Sellise matemaatilise analüüsi objekti kui funktsiooni uurimisel on suur väärtus ja teistes teaduse valdkondades. Näiteks majandusanalüüsis peate pidevalt käitumist hindama funktsioone kasumit, nimelt selle suurima kindlaksmääramiseks väärtus ja töötage selle saavutamiseks välja strateegia.
Juhised
Igaühe käitumise uurimine peaks alati algama domeeni leidmisest. Tavaliselt nõutakse konkreetse ülesande tingimuse järgi suurima määramist väärtus funktsioone kas kogu sellel alal või kindla intervalliga avatud või suletud piiridega.
Selle põhjal on suurim väärtus funktsioone y (x0), mille puhul kehtib ebavõrdsus y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) määratlusdomeeni mis tahes punkti puhul. Graafiliselt on see punkt kõrgeim, kui asetate argumendi väärtused piki abstsissit ja funktsioon ise mööda ordinaati.
Suurima määramiseks väärtus funktsioone, järgige kolmeastmelist algoritmi. Pange tähele, et peate suutma töötada ühesuunaliselt ja arvutama tuletise. Niisiis, andke mõni funktsioon y (x) ja see peab leidma selle suurima väärtus mingil intervallil piirväärtustega A ja B.
Uurige, kas see intervall jääb reguleerimisalasse funktsioone... Selleks peate selle leidma, võttes arvesse kõiki võimalikke piiranguid: olemasolu murdosa, ruutjuure jms avaldises. Ulatus on argumentide väärtuste kogum, mille jaoks funktsioonil on mõte. Tehke kindlaks, kas antud intervall on selle alamhulk. Kui jah, minge järgmisele sammule.
Leidke tuletis funktsioone ja lahendage saadud võrrand, võrdendades tuletise nulliga. Seega saate nn statsionaarsete punktide väärtused. Hinnake, kas vähemalt üks neist kuulub vahemikku A, B
Mõelge neile punktidele kolmandas etapis, asendage nende väärtused funktsiooniga. Tehke järgmised täiendavad toimingud sõltuvalt intervalli tüübist. Kui on vormi [A, B] segment, lisatakse piiripunktid intervalli, seda näitavad sulgud. Arvutage väärtused funktsioone x \u003d A ja x \u003d B. Kui avatud intervall on (A, B), torgatakse piirväärtused, s.t. ei kuulu sellesse. Lahendage x → A ja x → B ühepoolsed piirid. Vormi [A, B) või (A, B] kombineeritud intervall, mille üks piir kuulub talle, teine \u200b\u200baga mitte. Leidke ühepoolne piir, kuna x kipub punktsioonväärtuseni, ja asendage Lõputu kahepoolne intervall (-∞, + ∞) või ühepoolne lõpmatu intervall vormis:, (-∞, B) Tegelike piiride A ja B korral toimige juba kirjeldatud põhimõtete kohaselt ja lõpmatu jaoks otsige vastavalt x → -∞ ja x → + ∞ piire.
Ülesanne selles etapis
Ja selle lahendamiseks vajate teemast minimaalseid teadmisi. Järgmine õppeaasta on läbi saamas, kõik tahavad puhkusele minna ja selle hetke lähendamiseks asun kohe asja kallale:
Alustame piirkonnast. Tingimuses viidatud ala on piiratud suletud lennuki punktide komplekt. Näiteks punktide kogum, mida piirab kolmnurk, sealhulgas Terve kolmnurk (kui piirid "Gouge" vähemalt üks punkt, siis ala enam ei sulgu)... Praktikas on ka ristkülikukujulisi, ümmargusi ja veidi keerukamaid kujundeid. Tuleb märkida, et matemaatilise analüüsi teoorias on antud ranged definitsioonid piirangud, eraldatus, piirid jne., kuid arvan, et kõik on neist mõistetest teadlikud intuitiivsel tasandil ja rohkem pole praegu vaja.
Tasast pinda tähistatakse standardina tähega ja reeglina määratakse see analüütiliselt - mitme võrrandiga (mitte tingimata lineaarne); harvemini ebavõrdsust. Tüüpiline käive: "suletud ala, mida piiravad jooned".
Vaatlusaluse ülesande lahutamatu osa on joonisel ala ehitamine. Kuidas seda teha? Peate joonistama kõik loetletud jooned (antud juhul 3 sirge) ja analüüsida juhtunut. Soovitud ala on tavaliselt veidi koorunud ja selle piir on esile tõstetud rasvase joonega: 
Sama ala saab määrata ja lineaarne ebavõrdsus:, mis mingil põhjusel kirjutatakse sagedamini loendatud loendina, ja mitte süsteemi.
Kuna piir kuulub piirkonda, siis loomulikult on kõik ebavõrdsused lõtv.
Ja nüüd probleemi olemus. Kujutage ette telge, mis ulatub alguspunktist otse teie poole. Mõelge funktsioonile, mis pidev igas punkti ala. Selle funktsiooni graafik esindab mõnda pindja väike õnn seisneb selles, et tänase probleemi lahendamiseks ei pea me teadma, kuidas see pind välja näeb. See võib asuda kõrgemal, madalamal, ristuda tasapinnaga - see kõik pole oluline. Ja oluline on järgmine: vastavalt weierstrassi teoreemid, pidev aastal piiratud suletudala, saavutab funktsioon maksimumi (kõrgeim") ja kõige väiksem (madalaim") väärtused, mida soovite leida. Sellised väärtused on saavutatud või aastal statsionaarsed punktid, piirkonda kuuluvD , võipunktides, mis asuvad selle piirkonna piiril. Siit järeldub lihtne ja läbipaistev lahendusalgoritm:
Näide 1
Piiratud kinnisel alal
Otsus: Kõigepealt peate joonisel kujutama ala. Kahjuks on mul probleemi interaktiivse mudeli koostamine tehniliselt keeruline ja seetõttu annan kohe ka lõpliku illustratsiooni, mis näitab kõiki uuringu käigus leitud "kahtlaseid" punkte. Tavaliselt kinnitatakse need üksteise järel, kui need on leitud: 
Preambuli põhjal on mugav jagada otsus kaheks punktiks:
I) Leidke statsionaarsed punktid. See on tavaline toiming, mida oleme tunnis korduvalt sooritanud. mitme muutuja äärmus:
Leiti statsionaarne punkt kuulub valdkonnad: (märkige see joonisele), mis tähendab, et peaksime selles punktis arvutama funktsiooni väärtuse:
- nagu artiklis Segmendi funktsiooni suurim ja väikseim väärtus, Toon olulised tulemused rasvases kirjas esile. Märkmikus on neid mugav joonistada pliiatsiga.
Pöörake tähelepanu meie teisele õnnele - pole mõtet kontrollida piisav seisund ekstreemumiks... Miks? Isegi kui funktsioon jõuab teatud hetkel näiteks kohalik miinimum, siis EI MÄRGIGE, et sellest tulenev väärtus oleks minimaalne kogu piirkonnas (vt tunni algus tingimusteta ekstreemsuse kohta) .
Mis siis, kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda? Peaaegu mitte midagi! Tuleb märkida, et ja minge järgmise punkti juurde.
II) Uurige piirkonna piiri.
Kuna piir koosneb kolmnurga külgedest, on mugav jagada uuring 3 alamüksuseks. Kuid parem on seda siiski mitte teha. Minu vaatepunktist on algul soodsam arvestada segmente, mis on paralleelsed koordinaattelgedega, ja ennekõike - telgedel endil lebamist. Toimingute kogu järjestuse ja loogika tabamiseks proovige uurida lõppu "ühe korraga":
1) Tegeleme kolmnurga alumise küljega. Selleks asendame funktsiooni otse:
Teise võimalusena saate selle korraldada järgmiselt: 
Geomeetriliselt tähendab see koordinaattasandit (mille annab ka võrrand) "Nikerdab" välja pindadele "Ruumiline" parabool, mille tipp langeb kohe kahtluse alla. Uurime välja kus ta on:
- saadud väärtus "tabas" piirkonda ja võib juhtuda, et see on selles punktis (märkige joonisel) funktsioon saavutab kogu piirkonna kõrgeima või madalaima väärtuse. Ühel või teisel viisil teeme arvutusi:
Teised "kandidaadid" on muidugi segmendi otsad. Arvutame funktsiooni väärtused punktides 
(märkige joonisel):
Siin, muide, saate teha verbaalse minikontrolli, kasutades "eemaldatud" versiooni: 
2) Kolmnurga parema külje uurimiseks asendame selle funktsiooniga ja "paneme asjad korda":
Siin teostame kohe ligikaudse kontrolli, "helistades" välja juba töödeldud segmendi otsa:
, noh.
Geomeetriline olukord on seotud eelmise punktiga:
- saadud väärtus on ka "kaasatud meie huvide sfääri", mis tähendab, et peame arvutama, millega funktsioon võrdub ilmuvas punktis:
Uurime segmendi teist otsa:
Funktsiooni kasutamine 
, kontrollime seda: 
3) Küllap teavad kõik, kuidas järelejäänud külge uurida. Asendame funktsiooni ja teostame lihtsustusi:
Segment lõpeb 
on juba uuritud, kuid mustandil kontrollime ikkagi, kas leidsime funktsiooni õigesti 
:
- langes kokku esimese lõigu tulemusega;
- langes kokku teise lõigu tulemusega.
Jääb välja selgitada, kas segmendis on midagi huvitavat:
- seal on! Asendades võrrandisse sirgjoone, saame selle "huvitavuse" ordinaadi:
Märgistame joonisel punkti ja leiame funktsiooni vastava väärtuse:
Kontrollime arvutusi vastavalt "eelarve" versioonile 
:
, tellimus.
Ja viimane samm: Hoolikalt vaatame läbi kõik "paksud" numbrid, soovitan algajatel isegi teha üks nimekiri: 
millest valime välja suurimad ja väiksemad väärtused. Vastus kirjutame leidmise probleemi stiilis segmendi funktsiooni suurim ja väikseim väärtus:
Igaks juhuks kommenteerin veel kord tulemuse geomeetrilist tähendust:
- siin on pinna kõrgeim punkt piirkonnas;
Kas ala madalaim pinnapunkt.
Analüüsitud probleemis tuvastasime 7 "kahtlast" punkti, kuid nende arv on probleemiti erinev. Kolmnurkse ala puhul koosneb minimaalne "uurimiskomplekt" kolmest punktist. See juhtub siis, kui näiteks funktsioon seatakse lennuk - on täiesti selge, et statsionaarsed punktid puuduvad ja funktsioon võib suurimate / väikseimate väärtusteni jõuda ainult kolmnurga tippudes. Kuid selliseid näiteid on palju üks, kaks korda - tavaliselt peate mõnega tegelema 2. järgu pind.
Kui te selliseid ülesandeid veidi lahendate, võivad kolmnurgad teie pea pöörlema \u200b\u200bpanna ja seetõttu olen teile ruudukujuliseks muutmiseks ette valmistanud ebatavalised näited :))
Näide 2
Leidke suurim ja väikseim funktsiooni väärtus 
suletud alal, mida piiravad jooned
Näide 3
Leidke funktsiooni suurim ja väikseim väärtus piiratud kinnisel alal.
Pöörake erilist tähelepanu piirkonna piiri uurimise ratsionaalsele järjekorrale ja tehnikale, samuti vahekontrollide ahelale, mis väldib peaaegu täielikult arvutusvigu. Üldiselt võite selle lahendada oma äranägemise järgi, kuid mõnes probleemis, näiteks samas näites 2, on kõik võimalused oma elu oluliselt keerulisemaks muuta. Ligikaudne näide ülesannete lõpetamisest tunni lõpus.
Süstematiseerime lahenduste algoritmi, muidu eksis see minu kui ämbliku hoolsusega kuidagi ära 1. näite kommentaaride pikas lõimes:
- Esimese sammuna ehitame ala, on soovitav seda varjutada ja piirjoon rõhutatud joonega esile tõsta. Lahenduse ajal ilmuvad punktid, mis tuleb joonisele panna.
- Leidke statsionaarsed punktid ja arvutage funktsiooni väärtused ainult nendes neistmis kuuluvad sellesse piirkonda. Saadud väärtused valime tekstist välja (näiteks joonistame need pliiatsiga üle). Kui statsionaarne punkt EI kuulu piirkonda, siis tähistame selle fakti ikooniga või suuliselt. Kui statsionaarseid punkte üldse pole, siis teeme kirjaliku järelduse, et need puuduvad. Igal juhul ei saa seda eset vahele jätta!
- Uurime piirkonna piiri. Alguses on kasulik tegeleda sirgjoonedega, mis on paralleelsed koordinaattelgedega (kui mõni)... Samuti toome esile funktsiooni väärtused, mis on arvutatud "kahtlastes" punktides. Eespool on lahendustehnika kohta palju öeldud ja allpool öeldakse veel midagi - loe, loe uuesti, süvene!
- Valige valitud numbrite hulgast suurim ja väikseim ning andke vastus. Mõnikord juhtub, et funktsioon jõuab selliste väärtusteni mitmes punktis korraga - sel juhul peaksid kõik need punktid vastuses kajastuma. Las näiteks 
ja see osutus kõige väiksemaks väärtuseks. Siis paneme selle kirja
Viimased näited on pühendatud muudele kasulikele ideedele, mis praktikas kasuks tulevad:
Näide 4
Leidke funktsiooni suurim ja väikseim väärtus suletud alal 
.
Olen säilitanud autori sõnastuse, milles piirkond on antud topeltvõrratusena. Selle tingimuse võib kirjutada samaväärse süsteemi abil või selle probleemi jaoks tavapärasemas vormis: 
Tuletan teile meelde, et sellest ajast mittelineaarne ebavõrdsused, millega me kokku puutusime, ja kui te ei saa aru noodi geomeetrilisest tähendusest, siis ärge palun lükake olukorda kohe edasi ja selgitage ;-)
Otsus, nagu alati, algab see ala ehitamisest, mis on omamoodi "tald": 
Hmm, mõnikord peate närima mitte ainult teaduse graniiti ...
I) Leidke statsionaarsed punktid: 
Süsteemidiooti unistus :) 
Statsionaarne punkt kuulub piirkonda, nimelt asub selle piiril.
Ja nii, see pole, midagi ... tund läks rõõmsalt - seda tähendab juua õiget teed \u003d)
II) Uurige piirkonna piiri. Alustame pikemalt mõtlemata abstsissidega:
1) Kui, siis
Leiame, kus asub parabooli tipp:
- hinda selliseid hetki - "löö" otse sinna kohta, kust kõik on juba selge. Kuid ärge unustage kontrollimist: 
Arvutame funktsiooni väärtused segmendi lõpus: 
2) Tegeleme "talla" alumise osaga "ühel istungil" - ilma kompleksideta asendame selle funktsiooni, pealegi huvitab meid ainult segment:
Juhtimine:
See toob monotoonses sõites juba rihveldatud rajal mõningast elavnemist. Leiame kriitilised punktid:
Me lahendame ruutvõrrand, kas mäletate seda veel? ... Kuid pidage meeles, muidugi, muidu poleks te neid ridu lugenud \u003d) Kui kahes eelmises näites oleks mugav arvutada kümnendmurdude kaupa (mis muide on haruldus), siis siin ootame tavalised harilikud murrud. Leiame "x" juured ja määrame võrrandi abil kindlaks "kandidaatide" punktide vastavad "mängu" koordinaadid: 
Arvutame funktsiooni väärtused leitud punktides: 
Kontrollige ise funktsiooni.
Nüüd uurime hoolikalt võidetud karikaid ja kirjutame üles vastus:
Need on "kandidaadid", seega "kandidaadid"!
Sõltumatu lahenduse saamiseks:
Näide 5
Leidke funktsiooni väikseimad ja suurimad väärtused 
suletud alal 
Lokkisulgudega kirje kõlab järgmiselt: "palju punkte, sellised, et".
Mõnikord sellistes näidetes nad kasutavad lagrange'i kordistaja meetod, kuid tegelikku vajadust selle rakendamiseks tõenäoliselt ei teki. Nii et näiteks kui funktsioon antakse sama domeeniga "de", siis pärast asendamist sellesse - raskusteta tuletisega; pealegi on kõik koostatud "ühes reas" (märkidega), ilma et oleks vaja eraldi arvestada ülemise ja alumise poolringiga. Kuid muidugi on ka keerulisemaid juhtumeid, kus ilma Lagrange'i funktsioonita (kus näiteks sama ringi võrrand) seda on raske juhtida - kui raske on ilma hea puhata hakkama saada!
Kõigil on hea sessioon läbida ja järgmisel hooajal varsti näha!
Lahendused ja vastused:
Näide 2: Otsus: kujutage joonisel ala:
1. leht
Teoreetilised faktid:
Ruutkolmnurmal \u003d ax2 + bx + c on selle äärmuslik väärtus
See väärtus osutub väikseimaks, kui a\u003e 0, ja suurimaks, kui a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
# 1. Lahutage antud positiivne arv A kaheks terminiks, nii et nende toode osutub suurimaks.
Otsus. Tähistagem ühte nõutavatest terminitest tähega x. Siis võrdub teine \u200b\u200btermin A - x ja nende korrutisega 
või. 
Seega viidi küsimus sellise x väärtuse leidmiseni, mille juures see ruutkolmnurk saab suurima väärtuse. Teoreemi 4 kohaselt on selline väärtus kindlasti olemas (kuna siin on juhtkoefitsient võrdne - 1, st negatiivne) ja on võrdne Sel juhul ja seetõttu peavad mõlemad terminid olema üksteisega võrdsed.
Näiteks arv 30 võimaldab järgmisi laiendusi:
Kõik laekunud tööd on vähem kui
# 2. Seal on traat pikkusega L. On vaja seda painutada nii, et saadakse ristkülik, mis piirab võimalikult suurt ala.
Otsus. Tähistagem (joonis 1) ristküliku üht külge x kaudu. Siis on ilmselgelt selle teiseks küljeks a 
või 
... Selle funktsiooni väärtus on suurim, milleks saab ristküliku ühe külje soovitud väärtuse. Siis on selle teine \u200b\u200bkülg, see tähendab, et meie ristkülik osutub ruuduks. Saadud probleemi lahenduse võib kokku võtta järgmise teoreemi kujul.
Kõigist ristkülikutest, millel on sama ümbermõõt, on ruudul suurim pindala.
Kommentaar.
Meie probleemi saab hõlpsasti lahendada, kasutades probleemi 1. lahendamisel saadud tulemust.
Tõepoolest, näeme, et meid huvitava ristküliku pindala on Teisisõnu, on kahe teguri korrutis x ja Nende tegurite summa on 
, t. see tähendab arv, mis ei sõltu x valikust. See tähendab, et asi taandub arvu lagunemiseks kaheks terminiks, nii et nende toode on suurim. Nagu me teame, on see toode suurim, kui mõlemad terminid on võrdsed, s.t.
Nr 3. Saadaval olevate laudade hulgast saate ehitada 200 m pikkuse aia. Selle piirdega on vaja piirata suurima ala ristkülikukujuline hoov, kasutades tehase seina õue ühe külje jaoks.
trinoomi teoreemi tuletisfunktsioon
Otsus. Tähistagem (joonis 2) õue ühte külge läbi x. Siis on selle teine \u200b\u200bkülg võrdne ja pindala võrdne
Teoreemi järgi saavutatakse selle funktsiooni suurim väärtus
Niisiis, tehase seinaga risti olev õue külg peaks olema 50 m, kust seinaga paralleelse külje jaoks on väärtus 100 m, see tähendab, et hoov peaks olema poole ruudu kuju.
Praktilisest seisukohast on kõige huvitavam tuletise kasutamine funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmiseks. Mis on selle põhjuseks? Kasumi maksimeerimine, kulude minimeerimine, seadmete optimaalse koormuse määramine ... Teisisõnu on paljudes eluvaldkondades vaja lahendada mis tahes parameetrite optimeerimise probleem. Ja need on ülesannete suurimate ja väiksemate väärtuste leidmise ülesanded.
Tuleb märkida, et tavaliselt otsitakse funktsiooni suurimat ja väiksemat väärtust mingil intervallil X, mis on kas kogu funktsiooni domeen või osa domeenist. X-intervall ise võib olla segment, avatud intervall 
, lõputu intervall.
Selles artiklis räägime ühe muutuja y \u003d f (x) selgesõnaliselt antud funktsiooni suurimate ja väikeste väärtuste leidmisest.
Lehe navigeerimine.
Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus - definitsioonid, illustratsioonid.
Peatume lühidalt peamiste määratluste juures.
Funktsiooni suurim väärtus 
et igaühele 
ebavõrdsus on tõsi.
Funktsiooni väikseim väärtus y \u003d f (x) intervallil X nimetatakse selliseks väärtuseks 
et igaühele ebavõrdsus on tõsi.
Need määratlused on intuitiivsed: funktsiooni suurim (väikseim) väärtus on suurim (väikseim) aktsepteeritava väärtuse suurus abstsissis.
Statsionaarsed punktid Kas argumendi väärtused, mille korral funktsiooni tuletis kaob?
Miks on kõige suuremate ja väiksemate väärtuste leidmiseks vaja statsionaarseid punkte? Sellele küsimusele annab vastuse Fermati teoreem. Sellest teoreemist järeldub, et kui diferentseeruval funktsioonil on mingil hetkel äärmus (kohalik miinimum või lokaalne maksimum), siis see punkt on paigal. Seega võtab funktsioon sellest intervallist sageli suurima (väikseima) väärtuse intervallil X ühes statsionaarses punktis.
Samuti võib funktsioon võtta suurima ja väikseima väärtuse punktides, kus selle funktsiooni esimest tuletist ei eksisteeri, ja funktsioon ise on määratletud.
Vastame kohe ühele selle teema kõige levinumale küsimusele: "Kas alati on võimalik määrata funktsiooni suurim (väikseim) väärtus"? Ei, mitte alati. Mõnikord langevad intervalli X piirid kokku funktsiooni määratluspiirkonna piiridega või intervall X on lõpmatu. Ja mõned funktsioonid lõpmatuses ja määratluspiirkonna piiridel võivad võtta nii lõpmatult suuri kui ka lõpmatult väikeseid väärtusi. Nendel juhtudel ei saa funktsiooni suurima ja madalaima väärtuse kohta midagi öelda.
Selguse huvides anname graafilise illustratsiooni. Vaadake pilte ja palju saab selgeks.
Segmendi peal
Esimesel joonisel võtab funktsioon segmendi sees olevates statsionaarsetes punktides suurima (max y) ja väikseima (min y) väärtuse [-6; 6].
Vaatleme teisel joonisel näidatud juhtumit. Muutke segment väärtuseks. Selles näites saavutatakse funktsiooni väikseim väärtus statsionaarses punktis ja suurim - punktis, mille abstsiss vastab intervalli paremale piirile.
Joonisel 3 on lõigu [-3; 2] piiripunktid funktsioonide suurimale ja väiksemale väärtusele vastavate punktide abstsissid.
Avatud intervalliga
Neljandal joonisel võtab funktsioon suurima (max y) ja väikseima (min y) väärtuse statsionaarsetes punktides, mis asuvad avatud intervallis (-6; 6).
Intervalli kohta ei saa teha suurima väärtuse kohta järeldusi.
Lõpmatuses
Seitsmendal joonisel näidatud näites võtab funktsioon statsionaarses punktis, kus abstsiss on x \u003d 1, suurima väärtuse (max y) ja väikseim väärtus (min y) saavutatakse intervalli parempoolsel piiril. Miinus lõpmatuses lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt y \u003d 3.
Intervallil ei saavuta funktsioon ei väikseimat ega suurimat väärtust. Paremal x \u003d 2 kaldudes kipuvad funktsiooni väärtused miinus lõpmatuseni (sirgjoon x \u003d 2 on vertikaalne asümptoot) ja kuna abstsiss kipub pluss lõpmatuseni, siis funktsiooni väärtused asümptootiliselt läheneda y \u003d 3. Selle näite graafiline illustratsioon on toodud joonisel 8.
Algoritm segmendi pideva funktsiooni suurimate ja väikseimate väärtuste leidmiseks.
Kirjutame algoritmi, mis võimaldab meil leida segmendi suurima ja väikseima funktsiooni väärtuse.
- Leidke funktsiooni domeen ja kontrollige, kas see sisaldab kogu segmenti.
- Leiame kõik punktid, kus esimest tuletist ei eksisteeri ja mis sisalduvad segmendis (tavaliselt leitakse sellised punktid mooduli märgi all oleva argumendiga funktsioonides ja murdarvulise ratsionaalse eksponendiga võimsusfunktsioonides). Kui selliseid punkte pole, minge järgmise punkti juurde.
- Määrake kõik segmenti langevad statsionaarsed punktid. Selleks võrdsustame selle nulliga, lahendame saadud võrrandi ja valime sobivad juured. Kui statsionaarseid punkte pole või ükski neist ei kuulu segmenti, minge järgmise üksuse juurde.
- Arvutame funktsiooni väärtused valitud statsionaarsetes punktides (kui neid on), punktides, kus esimest tuletist pole (kui neid on), samuti x \u003d a ja x \u003d b korral.
- Saadud funktsiooni väärtuste hulgast valime suurima ja väikseima - need on vastavalt funktsiooni soovitud suurimad ja väiksemad väärtused.
Analüüsime algoritmi, kui lahendada näide funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmiseks segmendis.
Näide.
Leidke suurim ja väikseim funktsiooni väärtus
- segmendis;
- segmendis [-4; -1].
Otsus.
Funktsiooni domeen on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud , see tähendab. Mõlemad segmendid kuuluvad määratluspiirkonda.
Leidke funktsiooni tuletis seoses: 
Ilmselt eksisteerib funktsiooni tuletis segmentide kõikides punktides ja [-4; -1].
Statsionaarsed punktid määratakse võrrandist. Ainus kehtiv juur on x \u003d 2. See statsionaarne punkt langeb esimesse segmenti.
Esimesel juhul arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes ja statsionaarses punktis, st x \u003d 1, x \u003d 2 ja x \u003d 4 korral: 
Seetõttu on funktsiooni suurim väärtus 
saavutatakse x \u003d 1 ja väikseima väärtusega 
- kui x \u003d 2.
Teisel juhul arvutame funktsiooni väärtused ainult lõigu [-4; -1] otstes (kuna see ei sisalda üht statsionaarset punkti): 
Mõnikord puutuvad probleemid B15 kokku "halbade" funktsioonidega, mille jaoks on raske tuletist leida. Kui varem oli see ainult sondidel, siis nüüd on need ülesanded nii tavalised, et päriseksamiks valmistumisel ei saa neid enam eirata.
Sel juhul toimivad muud trikid, millest üks on - monotoonne.
Funktsiooni f (x) nimetatakse segmendi monotoonselt suurendavaks, kui selle segmendi mis tahes punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Funktsiooni f (x) nimetatakse segmendis monotoonselt kahanevaks, kui selle segmendi punktide x 1 ja x 2 puhul kehtib järgmine:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).
Teisisõnu, suureneva funktsiooni jaoks on suurem x, seda suurem on f (x). Väheneva funktsiooni puhul on vastupidi: mida suurem x, seda vähem f (x).
Näiteks logaritm suureneb monotoonselt, kui alus a\u003e 1, ja väheneb monotoonselt, kui 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)
Aritmeetiline ruut (ja mitte ainult ruut) juur suureneb monotoonselt kogu domeenis:
Eksponentsiaalne funktsioon käitub sarnaselt logaritmiga: see kasvab a\u003e 1 ja väheneb 0 korral< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) \u003d a x (a\u003e 0)
Lõpuks negatiivsed eksponendid. Saate need kirjutada murdosana. Pidage katkestuspunkti, kus üksluisus on katki.
Kõiki neid funktsioone ei leita kunagi puhtal kujul. Nad lisavad polünoome, fraktsioone ja muid jama, mille tõttu on tuletise loendamine keeruline. Mis sel juhul juhtub - nüüd analüüsime.
Parabooli tipu koordinaadid
Kõige sagedamini asendatakse funktsiooni argument argumendiga kandiline kolmnurkne kujul y \u003d ax 2 + bx + c. Tema graafik on tavaline parabool, millest meid huvitavad:
- Parabooliharud - võivad minna üles (a\u003e 0 korral) või alla (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Parabooli tipp on ruutfunktsiooni äärmuspunkt, mille korral see funktsioon on väikseim (a\u003e 0 korral) või suurim (a< 0) значение.
Suurim huvi on just parabooli tipp, mille abstsiss arvutatakse valemiga:
Niisiis, oleme leidnud ruutfunktsiooni äärmuspunkti. Kuid kui algfunktsioon on monotoonne, on selle jaoks punkt x 0 ka ekstreempunkt. Seega sõnastame põhireegli:
Ruuttrinoomi ekstreempunktid ja selle sisse viidud keeruline funktsioon langevad kokku. Seetõttu võite ruudukujulise trinoomi jaoks otsida x 0 ja funktsiooni skoori.
Ülaltoodud arutluskäigust jääb ebaselgeks, millise punkti saame: kas maksimum või miinimum. Kuid ülesanded on spetsiaalselt loodud nii, et see poleks oluline. Kohtunik ise:
- Probleemilauses pole ühtegi segmenti. Seetõttu ei pea te arvutama f (a) ja f (b). Jääb arvestada ainult äärmuslike punktidega;
- Kuid on ainult üks selline punkt - see on parabooli tipp 0, mille koordinaadid arvutatakse sõna otseses mõttes suuliselt ja ilma igasuguste tuletisteta.
Seega on probleemi lahendus oluliselt lihtsustatud ja taandub vaid kahele etapile:
- Kirjutage välja parabooli võrrand y \u003d ax 2 + bx + c ja leidke selle tipp valemiga: x 0 \u003d −b / 2a;
- Leidke selles punktis algfunktsiooni väärtus: f (x 0). Kui lisatingimusi pole, on see vastus.
Esmapilgul võib see algoritm ja selle põhjendus tunduda keeruline. Ma ei postita teadlikult "paljaste" lahenduste skeemi, kuna selliste reeglite mõtlematu rakendamine on täis vigu.
Mõelge matemaatika proovieksamilt saadud tõelistele probleemidele - just siin kohtab seda tehnikat kõige sagedamini. Samal ajal hoolitseme selle eest, et nii muutuksid paljud B15 ülesanded peaaegu verbaalseks.
Juurte all on ruutfunktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13. Selle funktsiooni graafik on parabool, mille harud on ülespoole, kuna koefitsient a \u003d 1\u003e 0.
Parabooli ülaosa:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 1) \u003d −6/2 \u003d −3
Kuna parabooli harud on suunatud ülespoole, võtab punktis x 0 \u003d −3 kõige väiksema väärtuse funktsioon y \u003d x 2 + 6x + 13.
Juur suureneb monotoonselt, seega on x 0 kogu funktsiooni minimaalne punkt. Meil on:
Ülesanne. Leidke väikseim funktsiooni väärtus:
y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logaritmi all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graaf on parabool, mille harud on ülespoole, kuna a \u003d 1\u003e 0.
Parabooli ülaosa:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −2 / (2 1) \u003d −2/2 \u003d −1
Niisiis, punktis x 0 \u003d −1 saab ruutfunktsioon väikseima väärtuse. Kuid funktsioon y \u003d log 2 x on monotoonne, seetõttu:
y min \u003d y (−1) \u003d log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3
Eksponent sisaldab ruutfunktsiooni y \u003d 1 - 4x - x 2. Kirjutame selle tavalisel kujul ümber: y \u003d −x 2 - 4x + 1.
Ilmselt on selle funktsiooni graafik parabool, mis hargneb (a \u003d −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 (−1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d −2
Algfunktsioon on eksponentsiaalne, see on monotooniline, seega on suurim väärtus leitud punktis x 0 \u003d −2:
Tähelepanelik lugeja märkab ilmselt, et me ei kirjutanud välja juure ja logaritmi kehtivate väärtuste vahemikku. Kuid seda ei nõutud: sees on funktsioonid, mille väärtused on alati positiivsed.
Tagajärjed funktsiooni domeenist
Mõnikord ei piisa probleemi B15 lahendamiseks parabooli tipu leidmisest. Soovitud väärtus võib peituda segmendi lõpus, kuid mitte äärmuspunktis. Kui probleemis pole üldse ühtegi segmenti määratud, vaadake seda kehtivate väärtuste vahemik algfunktsioon. Nimelt:
Pange tähele veel kord: null võib juure all olla, kuid mitte kunagi murdosa logaritmis ega nimetavas. Vaatame, kuidas see töötab koos konkreetsete näidetega:
Ülesanne. Leidke funktsiooni suurim väärtus:
Juurte all on jälle ruutfunktsioon: y \u003d 3 - 2x - x 2. Selle graafik on parabool, kuid hargneb allapoole, kuna a \u003d −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Kirjutame välja kehtivate väärtuste vahemiku (ODZ):
3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; üks]
Nüüd leiame parabooli tipu:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 (−1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d −1
Punkt x 0 \u003d −1 kuulub ODZ segmenti - ja see on hea. Nüüd arvutame funktsiooni väärtuse punktis x 0 ja ka ODZ otstes:
y (−3) \u003d y (1) \u003d 0
Saime numbrid 2 ja 0. Meil \u200b\u200bpalutakse leida suurim - see on number 2.
Ülesanne. Leidke väikseim funktsiooni väärtus:
y \u003d log 0,5 (6x - x 2-5)
Logaritmi sees on ruutfunktsioon y \u003d 6x - x 2 - 5. See on haru allpool asuv parabool, kuid logaritmis ei tohi olla negatiivseid numbreid, nii et kirjutame ODZ:
6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Märkus: ebavõrdsus on range, nii et otsad ei kuulu ODZ-le. Nii erineb logaritm juurest, kus segmendi otsad on meile üsna sobivad.
Otsime parabooli ülaosa:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −6 / (2 (−1)) \u003d −6 / (- 2) \u003d 3
Parabooli tipp sobib ODV jaoks: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Kuid kuna meid ei huvita segmendi otsad, arvestame funktsiooni väärtust ainult punktis x 0:
y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0,5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d −2