joonis, piiratud ajakava pidevat mittenegatiivset lõigul $$ funktsiooni $ f (x) $ ja sirgetel $ y = 0, \ x = a $ ja $ x = b $, nimetatakse kõverjooneliseks trapetsiks.
Vastava kõvera trapetsi pindala arvutatakse järgmise valemiga:
$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)
Tavapäraselt jagame kõverjoonelise trapetsi pindala leidmise probleemid 4 dollari suurusteks tüüpideks. Vaatleme iga tüüpi üksikasjalikumalt.
I tüüp: kõver trapets on selgelt määratletud. Seejärel rakendame kohe valemi (*).
Näiteks leidke kõvera trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ graafikuga ja sirgjoontega $ y = 0, \ x = 1 $ ja $ x = 3 $.
Joonistame selle kõvera trapetsi.
Rakendades valemit (*), leiame selle kõvera trapetsi pindala.
$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ vasak (4- (x-2) ^ (2) \ parem) dx) = \ int \ piirid_ (1) ^ (3) (4dx) - \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3) - \ vasakule. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ parem | _ (1) ^ (3) = $
$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ vasak ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ parem) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ vasak ((1) ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ parem) = 8 - \ murd (1) (3) (1 + 1) = $
$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (ühik $ ^ (2) $).
II tüüp: kõver trapets on kaudselt määratletud. Sel juhul sirgeid $ x = a, \ x = b $ tavaliselt ei täpsustata või täpsustatakse osaliselt. Sel juhul tuleb leida funktsioonide $ y = f (x) $ ja $ y = 0 $ lõikepunktid. Need punktid on punktid $ a $ ja $ b $.
Näiteks leidke joonise pindala, mis on piiratud funktsioonide $ y = 1-x ^ (2) $ ja $ y = 0 $ graafikutega.
Leiame ristumispunktid. Selleks võrdsustame funktsioonide parempoolsed küljed.
Seega $ a = -1 $ ja $ b = 1 $. Joonistame selle kõvera trapetsi.
Leiame selle kõvera trapetsi pindala.
$ S = \ int \ piirid _ (- 1) ^ (1) (\ vasak (1-x ^ (2) \ parem) dx) = \ int \ piirid _ (- 1) ^ (1) (1 dx) - \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1) - \ vasakule. \ frac (x ^ (3)) (3) \ paremale | _ (-1) ^ (1) = $
$ = (1 - (- 1)) - \ murd (1) (3) \ vasak (1 ^ (3) - (- 1) ^ (3) \ parem) = 2 - \ murd (1) (3) \ vasak (1 + 1 \ parem) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (ühik $ ^ (2) $).
III tüüp: kujundi pindala, mis on piiratud kahe pideva mittenegatiivse funktsiooni ristumiskohaga. See joonis ei ole kõverjooneline trapets, mis tähendab, et selle pindala ei saa arvutada valemi (*) abil. Kuidas olla? Selgub, et selle joonise pindala võib leida alade erinevusena kumerad trapetsid mida piiravad ülemine funktsioon ja $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $) ning alumine funktsioon ja $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), kus rollis $ x = a, \ x = b $ koordinaadid $ x $ võrra nende funktsioonide lõikepunktide akti, s.o.
$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)
Selliste alade arvutamisel on kõige olulisem mitte ületada ülemise ja alumise funktsiooni valikuga.
Näiteks leidke joonise pindala, mis on piiratud funktsioonidega $ y = x ^ (2) $ ja $ y = x + 6 $.
Leiame nende graafikute lõikepunktid:
Vieta teoreemi järgi
$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $
See tähendab, $ a = -2, \ b = 3 $. Joonistame joonise:
Nii et ülemine funktsioon on $ y = x + 6 $ ja alumine on $ y = x ^ (2) $. Järgmisena leidke valemiga (*) $ S_ (uf) $ ja $ S_ (lf) $.
$ S_ (uf) = \ int \ piirid _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ piirid _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ piirid _ (- 2) ^ (3) (6dx) = \ vasak. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ parem | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) = 32 , 5 $ (ühikut $ ^ (2) $).
$ S_ (lf) = \ int \ piirid _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ vasak. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ parem | _ (- 2) ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (ühik $ ^ (2) $).
Asendage (**) leitu ja saate:
$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (ühik $ ^ (2) $).
IV tüüp: joonise ala, mis on piiratud funktsiooni(te)ga, mis ei vasta mittenegatiivsuse tingimusele. Sellise kujundi pindala leidmiseks peate sümmeetriliselt telje $ Ox $ ( teisisõnu, pange funktsioonide ette "miinused") kuvage ala ja leidke I-III tüüpides kirjeldatud meetodite abil kuvatava ala pindala. See piirkond on vajalik ala. Varem pidite võib-olla leidma funktsioonigraafikute lõikepunktid.
Näiteks leidke joonise ala, mis on piiratud funktsioonide $ y = x ^ (2) -1 $ ja $ y = 0 $ graafikutega.
Leiame funktsioonide graafikute lõikepunktid:
need. $ a = -1 $ ja $ b = 1 $. Joonistame ala.
Kuvage ala sümmeetriliselt:
$ y = 0 \ \ paremnool \ y = -0 = 0 $
$ y = x ^ (2) -1 \ \ Paremnool \ y = - (x ^ (2) -1) = 1-x ^ (2) $.
Saad kõverjoonelise trapetsi, mis on piiratud funktsiooni $ y = 1-x ^ (2) $ ja $ y = 0 $ graafikuga. See on teist tüüpi kõverjoonelise trapetsi leidmise probleem. Oleme selle juba lahendanud. Vastus oli: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (ühik $ ^ (2) $). Seega on nõutava kõverjoonelise trapetsi pindala võrdne:
$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (ühik $ ^ (2) $).
Olgu funktsioon intervallil mittenegatiivne ja pidev. Seejärel vastavalt kindla integraali geomeetrilisele tähendusele kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud ülalt selle funktsiooni graafikuga, altpoolt teljega, vasakule ja paremale sirgjoontega ja (vt joonis 2). ) arvutatakse valemiga
Näide 9. Leidke joonega piiratud kujundi pindala 
ja telg.
Lahendus... Funktsioonide graafik 
on parabool, mille oksad on suunatud allapoole. Ehitame selle (joon. 3). Integreerimise piiride määramiseks leiame sirge (parabooli) lõikepunktid teljega (sirge). Selleks lahendame võrrandisüsteemi
Saame: 
, kus , ; seega, , .
Riis. 3
Leiame joonise pindala valemiga (5):
Kui funktsioon on lõigul mittepositiivne ja pidev, siis kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on altpoolt piiratud selle funktsiooni graafikuga, ülalt teljega, vasakule ja paremale sirgjoontega ja arvutatakse valem
. (6)
Kui funktsioon on lõigul pidev ja muudab märki lõplikul arvul punktidel, siis on varjutatud joonise pindala (joonis 4) võrdne vastavate kindlate integraalide algebralise summaga:
Riis. 4
Näide 10. Arvutage joonise pindala, mis on piiratud funktsiooni telje ja graafikuga.
Riis. 5
Lahendus... Teeme joonise (joon. 5). Nõutav pindala on pindalade summa ja. Leiame kõik need valdkonnad. Esiteks määrame süsteemi lahendamise kaudu integratsiooni piirid 
Saame,. Seega:
;
.
Seega on varjutatud joonise pindala
(ruutühikut).
Riis. 6
Lõpuks piirata kõverjoonelist trapetsi ülalt ja alt intervalli pidevate funktsioonide graafikutega ja
ja vasakul ja paremal - sirgjooned ja (joon. 6). Seejärel arvutatakse selle pindala valemiga
. (8)
Näide 11. Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega ja.
Lahendus. See joonis on näidatud joonisel fig. 7. Arvutame selle pindala valemiga (8). Lahendades võrrandisüsteemi leiame,; seega, , . Segmendis on meil:. Seega valemis (8) võtame x, ja nagu -. Saame:
(ruutühikut).
Keerulisemad pindalade arvutamise ülesanded lahendatakse, jagades joonise mittelõikuvateks osadeks ja arvutades kogu joonise pindala nende osade pindalade summana.
Riis. 7
Näide 12. Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega,,.
Lahendus... Teeme joonise (joon. 8). Seda joonist võib pidada kõveraks trapetsiks, mis on altpoolt piiratud teljega, vasakult ja paremalt - sirgjoontega ning ülalt - funktsioonide ja graafikutega. Kuna joonis on ülalt piiratud kahe funktsiooni graafikutega, siis selle pindala arvutamiseks jagame selle joonise sirgjoonega kaheks osaks (1 on sirgete ja lõikepunkti abstsiss). Iga nende osade pindala leitakse valemiga (4):
(ruutühikud); 
(ruutühikut). Seega:
(ruutühikut).
Riis. kaheksa
|
Riis. 9
Kokkuvõtteks märgime, et kui kõverjoonelist trapetsi piiravad sirged ja kõveral telg ja pidev (joonis 9), siis leitakse selle pindala valemiga
Revolutsiooni keha maht
Laske kõverjoonelisel trapetsil, mis on piiratud lõigu pideva funktsiooni graafikuga, telje, sirgjoonte ja, pöörlema ümber telje (joonis 10). Seejärel arvutatakse valemi abil saadud pöördekeha maht
. (9)
Näide 13. Arvutage keha ruumala, mis saadakse hüperbooli, sirgjoonte ja teljega piiratud kõvera trapetsi telje ümber pööramisel.
Lahendus... Teeme joonise (joon. 11).
Probleemi püstitusest järeldub,. Valemiga (9) saame
.
Riis. 10
Riis. üksteist
Ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumala OU sirgjoontega piiratud kõver trapets y = c ja y = d, telg OU ja segmendi pideva funktsiooni graafik (joonis 12) määratakse valemiga
. (10)
|
Riis. 12
Näide 14... Arvutage ümber telje pöörlemisel saadud keha ruumala OU kõverjooneline trapets, mis on piiratud joontega X 2 = 4juures, y = 4, x = 0 (joonis 13).
Lahendus... Vastavalt ülesande olukorrale leiame integratsiooni piirid:,. Valemiga (10) saame:
Riis. kolmteist
Lameda kõvera kaare pikkus
Olgu võrrandiga antud kõver, kus, asub tasapinnal (joonis 14).
Riis. 14
Definitsioon. Kaare pikkuse all mõistetakse piiri, milleni sellesse kaaresse kantud katkendjoone pikkus kaldub, kui katkendjoone lülide arv kipub lõpmatuseni ja suurima lüli pikkus nulli.
Kui funktsioon ja selle tuletis on lõigul pidevad, siis arvutatakse kõvera kaare pikkus valemiga
. (11)
Näide 15... Arvutage punktide vahele jääva kõvera kaare pikkus, mille jaoks 
.
Lahendus... Probleemi olukorrast, mis meil on 
... Valemiga (11) saame:
.
4. Valed integraalid
lõpmatute integratsioonipiirangutega
Kindla integraali kontseptsiooni juurutamisel eeldati, et täidetud on kaks järgmist tingimust:
a) integratsiooni piirid a ja on lõplikud;
b) integrand on lõiguga piiratud.
Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, kutsutakse integraal sobimatu.
Vaatleme esmalt ebaõigeid integraale, millel on lõpmatu integratsioonipiir.
Definitsioon. Olgu siis funktsioon defineeritud ja pidev sellel intervallil ja paremal piiramatu (joon. 15).
Kui vale integraal koondub, on see ala lõplik; kui vale integraal lahkneb, on see ala lõpmatu.
Riis. 15
Lõpmatu integratsiooni alampiiriga ebaõige integraal defineeritakse sarnaselt:
. (13)
See integraal läheneb, kui võrdsuse (13) parempoolne piir on olemas ja on lõplik; vastasel juhul nimetatakse integraali divergentseks.
Kahe lõpmatu integratsioonipiiranguga vale integraal defineeritakse järgmiselt:
, (14)
kus c on intervalli mis tahes punkt. Integraal koondub ainult siis, kui mõlemad võrdsuse (14) paremal poolel olevad integraalid koonduvad.
;G) 
= [vali nimetajas täisruut:] = 
[asendus:
] = 
Seega vale integraal läheneb ja selle väärtus on võrdne.
Probleem 1(kõvera trapetsi pindala arvutamisel).
Deskarti keeles ristkülikukujuline süsteem koordinaadid xOy antud joonisel (vt joonist), mis on piiratud x-teljega, sirged x = a, x = b (kõverjooneline trapets. See on vajalik kõvera trapetsi pindala arvutamiseks.
Lahendus. Geomeetria annab meile retseptid hulknurkade pindalade ja ringi teatud osade (sektori, lõigu) arvutamiseks. Geomeetrilisi kaalutlusi kasutades suudame leida vajaliku ala ligikaudse väärtuse, väites järgmiselt.
Jagame lõigu [a; b] (kõvera trapetsi alus) n võrdseks osaks; see partitsioon on realiseeritav kasutades punkte x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Joonistagem läbi nende punktide sirgjooned paralleelselt y-teljega. Seejärel jagatakse antud kõverjooneline trapets n osaks, n kitsaks veerguks. Kogu trapetsi pindala on võrdne veergude pindalade summaga.
Vaatleme k-ndat veergu eraldi, s.t. kõverjooneline trapets, mille alus on segment. Asendame selle ristkülikuga, mille alus ja kõrgus on võrdne f (x k)-ga (vt joonist). Ristküliku pindala on \ (f (x_k) \ cdot \ Delta x_k \), kus \ (\ Delta x_k \) on segmendi pikkus; koostatud korrutist on loomulik käsitleda k-nda veeru pindala ligikaudse väärtusena. 
Kui teeme nüüd sama kõigi teiste veergudega, saame järgmise tulemuse: antud kõverjoonelise trapetsi pindala S on ligikaudu võrdne n ristkülikust koosneva astmelise kujundi pindalaga S n (vt joonist):
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ punktid + f (x_k) \ Delta x_k + \ punktid + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Siin eeldame tähistuse ühtsuse huvides, et a = x 0, b = x n; \ (\ Delta x_0 \) - segmendi pikkus, \ (\ Delta x_1 \) - segmendi pikkus jne. samal ajal, nagu me eespool kokku leppisime, \ (\ Delta x_0 = \ dots = \ Delta x_ (n-1) \)
Niisiis, \ (S \ ligikaudu S_n \) ja see ligikaudne võrdus on seda täpsem, seda suurem n.
Definitsiooni järgi eeldatakse, et kõverjoonelise trapetsi nõutav pindala on võrdne jada piiriga (S n):
$$ S = \ lim_ (n \ kuni \ infty) S_n $$
2. ülesanne(liikumispunkti kohta)
Liikumine sirgjooneliselt materiaalne punkt... Kiiruse sõltuvust ajast väljendatakse valemiga v = v (t). Leia punkti nihe teatud aja jooksul [a; b].
Lahendus. Kui liikumine oleks ühtlane, siis lahendataks ülesanne väga lihtsalt: s = vt, s.t. s = v (b-a). Ebaühtlase liikumise jaoks tuleb kasutada samu ideid, millele eelmise ülesande lahendus põhines.
1) Jagage ajavahemik [a; b] n võrdseks osaks.
2) Vaatleme ajavahemikku ja eeldame, et selle ajavahemiku jooksul oli kiirus konstantne, näiteks ajahetkel t k. Seega arvame, et v = v (t k).
3) Leidke punkti nihke ligikaudne väärtus teatud aja jooksul, seda ligikaudset väärtust tähistatakse s k-ga
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Leidke nihke s ligikaudne väärtus:
\ (s \ ligikaudu S_n \) kus
\ (S_n = s_0 + \ punktid + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ dots + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Soovitud nihe on võrdne jada piiriga (S n):
$$ s = \ lim_ (n \ kuni \ infty) S_n $$
Teeme kokkuvõtte. Erinevate probleemide lahendused on taandatud samale matemaatilisele mudelile. Paljud probleemid erinevatest teaduse ja tehnoloogia valdkondadest viivad lahenduse käigus sama mudelini. See tähendab, et seda matemaatilist mudelit tuleb spetsiaalselt uurida.
Lõplik integraalkontseptsioon
Anname matemaatilise kirjelduse mudelist, mis konstrueeriti kolmes vaadeldavas ülesandes funktsiooni y = f (x) jaoks, pidev (kuid mitte tingimata mittenegatiivne, nagu vaadeldavates ülesannetes eeldati) intervallil [a; b]:
1) jagame lõigu [a; b] n võrdseks osaks;
2) moodustage summa $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ dots + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) arvutage $$ \ lim_ (n \ kuni \ infty) S_n $$
Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et see piir on pideva (või tükiliselt pideva) funktsiooni korral olemas. Teda kutsutakse funktsiooni y = f (x) kindel integraal piki lõiku [a; b] ja tähistatakse järgmiselt:
\ (\ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
Arve a ja b nimetatakse integratsiooni piirideks (vastavalt alumine ja ülemine).
Tuleme tagasi ülalpool käsitletud ülesannete juurde. Ülesandes 1 antud ala määratluse saab nüüd ümber kirjutada järgmiselt:
\ (S = \ int \ piirid_a ^ b f (x) dx \)
siin S on ülaltoodud joonisel näidatud kõvera trapetsi pindala. See on kindla integraali geomeetriline tähendus.
Ülesandes 2 antud punkti nihke s, mis liigub sirgjooneliselt kiirusega v = v (t) ajavahemikus t = a kuni t = b, saab ülesandes 2 ümber kirjutada järgmiselt:
Newtoni valem – Leibniz
Alustuseks vastame küsimusele: milline on seos kindla integraali ja antiderivaadi vahel?
Vastuse leiab ülesandest 2. Ühest küljest kiirusega v = v (t) sirgjooneliselt liikuva punkti nihe s ajavahemikul t = a kuni t = b ja arvutatakse valem
\ (S = \ int \ piirid_a ^ b v (t) dt \)
Teisalt on liikumispunkti koordinaat kiiruse antituletiseks - tähistame seda s (t)-ga; seega nihet s väljendatakse valemiga s = s (b) - s (a). Selle tulemusena saame:
\ (S = \ int \ piirid_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
kus s (t) on v (t) antiderivaat.
Matemaatilise analüüsi käigus tõestati järgmine teoreem.
Teoreem. Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigul [a; b], siis kehtib järgmine valem
\ (S = \ int \ piirid_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
kus F (x) on f (x) antiderivaat.
Ülaltoodud valemit nimetatakse tavaliselt Newtoni-Leibnizi valemi järgi inglise füüsiku Isaac Newtoni (1643-1727) ja saksa filosoofi Gottfried Leibnizi (1646-1716) auks, kes said selle üksteisest sõltumatult ja peaaegu samaaegselt.
Praktikas kasutage F (b) - F (a) kirjutamise asemel tähistust \ (\ vasak. F (x) \ parem | _a ^ b \) (mõnikord nn. kahekordne asendamine) ja vastavalt sellele kirjutage Newtoni – Leibnizi valem ümber järgmisel kujul:
\ (S = \ int \ limits_a ^ b f (x) dx = \ vasak. F (x) \ parem | _a ^ b \)
Kindla integraali arvutamisel leidke esmalt antiderivaat ja seejärel tehke topeltasendus.
Newtoni – Leibnizi valemi põhjal saab kindla integraali kaks omadust.
Vara 1. Funktsioonide summa integraal on võrdne summaga integraalid:
\ (\ int \ piirid_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \ piirid_a ^ b f (x) dx + \ int \ piirid_a ^ b g (x) dx \)
Vara 2. Konstantse teguri saab integraalmärgist välja võtta:
\ (\ int \ limits_a ^ b kf (x) dx = k \ int \ limits_a ^ b f (x) dx \)
Tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamine kindla integraali abil
Integraali abil saate arvutada mitte ainult kõverjooneliste trapetside pindalasid, vaid ka tasapinnalisi kujundeid. keeruline liik, nagu joonisel näidatud. Joonist P piiravad sirged x = a, x = b ja pidevate funktsioonide y = f (x), y = g (x) graafikud ning lõigul [a; b] ebavõrdsus \ (g (x) \ leq f (x) \) kehtib. Sellise joonise pindala S arvutamiseks toimime järgmiselt:
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \ piirid_a ^ b f (x) dx - \ int \ piirid_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \ limits_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Niisiis, joonise pindala S, mis on piiratud sirgjoonte x = a, x = b ja funktsioonide y = f (x), y = g (x) graafikutega, on lõigul pidev ja selline, et iga x korral segmendist [a; b] kehtib valemiga arvutatud võrratus \ (g (x) \ leq f (x) \)
\ (S = \ int \ piirid_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)
Mõnede funktsioonide määramata integraalide (antiderivaatide) tabel
$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ tekst (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ tekst (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ tekst (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ tekst (arctg) x + C $$ $$ \ int \ tekst (ch) x dx = \ tekst (sh) x + C $$ $$ \ int \ tekst (sh) x dx = \ tekst (ch) ) x + C $$ 
Tagasi edasi
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitlusvalikuid. Kui olete huvitatud see töö palun laadige alla täisversioon.
Märksõnad: integraal, kõverjooneline trapets, liiliatega piiratud kujundite ala
Varustus: markeri tahvel, arvuti, multimeediaprojektor
Tunni tüüp: tund-loeng
Tunni eesmärgid:
- hariv: kujundada vaimse töö kultuur, luua igale õpilasele edusituatsioon, kujundada positiivne õppimismotivatsioon; arendada oskust rääkida ja teisi kuulata.
- arendamine:õpilase mõtlemise iseseisvuse kujundamine teadmiste rakendamisel erinevates olukordades, analüüsi- ja järelduste tegemise oskus, loogika arendamine, õigesti küsimuste esitamise ja neile vastuste leidmise oskuse arendamine. Arvutus-, arvutusoskuste kujunemise parandamine, õpilaste mõtlemise arendamine pakutud ülesannete täitmise käigus, algoritmikultuuri arendamine.
- hariv: kujundada kõverjoonelise trapetsi, integraali mõiste, omandada tasapinnaliste kujundite pindala arvutamise oskus
Õppemeetod: selgitav ja näitlik.
Tundide ajal
Eelmistes tundides õppisime arvutama kujundite pindalasid, mille piirideks on hulknurksed jooned. Matemaatikas on meetodeid, mis võimaldavad arvutada kujundite pindalasid, mis on kõveratega piiratud. Selliseid kujundeid nimetatakse kõverjoonelisteks trapetsideks ja nende pindala arvutatakse antiderivaatide abil.
kumer trapets ( slaid 1)
Kõverjooneline trapets on kujund, mis on piiratud funktsiooni graafikuga, ( schm.), sirge x = a ja x = b ja abstsiss
Erinevat tüüpi kõverad trapetsid ( slaid 2)
Kaaluge erinevat tüüpi kõverjoonelised trapetsid ja pange tähele: üks sirgetest mandub punktiks, piirava funktsiooni rolli täidab sirge
Kaarjas trapetsikujuline ala (3. slaid)
Kinnitage pilu vasak ots a, ja õige X muudame ehk nihutame kõvera trapetsi paremat seina ja saame muutuva kuju. Muutuva kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni graafikuga, on antiderivaat F funktsiooni jaoks f
Ja segmendil [ a; b] funktsiooni poolt moodustatud kõvera trapetsi pindala f, on võrdne selle funktsiooni antiderivaadi juurdekasvuga:
1. harjutus:
Leia kõvera trapetsi pindala, mis on piiratud funktsiooni graafikuga: f (x) = x 2 ja sirge y = 0, x = 1, x = 2.
Lahendus: ( algoritmi slaidi järgi 3)
Joonistame funktsiooni ja joonte graafiku
Leiame ühe neist antiderivaadid f (x) = x 2 :
Enesetestimine slaidiga
Integraalne
Vaatleme funktsiooniga antud kõverat trapetsi f segmendil [ a; b]. Jagame selle segmendi mitmeks osaks. Kogu trapetsi pindala jagatakse väiksemate kõverate trapetsi pindalade summaks. ( slaid 5)... Iga sellist trapetsi võib laias laastus pidada ristkülikuks. Nende ristkülikute pindalade summa annab ligikaudse ettekujutuse kogu kõvera trapetsi pindalast. Mida väiksemaks jagame lõigu [ a; b], seda täpsemalt me pindala arvutame.
Kirjutame selle mõttekäigu valemite kujul.
Jagage segment [ a; b] punktide kaupa n osaks x 0 = a, x1, ..., xn = b. Pikkus k- th tähistama xk = xk - xk-1... Teeme summa kokku
Geomeetriliselt on see summa joonisel varjutatud joonise pindala ( m.)
Vormi summasid nimetatakse funktsiooni integraalsummadeks f. (schm.)
Integraalsummad annavad pindala ligikaudse väärtuse. Täpne väärtus saadakse piirini läbipääsu kasutades. Kujutage ette, et täpsustame segmendi [ a; b] nii, et kõigi väikeste segmentide pikkused kipuvad olema nullid. Seejärel läheneb koostatud kujundi pindala kõvera trapetsi pindalale. Võib öelda, et kõverjoonelise trapetsi pindala on võrdne integraalsummade piiriga, Sk.t. (schm.) või integraal, st
Definitsioon:
Funktsiooni integraal f (x) alates a enne b nimetatakse integraalsummade piiriks
= (schm.)
Newtoni-Leibnizi valem.
Pidage meeles, et integraalsummade piirmäär on võrdne kõverjoonelise trapetsi pindalaga, mis tähendab, et saate kirjutada:
Sk.t. = (schm.)
Teisest küljest arvutatakse kõvera trapetsi pindala valemiga
S K. t. (schm.)
Neid valemeid võrreldes saame:
= (schm.)Seda võrdsust nimetatakse Newtoni-Leibnizi valemiks.
Arvutuste mugavuse huvides on valem kirjutatud järgmisel kujul:
= = (schm.)Ülesanded: (schm.)
1. Arvutage integraal Newtoni-Leibnizi valemiga: ( kontrolli slaidi 5)
2. Koostage integraalid vastavalt joonisele ( kontrolli slaidi 6)
3. Leidke joonise pindala, mis on piiratud joontega: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slaid 7)
Tasapinnaliste kujundite alade leidmine ( slaid 8)
Kuidas leida kujundite pindala, mis pole kõverad trapetsid?
Olgu antud kaks funktsiooni, mille graafikuid näete slaidil ... (schm.) On vaja leida täidetud figuuri pindala ... (schm.)... Kõnealune kujund on kõver trapets? Ja kuidas leida selle pindala, kasutades pindala liitlikkuse omadust? Mõelge kahele kõverjoonelisele trapetsile ja lahutage teise pindala neist ühe pindalast ( schm.)
Koostame algoritmi ala leidmiseks slaidil animatsiooni järgi:
- Joonistage funktsioonigraafikud
- Projekteerige graafikute lõikepunktid abstsissteljele
- Varjutage graafikute ristumiskohas saadud joonis
- Leia kõverad trapetsid, mille lõikepunkt või liit on etteantud kujund.
- Arvutage nende kõigi pindala
- Leidke pindalade erinevus või summa
Suuline ülesanne: Kuidas saada varjutatud figuuri pindala (rääkige animatsiooni abil, slaid 8 ja 9)
Kodutöö: Töötage välja konspekt, nr 353 (a), nr 364 (a).
Bibliograafia
- Algebra ja analüüsi algus: õpik õhtu(vahetus)kooli 9.-11.klassile / toim. G. D. Glasuur. - M: Haridus, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: õpik keskkooli 10-11 klassile / Bashmakov M.I. - M: Haridus, 1991.
- Bashmakov M.I. Matemaatika: õpperaamat asutustele varakult. ja kolmapäeval. prof. haridus / M.I. Bašmakov. - M: Akadeemia, 2010.
- Kolmogorov A.N. Algebra ja analüüsi algus: õpik 10-11 klassile. õppeasutused / A.N. Kolmogorov. - M: Haridus, 2010.
- S. L. Ostrovski Kuidas teha tunni jaoks ettekannet? / S.L. Ostrovski. - M .: 1. september 2010.
Eelmises osas, mis oli pühendatud kindla integraali geomeetrilise tähenduse analüüsile, saime hulga valemeid kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamiseks:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pideva ja mittenegatiivse funktsiooni y = f (x) jaoks lõigul [a; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pideva ja mittepositiivse funktsiooni y = f (x) jaoks lõigul [a; b].
Need valemid kehtivad otsuse tegemisel lihtsad ülesanded... Tegelikult peame sageli töötama keerukamate kujunditega. Sellega seoses pühendame selle jaotise selliste jooniste pindala arvutamise algoritmide analüüsile, mis on piiratud funktsioonidega selgesõnaliselt, st. kui y = f (x) või x = g (y).
TeoreemOlgu funktsioonid y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) defineeritud ja pidevad lõigul [a; b] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mis tahes x väärtuse korral [a; b]. Siis on joontega x = a, x = b, y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) piiratud joonise G pindala arvutamise valem kujul S (G) = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.
Sarnane valem on rakendatav joonise ala jaoks, mis on piiratud joontega y = c, y = d, x = g 1 (y) ja x = g 2 (y): S (G) = ∫ cd ( g 2 (y) - g 1 (y) dy.
Tõestus
Vaatleme kolme juhtumit, mille puhul valem kehtib.
Esimesel juhul, võttes arvesse pindala liite omadust, on algse joonise G ja kõverjoonelise trapetsi G 1 pindalade summa võrdne joonise G 2 pindalaga. See tähendab et
Seetõttu S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Viimase ülemineku saame teha kindla integraali kolmanda omaduse abil.
Teisel juhul kehtib järgmine võrdsus: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 ( x) - f 1 (x)) dx
Graafiline illustratsioon näeb välja selline:
Kui mõlemad funktsioonid on mittepositiivsed, saame: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx = ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. Graafiline illustratsioon näeb välja selline:
Pöördume üldise juhtumi käsitlemisele, kui y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) lõikuvad O x teljega.
Lõikepunkte tähistatakse kui x i, i = 1, 2,. ... ... , n - 1. Need punktid jagavad lõigu [a; b] n osaks x i - 1; x i, i = 1, 2,. ... ... , n, kus α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Seega
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx = = ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx = ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx
Viimase ülemineku saame teha kindla integraali viienda omaduse abil.
Illustreerime üldist juhtumit graafikul.
Valemit S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x võib lugeda tõestatuks.
Ja nüüd liigume edasi joontega y = f (x) ja x = g (y) piiratud kujundite pindala arvutamise näidete analüüsi juurde.
Alustame kõigi näidete käsitlemist graafiku loomisega. Pilt võimaldab meil keerukamaid kujundeid liitidena rohkem kujutada lihtsad kujundid... Kui graafikute ja kujundite joonistamine neile tekitab raskusi, saate funktsiooni uurides uurida peamisi aatomifunktsioone, funktsioonide graafikute geomeetrilist teisendust ja joonistamist.
Näide 1
On vaja kindlaks määrata joonise pindala, mida piiravad parabool y = - x 2 + 6 x - 5 ja sirged y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Lahendus
Joonistame graafikule jooned Descartes'i koordinaatsüsteemis.
Lõigul [1; 4] parabooli y = - x 2 + 6 x - 5 graafik asub sirge y = - 1 3 x - 1 2 kohal. Sellega seoses kasutame vastuse saamiseks varem saadud valemit, samuti meetodit kindla integraali arvutamiseks vastavalt Newtoni-Leibnizi valemile:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 dx = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Vastus: S (G) = 13
Vaatame keerukamat näidet.
Näide 2
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y = x + 2, y = x, x = 7.
Lahendus
Sel juhul on meil ainult üks abstsissteljega paralleelne sirgjoon. See on x = 7. See eeldab, et leiame iseseisvalt teise integratsioonipiirangu.
Koostame graafiku ja joonistame sellele ülesandepüstituses antud jooned.
Kui graafik on meie silme ees, saame hõlpsalt kindlaks teha, et integreerimise alumine piir on sirge y = x ja poolparabooli y = x + 2 graafiku lõikepunkti abstsiss. Abstsissi leidmiseks kasutame võrdusi:
y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З
Selgub, et lõikepunkti abstsiss on x = 2.
Juhime teie tähelepanu asjaolule, et in üldine näide joonisel jooned y = x + 2, y = x ristuvad punktis (2; 2), mistõttu võivad sellised üksikasjalikud arvutused tunduda üleliigsed. Nii detailse lahenduse oleme siin pakkunud vaid seetõttu, et keerulisematel juhtudel ei pruugi lahendus nii ilmne olla. See tähendab, et sirgete lõikepunktide koordinaadid on alati kõige paremini analüütiliselt arvutatavad.
Intervallil [2; 7] funktsiooni y = x graafik asub funktsiooni y = x + 2 graafiku kohal. Kasutame pindala arvutamiseks valemit:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) dx = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Vastus: S (G) = 59 6
Näide 3
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud funktsioonide y = 1 x ja y = - x 2 + 4 x - 2 graafikutega.
Lahendus
Joonistame diagrammile jooned.
Määratleme integratsiooni piirid. Selleks määrame sirgete lõikepunktide koordinaadid, võrdsustades avaldised 1 x ja - x 2 + 4 x - 2. Eeldusel, et x ei ole null, saab võrdus 1 x = - x 2 + 4 x - 2 võrdseks täisarvu koefitsientidega kolmanda astme võrrandiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0. Saate värskendada oma mälu selliste võrrandite lahendamise algoritmi osas, lugedes jaotist "Kuupvõrrandite lahendamine".
Selle võrrandi juur on x = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.
Jagades avaldise - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binoomarvuga x - 1, saame: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Ülejäänud juured leiame võrrandist x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Leidsime intervalli x ∈ 1; 3 + 13 2, milles joonis G on ümbritsetud sinise joone kohal ja punase joone all. See aitab meil määrata kuju pindala:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Vastus: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Näide 4
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud kõverate y = x 3, y = - log 2 x + 1 ja abstsissteljega.
Lahendus
Paneme kõik jooned diagrammile. Funktsiooni y = - log 2 x + 1 graafiku saame graafikult y = log 2 x, kui paigutame selle sümmeetriliselt abstsisstelje ümber ja tõstame ühe ühiku võrra ülespoole. Abstsissvõrrand on y = 0.
Märgime sirgete lõikepunktid.
Nagu jooniselt näha, ristuvad funktsioonide y = x 3 ja y = 0 graafikud punktis (0; 0). Seda seetõttu, et x = 0 on võrrandi x 3 = 0 ainus tegelik juur.
x = 2 on võrrandi - log 2 x + 1 = 0 ainuke juur, mistõttu funktsioonide y = - log 2 x + 1 ja y = 0 graafikud ristuvad punktis (2; 0).
x = 1 on võrrandi x 3 = - log 2 x + 1 ainus juur. Sellega seoses ristuvad funktsioonide y = x 3 ja y = - log 2 x + 1 graafikud punktis (1; 1). Viimane väide ei pruugi olla ilmne, kuid võrrandil x 3 = - log 2 x + 1 ei saa olla rohkem kui üks juur, kuna funktsioon y = x 3 on rangelt kasvav ja funktsioon y = - log 2 x + 1 on rangelt vähenemas.
Edasine lahendus eeldab mitut võimalust.
Valik number 1
Joonist G saame kujutada kahe abstsisstelje kohal paikneva kõverjoonelise trapetsi summana, millest esimene asub lõigul x ∈ 0 keskjoonest allpool; 1 ja teine on punase joone all lõigul x ∈ 1; 2. See tähendab, et pindala on S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.
Valik number 2
Joonist G saab kujutada kahe kujundi erinevusena, millest esimene asub abstsisstelje kohal ja sinise joone all lõigul x ∈ 0; 2 ja teine on punase ja sinise joone vahel lõigul x ∈ 1; 2. See võimaldab meil leida piirkonna järgmiselt:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Sel juhul peate piirkonna leidmiseks kasutama valemit kujul S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tegelikult saab kujundit piiravaid jooni esitada argumendi y funktsioonidena.
Lahendage x võrrandid y = x 3 ja - log 2 x + 1:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Saame vajaliku ala:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Vastus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Näide 5
On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Lahendus
Joonistage diagrammile joon punase joonega, antud funktsiooniga y = x. Joonista joon y = - 1 2 x + 4 sinisega ja joon y = 2 3 x - 3 mustaga.
Märgime ristumiskohad.
Leidke funktsioonide y = x ja y = - 1 2 x + 4 graafikute lõikepunktid:
x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2–4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrollige: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ei ole mul lahendust x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 i s e r t e r s ⇒ (4; 2) lõikepunkt i y = x ja y = - 1 2 x + 4
Leidke funktsioonide y = x ja y = 2 3 x - 3 graafikute lõikepunkt:
x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollige: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 Mul on lahendus ⇒ (9; 3) punktide lõikepunkt y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 lahendus puudub
Leidke sirgete y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 lõikepunkt:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) lõikepunkt y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3
Meetod number 1
Kujutame ette vajaliku kujundi pindala üksikute kujundite pindalade summana.
Siis on joonise pindala võrdne:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Meetod number 2
Algse kuju pindala võib pidada ülejäänud kahe kuju summaks.
Seejärel lahendame sirge võrrandi x-i suhtes ja alles pärast seda rakendame joonise pindala arvutamise valemit.
y = x ⇒ x = y 2 punane joon y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 must joon y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8
Seega on pindala võrdne:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 a + 9 2 - - 2 a + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - y 2 dy = = ∫ 1 2 7 2 a - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - y 2 dy = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - y 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Nagu näete, on väärtused samad.
Vastus: S (G) = 11 3
Tulemused
Et leida joonise pindala, mis on piiratud antud joontega, peame tasapinnale üles ehitama sirged, leidma nende lõikepunktid, rakendama ala leidmiseks valemit. Selles jaotises uurisime levinumaid ülesannete valikuid.
Kui märkate tekstis viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter