Prvá úroveň

Riešenie rovníc, nerovníc, sústav pomocou funkčných grafov. Vizuálny sprievodca (2019)

Mnohé úlohy, ktoré sme zvyknutí počítať čisto algebraicky, sa dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie a rýchlejšie pomocou funkčných grafov. Hovoríte "ako to?" niečo nakresliť a čo nakresliť? Verte mi, niekedy je to pohodlnejšie a jednoduchšie. Môžeme začať? Začnime s rovnicami!

Grafické riešenie rovníc

Grafické riešenie lineárnych rovníc

Ako už viete, graf lineárnej rovnice je priamka, odtiaľ názov tohto typu. Lineárne rovnice sa algebraicky riešia celkom jednoducho – všetky neznáme prenesieme na jednu stranu rovnice, všetko, čo vieme, na druhú a voilá! Našli sme koreň. Teraz vám ukážem, ako na to graficky.

Takže máte rovnicu:

Ako to vyriešiť?
možnosť 1 a najbežnejším je presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú, dostaneme:

Teraz poďme stavať. Čo si dostal?

Čo je podľa vás koreňom našej rovnice? Správne, súradnica priesečníka grafov je:

Naša odpoveď je

To je celá múdrosť grafického riešenia. Ako môžete ľahko skontrolovať, koreňom našej rovnice je číslo!

Ako som povedal vyššie, toto je najbežnejšia možnosť, blízko k algebraické riešenie, ale môžete to vyriešiť inak. Na zváženie alternatívne riešenie Vráťme sa k našej rovnici:

Tentokrát nebudeme nič presúvať zo strany na stranu, ale vytvoríme grafy priamo, ako sú teraz:

Postavený? Pozrime sa!

Aké je riešenie tentokrát? To je správne. To isté - súradnica priesečníka grafov:

A naša odpoveď je opäť.

Ako vidíte, s lineárnymi rovnicami je všetko veľmi jednoduché. Je čas pozrieť sa na niečo komplexnejšie... Napr. grafické riešenie kvadratických rovníc.

Grafické riešenie kvadratických rovníc

Tak a teraz poďme k riešeniu kvadratická rovnica. Povedzme, že potrebujete nájsť korene tejto rovnice:

Samozrejme, teraz môžete začať počítať cez diskriminant alebo podľa Vietovej vety, ale veľa ľudí od nervov robí chyby pri násobení alebo umocňovaní, najmä ak je príklad s veľké čísla, a ako iste viete, na skúšku nebudete mať kalkulačku... Preto sa skúsme pri riešení tejto rovnice trochu uvoľniť a kresliť.

Riešenia tejto rovnice môžete nájsť graficky rôzne cesty. Uvažujme rôzne možnosti a môžete si vybrať, ktorý z nich sa vám najviac páči.

Metóda 1. Priamo

Jednoducho zostavíme parabolu pomocou tejto rovnice:

Aby ste to urobili rýchlo, dám vám jeden malý tip: Konštrukciu je vhodné začať určením vrcholu paraboly. Nasledujúce vzorce pomôžu určiť súradnice vrcholu paraboly:

Poviete „Stop! Vzorec pre je veľmi podobný vzorcu na nájdenie diskriminantu,“ áno, je, a to je obrovská nevýhoda „priamoho“ zostrojenia paraboly na nájdenie jej koreňov. Počítajme však do konca a potom vám ukážem, ako to urobiť oveľa (oveľa!) jednoduchšie!

Počítal si? Aké súradnice ste získali pre vrchol paraboly? Poďme na to spolu:

Presne tá istá odpoveď? Výborne! A teraz už poznáme súradnice vrcholu, no na zostrojenie paraboly potrebujeme viac... bodov. Koľko minimálnych bodov si myslíte, že potrebujeme? Správny, .

Viete, že parabola je symetrická podľa svojho vrcholu, napríklad:

Preto potrebujeme ďalšie dva body na ľavej alebo pravej vetve paraboly a v budúcnosti budeme tieto body symetricky odrážať na opačnej strane:

Vráťme sa k našej parabole. Pre náš prípad bodka. Potrebujeme ešte dva body, aby sme mohli brať pozitívne alebo negatívne? Ktoré body sú pre vás výhodnejšie? Je pre mňa pohodlnejšie pracovať s pozitívnymi, takže vypočítam na a.

Teraz máme tri body, môžeme ľahko zostrojiť našu parabolu odrazom posledných dvoch bodov vzhľadom na jej vrchol:

Aké je podľa vás riešenie rovnice? To je pravda, body, v ktorých, to je, a. Pretože.

A ak to povieme, znamená to, že sa musí aj rovnať, príp.

len? Dokončili sme s vami riešenie rovnice zložitým grafickým spôsobom, alebo bude viac!

Samozrejme, našu odpoveď si môžete skontrolovať algebraicky – korene môžete vypočítať pomocou Vietovej vety alebo Diskriminantu. Čo si dostal? Rovnaký? Tu vidíte! Teraz sa pozrime na veľmi jednoduché grafické riešenie, určite sa vám bude páčiť!

Metóda 2. Rozdelená na niekoľko funkcií

Zoberme si rovnakú rovnicu: , ale napíšeme ju trochu inak, konkrétne:

Môžeme to napísať takto? Môžeme, keďže transformácia je ekvivalentná. Pozrime sa ďalej.

Zostavme dve funkcie oddelene:

1. - graf je jednoduchá parabola, ktorú ľahko zostrojíte aj bez definovania vrcholu pomocou vzorcov a zostavenia tabuľky na určenie ďalších bodov.
2. - graf je priamka, ktorú môžete rovnako ľahko zostaviť odhadom hodnôt vo vašej hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Postavený? Porovnajme s tým, čo som dostal:

Aké sú podľa vás korene rovnice v tomto prípade? Správny! Súradnice získané priesečníkom dvoch grafov, a to:

Preto je riešením tejto rovnice:

Čo hovoríš? Súhlasíte, táto metóda riešenia je oveľa jednoduchšia ako predchádzajúca a dokonca jednoduchšia ako hľadanie koreňov cez diskriminant! Ak áno, skúste vyriešiť nasledujúcu rovnicu pomocou tejto metódy:

Čo si dostal? Porovnajme naše grafy:

Grafy ukazujú, že odpovede sú:

Zvládli ste to? Výborne! Teraz sa pozrime na rovnice trochu zložitejšie, konkrétne na riešenie zmiešaných rovníc, teda rovníc obsahujúcich funkcie rôznych typov.

Grafické riešenie zmiešaných rovníc

Teraz skúsme vyriešiť nasledovné:

Samozrejme, všetko vieme doniesť spoločný menovateľ, nájdite korene výslednej rovnice, pričom nezabudnite vziať do úvahy ODZ, ale opäť sa to pokúsime vyriešiť graficky, ako sme to urobili vo všetkých predchádzajúcich prípadoch.

Tentoraz zostavme nasledujúce 2 grafy:

1. - graf je hyperbola
2. - graf je priamka, ktorú môžete ľahko zostaviť odhadom hodnôt v hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Uvedomil si to? Teraz začnite stavať.

Tu je to, čo som dostal:

Pri pohľade na tento obrázok mi povedzte, aké sú korene našej rovnice?

Je to tak a. Tu je potvrdenie:

Skúste do rovnice zapojiť naše korene. Stalo?

To je správne! Súhlasíte, riešenie takýchto rovníc graficky je potešením!

Skúste rovnicu vyriešiť graficky sami:

Dám vám nápovedu: presuňte časť rovnice na pravú stranu tak, aby najjednoduchšie funkcie na zostavenie boli na oboch stranách. Dostali ste nápovedu? Konajte!

Teraz sa pozrime, čo máte:

Respektíve:

1. - kubická parabola.
2. - obyčajná priamka.

No poďme stavať:

Ako ste už dávno zapísali, koreň tejto rovnice je - .

Po tomto rozhodnutí veľké množstvo príklady, som si istý, že ste si uvedomili, ako ľahko a rýchlo môžete riešiť rovnice graficky. Je čas prísť na to, ako riešiť systémy týmto spôsobom.

Grafické riešenie systémov

Grafické riešenie systémov sa v podstate nelíši od grafického riešenia rovníc. Zostavíme tiež dva grafy a ich priesečníky budú koreňmi tohto systému. Jeden graf je jedna rovnica, druhý graf je ďalšia rovnica. Všetko je mimoriadne jednoduché!

Začnime tým najjednoduchším – riešením sústav lineárnych rovníc.

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Povedzme, že máme nasledujúci systém:

Najprv to pretvorme tak, aby naľavo bolo všetko, s čím súvisí, a napravo - všetko, s čím súvisí. Inými slovami, napíšme tieto rovnice ako funkciu v našom obvyklom tvare:

Teraz len postavíme dve rovné čiary. Aké je riešenie v našom prípade? Správny! Bod ich priesečníka! A tu musíte byť veľmi, veľmi opatrní! Premýšľajte o tom, prečo? Dovoľte mi poradiť: máme čo do činenia so systémom: v systéme je oboje a... Máte tip?

To je správne! Pri riešení sústavy sa musíme pozerať na obe súradnice, a to nielen ako pri riešení rovníc! Ďalší dôležitý bod- zapíšte si ich správne a nezamieňajte, kde máme význam a kde význam! Napísal si to? Teraz porovnajme všetko v poradí:

A odpovede: a. Urobte kontrolu - dosaďte nájdené korene do systému a presvedčte sa, či sme to správne graficky vyriešili?

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Čo ak namiesto jednej priamky máme kvadratickú rovnicu? Je to v poriadku! Namiesto priamky postavíte parabolu! neveríte? Skúste vyriešiť nasledujúci systém:

Aký je náš ďalší krok? Správne, zapíšte si to, aby bolo pre nás vhodné vytvárať grafy:

A teraz je to všetko otázka malých vecí – postavte to rýchlo a tu je vaše riešenie! Staviame:

Vyšli grafy rovnako? Teraz označte riešenia systému na obrázku a správne zapíšte zistené odpovede!

Urobil som všetko? Porovnaj s mojimi poznámkami:

Je všetko v poriadku? Výborne! Tieto typy úloh už lámete ako orechy! Ak áno, dáme vám zložitejší systém:

Čo robíme? Správny! Systém píšeme tak, aby bolo vhodné ho zostaviť:

Dám vám malú nápovedu, pretože systém vyzerá veľmi komplikovane! Pri vytváraní grafov ich stavajte „viac“ a hlavne nebuďte prekvapení množstvom priesečníkov.

Tak, poďme! Vydýchnutý? Teraz začnite stavať!

Tak ako? krásne? Koľko priesečníkov ste získali? Mám tri! Porovnajme naše grafy:

tiež? Teraz si pozorne zapíšte všetky riešenia nášho systému:

Teraz sa znova pozrite na systém:

Viete si predstaviť, že by ste to vyriešili len za 15 minút? Súhlasíte, matematika je stále jednoduchá, najmä pri pohľade na výraz sa nebojíte urobiť chybu, ale jednoducho ju vezmite a vyriešte! Si veľký chalan!

Grafické riešenie nerovností

Grafické riešenie lineárnych nerovností

Po posledný príklad Všetko zvládnete! Teraz vydýchnite - v porovnaní s predchádzajúcimi časťami bude táto veľmi, veľmi ľahká!

Začneme ako obvykle grafickým riešením lineárnej nerovnosti. Napríklad tento:

Najprv vykonajte najjednoduchšie transformácie - otvorte zátvorky dokonalých štvorcov a prezentujte podobné výrazy:

Nerovnosť nie je striktná, preto nie je zahrnutá v intervale a riešením budú všetky body, ktoré sú vpravo, keďže viac, viac atď.

odpoveď:

To je všetko! ľahko? Poďme vyriešiť jednoduchú nerovnosť s dvoma premennými:

Nakreslíme funkciu v súradnicovom systéme.

Dostali ste takýto rozvrh? Teraz sa pozrime pozorne na to, akú nerovnosť tam máme? menej? To znamená, že maľujeme všetko, čo je naľavo od našej priamky. Čo keby ich bolo viac? To je pravda, potom by sme premaľovali všetko, čo je napravo od našej priamky. Je to jednoduché.

Všetky riešenia tejto nerovnosti sú „odtieňované“ oranžová. To je všetko, nerovnosť s dvoma premennými je vyriešená. To znamená, že riešením sú súradnice ľubovoľného bodu zo zatienenej oblasti.

Grafické riešenie kvadratických nerovností

Teraz pochopíme, ako graficky vyriešiť kvadratické nerovnosti.

Ale predtým, než sa pustíme do práce, zopakujme si nejaký materiál týkajúci sa kvadratickej funkcie.

Za čo je zodpovedný diskriminant? To je pravda, pre polohu grafu vzhľadom na os (ak si to nepamätáte, určite si prečítajte teóriu o kvadratických funkciách).

V každom prípade je tu pre vás malá pripomienka:

Teraz, keď sme si osviežili všetok materiál v pamäti, poďme na vec – vyriešte nerovnosť graficky.

Hneď vám poviem, že existujú dve možnosti, ako to vyriešiť.

možnosť 1

Našu parabolu zapíšeme ako funkciu:

Pomocou vzorcov určíme súradnice vrcholu paraboly (presne rovnaké ako pri riešení kvadratických rovníc):

Počítal si? Čo si dostal?

Teraz zoberme ďalšie dva rôzne body a vypočítajme pre ne:

Začnime budovať jednu vetvu paraboly:

Symetricky odrážame naše body do inej vetvy paraboly:

Teraz sa vráťme k našej nerovnosti.

Potrebujeme, aby bola menšia ako nula, resp.

Keďže v našej nerovnosti je znamienko striktne menšie ako, vylúčime koncové body - „prepichnutie“.

odpoveď:

Dlhá cesta, však? Teraz vám ukážem jednoduchšiu verziu grafického riešenia na príklade rovnakej nerovnosti:

Možnosť 2

Vrátime sa k našej nerovnosti a označíme intervaly, ktoré potrebujeme:

Súhlasíte, je to oveľa rýchlejšie.

Teraz si napíšme odpoveď:

Uvažujme o ďalšom riešení, ktoré zjednodušuje algebraickú časť, ale hlavnou vecou nie je zmiasť sa.

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Skúste sami vyriešiť nasledujúcu kvadratickú nerovnosť ľubovoľným spôsobom: .

Zvládli ste to?

Pozrite sa, ako dopadol môj graf:

odpoveď: .

Grafické riešenie zmiešaných nerovností

Teraz prejdime k zložitejším nerovnostiam!

Ako sa vám páči toto:

Je to strašidelné, však? Úprimne povedané, netuším, ako to vyriešiť algebraicky... Ale nie je to potrebné. Graficky na tom nie je nič zložité! Oči sa boja, ale ruky robia!

Prvá vec, s ktorou začneme, je zostrojenie dvoch grafov:

Nebudem písať tabuľku pre každú z nich - som si istý, že to zvládnete dokonale sami (wow, existuje toľko príkladov na riešenie!).

Namaľoval si to? Teraz vytvorte dva grafy.

Porovnáme naše kresby?

Je to tak aj u vás? Skvelé! Teraz usporiadame priesečníky a pomocou farby určíme, ktorý graf by sme mali mať teoreticky väčší. Pozrite sa, čo sa nakoniec stalo:

Teraz sa pozrime, kde je náš vybraný graf vyššie ako graf? Pokojne si vezmite ceruzku a premaľujte túto oblasť! Ona bude riešením našej komplexnej nerovnosti!

V akých intervaloch pozdĺž osi sa nachádzame vyššie ako? Správny, . Toto je odpoveď!

Teraz môžete zvládnuť akúkoľvek rovnicu, akýkoľvek systém a ešte viac akúkoľvek nerovnosť!

STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Algoritmus na riešenie rovníc pomocou funkčných grafov:

1. Vyjadrime to prostredníctvom
2. Definujme typ funkcie
3. Zostavme grafy výsledných funkcií
4. Poďme nájsť priesečníky grafov
5. Napíšme odpoveď správne (berúc do úvahy znaky ODZ a nerovnosti)
6. Skontrolujeme odpoveď (dosadíme korene do rovnice alebo systému)

Viac informácií o vytváraní funkčných grafov nájdete v téme „“.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nevyhnutne s riešeniami, podrobná analýza a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 999 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

V druhom prípade dáme vám simulátor „6000 problémov s riešeniami a odpoveďami pre každú tému na všetkých úrovniach zložitosti“. Určite bude stačiť dostať do rúk riešenie problémov na akúkoľvek tému.

V skutočnosti je to oveľa viac ako len simulátor - celý tréningový program. V prípade potreby ho môžete využiť aj ZADARMO.

Prístup ku všetkým textom a programom je poskytovaný po CELÚ dobu existencie stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

FEDERÁLNA AGENTÚRA PRE VZDELÁVANIE

INŠTITÚT PRE ROZVOJ VZDELÁVANIA

"Grafické metódy riešenia rovníc a nerovníc s parametrami"

Dokončené

učiteľ matematiky

Mestský vzdelávací ústav stredná škola č.62

Lipeck 2008

ÚVOD ................................................................ ....................................................... ............. .3

X;pri) 4

1.1. Paralelný prenos ................................................................ .................................... 5

1.2. Otočiť ................................................. ...................................................... ...... 9

1.3. Homothety. Kompresia na priamku ................................................ ...................... 13

1.4. Dve rovné čiary v rovine ................................................ ....................................... 15

2. GRAFICKÉ TECHNIKY. SÚRADNICOVÁ ROVINA ( X;A) 17

ZÁVER................................................. ................................................. 20

BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM................................................................ ........................ 22

ÚVOD

Problémy, ktoré majú školáci pri riešení neštandardných rovníc a nerovníc, sú spôsobené jednak relatívnou zložitosťou týchto úloh a jednak tým, že škola sa spravidla zameriava na riešenie štandardných úloh.

Mnoho školákov vníma parameter ako „bežné“ číslo. V niektorých problémoch možno parameter považovať za konštantnú hodnotu, ale táto konštantná hodnota nadobúda neznáme hodnoty! Preto je potrebné zvážiť problém pre všetky možné hodnoty tejto konštanty. V iných problémoch môže byť vhodné umelo deklarovať jednu z neznámych ako parameter.

Ostatní školáci považujú parameter za neznámu veličinu a bez rozpakov môžu parameter vo svojej odpovedi vyjadriť v premennej X.

Pri záverečných a prijímacích skúškach sa vyskytujú najmä dva typy problémov s parametrami. Podľa znenia ich okamžite rozlíšite. Po prvé: "Pre každú hodnotu parametra nájdite všetky riešenia nejakej rovnice alebo nerovnosti." Po druhé: "Nájdite všetky hodnoty parametra, pre každú z nich sú splnené určité podmienky pre danú rovnicu alebo nerovnosť." V súlade s tým sa odpovede v problémoch týchto dvoch typov v podstate líšia. V odpovedi na problém prvého typu sú uvedené všetky možné hodnoty parametra a pre každú z týchto hodnôt sú napísané riešenia rovnice. Odpoveď na problém druhého typu označuje všetky hodnoty parametrov, za ktorých sú splnené podmienky špecifikované v probléme.

Riešenie rovnice s parametrom pre danú pevnú hodnotu parametra je taká hodnota neznámej, pri jej dosadení do rovnice sa táto zmení na správnu číselnú rovnosť. Riešenie nerovnosti s parametrom sa určí podobne. Riešiť rovnicu (nerovnosť) s parametrom – to znamená pre každého prípustnú hodnotu parametra, nájdite množinu všetkých riešení danej rovnice (nerovnosť).

1. GRAFICKÉ TECHNIKY. SÚRADNICOVÁ ROVINA ( X;pri)

Spolu so základnými analytickými technikami a metódami na riešenie problémov s parametrami existujú spôsoby využitia vizuálnych a grafických interpretácií.

Podľa toho, akú úlohu má parameter v úlohe priradený (nerovná sa alebo sa rovná premennej), možno podľa toho rozlíšiť dve hlavné grafické techniky: prvou je konštrukcia grafického obrazu na rovine súradníc. (X;y), druhý - na (X; A).

Na rovine (x; y) funkcia y =f (X; A) definuje skupinu kriviek v závislosti od parametra A. Je jasné, že každá rodina f má určité vlastnosti. Nás bude v prvom rade zaujímať, akým druhom rovinnej transformácie (paralelný posun, rotácia atď.) sa dá prejsť z jednej krivky rodiny do druhej. Každej z týchto transformácií bude venovaný samostatný odsek. Zdá sa nám, že takáto klasifikácia uľahčuje rozhodcovi nájsť potrebný grafický obrázok. Všimnite si, že pri tomto prístupe ideologická časť riešenia nezávisí od toho, ktorý útvar (priamka, kruh, parabola atď.) bude členom rodiny kriviek.

Samozrejme, grafická podoba rodiny nie je vždy y =f (X;A) popísané jednoduchou transformáciou. Preto v podobné situácie Je užitočné zamerať sa nie na to, ako súvisia krivky tej istej rodiny, ale na krivky samotné. Inými slovami, môžeme rozlíšiť iný typ problému, v ktorom je myšlienka riešenia primárne založená na vlastnostiach špecifických geometrické tvary a nie rodina ako celok. Aké figúrky (presnejšie rodiny týchto figúrok) nás budú zaujímať ako prvé? Sú to priamky a paraboly. Táto voľba je spôsobená špeciálnym (základným) postavením lineárnych a kvadratických funkcií v školskej matematike.

Keď už hovoríme o grafických metódach, nemožno sa vyhnúť jednému problému, ktorý sa „zrodil“ z praxe súťažných skúšok. Máme na mysli otázku prísnosti, a teda zákonnosti rozhodnutia založeného na grafických úvahách. Z formálneho hľadiska nepochybne výsledok získaný z „obrázku“, ktorý nie je analyticky podložený, nebol získaný striktne. Kto, kedy a kde však určuje mieru prísnosti, ktorú by mal stredoškolák dodržiavať? Požiadavky na úroveň matematickej náročnosti žiaka by sa podľa nás mali určovať zdravým rozumom. Chápeme mieru subjektivity takéhoto pohľadu. Navyše, grafická metóda je len jedným z prostriedkov prehľadnosti. A viditeľnosť môže klamať..gif" width="232" height="28"> má len jedno riešenie.

Riešenie. Pre pohodlie označujeme lg b = a. Napíšme rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Zostavenie grafu funkcie s doménou definície a (obr. 1). Výsledný graf je rodina priamych čiar y = a sa musia pretínať iba v jednom bode. Obrázok ukazuje, že táto požiadavka je splnená iba vtedy a > 2, t.j. lg b> 2, b> 100.

Odpoveď. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> určte počet riešení rovnice .

Riešenie. Nakreslíme funkciu 102" height="37" style="vertical-align:top">

Uvažujme. Toto je priamka rovnobežná s osou OX.

Odpoveď..gif" width="41" height="20">, potom 3 riešenia;

ak , potom 2 riešenia;

ak , 4 riešenia.

Prejdime k nová sériaúlohy..gif" width="107" height="27 src=">.

Riešenie. Postavme rovnú čiaru pri= X+1 (obr. 3)..gif" width="92" height="57">

mať jedno riešenie, ktoré je ekvivalentné pre rovnicu ( X+1)2 = x + A mať jeden koreň..gif" width="44 height=47" height="47"> pôvodná nerovnosť nemá riešenia. Všimnite si, že niekto, kto pozná deriváciu, môže získať tento výsledok inak.

Ďalej posunutím „semi-paraboly“ doľava opravíme posledný moment, kedy sa grafy pri = X+ 1 a majú dva spoločné body (pozícia III). Toto usporiadanie je zabezpečené požiadavkou A= 1.

Je zrejmé, že pre segment [ X 1; X 2], kde X 1 a X 2 – úsečky priesečníkov grafov, bude riešením pôvodnej nerovnosti..gif" width="68 height=47" height="47">, potom

Keď sa „polparabola“ a priamka pretínajú iba v jednom bode (toto zodpovedá prípadu a > 1), potom riešením bude segment [- A; X 2"], kde X 2" – najväčší z koreňov X 1 a X 2 (pozícia IV).

Príklad 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Odtiaľto sa dostaneme .

Pozrime sa na funkcie a . Z nich iba jedna definuje rodinu kriviek. Teraz vidíme, že náhrada priniesla nepochybné výhody. Súčasne si všimneme, že v predchádzajúcom probléme pomocou podobnej náhrady nemôžete urobiť pohyb „semi-parabola“, ale priamku. Obráťme sa na Obr. 4. Je zrejmé, že ak úsečka vrcholu „polparaboly“ je väčšia ako jedna, t.j. –3 A > 1, , potom rovnica nemá korene..gif" width="89" height="29"> a má inú monotónnosť.

Odpoveď. Ak potom má rovnica jeden koreň; ak https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

má riešenia.

Riešenie. Je jasné, že priame rodiny https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Význam k1 zistíme dosadením dvojice (0;0) do prvej rovnice sústavy. Odtiaľ k1 =-1/4. Význam k 2 získame vyžadovaním od systému

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> keď k> 0 má jeden koreň. Odtiaľ k2= 1/4.

Odpoveď. .

Urobme jednu poznámku. V niektorých príkladoch tohto bodu budeme musieť vyriešiť štandardný problém: pre rodinu čiar nájdite jej uhlový koeficient zodpovedajúci momentu dotyku s krivkou. Ukážeme vám, ako to urobiť v všeobecný pohľad pomocou derivátu.

Ak (x0; r 0) = stred otáčania, potom súradnice (X 1; pri 1) body dotyku s krivkou y =f(x) možno nájsť riešením systému

Požadovaný sklon k rovná .

Príklad 6. Pre aké hodnoty parametra má rovnica jedinečné riešenie?

Riešenie..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, oblúk AB.

Všetky lúče prechádzajúce medzi OA a OB pretínajú oblúk AB v jednom bode a tiež pretínajú oblúk AB OB a OM (tangens) v jednom bode..gif" width="16" height="48 src=">. koeficient dotyčnice sa rovná

Takže priame rodiny https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Odpoveď. .

Príklad 7..gif" width="160" height="25 src="> má riešenie?

Riešenie..gif" width="61" height="24 src="> a zníži sa o . Bod je maximálny bod.

Funkcia je skupina priamych čiar prechádzajúcich bodom https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> je oblúk AB. Priama čiary, ktoré sa budú nachádzať medzi priamkami OA a OB, spĺňajú podmienky úlohy..gif" width="17" height="47 src=">.

Odpoveď..gif" width="15" height="20">žiadne riešenia.

1.3. Homothety. Kompresia na priamku.

Príklad 8. Koľko riešení má systém?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> systém nemá žiadne riešenia. Pre pevné a > 0 graf prvej rovnice je štvorec s vrcholmi ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A).Členmi rodiny sú teda homotetické štvorce (stred homotetiky je bod O(0; 0)).

Obráťme sa na Obr. 8..gif" width="80" height="25"> každá strana štvorca má dva spoločné body s kruhom, čo znamená, že systém bude mať osem riešení. Keď sa ukáže, že kruh je vpísaný do štvorca, t.j. opäť budú štyri riešenia. Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia.

Odpoveď. Ak A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, potom sú štyri riešenia; ak , potom existuje osem riešení.

Príklad 9. Nájdite všetky hodnoty parametra, pre každú z nich je rovnica https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Zvážte funkciu ..jpg" width="195" height="162">

Počet koreňov bude zodpovedať číslu 8, keď je polomer polkruhu väčší a menší ako , tj. Všimnite si, že existuje .

Odpoveď. alebo .

1.4. Dve rovné čiary v rovine

Myšlienka riešenia problémov tohto odseku je v podstate založená na otázke štúdia relatívnej polohy dvoch priamych čiar: A . Je ľahké ukázať riešenie tohto problému vo všeobecnej forme. Obrátime sa priamo na konkrétne typické príklady, ktoré podľa nášho názoru nepoškodia všeobecnú stránku problematiky.

Príklad 10. Na čo a a b robí systém

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Nerovnosť systému definuje polrovinu s hranicou pri= 2x– 1 (obr. 10). Je ľahké si uvedomiť, že výsledný systém má riešenie, ak je priamka ach +o = 5 pretína hranicu polroviny alebo, keďže je s ňou rovnobežná, leží v polrovine pri– 2x + 1 < 0.

Začnime prípadom b = 0. Potom by sa zdalo, že rovnica Oh+ podľa = 5 definuje vertikálnu čiaru, ktorá očividne pretína čiaru y = 2X - 1. Toto tvrdenie je však pravdivé iba vtedy, keď ..gif" width="43" height="20 src="> má systém riešenia ..gif" width="99" height="48">. V tomto prípade je podmienka pre priesečník čiar dosiahnutá pri , t.j. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> a , alebo a , alebo a https ://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− B súradnicová rovina xOa vykreslíme funkciu .

− Zvážte priame čiary a vyberte tie intervaly osi Oa, ktorým tieto priame čiary vyhovujú nasledujúcich podmienok: a) nepretína graf funkcie https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> v jednom bode, c) v dvoch bodov, d) v troch bodoch a pod.

− Ak je úlohou nájsť hodnoty x, potom x vyjadríme ako a pre každý nájdený interval hodnoty a samostatne.

Pohľad na parameter ako na rovnocennú premennú sa odráža v grafických metódach..jpg" width="242" height="182">

Odpoveď. a = 0 alebo a = 1.

ZÁVER

Dúfame, že analyzované problémy presvedčivo demonštrujú účinnosť navrhovaných metód. Rozsah použitia týchto metód je však, žiaľ, obmedzený ťažkosťami, s ktorými sa možno stretnúť pri konštrukcii grafického obrazu. Je to naozaj také zlé? Zjavne nie. S týmto prístupom sa totiž do značnej miery stráca hlavná didaktická hodnota problémov s parametrami ako modelu miniatúrneho výskumu. Vyššie uvedené úvahy sú však určené učiteľom a pre uchádzačov je celkom prijateľný vzorec: účel svätí prostriedky. Navyše si dovoľme povedať, že na značnom počte univerzít sa zostavovatelia súťažných úloh s parametrami riadia cestou od obrázku k podmienke.

V týchto úlohách sme rozoberali možnosti riešenia úloh s parametrom, ktorý sa nám otvorí, keď na hárok papiera nakreslíme grafy funkcií obsiahnutých v ľavej a pravej strane rovníc alebo nerovníc. Vzhľadom na to, že parameter môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty, jeden alebo oba zobrazené grafy sa určitým spôsobom pohybujú po rovine. Dá sa povedať, že sa získa celá rodina grafov zodpovedajúcich rôznym hodnotám parametra.

Dôrazne zdôraznime dva detaily.

Po prvé, nehovoríme o „grafickom“ riešení. Všetky hodnoty, súradnice, korene sú vypočítané striktne, analyticky, ako riešenia zodpovedajúcich rovníc a systémov. To isté platí pre prípady dotyku alebo kríženia grafov. Určujú sa nie okom, ale pomocou diskriminantov, derivátov a iných nástrojov, ktoré máte k dispozícii. Obrázok poskytuje iba riešenie.

Po druhé, aj keď nenájdete žiadny spôsob, ako vyriešiť problém spojený so zobrazenými grafmi, vaše chápanie problému sa výrazne rozšíri, dostanete informácie na samotestovanie a šanca na úspech sa výrazne zvýši. Presným predstavením si toho, čo sa deje v probléme, keď rôzne významy môžete nájsť správny algoritmus riešenia.

Preto tieto slová uzavrieme naliehavým návrhom: ak aj v tom najzložitejšom probléme existujú funkcie, pre ktoré viete kresliť grafy, určite to urobte, nebudete ľutovať.

BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM

1. Čerkasov,: Príručka pre stredoškolákov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách [Text] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 s.

2. Gorshtein, s parametrami [Text]: 3. vydanie, rozšírené a prepracované / , . – M.: Ilexa, Charkov: Gymnázium, 1999. – 336 s.

Grafické riešenie rovníc

Rozkvet, 2009

Úvod

Potreba riešiť kvadratické rovnice už v staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy súvisiace s hľadaním výmer pozemkov a zemné práce vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Babylončania dokázali vyriešiť kvadratické rovnice okolo roku 2000 pred Kristom. Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s modernými, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli.

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách.

ale všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc pre všetky možné kombinácie koeficientov b a c sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

V roku 1591 Francois Viet zaviedol vzorce na riešenie kvadratických rovníc.

IN staroveký Babylon dokáže vyriešiť niektoré typy kvadratických rovníc.

Diophantus Alexandrijský A Euklides, Al-Khwarizmi A Omar Khayyam riešili rovnice pomocou geometrických a grafických metód.

V 7. ročníku sme študovali funkcie y = C, y =kx, y =kx+ m, y =X 2,y = –X 2, v 8. ročníku - y = √X, y =|X|, y =sekera2 + bx+ c, y =k/ X. V učebnici algebry pre 9. ročník som videl funkcie, ktoré mi ešte neboli známe: y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 a ďalšie. Existujú pravidlá na vytváranie grafov týchto funkcií. Zaujímalo by ma, či existujú aj iné funkcie, ktoré sa riadia týmito pravidlami.

Mojou úlohou je študovať funkčné grafy a riešiť rovnice graficky.

1. Aké sú funkcie?

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentov a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Lineárna funkcia je daná rovnicou y =kx+ b, Kde k A b- nejaké čísla. Graf tejto funkcie je priamka.

Funkcia inverzná úmernosť y =k/ X, kde k ¹ 0. Graf tejto funkcie sa nazýva hyperbola.

Funkcia (X– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Kde A, b A r- nejaké čísla. Grafom tejto funkcie je kružnica s polomerom r so stredom v bode A ( A, b).

Kvadratická funkcia r= sekera2 + bx+ c Kde A,b, S– niektoré čísla a A¹ 0. Graf tejto funkcie je parabola.

Rovnica pri2 (a– X) = X2 (a+ X) . Grafom tejto rovnice bude krivka nazývaná strofoid.

/>Rovnica (X2 + r2 ) 2 = a(X2 – r2 ) . Graf tejto rovnice sa nazýva Bernoulliho lemniskát.

Rovnica. Graf tejto rovnice sa nazýva astroid.

Krivka (X2 r2 - 2 sekery)2 = 4 a2 (X2 + y2 ) . Táto krivka sa nazýva kardioidná.

Funkcie: y =X 3 – kubická parabola, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Pojem rovnice a jej grafické riešenie

Rovnica– výraz obsahujúci premennú.

Vyriešte rovnicu- to znamená nájsť všetky jeho korene, alebo dokázať, že neexistujú.

Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice vytvorí správnu číselnú rovnosť.

Riešenie rovníc graficky umožňuje nájsť presnú alebo približnú hodnotu koreňov, umožňuje nájsť počet koreňov rovnice.

Pri zostavovaní grafov a riešení rovníc sa využívajú vlastnosti funkcie, preto sa metóda často nazýva funkcionálno-grafická.

Aby sme rovnicu vyriešili, „rozdelíme“ ju na dve časti, zavedieme dve funkcie, zostavíme ich grafy a nájdeme súradnice priesečníkov grafov. Úsečky týchto bodov sú koreňmi rovnice.

3. Algoritmus na vykreslenie grafu funkcie

Poznanie grafu funkcie y =f(X) môžete vytvárať grafy funkcií y =f(X+ m) ,y =f(X)+ l A y =f(X+ m)+ l. Všetky tieto grafy sú získané z grafu funkcie y =f(X) pomocou paralelnej prenosovej transformácie: na │ m│ jednotky mierky vpravo alebo vľavo pozdĺž osi x a ďalej │ l│ jednotky mierky nahor alebo nadol pozdĺž osi r.

4. Grafické riešenie kvadratickej rovnice

Na príklade kvadratickej funkcie budeme uvažovať o grafickom riešení kvadratickej rovnice. Graf kvadratickej funkcie je parabola.

Čo vedeli starí Gréci o parabole?

Moderná matematická symbolika vznikla v 16. storočí.

Starovekí grécki matematici nemali ani súradnicovú metódu, ani pojem funkcie. Napriek tomu vlastnosti paraboly podrobne študovali. Vynaliezavosť starovekých matematikov je jednoducho úžasná – veď mohli používať len kresby a slovné opisy závislostí.

Najviac plne preskúmaná parabola, hyperbola a elipsa Apollonius z Pergy, ktorý žil v 3. storočí pred Kristom. Tieto krivky pomenoval a naznačil, aké podmienky spĺňajú body ležiace na tej či onej krivke (napokon neexistovali žiadne vzorce!).

Existuje algoritmus na zostavenie paraboly:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Nájdite os súmernosti paraboly (priamka x=x0);

ZLOM STRANY--

Zostavujeme tabuľku hodnôt na zostavenie kontrolných bodov;

Výsledné body zostrojíme a zostrojíme body, ktoré sú k nim symetrické vzhľadom na os symetrie.

1. Pomocou algoritmu zostrojíme parabolu r= X2 – 2 X– 3 . Úsečky priesečníkov s osou X a tam sú korene kvadratickej rovnice X2 – 2 X– 3 = 0.

Existuje päť spôsobov, ako túto rovnicu graficky vyriešiť.

2. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= X2 A r= 2 X+ 3

3. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= X2 –3 A r=2 X. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

4. Transformujte rovnicu X2 – 2 X– 3 = 0 izoláciou celého štvorca do funkcií: r= (X–1) 2 A r=4. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

5. Vydeľte obe strany rovnice členmi X2 – 2 X– 3 = 0 na X, dostaneme X– 2 – 3/ X= 0 , rozdeľme túto rovnicu na dve funkcie: r= X– 2, r= 3/ X. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov priamky a hyperboly.

5. Grafické riešenie stupňových rovnícn

Príklad 1 Vyriešte rovnicu X5 = 3 – 2 X.

r= X5 , r= 3 – 2 X.

odpoveď: x = 1.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 3 √ X= 10 – X.

Korene tejto rovnice sú úsečkou priesečníka grafov dvoch funkcií: r= 3 √ X, r= 10 – X.

odpoveď: x = 8.

Záver

Po pohľade na grafy funkcií: y =sekera2 + bx+ c, y =k/ X, y = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, Všimol som si, že všetky tieto grafy sú zostavené podľa pravidla paralelného prekladu vzhľadom na osi X A r.

Na príklade riešenia kvadratickej rovnice môžeme konštatovať, že grafická metóda je použiteľná aj pre rovnice stupňa n.

Grafické metódy riešenia rovníc sú krásne a zrozumiteľné, ale neposkytujú 100% záruku vyriešenia akejkoľvek rovnice. Úsečky priesečníkov grafov môžu byť približné.

V 9. ročníku a na strednej škole sa budem naďalej oboznamovať s ďalšími funkciami. Zaujíma ma, či tieto funkcie dodržiavajú pravidlá paralelného prenosu pri vytváraní svojich grafov.

Budúci rok by som sa chcel zamyslieť aj nad problematikou grafického riešenia sústav rovníc a nerovníc.

Literatúra

1. Algebra. 7. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. ročníka. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. História matematiky v škole. VII-VIII ročníky. – M.: Školstvo, 1982.

5. Časopis Matematika č. 5 2009; č. 8 2007; č. 23 2008.

6. Grafické riešenie rovníc webové stránky na internete: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; strana 3–6.htm.

Grafická metóda je jednou z hlavných metód riešenia kvadratických nerovníc. V článku predstavíme algoritmus na použitie grafickej metódy a potom zvážime špeciálne prípady pomocou príkladov.

Podstata grafickej metódy

Metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek nerovností, nielen kvadratických. Jej podstatou je toto: pravá a ľavá strana nerovnosti sú považované za dve samostatné funkcie y = f (x) a y = g (x), ich grafy sú vykreslené v pravouhlý systém a pozrite sa, ktorý z grafov je umiestnený nad druhým a v akých intervaloch. Intervaly sa odhadujú takto:

Definícia 1

• riešenia nerovnosti f (x) > g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f je vyšší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f (x) ≥ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je nižší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• riešenia nerovnosti f (x) ≤ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je vyšší ako graf funkcie g;
• Úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešeniami rovnice f (x) = g (x).

Pozrime sa na vyššie uvedený algoritmus pomocou príkladu. Ak to chcete urobiť, zoberte kvadratickú nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) a odvodiť z neho dve funkcie. Ľavá strana nerovnosti bude zodpovedať y = a · x 2 + b · x + c (v tomto prípade f (x) = a · x 2 + b · x + c) a pravá strana y = 0 ( v tomto prípade g (x) = 0).

Graf prvej funkcie je parabola, druhá je priamka, ktorá sa zhoduje s osou x O x. Analyzujme polohu paraboly vzhľadom na os O x. Aby sme to urobili, urobme schematický výkres.

Vetvy paraboly smerujú nahor. V bodoch pretína os O x x 1 A x 2. Koeficient a je v tomto prípade kladný, pretože je zodpovedný za smer vetiev paraboly. Diskriminant je kladný, čo naznačuje, že kvadratická trojčlenka má dva korene a x 2 + b x + c. Korene trojčlenky označujeme ako x 1 A x 2, a to bolo prijaté x 1< x 2 , keďže na osi O x je zobrazený bod s úsečkou x 1 naľavo od úsečky x 2.

Časti paraboly umiestnené nad osou O x budú označené červenou farbou, pod ňou modrou. To nám umožní urobiť kresbu vizuálnejšou.

Vyberme medzery, ktoré zodpovedajú týmto častiam a označme ich na obrázku poliami určitej farby.

Červenou farbou sme označili intervaly (− ∞, x 1) a (x 2, + ∞), na nich je parabola nad osou O x. Sú to a · x 2 + b · x + c > 0. Modrou farbou sme označili interval (x 1 , x 2), ktorý je riešením nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Urobme si krátke zhrnutie riešenia. Pre a > 0 a D = b 2 − 4 a c > 0 (alebo D " = D 4 > 0 pre párny koeficient b) dostaneme:

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) alebo v inom zápise x< x 1 , x >x2;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) alebo v inom tvare x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c ≤ 0 je [ x 1 , x 2 ] alebo v inom zápise x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

kde x 1 a x 2 sú korene kvadratického trinómu a · x 2 + b · x + c a x 1< x 2 .

Na tomto obrázku sa parabola dotýka osi O x iba v jednom bode, ktorý je označený ako x 0 a > 0. D = 0, teda, kvadratická trojčlenka má jeden koreň x 0.

Parabola je umiestnená úplne nad osou O x, s výnimkou bodu dotyku súradnicovej osi. Vyfarbíme intervaly (− ∞ , x 0), (x 0, ∞) .

Výsledky si zapíšeme. O a > 0 A D = 0:

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x 0;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c ≥ 0 je (− ∞ , + ∞) alebo v inom zápise x ∈ R;
• kvadratická nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 nemá žiadne riešenia (neexistujú žiadne intervaly, v ktorých by sa parabola nachádzala pod osou Vôl);
• kvadratická nerovnosť a x 2 + b x + c ≤ 0 má unikátne riešenie x = x 0(je to dané kontaktným miestom),

Kde x 0- odmocnina štvorcového trojčlenu a x 2 + b x + c.

Zoberme si tretí prípad, keď vetvy paraboly smerujú nahor a nedotýkajú sa osi Vôl. Vetvy paraboly smerujú nahor, čo znamená, že a > 0. Štvorcový trojčlen nemá skutočné korene, pretože D< 0 .

Na grafe nie sú intervaly, v ktorých by bola parabola pod osou x. Zohľadníme to pri výbere farby pre našu kresbu.

Ukazuje sa, že kedy a > 0 A D< 0 riešenie kvadratických nerovností a x 2 + b x + c > 0 A a x 2 + b x + c ≥ 0 je množina všetkých reálnych čísel a nerovností a x 2 + b x + c< 0 A a x 2 + b x + c ≤ 0 nemať riešenia.

Máme tri možnosti, ktoré musíme zvážiť, keď sú vetvy paraboly nasmerované nadol. Nie je potrebné sa týmito tromi možnosťami podrobne zaoberať, pretože keď obe strany nerovnosti vynásobíme − 1, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pre x 2.

Úvaha o predchádzajúcej časti článku nás pripravila na vnímanie algoritmu na riešenie nerovností pomocou grafická metóda. Na vykonanie výpočtov budeme musieť zakaždým použiť výkres, ktorý bude zobrazovať súradnicovú čiaru O x a parabolu, ktorá zodpovedá kvadratickej funkcii. y = a x 2 + b x + c. Vo väčšine prípadov nebudeme zobrazovať os O y, pretože nie je potrebná na výpočty a iba preťaží výkres.

Na zostavenie paraboly potrebujeme vedieť dve veci:

Definícia 2

• smer vetiev, ktorý je určený hodnotou koeficientu a;
• prítomnosť priesečníkov paraboly a osi x, ktoré sú určené hodnotou diskriminantu kvadratického trinomu a · x 2 + b · x + c .

Označíme priesečníky a dotyky obvyklým spôsobom pri riešení neprísnych nerovností a prázdno pri riešení prísnych.

Po dokončení výkresu môžete prejsť na ďalší krok riešenia. Zahŕňa určenie intervalov, v ktorých sa parabola nachádza nad alebo pod osou O x. Intervaly a priesečníky sú riešením kvadratickej nerovnosti. Ak neexistujú žiadne priesečníky alebo dotyky a neexistujú žiadne intervaly, potom sa má za to, že nerovnosť špecifikovaná v podmienkach úlohy nemá riešenia.

Teraz poďme vyriešiť niekoľko kvadratických nerovností pomocou vyššie uvedeného algoritmu.

Príklad 1

Nerovnosť 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 je potrebné vyriešiť graficky.

Riešenie

Nakreslíme graf kvadratickej funkcie y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeficient at x 2 pozitívny, pretože je rovnaký 2 . To znamená, že vetvy paraboly budú smerovať nahor.

Vypočítajme diskriminant kvadratického trinómu 2 x 2 + 5 1 3 x - 2, aby sme zistili, či má parabola spoločné body s osou x. Dostaneme:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Ako vidíme, D je väčšie ako nula, preto máme dva priesečníky: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 a x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, tj. x 1 = - 3 A x 2 = 1 3.

Riešime neprísnu nerovnicu, preto do grafu dáme obyčajné body. Nakreslíme parabolu. Ako vidíte, kresba má rovnaký vzhľad ako v prvej šablóne, ktorú sme zvážili.

Naša nerovnosť má znamienko ≤. Preto musíme na grafe zvýrazniť intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x a pridať k nim priesečníky.

Interval, ktorý potrebujeme, je 3, 1 3. Pridáme k nemu priesečníky a dostaneme číselný segment − 3, 1 3. Toto je riešenie nášho problému. Odpoveď možno zapísať ako dvojitú nerovnosť: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

odpoveď:− 3 , 1 3 alebo − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Príklad 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafická metóda.

Riešenie

Druhá mocnina premennej má záporný číselný koeficient, takže vetvy paraboly budú smerovať nadol. Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Tento výsledok nám hovorí, že budú existovať dva priesečníky.

Vypočítajme korene kvadratického trinomu: x 1 = - 8 + 1 - 1 a x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 a x 2 = 9.

Ukazuje sa, že parabola pretína os x v bodoch 7 A 9 . Označme tieto body na grafe ako prázdne, keďže pracujeme s prísnou nerovnosťou. Potom nakreslite parabolu, ktorá pretína os O x v označených bodoch.

Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Označme tieto intervaly modrou farbou.

Dostávame odpoveď: riešením nerovnosti sú intervaly (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

odpoveď:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) alebo v inom zápise x< 7 , x > 9 .

V prípadoch, keď je diskriminant kvadratického trinómu nula, je potrebné dôkladne zvážiť, či do odpovede zahrnúť úsečky dotyčnicových bodov. S cieľom prijať správne riešenie, je potrebné vziať do úvahy znak nerovnosti. Pri striktných nerovnostiach bod dotyku osi x nie je riešením nerovnosti, ale pri neprisnych áno.

Príklad 3

Vyriešte kvadratickú nerovnosť 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafická metóda.

Riešenie

Vetvy paraboly budú v tomto prípade smerovať nahor. Dotkne sa osi O x v bode 0, 7, od r

Nakreslíme funkciu y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Jeho vetvy smerujú nahor, pretože koeficient pri x 2 kladný a dotýka sa osi x v bode osi x 0 , 7 , pretože D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, odkiaľ x 0 = 7 10 alebo 0 , 7 .

Dajme bod a nakreslíme parabolu.

Nestriktnú nerovnicu riešime so znamienkom ≤. Preto. Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou x a bodom dotyku. Na obrázku nie sú žiadne intervaly, ktoré by vyhovovali našim podmienkam. Existuje iba kontaktný bod 0, 7. Toto je riešenie, ktoré hľadáme.

odpoveď: Nerovnosť má len jedno riešenie 0,7.

Príklad 4

Vyriešte kvadratickú nerovnosť – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je nula. Priesečník x 0 = 4.

Označíme bod dotyku na osi x a nakreslíme parabolu.

Máme čo do činenia s veľkou nerovnosťou. Následne nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Označme ich modrou farbou.

Bod s osou 4 nie je riešením, pretože parabola v ňom nie je umiestnená pod osou O x. V dôsledku toho dostaneme dva intervaly (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

odpoveď: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 4 .

Nie vždy, ak je diskriminačná hodnota záporná, nerovnosť nebude mať riešenia. Sú prípady, keď riešením je množina všetkých reálnych čísel.

Príklad 5

Vyriešte kvadratickú nerovnosť 3 x 2 + 1 > 0 graficky.

Riešenie

Koeficient a je kladný. Diskriminant je negatívny. Vetvy paraboly budú smerovať nahor. Neexistujú žiadne priesečníky paraboly s osou O x. Pozrime sa na výkres.

Pracujeme s prísnou nerovnosťou, ktorá má znamienko >. To znamená, že nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. To je presne ten prípad, keď je odpoveďou množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:(− ∞, + ∞) alebo tak x ∈ R.

Príklad 6

Je potrebné nájsť riešenie nerovnosti − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 graficky.

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je záporný, preto neexistujú žiadne spoločné body medzi parabolou a osou x. Pozrime sa na výkres.

Pracujeme s neprísnou nerovnicou so znamienkom ≥, preto nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. Súdiac podľa grafu, takéto medzery tam nie sú. To znamená, že nerovnosť uvedená v problémových podmienkach nemá riešenia.

odpoveď:Žiadne riešenia.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Jednou z najpohodlnejších metód riešenia kvadratických nerovností je grafická metóda. V tomto článku sa pozrieme na to, ako sa graficky riešia kvadratické nerovnosti. Najprv si povedzme, čo je podstatou tejto metódy. Ďalej si predstavíme algoritmus a zvážime príklady riešenia kvadratických nerovností graficky.

Navigácia na stránke.

Podstata grafickej metódy

Vôbec grafická metóda riešenia nerovností s jednou premennou sa používa nielen na riešenie kvadratických nerovností, ale aj iných typov nerovností. Podstata grafickej metódy riešenia nerovnostíďalej: zvážte funkcie y=f(x) a y=g(x), ktoré zodpovedajú ľavému a pravá strana nerovností, zostavte ich grafy do jednej pravouhlej súradnicovej sústavy a zistite, v akých intervaloch je graf jednej z nich nižší alebo vyšší ako druhý. Tie intervaly kde

• graf funkcie f nad grafom funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)>g(x) ;
• graf funkcie f nie nižší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)≥g(x) ;
• graf f pod grafom g sú riešenia nerovnosti f(x)
• graf funkcie f nie vyšší ako graf funkcie g sú riešenia nerovnosti f(x)≤g(x) .

Povieme tiež, že úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešením rovnice f(x)=g(x) .

Prenesme tieto výsledky do nášho prípadu - na vyriešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Zavedieme dve funkcie: prvá y=a x 2 +b x+c (s f(x)=a x 2 +b x+c) zodpovedajúca ľavej strane kvadratickej nerovnosti, druhá y=0 (s g ( x)=0 ) zodpovedá pravej strane nerovnosti. Rozvrh kvadratickej funkcie f je parabola a graf konštantná funkcia g – priamka zhodná s osou x Ox.

Ďalej je potrebné podľa grafického spôsobu riešenia nerovníc rozobrať, v akých intervaloch sa graf jednej funkcie nachádza nad alebo pod druhou, čo nám umožní zapísať požadované riešenie kvadratickej nerovnosti. V našom prípade musíme analyzovať polohu paraboly vzhľadom na os Ox.

V závislosti od hodnôt koeficientov a, b a c je možných nasledujúcich šesť možností (pre naše potreby postačí schematické znázornenie a nemusíme znázorňovať os Oy, pretože jej poloha nemá vplyv na riešenia nerovnosti):

Na tomto výkrese vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá pretína os Ox v dvoch bodoch, ktorých úsečka sú x 1 a x 2. Tento výkres zodpovedá možnosti, keď je koeficient a kladný (zodpovedá za smer vetiev paraboly nahor) a keď je hodnota kladná diskriminant kvadratického trinomu a x 2 +b x+c (v tomto prípade má trojčlen dva korene, ktoré sme označili ako x 1 a x 2 a predpokladali sme, že x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 x1 = -2, x2 = 3.

Pre prehľadnosť znázornime červenou farbou časti paraboly umiestnené nad osou x a modrou farbou – tie, ktoré sa nachádzajú pod osou x.


Teraz zistíme, ktoré intervaly zodpovedajú týmto častiam. Pomôže ich to identifikovať ďalší výkres(v budúcnosti urobíme mentálne podobné výbery vo forme obdĺžnikov):


Takže na osi x boli dva intervaly (−∞, x 1) a (x 2, +∞) zvýraznené červenou farbou, na ktorých je parabola nad osou Ox, predstavujú riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x +c>0 , a interval (x 1 , x 2) je zvýraznený modrou farbou, pod osou Ox je parabola, ktorá predstavuje riešenie nerovnosti a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

A teraz stručne: pre a>0 a D=b 2 −4 a c>0 (alebo D"=D/4>0 pre párny koeficient b)

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c>0 je (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) alebo v inom zápise x x2;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c≥0 je (−∞, x 1 ]∪ alebo v inom zápise x 1 ≤x≤x 2 ,

kde x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojčlenu a x 2 +b x+c a x 1


Tu vidíme parabolu, ktorej vetvy smerujú nahor a ktorá sa dotýka osi úsečky, to znamená, že má s ňou jeden spoločný bod, úsečku tohto bodu označíme x 0; Prezentovaný prípad zodpovedá a>0 (vetvy smerujú nahor) a D=0 (štvorcová trojčlenka má jednu odmocninu x 0). Napríklad môžete použiť kvadratickú funkciu y=x 2 −4·x+4, tu a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 a x 0 =2.

Nákres jasne ukazuje, že parabola sa nachádza nad osou Ox všade okrem bodu dotyku, teda na intervaloch (−∞, x 0), (x 0, ∞). Kvôli prehľadnosti zvýrazníme oblasti na výkrese analogicky s predchádzajúcim odsekom.


Vyvodíme závery: pre a>0 a D=0

• riešenie kvadratickej nerovnosti a·x 2 +b·x+c>0 je (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) alebo v inom zápise x≠x 0;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a·x 2 +b·x+c≥0 je (−∞, +∞) alebo v inom zápise x∈R ;
• kvadratická nerovnosť a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• kvadratická nerovnosť a x 2 +b x+c≤0 má jednoznačné riešenie x=x 0 (je dané dotykovým bodom),

kde x 0 je odmocnina štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c.


V tomto prípade sú vetvy paraboly nasmerované nahor a nemá spoločné body s osou x. Tu máme podmienky a>0 (vetvy smerujú nahor) a D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D = 02 -4-2-1 = -8<0 .

Je zrejmé, že parabola je umiestnená nad osou Ox po celej svojej dĺžke (neexistujú žiadne intervaly, v ktorých by bola pod osou Ox, neexistuje žiadny dotykový bod).


Teda pre a>0 a D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 a a x 2 +b x+c≥0 je množina všetkých reálnych čísel a nerovností a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

A zostávajú tri možnosti umiestnenia paraboly s vetvami smerujúcimi nadol, nie nahor, vzhľadom na os Ox. V zásade ich nie je potrebné brať do úvahy, pretože vynásobením oboch strán nerovnosti −1 môžeme prejsť na ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pre x 2. Ale stále nie je na škodu získať predstavu o týchto prípadoch. Tu je zdôvodnenie podobné, preto si zapíšeme len hlavné výsledky.

Algoritmus riešenia

Výsledkom všetkých predchádzajúcich výpočtov je Algoritmus na grafické riešenie kvadratických nerovností:

Na súradnicovej rovine je urobený schematický nákres, ktorý znázorňuje os Ox (nie je potrebné znázorňovať os Oy) a náčrt paraboly zodpovedajúcej kvadratickej funkcii y=a·x 2 +b·x+c. Na nakreslenie náčrtu paraboly stačí objasniť dva body:

• Po prvé, hodnotou koeficientu a je určené, kam smerujú jeho vetvy (pre a>0 - hore, pre a<0 – вниз).
• A po druhé, na základe hodnoty diskriminantu štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c sa určí, či parabola pretína os úsečky v dvoch bodoch (pre D>0), dotýka sa jej v jednom bode (pre D= 0), alebo nemá žiadne spoločné body s osou Ox (v D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Keď je výkres pripravený, použite ho v druhom kroku algoritmu

  • pri riešení kvadratickej nerovnosti a·x 2 +b·x+c>0 sa určia intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad úsečkou;
  • pri riešení nerovnosti a·x 2 +b·x+c≥0 sa určia intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou úsečky a úsečky priesečníkov (alebo úsečka dotykového bodu) sa pripočítajú ich;
  • pri riešení nerovnosti a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • nakoniec pri riešení kvadratickej nerovnosti v tvare a·x 2 +b·x+c≤0 sa nájdu intervaly, v ktorých je parabola pod osou Ox a úsečka priesečníkov (alebo úsečka dotykového bodu ) sa k nim pridáva;

  predstavujú požadované riešenie kvadratickej nerovnosti, a ak neexistujú žiadne takéto intervaly a žiadne body dotyku, potom pôvodná kvadratická nerovnosť nemá riešenia.

Zostáva len vyriešiť niekoľko kvadratických nerovností pomocou tohto algoritmu.

Príklady s riešeniami

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú nerovnosť, použime algoritmus z predchádzajúceho odseku. V prvom kroku musíme načrtnúť graf kvadratickej funkcie . Koeficient x 2 sa rovná 2, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Zistime tiež, či má parabola spoločné body s osou x, aby sme to urobili, vypočítame diskriminant kvadratického trinomu . Máme . Ukázalo sa, že diskriminant je väčší ako nula, preto má trinom dva skutočné korene: A , to znamená x 1 = -3 a x 2 = 1/3.

Z toho je zrejmé, že parabola pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami −3 a 1/3. Tieto body na výkrese znázorníme ako obyčajné body, keďže riešime neprísnu nerovnosť. Na základe objasnených údajov získame nasledujúci nákres (zodpovedá prvej šablóne z prvého odseku článku):

Prejdime k druhému kroku algoritmu. Keďže riešime nestriktnú kvadratickú nerovnicu so znamienkom ≤, musíme určiť intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod úsečkou a pridať k nim úsečky priesečníkov.

Z nákresu je zrejmé, že parabola je pod osou x na intervale (−3, 1/3) a pripočítame k nej úsečky priesečníkov, teda čísla −3 a 1/3. Výsledkom je, že sa dostaneme k číselnému intervalu [−3, 1/3] . Toto je riešenie, ktoré hľadáme. Dá sa zapísať ako dvojitá nerovnosť −3≤x≤1/3.

odpoveď:

[−3, 1/3] alebo −3≤x≤1/3.

Príklad.

Nájdite riešenie kvadratickej nerovnosti −x 2 +16 x−63<0 .

Riešenie.

Ako obvykle začíname kresbou. Číselný koeficient pre druhú mocninu premennej je záporný, −1, preto vetvy paraboly smerujú nadol. Vypočítajme diskriminant, alebo ešte lepšie jeho štvrtú časť: D"=82 −(−1)·(−63)=64−63=1. Jeho hodnota je kladná, vypočítajme korene štvorcového trinomu: A xi=7 a x2=9. Parabola teda pretína os Ox v dvoch bodoch s úsečkami 7 a 9 (pôvodná nerovnosť je striktná, takže tieto body znázorníme s prázdnym stredom).

Keďže riešime striktnú kvadratickú nerovnosť so znamienkom<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Nákres ukazuje, že riešenia pôvodnej kvadratickej nerovnosti sú dva intervaly (−∞, 7) , (9, +∞) .

odpoveď:

(−∞, 7)∪(9, +∞) alebo v inom zápise x<7 , x>9 .

Pri riešení kvadratických nerovností, keď je diskriminant kvadratického trinómu na jeho ľavej strane nulový, si treba dať pozor na zahrnutie alebo vylúčenie úsečky dotyčnicového bodu z odpovede. To závisí od znaku nerovnosti: ak je nerovnosť prísna, potom to nie je riešenie nerovnosti, ale ak nie je striktné, potom áno.

Príklad.

Má kvadratická nerovnosť 10 x 2 −14 x+4,9≤0 aspoň jedno riešenie?

Riešenie.

Nakreslíme funkciu y=10 x 2 −14 x+4,9. Jeho vetvy smerujú nahor, pretože koeficient x 2 je kladný a dotýka sa osi x v bode s x 0,7, keďže D"=(−7) 2 −10 4,9=0, odkiaľ alebo 0,7 v tvare desiatkového zlomku to vyzerá schematicky takto:

Keďže riešime kvadratickú nerovnicu so znamienkom ≤, jej riešením budú intervaly, na ktorých je parabola pod osou Ox, ako aj úsečka bodu dotyčnice. Z nákresu je zrejmé, že neexistuje ani jedna medzera, kde by bola parabola pod osou Ox, takže jej riešením bude iba úsečka bodu dotyčnice, teda 0,7.

odpoveď:

táto nerovnosť má jedinečné riešenie 0,7.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú nerovnosť –x 2 +8 x−16<0 .

Riešenie.

Postupujeme podľa algoritmu na riešenie kvadratických nerovností a začneme zostrojením grafu. Vetvy paraboly smerujú nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, −1. Nájdime diskriminant štvorcového trinomu –x 2 +8 x−16, máme D'=42 −(−1)·(−16)=16−16=0 a potom xo=-4/(-1), xo=4. Parabola sa teda dotýka osi Ox v bode úsečky 4. Urobme výkres:

Pozeráme sa na znak pôvodnej nerovnosti, je tam<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

V našom prípade sú to otvorené lúče (−∞, 4) , (4, +∞) . Samostatne si všimneme, že 4 - úsečka bodu kontaktu - nie je riešením, pretože v bode kontaktu nie je parabola nižšia ako os Ox.

odpoveď:

(−∞, 4)∪(4, +∞) alebo v inom zápise x≠4 .

Venujte zvláštnu pozornosť prípadom, keď je diskriminant kvadratického trinomu na ľavej strane kvadratickej nerovnosti menší ako nula. Netreba sa tu ponáhľať a povedať, že nerovnica nemá riešenia (na takýto záver sme zvyknutí robiť pre kvadratické rovnice so záporným diskriminantom). Ide o to, že kvadratická nerovnosť pre D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Príklad.

Nájdite riešenie kvadratickej nerovnosti 3 x 2 +1>0.

Riešenie.

Ako obvykle začíname kresbou. Koeficient a je 3, je kladný, preto vetvy paraboly smerujú nahor. Vypočítame diskriminant: D=0 2 −4·3·1=−12 . Keďže diskriminant je záporný, parabola nemá žiadne spoločné body s osou Ox. Získané informácie sú dostatočné pre schematický graf:

Striktnú kvadratickú nerovnosť riešime znamienkom >. Jeho riešením budú všetky intervaly, v ktorých je parabola nad osou Ox. V našom prípade je parabola po celej dĺžke nad osou x, takže požadovaným riešením bude množina všetkých reálnych čísel.

Ox , a tiež k nim musíte pridať úsečku priesečníkov alebo úsečku dotyčnice. Ale z nákresu je jasne vidieť, že žiadne takéto intervaly neexistujú (keďže parabola je všade pod osou x), rovnako ako neexistujú žiadne priesečníky, rovnako ako neexistujú žiadne dotykové body. Preto pôvodná kvadratická nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

žiadne riešenia alebo v inom zázname ∅.

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.