Õppetund teemal: "Funktsiooni $y=x^3$ graafik ja omadused. Joonistamise näited"
Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid. Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.
Õppevahendid ja simulaatorid veebipoes "Integral" 7. klassile
Elektrooniline õpik 7. klassile "Algebra 10 minutiga"
Õppekompleks 1C "Algebra, klass 7-9"
Funktsiooni $y=x^3$ omadused
Kirjeldame selle funktsiooni omadusi:
1. x on sõltumatu muutuja, y on sõltuv muutuja.
2. Definitsioonivaldkond: on ilmne, et argumendi (x) mis tahes väärtuse korral on võimalik arvutada funktsiooni (y) väärtus. Sellest tulenevalt on selle funktsiooni määratluspiirkond terve arvurida.
3. Väärtuste vahemik: y võib olla ükskõik milline. Vastavalt sellele on vahemik ka terve arvurida.
4. Kui x= 0, siis y= 0.
Funktsiooni $y=x^3$ graafik
1. Koostame väärtuste tabeli:
2. Sest positiivsed väärtused Funktsiooni $y=x^3$ x graafik on väga sarnane parabooliga, mille harud on rohkem "pressitud" OY teljele.
3. Kuna funktsioonil $y=x^3$ on x negatiivsete väärtuste jaoks vastupidised väärtused, on funktsiooni graafik lähtekoha suhtes sümmeetriline.
Nüüd märgime punktid peale koordinaattasand ja koostada graafik (vt joonis 1).
Seda kõverat nimetatakse kuupparabooliks.
Näited
I. Täiesti valmis väikesel laeval mage vesi. Linnast on vaja piisavalt vett tuua. Vesi tellitakse ette ja makstakse täiskuubiku eest, isegi kui seda veidi vähem täita. Mitu kuubikut tuleks tellida, et mitte maksta lisakuubiku eest ja paak täielikult täita? On teada, et paagil on sama pikkus, laius ja kõrgus, mis on 1,5 m. Lahendame selle probleemi ilma arvutusi tegemata.
Otsus:
1. Joonistame funktsiooni $y=x^3$.
2. Leidke punkt A, koordinaat x, mis on võrdne 1,5-ga. Näeme, et funktsiooni koordinaat on väärtuste 3 ja 4 vahel (vt joonis 2). Seega tuleb tellida 4 kuubikut.
"Looduslik logaritm" - 0,1. naturaallogaritmid. 4. "Logaritmiline noolemäng". 0,04. 7.121.
"Toitefunktsiooni aste 9" - U. Kuubikujuline parabool. Y = x3. 9. klassi õpetaja Ladoškina I.A. Y = x2. Hüperbool. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n kus n on antud naturaalarv. X. Eksponent on paaris naturaalarv (2n).
"Ruudfunktsioon" – 1 Ruutfunktsiooni definitsioon 2 Funktsiooni omadused 3 Funktsioonide graafikud 4 Ruutvõrratused 5 Järeldus. Omadused: Ebavõrdsused: Koostanud Andrey Gerlitz, 8.A klassi õpilane. Plaan: Graafik: - Monotoonsuse intervallid a > 0 juures a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Kvadraatfunktsioon ja selle graafik" – otsus. y \u003d 4x A (0,5: 1) 1 \u003d 1 A-kuulub. Kui a=1, võtab valem y=ax kuju.
"Klassi 8 ruutfunktsioon" – 1) konstrueerige parabooli tipp. Ruutfunktsiooni joonistamine. x. -7. Joonistage funktsioon. Algebra 8. klass Õpetaja 496 kool Bovina TV -1. Ehitusplaan. 2) Konstrueerige sümmeetriatelg x=-1. y.
Kuldsesse aega infotehnoloogiad Vähesed inimesed ostavad millimeetripaberit ja veedavad tunde funktsiooni või suvalise andmekogumi joonistamisel ja milleks sellist tööd teha, kui funktsiooni saab Internetis graafiku koostada. Lisaks on õige kuvamise jaoks peaaegu võimatu ja keeruline arvutada miljoneid avaldise väärtusi ning hoolimata kõigist jõupingutustest saate katkendliku joone, mitte kõvera. Kuna sel juhul arvuti - asendamatu abiline.
Mis on funktsioonigraafik
Funktsioon on reegel, mille kohaselt ühe hulga iga element on seotud mõne teise hulga elemendiga, näiteks avaldis y = 2x + 1 loob seose kõigi x väärtuste hulkade ja kõigi y väärtuste vahel, mistõttu , see on funktsioon. Vastavalt sellele nimetatakse funktsiooni graafikut punktide hulgaks, mille koordinaadid vastavad antud avaldisele.
Joonisel näeme funktsiooni graafikut y=x. See on sirgjoon ja igal selle punktil on teljel oma koordinaadid X ja teljel Y. Definitsiooni põhjal, kui asendame koordinaadi X mingi punkt sellesse võrrandisse, siis saame selle punkti koordinaadi teljel Y.
Funktsioonigraafikute võrgus joonistamise teenused
Mõelge mitmele populaarsele ja parimale teenusele, mis võimaldavad teil kiiresti funktsiooni graafiku joonistada.
Kõige tavalisem teenus avab loendi, mis võimaldab teil võrguvõrrandi abil funktsioonigraafiku joonistada. Umath sisaldab ainult vajalikud tööriistad, näiteks suumimine, liikumine piki koordinaattasandit ja selle punkti koordinaadi vaatamine, kuhu hiir osutab.
Juhend:
- Sisestage oma võrrand märke "=" järel olevasse kasti.
- Klõpsake nuppu "Ehita graafik".
Nagu näete, on kõik äärmiselt lihtne ja juurdepääsetav, keerukate matemaatiliste funktsioonide kirjutamise süntaks: mooduliga, trigonomeetriline, eksponentsiaalne - on antud otse graafiku all. Samuti saate vajaduse korral määrata võrrandi parameetrilisel meetodil või koostada graafikuid polaarkoordinaatide süsteemis.
Yotx-il on kõik eelmise teenuse funktsioonid, kuid samas sisaldab see selliseid huvitavaid uuendusi nagu funktsioonide kuvamise intervalli loomine, võimalus koostada tabeliandmete abil graafik ja kuvada ka tabelit tervete lahendustega.
Juhend:
- Valige vajalik viis ajastada ülesandeid.
- Sisestage võrrand.
- Määra intervall.
- Klõpsake nuppu "Ehita".
Neile, kes on liiga laisad, et välja mõelda, kuidas teatud funktsioone üles kirjutada, pakub see positsioon teenust, mis võimaldab valida loendist vajaliku ühe hiireklõpsuga.
Juhend:
- Otsige loendist üles vajalik funktsioon.
- Klõpsake seda hiire vasaku nupuga
- Vajadusel sisesta koefitsiendid väljale "Funktsioon:".
- Klõpsake nuppu "Ehita".
Visualiseerimise osas on võimalik graafiku värvi muuta, aga ka peita või üldse kustutada.
Desmos on vaieldamatult kõige keerukam teenus võrrandite veebis koostamiseks. Liigutades kursorit hiire vasakut nuppu all hoides graafikul, näete üksikasjalikult kõiki võrrandi lahendeid 0,001 täpsusega. Sisseehitatud klaviatuur võimaldab kiiresti kirjutada kraadid ja murded. Kõige olulisem pluss on võimalus kirjutada võrrand suvalises olekus, ilma vormi viimata: y = f(x).
Juhend:
- Paremklõpsake vasakpoolses veerus vabal real.
- Klõpsake vasakus alanurgas klaviatuuriikoonil.
- Tippige kuvataval paneelil soovitud võrrand (funktsioonide nimede kirjutamiseks minge jaotisse "A B C").
- Graafik on koostatud reaalajas.
Visualisatsioon on lihtsalt täiuslik, kohanduv, on selge, et disainerid töötasid rakenduse kallal. Plussidest võib märkida tohutut võimaluste rohkust, mille arendamiseks näete vasakpoolses ülanurgas olevas menüüs näiteid.
Funktsioonide joonistamiseks on palju saite, kuid igaüks saab ise valida, lähtudes vajalikust funktsionaalsusest ja isiklikest eelistustest. Parimate nimekiri on koostatud nii, et see vastaks iga matemaatiku, nii noore kui ka vana, nõudmistele. Edu teile "teaduste kuninganna" mõistmisel!
Funktsioonigraafiku joonistamiseks pole Internetist keeruline leida kalkulaatoreid, mida selles ülevaates teie tähelepanu pakutakse.
http://www.yotx.ru/
See teenus võib ehitada:
- tavalised graafikud (nagu y = f(x)),
- antud parameetriliselt,
- punktdiagrammid,
- polaarkoordinaatide süsteemi funktsioonide graafikud.
See on võrguteenus üks samm:
- Sisestage ehitatav funktsioon
Lisaks funktsioonigraafiku joonistamisele saate funktsiooniuuringu tulemuse.
Joonistamise funktsioonid:
http://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php
Saate sisestada käsitsi või akna allosas oleva virtuaalse klaviatuuri abil. Diagrammi akna suurendamiseks saate peita nii vasaku veeru kui ka virtuaalse klaviatuuri.
Veebikaardistamise eelised:
- Tutvustatud funktsioonide visuaalne kuvamine
- Väga keeruliste graafikute koostamine
- Kaudselt määratletud graafikute joonistamine (nt ellips x^2/9+y^2/16=1)
- Võimalus salvestada diagramme ja hankida neile link, mis muutub Internetis kõigile kättesaadavaks
- Skaala juhtimine, joone värv
- Oskus joonistada graafikuid punktide kaupa, konstantide kasutamine
- Mitme funktsiooni graafiku koostamine korraga
- Joonistamine polaarkoordinaatides (kasutage r ja θ(\theta))
Teenus on nõutud funktsioonide ristumispunktide leidmiseks, graafikute kuvamiseks nende edasiseks liikumiseks sõna dokument illustratsioonidena ülesannete lahendamisel, funktsioonigraafikute käitumistunnuste analüüsimiseks. Optimaalne brauser saidi sellel lehel diagrammidega töötamiseks on Google Chrome. Teiste brauserite kasutamisel ei ole korrektne toimimine garanteeritud.
http://graph.reshish.ru/
Sa saad koostage Internetis interaktiivne funktsioonigraafik. Tänu sellele saab graafikut skaleerida, samuti liigutada piki koordinaattasapinda, mis võimaldab teil mitte ainult saada üldist ettekujutust selle graafiku ülesehitusest, vaid ka uurida funktsiooni graafiku käitumist üksikasjalikumalt. lõikude peal.
Graafiku koostamiseks vali vajalik funktsioon (vasakul) ja kliki sellel või sisesta see ise sisestusväljale ja vajuta 'Ehita'. Muutujat 'x' kasutatakse argumendina.
Funktsiooni määramiseks n-s juur'x'-st kasuta tähistust x^(1/n) - pööra tähelepanu sulgudele: ilma nendeta saad matemaatilist loogikat järgides (x^1)/n.
Korrutamismärgi saab ära jätta arvuga avaldistes: 5x, 10sin(x), 3(x-1); sulgude vahel:(x-7)(4+x); ja ka muutuja ja sulgude vahel: x(x-3). Sellised avaldised nagu xsin(x) või xx tekitavad vea.
Mõelge toimingute prioriteedile ja kui te pole kindel, kumb täidetakse esimesena, pange lisasulud. Näiteks: -x^2 ja (-x)^2 ei ole samad.
Pidage meeles, et graafik ei pruugi joonistada, kui see kipub y-s piisavalt kiiresti lõpmatusse jõudma, kuna arvuti ei suuda lõpmatult läheneda asümptoodile tähes x. See ei tähenda, et graafik katkeb ega jätkuks lõpmatuseni.
Trigonomeetrilistes funktsioonides kasutatakse vaikimisi nurga radiaanimõõtu.
http://easyto.me/services/graphic/
Selleks, et koostada mitu graafikut samas koordinaatsüsteemis märkige ruut "Ehita samasse koordinaatsüsteemi" ja joonistage funktsioonide graafikud ükshaaval.
Teenus võimaldab teil koostada graafikuid funktsioonide kohta, milles see on parameetrid.
Selle jaoks:
- Sisestage funktsioon parameetritega ja klõpsake nuppu "Plot"
- Ilmuvas aknas valige, milliste muutujate suhtes graafik koostada. Tavaliselt on see x.
- Muutke parameetrite väärtusi menüüs Ajalugu. Ajakava muutub teie silme all.
http://allcalc.ru/node/650
Teenus võimaldab teil luua funktsioonide graafikuid ristkülikukujuline süsteem koordinaadid etteantud väärtusvahemikus. Ühel koordinaattasandil saate korraga koostada mitu funktsioonide graafikut.
Funktsiooni graafiku koostamiseks tuleb määrata graafiku joonestamise ala (muutuja x ja funktsiooni y jaoks) ning sisestada funktsiooni argumendist sõltuvuse väärtus. Võimalik on ehitada mitu graafikut korraga, selleks on vaja funktsioonid eraldada semikooloniga. Graafikud koostatakse samale koordinaattasandile ja nende värvid erinevad selguse huvides.
http://function-graph.ru/
To joonistage funktsioon võrgus, peate lihtsalt sisestama oma funktsiooni eriline valdkond ja klõpsake kuskil väljaspool seda. Pärast seda koostatakse automaatselt sissetoodud funktsiooni graafik.
Kui teil on vaja joonistada mitu funktsiooni samal ajal, seejärel klõpsake sinist nuppu "Lisa rohkem". Pärast seda avaneb teine väli, kuhu peate sisestama teise funktsiooni. Tema ajakava koostatakse samuti automaatselt.
Graafiku joonte värvi saab reguleerida, klõpsates funktsiooni sisestusväljast paremal asuvat kasti. Ülejäänud sätted asuvad graafiku ala kohal. Nende abiga saate määrata taustavärvi, ruudustiku olemasolu ja värvi, telgede olemasolu ja värvi, samuti diagrammi segmentide numeratsiooni olemasolu ja värvi. Vajadusel saate funktsiooni graafikut skaleerida hiireratta või spetsiaalsete ikoonide abil joonistusala paremas alanurgas.
Pärast graafiku koostamist ja seadetes vajalike muudatuste tegemist saate seda teha allalaadimise diagramm kasutades suurt rohelist nuppu "Laadi alla" allosas. Teil palutakse salvestada funktsiooni graafik PNG-pildina.
Mooduleid sisaldavate funktsioonide graafikute koostamine tekitab koolilastele tavaliselt suuri raskusi. Kõik pole siiski nii hull. Piisab meeles pidada mitmeid selliste probleemide lahendamise algoritme ja saate hõlpsalt joonistada isegi kõige keerukama funktsiooni. Vaatame, millised need algoritmid on.
1. Funktsiooni y = |f(x)| joonistamine
Pange tähele, et funktsiooni väärtuste komplekt y = |f(x)| : y ≥ 0. Seega paiknevad selliste funktsioonide graafikud alati täielikult ülemisel pooltasandil.
Funktsiooni y = |f(x)| joonistamine koosneb järgmisest lihtsast neljast sammust.
1) Koostage hoolikalt ja hoolikalt funktsiooni y = f(x) graafik.
2) Jätke muutmata kõik graafiku punktid, mis asuvad 0x telje kohal või peal.
3) Graafiku osa, mis asub 0x-telje all, kuvatakse sümmeetriliselt 0x-telje suhtes.
Näide 1. Joonistage funktsiooni y = |x 2 - 4x + 3| graafik
1) Koostame funktsiooni y \u003d x 2 - 4x + 3 graafiku. On ilmne, et selle funktsiooni graafik on parabool. Leiame kõigi parabooli ja koordinaatide telgede lõikepunktide koordinaadid ja parabooli tipu koordinaadid.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Seetõttu lõikub parabool 0x teljega punktides (3, 0) ja (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Seetõttu lõikub parabool 0y teljega punktis (0, 3).
Parabooli tipu koordinaadid:
x \u003d - (-4/2) \u003d 2, y = 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Seetõttu on punkt (2, -1) selle parabooli tipp.
Saadud andmete abil joonistage parabool (Joonis 1)
2) 0x telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt 0x telje suhtes.
3) Saame algse funktsiooni graafiku ( riis. 2, näidatud punktiirjoonega).
2. Funktsiooni y = f(|x|) joonistamine
Pange tähele, et funktsioonid kujul y = f(|x|) on paarisarvulised:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). See tähendab, et selliste funktsioonide graafikud on sümmeetrilised telje 0y suhtes.
Funktsiooni y = f(|x|) joonistamine koosneb järgmisest lihtsast tegevuste ahelast.
1) Joonistage funktsioon y = f(x).
2) Jäta see graafiku osa, mille puhul x ≥ 0, st graafiku osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.
3) Kuvage lõigus (2) määratud graafiku osa sümmeetriliselt 0y telje suhtes.
4) Valige lõplikuks graafikuks lõigetes (2) ja (3) saadud kõverate liit.
Näide 2. Joonistage funktsiooni y = x 2 – 4 · |x| graafik + 3
Kuna x 2 = |x| 2 , siis saab algse funktsiooni ümber kirjutada järgmiselt: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Ja nüüd saame rakendada ülal pakutud algoritmi.
1) Koostame hoolikalt ja hoolikalt funktsiooni y \u003d x 2 - 4 x + 3 graafiku (vt ka riis. üks).
2) Jätame selle osa graafikust, mille jaoks x ≥ 0, ehk graafiku osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.
3) Ekraan parem pool 0y teljega sümmeetriline graafika.
(Joonis 3).
Näide 3. Joonistage funktsiooni y = log 2 |x| graafik
Rakendame ülaltoodud skeemi.
1) Joonistame funktsiooni y = log 2 x (Joonis 4).
3. Funktsiooni y = |f(|x|)| joonistamine
Pange tähele, et funktsioonid kujul y = |f(|x|)| on ka ühtlased. Tõepoolest, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) ja seetõttu on nende graafikud sümmeetrilised telje 0y suhtes. Selliste funktsioonide väärtuste komplekt: y ≥ 0. Seega paiknevad selliste funktsioonide graafikud täielikult ülemisel pooltasandil.
Funktsiooni y = |f(|x|)| joonistamiseks peate:
1) Koostage funktsiooni y = f(|x|) puhas graaf.
2) Jätke muutmata graafiku osa, mis asub 0x-teljel või ülalpool või sellel.
3) 0x telje all asuv graafiku osa tuleks kuvada sümmeetriliselt 0x telje suhtes.
4) Valige lõplikuks graafikuks lõigetes (2) ja (3) saadud kõverate liit.
Näide 4. Joonistage funktsiooni y = |-x 2 + 2|x| graafik – 1|.
1) Pange tähele, et x 2 = |x| 2. Seega algse funktsiooni asemel y = -x 2 + 2|x| - üks
võite kasutada funktsiooni y = -|x| 2 + 2|x| – 1, kuna nende graafikud on samad.
Koostame graafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Selleks kasutame algoritmi 2.
a) Joonistame funktsiooni y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Joonis 6).
b) Jätame graafiku selle osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.
c) Kuvage saadud graafiku osa sümmeetriliselt 0y telje suhtes.
d) Saadud graafik on näidatud joonisel punktiirjoonega (Joonis 7).
2) 0x telje kohal ei ole punkte, 0x teljel olevad punktid jätame muutmata.
3) 0x telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt 0x suhtes.
4) Saadud graafik on näidatud joonisel punktiirjoonega (Joonis 8).
Näide 5. Joonistage funktsioon y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Kõigepealt peate joonistama funktsiooni y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Selleks pöördume tagasi algoritmi 2 juurde.
a) Joonistage hoolikalt funktsioon y = (2x – 4) / (x + 3) (Joonis 9).
Pange tähele, et see funktsioon on lineaar-murruline ja selle graafik on hüperbool. Kõvera koostamiseks peate esmalt leidma graafiku asümptoodid. Horisontaalne - y \u003d 2/1 (koefitsientide suhe punktis x murdosa lugejas ja nimetajas), vertikaalne - x \u003d -3.
2) Diagrammi osa, mis asub 0x telje kohal või peal, jäetakse muutmata.
3) Diagrammi osa, mis asub 0x-telje all, kuvatakse sümmeetriliselt 0x-i suhtes.
4) Lõplik graafik on näidatud joonisel (Joonis 11).
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.