขสามตัวเพื่อให้พวกเขาทำให้พวกเขามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมกับตัวเลขเหล่านี้

การตัดสินใจ ในสาระสำคัญเราจำเป็นต้องทำลำดับของตัวเลขห้าตัวและหมายเลขแรกและหมายเลขสุดท้ายเป็นที่รู้จักกันอยู่แล้ว แสดงจำนวนตัวแปรที่ขาดหายไป $ x $, $ y $ และ $ z $:

\\ [\\ ซ้าย (((((a) _ (n)) \\ ขวา) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ ขวา \\ ) \\]

ควรสังเกตว่าหมายเลข $ y $ เป็น "กลาง" ของลำดับของเรา - มันเป็นเท่ากันและจากตัวเลข $ x และ $ z $ z $ และจากตัวเลข $ - \\ frac (1) (2) $ และ $ - \\ FRAC (1) (6) $ และถ้าจากตัวเลข $ x $ และ $ z $ เราไม่สามารถรับ $ Y $ จากนั้นด้วยจุดสิ้นสุดของความก้าวหน้าสถานการณ์จะแตกต่างกัน เราจำได้ว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้รู้ว่า $ y $ เราจะพบตัวเลขที่เหลืออยู่ โปรดทราบว่า $ x $ lies ระหว่างตัวเลข $ - \\ FRAC (1) (2) (2) $ และพบ $ y \u003d - \\ FRAC (1) (3) $ เป็นเพียงพบ ดังนั้น

ในทำนองเดียวกันการโต้เถียงเราพบหมายเลขที่เหลือ:

พร้อมแล้ว! เราพบตัวเลขทั้งสามทั้งหมด เราเขียนพวกเขาในการตอบสนองตามลำดับที่ต้องใส่ระหว่างหมายเลขเริ่มต้น

คำตอบ: $ - \\ FRAC (5) (12); \\ - \\ Frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

ภารกิจหมายเลข 10 ระหว่างตัวเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายตัวซึ่งรวมถึงตัวเลขเหล่านี้สร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากเป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของตัวเลขแรกที่สองและสุดท้ายของตัวเลขที่แทรกอยู่คือ 56

การตัดสินใจ อย่างไรก็ตามงานที่ยากยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขด้วยรูปแบบเดียวกันกับที่ก่อนหน้านี้ - ผ่านค่าเฉลี่ยทางคณิตศาสตร์ ปัญหาคือเราไม่ทราบว่าควรใส่ตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงจำนวนเท่าใด ดังนั้นเราจึงกำหนดไว้สำหรับคำจำกัดความว่าหลังจากการแทรกจะมีหมายเลข $ n $ n และอันแรกคือ 2 และสุดท้าย - 42 ในกรณีนี้การค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะถูกนำเสนอในแบบฟอร์ม:

\\ [\\ ซ้าย ((((a) _ (n)) \\ ขวา) \u003d \\ left \\ (2; (a) _ (2)); ((a) _ (3)); ((a) _ (3)); a) _ (n - 1)); 42 \\ ขวา \\) \\]

\\ [(a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]

อย่างไรก็ตามหมายเหตุว่าตัวเลข $ ((a) _ (2)) $ และ $ ((a) _ (n - 1)) $ ได้รับจากขอบของตัวเลข 2 และ 42 โดยขั้นตอนเดียวต่อกัน I. . ไปยังศูนย์ลำดับ และนี่หมายความว่า

\\ [(a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

แต่การแสดงออกที่บันทึกไว้ข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนั้น:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ ขวา) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12 \\\\ \\ end (จัด) \\]

การรู้จัก $ ((a) _ (3)) $ และ $ ((a) _ (1)) $ เราจะค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ ซ้าย (3-1 \\ ขวา) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2D \u003d 10 \\ RightArrow D \u003d 5 \\\\ \\ end (จัด) \\]

มันยังคงเป็นเพียงการค้นหาสมาชิกคนอื่น ๆ :

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (จัด) \\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 แล้วเราจะมาถึงปลายด้านซ้ายของลำดับ - หมายเลข 42 มีความจำเป็นต้องแทรกเพียง 7 หมายเลข: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ข้อความข้อความที่มีความก้าวหน้า

สรุปแล้วฉันต้องการพิจารณางานง่าย ๆ สองสามอย่าง เรียบง่าย: สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่สำรวจคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้นงานเหล่านี้อาจดูเหมือนดีบุก อย่างไรก็ตามมันเป็นงานดังกล่าวอย่างแม่นยำที่จะเจอ OGE และ EGE ในวิชาคณิตศาสตร์ดังนั้นฉันจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคยกับพวกเขา

ภารกิจหมายเลข 11 กองพลน้อยที่ผลิตในส่วน 62 มกราคมและในแต่ละเดือนหน้ามันทำมากกว่า 14 ส่วนกว่าในครั้งก่อนหน้า มีรายละเอียดจำนวนมากที่สร้างกองพลในเดือนพฤศจิกายน?

การตัดสินใจ เห็นได้ชัดว่าจำนวนรายละเอียดทาสีเดือนจะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น และ:

\\ [\\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ ขวา) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (จัด) \\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ปีดังนั้นเราต้องหา $ ((a) _ (11)) $:

[(a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

ดังนั้น 202 รายละเอียดจะถูกผลิตในเดือนพฤศจิกายน

หมายเลขงาน 12 การประชุมเชิงปฏิบัติการที่มีผลผูกพันทับซ้อนกันในหนังสือ 106 มกราคมและในทุกเดือนต่อไปเธอพันกันในหนังสือ 4 เล่มมากกว่าในก่อนหน้านี้ มีหนังสือกี่เล่มที่ครอบงำการประชุมเชิงปฏิบัติการในเดือนธันวาคม?

การตัดสินใจ เหมือนกันทั้งหมด:

$ \\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ ขวา) \\ cdot 4. \\\\ end (จัด) $

ธันวาคมเป็นเดือนสุดท้าย 12 เดือนต่อปีดังนั้นเรากำลังมองหา $ ((a) _ (12)) $:

\\ [(a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเชื่อมโยงกันในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณอ่านที่นี่ฉันรีบขอแสดงความยินดีกับคุณ: "หลักสูตรของนักสู้หนุ่ม" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่คุณประสบความสำเร็จ คุณสามารถไปยังบทเรียนต่อไปได้อย่างปลอดภัยซึ่งเราศึกษาสูตรของจำนวนการก้าวหน้ารวมถึงผลที่สำคัญและมีประโยชน์มาก

หากแต่ละจำนวนธรรมชาติ น. ใส่ที่ถูกต้อง เอ็น จากนั้นพวกเขาบอกว่าชุดใด ลำดับตัวเลข :

ก. 1 , ก. 2 , ก. 3 , . . . , เอ็น , . . . .

ดังนั้นลำดับตัวเลขคือฟังก์ชั่นของการโต้แย้งตามธรรมชาติ

จำนวน ก. 1 โทร สมาชิกคนแรกของลำดับ จำนวน ก. 2 — สมาชิกที่สองของลำดับ จำนวน ก. 3 — ประการที่สาม เป็นต้น จำนวน เอ็น โทร สมาชิกลำดับ N-M และจำนวนธรรมชาติ น. — หมายเลขของเขา .

จากสมาชิกเพื่อนบ้านสองคน เอ็น และ เอ็น +1 ลำดับสมาชิก เอ็น +1 โทร ติดตาม (ไปยัง เอ็น ) แต่ เอ็น — ก่อนหน้า (ไปยัง เอ็น +1 ).

ในการตั้งค่าลำดับคุณต้องระบุวิธีการที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกของลำดับที่มีหมายเลขใด ๆ

มักจะระบุลำดับโดยใช้ สูตรสมาชิก N-TH นั่นคือสูตรที่ให้คุณกำหนดลำดับสมาชิกตามหมายเลขของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของตัวเลขคี่บวกสามารถตั้งค่าได้โดยสูตร

เอ็น= 2n -1,

และลำดับสลับ 1 และ -1 - สูตร

b. น. = (-1) น. +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรกำเริบ, นั่นคือสูตรที่แสดงถึงสมาชิกในลำดับเริ่มต้นด้วยบางคนผ่านสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้าเป็น ก. 1 = 1 แต่ เอ็น +1 = เอ็น + 5

ก. 1 = 1,

ก. 2 = ก. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก. 3 = ก. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก. 4 = ก. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก. 5 = ก. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้าเป็น 1.= 1, 2. = 1, เอ็น +2 = เอ็น + เอ็น +1 , สมาชิกเจ็ดคนแรกของลำดับตัวเลขถูกตั้งค่าดังต่อไปนี้:

1. = 1,

2. = 1,

3. = 1. + 2. = 1 + 1 = 2,

4. = 2. + 3. = 1 + 2 = 3,

5. = 3. + 4. = 2 + 3 = 5,

ก. 6 = ก. 4 + ก. 5 = 3 + 5 = 8,

ก. 7 = ก. 5 + ก. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับสามารถเป็นได้ สิ้นสุด และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับเรียกว่า จำกัด หากมีสมาชิกจำนวน จำกัด ลำดับเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด ถ้ามันมีสมาชิกจำนวนมาก

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของตัวเลขธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

จำกัด

ลำดับของหมายเลขสำคัญ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับเรียกว่า ที่เพิ่มขึ้น หากสมาชิกแต่ละคนเริ่มต้นจากที่สองมากกว่าหนึ่งก่อนหน้า

ลำดับเรียกว่า จากมากไปน้อย หากสมาชิกแต่ละคนมาจากที่สองน้อยกว่าก่อนหน้านี้

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2น., . . . - การเพิ่มลำดับ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / น., . . . - ลำดับที่ลดลง ◄

ลำดับองค์ประกอบที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นอย่าลดลงหรือในทางกลับกันไม่เพิ่มขึ้นเรียกว่า ลำดับที่น่าเบื่อ .

ลำดับที่น่าเบื่อโดยเฉพาะคือการเพิ่มลำดับและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลำดับที่เรียกว่าสมาชิกแต่ละคนที่เริ่มจากที่สองเป็นรุ่นก่อนหน้าซึ่งมีการเพิ่มหมายเลขเดียวกัน

ก. 1 , ก. 2 , ก. 3 , . . . , เอ็น, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หากสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ น. เงื่อนไขเป็นที่พอใจ:

เอ็น +1 = เอ็น + d.,

ที่ไหน d. - บางหมายเลข

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างสมาชิกที่ตามมาและก่อนหน้านี้ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้คงที่อยู่เสมอ:

2. - ก. 1 = และ 3. - ก. 2 = . . . = เอ็น +1 - เอ็น = d..

จำนวน d. โทร ความแตกต่างระหว่างการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

เพื่อกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็เพียงพอที่จะระบุเทอมแรกและความแตกต่าง

ตัวอย่างเช่น,

ถ้าเป็น ก. 1 = 3, d. = 4 ลำดับห้าลำดับแรกของลำดับค้นหาดังต่อไปนี้:

1. =3,

2. = 1. + d. = 3 + 4 = 7,

3. = 2. + d.= 7 + 4 = 11,

4. = 3. + d.= 11 + 4 = 15,

ก. 5 = ก. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับสมาชิกคนแรก ก. 1 และความแตกต่าง d. ของเธอ น.

เอ็น = 1. + (น.- 1)d.

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามสิบ

1, 4, 7, 10, . . .

1. =1, d. = 3,

30 = 1. + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1. + (น.- 2)d,

เอ็น= 1. + (น.- 1)d,

เอ็น +1 = ก. 1 + nd.,

เห็นได้ชัดว่า

เอ็น=	a n-1 + a n + 1
	2

สมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ละคนเริ่มต้นจากที่สองเท่ากับค่าเลขคณิตโดยเฉลี่ยและสมาชิกที่ตามมา

ตัวเลข A, B และ C เป็นสมาชิกที่สอดคล้องกันของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บางอย่างถ้าหากหนึ่งในนั้นเท่ากับเลขคณิตเฉลี่ยสองคนอื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น,

เอ็น = 2น.- 7 เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เราใช้คำสั่งข้างต้น เรามี:

เอ็น = 2น.- 7,

n-1 = 2(n -1) - 7 = 2น.- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2น.- 5.

ดังนั้น

a n + 1 + a n-1	=	2น.- 5 + 2น.- 9	= 2น.- 7 = เอ็น,
2		2

◄

โปรดทราบว่า น. -y สมาชิกของการคณิตศาสตร์ความก้าวหน้าสามารถพบได้ไม่เพียง ก. 1 แต่ก่อนหน้านี้ยัง ก.

เอ็น = ก. + (น.- เค.)d..

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก. 5 สามารถบันทึกได้

5. = 1. + 4d.,

5. = 2. + 3d.,

5. = 3. + 2d.,

5. = 4. + d.. ◄

เอ็น = n-k + kd,

เอ็น = a n + k - kd,

เห็นได้ชัดว่า

เอ็น=	ก. n-k. + A. n + k
	2

สมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ เริ่มตั้งแต่สองเท่ากับครึ่งหนึ่งของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้เท่ากับ

นอกจากนี้ความเสมอภาคเป็นจริงสำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ :

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) ก. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก. 9 + ก. 11 )/2;

2) 28 = 10. = 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + A 12 \u003d A 5 + A 9, เช่น

2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

s n= 1 + a 2 + a 3 + . .+ เอ็น,

ครั้งแรก น. สมาชิกของการคณิตศาสตร์การคณิตศาสตร์นั้นเท่ากับการทำงานของข้อกำหนดสลับกันอย่างมากสำหรับจำนวนเงื่อนไข:

จากที่นี่โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปตามที่ควรสรุปการเป็นสมาชิก

ก., ก. +1 , . . . , เอ็น,

สูตรก่อนหน้านี้ยังคงโครงสร้างของมัน:

ตัวอย่างเช่น,

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S. 10 - S. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

หากมีการให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วค่า ก. 1 , เอ็น, d., น. และS. น. ล้อมรอบด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากค่าของสามค่าเหล่านี้จะได้รับค่าที่สอดคล้องกันของค่าที่เหลือสองค่าจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมเข้ากับระบบของสองสมการที่มีสองที่ไม่รู้จัก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับที่น่าเบื่อ ที่:

• ถ้าเป็น d. > 0 จากนั้นมันก็เพิ่มขึ้น;
• ถ้าเป็น d. < 0 มันเป็นไปมาก
• ถ้าเป็น d. = 0 ลำดับจะอยู่กับที่อยู่กับที่

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับเรียกว่าสมาชิกแต่ละคนที่เริ่มจากที่สองคือหนึ่งก่อนหน้าคูณด้วยหมายเลขเดียวกัน

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . , b n, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ น. เงื่อนไขเป็นที่พอใจ:

b n +1 = b n · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - บางหมายเลข

ดังนั้นอัตราส่วนของสมาชิกที่ต่อมาของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ไปยังหมายเลขก่อนหน้านี้คือตัวเลขถาวร:

b. 2 / b. 1 = b. 3 / b. 2 = . . . = b n +1 / b n = ถาม.

จำนวน ถาม โทร ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตัวหาร.

ในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็เพียงพอที่จะระบุเทอมและส่วนแรกของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้าเป็น b. 1 = 1, ถาม = -3 ลำดับห้าลำดับแรกของลำดับค้นหาดังต่อไปนี้:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · ถาม = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · ถาม= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3. · ถาม= 9 · (-3) = -27,

b. 5 = b. 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

b. 1 และตัวหาร ถาม ของเธอ น. - สูตรฉันสามารถพบได้:

b n = b. 1 · q N. -1 .

ตัวอย่างเช่น,

ค้นหาสมาชิกที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

b. 1 = 1, ถาม = 2,

b. 7 = b. 1 · ถาม 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b N-1 = b 1. · q N. -2 ,

b n = b 1. · q N. -1 ,

b n +1 = b. 1 · q N.,

เห็นได้ชัดว่า

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นจากที่สองเท่ากับเรขาคณิตเฉลี่ย (สัดส่วน) ก่อนหน้านี้และสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากข้อความที่ตรงกันข้ามเป็นจริงเช่นนั้นข้อความต่อไปนี้จะเกิดขึ้น:

ตัวเลข A, B และ C เป็นสมาชิกที่สอดคล้องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตบางอย่างถ้าและเฉพาะในกรณีที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งในนั้นเท่ากับการทำงานของอีกสองคนนั่นคือหนึ่งในตัวเลขคือเรขาคณิตเฉลี่ยสองอื่น ๆ

ตัวอย่างเช่น,

เราพิสูจน์ว่าลำดับที่ระบุโดยสูตร b n \u003d -3 · 2 น. เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราใช้คำสั่งข้างต้น เรามี:

b n \u003d -3 · 2 น.,

b n -1 \u003d -3 · 2 น. -1 ,

b n +1 \u003d -3 · 2 น. +1 .

ดังนั้น

b n 2 \u003d (-3 · 2 น.) 2 \u003d (-3 · 2 น. -1 ) · (-3 · 2 น. +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ซึ่งพิสูจน์ข้อความที่จำเป็น ◄

โปรดทราบว่า น. - สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอาจไม่เพียง แต่ผ่าน b. 1 แต่ยังสมาชิกคนก่อน ๆ ทุกคน b K. เหตุใดจึงเพียงพอที่จะใช้สูตร

b n = b K. · q N. - เค..

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ b. 5 สามารถบันทึกได้

b 5. = b 1. · ถาม 4 ,

b 5. = b 2. · q 3.,

b 5. = b 3. · q 2.,

b 5. = b 4 · ถาม. ◄

b n = b K. · q N. - เค.,

b n = b n - เค. · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

b n 2 = b n - เค.· b n + เค.

จัตุรัสของสมาชิกใด ๆ ของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นจากการทำงานที่สองเท่ากับการทำงานของสมาชิกของการก้าวหน้านี้

นอกจากนี้ความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใด ๆ :

b M.· b n= b K.· b L.,

เอ็ม+ น.= เค.+ l..

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b. 5 · b. 7 ;

2) 1024 = b. 11 = b. 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b. 4 · b. 8 ;

4) b. 2 · b. 7 = b. 4 · b. 5 , เช่น

b. 2 · b. 7 = 2 · 64 = 128,

b. 4 · b. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

s n= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . + b n

ครั้งแรก น. สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวหาร ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และสำหรับ ถาม = 1 - ตามสูตร

s n= nb 1

โปรดทราบว่าหากคุณต้องการสรุปสมาชิก

b K., b K. +1 , . . . , b n,

ใช้สูตร:

s n- S K -1 = b K. + b K. +1 + . . . + b n = b K. ·	1 - q N. - เค. +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S. 10 - S. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

หากได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้วค่า b. 1 , b n, ถาม, น. และ s n ล้อมรอบด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากคุณค่าของค่าสามค่าเหล่านี้จะได้รับค่าที่สอดคล้องกันของค่าที่เหลือทั้งสองจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมเข้ากับระบบของสองสมการที่มีสองที่ไม่รู้จัก

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับสมาชิกคนแรก b. 1 และตัวหาร ถาม มีดังต่อไปนี้ คุณสมบัติของความน่าเบื่อ :

• ความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นหากมีการดำเนินการหนึ่งในเงื่อนไขต่อไปนี้:

b. 1 > 0 และ ถาม> 1;

b. 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

• ความก้าวหน้าขึ้นอยู่กับหนึ่งในเงื่อนไขต่อไปนี้ที่ดำเนินการ:

b. 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

b. 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้าเป็น ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นสัญญาณ): สมาชิกที่มีตัวเลขคี่มีสัญญาณเดียวกันกับสมาชิกคนแรกและสมาชิกที่มีตัวเลขแม้กระทั่ง - เครื่องหมายตรงกันข้าม เป็นที่ชัดเจนว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำรองไม่น่าเบื่อหน่าย

งานของครั้งแรก น. สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้โดยสูตร:

p n= b 1. · b 2. · B 3. · . . . · b n = (b 1. · b n) น. / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่ จำกัด

ลดความคืบหน้าเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่ จำกัด เรียกความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งโมดูลตัวส่วนน้อยกว่า 1 , i.e

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าการลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่ จำกัด อาจไม่เป็นลำดับที่ลดลง สิ่งนี้สอดคล้องกับกรณี

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวหารนี้ลำดับจะสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของการพัฒนาเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่ จำกัด โทรไปที่หมายเลขที่ผลรวมของแรกคือไม่ จำกัด น. สมาชิกของความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่ จำกัด จำนวน น. . หมายเลขนี้แน่นอนและแสดงออกโดยสูตร

S.= b. 1 + b. 2 + b. 3 + . . . =	b. 1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

การสื่อสารของคณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด พิจารณาเพียงสองตัวอย่างเท่านั้น

ก. 1 , ก. 2 , ก. 3 , . . . d. ต.

b A. 1 , b A. 2 , b A. 3 , . . . b D. .

ตัวอย่างเช่น,

1, 3, 5, . . . - คณิตศาสตร์ความก้าวหน้าที่แตกต่างกัน 2 และ

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวหาร 7 2 . ◄

b. 1 , b. 2 , b. 3 , . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวหาร ถาม ต.

บันทึก B 1, บันทึก B 2, บันทึก B 3, . . . - คณิตศาสตร์ความก้าวหน้าที่แตกต่างกัน บันทึก A.ถาม .

ตัวอย่างเช่น,

2, 12, 72, . . . - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับตัวหาร 6 และ

ลุ 2, ลุ 12, ลุ 72, . . . - คณิตศาสตร์ความก้าวหน้าที่แตกต่างกัน ลุ 6 . ◄

ระดับแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับตัวเลข

ดังนั้นนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขใด ๆ ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนหมายเลขใด ๆ และพวกเขาสามารถเป็นอย่างไร (ในกรณีของเรา) จำนวนเท่าใดที่เราไม่ได้เขียนเราสามารถพูดได้ว่าหนึ่งในนั้นเป็นอันดับสองและต่อไปนี้เราสามารถมึนงงได้ นี่เป็นตัวอย่างของลำดับตัวเลข:

ลำดับตัวเลข
ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดเป็นลักษณะเฉพาะสำหรับลำดับหนึ่งเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ หมายเลขที่สอง (เป็นตัวเลข) เป็นหนึ่งเสมอ
หมายเลขที่มีหมายเลขเรียกว่าสมาชิกของลำดับ

เรามักจะเรียกลำดับทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้เป็นตัวอักษรเดียวกันกับดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:.

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขที่แตกต่างกันระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันนั้นเหมือนกันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

เป็นต้น
ลำดับตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าคืบหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ได้รับการแนะนำโดยผู้เขียนโรมันของ Boeziem ในศตวรรษที่ 6 และเข้าใจในความรู้สึกที่กว้างขึ้นเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" ถูกถ่ายโอนจากทฤษฎีของสัดส่วนอย่างต่อเนื่องซึ่งมีส่วนร่วมในชาวกรีกโบราณ

นี่เป็นลำดับตัวเลขสมาชิกแต่ละคนที่เท่ากับก่อนหน้านี้พับด้วยหมายเลขเดียวกัน หมายเลขนี้เรียกว่าความแตกต่างในการคณิตศาสตร์และมีการระบุ

พยายามที่จะกำหนดลำดับตัวเลขที่เป็นคณิตศาสตร์ความคืบหน้าและไม่:

ก)
b)
ค)
d)

นึกออก, คิดออก, หาคำตอบได้? เปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็น คืบหน้าทางคณิตศาสตร์ - B, C
ไม่ใช่ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - A, D

ลองกลับไปสู่ความก้าวหน้าที่กำหนด () และพยายามค้นหาความหมายของมัน - สมาชิก มีอยู่ สอง วิธีการหามัน

1. วิธีการ

เราสามารถเพิ่มมูลค่าก่อนหน้าของจำนวนความก้าวหน้าจนกว่าเราจะทำก่อนการก้าวหน้าของความก้าวหน้า เป็นสิ่งที่ดีที่เราต้องสรุปซ้ายเล็กน้อย - เพียงสามความหมาย:

ดังนั้นสมาชิกของการพัฒนาคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้นั้นเท่ากัน

2. วิธีการ

และถ้าเราต้องการค้นหาความหมายของสมาชิกของความก้าวหน้า? การรวมจะใช้เวลากับเราไม่ใช่หนึ่งชั่วโมงและไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่เข้าใจผิดเมื่อเพิ่มตัวเลข
แน่นอนคณิตศาสตร์มาพร้อมกับวิธีการที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มความแตกต่างในการคณิตศาสตร์ความก้าวหน้าไปยังค่าก่อนหน้า ดูอย่างระมัดระวังในการวาดภาพวาด ... แน่นอนว่าคุณได้สังเกตเห็นความสม่ำเสมอแล้ว:

ตัวอย่างเช่นเรามาดูกันว่าคุณค่าของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้คืออะไร:


กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พยายามค้นหาความสำคัญของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยวิธีนี้

คำนวณหรือไม่ เปรียบเทียบบันทึกของคุณด้วยคำตอบ:

โปรดทราบว่าคุณมีหมายเลขเดียวกับในวิธีการก่อนหน้าเมื่อเราเพิ่มอย่างต่อเนื่องในค่าก่อนหน้าของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ลอง "Diskete" สูตรนี้ - เราให้มุมมองทั่วไปและรับ:

สมการของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นและมีการลดลง

ที่เพิ่มขึ้น - ความก้าวหน้าที่ทุกมูลค่าที่ตามมาของสมาชิกเป็นมากกว่าหนึ่งก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

จากมากไปน้อย - ความก้าวหน้าที่ทุกมูลค่าที่ตามมาของสมาชิกน้อยกว่าก่อนหน้านี้
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้รับจะถูกนำไปใช้ในการคำนวณสมาชิกทั้งสองในการเพิ่มและลดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ตรวจสอบในทางปฏิบัติ
เราได้รับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: ตรวจสอบจำนวนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้คืออะไรหากคุณใช้สูตรของเราเมื่อคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงทำให้แน่ใจว่าสูตรทำหน้าที่ทั้งในการก้าวร้าวและเพิ่มคณิตศาสตร์
พยายามหาสมาชิกของตัวเองของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้

เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับ:

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ทำภารกิจให้เสร็จสิ้น - ถอนคุณสมบัติของการคณิตศาสตร์ความก้าวหน้า
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขดังกล่าว:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ค้นหาค่า
ง่ายคุณจะพูดและคุณจะเริ่มพิจารณาสูตรที่รู้จักกับคุณแล้ว:

ปล่อยให้แล้ว:

ถูกต้องที่สุด. ปรากฎว่าเราพบกันก่อนจากนั้นเพิ่มเป็นหมายเลขแรกและรับที่ต้องการ หากความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าขนาดเล็กไม่มีอะไรซับซ้อนในนี้และหากมีการมอบหมายเลขให้เรา? เห็นด้วยมีโอกาสที่จะทำผิดพลาดในการคำนวณ
และตอนนี้คิดว่าเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหานี้ในการกระทำเดียวโดยใช้สูตรใด ๆ ? แน่นอนใช่และเป็นของเธอที่เราจะพยายามนำมันตอนนี้

เราแสดงถึงสมาชิกที่ต้องการของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เช่นสูตรสำหรับสถานที่ที่เป็นที่รู้จักของเรา - นี่คือสูตรที่ได้มาจากเราที่จุดเริ่มต้น:
แล้ว:

• ความก้าวหน้าของระยะก่อนหน้าคือ:
• สมาชิกที่ตามมาของความก้าวหน้านี้คือ:

เราสรุปสมาชิกก่อนหน้าและต่อมาของการก้าวหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมาของความก้าวหน้าคือมูลค่าสองเท่าของสมาชิกของความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่งเพื่อค้นหาคุณค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยค่าก่อนหน้าและที่รู้จักกันดีก่อนหน้านี้จำเป็นต้องเพิ่มและหารด้วย

ถูกต้องเรามีหมายเลขเดียวกัน ยึดวัสดุ คำนวณค่าสำหรับความก้าวหน้าด้วยตัวเองเพราะมันค่อนข้างง่าย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! มันยังคงค้นหาสูตรเดียวเท่านั้นซึ่งในตำนานที่ไม่มีปัญหานำหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทุกครั้ง "King of Mathematicians" - Karl เกาส์ ...

เมื่อ Carl Gaussu อายุ 9 ปีอาจารย์กำลังตรวจสอบงานโดยนักเรียนของชั้นเรียนอื่น ๆ ของานต่อไปนี้ที่บทเรียน: "นับผลรวมของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดจากไป (โดยแหล่งอื่น ๆ ไปยัง) รวม" สิ่งที่น่าแปลกใจของครูเมื่อหนึ่งในนักเรียนของเขา (นี่คือ Karl Gauss) ในนาทีที่ให้คำตอบที่ถูกต้องกับชุดงานในขณะที่เพื่อนร่วมชั้น Mozelchka ส่วนใหญ่หลังจากการคำนวณที่ยาวนานได้รับผลที่ไม่ถูกต้อง ...

Young Karl Gauss สังเกตเห็นความสม่ำเสมอบางอย่างซึ่งคุณสามารถสังเกตเห็นได้อย่างง่ายดาย
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก: เราจำเป็นต้องค้นหาจำนวนสมาชิกเหล่านี้ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าเราสามารถสรุปค่าทั้งหมดได้ด้วยตนเอง แต่จะทำอย่างไรถ้าในภารกิจมันจะจำเป็นต้องค้นหาจำนวนสมาชิกของเธอว่ามันกำลังมองหาเกาส์อย่างไร

ฉันจะแสดงให้เห็นถึงความก้าวหน้าที่มอบให้กับเรา ดูอย่างระมัดระวังกับตัวเลขที่ทุ่มเทและพยายามสร้างการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายกับพวกเขา


ลอง? คุณสังเกตเห็นอะไร ขวา! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

และตอนนี้คำตอบคู่ดังกล่าวในความก้าวหน้าที่มอบให้กับเรามากแค่ไหน? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นคือ
ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าผลรวมของสมาชิกสองคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับและคู่เท่ากันเราได้รับจำนวนเงินทั้งหมดคือ:
.
ดังนั้นสูตรสำหรับผลรวมของสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ จะเป็นเช่นนี้:

ในบางงานเราไม่รู้จักเรา แต่เป็นที่รู้จักความแตกต่างในความก้าวหน้า พยายามแทนที่สูตรสรุปสูตรสมาชิก
คุณทำอะไรลงไป?

ทำได้ดี! ตอนนี้เราจะกลับไปที่งานที่ Karl Gauss ถูกตั้งค่า: นับอย่างอิสระซึ่งเท่ากับจำนวนตัวเลขเริ่มต้นจาก -Go และจำนวนตัวเลขที่หลากหลาย

คุณทำเท่าไหร่
เกาส์กลับกลายเป็นว่าจำนวนสมาชิกเท่ากันและจำนวนสมาชิก คุณได้แก้ไขแล้วหรือยัง?

ในความเป็นจริงสูตรของผลรวมของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Diophanta ในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้คนที่มีไหวพริบใช้ตนเองด้วยคุณสมบัติของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ตัวอย่างเช่นการปรากฏอียิปต์โบราณและการก่อสร้างขนาดใหญ่ที่สุดในเวลานั้น - การก่อสร้างปิรามิด ... รูปแสดงด้านหนึ่งของมัน

ความก้าวหน้าของคุณบอกฉันอยู่ที่ไหน ดูอย่างระมัดระวังและค้นหารูปแบบในจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของผนังปิรามิด


อะไรคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นสำหรับการก่อสร้างผนังหนึ่งหากวางอิฐบล็อกในฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับนำนิ้วของคุณไปที่จอภาพคุณจำสูตรสุดท้ายและสิ่งที่เราพูดถึงเกี่ยวกับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?

ในกรณีนี้ความก้าวหน้ามีดังนี้:.
ความแตกต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เราแทนที่ข้อมูลของเราในสูตรสุดท้าย (เราคำนวณจำนวนบล็อกใน 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

และตอนนี้เป็นไปได้ที่จะคำนวณบนจอภาพ: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับด้วยจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา แคช? ทำได้ดีมากคุณเชี่ยวชาญผลรวมของการคณิตศาสตร์เลขคณิตทางคณิตศาสตร์
แน่นอนจากบล็อกที่ด้านล่างของปิรามิดจะไม่สร้าง แต่มาจาก? พยายามที่จะคำนวณจำนวนอิฐทรายที่จำเป็นในการสร้างผนังด้วยเงื่อนไขดังกล่าว
รับมือ?
คำตอบที่ถูกต้อง - บล็อก:

ออกกำลังกาย

งาน:

1. Masha มีรูปร่างในฤดูร้อน ทุกวันมันจะเพิ่มจำนวนของ squats Masha สามารถเย็บได้กี่ครั้งหลังจากผ่านไปหลายสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก
2. ผลรวมของตัวเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่ในอะไร
3. Lumberboards เมื่อเก็บบันทึกจะถูกซ้อนกันในลักษณะที่ชั้นบนแต่ละชั้นมีหนึ่งบันทึกน้อยกว่าหนึ่งก่อนหน้า มีกี่บันทึกในการก่ออิฐเดียวถ้าฐานของการก่ออิฐทำหน้าที่บันทึก

คำตอบ:

1. เรากำหนดพารามิเตอร์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
   (สัปดาห์ \u003d วัน)

   ตอบ:สองสัปดาห์ Masha ต้องหมอบวันละครั้ง

2. หมายเลขคี่แรกหมายเลขสุดท้าย
   ความแตกต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
   จำนวนตัวเลขคี่ในครึ่งนี้จะตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรของสมาชิกดอกเบี้ยของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

   ตัวเลขมีจำนวนคี่จริงๆ
   ข้อมูลที่มีอยู่เพื่อทดแทนในสูตร:

   ตอบ:ผลรวมของตัวเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่ในเท่ากับ

3. จำงานเกี่ยวกับปิรามิด สำหรับกรณีของเรา A เนื่องจากแต่ละชั้นบนลดลงในบันทึกเดียวจากนั้นในชั้นของเลเยอร์นั่นก็คือ
   แทนที่ข้อมูลในสูตร:

   ตอบ:ในการก่ออิฐเป็นบันทึก

มาสรุปกันเถอะ

1. - ลำดับหมายเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันนั้นเหมือนกันและเท่ากัน มันเกิดขึ้นที่จะเติบโตและลดลง
2. สูตรพัก "สมาชิกของการคืบหน้าที่คณิตศาสตร์ถูกบันทึกโดยสูตร - ซึ่ง - จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
3. ทรัพย์สินของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - - ที่ไหน - จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
4. ผลรวมของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สามารถพบได้สองวิธี:
   
   ที่ไหน - จำนวนค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับเฉลี่ย

ลำดับตัวเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขใด ๆ ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนหมายเลขใด ๆ และสามารถทำได้ทุกที่ แต่คุณสามารถพูดได้ว่าอันไหนในนั้นคืออะไรที่สองและอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถมาถึงมึนงงได้ นี่เป็นตัวอย่างของลำดับตัวเลข

ลำดับตัวเลข - นี่คือตัวเลขจำนวนมากซึ่งแต่ละอันสามารถกำหนดหมายเลขที่ไม่ซ้ำกันได้

กล่าวอีกนัยหนึ่งแต่ละหมายเลขสามารถปฏิบัติตามจำนวนธรรมชาติและเพียงอันเดียวเท่านั้น และหมายเลขนี้เราจะไม่เหมาะสมหมายเลขอื่น ๆ จากชุดนี้

หมายเลขที่มีหมายเลขเรียกว่าสมาชิกของลำดับ

เรามักจะเรียกลำดับทั้งหมด (ตัวอย่างเช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้เป็นตัวอักษรเดียวกันกับดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:.

สะดวกมากหากสมาชิกของลำดับสามารถขอสูตรบางส่วนได้ ตัวอย่างเช่นสูตร

ระบุลำดับ:

และสูตรเป็นลำดับดังกล่าว:

ตัวอย่างเช่นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับ (คำแรกที่นี่เท่ากับและความแตกต่าง) หรือ (, ความแตกต่าง)

สมาชิก Formula N-TH

เราเรียกสูตรที่คุณจำเป็นต้องรู้ก่อนหน้านี้หรือมากกว่านี้:

หากต้องการค้นหาสูตรเช่นนี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าเราจะต้องคำนวณเก้าก่อนหน้า ตัวอย่างเช่นให้ จากนั้น:

ตอนนี้มีอะไรที่ชัดเจนว่าสูตรอะไร

ในแต่ละแถวเราเพิ่มคูณด้วยจำนวนหนึ่ง อะไร? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:

ตอนนี้สะดวกมากขึ้นใช่ไหม ตรวจสอบ:

แบ่งปันตัวเอง:

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ค้นหาสูตรของสมาชิก N-TH และค้นหาสมาชิกที่ร้อย

การตัดสินใจ:

สมาชิกคนแรกเท่ากัน และอะไรคือความแตกต่าง? แต่อะไร:

(เป็นเพราะมันเรียกว่าความแตกต่างที่เท่ากับความแตกต่างของสมาชิกต่อเนื่องของความก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตร:

จากนั้นสมาชิกที่ร้อยคือ:

ผลรวมของตัวเลขธรรมชาติทั้งหมดจากไปคืออะไร?

ตามตำนานนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ Karl Gauss เป็นเด็กชายอายุ 9 ปีถือเป็นจำนวนนี้ในไม่กี่นาที เขาตั้งข้อสังเกตว่าผลรวมของหมายเลขแรกและหมายเลขสุดท้ายเท่ากับผลรวมของที่สองและสุดท้าย - เช่นกันผลรวมของที่สามและ 3 จากจุดสิ้นสุดยังเป็นเช่นนั้น คู่ดังกล่าวเท่าไหร่ ถูกต้องครึ่งหนึ่งของจำนวนตัวเลขทั้งหมดนั่นคือ ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของสมาชิกคนแรกของการคืบหน้าที่ทางคณิตศาสตร์ใด ๆ จะเป็นเช่นนี้:

ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดหลายรายการ

การตัดสินใจ:

หมายเลขดังกล่าวแรกคือ ต่อไปแต่ละครั้งจะได้รับโดยการเพิ่มไปยังหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่คุณสนใจในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับสมาชิกและความแตกต่างครั้งแรก

Formula -Go สมาชิกสำหรับความก้าวหน้านี้:

มีสมาชิกกี่คนในความก้าวหน้าหากพวกเขาทั้งหมดควรเป็นตัวเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

สมาชิกคนสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

ตอบ:.

ตอนนี้ฉันจะตัดสินใจ:

1. ทุกวันนักกีฬาทำงานได้มากกว่าวันก่อนหน้า มีกี่กิโลเมตรที่ทำงานเป็นเวลาหนึ่งสัปดาห์ถ้าในวันแรกเขารันม. m m?
2. นักปั่นจักรยานขับเคลื่อนทุกวันถึงกม. มากกว่าในก่อนหน้านี้ ในวันแรกเขาขับรถกม. กี่วันที่เขาต้องการที่จะเอาชนะ KM? เขาจะผ่านไปกี่กิโลเมตรในวันสุดท้ายของวิธีการ?
3. ราคาของตู้เย็นในร้านค้าลดลงเป็นประจำทุกปี กำหนดราคาของตู้เย็นลดลงทุกปีถ้าสัมผัสกับการขายสำหรับรูเบิลหกปีถูกขายให้กับรูเบิล

คำตอบ:

1. ที่นี่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการตระหนักถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ของมัน ในกรณีนี้ (สัปดาห์ \u003d วัน) จำเป็นต้องกำหนดจำนวนสมาชิกคนแรกของการก้าวหน้านี้:
   .
   ตอบ:
2. ที่นี่ได้รับ:, คุณต้องค้นหา
   เห็นได้ชัดว่าคุณต้องใช้สูตรสรุปเดียวกันเช่นเดียวกับในงานก่อนหน้านี้:
   .
   เราแทนที่ค่านิยม:

   เห็นได้ชัดว่ารากไม่เหมาะสมหมายความว่าคำตอบ
   คำนวณเส้นทางที่ส่งผ่านในวันที่ผ่านมาด้วยความช่วยเหลือของสูตรสมาชิก:
   (กม.).
   ตอบ:

3. Dano: การค้นหา: .
   มันไม่ได้เกิดขึ้น:
   (ถู).
   ตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

นี่เป็นลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขใกล้เคียงเหมือนกันและเท่ากัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น () และลดลง ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการค้นหาสมาชิก N-Bous ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มันเขียนโดยสูตรซึ่ง - จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า

ทรัพย์สินของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มันทำให้ง่ายต่อการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าหากเป็นที่รู้จักของสมาชิกใกล้เคียง - ที่ไหน - จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า

จำนวนสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการค้นหาจำนวน:

ที่ไหน - จำนวนค่า

ที่ไหน - จำนวนค่า

เมื่อศึกษาพีชคณิตในโรงเรียนมัธยม (เกรด 9) หนึ่งในหัวข้อสำคัญคือการศึกษาลำดับตัวเลขที่ความก้าวหน้า - โอเมตริกซ์และเลขคณิต ในบทความนี้ให้พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวอย่างด้วยโซลูชัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้จำเป็นต้องกำหนดความก้าวหน้าของความก้าวหน้าเช่นเดียวกับการนำสูตรพื้นฐานที่จะใช้ต่อไปเมื่อแก้ปัญหา

เลขคณิตหรือเป็นชุดของตัวเลขที่มีเหตุผลสั่งสมาชิกแต่ละคนที่แตกต่างจากก่อนหน้านี้ในค่าถาวรบางอย่าง ค่านี้เรียกว่าความแตกต่าง นั่นคือการรู้ว่าสมาชิกของชุดหมายเลขสั่งซื้อและความแตกต่างหนึ่งสามารถคืนค่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด

ให้เรายกตัวอย่าง ลำดับถัดไปของตัวเลขจะเป็นความก้าวหน้าของเลขคณิต: 4, 8, 12, 16, ... เนื่องจากความแตกต่างในกรณีนี้คือ 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12) แต่ชุดของตัวเลข 3, 5, 8, 12, 17 ไม่สามารถนำมาประกอบกับประเภทของความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณาเนื่องจากความแตกต่างของมันไม่ได้เป็นค่าคงที่ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12)

สูตรสำคัญ

ตอนนี้เรานำเสนอสูตรพื้นฐานที่จำเป็นในการแก้ปัญหาโดยใช้คณิตศาสตร์ความก้าวหน้า แสดงโดยสัญลักษณ์สมาชิก N N-TH ของลำดับที่ n เป็นจำนวนเต็ม ความแตกต่างถูกแสดงโดยตัวอักษรละติน d จากนั้นนิพจน์ต่อไปนี้เป็นจริง:

1. เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิก N-TH สูตรเหมาะสม: A n \u003d (n - 1) * D + A 1
2. ในการตรวจสอบจำนวนส่วนแรกของส่วนประกอบ: S n \u003d (a n + a 1) * n / 2

เพื่อให้เข้าใจถึงตัวอย่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยการตัดสินใจในเกรด 9 ก็เพียงพอที่จะจดจำสูตรทั้งสองนี้เนื่องจากงานใด ๆ ของประเภทที่พิจารณาจะถูกสร้างขึ้นในการใช้งานของพวกเขา เราไม่ควรลืมว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยสูตร: D \u003d A n - a n-1

ตัวอย่าง№1: ค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จัก

เราให้ตัวอย่างง่ายๆของความก้าวหน้าของเลขคณิตและสูตรที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหา

ให้ลำดับ 10, 8, 6, 4, ... มีความจำเป็นต้องค้นหาสมาชิกห้าคนในนั้น

จากสภาพของปัญหาไปแล้วที่มี 4 องค์ประกอบแรกเป็นที่รู้จักกัน ที่ห้าสามารถกำหนดได้สองวิธี:

1. คำนวณเพื่อเริ่มต้นความแตกต่าง เรามี: D \u003d 8 - 10 \u003d -2 ในทำนองเดียวกันคุณสามารถนำสมาชิกคนอื่นสองคนยืนอยู่ข้างๆกัน ตัวอย่างเช่น D \u003d 4 - 6 \u003d -2 เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่า D \u003d A N - A N-1 แล้ว D \u003d A 5 - A 4 จากที่เราได้รับ: a 5 \u003d a 4 + d เราแทนที่ค่าที่ทราบ: 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2
2. วิธีที่สองยังต้องการความรู้เกี่ยวกับความแตกต่างในความก้าวหน้าภายใต้การพิจารณาดังนั้นจึงเป็นครั้งแรกที่จำเป็นในการกำหนดตามที่แสดงข้างต้น (D \u003d -2) รู้ว่าเทอมแรกคือ 1 \u003d 10 เราใช้สูตรสำหรับจำนวนลำดับ N เรามี: a n \u003d (n - 1) * D + A 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n การทดแทนในการแสดงออกล่าสุด n \u003d 5, เราได้รับ: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2

ตามที่เห็นทั้งสองวิธีการแก้ปัญหานำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ความแตกต่างของความก้าวหน้าเป็นค่าลบ ลำดับดังกล่าวเรียกว่าการลดลงเนื่องจากแต่ละคำต่อไปมีขนาดเล็กกว่ารุ่นก่อนหน้า

ตัวอย่างหมายเลขที่ 2: ความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตอนนี้ซับซ้อนงานเล็กน้อยเราให้ตัวอย่างวิธีการค้นหาความแตกต่างในความก้าวหน้าของเลขคณิต

เป็นที่ทราบกันดีว่าในความก้าวหน้าของสมาชิกพีชคณิตที่ 1 คือ 6 และสมาชิกที่ 7 คือ 18 มีความจำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างและเรียกคืนลำดับนี้มากถึง 7 คน

เราใช้สูตรเพื่อกำหนดสมาชิกที่ไม่รู้จัก: A n \u003d (n - 1) * D + A 1 เราแทนที่ข้อมูลที่รู้จักกันดีจากเงื่อนไขนั่นคือตัวเลขที่ 1 และ 7 เรามี: 18 \u003d 6 + 6 * d จากการแสดงออกนี้คุณสามารถคำนวณความแตกต่างได้อย่างง่ายดาย: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. ดังนั้นพวกเขาจึงตอบส่วนแรกของปัญหา

ในการคืนลำดับลำดับของสมาชิกสูงสุด 7 คนควรใช้โดยนิยามของความก้าวหน้าของพีชคณิตนั่นคือ 2 \u003d A 1 + D, A 3 \u003d A 2 + D และอื่น ๆ เป็นผลให้เราเรียกคืนลำดับทั้งหมด: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18

ตัวอย่างหมายเลข 3: การผลิตความก้าวหน้า

ลองซับซ้อนกว่าสภาพของงานที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น ตอนนี้มีความจำเป็นต้องตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถให้ตัวอย่างต่อไปนี้: ได้รับสองหมายเลขเช่น - 4 และ 5 มีความจำเป็นต้องสร้างความก้าวหน้าของพีชคณิตเพื่อให้สมาชิกอีกสามคนถูกวางไว้

ก่อนที่จะเริ่มแก้ปัญหานี้จำเป็นต้องเข้าใจว่าสถานที่ใดที่จะเป็นตัวเลขที่กำหนดในความก้าวหน้าในอนาคต เนื่องจากจะมีอีกสามคนระหว่างพวกเขาจากนั้น 1 \u003d -4 และ 5 \u003d 5. โดยการติดตั้งเราหันไปหางานที่คล้ายกับอันก่อนหน้านี้ อีกครั้งสำหรับสมาชิก N-TH เราใช้สูตรเราได้รับ: a 5 \u003d a 1 + 4 * d สถานที่: D \u003d (A 5 - A 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ที่นี่เราได้รับคุณค่าทั้งหมดของความแตกต่างอย่างไรก็ตามมันเป็นจำนวนตรรกยะดังนั้นสูตรสำหรับการลุกลามของพีชคณิตยังคงเหมือนเดิม

ตอนนี้เพิ่มความแตกต่างที่พบใน 1 และคืนค่าสมาชิกที่หายไปของความก้าวหน้า เราได้รับ: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, A 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, a 5 \u003d 5, + 2.25 \u003d 5, ซึ่ง ใกล้เคียงกับสภาพของปัญหา

ตัวอย่าง№4: สมาชิกแรกของความก้าวหน้า

เรายังคงนำตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปด้วยโซลูชันต่อไป ในทุกงานก่อนหน้านี้เป็นที่ทราบกันว่าการพัฒนาพีชคณิตจำนวนแรก พิจารณางานของประเภทที่แตกต่างกัน: ให้ระบุตัวเลขสองตัวโดยที่ 15 \u003d 50 และ 43 \u003d 37. มีความจำเป็นในการค้นหาตั้งแต่วันที่ลำดับนี้เริ่มต้นขึ้น

สูตรที่ใช้วันที่แนะนำความรู้ 1 และ D ในสภาพของปัญหาของตัวเลขเหล่านี้ไม่มีสิ่งใดไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตามเราจะเขียนนิพจน์สำหรับสมาชิกแต่ละคนซึ่งมีข้อมูล: 15 \u003d A 1 + 14 * D และ A 43 \u003d A 1 + 42 * D เราได้รับสมการสองอย่างที่ 2 ค่าที่ไม่รู้จัก (a 1 และ d) ซึ่งหมายความว่างานจะลดลงเพื่อแก้ไขระบบสมการเชิงเส้น

ระบบที่ระบุนั้นง่ายที่สุดในการตัดสินใจว่าจะแสดงออกในแต่ละสมการ 1 แล้วเปรียบเทียบนิพจน์ที่ได้รับ สมการแรก: A 1 \u003d A 15 - 14 * D \u003d 50 - 14 * D; สมการที่สอง: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d equating นิพจน์เหล่านี้เราได้รับ: 50 - 14 * D \u003d 37 - 42 * D โดยที่ D \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (42 - 14) \u003d - 0.464 (มีความแม่นยำเพียง 3 ตัวเท่านั้น หลังจากได้รับเครื่องหมายจุลภาค)

การรู้ D คุณสามารถใช้นิพจน์ 2 ข้อใด ๆ ด้านบนสำหรับ 1 ตัวอย่างเช่นก่อน: A 1 \u003d 50 - 14 * D \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56,496

หากข้อสงสัยเกิดขึ้นในผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นคุณสามารถตรวจสอบได้ตัวอย่างเช่นเพื่อกำหนด 43 สมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งตั้งอยู่ในสภาพ เราได้รับ: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ข้อผิดพลาดเล็ก ๆ มีความเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าเมื่อการคำนวณใช้การปัดเศษเป็นเศษส่วนนับพัน

ตัวอย่างหมายเลข 5: จำนวนเงิน

ตอนนี้พิจารณาตัวอย่างหลายอย่างกับวิธีแก้ไขปัญหาการคณิตศาสตร์

ให้ความก้าวหน้าต่อไปนี้ของแบบฟอร์มต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4, ... ,. วิธีการคำนวณจำนวน 100 หมายเลขเหล่านี้หรือไม่

ต้องขอบคุณการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์คุณสามารถตัดสินใจงานนี้ได้นั่นคือพับตัวเลขทั้งหมดที่เครื่องคอมพิวเตอร์จะทำให้ทันทีทันทีที่บุคคลกดปุ่ม Enter อย่างไรก็ตามสามารถแก้ไขได้ในใจหากคุณใส่ใจว่าจำนวนตัวเลขที่นำเสนอเป็นความก้าวหน้าของพีชคณิตและความแตกต่างคือ 1. ใช้สูตรสำหรับจำนวนเงินที่เราได้รับ: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050

มันอยากรู้อยากเห็นว่างานนี้เรียกว่า "เกาส์เซียน" ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ XVIII ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียงยังคงมีอายุเพียง 10 ปีสามารถที่จะแก้ปัญหาในใจในไม่กี่วินาที เด็กชายไม่ทราบสูตรสำหรับปริมาณของการก้าวหน้าเชิงพีชคณิต แต่เขาสังเกตเห็นว่าหากเราพับตัวเลขในขอบของลำดับแล้วผลลัพธ์หนึ่งจะได้รับเสมอนั่นคือ 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... และเนื่องจากจำนวนเงินเหล่านี้จะเท่ากับ 50 (100/2) จากนั้นก็เพียงพอที่จะทวีคูณ 50 ถึง 101 เพื่อรับคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่าง№6: จำนวนสมาชิกจาก n ถึง m

อีกตัวอย่างทั่วไปของผลรวมของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้: Dan ตัวเลขดังกล่าวช่วง: 3, 7, 11, 15, ... , คุณต้องหาว่าผลรวมของสมาชิกจาก 8 ถึง 14 จะเท่ากัน

งานได้รับการแก้ไขในสองวิธี คนแรกหมายถึงการค้นหาสมาชิกที่ไม่รู้จักจาก 8 ถึง 14 แล้วการรวมที่สอดคล้องกันของพวกเขา เนื่องจากข้อกำหนดนั้นเล็กน้อยแล้ววิธีนี้ไม่ค่อยลำบาก อย่างไรก็ตามมีการเสนอเพื่อแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีที่สองซึ่งมีความหลากหลายมากขึ้น

ความคิดคือการขอรับสูตรสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าเชิงพีชคณิตระหว่างสมาชิก M และ N ซึ่ง N\u003e M เป็นจำนวนเต็ม เราดื่มสองนิพจน์สำหรับทั้งสองกรณี:

1. s m \u003d m * (a m + a 1) / 2
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2

ตั้งแต่ n\u003e m เห็นได้ชัดว่าจำนวนเงินจำนวนรวมถึงครั้งแรก ข้อสรุปสุดท้ายหมายความว่าหากคุณใช้ความแตกต่างระหว่าง SUM เหล่านี้และเพิ่มสมาชิกลงใน (ในกรณีที่แตกต่างกันจะถูกหักออกจากผลรวม) จากนั้นเราได้รับคำตอบที่จำเป็นสำหรับงาน เรามี: s mn \u003d s n - s m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2) ในการแสดงออกนี้จำเป็นต้องแทนที่สูตรสำหรับ N และ A M จากนั้นเราได้รับ: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - M / 2) \u003d A 1 * (N - M + 1) + D * N * (N - 1) / 2 + D * (3 * M - M 2 - 2) / 2

สูตรที่เกิดขึ้นนั้นค่อนข้างยุ่งยากอย่างไรก็ตาม SUM S MN ขึ้นอยู่กับ N, M, A 1 และ D เท่านั้น ในกรณีของเรา 1 \u003d 3, D \u003d 4, N \u003d 14, M \u003d 8 การแทนที่ตัวเลขเหล่านี้เราได้รับ: S MN \u003d 301

ดังที่เห็นได้จากการแก้ปัญหาที่ได้รับงานทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับความรู้เกี่ยวกับการแสดงออกสำหรับสมาชิก N-TH และสูตรสำหรับจำนวนชุดของส่วนประกอบแรก ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ไขงานใด ๆ เหล่านี้ขอแนะนำให้อ่านเงื่อนไขอย่างระมัดระวังเป็นที่ชัดเจนที่จะเข้าใจสิ่งที่จำเป็นที่จะต้องพบและจากนั้นดำเนินการแก้ปัญหาเท่านั้น

คำแนะนำอีกประการหนึ่งคือความต้องการที่เรียบง่ายนั่นคือถ้าคุณสามารถตอบคำถามได้โดยไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมีความจำเป็นต้องทำแบบนี้เนื่องจากในกรณีนี้ความน่าจะเป็นนี้น้อยกว่าความผิดพลาด ตัวอย่างเช่นในตัวอย่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีการตัดสินใจหมายเลข 6 อาจเป็นไปได้ที่จะอยู่บน Formula S MN \u003d N * (A 1 + AN) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM และแยกภารกิจโดยรวมสำหรับรายย่อยของแต่ละบุคคล (ในกรณีนี้พบสมาชิกและ AM เป็นครั้งแรก)

หากมีข้อสงสัยเกี่ยวกับผลลัพธ์ขอแนะนำให้ตรวจสอบตามที่ทำในตัวอย่างบางส่วนที่ให้ไว้ วิธีการค้นหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พบว่า ถ้าคุณคิดออกมันก็ไม่ยากเลย

ก่อนที่เราจะเริ่มตัดสินใจ งานสำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พิจารณาลำดับตัวเลขคืออะไรเนื่องจากการคณิตศาสตร์การคืบหน้าเป็นกรณีเฉพาะของลำดับตัวเลข

ลำดับตัวเลขเป็นชุดตัวเลขแต่ละองค์ประกอบที่มีหมายเลขลำดับของตัวเอง. องค์ประกอบของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกลำดับ หมายเลขลำดับองค์ประกอบลำดับถูกระบุโดยดัชนี:

องค์ประกอบแรกของลำดับ;

องค์ประกอบลำดับที่ห้า;

- องค์ประกอบ "enhaled" ของลำดับ, I.E. องค์ประกอบ "ยืนอยู่ในคิว" ภายใต้หมายเลข n

ระหว่างค่าขององค์ประกอบลำดับและหมายเลขลำดับของมันมีการพึ่งพาอาศัยกัน ดังนั้นเราสามารถพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชั่นการโต้เถียงซึ่งเป็นลำดับองค์ประกอบลำดับ กล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถพูดได้ว่า ลำดับเป็นฟังก์ชั่นจากอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ:

ลำดับสามารถตั้งค่าได้สามวิธี:

1 . ลำดับสามารถตั้งค่าโดยใช้ตาราง ในกรณีนี้เราเพียงระบุค่าของแต่ละสมาชิกลำดับ

ตัวอย่างเช่นบางคนตัดสินใจที่จะทำการจัดการเวลาส่วนตัวและเริ่มต้นด้วยการคำนวณในช่วงสัปดาห์ที่เขาถือ Vkontakte มากแค่ไหน เวลาในการเขียนในตารางจะได้รับลำดับประกอบด้วยเจ็ดรายการ:

บรรทัดแรกของตารางแสดงจำนวนวันของสัปดาห์ในครั้งที่สองในไม่กี่นาที เราเห็นว่านั่นคือในวันจันทร์มีคนใช้เวลา vkontakte 125 นาทีนั่นคือในวันพฤหัสบดี - 248 นาทีและนั่นคือในวันศุกร์เพียง 15

2 . ลำดับสามารถถามได้โดยใช้สูตรสมาชิก N-TH

ในกรณีนี้การพึ่งพาของมูลค่าขององค์ประกอบของลำดับจากจำนวนของมันจะแสดงโดยตรงเป็นสูตร

ตัวอย่างเช่นถ้าจากนั้น

หากต้องการค้นหาค่าขององค์ประกอบลำดับที่มีหมายเลขที่ระบุเราจึงทดแทนหมายเลของค์ประกอบในสูตรสมาชิก N-TH

เราทำเช่นเดียวกันหากคุณต้องการค้นหาค่าของฟังก์ชั่นหากทราบค่าของอาร์กิวเมนต์ เราเปลี่ยนค่าของอาร์กิวเมนต์แทนที่จะเป็นสมการฟังก์ชัน:

ถ้าตัวอย่างเช่น ต.

อีกครั้งฉันทราบว่าในลำดับตรงกันข้ามกับฟังก์ชั่นตัวเลขโดยพลการอาร์กิวเมนต์สามารถเป็นจำนวนธรรมชาติเท่านั้น

3 . ลำดับสามารถถามได้โดยใช้สูตรที่แสดงถึงการพึ่งพาของค่าของสมาชิกลำดับที่มีหมายเลข N จากมูลค่าของสมาชิกก่อนหน้า ในกรณีนี้เราไม่เพียงพอที่จะรู้เพียงหมายเลขสมาชิกลำดับเพื่อค้นหาค่า เราจำเป็นต้องตั้งค่าสมาชิกคนแรกหรือสมาชิกลำดับแรกหลายคน

ตัวอย่างเช่นพิจารณาลำดับ ,

เราสามารถค้นหาค่าของสมาชิกลำดับ ในลำดับเริ่มต้นด้วยที่สาม:

นั่นคือทุกครั้งที่คุณพบคุณค่าของสมาชิก N-TH ของลำดับเรากลับไปที่สองก่อนหน้านี้ วิธีการตั้งค่าลำดับนี้เรียกว่า กำเริบจากคำละติน recurro - กลับมา

ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นกรณีส่วนตัวที่เรียบง่ายของลำดับตัวเลข

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันเรียกว่าลำดับตัวเลขแต่ละสมาชิกซึ่งเริ่มจากที่สองเท่ากับหนึ่งก่อนหน้านี้พับด้วยหมายเลขเดียวกัน

หมายเลขเรียกว่า ความแตกต่างระหว่างการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์. ความแตกต่างในการพัฒนาคณิตศาสตร์อาจเป็นบวกลบหรือเท่ากับศูนย์

ถ้าชื่อ \u003d "(! Lang: D\u003e 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} ที่เพิ่มขึ้น.

ตัวอย่างเช่น 2; ห้า; แปด; สิบเอ็ด; ...

หากสมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์น้อยกว่าก่อนหน้านี้และความก้าวหน้าคือ จากมากไปน้อย.

ตัวอย่างเช่น 2; -หนึ่ง; -four; -7; ...

หากสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าเท่ากับหมายเลขเดียวกันและความก้าวหน้าคือ เครื่องเขียน.

ตัวอย่างเช่น 2; 2; 2; 2; ...

คุณสมบัติหลักของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

ลองดูที่รูปวาด

เราเห็นว่า

และในเวลาเดียวกัน

พับทั้งสองเท่ากันเราได้รับ:

.

เราแบ่งทั้งสองส่วนของความเสมอภาคเป็นเวลา 2:

ดังนั้นสมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เริ่มต้นจากที่สองเท่ากับเลขคณิตเฉลี่ยสองที่อยู่ติดกัน:

นอกจากนี้

และในเวลาเดียวกัน

ต.

, และดังนั้นจึง

สมาชิกของการคณิตศาสตร์แต่ละคนเริ่มต้นด้วยชื่อ \u003d "(! lang: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

สูตรสำหรับสมาชิก

เราเห็นว่าความสัมพันธ์ดำเนินการสำหรับสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

และในที่สุดก็

เราได้รับ สูตรของสมาชิก N-TH

สำคัญ! สมาชิกของการคณิตศาสตร์สามารถแสดงผ่านและ การรู้คำศัพท์แรกและความแตกต่างในการคณิตศาสตร์ความก้าวหน้าสามารถพบได้ทุกคน

ผลรวมของสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการของจำนวนสมาชิกเท่ากับสุดขั้วเท่ากับกัน:

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่สมาชิก N ให้จำนวนสมาชิก n ของการก้าวหน้านี้เท่ากับ

วางสมาชิกของความก้าวหน้าก่อนตามลำดับการเพิ่มจำนวนแล้วในการสั่งซื้อจากมากไปน้อย:

ย้ายเป็นคู่:

จำนวนเงินในแต่ละวงเล็บเท่ากับจำนวนไอน้ำคือ N

เราได้รับ:

ดังนั้น, จำนวนสมาชิก N ของสมาชิกของการพัฒนาคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยสูตร:

พิจารณา การแก้ภารกิจสำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

1 . ลำดับถูกกำหนดโดยสูตรของสมาชิก N-TH: . พิสูจน์ว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เราพิสูจน์ว่าความแตกต่างระหว่างสมาชิกลำดับที่อยู่ติดกันสองคนเท่ากับหมายเลขเดียวกัน

เราได้รับความแตกต่างระหว่างสมาชิกลำดับที่อยู่ใกล้เคียงสองคนไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนของพวกเขาและเป็นค่าคงที่ ดังนั้นตามคำนิยามลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

2 . ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ DANA -31; -27; ...

a) ค้นหาสมาชิก 31 คนของความก้าวหน้า

b) พิจารณาว่าจำนวน 41 รวมอยู่ในความก้าวหน้านี้หรือไม่

แต่) เราเห็นว่า;

เราเขียนสูตรของสมาชิก N-TH เพื่อความก้าวหน้าของเรา

โดยทั่วไป

ในกรณีของเรา ดังนั้น