วิธีหามุมแหลมระหว่างเส้นตรง มุมระหว่างเส้นตรงบนระนาบ

มุมระหว่างเครื่องบิน

พิจารณาระนาบ α 1 และ α 2 สองระนาบ กำหนดตามลำดับโดยสมการ:

ภายใต้ มุมระหว่างระนาบสองระนาบ เราหมายถึงมุมไดฮีดรัลมุมหนึ่งของระนาบเหล่านี้ เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ α 1 และ α 2 เท่ากับหนึ่งในมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันที่ระบุหรือ ... ดังนั้น ... เพราะ และ , แล้ว

.

ตัวอย่าง.กำหนดมุมระหว่างระนาบ NS+2y-3z+ 4 = 0 และ 2 NS+3y+z+8=0.

สภาวะความขนานของระนาบสองระนาบ

ระนาบ α 1 และ α 2 สองระนาบขนานกันก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันและขนานกัน ซึ่งหมายความว่า .

ดังนั้นระนาบสองระนาบขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ที่พิกัดที่สอดคล้องกันนั้นเป็นสัดส่วน:

หรือ

สภาพความตั้งฉากของระนาบ

เป็นที่ชัดเจนว่าระนาบสองระนาบตั้งฉากก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ปกติของพวกมันตั้งฉากและด้วยเหตุนี้หรือ

ดังนั้น, .

ตัวอย่าง.

ตรงในอวกาศ

สมการเส้นเวกเตอร์

สมการพาราเมทริกของเส้น

ตำแหน่งของเส้นตรงในช่องว่างถูกกำหนดโดยสมบูรณ์โดยการระบุจุดคงที่ใด ๆ NS 1 และเวกเตอร์ขนานกับเส้นนี้

เวกเตอร์ขนานกับเส้นตรงเรียกว่า นำทางเวกเตอร์ของเส้นนี้

ให้มันตรงไปตรงมา lผ่านจุด NS 1 (NS 1 , y 1 , z 1) นอนบนเส้นตรงขนานกับเวกเตอร์

พิจารณาจุดโดยพลการ ม. (x, y, z)บนเส้นตรง จากรูปแสดงว่า .

เวกเตอร์และเป็น collinear ดังนั้นจึงมีตัวเลขดังกล่าว NS, อะไร, ปัจจัยอยู่ที่ไหน NSสามารถรับค่าตัวเลขใด ๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด NSบนเส้นตรง ปัจจัย NSเรียกว่าพารามิเตอร์ แสดงถึงเวกเตอร์รัศมีของจุด NS 1 และ NSตามลำดับผ่านและเราได้รับ สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการของเส้นตรง แสดงว่าสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ NSสอดคล้องกับเวกเตอร์รัศมีของบางจุด NSนอนอยู่บนเส้นตรง

ลองเขียนสมการนี้ในรูปแบบพิกัดกัน สังเกตว่า และจากที่นี่

สมการที่ได้จะเรียกว่า พารามิเตอร์สมการของเส้นตรง

เมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์ NSพิกัดเปลี่ยน NS, yและ zและชี้ NSเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

สมการทางตรงที่เป็นที่ยอมรับ

ปล่อยให้เป็น NS 1 (NS 1 , y 1 , z 1) เป็นจุดนอนอยู่บนเส้นตรง l, และ เป็นเวกเตอร์ทิศทางของมัน อีกครั้ง ใช้จุดใดก็ได้บนเส้นตรง ม. (x, y, z)และพิจารณาเวกเตอร์

เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์และเป็นแบบ collinear ดังนั้นพิกัดที่สอดคล้องกันจึงต้องเป็นสัดส่วน ดังนั้น

– บัญญัติสมการของเส้นตรง

หมายเหตุ 1โปรดทราบว่าสมการมาตรฐานของเส้นตรงสามารถหาได้จากสมการพาราเมตริกโดยไม่รวมพารามิเตอร์ NS... จากสมการพาราเมตริกที่เราได้รับ หรือ .

ตัวอย่าง.เขียนสมการเส้นตรง ในรูปแบบพาราเมตริก

เราแสดงว่า , จากที่นี่ NS = 2 + 3NS, y = –1 + 2NS, z = 1 –NS.

หมายเหตุ 2ให้เส้นตรงตั้งฉากกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง เช่น แกน วัว... จากนั้นเวกเตอร์กำกับจะตั้งฉาก วัว, เพราะเหตุนี้, NS= 0. ดังนั้น สมการพาราเมทริกของเส้นตรงจึงอยู่ในรูป

การลบพารามิเตอร์ออกจากสมการ NS, เราได้รับสมการของเส้นตรงในรูปแบบ

อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราตกลงที่จะเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงอย่างเป็นทางการในรูปแบบ ... ดังนั้น หากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตั้งฉากกับแกนพิกัดที่สอดคล้องกัน

ในทำนองเดียวกัน สมการบัญญัติ ตรงกับเส้นตรงตั้งฉากกับแกน วัวและ ออยหรือขนานกับแกน ออนซ์.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเส้นตรงเป็นเส้นตัดของเครื่องบินสองลำ

เครื่องบินจำนวนนับไม่ถ้วนผ่านแต่ละเส้นตรงในอวกาศ สองอันใดที่ตัดกันกำหนดไว้ในช่องว่าง ดังนั้น สมการของระนาบสองระนาบใดๆ ที่พิจารณาร่วมกัน แทนสมการของเส้นตรงนี้

โดยทั่วไป ระนาบไม่ขนานสองระนาบใดๆ ที่กำหนดโดยสมการทั่วไป

กำหนดเส้นของทางแยกของพวกเขา สมการเหล่านี้เรียกว่า สมการทั่วไปตรง.

ตัวอย่าง.

สร้างเส้นตรงจากสมการ

ในการสร้างเส้นตรง ก็เพียงพอที่จะหาจุดสองจุดใดก็ได้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือการเลือกจุดตัดของเส้นที่มีระนาบพิกัด ตัวอย่างเช่น จุดตัดกับระนาบ xOyได้จากสมการเส้นตรง เซตติ้ง z= 0:

เมื่อแก้ไขระบบนี้แล้ว เราก็พบจุด NS 1 (1;2;0).

ในทำนองเดียวกันการตั้งค่า y= 0 เราได้จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ xOz:

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง คุณสามารถไปที่สมการบัญญัติหรือสมการเชิงพาราเมตริกได้ การทำเช่นนี้คุณต้องหาจุดบางอย่าง NS 1 บนเส้นตรงและเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

พิกัดจุด NS 1 จะได้รับจากระบบสมการนี้โดยการกำหนดค่าตามอำเภอใจให้กับหนึ่งในพิกัด ในการหาเวกเตอร์ทิศทาง โปรดทราบว่าเวกเตอร์นี้ต้องตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งฉากทั้งคู่ และ ... ดังนั้นหลังเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง lเราสามารถหาผลคูณของเวกเตอร์ปกติได้:

.

ตัวอย่าง.ให้สมการทั่วไปของเส้นตรง ในรูปแบบบัญญัติ

หาจุดที่อยู่บนเส้นตรง. ในการทำเช่นนี้ เราเลือกพิกัดใดพิกัดหนึ่งโดยพลการ เช่น y= 0 และแก้ระบบสมการ:

เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนดเส้นตรงมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์กำกับของเส้นตรงจะเป็น

... เพราะเหตุนี้, l: .

มุมระหว่างเส้นตรง

มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ เราจะเรียกมุมที่อยู่ติดกันที่เกิดขึ้นจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดใดก็ได้ที่ขนานไปกับข้อมูล

ให้เส้นตรงสองเส้นในช่องว่าง:

เห็นได้ชัดว่ามุมระหว่างเส้นตรงสามารถใช้เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางกับ ตั้งแต่นั้นมา ตามสูตรของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ เราจะได้

ฉันจะสั้น มุมระหว่างเส้นสองเส้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้น หากคุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง a = (x 1; y 1; z 1) และ b = (x 2; y 2; z 2) คุณจะพบมุมได้ แม่นยำยิ่งขึ้น โคไซน์ของมุมตามสูตร:

มาดูกันว่าสูตรนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. จุด E และ F ถูกทำเครื่องหมายในลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

เนื่องจากไม่ได้ระบุขอบของลูกบาศก์ เราจึงตั้งค่า AB = 1 แนะนำระบบพิกัดมาตรฐาน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x, y, z มุ่งตรงไปตาม AB, AD และ AA 1 ตามลำดับ ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ตอนนี้เราพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นของเรา

หาพิกัดของเวกเตอร์ AE กัน ในการทำเช่นนี้ เราต้องการจุด A = (0; 0; 0) และ E = (0.5; 0; 1) เนื่องจากจุด E เป็นจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ A 1 B 1 พิกัดจึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพิกัดของปลาย โปรดทราบว่าจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AE เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด ดังนั้น AE = (0.5; 0; 1)

ทีนี้มาจัดการกับเวกเตอร์ BF กัน ในทำนองเดียวกัน เราแยกวิเคราะห์จุด B = (1; 0; 0) และ F = (1; 0.5; 1) เนื่องจาก F - จุดกึ่งกลางของส่วน B 1 C 1 เรามี:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)

เวกเตอร์ทิศทางก็พร้อม โคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงคือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ดังนั้นเราจึงได้:

งาน. ในปริซึมสามหน้าแบบปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด D และ E จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AD กับ BE

มาแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานกัน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x ชี้ไปตาม AB, z - ตาม AA 1 เรากำหนดแกน y เพื่อให้ระนาบ OXY ตรงกับระนาบ ABC ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นที่ต้องการ

ก่อนอื่น ให้หาพิกัดของเวกเตอร์ AD กัน พิจารณาจุด: A = (0; 0; 0) และ D = (0.5; 0; 1) เนื่องจาก D - จุดกึ่งกลางของส่วน A 1 B 1 เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ AD เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิด เราจึงได้ AD = (0.5; 0; 1)

ทีนี้ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ BE กัน จุด B = (1; 0; 0) คำนวณได้ง่าย ด้วยจุด E - ตรงกลางของส่วน C 1 B 1 - ยากขึ้นเล็กน้อย เรามี:

มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม:

งาน. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด K และ L จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของขอบ A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AK และ BL

ให้เราแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานสำหรับปริซึม: วางจุดกำเนิดของพิกัดที่กึ่งกลางของฐานล่าง กำหนดแกน x ไปตาม FC แกน y ผ่านจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ AB และ DE และ z- แกนในแนวตั้งขึ้น ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1 อีกครั้ง ให้เราเขียนพิกัดของจุดที่น่าสนใจให้เรา:

จุด K และ L เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม A 1 B 1 และ B 1 C 1 ตามลำดับ ดังนั้นจะหาพิกัดได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เมื่อทราบจุด เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AK และ BL:

ทีนี้ลองหาโคไซน์ของมุมกัน:

งาน. ใน SABCD ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติซึ่งขอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 1 จุด E และ F จะถูกทำเครื่องหมาย - จุดกึ่งกลางของด้านข้าง SB และ SC ตามลำดับ หามุมระหว่างเส้น AE และ BF

มาแนะนำระบบพิกัดมาตรฐานกัน: จุดกำเนิดอยู่ที่จุด A แกน x และ y มุ่งตรงไปตาม AB และ AD ตามลำดับ และแกน z จะพุ่งขึ้นไปในแนวตั้ง ส่วนหน่วยเท่ากับ AB = 1

จุด E และ F คือจุดกึ่งกลางของกลุ่ม SB และ SC ตามลำดับ ดังนั้นจะพบพิกัดเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของปลาย ลองเขียนพิกัดของจุดที่น่าสนใจให้เรา:
A = (0; 0; 0); ข = (1; 0; 0)

เมื่อทราบจุดแล้ว เราจะพบพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง AE และ BF:

พิกัดของเวกเตอร์ AE ตรงกับพิกัดของจุด E เนื่องจากจุด A เป็นจุดกำเนิด มันยังคงค้นหาโคไซน์ของมุม:

คำนิยาม.หากให้เส้นตรงสองเส้น y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 มุมแหลมระหว่างเส้นตรงเหล่านี้จะถูกกำหนดเป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า k 1 = k 2 เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากถ้า k 1 = -1 / k 2

ทฤษฎีบท.เส้นตรง Ax + Vy + C = 0 และ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ขนานกันเมื่อสัมประสิทธิ์สัดส่วน A 1 = λA, B 1 = λB หาก C 1 = λСด้วยแสดงว่าเส้นตรง พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นหาได้จากการแก้ระบบสมการของเส้นตรงเหล่านี้

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด

ตั้งฉากกับเส้นนี้

คำนิยาม.เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1, y 1) และตั้งฉากกับเส้นตรง y = kx + b แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ทฤษฎีบท.หากให้จุด M (x 0, y 0) ระยะห่างจากเส้นตรง Axe + Vy + C = 0 ถูกกำหนดเป็น

.

การพิสูจน์.ให้จุด M 1 (x 1, y 1) เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ปล่อยจากจุด M ไปยังเส้นตรงที่กำหนด จากนั้นระยะห่างระหว่างจุด M และ M 1:

(1)

พิกัด x 1 และ y 1 สามารถหาได้จากการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด ถ้าเราแปลงสมการแรกของระบบเป็นรูปแบบ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้น แก้ เราได้รับ:

การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง... กำหนดมุมระหว่างเส้นตรง: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = หน้า / 4

ตัวอย่าง... แสดงว่าเส้นตรง 3x - 5y + 7 = 0 และ 10x + 6y - 3 = 0 ตั้งฉากกัน

วิธีการแก้... เราพบ: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1 ดังนั้นเส้นตรงจึงตั้งฉาก

ตัวอย่าง... จุดยอดของสามเหลี่ยม A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) จะได้รับ หาสมการความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด C

วิธีการแก้... เราพบสมการของด้าน AB: ; 4 x = 6 ปี - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

สมการความสูงที่ต้องการคือ: Ax + By + C = 0 หรือ y = kx + b เค =. แล้ว y = เพราะ ความสูงผ่านจุด C จากนั้นพิกัดจะเป็นไปตามสมการนี้: โดยที่ b = 17. รวม:.

คำตอบ: 3 x + 2 y - 34 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนด สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น เงื่อนไขของการขนานและความตั้งฉากของสองเส้น การหาจุดตัดของสองเส้น

1. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด NS(NS 1 , y 1) ในทิศทางที่กำหนดโดยความชัน k,

y - y 1 = k(NS - NS 1). (1)

สมการนี้กำหนดมัดของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด NS(NS 1 , y 1) ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของลำแสง

2. สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด: NS(NS 1 , y 1) และ NS(NS 2 , y 2) เขียนได้ดังนี้

ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดถูกกำหนดโดยสูตร

3. มุมระหว่างเส้นตรง NSและ NSเรียกว่ามุมที่คุณต้องเลี้ยวเส้นตรงเส้นแรก NSรอบจุดตัดของเส้นเหล่านี้ทวนเข็มนาฬิกาจนตรงกับเส้นที่สอง NS... ถ้าให้เส้นตรงสองเส้นโดยสมการที่มีความชัน

y = k 1 NS + NS 1 ,

y = k 2 NS + NS 2 , (4)

จากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

สังเกตว่าในตัวเศษของเศษส่วน ความชันของเส้นตรงเส้นแรกจะถูกลบออกจากความชันของเส้นตรงที่สอง

ถ้าให้สมการเส้นตรงอยู่ในรูปทั่วไป

NS 1 NS + NS 1 y + ค 1 = 0,

NS 2 NS + NS 2 y + ค 2 = 0, (6)

มุมระหว่างพวกมันถูกกำหนดโดยสูตร

4. เงื่อนไขสำหรับการขนานกันของสองบรรทัด:

ก) หากเส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ (4) ที่มีความชัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันจะประกอบด้วยความเท่าเทียมกันของความชัน:

k 1 = k 2 . (8)

b) สำหรับกรณีที่เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการขนานกันคือสัมประสิทธิ์ที่พิกัดปัจจุบันที่สอดคล้องกันในสมการนั้นเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

5. เงื่อนไขการตั้งฉากของสองบรรทัด:

ก) ในกรณีที่เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ (4) ที่มีความชัน เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากคือความชันจะเท่ากันในขนาดและตรงข้ามในเครื่องหมาย กล่าวคือ

เงื่อนไขนี้สามารถเขียนเป็น

k 1 k 2 = -1. (11)

b) หากสมการของเส้นตรงให้ในรูปแบบทั่วไป (6) เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉาก (จำเป็นและเพียงพอ) จะประกอบด้วยการปฏิบัติตามความเสมอภาค

NS 1 NS 2 + NS 1 NS 2 = 0. (12)

6. พิกัดของจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นหาได้จากการแก้ระบบสมการ (6) เส้นตรง (6) ตัดกันก็ต่อเมื่อ

1. เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M โดยเส้นหนึ่งขนานกันและอีกเส้นตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด l

อูยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยยย ดังนั้น เราจะไปยังส่วนแรก ฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความ ฉันจะรักษากรอบความคิดที่ร่าเริงไว้

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้น

กรณีที่คนดูร้องพร้อมกัน เส้นตรงสองเส้นสามารถ:

1) การแข่งขัน;

2) ขนานกัน:;

3) หรือตัดกันที่จุดเดียว:.

ความช่วยเหลือสำหรับ Dummies : โปรดจำเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของทางแยกด้วย มันจะเป็นเรื่องธรรมดามาก บันทึกระบุว่าเส้นตัดกับเส้นตรงจุดใดจุดหนึ่ง

จะกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?

เริ่มจากกรณีแรก:

เส้นตรงสองเส้นจะตรงกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนนั่นคือมี "แลมบ์ดา" จำนวนมากที่ความเท่าเทียมกัน

พิจารณาเส้นตรงและเขียนสมการสามสมการจากสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน: จากสมการแต่ละสมการที่เส้นเหล่านี้ตรงกัน

แน่นอนถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณด้วย -1 (เครื่องหมายเปลี่ยน) และสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ ลดลง 2 คุณจะได้สมการเดียวกัน:

กรณีที่สอง เมื่อเส้นขนานกัน:

เส้นตรงสองเส้นขนานกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของพวกมันสำหรับตัวแปรเป็นสัดส่วน: , แต่.

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสองบรรทัด เราตรวจสอบสัดส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันสำหรับตัวแปร:

อย่างไรก็ตาม มันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สาม เมื่อเส้นตัดกัน:

เส้นตรงสองเส้นตัดกันก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของตัวแปรไม่เป็นสัดส่วนนั่นคือไม่มีค่าแลมบ์ดาที่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นสำหรับเส้นตรง เราจึงเขียนระบบดังนี้

จากสมการแรกจะเป็นไปตามนั้น และจากสมการที่สอง: ดังนั้น ระบบไม่สอดคล้องกัน(ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรจึงไม่เป็นสัดส่วน

สรุป: เส้นตัดกัน

ในการใช้งานจริง คุณสามารถใช้โครงร่างโซลูชันที่เพิ่งพิจารณาได้ อย่างไรก็ตาม มันคล้ายกับอัลกอริธึมในการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับความสอดคล้อง ซึ่งเราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) พื้นฐานของเวกเตอร์... แต่มีบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยะมากขึ้น:

ตัวอย่าง 1

ค้นหาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง:

วิธีการแก้จากการศึกษาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ก) จากสมการ เราพบเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง: .

ดังนั้นเวกเตอร์ไม่ขนานกันและเส้นตัดกัน

เผื่อว่าฉันจะวางก้อนหินที่มีตัวชี้ที่ทางแยก:

ที่เหลือกระโดดข้ามหินแล้วเดินต่อไปตรงไปยัง Kashchey the Immortal =)

b) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

เส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเส้นทั้งสองขนานกันหรือขนานกัน ไม่จำเป็นต้องนับดีเทอร์มีแนนต์ที่นี่เช่นกัน

เห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นสัดส่วนในขณะที่

ให้เราหาว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่:

ดังนั้น,

c) ค้นหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

มาคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้กัน:
ดังนั้นเวกเตอร์ทิศทางจึงเป็นแนวร่วม เส้นจะขนานหรือตรง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสัดส่วน "แลมบ์ดา" นั้นง่ายต่อการดูโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์ทิศทางแนวร่วม อย่างไรก็ตาม ยังสามารถพบได้ผ่านสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย: .

ทีนี้ลองดูว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริงหรือไม่ เงื่อนไขฟรีทั้งสองเป็นศูนย์ ดังนั้น:

ค่าที่ได้จะเป็นไปตามสมการนี้ (โดยทั่วไปแล้วตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปตามนั้น)

ดังนั้นเส้นจึงตรงกัน

ตอบ:

ในไม่ช้า คุณจะได้เรียนรู้ (หรือแม้กระทั่งได้เรียนรู้แล้ว) วิธีแก้ปัญหาโดยพิจารณาด้วยวาจาภายในเวลาไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนอวิธีแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ เป็นการดีกว่าที่จะวางอิฐที่สำคัญอีกก้อนในรากฐานทางเรขาคณิต:

จะสร้างเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

เพื่อความไม่รู้ของงานที่ง่ายที่สุดนี้ Nightingale the Robber ลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่าง 2

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ ให้เท่ากับเส้นตรงคู่ขนานที่ลากผ่านจุด

วิธีการแก้: แสดงว่าเป็นตัวอักษรตรงที่ไม่รู้จัก เงื่อนไขบอกอะไรเกี่ยวกับเธอ? เส้นตรงผ่านจุด และถ้าเส้นตรงขนานกัน ก็เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์กำกับของเส้นตรง "tse" ก็เหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง "de" ด้วย

เรานำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตของตัวอย่างดูตรงไปตรงมา:

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเส้นมีเวกเตอร์ทิศทางเดียวกัน (หากสมการของเส้นไม่ได้ทำให้ง่ายขึ้นอย่างถูกต้อง เวกเตอร์จะเป็นเส้นตรง)

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการที่ได้รับหรือไม่

การตรวจวิเคราะห์โดยส่วนใหญ่มักทำได้ง่ายด้วยวาจา ดูสมการทั้งสองนี้ แล้วพวกคุณหลายๆ คนจะสามารถหาความขนานของเส้นตรงได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องวาด

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเองในวันนี้จะมีความคิดสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องแข่งขันกับ Baba Yaga และเธอก็เป็นคนรักปริศนาทุกประเภท

ตัวอย่างที่ 3

ทำสมการเส้นตรงที่ลากผ่านจุดขนานกับเส้นตรง if

มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลและไม่สมเหตุสมผลมาก วิธีที่สั้นที่สุดคือเมื่อสิ้นสุดบทเรียน

เราได้ทำงานกับเส้นคู่ขนานเล็กน้อยและจะกลับไปหาพวกเขาในภายหลัง กรณีการประชิดเส้นตรงนั้นไม่ค่อยน่าสนใจ ดังนั้นให้พิจารณาปัญหาที่คุณทราบดีจากหลักสูตรของโรงเรียน:

จะหาจุดตัดของสองเส้นได้อย่างไร?

ถ้าตรง ตัดกันที่จุดหนึ่ง แล้วพิกัดของมันคือคำตอบ ระบบสมการเชิงเส้น

จะหาจุดตัดของเส้นได้อย่างไร? แก้ระบบ.

มากสำหรับคุณ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองนิรนามเป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกัน (ส่วนใหญ่) บนระนาบ

ตัวอย่างที่ 4

หาจุดตัดของเส้น

วิธีการแก้: มีสองวิธีในการแก้ปัญหา - แบบกราฟิกและเชิงวิเคราะห์

วิธีแบบกราฟิกคือการวาดเส้นข้อมูลและค้นหาจุดตัดกันโดยตรงจากรูปวาด:

นี่คือประเด็นของเรา:. ในการตรวจสอบ คุณควรแทนที่พิกัดของมันในแต่ละสมการของเส้นตรง พวกมันควรพอดีทั้งตรงนั้นและตรงนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดคือคำตอบของระบบ โดยพื้นฐานแล้ว เราดูวิธีแก้แบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสองสมการ สองนิรนาม

แน่นอนว่าวิธีการแบบกราฟิกนั้นไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ ประเด็นไม่ใช่ว่านักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัดสินใจอย่างนั้น ประเด็นคือต้องใช้เวลากว่าจะได้ภาพวาดที่ถูกต้องและแม่นยำ นอกจากนี้ เส้นตรงบางเส้นยังสร้างได้ไม่ง่ายนัก และจุดตัดอาจอยู่ที่ใดที่หนึ่งในสามสิบอาณาจักรนอกแผ่นสมุด

ดังนั้นจึงควรค้นหาจุดตัดโดยใช้วิธีการวิเคราะห์ มาแก้ระบบกัน:

ในการแก้ระบบ ใช้วิธีการบวกสมการแบบเทอมต่อเทอม เพื่อสร้างทักษะที่เกี่ยวข้อง ไปที่บทเรียน จะแก้ระบบสมการได้อย่างไร?

ตอบ:

การตรวจสอบเป็นเรื่องเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดต้องเป็นไปตามทุกสมการในระบบ

ตัวอย่างที่ 5

หาจุดตัดของเส้นตรงหากตัดกัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง สะดวกในการแบ่งงานออกเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแนะนำสิ่งที่จำเป็น:
1) สร้างสมการของเส้นตรง
2) สร้างสมการของเส้นตรง
3) หาตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรง
4) ถ้าเส้นตัดกัน ให้หาจุดตัดกัน

การพัฒนาอัลกอริธึมของการกระทำเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาทางเรขาคณิตหลายอย่าง และฉันจะเน้นเรื่องนี้ซ้ำๆ

วิธีแก้ปัญหาและคำตอบทั้งหมดในตอนท้ายของบทช่วยสอน:

รองเท้าคู่หนึ่งยังไม่ได้สวมใส่เมื่อเรามาถึงส่วนที่สองของบทเรียน:

เส้นตรงตั้งฉาก. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
มุมระหว่างเส้นตรง

เริ่มจากงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรก เราเรียนรู้วิธีสร้างเส้นตรงขนานกับอันนี้ และตอนนี้กระท่อมบนขาไก่จะเปลี่ยนเป็น 90 องศา:

จะสร้างเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการ เท่ากับเส้นตั้งฉากผ่านจุด

วิธีการแก้: โดยเงื่อนไขเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า คงจะดีถ้าหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง เนื่องจากเส้นตั้งฉาก เคล็ดลับจึงง่าย:

จากสมการ "ลบ" เวกเตอร์ตั้งฉาก: ซึ่งจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

ให้เราเขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

ตอบ:

มาขยายร่างเรขาคณิตกันเถอะ:

อืม ... ท้องฟ้าสีส้ม ทะเลสีส้ม อูฐสีส้ม

การตรวจสอบเชิงวิเคราะห์ของโซลูชัน:

1) นำเวกเตอร์ทิศทางออกจากสมการ และด้วยความช่วยเหลือ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เราได้ข้อสรุปว่าเส้นตรงนั้นตั้งฉากกันจริง ๆ :.

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติได้ มันง่ายยิ่งขึ้นไปอีก

2) ตรวจสอบว่าจุดตรงกับสมการที่ได้รับหรือไม่ .

การตรวจสอบอีกครั้งทำได้ง่ายด้วยวาจา

ตัวอย่าง 7

หาจุดตัดของเส้นตั้งฉากถ้าทราบสมการ และชี้

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง มีการดำเนินการหลายอย่างในงาน ดังนั้นจึงสะดวกในการวาดวิธีแก้ปัญหาทีละจุด

การเดินทางที่น่าตื่นเต้นของเราดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ข้างหน้าเราคือทางตรงของแม่น้ำ และหน้าที่ของเราคือไปให้ถึงโดยทางที่สั้นที่สุด ไม่มีสิ่งกีดขวาง และเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือการเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉาก กล่าวคือ ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรงคือความยาวของเส้นตั้งฉาก

ระยะทางในเรขาคณิตมักใช้แทนด้วยอักษรกรีก "ro" ตัวอย่างเช่น: - ระยะทางจากจุด "em" ถึงเส้นตรง "de"

ระยะทางจากจุดถึงเส้น แสดงโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 8

หาระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง

วิธีการแก้: ทั้งหมดที่จำเป็นคือการแทนที่ตัวเลขลงในสูตรอย่างระมัดระวังและดำเนินการคำนวณ:

ตอบ:

มาวาดรูปกันเถอะ:

ระยะทางจากจุดไปยังเส้นที่พบคือความยาวของเส้นสีแดงพอดี หากคุณวาดภาพวาดบนกระดาษตาหมากรุกในระดับ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นสามารถวัดระยะทางด้วยไม้บรรทัดธรรมดา

พิจารณางานอื่นสำหรับพิมพ์เขียวเดียวกัน:

ภารกิจคือการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรถึงจุดเทียบกับเส้นตรง ... ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตนเอง แต่ฉันจะร่างอัลกอริทึมโซลูชันพร้อมผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) หาเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของเส้น: .

การกระทำทั้งสองมีรายละเอียดอยู่ในบทเรียนนี้

3) จุดคือจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง เราทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางและปลายด้านหนึ่ง โดย สูตรพิกัดจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์เราพบ

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะตรวจสอบระยะทางด้วย 2.2 หน่วย

ความยากในการคำนวณอาจเกิดขึ้นได้ แต่ในหอคอย เครื่องคิดเลขขนาดเล็กช่วยได้มาก ช่วยให้คุณนับเศษส่วนธรรมดาได้ แนะนำซ้ำๆ จะแนะนำและอีกครั้ง

จะหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 9

จงหาระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานสองเส้น

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของโซลูชันอิสระ ให้ฉันให้คำแนะนำเล็กน้อยแก่คุณ: มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน การซักถามในตอนท้ายของบทเรียน แต่ควรลองเดาด้วยตัวคุณเอง ฉันคิดว่าคุณสามารถแยกย้ายกันไปความเฉลียวฉลาดของคุณได้ค่อนข้างดี

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

ทุกมุมเป็นวงกบ:


ในเรขาคณิต มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นจะถูกนำมาเป็นมุมที่เล็กที่สุด ซึ่งจะตามมาโดยอัตโนมัติเพื่อไม่ให้เป็นมุมป้าน ในรูป มุมที่ระบุด้วยส่วนโค้งสีแดงจะไม่นับเป็นมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน และเพื่อนบ้าน "สีเขียว" ของเขาถือเป็นเช่นนี้หรือ ตรงกันข้ามมุม "แดง"

หากเส้นตรงตั้งฉาก ก็สามารถนำมุมทั้ง 4 มุมมาเป็นมุมระหว่างมุมทั้งสองได้

มุมต่างกันอย่างไร? ปฐมนิเทศ. ประการแรก ทิศทางของมุม "การเลื่อน" มีความสำคัญอย่างยิ่ง ประการที่สอง มุมเชิงลบเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น if

ทำไมฉันถึงบอกเรื่องนี้? ดูเหมือนว่าแนวคิดปกติของมุมหนึ่งสามารถจ่ายได้ ความจริงก็คือในสูตรที่เราใช้หามุม คุณจะได้ผลลัพธ์เชิงลบอย่างง่ายดาย และสิ่งนี้ไม่ควรทำให้คุณแปลกใจ มุมที่มีเครื่องหมายลบไม่ได้แย่ไปกว่านั้น และมีความหมายทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก ในภาพวาด สำหรับมุมลบ ต้องแน่ใจว่าได้ระบุทิศทางด้วยลูกศร (ตามเข็มนาฬิกา)

จะหามุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นได้อย่างไร?มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่าง 10

หามุมระหว่างเส้นตรง

วิธีการแก้และ วิธีที่หนึ่ง

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉาก, แล้ว มุ่งเน้นมุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

มาใส่ใจตัวส่วนกันให้ดี - นี่แหละ ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:

ถ้า ตัวส่วนของสูตรหายไป และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและเส้นตรงจะตั้งฉาก นั่นคือเหตุผลที่ทำการจองเกี่ยวกับการไม่ตั้งฉากของเส้นตรงในสูตร

จากที่กล่าวมาข้างต้น เป็นการสะดวกที่จะร่างวิธีแก้ปัญหาในสองขั้นตอน:

1) คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง:
ดังนั้นเส้นตรงจึงไม่ตั้งฉาก

2) มุมระหว่างเส้นตรงหาได้จากสูตร:

เมื่อใช้ฟังก์ชันผกผัน จะหามุมได้ง่าย ในกรณีนี้ เราใช้ความแปลกประหลาดของอาร์คแทนเจนต์ (ดู กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น):

ตอบ:

ในคำตอบ เราระบุค่าที่แน่นอน เช่นเดียวกับค่าโดยประมาณ (ควรเป็นทั้งหน่วยองศาและเรเดียน) ซึ่งคำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบ ได้ ลบ ไม่เป็นไร นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมกลายเป็นแนวลบเพราะในคำสั่งปัญหาตัวเลขแรกเป็นเส้นตรงและ "การบิด" ของมุมเริ่มต้นด้วยมัน

หากคุณต้องการได้มุมบวกจริงๆ คุณต้องสลับเส้นตรง นั่นคือ หาค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และสัมประสิทธิ์นำมาจากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยเส้นตรง .

คำแนะนำ

บันทึก

คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติของแทนเจนต์คือ 180 องศา ซึ่งหมายความว่าความชันของเส้นตรงไม่สามารถเกินค่านี้ได้ในค่าสัมบูรณ์

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

หากความชันเท่ากัน มุมระหว่างเส้นดังกล่าวจะเป็น 0 เนื่องจากเส้นดังกล่าวจะตรงหรือขนานกัน

ในการกำหนดค่ามุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน จำเป็นต้องย้ายเส้นตรงทั้งสองเส้น (หรือเส้นใดเส้นหนึ่ง) ไปยังตำแหน่งใหม่โดยใช้วิธีการถ่ายโอนแบบขนานก่อนข้าม หลังจากนั้น คุณควรหาค่าของมุมระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันที่เกิดขึ้น

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด สามเหลี่ยมมุมฉาก ดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

ดังนั้น ให้เวกเตอร์ V = (a, b, c) และระนาบ A x + B y + C z = 0 โดยที่ A, B และ C เป็นพิกัดของ N ปกติ แล้วโคไซน์ของมุม α ระหว่างเวกเตอร์ V และ N เท่ากับ: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))

ในการคำนวณค่ามุมในหน่วยองศาหรือเรเดียน คุณต้องคำนวณฟังก์ชันผกผันกับโคไซน์จากนิพจน์ผลลัพธ์ กล่าวคือ โคไซน์ผกผัน: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)))

ตัวอย่าง: find ฉีดระหว่าง เวกเตอร์(5, -3, 8) และ เครื่องบินกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x - 5 y + 3 z = 0 วิธีแก้ปัญหา: เขียนพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ N = (2, -5, 3) แทนที่ค่าที่ทราบทั้งหมดในสูตรข้างต้น: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เส้นตรงที่มีจุดหนึ่งเหมือนกันกับวงกลมจะสัมผัสกับวงกลม อีกลักษณะหนึ่งของเส้นสัมผัสคือมันตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์เสมอ นั่นคือ แทนเจนต์และรัศมีสร้างเป็นเส้นตรง ฉีด... ถ้าจากจุดหนึ่งจุด A สองเส้นสัมผัสถูกดึงไปที่วงกลม AB และ AC แล้วพวกมันจะเท่ากันเสมอ การกำหนดมุมระหว่างแทนเจนต์ ( ฉีด ABC) ผลิตขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คำแนะนำ

ในการกำหนดมุม คุณต้องทราบรัศมีของวงกลม OB และ OS และระยะห่างของจุดเริ่มต้นของเส้นสัมผัสจากจุดศูนย์กลางของวงกลม - O ดังนั้น มุม ABO และ ASO จะเท่ากัน รัศมีของ OB ตัวอย่างเช่น 10 ซม. และระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลม AO คือ 15 ซม. กำหนดความยาวของแทนเจนต์ตามสูตรตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: AB = รากที่สองของ AO2 - OB2 หรือ 152 - 102 = 225 - 100 = 125;