Online rajoitettu viivakaavio. Laske viivojen rajoittaman muodon pinta-ala

Varma integraali... Kuinka laskea muodon pinta-ala

Siirrymme nyt integraalilaskennan sovellusten tarkasteluun. Tällä oppitunnilla analysoimme tyypillistä ja yleisintä tehtävää. - kuinka lasketaan tasaisen hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla... Lopuksi, ne, jotka etsivät merkitystä korkeammasta matematiikasta - löytäkööt sen. Ei sitä koskaan tiedä. Täytyy tuoda se lähemmäs elämässä maalaistaloalue alkeisfunktiot ja löytää sen alueen määrättyä integraalia käyttämällä.

Materiaalin hallitsemiseksi onnistuneesti sinun on:

1) Ymmärrä määrittelemätön integraali ainakin keskitasolla. Näin ollen nukkejen tulisi ensin tutustua oppituntiin Ei.

2) Osaat soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa ja laskea kiinteän integraalin. Voit rakentaa lämpimiä ystävyyssuhteita, joilla on selkeät integraalit sivulla Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista.

Itse asiassa hahmon alueen löytämiseksi ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala kiinteällä integraalilla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen niin paljon enemmän ajankohtainen aihe on tietosi ja piirustustaitosi. Tässä mielessä on hyödyllistä päivittää perusalkeisfunktioiden kuvaajien muisti ja ainakin pystyä rakentamaan suora, paraabeli ja hyperbeli. Tämä voidaan tehdä (monet tarvitsevat) käyttämällä metodologinen materiaali ja artikkeleita graafien geometrisista muunnoksista.

Itse asiassa kaikki ovat tunteneet alueen löytämisen ongelman määrätyn integraalin avulla koulusta lähtien, ja mennään hieman pidemmälle. koulun opetussuunnitelma... Tätä artikkelia ei ehkä ole ollenkaan, mutta tosiasia on, että ongelma esiintyy 99 tapauksessa 100:sta, kun opiskelijaa kiusaa vihattu laite ja hän hallitsee innokkaasti korkeamman matematiikan kurssia.

Tämän työpajan materiaalit esitetään yksinkertaisesti, yksityiskohtaisesti ja mahdollisimman vähän teoriaa käyttäen.

Aloitetaan kaarevasta puolisuunnikkaasta.

Kaareva puolisuunnikkaan muotoinen kutsutaan litteäksi kuvioksi, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja janan jatkuvan funktion kuvaaja, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa-akseli:

Sitten kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin kiinteä integraali... Kaikilla määrätyillä integraaleilla (olemassa olevalla) on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Oppitunnilla Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista Sanoin, että määrätty integraali on luku. Ja nyt on aika sanoa vielä yksi hyödyllinen tosiasia. Geometrian kannalta varma integraali on ALUE.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta... Tarkastellaan esimerkiksi tiettyä integraalia. Integrandi asettaa käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluat voivat tehdä piirustuksen), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävän muotoilu. Ensin ja tärkein hetki ratkaisut - piirustus rakentaminen... Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Piirustusta rakennettaessa suosittelen seuraavaa järjestystä: ensiksi on parempi rakentaa kaikki suorat (jos sellaisia on) ja vain jälkeen- paraabelit, hyperbolit, muiden funktioiden kuvaajat. On kannattavampaa rakentaa funktiokaavioita kohtisuoraan, kohta kohdalta rakentamisen tekniikka löytyy kohdasta viitemateriaali Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet... Sieltä löydät myös erittäin hyödyllistä materiaalia oppitunnillemme - kuinka nopeasti rakentaa paraabeli.

Tässä ongelmassa ratkaisu voi näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

Kaarevaa puolisuunnikasta en hauta, tässä on selvää millä alueella kysymyksessä... Ratkaisu jatkuu näin:

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yläpuolella, siksi:

Vastaus:

Kenellä on vaikeuksia laskea kiinteää integraalia ja soveltaa Newton-Leibnizin kaavaa , katso luento Varma integraali. Esimerkkejä ratkaisuista.

Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa suunnitelmaa ja arvioida, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää totuudesta. On aivan selvää, että jos saimme esimerkiksi vastauksen: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - tarkasteltavana oleva luku ei selvästikään sovi 20 soluun, korkeintaan kymmeneen. Jos vastaus on kielteinen, myös tehtävä ratkaistiin väärin.

Esimerkki 2

Laske muodon pinta-ala, rajoittaa linjat,, ja akseli

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös. Täydellinen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle?

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman muodon pinta-ala.

Ratkaisu: Suoritetaan piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Tässä tapauksessa:

Huomio! Näitä kahta tehtävätyyppiä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi juuri tarkasteltavassa kaavassa näkyy miinus.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivoilla rajatun litteän hahmon pinta-ala.

Ratkaisu: Ensin sinun on suoritettava piirustus. Yleisesti ottaen, kun rakennetaan piirustusta alueen ongelmiin, meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin ja suoran leikkauspisteet. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen. Ratkaisemme yhtälön:

Siksi integraation alaraja, integraation yläraja.
On parempi olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integraation rajat selviävät ikään kuin "itsensä". Eri kaavioiden pistekohtaisen piirtämisen tekniikkaa käsitellään yksityiskohtaisesti ohjeessa. Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet... Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi joutuu joskus soveltamaan, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai tarkka rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palatakseni ongelmaamme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Suoritetaan piirustus:

Toistan, että pistemäisessä konstruktiossa integroinnin rajat selviää useimmiten "automaatilla".

Ja nyt työkaava: Jos segmentillä jokin jatkuva funktio suurempi tai yhtä suuri jostakin jatkuvasta funktiosta, niin näiden funktioiden ja suorien kaavioiden rajoittama kuvion alue voidaan löytää kaavalla:

Täällä sinun ei enää tarvitse ajatella, missä hahmo sijaitsee - akselin yläpuolella tai akselin alapuolella, ja karkeasti sanottuna on tärkeää mikä aikataulu on YLÄLLÄ(suhteessa toiseen kuvaajaan), ja kumpi on ALLA.

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Vaadittua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Itse asiassa koulukaava kaarevan puolisuunnikkaan pinta-alalle alemmassa puolitasossa (katso yksinkertainen esimerkki nro 3) - erikoistapaus kaavat ... Koska akseli on annettu yhtälöllä ja funktion kuvaaja sijaitsee ei korkeampi akseli siis

Ja nyt pari esimerkkiä itseratkaisuun

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Etsi viivojen rajoittama kuvion alue,.

Ratkaistaessa tehtäviä pinta-alan laskemiseksi määrätyn integraalin avulla, joskus tapahtuu hauska tapaus. Piirustus on tehty oikein, laskelmat ovat oikein, mutta huolimattomuudesta ... väärän hahmon alue löytyy, näin nöyrä palvelijasi sotki useita kertoja. Tässä tosielämän tapaus:

Esimerkki 7

Laske viivojen,,,, rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Suoritetaan ensin piirustus:

... No, surkea piirros ilmestyi, mutta kaikki näyttää olevan luettavissa.

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä(tarkastele kuntoa huolellisesti - mihin luku rajoittuu!). Mutta käytännössä välinpitämättömyyden vuoksi syntyy usein "häiriö", että sinun on löydettävä varjostettu hahmon alue vihreässä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla. Todella:

1) Viivakaavio sijaitsee segmentillä akselin yläpuolella;

2) Hyperbolagraafi sijaitsee segmentillä akselin yläpuolella.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Vastaus:

Jatketaan vielä yhteen merkitykselliseen tehtävään.

Esimerkki 8

Laske viivojen rajoittaman muodon pinta-ala,
Esitetään yhtälöt "koulu"-muodossa, ja suoritamme pistekohtaisen piirustuksen:

Piirustuksesta voidaan nähdä, että ylärajamme on "hyvä":.
Mutta mikä on alaraja?! On selvää, että tämä ei ole kokonaisluku, mutta mikä? Voi olla ? Mutta missä on takuu, että piirustus on tehty täydellisellä tarkkuudella, voi hyvinkin olla. Tai juuri. Entä jos piirretään kaavio ollenkaan väärin?

Tällaisissa tapauksissa sinun on kulutettava lisäaikaa ja tarkentaa integraation rajoja analyyttisesti.

Etsi suoran ja paraabelin leikkauspisteet.
Tätä varten ratkaisemme yhtälön:

,

Todella, .

Jatkoratkaisu on triviaali, pääasia ei ole hämmentyä vaihdoissa ja merkeissä, laskelmat eivät ole helpoimpia täällä.

Segmentillä , vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

No, oppitunnin päätteeksi harkitsemme kahta vaikeampaa tehtävää.

Esimerkki 9

Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala,

Ratkaisu: Kuvataan tämä hahmo piirustuksessa.

Vittu, unohdin allekirjoittaa aikataulun, mutta tehdä kuvan uudelleen, anteeksi, ei pätkiä. Ei piirtämistä, lyhyesti sanottuna, tänään on se päivä =)

Piste kohdalta rakentamista varten sinun on tiedettävä ulkomuoto sinusoidit (ja yleensä on hyödyllistä tietää kaikkien perusfunktioiden kuvaajat), sekä joitain siniarvoja, ne löytyvät trigonometrinen taulukko... Useissa tapauksissa (kuten tässä) on sallittua rakentaa kaavamainen piirros, jossa kaaviot ja integroinnin rajat tulee periaatteessa näyttää oikein.

Integroinnin rajoissa ei ole ongelmia, ne seuraavat suoraan ehdosta: - "x" muuttuu nollasta "pi:ksi". Teemme lisäpäätöksen:

Jaksolla funktion kuvaaja sijaitsee akselin yläpuolella, joten:

Itse asiassa hahmon alueen löytämiseksi ei tarvitse niin paljon tietoa epämääräisestä ja määrätystä integraalista. Tehtävä "laske pinta-ala kiinteällä integraalilla" sisältää aina piirustuksen rakentamisen, siksi tietosi ja piirustustaitosi ovat paljon kiireellisempi kysymys. Tässä mielessä on hyödyllistä päivittää perusalkeisfunktioiden kuvaajien muisti ja ainakin pystyä rakentamaan suora ja hyperbeli.

Kaareva puolisuunnikas on litteä kuvio, jota rajoittavat akseli, suorat viivat ja jatkuvan funktion kaavio janalla, joka ei muuta etumerkkiä tällä välillä. Olkoon tämä kuva paikannettava ei vähempää abskissa-akseli:

Geometrian kannalta varma integraali on ALUE.

Tuo on, määrätty integraali (jos se on olemassa) vastaa geometrisesti jonkin kuvion aluetta. Tarkastellaan esimerkiksi tiettyä integraalia. Integrandi asettaa käyrän tasolle, joka sijaitsee akselin yläpuolella (haluat voivat tehdä piirustuksen), ja itse määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin vastaavan kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala.

Esimerkki 1

Tämä on tyypillinen tehtävän muotoilu. Ensimmäinen ja tärkein kohta ratkaisussa on piirustuksen rakentaminen... Lisäksi piirustus on rakennettava OIKEIN.

Tässä ongelmassa ratkaisu voi näyttää tältä.
Piirretään piirustus (huomaa, että yhtälö määrittää akselin):

Segmentillä sijaitsee funktion kuvaaja akselin yläpuolella, siksi:

Vastaus:

Esimerkki 3

Laske viivojen ja koordinaattiakseleiden rajoittaman muodon pinta-ala.

Ratkaisu: Suoritetaan piirustus:

Jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alle(tai ainakin ei korkeampi annettu akseli), sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:

Tässä tapauksessa:

Huomio! Näitä kahta tehtävätyyppiä ei pidä sekoittaa:

1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.

2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi juuri tarkasteltavassa kaavassa näkyy miinus.

Käytännössä kuva sijoittuu useimmiten sekä ylempään että alempaan puolitasoon, ja siksi yksinkertaisimmista koulutehtävistä siirrytään merkityksellisempiin esimerkkeihin.

Esimerkki 4

Etsi viivoilla rajatun litteän hahmon pinta-ala.

Siksi integraation alaraja, integraation yläraja.

On parempi olla käyttämättä tätä menetelmää, jos mahdollista..

On paljon kannattavampaa ja nopeampaa rakentaa viivoja piste kerrallaan, kun integraation rajat selviävät ikään kuin "itsensä". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi joutuu joskus soveltamaan, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai tarkka rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia). Ja harkitsemme myös tällaista esimerkkiä.

Palatakseni ongelmaamme: on järkevämpää rakentaa ensin suora ja vasta sitten paraabeli. Suoritetaan piirustus:

Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä

Ratkaisun valmistuminen voi näyttää tältä:

Vaadittua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Esimerkki 4

Laske viivojen,,,, rajoittaman kuvion pinta-ala.

Ratkaisu: Suoritetaan ensin piirustus:

Figuuri, jonka alue meidän on löydettävä, on varjostettu sinisellä(tarkastele kuntoa huolellisesti - mihin luku rajoittuu!). Mutta käytännössä huomaamattomuuden vuoksi syntyy usein "häiriö", että sinun on löydettävä hahmon alue, joka on varjostettu vihreällä!

Tämä esimerkki on hyödyllinen myös siinä mielessä, että se laskee kuvion alueen kahdella kiinteällä integraalilla.

Todella:

1) Viivakaavio sijaitsee segmentillä akselin yläpuolella;

2) Hyperbolagraafi sijaitsee segmentillä akselin yläpuolella.

On aivan selvää, että alueet voidaan (ja pitäisi) lisätä, joten:

Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja verkkosivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustoon kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä monipuolinen menetelmä auttaa parantamaan verkkosivujen näkyvyyttä hakukoneet... Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät säännöllisesti matemaattisia kaavoja sivustossasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttämällä MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä, joka on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi, nopeuttaa sivustosi sivujen latautumista, ja jos MathJax-ylemmän palvelimen jostain syystä tilapäisesti ei ole käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutissa voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia sivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta versiota koodista, joka on otettu MathJax-pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai heti tagin jälkeen ... Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto seuraa ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivustosi hallintapaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs mallin alku (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi, ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivustosi verkkosivuille.

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, on jaettu sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Yksi keskuskuutio ja 6 vierekkäistä kuutiota poistetaan siitä. Tuloksena on sarja, joka koostuu jäljellä olevista 20 pienemmästä kuutiosta. Tekemällä saman jokaisen näistä kuutioista, saamme sarjan, joka koostuu jo 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomasti, saamme Menger-sienen.

Tämä artikkeli näyttää, kuinka voit löytää viivojen rajoittaman muodon alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäisen kerran törmätään tällaisen ongelman muotoiluun lukiossa, kun määrällisten integraalien tutkimus on juuri saatu päätökseen ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.

Joten mitä tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelman hahmon alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

Kyky pätevästi rakentaa piirustuksia;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Kyky "nähdä" edullisempi ratkaisu - eli ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisentyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä, suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme tämän funktion nimen kynällä jokaisen kaavion yläpuolella. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvion graafin, useimmissa tapauksissa näkyy heti, mitä integroinnin rajoja käytetään. Näin ratkaisemme ongelman graafisesti... Kuitenkin niin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integroinnin rajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan, osuuko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, miten funktiokaaviot sijaitsevat, niitä on erilaisia lähestymistapoja löytääksesi kuvan alueen. Harkitse erilaisia esimerkkejä löytääksesi kuvion alueen integraaleja käyttämällä.

3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva puolisuunnikas? Se on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli. (y = 0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b... Lisäksi tämä luku ei ole negatiivinen eikä sijaitse abskissa-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Mitkä viivat rajoittavat kuviota? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3 joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikilla tämän paraabelin pisteillä on positiiviset arvot... Lisäksi suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat muodon rajaviivat vasemmalla ja oikealla. Hyvin y = 0, se on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva muoto on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Meillä on edessämme yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka ratkaisemme edelleen käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa.

3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapausta, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijaitsee x-akselin yläpuolella. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Harkitsemme, kuinka samanlainen ongelma ratkaistaan edelleen.

Esimerkki 2 ... Laske viivojen rajoittaman muodon pinta-ala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tämä esimerkki meillä on paraabeli y = x2 + 6x + 2 joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0... Tässä y = 0 rajaa halutun muodon ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrätty integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että esiasetettu toiminto ei positiivista, ja kaikki on myös jatkuvaa välissä [-4; -1] ... Mikä ei tarkoita positiivista? Kuten kuvasta näkyy, kuvalla, joka on määritetyn x:n sisällä, on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, jotka meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Haemme kuvion pinta-alaa Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli on epätäydellinen.

Joten mitä tarvitaan onnistuneesti ratkaisemaan ongelman hahmon alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:

Kyky pätevästi rakentaa piirustuksia;
Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
Kyky "nähdä" edullisempi ratkaisu - eli ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisentyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.

Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:

1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä, suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme tämän funktion nimen kynällä jokaisen kaavion yläpuolella. Kaavioiden allekirjoitus tehdään vain lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvion graafin, useimmissa tapauksissa näkyy heti, mitä integroinnin rajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin niin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.

2. Jos integroinnin rajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan, osuuko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.

3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Funktiokaavioiden sijainnista riippuen on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Tarkastellaan erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraalien avulla.

Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Mitkä viivat rajoittavat kuviota? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3 joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Lisäksi suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat muodon rajaviivat vasemmalla ja oikealla. Hyvin y = 0, se on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva muoto on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Meillä on edessämme yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka ratkaisemme edelleen käyttämällä Newton-Leibnizin kaavaa.

Esimerkki 2 ... Laske viivojen rajoittaman muodon pinta-ala y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y = x2 + 6x + 2 joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0... Tässä y = 0 rajaa halutun muodon ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrätty integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, vaan on edelleen jatkuva välillä [-4; -1] ... Mikä ei tarkoita positiivista? Kuten kuvasta näkyy, kuvalla, joka on määritetyn x:n sisällä, on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, jotka meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Haemme kuvion pinta-alaa Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.

Artikkeli on epätäydellinen.

Myös aiheesta

Arvopaperisalkku: kannattavuuden ja riskin arviointi Arvopaperisalkku alm htm

Vakuudeton laina Vakuudettomat lainat tarjotaan

Englannin valuutta: historiallinen ja nykyaikainen

Voitto- ja tappioraportti

Avoin kiinnostus vaihtoon