Sellise matemaatilise analüüsi objekti kui funktsiooni uurimisel on suur tähendus ja teistes teadusvaldkondades. Näiteks aastal majanduslik analüüs peab pidevalt käitumist hindama funktsiooni kasumit, nimelt selle suurima määramiseks tähendus ja töötada välja strateegia selle saavutamiseks.
Juhised
Igaühe käitumise uurimine peaks alati algama määratlusvaldkonna otsimisega. Tavaliselt on vastavalt konkreetse ülesande tingimustele vaja kindlaks määrata suurim tähendus funktsiooni kas kogu selle piirkonna ulatuses või teatud ajavahemiku jooksul avatud või suletud piiridega.
Selle põhjal on suurim tähendus funktsiooni y (x0), mille puhul ebavõrdsus y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) kehtib määratlusvaldkonna mis tahes punkti kohta. Graafiliselt on see punkt kõrgeim, kui paigutada argumendi väärtused piki abstsissitelge ja funktsioon ise mööda ordinaattelge.
Suurima kindlaksmääramiseks tähendus funktsiooni, järgige kolmeastmelist algoritmi. Pange tähele, et peate olema võimeline töötama ühesuunaliselt ja arvutama ka tuletisinstrumendi. Niisiis, olgu antud mingi funktsioon y (x) ja see peab leidma selle suurima tähendus teatud intervallidel piirväärtustega A ja B.
Uurige, kas see intervall kuulub määratluse reguleerimisalasse funktsiooni... Selleks peate selle leidma, kaaludes kõiki võimalikke piiranguid: murdosa olemasolu, ruutjuur jne. Reguleerimisala on argumentide väärtuste kogum, mille jaoks funktsioon on mõttekas. Tehke kindlaks, kas antud intervall on selle alamhulk. Kui jah, minge järgmise sammu juurde.
Leidke tuletis funktsiooni ja lahendage saadud võrrand, võrdsustades tuletise nulliga. Seega saate nn statsionaarsete punktide väärtused. Hinnake, kas vähemalt üks neist kuulub vahemikku A, B.
Kaaluge neid punkte kolmandas etapis, asendage nende väärtused funktsiooniga. Sõltuvalt intervalli tüübist toimige järgmiselt. Vormi [A, B] segmendi juuresolekul lisatakse piiripunktid intervalli, seda näitavad sulud. Arvutage väärtused funktsiooni punktides x = A ja x = B. Kui avatud intervall on (A, B), on piirväärtused torgatud, s.t. ei kuulu selle hulka. Lahendage ühepoolsed piirid x → A ja x → B jaoks. Vormi [A, B) või (A, B] kombineeritud intervall, mille üks piiridest kuulub sellele, teine mitte. Leidke ühepoolne piir, kuna x kaldub torgatud väärtusele, ja asendage teine Lõpmatu kahepoolne intervall (-∞, + ∞) või ühepoolne lõpmatu intervall vormis :, (-∞, B) Tegelikel piiridel A ja B toimige vastavalt juba kirjeldatud põhimõtetele ja lõpmatu otsida piire vastavalt x → -∞ ja x → + ∞.
Ülesanne selles etapis
Ja selle lahendamiseks vajate minimaalseid teadmisi teemast. Järgmine lõpp õppeaasta, kõik tahavad puhkusele minna ja selle hetke lähendamiseks asun kohe asja kallale:
Alustame piirkonnast. Tingimuses osutatud piirkond on piiratud suletud tasapinna punktide komplekt. Näiteks punktide kogum, mida piirab kolmnurk, sealhulgas TERVE kolmnurk (kui pärit piirid"Gouge out" vähemalt üks punkt, siis lõpetatakse ala sulgemine)... Praktikas on ka ristkülikukujulisi, ümmargusi ja veidi keerukamaid kujundeid. Tuleb märkida, et matemaatilise analüüsi teoorias on antud ranged määratlused piirangud, eraldatus, piirid jne., kuid ma arvan, et kõik on neist mõistetest intuitiivsel tasandil teadlikud ja rohkem polegi praegu vaja.
Lamedat ala tähistatakse tavaliselt tähega ja reeglina määratakse see analüütiliselt - mitme võrrandiga (mitte tingimata lineaarne); harvem ebavõrdsus. Tüüpiline käive: "suletud ala, mis on piiratud joontega."
Vaatlusaluse ülesande lahutamatu osa on joonisel oleva ala ehitamine. Kuidas seda teha? On vaja tõmmata kõik loetletud jooned (antud juhul 3 otse) ja analüüsida juhtunut. Soovitud ala on tavaliselt veidi koorunud ja selle piir on esile tõstetud paksus joones: 
Sama ala saab määrata ja lineaarne ebavõrdsus:, mis mingil põhjusel on sagedamini loetletud loeteluna ja mitte süsteem.
Kuna piir kuulub piirkonda, on kõik ebavõrdsused muidugi lõtv.
Ja nüüd probleemi olemus. Kujutage ette telge, mis ulatub lähtekohast otse teie poole. Mõelge sellele funktsioonile pidev igas piirkonna punkt. Selle funktsiooni graafik kujutab mõnda pinnale, ja väike õnn seisneb selles, et tänase probleemi lahendamiseks ei pea me teadma, kuidas see pind välja näeb. See võib asuda kõrgemal, madalamal, ristuda tasapinnaga - see kõik pole oluline. Ja oluline on järgmine: vastavalt Weierstrassi teoreemid, pidev sisse piiratud suletud piirkonnas saavutab funktsioon maksimumi (kõrgeim") ja väikseim (madalaim") väärtused, mida soovite leida. Sellised väärtused saavutatakse või sisse statsionaarsed punktid, piirkonda kuuluvD , või punktides, mis asuvad selle piirkonna piiril. Järgneb lihtne ja läbipaistev lahenduse algoritm:
Näide 1
Piiratult suletud ala
Lahendus: Kõigepealt peate joonisel kujutama ala. Kahjuks on mul tehniliselt keeruline probleemi interaktiivset mudelit teha ja seetõttu annan kohe lõpliku illustratsiooni, mis näitab kõiki uurimise käigus leitud "kahtlasi" punkte. Tavaliselt kinnitatakse need üksteise järel nii, nagu need on leitud: 
Preambuli põhjal on otstarbekas jagada otsus kaheks:
I) Leidke statsionaarsed punktid. See on tavaline tegevus, mida tegime tunnis korduvalt mitme muutuja äärmused:
Leiti statsionaarne punkt kuulub alad: (märkige see joonisele), mis tähendab, et peaksime funktsiooni väärtuse sel hetkel arvutama:
- nagu artiklis Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendis, Toon olulised tulemused esile paksus kirjas. Neid on mugav pliiatsiga märkmikusse visandada.
Pöörake tähelepanu meie teisele õnnele - pole mõtet kontrollida ekstreemumi jaoks piisav tingimus... Miks? Isegi kui funktsioon jõuab mingil hetkel näiteks kohalik miinimum, siis EI EI TÄHENDA, et saadud väärtus on minimaalne kogu piirkonnas (vt tunni algust tingimusteta äärmusest) .
Mis siis, kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda? Peaaegu mitte midagi! Tuleb märkida, et ja minna järgmise punkti juurde.
II) Uurige piirkonna piiri.
Kuna piir koosneb kolmnurga külgedest, on mugav jagada uuring kolmeks alajaotuseks. Aga parem on seda igal juhul mitte teha. Minu seisukohast on esialgu soodsam käsitleda koordinaattelgedega paralleelseid segmente ja ennekõike - telgedel endil lamamist. Kogu toimingute jada ja loogika mõistmiseks proovige lõppu uurida "korraga":
1) Tegeleme kolmnurga alumise küljega. Selleks asendame funktsiooni otse:
Teise võimalusena saate selle korraldada järgmiselt: 
Geomeetriliselt tähendab see seda koordinaaditasand (mille annab ka võrrand)"Nikerdab" välja pinnale"Ruumiline" parabool, mille tipp satub kohe kahtluse alla. Uurime välja Kus ta on:
- saadud väärtus "sattus" piirkonda ja võib juhtuda, et sellel hetkel (märgi joonisel) funktsioon saavutab kõrgeima või madalaima väärtuse kogu piirkonnas. Ühel või teisel viisil teeme arvutusi:
Teised "kandidaadid" on muidugi segmendi otsad. Arvutame funktsiooni väärtused punktides 
(märgi joonisel):
Siin, muide, saate teha suulise minikontrolli, kasutades "eemaldatud" versiooni: 
2) Kolmnurga parema külje uurimiseks asendame selle funktsiooniga ja "paneme asjad seal korda":
Siin teeme kohe jämeda kontrolli, "helistades" välja segmendi juba töödeldud lõpu:
, täiuslik.
Geomeetriline olukord on seotud eelmise punktiga:
- saadud väärtus on samuti "kaasatud meie huvide valdkonda", mis tähendab, et peame arvutama, millega funktsioon võrdub ilmuvas punktis:
Uurime segmendi teist otsa:
Funktsiooni kasutamine 
, vaatame üle: 
3) Tõenäoliselt teavad kõik, kuidas ülejäänud külge uurida. Asendame funktsiooni ja teeme lihtsustusi:
Segment lõpeb 
juba uuritud, kuid mustandil kontrollime ikkagi, kas leidsime funktsiooni õigesti 
:
- langes kokku esimese lõigu tulemusega;
- langes kokku teise lõigu tulemusega.
Jääb välja selgitada, kas segmendi sees on midagi huvitavat:
- seal on! Asendades võrrandisse sirgjoone, saame selle "huvitavuse" ordinaadi:
Märgime joonisel punkti ja leiame funktsiooni vastava väärtuse:
Kontrollime arvutusi vastavalt "eelarve" versioonile 
:
, tellida.
Ja viimane samm: Hoolikalt vaatame läbi kõik "paksud" numbrid, soovitan algajatel isegi ühe nimekirja koostada: 
mille hulgast valime suurimad ja väiksemad väärtused. Vastus kirjutame leidmise probleemi stilistikasse funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendis:
Igaks juhuks kommenteerin veel kord tulemuse geomeetrilist tähendust:
- siin on piirkonna kõrgeim punkt;
- siin on piirkonna madalaim punkt piirkonnas.
Analüüsitud probleemis tuvastasime 7 "kahtlast" punkti, kuid nende arv varieerub ülesannete lõikes. Kolmnurkse ala puhul on minimaalne "uurimiskomplekt" kolm punkti. See juhtub siis, kui mõni funktsioon näiteks seab lennuk- on täiesti selge, et statsionaarseid punkte pole ja funktsioon saab suurimate / väikseimate väärtusteni jõuda ainult kolmnurga tippudes. Kuid selliseid näiteid on palju üks või kaks korda - tavaliselt peate mõnega tegelema II järgu pind.
Kui selliseid ülesandeid natuke lahendate, võib pea kolmnurkadest ringi liikuda ja seetõttu olen teile ette valmistanud ebatavalisi näiteid, et see ruudukujuliseks muuta :))
Näide 2
Suurimate ja väikseimate funktsiooniväärtuste leidmine 
suletud alal, piiratud joontega
Näide 3
Leidke piiratud ja suletud alal funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused.
Erilist tähelepanu pöörama tähelepanu piirkonna piiri uurimise ratsionaalsele korrale ja tehnikale, samuti vahekontrollide ahelale, mis peaaegu täielikult väldib arvutusvigu. Üldiselt saate seda lahendada nii, nagu soovite, kuid mõne probleemi puhul, näiteks samas näites 2, on kõik võimalused teie elu oluliselt keerulisemaks muuta. Ligikaudne näide ülesannete lõpetamisest tunni lõpus.
Süstematiseerime lahenduse algoritmi, vastasel juhul läks see minu kui ämbliku hoolsusega kuidagi kaduma 1. näite pikkade kommentaaride lõimesse:
- Esimesel etapil ehitame ala, soovitav on see varjutada ja esiletõstetud piirjoon esile tõsta. Lahenduse käigus ilmuvad punktid, mis tuleb joonisele paigutada.
- Leidke statsionaarsed punktid ja arvutage funktsiooni väärtused ainult nendes mis kuuluvad piirkonda. Valime tekstis saadud väärtused (näiteks visandame need pliiatsiga). Kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda, tähistame selle fakti ikooniga või suuliselt. Kui statsionaarseid punkte pole üldse, siis teeme kirjaliku järelduse, et need puuduvad. Igal juhul ei saa seda eset vahele jätta!
- Uurime selle piirkonna piiri. Esiteks on kasulik tegeleda sirgjoontega, mis on paralleelsed koordinaattelgedega (kui mõni)... Samuti tõstame esile funktsiooni väärtused, mis on arvutatud "kahtlastes" punktides. Lahendustehnika kohta on ülalpool palju räägitud ja allpool räägitakse veel millestki - loe, loe uuesti, süvene!
- Valige valitud numbrite hulgast suurimad ja väikseimad väärtused ning andke vastus. Mõnikord juhtub, et funktsioon jõuab selliste väärtusteni korraga mitmes punktis - sel juhul peaksid kõik need punktid vastuses kajastuma. Olgu näiteks 
ja selgus, et see väikseim väärtus... Siis kirjutame selle
Lõplikud näited keskenduvad teistele kasulikke ideid mis on praktikas kasulik:
Näide 4
Leidke suletud alal funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused 
.
Olen säilitanud autori sõnastuse, kus piirkond on antud topeltvõrdsusena. Selle tingimuse saab selle probleemi jaoks kirjutada samaväärse süsteemi või traditsioonilisemal kujul: 
Tuletan teile meelde, et sellest ajast mittelineaarne ebavõrdsust, millega me kokku puutusime, ja kui te ei saa aru märke geomeetrilisest tähendusest, siis palun ärge lükake olukorda edasi ja selgitage seda kohe ;-)
Lahendus, nagu alati, algab see ala ehitamisega, mis on omamoodi "ainus": 
Hmm, mõnikord peate närima mitte ainult teaduse graniiti ...
I) Leidke statsionaarsed punktid: 
Süsteemi-idiootide unistus :) 
Piirkonda kuulub statsionaarne punkt, nimelt asub selle piiril.
Ja nii, see pole midagi ... õppetund läks rõõmsalt - seda tähendab õige tee joomine =)
II) Uurige piirkonna piiri. Ilma pikema jututa alustame abstsissist:
1) Kui, siis
Leidke parabooli tipp:
- hindage selliseid hetki - "lööge" kohe kohas, kust kõik on juba selge. Kuid me ei unusta endiselt kontrollimist: 
Arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes: 
2) C alt Mõelgem välja "tallad" "ühe istungiga" - ilma kompleksideta asendame need funktsiooniga, pealegi oleme huvitatud ainult segmendist:
Kontroll:
See toob juba mõningast elavnemist monotoonsesse sõitu rihveldatud rajal. Me leiame kriitilised punktid:
Me lahendame ruutvõrrand, mäletad seda veel? ... Kuid pidage muidugi meeles, muidu poleks te neid ridu lugenud =) Kui kahes eelmises näites arvutused sisse kümnendmurrud(mis, muide, on haruldus), siis tavaline tavalised murrud... Leiame “x” juured ja kasutame võrrandit, et määrata “kandidaat” punktide vastavad “mängu” koordinaadid: 
Arvutame funktsiooni väärtused leitud punktides: 
Kontrollige funktsiooni ise.
Nüüd uurime hoolikalt võidetud karikaid ja paneme kirja vastus:
Need on "kandidaadid", seega "kandidaadid"!
Jaoks iseseisev otsus:
Näide 5
Leidke funktsiooni väikseimad ja suurimad väärtused 
suletud alal 
Lokkis traksidega kirje kõlab järgmiselt: "punktide komplekt, selline".
Mõnikord sisse sarnaseid näiteid kasutada Lagrange'i kordaja meetod, kuid tegelikku vajadust seda rakendada tõenäoliselt ei teki. Näiteks kui funktsioon on antud sama domeeniga "de", siis pärast selle asendamist - ilma raskusteta tuletisega; pealegi on kõik koostatud "ühes reas" (märkidega), ilma et oleks vaja eraldi arvestada ülemist ja alumist poolringi. Kuid muidugi on ka keerukamaid juhtumeid, kus ilma Lagrange funktsioonita (kus näiteks ringi sama võrrand) raske teha - kui raske ilma hakkama saada mõnusat puhkust!
Kõigil on hea sessioon läbida ja näeme varsti järgmisel hooajal!
Lahendused ja vastused:
Näide 2: Lahendus: kujutage ala joonisel:
Lk 1
Teoreetilised faktid:
Ruudu trinomial = ax2 + bx + c äärmuslik väärtus on
See väärtus osutub väikseimaks, kui a> 0, ja suurimaks, kui a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
# 1. Jagage antud positiivne arv A kaheks terminiks, nii et nende toode osutub suurimaks.
Lahendus. Tähistame ühe nõutava termini x -iga. Siis on teine liige võrdne A - x ja nende korrutis 
või. 
Seega viis küsimus sellise x -i väärtuse leidmiseni, mille korral see ruutkolmnurk saab suurima väärtuse. Teoreemi 4 kohaselt on selline väärtus kindlasti olemas (sest siin on juhtkoefitsient võrdne - 1, st negatiivne) ja on võrdne Sel juhul ja seetõttu peavad mõlemad terminid olema üksteisega võrdsed.
Näiteks arv 30 võimaldab järgmisi laiendusi:
Kõik saadud tööd on väiksemad kui
Nr 2. Seal on traat pikkusega L. Seda on vaja painutada nii, et saadakse ristkülik, piirates võimalikult suurt ala.
Lahendus. Tähistame (joonis 1) ristküliku ühte külge läbi x. Siis on ilmselgelt selle teine pool a 
või 
... See funktsioon saab suurima väärtuse at, mis on ristküliku ühe külje soovitud väärtus. Siis on selle teine külg, see tähendab, et meie ristkülik osutub ruuduks. Ülesande lahenduse saab kokku võtta järgmise teoreemi kujul.
Kõigist sama perimeetriga ristkülikutest on ruudu pindala suurim.
Kommenteeri.
Meie probleemi on lihtne lahendada ka probleemi 1 lahendamisel saadud tulemuse abil.
Tõepoolest, me näeme, et meid huvitava ristküliku pindala on Teisisõnu on kahe teguri x ja Aga nende tegurite summa korrutis 
, T. ehk arv, mis ei sõltu x valikust. See tähendab, et asi taandatakse arvu lagundamiseks kaheks terminiks, nii et nende toode on suurim. Nagu me teame, on see toode suurim, kui mõlemad tingimused on võrdsed, s.t.
Nr 3. Olemasolevatest laudadest saate ehitada 200 m pikkuse aia. Selle aiaga tuleb piirata ristkülikukujuline hoov suurim ala tehaseseina kasutamine õue ühel küljel.
trinoomteoreemi tuletisfunktsioon
Lahendus. Tähistame (joonis 2) õue ühte külge x -i kaudu. Siis on selle teine külg võrdne ja pindala
Teoreemi kohaselt saavutatakse selle funktsiooni suurim väärtus selle jaoks
Niisiis, õue külg, tehase seinaga risti, peaks olema 50 m, kust seinaga paralleelse külje puhul on väärtus 100 m, see tähendab, et õu peaks olema poole ruudu kuju.
Praktilisest küljest on kõige huvitavam tuletise kasutamine funktsiooni suurimate ja väikseimate väärtuste leidmiseks. Mis on selle põhjus? Kasumi maksimeerimine, kulude minimeerimine, seadmete optimaalse koormuse määramine ... Teisisõnu, paljudes eluvaldkondades tuleb lahendada mis tahes parameetrite optimeerimise probleem. Ja need on ülesanded leida funktsiooni suurim ja väikseim väärtus.
Tuleb märkida, et funktsiooni suurimat ja väikseimat väärtust otsitakse tavaliselt mõnest intervallist X, mis on kas funktsiooni kogu domeen või domeeni osa. X -intervall ise võib olla segment, avatud intervall 
, lõputu intervall.
Selles artiklis räägime selgesõnaliselt suurimate ja väikseimate väärtuste leidmisest etteantud funktsiooniüks muutuja y = f (x).
Lehe navigeerimine.
Funktsiooni kõrgeim ja madalaim väärtus - määratlused, illustratsioonid.
Peatume lühidalt peamiste definitsioonide juures.
Funktsiooni suurim väärtus 
seda ükskõik kelle jaoks 
ebavõrdsus on tõsi.
Väikseim funktsiooni väärtus y = f (x) vahemikus X nimetatakse selliseks väärtuseks 
seda ükskõik kelle jaoks ebavõrdsus on tõsi.
Need määratlused on intuitiivselt selged: funktsiooni suurim (väikseim) väärtus on suurim (väikseim) aktsepteeritud väärtus vaadeldaval ajavahemikul abstsissil.
Statsionaarsed punktid Kas argumendi väärtused, mille juures funktsiooni tuletis kaob.
Miks vajame suurimate ja väikseimate väärtuste leidmisel statsionaarseid punkte? Sellele küsimusele annab vastuse Fermati teoreem. Sellest teoreemist järeldub, et kui diferentseeritaval funktsioonil on mingil hetkel ekstreemum (kohalik miinimum või kohalik maksimum), siis on see punkt paigal. Seega võtab funktsioon selle intervalli ühes statsionaarses punktis sageli oma suurima (väikseima) väärtuse intervallil X.
Samuti võib funktsioon sageli võtta suurima ja väikseima väärtuse punktides, kus selle funktsiooni esimest tuletist ei eksisteeri, ja funktsioon ise on määratletud.
Vastame kohe ühele selle teema kõige levinumale küsimusele: "Kas alati on võimalik määrata funktsiooni suurim (väikseim) väärtus"? Ei mitte alati. Mõnikord langevad intervalli X piirid kokku funktsiooni määratluse valdkonna piiridega või on intervall X lõpmatu. Ja mõned funktsioonid lõpmatuses ja määratlusvaldkonna piiridel võivad võtta nii lõpmatult suuri kui ka lõpmatult väikeseid väärtusi. Nendel juhtudel ei saa funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse kohta midagi öelda.
Selguse huvides anname graafilise illustratsiooni. Vaadake pilte ja palju selgub.
Segmendi peal
Esimesel joonisel võtab funktsioon segmendi sees paiknevates punktides suurimad (max y) ja väikseimad (min y) väärtused [-6; 6].
Mõelge teisel joonisel näidatud juhtumile. Muutke segment väärtuseks. Selles näites saavutatakse funktsiooni väikseim väärtus statsionaarses punktis ja suurim - punktis, mille abstsiss vastab intervalli paremale piirile.
Joonisel 3 on lõigu [-3; 2] piiripunktid funktsiooni suurimatele ja väikseimatele väärtustele vastavate punktide abstsissid.
Avatud intervalliga
Neljandal joonisel võtab funktsioon suurimad (max y) ja väikseimad (min y) väärtused avatud intervallis (-6; 6) paiknevates statsionaarsetes punktides.
Intervallide kohta ei saa teha järeldusi suurima väärtuse kohta.
Lõpmatuses
Seitsmendal joonisel näidatud näites võtab funktsioon statsionaarses punktis abstsissiga x = 1 suurima väärtuse (max y) ja väikseim väärtus (min y) saavutatakse intervalli paremal piiril. Miinus lõpmatuse korral lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt y = 3.
Intervallil ei saavuta funktsioon väikseimat ega suurimat väärtust. Kuna x = 2 kaldub paremale, kalduvad funktsiooni väärtused lõpmatusse miinusesse (sirge x = 2 on vertikaalne asümptoot) ja kuna abstsiss kaldub pluss lõpmatusse, siis funktsiooni väärtused asümptomaatiliselt läheneda y = 3. Selle näite graafiline illustratsioon on näidatud joonisel 8.
Algoritm pideva funktsiooni suurimate ja väikseimate väärtuste leidmiseks segmendil.
Kirjutame algoritmi, mis võimaldab meil leida segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.
- Leidke funktsiooni domeen ja kontrollige, kas see sisaldab kogu segmenti.
- Leiame kõik punktid, kus esimest tuletist ei eksisteeri ja mis sisalduvad segmendis (tavaliselt leidub selliseid punkte funktsioonides, millel on moodulimärgi all argument, ja võimsusfunktsioonides, millel on murdosa ratsionaalne astendaja). Kui selliseid punkte pole, minge järgmise üksuse juurde.
- Määrake kõik statsionaarsed punktid, mis kuuluvad segmenti. Selleks võrdsustame selle nulliga, lahendame saadud võrrandi ja valime sobivad juured. Kui statsionaarseid punkte pole või ükski neist ei kuulu segmenti, minge järgmise üksuse juurde.
- Funktsiooni väärtused arvutame valitud statsionaarsetes punktides (kui neid on), punktides, kus esimest tuletist pole (kui on), samuti x = a ja x = b jaoks.
- Funktsiooni saadud väärtuste hulgast valime suurima ja väikseima - need on vastavalt funktsiooni soovitud suurimad ja väikseimad väärtused.
Analüüsime algoritmi, kui lahendame näite segmendi funktsiooni suurimate ja väikseimate väärtuste leidmiseks.
Näide.
Leidke funktsiooni suurim ja väikseim väärtus
- segmendi peal;
- segmendil [-4; -1].
Lahendus.
Funktsiooni domeen on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud null, see tähendab. Mõlemad segmendid kuuluvad määratluspiirkonda.
Leidke funktsiooni tuletis seoses: 
Ilmselgelt on funktsiooni tuletis olemas segmentide kõikides punktides ja [-4; -1].
Statsionaarsed punktid määratakse võrrandist. Ainus kehtiv juur on x = 2. See statsionaarne punkt kuulub esimesse segmenti.
Esimesel juhul arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes ja statsionaarses punktis, st x = 1, x = 2 ja x = 4: 
Seetõttu on funktsiooni suurim väärtus 
on saavutatud x = 1 ja väikseim väärtus 
- x = 2.
Teisel juhul arvutame funktsiooni väärtused ainult lõigu [-4; -1] otstes (kuna see ei sisalda ühtegi statsionaarset punkti): 
Mõnikord puutuvad probleemid B15 kokku „halbade” funktsioonidega, mille jaoks on raske tuletist leida. Varem oli see ainult sondidel, kuid nüüd on need ülesanded nii tavalised, et neid ei saa enam päris eksamiks valmistudes ignoreerida.
Sel juhul toimivad muud nipid, millest üks on - ühetooniline.
Funktsiooni f (x) nimetatakse segmendil monotoonselt suurenevaks, kui selle segmendi mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Funktsiooni f (x) nimetatakse segmendil monotooniliselt vähenevaks, kui selle segmendi punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).
Teisisõnu, suureneva funktsiooni puhul, mida suurem on x, seda suurem on f (x). Väheneva funktsiooni puhul on vastupidi: mida suurem x, vähem f (x).
Näiteks logaritm suureneb monotoonselt, kui alus a> 1, ja väheneb monotoonselt, kui 0< a < 1. Не забывайте про область vastuvõetavad väärtused logaritm: x> 0.
f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)
Aritmeetiline ruutjuur (ja mitte ainult ruutjuur) suureneb monotoonselt kogu määratluspiirkonna ulatuses:
Eksponentfunktsioon käitub sarnaselt logaritmile: see kasvab a> 1 ja väheneb 0 korral< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentsiaalne funktsioon on määratud kõigi numbrite jaoks, mitte ainult x> 0:
f (x) = a x (a> 0)
Lõpuks negatiivsed eksponendid. Saate need murdosa kirjutada. Kas katkestuspunkt, kus monotoonsus on katki.
Kõiki neid funktsioone ei leidu kunagi puhtal kujul. Nad lisavad polünoome, murde ja muud jama, mille tõttu muutub tuletisinstrumenti raskeks lugeda. Mis juhtub sel juhul - nüüd analüüsime.
Parabooli tipu koordinaadid
Kõige sagedamini asendatakse funktsiooni argument väärtusega ruudukujuline kolmnurkne kujul y = ax 2 + bx + c. Selle graafik on tavaline parabool, millest oleme huvitatud:
- Parabooli oksad - võivad tõusta (a> 0) või alla (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Parabooli tipp on ruutfunktsiooni äärmuspunkt, kus see funktsioon võtab väikseima (a> 0 korral) või suurima (a< 0) значение.
Suurim huvi on just parabooli tipp, mille abstsiss arvutatakse järgmise valemi abil:
Niisiis, oleme leidnud ruutfunktsiooni äärmuspunkti. Aga kui algne funktsioon on monotoonne, on selle jaoks punkt x 0 ka äärmuspunkt. Seega sõnastame põhireegli:
Äärmuslikud punktid ruudukujuline kolmnurkne ja keeruline funktsioon, millesse see siseneb, langeb kokku. Seetõttu võite otsida ruudu kolmnurga jaoks x 0 ja funktsioonile skoori anda.
Ülaltoodud arutluskäigust jääb ebaselgeks, millise punkti me saame: maksimum või miinimum. Ülesanded on aga spetsiaalselt välja töötatud nii, et see pole oluline. Otsustage ise:
- Probleemi kirjelduses pole ühtegi segmenti. Seetõttu ei ole vaja arvutada f (a) ja f (b). Jääb arvestada ainult äärmuslike punktidega;
- Kuid on ainult üks selline punkt - see on parabooli x 0 tipp, mille koordinaadid arvutatakse sõna otseses mõttes suuliselt ja ilma tuletiseta.
Seega on probleemi lahendamine oluliselt lihtsustatud ja koosneb ainult kahest sammust:
- Kirjutage parabooli y = ax 2 + bx + c võrrand ja leidke selle tipp valemiga: x 0 = −b / 2a;
- Siit leiate algse funktsiooni väärtuse: f (x 0). Kui lisatingimusi pole, on see vastus.
Esmapilgul võib see algoritm ja selle põhjendus tunduda hirmutav. Ma ei postita meelega "paljast" lahendusskeemi, kuna selliste reeglite läbimõtlematu rakendamine on täis vigu.
Kaaluge tegelikke ülesandeid proovieksam matemaatikas - siin esineb seda tehnikat kõige sagedamini. Samal ajal hoolitseme selle eest, et sel viisil muutuksid paljud B15 ülesanded peaaegu verbaalseks.
Juure all on ruutfunktsioon y = x 2 + 6x + 13. Selle funktsiooni graafik on ülespoole hargnenud parabool, kuna koefitsient a = 1> 0.
Parabooli tipp:
x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3
Kuna parabooli harud on suunatud ülespoole, võtab punktis x 0 = −3 väikseima väärtuse funktsioon y = x 2 + 6x + 13.
Juur suureneb monotoonselt, seega on x 0 kogu funktsiooni minimaalne punkt. Meil on:
Ülesanne. Leidke funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logaritmi all on jälle ruutfunktsioon: y = x 2 + 2x + 9. Graafik on parabool harudega üles, sest a = 1> 0.
Parabooli tipp:
x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1
Niisiis, punktis x 0 = −1 võtab ruutfunktsioon väikseima väärtuse. Kuid funktsioon y = log 2 x on monotoonne, seega:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Astendaja sisaldab ruutfunktsiooni y = 1 - 4x - x 2. Kirjutame selle ümber tavalisel kujul: y = −x 2 - 4x + 1.
Ilmselgelt on selle funktsiooni graafik parabool, hargnedes allapoole (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b / (2a) =- (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2
Algne funktsioon on eksponentsiaalne, see on monotoonne, seega on suurim väärtus leitud punktis x 0 = −2:
Tähelepanelik lugeja märkab ilmselt, et me ei kirjutanud juure ja logaritmi lubatud väärtuste vahemikku välja. Kuid seda ei nõutud: sees on funktsioone, mille väärtused on alati positiivsed.
Tagajärjed funktsiooni domeenist
Mõnikord ei piisa parabooli tipu leidmisest ülesande B15 lahendamiseks. Soovitud väärtus võib valetada segmendi lõpus, kuid mitte äärmuslikus kohas. Kui ülesandes pole ühtegi segmenti üldse määratud, vaatame kehtivate väärtuste vahemik algne funktsioon. Nimelt:
Märkus veelkord: null võib olla juure all, kuid mitte kunagi murdosa logaritmis või nimetajas. Vaatame, kuidas see konkreetsete näidetega toimib:
Ülesanne. Leidke funktsiooni suurim väärtus:
Juure all on jälle ruutfunktsioon: y = 3 - 2x - x 2. Selle graafik on parabool, kuid hargneb allapoole, kuna a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Ruutjuur negatiivset arvu pole olemas.
Kirjutame välja lubatud väärtuste vahemiku (ODZ):
3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; üks]
Nüüd leiame parabooli tipu:
x 0 = −b / (2a) =- (- 2) / (2 (−1)) = 2 / (- 2) = −1
Punkt x 0 = −1 kuulub ODZ segmenti - ja see on hea. Nüüd arvutame funktsiooni väärtuse punktis x 0, samuti ODZ otstes:
y (−3) = y (1) = 0
Niisiis, saime numbrid 2 ja 0. Meil palutakse leida suurim - see on number 2.
Ülesanne. Leidke funktsiooni väikseim väärtus:
y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)
Logaritmi sees on ruutfunktsioon y = 6x - x 2 - 5. See on parabool, mille oksad on allapoole, kuid logaritm ei saa sisaldada negatiivsed numbrid, nii et kirjutame välja ODZ:
6x - x 2-5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Pange tähele: ebavõrdsus on range, nii et otsad ei kuulu ODZ -le. Nii erineb logaritm juurest, kus segmendi otsad on meile üsna sobivad.
Otsime parabooli tippu:
x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (−1)) = −6 / (- 2) = 3
Parabooli tipp sobib ODV jaoks: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Kuid kuna segmendi otsad ei paku meile huvi, arvestame funktsiooni väärtust ainult punktis x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) = log 0,5 (18 - 9 - 5) = log 0,5 4 = −2