Prevod súčtu (rozdielu) kosínusov dvoch uhlov na súčin
Pre súčet a rozdiel kosínusov dvoch uhlov platia tieto vzorce:
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojitému súčinu kosínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Rozdiel medzi kosínusmi dvoch uhlov sa rovná mínus dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu a sínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Príklady
Vzorce (1) a (2) možno získať mnohými spôsobmi. Dokážme napríklad vzorec (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Veriť v ňu (α + β) = NS , (α - β) = pri, dostávame sa k vzorcu (1). Táto metóda je podobná metóde, pomocou ktorej sme získali vzorec pre súčet sínusov dvoch uhlov v predchádzajúcom odseku.
2. spôsob. V predchádzajúcej časti sme dokázali vzorec
Veriť v ňu α = NS + π / 2, β = pri + π / 2, dostaneme:
Ale podľa odlievacích vzorcov hriech ( NS+ π / 2) == cos X, sin (y + π / 2) = cos y;
teda
Q.E.D.
Vyzývame študentov, aby sami dokázali vzorec (2). Skúste nájsť aspoň dva rôzne spôsoby dôkazu!
Cvičenia
1. Vypočítajte bez tabuliek pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel kosínusov dvoch uhlov:
a). cos 105 ° + cos 75 °. G). cos 11π / 12- čos 5π / 12..
b). čos 105 ° - čos 75 °. e). čos 15 ° -sin 15 °.
v). cos 11π / 12+ cos 5π / 12.. f). hriech π / 12+ cos 11π / 12.
2 ... Zjednodušte tieto výrazy:
a). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).
b). cos ( π / 3 + α ) - čos ( π / 3 - α ).
3. Každá z identít
hriech α + cos α = \/ 2 hriech ( α + π / 4)
hriech α - čos α = \/ 2 hriech ( α - π / 4)
dokázať aspoň dvoma rôznymi spôsobmi.
4. Tieto výrazy by mali byť prezentované vo forme diel:
a). \/ 2 + 2 cos α ... v). hriech X + cos r.
b). \/ 3 - 2 kos α ... G). hriech X - čos r.
5 ... Zjednodušte výraz sin 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .
6 .Postupujte podľa týchto výrazov (č. 1156-1159):
a). 1 + hriech α - čos α
b). hriech α + hriech (α + β) + hriech β .
v). cos α + cos 2a+ cos 3a
G). 1 + hriech α + cos α
7. Dokážte danú identitu
8. Dokážte, že kosínusy uhlov α a β sú rovnaké vtedy a len vtedy
α = ± β + 2 nπ,
kde n je nejaké celé číslo.
Odlievacie vzorce
Vzorce odlievania umožňujú nájsť hodnoty goniometrických funkcií pre akékoľvek uhly (nielen pre ostré). S ich pomocou môžete vykonávať transformácie, ktoré zjednodušujú formu goniometrických výrazov.
Obrázok 1.
Pri riešení úloh sa okrem redukčných vzorcov používajú aj nasledujúce základné vzorce.
1) Vzorce pre jeden uhol:
2) Vyjadrenie niektorých goniometrických funkcií z hľadiska iných:
Komentujte
V týchto vzorcoch musí byť pred radikálom znak $ "+" $ alebo $ "-" $ v závislosti od toho, v ktorej štvrtine sa roh nachádza.
Súčet a rozdiel sínusov, súčet a rozdiel kosínusov
Vzorce pre súčet a rozdiel funkcií:
Okrem vzorcov pre súčet a rozdiel funkcií sú pri riešení problémov užitočné aj vzorce pre súčin funkcií:
Základné vzťahy medzi prvkami šikmých trojuholníkov
Legenda:
$ a $, $ b $, $ c $ - strany trojuholníka;
$ A $, $ B $, $ C $ - uhly protiľahlé k uvedeným stranám;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - semiperimeter;
$ S $ - plocha;
$ R $ - polomer opísanej kružnice;
$ r $ - polomer vpísanej kružnice.
Základné vzťahy:
1) $ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) = 2 \ cdot R $ - sínusová veta;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ - kosínusová veta;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (A-B) (2)) $ - tangentová veta;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ sin C = \ sqrt (p \ cdot \ vľavo (pa \ vpravo) \ cdot \ vľavo (pb \ vpravo) \ cdot \ vľavo (pc \ right)) = r \ cdot p = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - plošné vzorce.
Riešenie šikmých trojuholníkov
Riešenie šikmých trojuholníkov zahŕňa definíciu všetkých jeho prvkov: strany a rohy.
Príklad 1
Existujú tri strany $ a $, $ b $, $ c $:
1) v trojuholníku možno na výpočet uhlov použiť iba kosínusovú vetu, pretože iba hlavná hodnota arkozínu je v rámci $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ pi $ zodpovedajúca trojuholníku;
3) nájdite uhol $ B $ použitím kosínusovej vety $ \ cos B = \ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \ cdot a \ cdot c) $, a potom inverzná goniometrická funkcia $ B = \ arccos \ vľavo (\ cos B \ vpravo) $;
Príklad 2
Dané dve strany $ a $, $ b $ a uhol $ C $ medzi nimi:
1) nájdite stranu $ c $ pomocou kosínusovej vety $ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C $;
2) nájdite uhol $ A $ použitím kosínusovej vety $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \ cdot b \ cdot c) $, a potom inverzná goniometrická funkcia $ A = \ arccos \ doľava (\ cos A \ doprava) $;
3) nájdite uhol $ B $ podľa vzorca $ B = 180 () ^ \ circ - \ vľavo (A + C \ vpravo) $.
Príklad 3
Dané dva rohy $ A $, $ B $ a strana $ c $:
1) nájdite uhol $ C $ podľa vzorca $ C = 180 () ^ \ circ - \ vľavo (A + B \ vpravo) $;
2) nájdite stranu $ a $ podľa sínusovej vety $ a = \ frac (c \ cdot \ sin A) (\ sin C) $;
3) nájdite stranu $ b $ podľa sínusovej vety $ b = \ frac (c \ cdot \ sin B) (\ sin C) $.
Príklad 4
Vzhľadom na strany $ a $, $ b $ a roh $ B $ oproti strane $ b $:
1) napíšeme kosínusovú vetu $ b ^ (2) = a ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $ pomocou daných hodnôt; z toho dostaneme kvadratickú rovnicu $ c ^ (2) - \ vľavo (2 \ cdot a \ cdot \ cos B \ vpravo) \ cdot c + \ vľavo (a ^ (2) -b ^ (2) \ vpravo) = 0 $ vzhľadom na strany $ c $;
2) po vyriešení získanej kvadratickej rovnice môžeme teoreticky získať jeden z troch prípadov - dve kladné hodnoty pre stranu $ c $, jedna kladná hodnota pre stranu $ c $, absencia kladných hodnôt pre $ c $ strana; podľa toho bude mať problém dve, jedno alebo nulové riešenia;
3) pomocou konkrétnej kladnej hodnoty strany $ c $ nájdeme uhol $ A $ použitím kosínusovej vety $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2 )) (2 \ cdot b \ cdot c) $ nasledovaná inverznou goniometrickou funkciou $ A = \ arccos \ vľavo (\ cos A \ vpravo) $;
4) nájdite uhol $ C $ podľa vzorca $ C = 180 () ^ \ circ - \ vľavo (A + B \ vpravo) $.
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov pre dva uhly α a β umožňujú prejsť od súčtu uvedených uhlov k súčinu uhlov α + β 2 a α - β 2. Okamžite upozorňujeme, že by ste si nemali zamieňať vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov so vzorcami pre sínus a kosínus súčtu a rozdielu. Nižšie uvádzame zoznam týchto vzorcov, uvádzame ich odvodenie a ukazujeme príklady ich použitia pre konkrétne úlohy.
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Napíšme si, ako vyzerajú súčtové a rozdielové vzorce pre sínusy a pre kosínusy
Vzorce súčtu a rozdielu pre sínusy
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Vzorce súčtu a rozdielu pre kosínusy
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α 2
Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β. Uhly α + β 2 a α - β 2 sa nazývajú polovičný súčet a polovičný rozdiel uhlov alfa a beta. Uveďme formuláciu pre každý vzorec.
Definície vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojitému súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov kosínusom polovičného rozdielu.
Rozdiel sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojitému súčinu sínusu polovičného rozdielu týchto uhlov kosínusom polovičného súčtu.
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu kosínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Rozdiel kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojitému súčinu sínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov, pričom sa berie so záporným znamienkom.
Odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Na odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusu a kosínusu dvoch uhlov sa používajú sčítacie vzorce. Uvádzame ich nižšie
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Samotné uhly reprezentujeme aj ako súčet polovičných súčtov a polovičných rozdielov.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Pristúpime priamo k odvodeniu súčtových a rozdielových vzorcov pre sin a cos.
Odvodenie vzorca pre súčet sínusov
V súčte sin α + sin β nahraďte α a β vyššie uvedenými výrazmi pre tieto uhly. Dostaneme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Teraz použijeme sčítací vzorec na prvý výraz a sínusový vzorec rozdielov uhlov na druhý (pozri vzorce vyššie)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Rozbaľte zátvorky, uveďte podobné pojmy a získajte požadovaný vzorec
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Kroky na odvodenie zvyšných vzorcov sú podobné.
Odvodenie vzorca pre rozdiel sínusov
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = hriech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Odvodenie vzorca pre súčet kosínusov
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Odvodenie vzorca pre rozdiel kosínusov
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Príklady riešenia praktických problémov
Najprv skontrolujeme jeden zo vzorcov tak, že do neho nahradíme konkrétne hodnoty uhlov. Nech α = π 2, β = π 6. Vypočítajme hodnotu súčtu sínusov týchto uhlov. Najprv použijeme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií a potom použijeme vzorec pre súčet sínusov.
Príklad 1. Kontrola vzorca pre súčet sínusov dvoch uhlov
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Uvažujme teraz o prípade, keď sa hodnoty uhlov líšia od základných hodnôt uvedených v tabuľke. Nech α = 165 °, β = 75 °. Vypočítajme hodnotu rozdielu medzi sínusmi týchto uhlov.
Príklad 2. Aplikácia vzorca pre rozdiel sínusov
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov môžete prejsť od súčtu alebo rozdielu k súčinu goniometrických funkcií. Tieto vzorce sa často nazývajú vzorce prechodu súčtu na produkt. Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sa široko používajú pri riešení goniometrických rovníc a pri prevode goniometrických výrazov.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Téma lekcie. Súčet a rozdiel sínusov. Súčet a rozdiel kosínov.
(Lekcia v osvojovaní si nových vedomostí.)
Ciele lekcie.
Didaktický:
odvodiť vzorce pre súčet sínusov a súčet kosínusov a uľahčiť ich asimiláciu pri riešení úloh;
pokračovať vo formovaní zručností pri používaní trigonometrických vzorcov;
kontrolovať stupeň asimilácie materiálu na danú tému.
vyvíja sa:
prispievať k rozvoju zručnosti samostatnej aplikácie vedomostí;
rozvíjať zručnosti sebakontroly a vzájomnej kontroly;
pokračovať v práci na rozvoji logického myslenia a ústnej matematickej reči pri hľadaní riešenia nastoleného problému.
Vzdelávacie:
naučiť schopnosť komunikovať a počúvať druhých;
vychovávať k pozornosti a pozorovaniu;
stimulovať motiváciu a záujem o učenie sa trigonometrie.
Vybavenie: prezentácia, interaktívna tabuľa, vzorce.
Počas tried:
Organizácia času. - 2 minúty.
Aktualizácia základných vedomostí. Opakovanie. - 12 minút
Stanovenie cieľov. - 1 minúta.
Vnímanie a chápanie nových poznatkov. - 3 min.
Aplikácia získaných vedomostí. - 20 minút.
Analýza dosiahnutých výsledkov a náprava činností. - 5 minút.
Reflexia. - 1 minúta.
Domáca úloha. - 1 minúta.
1. Organizácia času.(snímka 1)
- Ahoj! Trigonometria je jednou z najzaujímavejších oblastí matematiky, no z nejakého dôvodu ju väčšina študentov považuje za najťažšiu. S najväčšou pravdepodobnosťou to možno vysvetliť skutočnosťou, že v tejto časti je viac vzorcov ako v ktorejkoľvek inej. Ak chcete úspešne vyriešiť problémy s trigonometriou, musíte si byť istí mnohými vzorcami. Mnohé vzorce už boli študované, ale ukázalo sa, že nie všetky. Preto mottom tejto lekcie bude Pytagoras výrok "Cestu zvládne ten, kto kráča, a matematiku - mysliaci." Zamyslime sa!
2. Aktualizácia základných vedomostí. Opakovanie.
1) matematický diktát so vzájomnou kontrolou(snímky 2-5)
Prvá úloha. Pomocou naučených vzorcov vypočítať:
možnosť 1
Možnosť 2
hriech 390 0
čo je 420 0
1 - čo 2 30 0
1 - hriech 2 60 0
сos 120 0 ∙ cos 30 0 + hriech 120 0 ∙ hriech 30 0
hriech 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ hriech 150 0
Odpovede:; 1; -; ; -; - 1; 1; ; ; 0; ; 3. - vzájomné overovanie.
Kritériá hodnotenia: (práce sa odovzdávajú vyučujúcemu)
"4" - 10 - 11
2) problematická úloha(snímka 6) - vysvedčenie študenta.
Zjednodušte výraz pomocou goniometrických vzorcov:
Dá sa tento problém vyriešiť inak? (Áno, s novými vzorcami.)
3. Stanovenie cieľa(snímka 7)
Téma lekcie:
Súčet a rozdiel sínusov. Súčet a rozdiel kosínov. - písanie do zošita
Ciele lekcie:
odvodiť vzorce pre súčet a rozdiel sínusov, súčet a rozdiel kosínusov;
vedieť ich aplikovať v praxi.
4. Vnímanie a chápanie nových poznatkov. ( snímka 8-9)
Vzorec pre súčet sínusov odvodíme: - učiteľ
Ostatné vzorce sú dokázané podobne: (vzorce na prevod sumy na súčin)
Pravidlá zapamätania!
Aké ďalšie trigonometrické vzorce boli použité pri dôkaze o tom, aké ďalšie goniometrické vzorce?
5. Aplikácia získaných poznatkov.(snímky 10-11)
S novými vzorcami:
1) Vypočítajte: (pri tabuli) - Aká bude odpoveď? (číslo)
Diktát s učiteľom
6. Analýza dosiahnutých výsledkov a náprava činností.(snímka 13)
Diferencovaný autotest s autotestom
Vypočítať:
7. Reflexia.(snímka 14)
Si spokojný so svojou prácou na lekcii?
Ako by ste sa ohodnotili za celú hodinu?
Aký bol najzaujímavejší moment v lekcii?
Kde ste sa museli najviac sústrediť?
8. Domáce úlohy: naučiť sa vzorce, jednotlivé úlohy na kartičkách.
). Tieto vzorce umožňujú zo súčtu alebo rozdielu sínusov a kosínusov uhlov a idú na súčin sínusov a / alebo kosínusov uhlov a. V tomto článku najprv uvedieme tieto vzorce, potom ukážeme ich odvodenie a na záver zvážime niekoľko príkladov ich aplikácie.
Navigácia na stránke.
Zoznam vzorcov
Zapíšme si vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov. Ako si viete predstaviť, existujú štyri z nich: dva pre sínusy a dva pre kosínusy.
Teraz si povedzme ich formulácie. Pri formulovaní vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sa uhol nazýva polovičný súčet uhlov a a uhol sa nazýva polovičný rozdiel. takze
Treba poznamenať, že vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sú platné pre akékoľvek uhly a.
Odvodenie vzorcov
Na odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov môžete použiť sčítacie vzorce, najmä vzorce
sínusový súčet,
sínusový rozdiel,
kosínus súčtu a
kosínus rozdielu.
Potrebujeme aj znázornenie uhlov vo formulári 
a 
... Toto znázornenie je platné, rovnako ako pre akékoľvek uhly a.
Teraz budeme podrobne analyzovať odvodenie vzorca pre súčet sínusov dvoch uhlov druhov.
Po prvé, celkovo nahradíme s a ďalej a dostaneme. Teraz k 
použijeme sínusový vzorec súčtu a na 
- vzorec pre sínus rozdielu: 
Po znížení takýchto podmienok získame 
... V dôsledku toho máme vzorec pre súčet sínusov tvaru.
Ak chcete zobraziť zvyšok vzorcov, musíte urobiť to isté. Tu je odvodenie vzorcov pre rozdiel sínusov, ako aj súčet a rozdiel kosínusov: 
Pre rozdiel kosínusov sme uviedli vzorce dvoch typov, príp 
... Odvtedy sú rovnocenné 
, čo vyplýva z vlastností sínusov opačných uhlov.
Takže sme analyzovali dôkaz všetkých vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.
Príklady použitia
Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia vzorcov pre súčet sínusov a kosínusov, ako aj rozdiel medzi sínusmi a kosínusmi.
Napríklad skontrolujme platnosť vzorca pre súčet sínusov tvaru, pričom a. Na tento účel vypočítame hodnoty ľavej a pravej strany vzorca pre tieto uhly. Od a (ak je to potrebné, pozri tabuľku základných hodnôt sínusov a kosínusov), potom. Pre a máme 
a 
, potom . Hodnoty ľavej a pravej strany vzorca pre súčet sínusov pre a sa zhodujú, čo potvrdzuje platnosť tohto vzorca.
V niektorých prípadoch vám použitie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov umožňuje vypočítať hodnoty trigonometrických výrazov, keď sa uhly líšia od základných uhlov ( 
). Uveďme riešenie na príklade, ktorý túto myšlienku potvrdzuje.
Príklad.
Vypočítajte presnú hodnotu rozdielu medzi sínusmi 165 a 75 stupňov.
Riešenie.
Nepoznáme presné hodnoty sínusov 165 a 75 stupňov, preto nemôžeme priamo vypočítať hodnotu daného rozdielu. Ale vzorec pre rozdiel sínusov nám umožňuje odpovedať na otázku problému. V skutočnosti je polovičný súčet uhlov 165 a 75 stupňov 120 a polovičný rozdiel je 45 a presné hodnoty sínusu 45 stupňov a kosínusu 120 stupňov sú známe.
Teda máme 
odpoveď:
.
Hlavnou hodnotou vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov je nepochybne to, že umožňujú prejsť od súčtu a rozdielu k súčinu goniometrických funkcií (z tohto dôvodu sa tieto vzorce často nazývajú vzorce pre prechod od súčtu k súčinu goniometrických funkcií). A to sa zase môže hodiť napríklad vtedy, keď prevod goniometrických výrazov alebo pri riešenie goniometrických rovníc... Ale tieto témy si vyžadujú samostatnú diskusiu.
Bibliografia.
- algebra: Učebnica. za 9 cl. streda škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Vzdelávanie, 1990.- 272 s .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Učebnica. pre 10-11 cl. streda shk. - 3. vyd. - M .: Školstvo, 1993 .-- 351 s .: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra a začiatok rozboru: Učebnica. pre 10-11 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vydanie - M .: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: i. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov na technické školy): Učebnica. manuál - M .; Vyššie. shk., 1984.-351 s., ill.