Všeobecné informácie o priamom hranole

Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet oblasti bočných plôch. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.

Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne výškou hranola, t.j. dĺžkou bočného rebra.

Dôkaz. Bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočný povrch hranola je

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kde a 1 a n sú dĺžky hrán podstavy, p je obvod podstavy hranola a I je dĺžka bočných hrán. Veta je dokázaná.

Praktická úloha

výzva (22) ... V naklonenom hranole, oddiele kolmé na bočné rebrá a pretínajúce všetky bočné rebrá. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je p a bočné hrany sú l.

Riešenie. Rovina nakresleného rezu láme hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prenosu, ktorý sa zhoduje so základňami hranola. V tomto prípade dostaneme rovný hranol, v ktorom je základňa rezom pôvodného hranola a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako originál. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.

Zhrnutie preberanej témy

A teraz si skúsme s vami zhrnúť minulú tému o hranole a pripomenúť si, aké vlastnosti má hranol.

Vlastnosti hranolov

Po prvé, pre hranol sú všetky jeho základne rovnaké polygóny;
Po druhé, v prípade hranola sú všetky jeho bočné strany rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrázku, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;

Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné a šikmé.

Ktorý hranol sa nazýva priamka?

Ak je bočný okraj hranola umiestnený kolmo na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva priamka.

Nebude zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.

Aký druh hranola sa nazýva šikmý?

Ak však bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme s istotou povedať, že ide o naklonený hranol.

Ktorý hranol sa nazýva správny?

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol správny.

Teraz si pripomeňme vlastnosti, ktoré má správny hranol.

Správne vlastnosti hranola

Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základne pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, potom sú to vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáme veľkosti bočných rebier, potom v správnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, správny hranol je vždy rovný;
Po piate, ak sú v pravidelnom hranole bočné strany štvorcové, potom sa takýto obrazec zvyčajne nazýva polopravidelný mnohouholník.

Hranolový úsek

Teraz sa pozrime na prierez hranola:

Domáca úloha

Teraz sa pokúsme upevniť študovanú tému riešením problémov.

Nakreslíme si šikmý trojuholníkový hranol, ktorého vzdialenosť medzi okrajmi bude rovná: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranolu bude 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu tohto hranolu.

Vedeli ste, že geometrické tvary nás neustále obklopujú nielen na hodinách geometrie, ale aj v každodennom živote existujú predmety, ktoré pripomínajú jeden alebo iný geometrický útvar.

Každý dom, škola alebo práca má počítač, ktorého systémová jednotka má podobu rovného hranola.

Ak vezmete do ruky jednoduchú ceruzku, uvidíte, že hlavnou časťou ceruzky je hranol.

Kráčajúc po hlavnej ulici mesta vidíme, že pod našimi nohami je dlaždica, ktorá má tvar šesťhranného hranola.

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Polyhedra

Hlavným predmetom štúdia stereometrie sú priestorové telesá. Telo je časť priestoru ohraničená určitou plochou.

Mnohosten sa nazýva teleso, ktorého povrch pozostáva z konečného počtu plochých mnohouholníkov. Mnohosten sa nazýva konvexný, ak sa nachádza na jednej strane roviny každého plochého mnohouholníka na jeho povrchu. Spoločná časť takejto roviny a plocha mnohostenu je tzv hrana... Plochy konvexného polytopu sú ploché konvexné polygóny. Strany tvárí sú tzv okraje mnohostenu a vrcholy sú vrcholy mnohostenu.

Napríklad kocka pozostáva zo šiestich štvorcov, ktoré sú jej plochami. Obsahuje 12 hrán (strany štvorcov) a 8 vrcholov (horné časti štvorcov).

Najjednoduchšie mnohosteny sú hranoly a pyramídy, ktoré budeme ďalej študovať.

Hranol

Definícia a vlastnosti hranola

Hranol nazýva sa mnohosten pozostávajúci z dvoch rovinných mnohouholníkov ležiacich v rovnobežných rovinách kombinovaných paralelným posunom a všetkých segmentov spájajúcich príslušné body týchto mnohouholníkov. Polygóny sú tzv hranolové základne a segmenty spájajúce zodpovedajúce vrcholy polygónov sú bočné okraje hranola.

Výška hranola sa nazýva vzdialenosť medzi rovinami jeho základov (). Segment spájajúci dva vrcholy hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche, sa nazýva diagonálny hranol(). Hranol je tzv n-stranný ak je na jeho základni n-uholník.

Každý hranol má nasledujúce vlastnosti, ktoré vyplývajú zo skutočnosti, že základne hranola sú zarovnané paralelným prenosom:

1. Základy hranola sú rovnaké.

2. Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké.

Povrch hranola tvoria podstavce a bočný povrch... Bočnú plochu hranola tvoria rovnobežníky (vyplýva to z vlastností hranola). Plocha bočnej plochy hranola je súčtom plôch bočných plôch.

Priamy hranol

Hranol je tzv rovno ak sú jeho bočné okraje kolmé na základne. V opačnom prípade sa hranol tzv šikmé.

Plochy rovného hranolu sú obdĺžniky. Výška rovného hranola sa rovná jeho bočným stranám.

Plný hranolový povrch nazývaný súčet plochy bočného povrchu a plôch báz.

Správny hranol nazývaný priamy hranol s pravidelným mnohouholníkom na základni.

Veta 13.1... Plocha bočnej plochy rovného hranola sa rovná súčinu obvodu výškou hranola (alebo, ktorá je rovnaká, bočným okrajom).

Dôkaz. Bočné plochy rovného hranola sú obdĺžniky, ktorých základňami sú strany mnohouholníkov na základniach hranola a výškami sú bočné hrany hranola. Potom, podľa definície, plocha bočného povrchu je:

,

kde je obvod podstavy priameho hranolu.

Rovnobežníkovité

Ak sú v základoch hranola rovnobežníky, potom sa nazýva rovnobežnosten... Všetky strany rovnobežnostena sú rovnobežníky. V tomto prípade sú protiľahlé strany rovnobežnostena rovnobežné a rovnaké.

Veta 13.2... Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a priesečník je polovičný.

Dôkaz. Zoberme si napríklad dve ľubovoľné uhlopriečky a. Pretože strany rovnobežnostena sú rovnobežníky, potom a, a teda, podľa T asi dve priamky rovnobežné s treťou. Okrem toho to znamená, že čiary a ležia v rovnakej rovine (rovine). Táto rovina pretína rovnobežné roviny a pozdĺž rovnobežných línií a. Štvoruholník je teda rovnobežník a podľa vlastnosti rovnobežníka sa jeho uhlopriečky a pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu, čo sme museli dokázať.

Obdĺžnikový hranol, ktorého základňou je obdĺžnik, sa nazýva pravouhlý rovnobežnosten... Všetky strany pravouhlého rovnobežnostena sú obdĺžniky. Dĺžky nerovnobežných hrán pravouhlého rovnobežnostena sa nazývajú jeho lineárne rozmery (rozmery). Existujú tri takéto veľkosti (šírka, výška, dĺžka).

Veta 13.3... V pravouhlom rovnobežnostene sa štvorec akejkoľvek uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov. (dokázané pomocou dvojnásobnej aplikácie T Pytagoras).

Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten so všetkými rovnakými hranami kocka.

Úlohy

13.1 Koľko má uhlopriečok n- uhlový hranol

13.2 V šikmom trojuholníkovom hranole sú vzdialenosti medzi bočnými rebrami 37, 13 a 40. Nájdite vzdialenosť medzi väčšou bočnou hranou a protiľahlou bočnou hranou.

13.3 Cez stranu spodnej základne pravidelného trojuholníkového hranola je nakreslená rovina, ktorá pretína bočné plochy pozdĺž segmentov, medzi ktorými je uhol. Nájdite uhol sklonu tejto roviny k základni hranola.

V školských osnovách pre kurz stereometrie sa štúdium objemových útvarov zvyčajne začína jednoduchým geometrickým telesom - mnohostenom hranola. Úlohu jeho základov plnia 2 rovnaké polygóny ležiace v rovnobežných rovinách. Špeciálnym prípadom je pravidelný štvorhranný hranol. Jeho základňami sú 2 rovnaké pravidelné štvoruholníky, na ktoré sú bočné strany kolmé, vo forme rovnobežníkov (alebo obdĺžnikov, ak hranol nie je naklonený).

Ako vyzerá hranol

Pravidelný štvorhranný hranol sa nazýva šesťuholník, na základni ktorého sú 2 štvorce a bočné strany sú znázornené obdĺžnikmi. Ďalším názvom tejto geometrickej postavy je rovný rovnobežnosten.

Nákres zobrazujúci štvoruholníkový hranol je uvedený nižšie.

Obrázok je tiež možné vidieť najdôležitejšie prvky, ktoré tvoria geometrické teleso... Je zvykom odkazovať sa na ne:

Niekedy v problémoch v geometrii možno nájsť koncept sekcie. Definícia bude znieť takto: rez sú všetky body objemového telesa, ktoré patria do roviny rezu. Rez je kolmý (pretína okraje tvaru pod uhlom 90 stupňov). Pri pravouhlom hranole sa počíta aj s diagonálnym rezom (maximálny počet sekcií, ktoré je možné postaviť sú 2) prechádzajúce cez 2 hrany a uhlopriečky podstavy.

Ak je rez nakreslený tak, že rovina rezu nie je rovnobežná ani so základňami, ani s bočnými plochami, výsledkom je zrezaný hranol.

Na nájdenie redukovaných prizmatických prvkov sa používajú rôzne vzťahy a vzorce. Niektoré z nich sú známe z priebehu planimetrie (napríklad na nájdenie plochy základne hranola stačí pripomenúť vzorec pre plochu štvorca).

Plocha a objem

Ak chcete určiť objem hranola pomocou vzorca, musíte poznať jeho základnú plochu a výšku:

V = S hlavná h

Keďže základom pravidelného štvorstenného hranola je štvorec so stranou a, vzorec môžete napísať podrobnejšie:

V = a² h

Ak hovoríme o kocke - pravidelnom hranole s rovnakou dĺžkou, šírkou a výškou, objem sa vypočíta takto:

Aby ste pochopili, ako nájsť oblasť bočného povrchu hranola, musíte si predstaviť jeho rozvinutie.

Nákres ukazuje, že bočná plocha sa skladá zo 4 rovnakých obdĺžnikov. Jeho plocha sa vypočíta ako súčin obvodu základne a výšky postavy:

Sstrana = P hlavná h

S prihliadnutím na to, že obvod námestia je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pre kocku:

Strana strany = 4a²

Na výpočet celkovej plochy hranola pridajte 2 základné plochy k bočnej ploche:

S plná = S strana + 2 S hlavná

Pokiaľ ide o štvoruholníkový pravidelný hranol, vzorec je:

S celkom = 4a · h + 2a²

Pre povrch kocky:

S celkom = 6a²

Keď poznáte objem alebo plochu povrchu, môžete vypočítať jednotlivé prvky geometrického telesa.

Hľadanie hranolových prvkov

Často sa vyskytujú problémy, pri ktorých je daný objem alebo je známa hodnota bočnej plochy, kde je potrebné určiť dĺžku strany základne alebo výšku. V takýchto prípadoch je možné odvodiť vzorce:

• dĺžka základnej strany: a = strana S / 4h = √ (V / h);
• dĺžka výšky alebo bočného rebra: h = strana S / 4a = V / a²;
• základná plocha: Sosn = V/h;
• oblasť bočnej tváre: S strana. gr = S strana / 4.

Ak chcete určiť, akú plochu má diagonálna časť, musíte poznať dĺžku uhlopriečky a výšku postavy. Pre štvorec d = a√2. Preto:

Sdiag = ah√2

Na výpočet uhlopriečky hranola použite vzorec:

cena = √ (2a² + h²)

Aby ste pochopili, ako použiť vyššie uvedené pomery, môžete si precvičiť a vyriešiť niekoľko jednoduchých úloh.

Príklady úloh s riešeniami

Tu sú niektoré z úloh, ktoré sa nachádzajú na štátnych záverečných skúškach z matematiky.

Cvičenie 1.

Piesok sa naleje do krabice vo forme pravidelného štvoruholníkového hranola. Výška jeho hladiny je 10 cm Aká bude hladina piesku, ak ho presuniete do nádoby rovnakého tvaru, ale s 2-krát dlhšou základňou?

Malo by sa to zdôvodniť nasledovne. Množstvo piesku v prvej a druhej nádobe sa nezmenilo, to znamená, že jeho objem v nich sa zhoduje. Môžete určiť dĺžku základne pre a... V tomto prípade pre prvý box bude objem látky:

V₁ = ha² = 10a²

Pre druhú krabicu je základná dĺžka 2a, ale výška hladiny piesku nie je známa:

V2 = h (2a) ² = 4 ha²

Pokiaľ ide o V1 = V2, môžete prirovnať výrazy:

10a² = 4ha²

Po zrušení oboch strán rovnice o a² dostaneme:

V dôsledku toho bude nová úroveň piesku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úloha 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je správny hranol. Je známe, že BD = AB₁ = 6√2. Nájdite celkový povrch tela.

Aby ste ľahšie pochopili, ktoré prvky sú známe, môžete zobraziť postavu.

Keďže hovoríme o správnom hranole, môžeme usúdiť, že na základni je štvorec s uhlopriečkou 6√2. Uhlopriečka bočnej plochy má rovnakú veľkosť, preto má aj bočná plocha tvar štvorca rovnajúceho sa základni. Ukazuje sa, že všetky tri rozmery - dĺžka, šírka a výška - sú rovnaké. Dá sa usúdiť, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je kocka.

Dĺžka ktorejkoľvek hrany je určená pomocou známej uhlopriečky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch sa zistí podľa vzorca pre kocku:

S celkom = 6a² = 662 = 216

Úloha 3.

V izbe prebieha rekonštrukcia. Je známe, že jeho podlaha má tvar štvorca s rozlohou 9 m². Výška miestnosti je 2,5 m Aké sú najnižšie náklady na tapetovanie miestnosti, ak 1 m² stojí 50 rubľov?

Keďže podlaha a strop sú štvorce, teda pravidelné štvoruholníky a jej steny sú kolmé na vodorovné plochy, môžeme usúdiť, že ide o pravidelný hranol. Je potrebné určiť plochu jeho bočného povrchu.

Dĺžka miestnosti je a = √9 = 3 m.

Na plochu sa nalepí tapeta Strana = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

Najnižšie náklady na tapety pre túto miestnosť budú 50 30 = 1 500 rubľov.

Na riešenie úloh na pravouhlom hranole teda stačí vedieť vypočítať plochu a obvod štvorca a obdĺžnika, ako aj vlastné vzorce na zistenie objemu a povrchu.

Ako nájsť plochu kocky

Hranol. Rovnobežníkovité

Hranol sa nazýva mnohosten, ktorého dve steny sú rovnaké n-uholníky (dôvody) ležiace v rovnobežných rovinách a zvyšných n plôch sú rovnobežníky (bočné strany) . Bočné rebro hranol je strana bočnej plochy, ktorá nepatrí k základni.

Hranol, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstav, sa nazýva rovno hranol (obr. 1). Ak bočné hrany nie sú kolmé na roviny podstavcov, potom sa nazýva hranol šikmé . Správne Hranol je rovný hranol, ktorého základňami sú pravidelné mnohouholníky.

Výška hranol sa nazýva vzdialenosť medzi rovinami základov. Uhlopriečka hranol sa nazýva segment, ktorý spája dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche. Diagonálny rez rez hranolom sa nazýva rovina prechádzajúca dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k jednej ploche. Kolmý rez rez hranolom sa nazýva rovina kolmá na bočnú hranu hranola.

Bočný povrch hranol sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch. Celá plocha nazývaný súčet plôch všetkých plôch hranola (t. j. súčet plôch bočných plôch a plôch základní).

Pre ľubovoľný hranol platia nasledujúce vzorce:

kde l- dĺžka bočného rebra;

H- výška;

P

Q

S strana

S plný

S hlavná- plocha základov;

V Je objem hranola.

Pre priamy hranol sú správne nasledujúce vzorce:

kde p- obvod základne;

l- dĺžka bočného rebra;

H- výška.

Rovnobežníkovité nazývaný hranol, ktorého základňou je rovnobežník. Nazýva sa rovnobežnosten s bočnými hranami kolmými na základne priamy (obr. 2). Ak bočné okraje nie sú kolmé na základne, potom sa nazýva rovnobežnosten šikmé ... Nazýva sa rovný rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik pravouhlý. Nazýva sa pravouhlý rovnobežnosten so všetkými rovnakými hranami kocka.

Tváre rovnobežnostena, ktoré nemajú spoločné vrcholy, sa nazývajú odporujúce ... Dĺžky hrán vychádzajúcich z jedného vrcholu sa nazývajú merania rovnobežnosten. Pretože hranol je hranol, jeho hlavné prvky sú definované rovnakým spôsobom, ako sú definované pre hranoly.

Vety.

1. Uhlopriečky rovnobežnostenu sa pretínajú v jednom bode a sú ním polovičné.

2. V pravouhlom rovnobežnostene sa štvorec dĺžky uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov:

3. Všetky štyri uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú si navzájom rovné.

Pre ľubovoľný rovnobežnosten platia nasledujúce vzorce:

kde l- dĺžka bočného rebra;

H- výška;

P- obvod kolmého rezu;

Q- Plocha kolmého rezu;

S strana- plocha bočného povrchu;

S plný- celková plocha;

S hlavná- plocha základov;

V Je objem hranola.

Pre rovný rovnobežnosten platia nasledujúce vzorce:

kde p- obvod základne;

l- dĺžka bočného rebra;

H- výška rovného rovnobežnostena.

Pre pravouhlý rovnobežnosten platia nasledujúce vzorce:

(3)

kde p- obvod základne;

H- výška;

d- uhlopriečka;

a, b, c- merania rovnobežnostenu.

Pre kocku sú správne nasledujúce vzorce:

kde a- dĺžka rebra;

d Je uhlopriečka kocky.

Príklad 1 Uhlopriečka pravouhlého kvádra je 33 dm a jeho rozmery sú vo vzťahu 2 : 6 : 9. Nájdite rozmery kvádra.

Riešenie. Na zistenie rozmerov rovnobežnostena použijeme vzorec (3), t.j. tým, že štvorec prepony pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho meraní. Označme podľa k koeficient proporcionality. Potom budú rozmery rovnobežnostena 2 k, 6k a 9 k... Napíšme vzorec (3) pre údaje o probléme:

Riešenie tejto rovnice pre k, dostaneme:

To znamená, že rozmery rovnobežnostena sú 6 dm, 18 dm a 27 dm.

odpoveď: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Príklad 2 Nájdite objem nakloneného trojuholníkového hranolu, ktorého základňou je rovnostranný trojuholník so stranou 8 cm, ak sa bočná hrana rovná strane základne a je sklonená k základni pod uhlom 60°.

Riešenie . Urobme si kresbu (obr. 3).

Na zistenie objemu nakloneného hranolu je potrebné poznať jeho základnú plochu a výšku. Plocha základne tohto hranolu je plocha rovnostranného trojuholníka so stranou 8 cm. Vypočítajme to:

Výška hranola je vzdialenosť medzi jeho základňami. Z vrchu A 1 hornej podstavy spustíme kolmicu na rovinu spodnej podstavy A 1 D... Jeho dĺžka bude výška hranola. Zvážte D A 1 AD: keďže ide o uhol sklonu bočného rebra A 1 A do roviny základne, A 1 A= 8 cm.Z tohto trojuholníka nájdeme A 1 D:

Teraz vypočítame objem podľa vzorca (1):

odpoveď: 192 cm 3.

Príklad 3 Bočná hrana pravidelného šesťhranného hranola je 14 cm. Plocha najväčšej uhlopriečky je 168 cm2. Nájdite celkovú plochu hranola.

Riešenie. Urobme si kresbu (obr. 4)

Najväčšia diagonálna časť - obdĺžnik AA 1 DD 1, od uhlopriečky AD pravidelný šesťuholník A B C D E F je najväčší. Na výpočet plochy bočného povrchu hranola je potrebné poznať stranu základne a dĺžku bočného rebra.

Keď poznáme oblasť diagonálnej časti (obdĺžnik), nájdeme uhlopriečku základne.

Odvtedy

Odvtedy AB= 6 cm.

Potom je obvod základne:

Nájdite oblasť bočného povrchu hranola:

Plocha pravidelného šesťuholníka so stranou 6 cm je:

Nájdite celkovú plochu hranola:

odpoveď:

Príklad 4 Základom pravouhlého rovnobežnostena je kosoštvorec. Plochy uhlopriečok sú 300 cm2 a 875 cm2. Nájdite oblasť bočného povrchu rovnobežnostena.

Riešenie. Urobme si kresbu (obr. 5).

Označme stranu kosoštvorca cez a, uhlopriečky kosoštvorca d 1 a d 2, výška rovnobežnostena h... Ak chcete nájsť plochu bočného povrchu rovného rovnobežnostena, vynásobte obvod základne výškou: (vzorec (2)). Základný obvod p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, pretože A B C D- kosoštvorec. H = AA 1 = h... To. Treba nájsť a a h.

Zvážte diagonálne rezy. AA 1 SS 1 - obdĺžnik, ktorého jedna strana je uhlopriečka kosoštvorca AS = d 1, druhé je bočné rebro AA 1 = h, potom

Podobne pre sekciu BB 1 DD 1 dostaneme:

Použitím vlastnosti rovnobežníka, že súčet druhých mocnín uhlopriečok sa rovná súčtu druhých mocnín všetkých jeho strán, dostaneme rovnosť.Dostaneme nasledovné.