Tarkastelen kysymystä suorakaiteen muotoisen tetraedrin pintojen projektioiden kaavasta. Aluksi tarkastelen tasossa α olevan janan ortogonaalista projektiota ja tuon esiin kaksi tapausta tämän janan sijainnista suhteessa suoraan l = α∩π.
Tapaus 1.
AB∥l(kuva 8). Jana A 1 B 1, joka on janan AB ortogonaalinen projektio, on yhtä suuri ja yhdensuuntainen janan AB kanssa.
Riisi. kahdeksan
Tapaus 2.
CD⊥l(kuva 8). Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan suora C 1 D 1, joka on suoran CD ortogonaalinen projektio, on myös kohtisuorassa suoraa l vastaan. Siksi ∠CEC 1 on tason α ja projektioiden tason π välinen kulma, eli missä C 0 D = C 1 D 1... Siksi | C 1 D 1 | = | CD | ∙ cosφ
Nyt käsittelen kysymystä kohtisuorasta kolmiosta.
Kolmion tasolle ortogonaalisen projektion pinta-ala on yhtä suuri kuin projisoidun kolmion pinta-ala kerrottuna kolmion tason ja projektioiden tason välisen kulman kosinilla.
Todiste. Kolmion projisoitu pinta-ala. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan suora B 1 H 1 - suoran BN ortogonaalinen projektio - on kohtisuorassa suoraa l vastaan, joten jana B 1 H 1 on kolmion A 1 B 1 C 1 korkeus. Siksi . Täten, .
a) Olkoon projisoidun kolmion ABC yksi sivuista, esimerkiksi AC, yhdensuuntainen suoran l = α∩π (kuva 9) kanssa tai sen päällä.
Tällöin sen korkeus VN on kohtisuorassa suoraa l vastaan ja pinta-ala on yhtä suuri, ts.
Riisi. yhdeksän
b) Yksikään projisoidun kolmion ABC sivuista ei ole yhdensuuntainen suoran l kanssa (kuva 10). Piirrä suora viiva kolmion jokaisen kärjen läpi, jotka ovat yhdensuuntaisia suoran l:n kanssa. Yksi näistä viivoista on kahden muun välissä (kuvassa se on suora m), ja siksi jakaa kolmion ABC kolmioksi ABD ja ACD, joiden korkeus on BH ja CE, jotka on piirretty niiden yhteiselle sivulle AD (tai sen jatkoon) , joka on yhdensuuntainen l. Suora m 1 - suoran m ortogonaalinen projektio - jakaa myös kolmion A 1 B 1 C 1 - kolmion ABC ortogonaalisen projektion - kolmioksi A 1 B 1 D 1 ja A 1 C 1 D 1, jossa. Kun otetaan huomioon (9) ja (10), saan
Muista, että suoran ja tason välinen kulma on tietyn suoran ja sen tasoon projektion välinen kulma (kuva 164).
Lause. Monikulmion tasoon kohdistuvan ortogonaalisen projektion pinta-ala on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion pinta-ala kerrottuna monikulmion tason ja projektion tason muodostaman kulman kosinilla.
Jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioihin, joiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin monikulmion pinta-ala. Siksi riittää todistamaan kolmion lause.
Projisoidaan \ (\ Delta \) ABC tasolle R... Harkitse kahta tapausta:
a) yksi sivuista \ (\ Delta \) ABC on yhdensuuntainen tason kanssa R;
b) mikään sivuista \ (\ Delta \) ABC ei ole yhdensuuntainen R.
Harkitse ensimmäinen tapaus: anna [AB] || R.
Piirretään taso läpi (AB) R 1 || R ja projisoi ortogonaalisesti \ (\ Delta \) ABC päälle R 1 ja edelleen R(kuvio 165); saamme \ (\ Delta \) ABC 1 ja \ (\ Delta \) A'B'S '.
Projektion ominaisuuden mukaan meillä on \ (\ Delta \) ABC 1 \ (\ cong \) \ (\ Delta \) A'B'C ', ja siksi
S \ (\ Delta \) ABC1 = S \ (\ Delta \) A'B'C '
Piirrä ⊥ ja jana D 1 C 1. Sitten ⊥, a \ (\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \) = φ on tason \ (\ Delta \) ABC ja tason välisen kulman arvo R 1. Siksi
S \ (\ Delta \) ABC1 = 1/2 | AB | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
ja siksi S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) ABC cos φ.
Jatketaan pohdintaa toinen tapaus... Piirretään lentokone R 1 || R tämän kärjen \ (\ Delta \) ABC kautta, etäisyys, josta tasoon R pienin (olkoon se kärki A).
Suunnitellaan \ (\ Delta \) ABC koneeseen R 1 ja R(kuvio 166); olkoon sen projektiot vastaavasti \ (\ Delta \) AB 1 C 1 ja \ (\ Delta \) A'B'S '.
Olkoon (ВС) \ (\ cap \) p 1 = D. Sitten
S \ (\ Delta \) A'B'C '= S \ (\ Delta \) AB1 C1 = S \ (\ Delta \) ADC1 - S \ (\ Delta \) ADB1 = (S \ (\ Delta \) ADC - S \ (\ Delta \) ADB) cos φ = S \ (\ Delta \) ABC cos φ
Tehtävä. Taso piirretään säännöllisen kolmiomaisen prisman kannan sivun läpi kulmassa φ = 30° sen kannan tasoon nähden. Etsi tuloksena olevan osan pinta-ala, jos prisman pohjan sivu a= 6 cm.
Piirretään poikkileikkaus tästä prismasta (kuva 167). Koska prisma on oikea, sen sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoon nähden. Tästä syystä \ (\ Delta \) ABC on \ (\ Delta \) ADC:n projektio, joten
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (S _ (\ Delta ABC)) (cos \ phi) = \ frac (a \ cdot a \ sqrt3) (4cos \ phi) $$
tai
$$ S _ (\ Delta ADC) = \ frac (6 \ cdot 6 \ cdot \ sqrt3) (4 \ cdot \ frac (\ sqrt3) (2)) = 18 (cm ^ 2) $$
Yksityiskohtainen todiste monikulmion ortogonaalisen projektion lauseesta
Jos on tasaisen projektio n -kulmio tasoon, missä on monikulmion tasojen välinen kulma ja. Toisin sanoen tasaisen monikulmion projisoitu pinta-ala on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion alueen tulo projektion tason ja projisoidun monikulmion tason välisen kulman kosinilla.
Todiste. minä vaiheessa. Todistetaan ensin kolmio. Tarkastellaan 5 tapausta.
1 tapaus. makaa projektiotasolla .
Antaa olla projektiot pisteitä koneeseen, vastaavasti. Meidän tapauksessamme. Olettaa, että. Olkoon korkeus, niin kolmen kohtisuoran lauseella voimme päätellä, että - korkeus (- projektio on vinossa, - sen kanta ja suora kulkee lisäksi kaltevan kannan läpi).
Harkitsemme. Se on suorakaiteen muotoinen. Kosinin määritelmän mukaan:
Toisaalta, koska ja on siis määritelmän mukaan tasojen puolitasojen ja rajaviivan kanssa muodostaman dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, ja siksi sen mitta on myös välisen kulman mitta. kolmion projektiotasot ja itse kolmio, eli.
Etsitään alueen suhde:
Huomaa, että kaava pysyy voimassa vaikka. Tässä tapauksessa
2 tapausta. Se sijaitsee vain projektiotasossa ja on yhdensuuntainen projektiotason kanssa .
Antaa olla projektiot pisteitä koneeseen, vastaavasti. Meidän tapauksessamme.
Piirretään suora viiva pisteen läpi. Meidän tapauksessamme suora leikkaa projektiotason, mikä tarkoittaa, että lemman mukaan suora leikkaa myös projektiotason. Olkoon se pisteessä Koska, silloin pisteet sijaitsevat samassa tasossa, ja koska se on yhdensuuntainen projektiotason kanssa, niin suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkistä seuraa, että. Siksi se on suunnikkaampi. Harkitse ja. Ne ovat yhtä suuret kolmella sivulla (- yhteiset, kuten suunnikkaan vastakkaiset sivut). Huomaa, että nelikulmio on suorakulmio ja on yhtä suuri (jalkaa ja hypotenuusaa pitkin), joten se on yhtä suuri kolmelta sivulta. Siksi.
Tapaukseen 1 sovelletaan: ts.
3 tapausta. Se sijaitsee vain projektiotasossa eikä ole yhdensuuntainen projektiotason kanssa .
Olkoon piste suoran ja projektiotason leikkauspiste. Huomaa, että ja. 1 kertaa: ja. Siten saamme sen
4 tapausta. Huippupisteet eivät sijaitse projektiotasossa ... Harkitse kohtisuoraa. Ota pienin näistä kohtisuorasta. Olkoon se kohtisuorassa. Voi käydä niin, joko vain tai vain. Otetaan se sitten joka tapauksessa.
Laitetaan sivuun piste janan pisteestä, niin että piste janan pisteestä, niin että. Tällainen rakenne on mahdollinen, koska - on kohtisuorasta pienin. Huomaa, että se on projektio ja rakenteeltaan. Todistakaamme tämä ja olemme tasa-arvoisia.
Harkitse nelikulmiota. Hypoteesilla - kohtisuorat yhteen tasoon, siis lauseella, siis. Koska rakentamalla, sitten suuntaviivan merkillä (samansuuntaisia ja yhtä suuria vastakkaisia sivuja pitkin), voimme päätellä, että se on suunnikka. Tarkoittaa,. Samoin on todistettu,. Siksi ne ovat yhtä suuret kolmelta puolelta. Siksi. Huomaa, että ja suuntakuvien vastakkaisina puolina, siis tasojen yhdensuuntaisuuden merkillä,. Koska nämä tasot ovat yhdensuuntaisia, ne muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.
Edellisiin tapauksiin sovelletaan:
5 tapausta. Projektitaso leikkaa sivut ... Harkitse suoria viivoja. Ne ovat kohtisuorassa projektiotasoon nähden, joten lauseen mukaan ne ovat yhdensuuntaisia. Samansuuntaisilla säteillä, joiden origo on vastaavasti pisteissä, aseta sivuun yhtä suuret segmentit niin, että kärjet ovat projektiotason ulkopuolella. Huomaa, että se on projektio ja rakenteeltaan. Osoittakaamme, että se on yhtä suuri kuin.
Siitä lähtien ja rakentamisen myötä. Siksi suuntaviivan perusteella (kahta yhtä suurta ja yhdensuuntaista sivua pitkin) se on suuntaviiva. Se on todistettu samalla tavalla, että ja ovat suuntaviivat. Mutta sitten ja (vastakkaisena puolena) on siis yhtä suuri kolmelta puolelta. Tarkoittaa,.
Lisäksi ja siksi tasojen yhdensuuntaisuuden perusteella. Koska nämä tasot ovat yhdensuuntaisia, ne muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.
Tapaus 4 koskee:
II vaiheessa. Jaa tasainen monikulmio kolmioiksi käyttämällä kärjestä vedettyjä lävistäjiä: Sitten edellisten kolmioiden tapausten mukaisesti:.
Q.E.D.
GEOMETRIA
Tuntisuunnitelmat 10 luokalle
Oppitunti 56
Teema. Monikulmion ortogonaalinen projektioalue
Oppitunnin tarkoitus: monikulmion ortogonaalisen projektion alueen lauseen tutkiminen, opiskelijoiden taitojen muodostaminen soveltaa opittua lausetta ongelmien ratkaisemiseen.
Varusteet: stereometriset sarjat, kuutiomalli.
Tuntien aikana
I. Kotitehtävien tarkistaminen
1. Kaksi opiskelijaa toistaa taululle ratkaisut tehtäviin nro 42, 45.
2. Frontaalinen kysely.
1) Määritä kahden leikkaavan tason välinen kulma.
2) Mikä on kulma näiden välillä:
a) yhdensuuntaiset tasot;
b) kohtisuorat tasot?
3) Kuinka paljon kahden tason välinen kulma voi muuttua?
4) Onko totta, että taso, joka leikkaa yhdensuuntaisia tasoja, leikkaa ne samoissa kulmissa?
5) Onko totta, että taso, joka leikkaa kohtisuorat tasot, leikkaa ne samoissa kulmissa?
3. Opiskelijoiden taululle luomien tehtävien nro 42, 45 ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen.
II. Uuden materiaalin havaitseminen ja tietoisuus
Tehtävä opiskelijoille
1. Osoita, että kolmion, jonka toinen sivu on projektiotasossa, projisoitu pinta-ala on yhtä suuri kuin sen pinta-alan ja monikulmiotason ja projektiotason välisen kulman kosinin tulo.
2. Todista lause tapaukselle, jossa on hilakolmio, jonka toinen sivu on yhdensuuntainen projektiotason kanssa.
3. Todista lause tapaukselle, jossa on hilakolmio, jonka yksikään sivu ei ole yhdensuuntainen projektiotason kanssa.
4. Todista minkä tahansa monikulmion lause.
Ongelmien ratkaiseminen
1. Etsi monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala, jonka pinta-ala on 50 cm2 ja monikulmion tason ja sen projektion välinen kulma on 60 °.
2. Etsi monikulmion pinta-ala, jos tämän monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala on 50 cm2 ja monikulmion tason ja sen projektion välinen kulma on 45 °.
3. Monikulmion pinta-ala on 64 cm2 ja ortogonaalisen projektion pinta-ala on 32 cm2. Etsi monikulmion tasojen ja sen projektion välinen kulma.
4. Tai ehkä monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän monikulmion pinta-ala?
5. Kuution reuna on yhtä suuri kuin a. Etsi kuution poikkileikkausala tasosta, joka kulkee pohjan huipun läpi 30° kulmassa tähän kantaan nähden ja leikkaa kaikki sivureunat. (Vastaus.)
6. Tehtävä numero 48 (1, 3) oppikirjasta (s. 58).
7. Tehtävä numero 49 (2) oppikirjasta (s. 58).
8. Suorakulmion sivut ovat 20 ja 25 cm, ja sen projektio tasoon on samanlainen kuin se. Etsi projektion ympärysmitta. (Vastaus. 72 cm tai 90 cm.)
III. Kotitehtävät
§4, s. 34; turvakysymys numero 17; tehtävät nro 48 (2), 49 (1) (s. 58).
IV. Oppitunnin yhteenveto
Kysymys luokalle
1) Muotoile lause monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-alasta.
2) Voiko monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala olla suurempi kuin monikulmion pinta-ala?
3) Suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusan AB kautta piirretään taso α 45° kulmaan kolmion tasoon nähden ja kohtisuora CO tasoon α nähden. AC = 3 cm, BC = 4 cm. Ilmoita, mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein ja mitkä väärin:
a) tasojen ABC ja α välinen kulma on yhtä suuri kuin kulma CMO, jossa piste H on kolmion ABC korkeuden CM kanta;
b) CO = 2,4 cm;
c) kolmio AOC on kolmion ABC ortogonaalinen projektio tasolle α;
d) AOB-kolmion pinta-ala on 3 cm2.
(Vastaus. A) Oikein; b) väärin; c) väärin; d) oikein.)
Viime aikoina tehtävässä C2 on ollut ongelmia, joissa on tarpeen rakentaa monitahoisen poikkileikkaus tason mukaan ja löytää sen pinta-ala. Tällaista tehtävää ehdotetaan demoversiossa. Usein on kätevää löytää osan pinta-ala sen ortogonaalisen projektion alueen läpi. Esitys sisältää kaavan tällaiselle ratkaisulle ja ongelman yksityiskohtaisen analyysin, johon liittyy sarja piirustuksia.
Ladata:
Esikatselu:
Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com
Dian kuvatekstit:
Valmistautuminen tenttiin - 2014 matematiikassa. Poikkileikkausalueen löytäminen sen ortogonaalisen projektion alueen kautta. Tehtävä C2 Matematiikan opettaja MBOU lukio № 143 Krasnojarsk Knyazkina TV
Harkitse ratkaisua seuraavaan ongelmaan: Suorakaiteen muotoisessa suuntaissärmiössä. Suuntasärmiön leikkaus kulkee pisteiden B ja D kautta ja muodostaa kulman tason ABC kanssa. Etsi poikkileikkausala. Usein on kätevää löytää poikkileikkauspinta-ala sen ortogonaalisen projektion alueen mukaan. Kolmion alueen löytäminen sen ortogonaalisen projektion alueen läpi on helppo havainnollistaa seuraavalla kuvalla:
CH on kolmion ABC korkeus, C 'H on kolmion ABC korkeus ", joka on kolmion ABC ortogonaalinen projektio. Suorakulmaisesta kolmiosta CHC": Kolmion ABC pinta-ala on yhtä suuri kuin pinta-ala Kolmio ABC on siis kolmion ABC pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion ABC pinta-ala jaettuna kolmion ABC ja kolmion ABC tasojen välisen kulman kosinilla, joka on kolmion ABC ortogonaalinen projektio.
Koska minkä tahansa monikulmion pinta-ala voidaan esittää kolmioiden pinta-alojen summana, monikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ortogonaalisen projektion pinta-ala tasoon jaettuna monikulmion välisen kulman kosinilla. monikulmion tasot ja sen projektio. Käytämme tätä tosiasiaa ratkaistaksemme ongelmamme (katso dia 2) Ratkaisusuunnitelma on seuraava: A) Rakenna leikkaus. B) Etsi sen ortogonaalinen projektio kantatasolle. C) Etsi ortogonaalisen projektion pinta-ala. D) Etsi poikkileikkausala.
1. Ensin meidän on rakennettava tämä osa. Ilmeisesti segmentti BD kuuluu leikkaustasoon ja kantatasoon, eli se kuuluu tasojen leikkausviivaan:
Kahden tason välinen kulma on kulma kahden pystysuoran välillä, jotka on vedetty tasojen leikkausviivalle ja sijaitsevat näillä tasoilla. Olkoon piste O kantalävistäjän leikkauspiste. OC - kohtisuorassa tasojen leikkauslinjaan nähden, joka sijaitsee pohjan tasossa:
2. Määritä poikkileikkaustasossa olevan kohtisuoran sijainti. (Muista, että jos suora on kohtisuorassa vinoon projektioon nähden, niin se on kohtisuorassa kaltevimpaan projektioon nähden. Etsimme kaltevaa projektiotaan (OC) sekä projektion ja kaltevan projektion välistä kulmaa). Etsi kulman COC ₁ tangentti OC ₁ ja OC välillä
Tästä johtuen leikkaustason ja perustason välinen kulma on suurempi kuin OC1 ja OC välillä. Toisin sanoen leikkaus sijaitsee suunnilleen näin: K on OP:n ja A ₁C₁:n leikkauspiste, LM || B₁D1.
Joten tässä on meidän osiomme: 3. Etsi BLMD-leikkauksen projektio kannan tasolle. Tätä varten löydämme pisteiden L ja M projektiot.
Nelikulma BL ₁M₁D - poikkileikkausprojektio perustasoon. 4. Etsi nelikulmion BL₁M₁D pinta-ala. Tee tämä vähentämällä kolmion L CM₁ pinta-ala kolmion BCD pinta-alasta. Etsi kolmion L CM₁ pinta-ala. Kolmio L CM₁ on samanlainen kuin kolmio BCD. Etsitään samankaltaisuuskerroin.
Tätä varten tarkastellaan t-kulmioita OPC ja OKK1: Näin ollen kolmion L₁CM₁ pinta-ala on 4/25 kolmion BCD pinta-alasta (samanlaisten lukujen pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin kolmion neliö samankaltaisuuskerroin). Tällöin nelikulmion BL₁M₁D pinta-ala on 1-4/25 = 21/25 kolmion BCD pinta-alasta ja on yhtä kuin
5. Nyt löydämme 6. Ja lopuksi saamme: Vastaus: 112
Aiheesta: metodologinen kehitys, esitykset ja muistiinpanot
Testaustyö tieteenalalla "Engineering Computer Graphics" koostuu neljästä testitehtävästä vaatimustenmukaisuuden toteamiseksi. Tehtävien suorittamiseen menee 15-20 minuuttia...
Valmistautuminen matematiikan tenttiin-2014. Johdannaisen ja antijohdannaisen käyttö (prototyypit B8 avoimesta USE-tehtävien pankista)
Esitys lyhyellä teoriakurssilla ja ratkaisuilla erilaisiin B8-prototyyppeihin avoimesta USE-tehtävien pankista. Voidaan käyttää interaktiivisella taululla tai opiskelijatietokoneella itseopiskeluun ....
Valmistautuminen matematiikan tenttiin-2014. Tehtävän C1 ratkaisu.
Materiaali tarjoaa ratkaisuja tehtävään C1 (trigonometrinen yhtälö) ja 4 tapaa valita väliin kuuluvia juuria: käyttämällä trigonometristä ympyrää, käyttämällä funktiokaaviota, raakaa voimaa ...