Murrud on tavalised ja kümnendmurrud. Kui õpilane saab teada viimase olemasolust, hakkab ta igal võimalusel tõlkima kõike, mis võimalik, kümnendvormi, isegi kui seda pole vaja.
Kummalisel kombel muutuvad gümnasistide ja õpilaste eelistused, sest tavamurdudega on palju aritmeetilisi tehteid lihtsam sooritada. Ja väärtusi, millega lõpetajad tegelevad, võib mõnikord olla lihtsalt võimatu ilma kadudeta kümnendvormingusse teisendada. Selle tulemusena on mõlemat tüüpi fraktsioonid ühel või teisel viisil juhtumiga kohandatud ning neil on oma eelised ja puudused. Vaatame, kuidas nendega töötada.
Definitsioon
Murrud on samad aktsiad. Kui apelsinis on kümme viilu ja sulle anti üks, siis on sul käes 1/10 viljast. Sellise tähise korral, nagu ka eelmises lauses, nimetatakse murdu tavaliseks murruks. Kui kirjutate sama, mis 0,1 - koma. Mõlemad võimalused on võrdsed, kuid neil on oma eelised. Esimene võimalus on mugavam korrutamiseks ja jagamiseks, teine - liitmiseks, lahutamiseks ja paljudel muudel juhtudel.
Kuidas teisendada murdosa teisele vormile
Oletame, et teil on harilik murd ja soovite teisendada selle kümnendkohaks. Mida ma pean tegema?
Muide, peate eelnevalt otsustama, et ühtegi numbrit ei saa probleemideta kümnendvormingus kirjutada. Mõnikord peate tulemust ümardama, kaotades teatud arvu komakohti, ja paljudes valdkondades - näiteks täppisteadustes - on see täiesti taskukohane luksus. Samas toimingud kümnend- ja hariliku murruga 5. klassis võimaldavad sellist segamatult üleminekut ühest tüübist teise, vähemalt treeninguna.
Kui nimetajast saate täisarvuga korrutades või jagades väärtuse, mis on 10-kordne, läheb ülekanne ilma raskusteta: ¾ muutub 0,75-ks, 13/20 - 0,65.
Pöördprotseduur on veelgi lihtsam, kuna kümnendmurrust saate alati hariliku murru ilma täpsust kaotamata. Näiteks 0,2 saab 1/5 ja 0,08 4/25.
Sisemised teisendused
Enne tavaliste murdudega ühistegevuste sooritamist peate ette valmistama arvud võimalike matemaatiliste toimingute jaoks.
Kõigepealt tuleb tuua kõik näites olevad murrud ühele üldkujule. Need peavad olema kas tavalised või kümnendkohad. Tehke kohe reservatsioon, et korrutamist ja jagamist on mugavam teha esimesega.
Numbrite ettevalmistamisel edasisteks tegevusteks on abiks reegel, mida tuntakse ja kasutatakse nii aine õppimise algusaastatel kui ka kõrgmatemaatikas, mida õpitakse ülikoolides.
Fraktsiooni omadused
Oletame, et teil on mingi väärtus. Ütleme, et 2/3. Mis juhtub, kui korrutate lugeja ja nimetaja 3-ga? Hankige 6/9. Mis siis, kui see on miljon? 2000000/3000000. Kuid oodake, sest arv ei muutu kvalitatiivselt üldse - 2/3 jääb võrdseks 2000000/3000000. Muutub ainult vorm, mitte sisu. Sama juhtub siis, kui mõlemad osad on jagatud sama väärtusega. See on murru peamine omadus, mis aitab teil testidel ja eksamitel korduvalt toiminguid teha kümnend- ja tavamurrudega.
Lugeja ja nimetaja korrutamist sama arvuga nimetatakse murdosa laiendamiseks ja jagamist vähendamiseks. Pean ütlema, et murdude korrutamisel ja jagamisel samade arvude ülevalt ja alt maha kriipsutamine on üllatavalt meeldiv protseduur (loomulikult matemaatikatunni raames). Tundub, et vastus on juba lähedal ja näide on praktiliselt lahendatud.
Valed murrud
Vale murd on selline, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne. Teisisõnu, kui sellest saab eristada tervet osa, kuulub see selle määratluse alla.
Kui selline arv (ühest suurem või sellega võrdne) esitatakse tavalise murruna, nimetatakse seda valemurruks. Ja kui lugeja on nimetajast väiksem - õige. Mõlemad tüübid on tavaliste murdudega võimalike toimingute rakendamisel võrdselt mugavad. Neid saab vabalt korrutada ja jagada, liita ja lahutada.
Kui samal ajal on valitud täisarvuline osa ja samal ajal on jääk murdosa kujul, nimetatakse saadud arvu segatuks. Tulevikus puutute kokku erinevate võimalustega selliste struktuuride kombineerimiseks muutujatega, aga ka võrrandite lahendamisega, kus neid teadmisi vajatakse.
Aritmeetilised tehted
Kui murdu põhiomadusega on kõik selge, siis kuidas käituda murdude korrutamisel? Tavamurdudega toimingud 5. klassis hõlmavad igasuguseid aritmeetilisi tehteid, mida tehakse kahel erineval viisil.
Korrutamine ja jagamine on väga lihtne. Esimesel juhul korrutatakse lihtsalt kahe murru lugejad ja nimetajad. Teises - sama, ainult risti. Seega korrutatakse esimese murru lugeja teise nimetajaga ja vastupidi.
Liitmise ja lahutamise sooritamiseks peate tegema lisatoimingu – viima kõik avaldise komponendid ühisele nimetajale. See tähendab, et murdude alumised osad tuleb muuta sama väärtusega – mõlema saadaoleva nimetaja kordseks. Näiteks 2 ja 5 puhul on see 10. 3 ja 6 puhul - 6. Aga mida siis teha ülaosaga? Me ei saa jätta seda nii, nagu see oli, kui muudaksime alumise. Vastavalt murdosa põhiomadusele korrutame lugeja sama arvuga kui nimetaja. See toiming tuleb sooritada iga arvuga, mille lisame või lahutame. Selliseid tavamurdudega toiminguid 6. klassis tehakse aga juba “masina peal” ja raskused tekivad alles teema õppimise algfaasis.
Võrdlus
Kui kahel murrul on sama nimetaja, on suurema lugejaga murd suurem. Kui ülemised osad on samad, on väiksema nimetajaga osa suurem. Tuleb meeles pidada, et selliseid edukaid olukordi tuleb võrdlemiseks ette harva. Tõenäoliselt ei ühti nii avaldiste ülemine kui ka alumine osa. Seejärel peate meeles pidama võimalikke toiminguid tavaliste murdudega ning kasutama liitmise ja lahutamise tehnikat. Lisaks pidage meeles, et kui me räägime negatiivsetest arvudest, siis suurem osa moodulis on väiksem.
Harilike murdude eelised
Juhtub, et õpetajad ütlevad lastele ühe fraasi, mille sisu võib väljendada järgmiselt: mida rohkem infot ülesande sõnastamisel antakse, seda lihtsam on lahendus. Kas see kõlab imelikult? Aga tõesti: suure hulga teadaolevate väärtuste korral saate kasutada peaaegu mis tahes valemit, kuid kui esitatakse vaid paar numbrit, võib olla vaja täiendavaid peegeldusi, peate meeles pidama ja tõestama teoreeme, esitama argumente oma õigsuse kasuks. ...
Miks me seda teeme? Veelgi enam, tavalised murrud võivad kogu oma tülikast hoolimata õpilase elu oluliselt lihtsustada, võimaldades teil korrutamisel ja jagamisel vähendada terveid väärtusridu ning summa ja erinevuse arvutamisel võtta välja tavalised argumendid ja , jällegi vähendage neid.
Kui on vaja teha ühistoiminguid tavaliste ja kümnendmurdudega, tehakse teisendused esimese kasuks: kuidas tõlkida 3/17 kümnendmurdu? Ainult infokaoga, muidu mitte. Kuid 0,1 saab esitada kui 1/10 ja seejärel kui 17/170. Ja siis saab saadud kaks arvu liita või lahutada: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Miks on kümnendkohad kasulikud?
Kui tavaliste murdudega toiminguid on mugavam teha, on nende abiga kõige üles kirjutamine äärmiselt ebamugav, kümnendkohtadel on siin märkimisväärne eelis. Võrdle: 1748/10000 ja 0,1748. See on sama väärtus, mis on esitatud kahes erinevas versioonis. Muidugi on teine viis lihtsam!
Lisaks on kümnendkohti lihtsam esitada, kuna kõigil andmetel on ühine alus, mis erineb vaid suurusjärkude kaupa. Oletame, et 30% allahindlust tunneme kergesti ära ja hindame seda isegi oluliseks. Kas saate kohe aru, kumb on rohkem - 30% või 137/379? Seega tagavad kümnendmurrud arvutuste standardimise.
Gümnaasiumis lahendavad õpilased ruutvõrrandid. Siin on tavaliste murdudega toimingute tegemine juba äärmiselt problemaatiline, kuna muutuja väärtuste arvutamise valem sisaldab summa ruutjuurt. Komakohale taandamatu murdosa olemasolul muutub lahendus nii keeruliseks, et täpse vastuse väljaarvutamine ilma kalkulaatorita muutub peaaegu võimatuks.
Seega on igal murdude esitusviisil sobivas kontekstis oma eelised.
Sisenemise vormid
Tavaliste murdudega toiminguid saab kirjutada kahel viisil: läbi horisontaalse joone, kaheks "astmeks" ja läbi kaldkriipsu (teise nimega "kaldkriips") - reale. Kui õpilane kirjutab vihikusse, on esimene variant tavaliselt mugavam ja seetõttu levinum. Arvude arvu jaotamine lahtritesse aitab kaasa arvutuste ja teisenduste tähelepanelikkuse arendamisele. Stringi kirjutades võite tahtmatult toimingute järjekorra segi ajada, kaotada kõik andmed – see tähendab teha vea.
Meie ajal on üsna sageli vaja numbreid arvutisse printida. Saate murde eraldada traditsioonilise horisontaalse ribaga, kasutades Microsoft Word 2010 ja uuemate versioonide funktsiooni. Fakt on see, et nendes tarkvara versioonides on valik nimega "valem". See kuvab ristkülikukujulise teisendatava välja, milles saate kombineerida mis tahes matemaatilisi sümboleid, moodustada nii kahe- kui ka "neljakorruselisi" murde. Nimetajas ja lugejas saab kasutada sulgusid, tehtemärke. Selle tulemusel saate kõik ühistegevused tavalisel kujul ja kümnendmurdudega üles kirjutada traditsioonilisel kujul, st nii, kuidas nad seda koolis õpetavad.
Kui kasutate tavalist Notepadi tekstiredaktorit, tuleb kõik murdavaldised kirjutada kaldkriipsuga. Kahjuks siin muud teed ei saa.
Järeldus
Nii et oleme kaalunud kõiki põhitoiminguid tavaliste murdudega, mida, nagu selgub, polegi nii palju.
Kui alguses võib tunduda, et see on keeruline matemaatika osa, siis on see vaid ajutine mulje - pidage meeles, et kunagi arvasite nii korrutustabeli kohta ja isegi varem - tavaliste koopiaraamatute ja ühest kümneni loendamise kohta.
Oluline on mõista, et igapäevaelus kasutatakse murde kõikjal. Tegeled raha ja inseneriarvutustega, infotehnoloogia ja muusikalise kirjaoskusega ning igal pool – igal pool! - ilmuvad murdarvud. Seetõttu ärge olge laisk ja uurige seda teemat põhjalikult - eriti kuna see pole nii raske.
Selles artiklis räägib matemaatika ja füüsika juhendaja, kuidas teha tavaliste murdudega elementaartehteid: liitmist ja lahutamist, korrutamist ja jagamist. Siit saate teada, kuidas kujutada segaarvu valemurdena ja vastupidi ning kuidas murde vähendada.
Harilike murdude liitmine ja lahutamine
Tuletage seda meelde nimetaja murde nimetatakse arvuks, mis on altpoolt, a lugeja- see number eespool murdosa realt. Näiteks murdosas on arv lugeja ja arv nimetaja.
ühine nimetaja on väikseim võimalik arv, mis jagub nii esimese murru nimetaja kui ka teise murru nimetajaga.
Näide 1. Lisage kaks murdosa: .
Kasutame ülalkirjeldatud algoritmi:
1) Väikseim arv, mis jagub nii esimese murru nimetajaga kui ka teise murru nimetajaga, on . Sellest numbrist saab ühine nimetaja. Nüüd peate viima mõlemad murrud ühise nimetaja juurde.
2) Lisage saadud murdarvud: 
.
Harilike murdude korrutamine
Teisisõnu, kõigi reaalarvude , , , võrdus on tõene:
Näide 2. Murrude korrutamine: .
Selle probleemi lahendamiseks kasutame ülaltoodud valemit: 
.
Harilike murdude jagamine
Teisisõnu, kõigi reaalarvude , , , , võrdsus on tõene:
Näide 3. Murdude jagamine: .
Selle probleemi lahendamiseks kasutame ülaltoodud valemit: 
.
Segaarvu esitamine valemurruna
Nüüd mõtleme välja, mida teha, kui soovite sooritada mis tahes toimingut, mille murdarvud on esitatud segaarvudena. Sel juhul peate esmalt esitama segaarvud valede murdudena ja seejärel tegema vajaliku toimingu.
Tuletage seda meelde vale Murru nimetatakse, kui lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne.
Tuletage meelde ka seda, et segaarvul on murdosa ja terve osa. Näiteks segaarvu murdosa on , ja täisarvu osa on .
Näide 4. Väljendage segaarv valemurruna.
Kasutame ülaltoodud algoritmi: 
.
Näide 5. Väljendage vale murd segaarvuna.
Õpilastele tutvustatakse murde 5. klassis. Varem peeti väga tarkadeks inimesi, kes teadsid, kuidas murdosadega toiminguid teha. Esimene murdosa oli 1/2 ehk pool, siis tekkis 1/3 jne. Näiteid peeti mitu sajandit liiga keerukaks. Nüüd on välja töötatud üksikasjalikud reeglid murdude teisendamiseks, liitmiseks, korrutamiseks ja muudeks toiminguteks. Piisab, kui materjalist veidi aru saada ja lahendus antakse lihtsalt.
Tavaline murd, mida nimetatakse lihtmurruks, kirjutatakse kahe arvu jagamisena: m ja n.
M on dividend, st murdosa lugeja, ja jagajat n nimetatakse nimetajaks.
Valige õiged murrud (m< n) а также неправильные (m >n).
Õige murdosa on väiksem kui üks (näiteks 5/6 - see tähendab, et ühest võetakse 5 osa; ühest võetakse 2/8 - 2 osa). Vale murd on võrdne või suurem kui 1 (8/7 - ühik on 7/7 ja plussiks võetakse veel üks osa).
Seega on ühik siis, kui lugeja ja nimetaja ühtivad (3/3, 12/12, 100/100 ja teised).
Tegevused harilike murrudega 6. klass
Lihtmurdudega saate teha järgmist.
- Laienda murdosa. Kui korrutate murdosa ülemise ja alumise osa mis tahes identse arvuga (kuid mitte nulliga), siis murdosa väärtus ei muutu (3/5 = 6/10 (lihtsalt korrutatuna 2-ga).
- Murdude vähendamine sarnaneb laiendamisega, kuid siin jagatakse need arvuga.
- Võrdlema. Kui kahel murdel on sama lugeja, siis väiksema nimetajaga murd on suurem. Kui nimetajad on samad, on suurima lugejaga murd suurem.
- Tehke liitmine ja lahutamine. Samade nimetajatega on seda lihtne teha (ülemised osad liidame kokku ja alumine osa ei muutu). Erinevate jaoks peate leidma ühise nimetaja ja lisategurid.
- Murrude korrutamine ja jagamine.
Allpool vaadeldakse näiteid murdudega tehtetest.
Vähendatud murrud 6. klass
Vähendada tähendab murdosa ülemise ja alumise osa jagamist mõne võrdse arvuga.
Joonisel on toodud lihtsad näited vähendamisest. Esimeses variandis võite kohe arvata, et lugeja ja nimetaja jaguvad 2-ga.
Märkusena! Kui arv on paaris, jagub see igal viisil 2-ga. Paarisarvud on 2, 4, 6 ... 32 8 (lõpeb paaris) jne.
Teisel juhul 6 jagades 18-ga on kohe selge, et arvud jaguvad 2-ga. Jagades saame 3/9. See murd jagub samuti 3-ga. Siis on vastus 1/3. Kui korrutada mõlemad jagajad: 2 3-ga, siis tuleb välja 6. Selgub, et murd jagati kuuega. Seda järkjärgulist jaotust nimetatakse murdosa järjestikune taandamine ühisjagajatega.
Keegi jagab kohe 6-ga, keegi vajab osadeks jagamist. Peaasi, et lõpus on murdosa, mida ei saa kuidagi vähendada.
Pange tähele, et kui arv koosneb numbritest, mille liitmisel saadakse 3-ga jaguv arv, siis saab ka originaali 3-ga vähendada. Näide: arv 341. Lisage numbrid: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 ei jagu 3-ga, seega ei saa arvu 341 ilma jäägita 3-ga vähendada). Teine näide: 264. Lisage: 2 + 6 + 4 = 12 (jagatud 3-ga). Saame: 264: 3 = 88. See lihtsustab suurte arvude vähendamist.
Lisaks murdosa järjestikuse taandamise meetodile ühiste jagajate abil on ka teisi viise.
GCD on arvu suurim jagaja. Olles leidnud nimetaja ja lugeja GCD, saate murdosa kohe soovitud arvu võrra vähendada. Otsing toimub iga numbri järkjärgulise jagamisega. Järgmisena vaadatakse, millised jagajad sobivad, kui neid on mitu (nagu alloleval pildil), siis tuleb korrutada.
Segafraktsioonid 6. klass
Kõik ebaõiged fraktsioonid saab muundada segafraktsioonideks, eraldades neis kogu osa. Täisarv kirjutatakse vasakule.
Tihti tuleb valest murdest segaarv teha. Teisendusprotsess allolevas näites: 22/4 = 22 jagatud 4-ga, saame 5 täisarvu (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Saame 5 täisarvu ja 2/4 (nimetaja ei muutu). Kuna murdosa saab vähendada, jagame ülemise ja alumise osa 2-ga.
Segaarvu on lihtne valeks murdeks muuta (see on vajalik murdude jagamisel ja korrutamisel). Selleks: korrutage täisarv murru alumise osaga ja lisage sellele lugeja. Valmis. Nimetaja ei muutu.
Arvutused murdarvudega 6. klass
Võib lisada seganumbreid. Kui nimetajad on samad, siis on seda lihtne teha: liita täisarvulised osad ja lugejad kokku, nimetaja jääb paigale.
Erinevate nimetajatega arvude liitmisel on protsess keerulisem. Esiteks viime numbrid ühe väikseima nimetajani (NOD).
Allolevas näites on numbrite 9 ja 6 puhul nimetajaks 18. Pärast seda on vaja täiendavaid tegureid. Nende leidmiseks tuleks 18 jagada 9-ga, nii leitakse lisaarv - 2. Korrutame selle lugejaga 4, saame murdarvuks 8/18). Sama tehakse teise fraktsiooniga. Teisendatud murrud juba liidame (eraldi täisarvud ja lugejad, nimetajat me ei muuda). Näites tuli vastus teisendada õigeks murruks (esialgu osutus lugeja nimetajast suuremaks).
Pange tähele, et murdude erinevusega on toimingute algoritm sama.
Murdude korrutamisel on oluline asetada mõlemad sama rea alla. Kui arv on segatud, siis muudame selle lihtmurruks. Järgmiseks korrutage ülemine ja alumine osa ning kirjutage vastus üles. Kui on selge, et murdosasid saab vähendada, siis vähendame kohe.
Selles näites ei pidanud me midagi lõikama, kirjutasime lihtsalt vastuse üles ja tõstsime esile kogu osa.
Selles näites pidin ühe rea all olevaid numbreid vähendama. Kuigi on võimalik vähendada ka valmisvastust.
Jagamisel on algoritm peaaegu sama. Esiteks muudame segamurru ebaõigeks, seejärel kirjutame arvud ühe rea alla, asendades jagamise korrutamisega. Ärge unustage vahetada teise murdosa ülemist ja alumist osa (see on murdude jagamise reegel).
Vajadusel vähendame numbreid (allolevas näites vähendasime seda viie ja kahe võrra). Teisendame vale murdu, tõstes esile täisarvu.
Põhiülesanded murdude jaoks 6. klass
Video näitab veel mõnda ülesannet. Selguse huvides kasutatakse murdude visualiseerimiseks lahenduste graafilisi pilte.
Murrukorrutamise näited 6. klass koos selgitustega
Korrutavad murrud kirjutatakse ühe rea alla. Pärast seda vähendatakse neid samade arvudega jagades (näiteks 15 nimetajas ja 5 lugejas saab jagada viiega).
Murdude võrdlus 6. klass
Murdude võrdlemiseks peate meeles pidama kahte lihtsat reeglit.
Reegel 1. Kui nimetajad on erinevad
Reegel 2. Kui nimetajad on samad
Võrdleme näiteks murde 7/12 ja 2/3.
- Vaatame nimetajaid, need ei klapi. Nii et peate leidma ühise.
- Murdude puhul on ühisnimetaja 12.
- Jagame 12 kõigepealt esimese murru alumise osaga: 12: 12 = 1 (see on 1. murru lisategur).
- Nüüd jagame 12 3-ga, saame 4 - lisame. 2. murru kordaja.
- Murdude teisendamiseks korrutame saadud arvud lugejatega: 1 x 7 \u003d 7 (esimene murd: 7/12); 4 x 2 = 8 (teine murd: 8/12).
- Nüüd saame võrrelda: 7/12 ja 8/12. Selgus: 7/12< 8/12.
Murdude paremaks esitamiseks võib selguse huvides kasutada jooniseid, kus objekt on jagatud osadeks (näiteks kook). Kui tahad võrrelda 4/7 ja 2/3, siis esimesel juhul jagatakse tort 7 osaks ja neist valitakse 4. Teises jagatakse need 3 osaks ja võetakse 2. Palja silmaga on selge, et 2/3 on rohkem kui 4/7.
Näited murdudega hinne 6 koolituseks
Harjutusena saate täita järgmisi ülesandeid.
- Võrrelge murde
- tee korrutamine
Näpunäide: kui murdude väikseimat ühist nimetajat on raske leida (eriti kui nende väärtused on väikesed), saate esimese ja teise murdosa nimetaja korrutada. Näide: 2/8 ja 5/9. Nende nimetaja leidmine on lihtne: korrutage 8 9-ga, saate 72.
Murdudega võrrandite lahendamine 6. klass
Võrrandite lahendamisel peate meeles pidama toimingud murdudega: korrutamine, jagamine, lahutamine ja liitmine. Kui üks teguritest on teadmata, jagatakse korrutis (kogusumma) teadaoleva teguriga, see tähendab, et osad korrutatakse (teine pööratakse ümber).
Kui dividend on teadmata, siis korrutatakse nimetaja jagajaga ja jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.
Kujutagem ette lihtsaid näiteid võrrandite lahendamisest:
Siin on vaja luua ainult murdude erinevus, ilma et see tooks kaasa ühisnimetaja.
Vastus on vale murd. Seda saab teisendada 1 terveks ja 3/5-ks.
Teise meetodi korral korrutati lugeja ja nimetaja 4-ga, et lühendada nimetaja ümberpööramise asemel põhja.
Tegevused murdarvudega.
Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")
Niisiis, mis on murrud, murdude tüübid, teisendused - me mäletasime. Käsitleme põhiküsimust.
Mida saab murdudega teha? Jah, kõik on sama, mis tavanumbrite puhul. Liita, lahutada, korrutada, jagada.
Kõik need toimingud koos koma toimingud murdarvudega ei erine toimingutest täisarvudega. Tegelikult on need selleks, kümnendkohad, sobivad. Ainus asi on see, et peate koma õigesti panema.
seganumbrid, nagu ma ütlesin, on enamiku toimingute jaoks vähe kasu. Need tuleb veel teisendada tavalisteks murdudeks.
Ja siin on toimingud harilikud murrud saab targemaks. Ja palju tähtsam! Lubage mul teile meelde tuletada: kõik toimingud murruavaldistega tähtede, siinuste, tundmatute jne ja nii edasi ja nii edasi ei erine tavaliste murdudega toimingutest! Tehted tavaliste murdudega on kogu algebra aluseks. Just sel põhjusel analüüsime siin kogu seda aritmeetikat üksikasjalikult.
Murdude liitmine ja lahutamine.
Igaüks saab liita (lahutada) samade nimetajatega murde (ma väga loodan!). Noh, ma tuletan teile täiesti unustamatuks meelde: liitmisel (lahutamisel) nimetaja ei muutu. Lugejad liidetakse (lahutatakse), et saada tulemuse lugeja. Tüüp:
Lühidalt, üldiselt:
Mis siis, kui nimetajad on erinevad? Seejärel murru põhiomadust kasutades (siin tuli jälle kasuks!) muudame nimetajad samaks! Näiteks:
Siin tuli teha murdosast 2/5 murdosa 4/10. Ainult selleks, et muuta nimetajad samaks. Märgin igaks juhuks, et 2/5 ja 4/10 on sama murdosa! Ainult 2/5 on meie jaoks ebamugav ja 4/10 pole isegi mitte midagi.
Muide, see on matemaatika mis tahes ülesannete lahendamise olemus. Kui oleme väljas ebamugav väljendid teevad sama, kuid mugavam lahendada.
Veel üks näide:
Olukord on sarnane. Siin saame 16-st 48. Lihtsa korrutamise teel 3-ga. Kõik on selge. Kuid siin kohtame midagi sellist:
Kuidas olla?! Seitsmest on raske üheksat teha! Aga me oleme targad, teame reegleid! Muutkem iga murdosa nii, et nimetajad oleksid samad. Seda nimetatakse "taandada ühisele nimetajale":
Kuidas! Kuidas ma 63-st teadsin? Väga lihtne! 63 on arv, mis jagub võrdselt korraga 7 ja 9-ga. Sellise arvu saab alati nimetajate korrutamisega. Kui korrutame mõne arvu näiteks 7-ga, jagatakse tulemus kindlasti 7-ga!
Kui on vaja liita (lahutada) mitu murru, pole seda vaja teha paarikaupa, samm-sammult. Peate lihtsalt leidma nimetaja, mis on ühine kõikidele murdudele, ja viima iga murdosa samasse nimetajasse. Näiteks:
Ja mis saab ühiseks nimetajaks? Muidugi võite korrutada 2, 4, 8 ja 16. Saame 1024. Õudusunenägu. Lihtsam on hinnata, et arv 16 jagub suurepäraselt 2, 4 ja 8-ga. Seetõttu on nende arvude põhjal lihtne saada 16. Sellest arvust saab ühine nimetaja. Muudame 1/2 8/16-ks, 3/4 12/16-ks ja nii edasi.
Muide, kui võtta ühiseks nimetajaks 1024, saab ka kõik korda, lõpuks kõik väheneb. Ainult arvutuste tõttu ei jõua kõik selleni ...
Lahenda näide ise. Mitte logaritm... See peaks olema 29/16.
Loodan, et murdude liitmine (lahutamine) on selge? Muidugi on lihtsam töötada lühendatud versioonis, lisakordajatega. Kuid see rõõm on saadaval neile, kes ausalt töötasid madalamates klassides ... Ja ei unustanud midagi.
Ja nüüd teeme samu toiminguid, kuid mitte murdudega, vaid koos murdosa avaldised. Siit leitakse uued rehad jah...
Seega peame lisama kaks murdosa avaldist:
Peame muutma nimetajad samaks. Ja ainult abiga korrutamine! Nii ütleb murdosa põhiomadus. Seetõttu ei saa ma nimetaja esimeses murrus x-ile ühte lisada. (Aga see oleks tore!). Aga kui nimetajad korrutada, siis näed, kõik kasvab kokku! Nii kirjutame üles murru rea, jätame selle peale tühja ruumi, lisame selle ja kirjutame alla nimetajate korrutise, et mitte unustada:
Ja loomulikult ei korruta me paremal pool midagi, me ei ava sulgusid! Ja nüüd, vaadates parema külje ühist nimetajat, mõtleme: selleks, et saada nimetaja x (x + 1) esimeses murrus, peame selle murru lugeja ja nimetaja korrutama (x + 1) . Ja teises murrus - x. Saate selle:
Märge! Sulud on siin! See on reha, millele paljud astuvad. Muidugi mitte sulud, vaid nende puudumine. Sulud ilmuvad, sest me korrutame tervik lugeja ja tervik nimetaja! Ja mitte nende üksikud tükid ...
Parema poole lugejasse kirjutame lugejate summa, kõik on nagu numbrimurdudes, seejärel avame parema külje lugejas sulud, s.t. korruta kõik ja anna like. Sul pole vaja nimetajates sulgusid avada, midagi pole vaja korrutada! Üldiselt on nimetajates (mis tahes) toode alati meeldivam! Saame:
Siit saime vastuse. Protsess tundub pikk ja keeruline, kuid see sõltub praktikast. Lahendage näiteid, harjuge, kõik muutub lihtsaks. Need, kes on murrud etteantud aja jooksul selgeks saanud, tehke kõik need toimingud ühe käega, masinal!
Ja veel üks märkus. Paljud tegelevad kuulsalt murdudega, kuid jäävad näidete juurde terve numbrid. Tüüp: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kuhu kahekesi kinnitada? Pole vaja kuhugi kinnitada, kahekesi on vaja teha murdosa. See pole lihtne, see on väga lihtne! 2 = 2/1. Nagu nii. Suvalise täisarvu saab kirjutada murruna. Lugeja on arv ise, nimetaja on üks. 7 on 7/1, 3 on 3/1 ja nii edasi. Sama on tähtedega. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 jne. Ja siis töötame nende murdudega kõigi reeglite järgi.
Noh, liitmisel - murdude lahutamisel värskendati teadmisi. Murdude teisendused ühest tüübist teise - korduv. Saate ka kontrollida. Kas leiame natuke?)
Arvutama:
Vastused (segaduses):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Murdude korrutamine / jagamine - järgmises õppetükis. Kõigi murdosadega toimingute jaoks on ka ülesanded.
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)
saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Nüüd, kui oleme õppinud üksikuid murde liitma ja korrutama, võime kaaluda keerukamaid struktuure. Näiteks kui ühes ülesandes toimub murdude liitmine, lahutamine ja korrutamine?
Kõigepealt peate teisendama kõik murrud ebaõigeteks. Seejärel sooritame järjestikku vajalikud toimingud – samas järjekorras nagu tavanumbrite puhul. Nimelt:
- Esiteks viiakse läbi astendamine - vabaneda kõigist eksponente sisaldavatest avaldistest;
- Siis - jagamine ja korrutamine;
- Viimane samm on liitmine ja lahutamine.
Muidugi, kui avaldises on sulud, siis toimingute järjekord muutub – kõigepealt tuleb arvestada kõike, mis sulgudes on. Ja pidage meeles valede murdude kohta: peate valima kogu osa alles siis, kui kõik muud toimingud on juba tehtud.
Tõlgime kõik esimese avaldise murrud sobimatuteks ja seejärel teostame järgmised toimingud:
Nüüd leiame teise avaldise väärtuse. Täisarvulise osaga murde pole, küll aga on sulud, seega sooritame esmalt liitmise ja alles seejärel jagamise. Pange tähele, et 14 = 7 2 . Seejärel:
Lõpuks kaaluge kolmandat näidet. Siin on sulgud ja kraad - parem on need eraldi lugeda. Arvestades, et 9 = 3 3, on meil:
Pöörake tähelepanu viimasele näitele. Murru tõstmiseks astmeni peate eraldi tõstma lugeja selle astmeni ja eraldi nimetaja.
Saate otsustada teisiti. Kui meenutame kraadi määratlust, taandatakse probleem tavalisele murdude korrutamisele:
Mitmekorruselised murded
Siiani oleme arvestanud ainult "puhtaid" murde, kui lugeja ja nimetaja on tavalised arvud. See on kooskõlas esimeses õppetunnis antud numbrilise murru definitsiooniga.
Aga mis siis, kui lugejasse või nimetajasse asetatakse keerulisem objekt? Näiteks veel üks arvuline murd? Selliseid konstruktsioone tuleb ette üsna sageli, eriti pikkade väljenditega töötades. Siin on paar näidet:
Mitmekorruseliste murdudega töötamiseks on ainult üks reegel: peate neist kohe lahti saama. "Lisa" põrandate eemaldamine on üsna lihtne, kui mäletate, et murdosa riba tähendab standardset jagamise operatsiooni. Seetõttu saab mis tahes murdosa ümber kirjutada järgmiselt:
Seda fakti kasutades ja protseduuri järgides saame igasuguse mitmekorruselise murdosa lihtsa vaevaga taandada tavaliseks. Heitke pilk näidetele:
Ülesanne. Teisendage mitmekorruselised murded tavalisteks:
Igal juhul kirjutame põhimurru ümber, asendades eraldusjoone jagamismärgiga. Samuti pidage meeles, et iga täisarvu saab esitada murdena, mille nimetaja on 1. See tähendab, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Saame:
Viimases näites vähendati murde enne lõplikku korrutamist.
Mitmekorruseliste murdudega töötamise eripära
Mitmekorruseliste murdude puhul on üks peensus, mida tuleb alati meeles pidada, muidu võite saada vale vastuse, isegi kui kõik arvutused olid õiged. Vaata:
- Lugejas on eraldi number 7 ja nimetajas - murd 12/5;
- Lugeja on murdosa 7/12 ja nimetaja on üksikarv 5.
Nii et ühe plaadi kohta saime kaks täiesti erinevat tõlgendust. Kui loendate, on ka vastused erinevad:
Tagamaks, et kirjet loetaks alati ühemõtteliselt, kasutage lihtsat reeglit: põhimurdu eraldusjoon peab olema pikem kui pesastatud rida. Soovitavalt mitu korda.
Kui järgite seda reeglit, tuleks ülaltoodud murrud kirjutada järgmiselt:
Jah, see on ilmselt kole ja võtab liiga palju ruumi. Aga sa arvutad õigesti. Lõpetuseks paar näidet, kus mitmetasandilised murded tõesti esinevad:
Ülesanne. Otsi avaldise väärtusi:
Niisiis, töötame esimese näitega. Teisendame kõik murrud ebaõigeteks ja seejärel teostame liitmise ja jagamise toimingud:
Teeme sama teise näitega. Teisendage kõik murrud ebaõigeteks ja tehke vajalikud toimingud. Et lugejat mitte tüüdata, jätan mõned ilmselged arvutused tegemata. Meil on:
Kuna põhimurdude lugeja ja nimetaja sisaldavad summasid, järgitakse automaatselt mitmekorruseliste murdude kirjutamise reeglit. Samuti jätsime viimases näites sihilikult jagamise läbiviimiseks arvu 46/1 murru kujule.
Samuti märgin, et mõlemas näites asendab murderiba tegelikult sulud: esiteks leidsime summa ja alles seejärel jagatise.
Keegi ütleb, et üleminek valedele murdudele teises näites oli selgelt üleliigne. Võib-olla see nii ongi. Aga nii kindlustame end vigade vastu, sest järgmine kord võib näide palju keerulisemaks osutuda. Valige ise, mis on olulisem: kiirus või töökindlus.