โยนลูกเต๋า 2 ลูกสำหรับความน่าจะเป็นคืออะไร แก้ปัญหาการโยนลูกเต๋า

งานสำหรับ ความน่าจะเป็นตายได้รับความนิยมไม่น้อยไปกว่าปัญหาการโยนเหรียญ เงื่อนไขของปัญหาดังกล่าวมักจะเป็นดังนี้: เมื่อโยนลูกเต๋าหนึ่งหรือมากกว่า (2 หรือ 3) ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนจะเท่ากับ 10 หรือจำนวนคะแนนเท่ากับ 4 หรือ ผลคูณของจำนวนคะแนนหรือเป็นผลคูณของจำนวนคะแนนหารด้วย 2 เป็นต้น

การใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกเป็นวิธีหลักในการแก้ปัญหาประเภทนี้

หนึ่งตาย ความน่าจะเป็น

สถานการณ์ค่อนข้างง่ายด้วยลูกเต๋าเดียว ถูกกำหนดโดยสูตร: P = m / n โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ และ n คือจำนวนของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าๆ กันของการทดสอบด้วยการทอยลูกเต๋าหรือลูกเต๋า

ปัญหาที่ 1 ตายถูกโยนหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่เป็นเท่าไหร่?

เนื่องจากลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์ (หรือเรียกอีกอย่างว่าลูกเต๋าที่ถูกต้อง ลูกบาศก์จะตกลงบนทุกหน้าด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน เนื่องจากมีความสมดุล) ลูกบาศก์จึงมี 6 หน้า (จำนวนแต้มตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่ง มักจะระบุด้วยจุด) ซึ่งหมายถึงสิ่งที่อยู่ในปัญหา จำนวนทั้งหมดผลลัพธ์: n = 6 เหตุการณ์ได้รับการสนับสนุนโดยผลลัพธ์ที่ใบหน้าที่มีแต้มคู่ 2,4 และ 6 หลุดออกมาเท่านั้นลูกบาศก์มีใบหน้าดังกล่าว: m = 3 ตอนนี้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่ต้องการของการตายได้: P = 3/6 = 1/2 = 0.5

ปัญหาที่ 2 ลูกเต๋าถูกโยนหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะดรอปอย่างน้อย 5 แต้มเป็นเท่าไหร่?

ปัญหานี้แก้ไขได้ด้วยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่ระบุข้างต้น เมื่อโยนลูกเต๋า จำนวนรวมของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันคือ: n = 6 และสภาพของปัญหา (อย่างน้อย 5 คะแนนหลุดออก นั่นคือ 5 หรือ 6 แต้มถูกทิ้ง) ผลลัพธ์เพียง 2 ผลลัพธ์ ซึ่งหมายถึง m = 2. ต่อไป เราพบความน่าจะเป็นที่ต้องการ: P = 2/6 = 1/3 = 0.333

ลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็น

ในการแก้ปัญหาการโยนลูกเต๋า 2 ลูก จะสะดวกมากที่จะใช้ตารางคะแนนพิเศษที่หลุดออกมา ในแนวนอนจำนวนคะแนนที่ลดลงในการดายแรกจะถูกฝากและในแนวตั้ง - จำนวนจุดที่ตกลงไปในการไดัครั้งที่สอง ชิ้นงานมีลักษณะดังนี้:

แต่คำถามก็เกิดขึ้น อะไรจะอยู่ในเซลล์ว่างของตาราง? ขึ้นอยู่กับปัญหาที่ต้องแก้ไข ถ้าภารกิจ มันมาเกี่ยวกับผลรวมของคะแนน ผลรวมจะถูกเขียนที่นั่น และถ้าเกี่ยวกับความแตกต่าง ความแตกต่างก็จะถูกเขียนเป็นต้น

ปัญหาที่ 3 โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้น้อยกว่า 5 คะแนนเป็นเท่าไหร่?

ขั้นแรก คุณต้องหาว่าผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบจะเป็นเท่าใด ทุกอย่างชัดเจนเมื่อโยนลูกเต๋า 6 ด้าน 6 อัน - 6 ผลลัพธ์ของการทดสอบ แต่เมื่อมีลูกเต๋าสองลูกอยู่แล้ว ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สามารถแสดงเป็นคู่ตัวเลขของแบบฟอร์ม (x, y) โดยที่ x แสดงจำนวนแต้มที่ตกบนลูกเต๋าแรก (จาก 1 ถึง 6) และ y - ลูกเต๋าที่สองตกกี่แต้ม (จาก 1 ถึง 6) ผลรวมของคู่ตัวเลขดังกล่าวจะเป็น: n = 6 * 6 = 36 (36 เซลล์ตรงกับเซลล์ในตารางผลลัพธ์)

ตอนนี้คุณสามารถกรอกข้อมูลลงในตารางสำหรับสิ่งนี้ จำนวนรวมของคะแนนที่ตกบนลูกเต๋าที่หนึ่งและที่สองจะถูกป้อนในแต่ละเซลล์ ตารางที่เสร็จสมบูรณ์มีลักษณะดังนี้:

ด้วยตารางนี้ เราจะกำหนดจำนวนผลลัพธ์ที่สนับสนุนกิจกรรม "จะมีคะแนนรวมน้อยกว่า 5 คะแนน" มานับจำนวนเซลล์กัน ค่าของผลรวมที่จะเป็น จำนวนน้อย 5 (เหล่านี้คือ 2, 3 และ 4) เพื่อความสะดวก ทาสีทับเซลล์ดังกล่าว จะมี m = 6:

จากข้อมูลในตาราง ความน่าจะเป็นตายเท่ากับ: P = 6/36 = 1/6

ปัญหาที่ 4. โยนลูกเต๋าสองลูก กำหนดความน่าจะเป็นที่ผลคูณของจำนวนคะแนนจะหารด้วย 3 ลงตัว

ในการแก้ปัญหา เรามาทำตารางผลคูณของแต้มที่ตกบนลูกเต๋าที่หนึ่งและสอง ในนั้นเราเลือกตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 3: ทันที

เราเขียนจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบ n = 36 (การให้เหตุผลเหมือนกับในปัญหาก่อนหน้า) และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (จำนวนเซลล์ที่เติมในตาราง) m = 20 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ: P = 20/36 = 5/9

ปัญหาที่ 5. ลูกเต๋าถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ความแตกต่างของจำนวนแต้มจะอยู่ระหว่าง 2 ถึง 5 ในลูกเต๋าที่หนึ่งและที่สองเป็นเท่าใด

เพื่อกำหนด ความน่าจะเป็นตายลองเขียนตารางความแตกต่างของคะแนนและเลือกเซลล์เหล่านั้นในนั้น ค่าของความแตกต่างที่จะอยู่ระหว่าง 2 ถึง 5:

จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (จำนวนเซลล์ที่เติมในตาราง) คือ m = 10 จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันคือ n = 36 กำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์: P = 10/36 = 5/18

ในกรณีของเหตุการณ์ธรรมดาและเมื่อโยนลูกเต๋า 2 ลูก คุณต้องสร้างตาราง จากนั้นเลือกเซลล์ที่จำเป็นในนั้นและหารจำนวนด้วย 36 ซึ่งจะถือว่าเป็นความน่าจะเป็น

อีกปัญหาหนึ่งที่เป็นที่นิยมในทฤษฎีความน่าจะเป็น (พร้อมกับปัญหาการโยนเหรียญ) คือ ปัญหาการทอยลูกเต๋า.

โดยปกติปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: ลูกเต๋าหนึ่งลูกขึ้นไปถูกโยน (โดยปกติคือ 2, น้อยกว่า 3) จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นที่จำนวนคะแนนเป็น 4 หรือผลรวมของคะแนนคือ 10 หรือผลคูณของจำนวนคะแนนหารด้วย 2 หรือจำนวนคะแนนต่างกัน 3 เป็นต้น

วิธีการหลักในการแก้ปัญหาดังกล่าวคือการใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในตัวอย่างด้านล่าง

หลังจากทำความคุ้นเคยกับวิธีการแก้ปัญหาแล้ว คุณสามารถดาวน์โหลดเกมที่มีประโยชน์มากสำหรับการโยนลูกเต๋า 2 ลูก (พร้อมตารางและตัวอย่าง)

หนึ่งลูกเต๋า

ด้วยความตายเพียงครั้งเดียวเรื่องก็ธรรมดาอย่างลามกอนาจาร ผมขอเตือนคุณว่าความน่าจะเป็นหาได้จากสูตร $ P = m / n $ โดยที่ $ n $ คือจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่าๆ กันของการทดสอบด้วยการโยนลูกเต๋าหรือลูกเต๋า และ $ m $ คือ จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์

ตัวอย่างที่ 1 ลูกเต๋าถูกทอยครั้งเดียว ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนเป็นจำนวนคู่เป็นเท่าใด

เนื่องจากลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์ (พวกเขายังพูดว่า ตายที่ถูกต้องกล่าวคือ ลูกบาศก์มีความสมดุลจึงตกลงบนทุกหน้าที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (โดยมีจำนวนคะแนนตั้งแต่ 1 ถึง 6 มักจะแสดงด้วยจุด) จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ปัญหาคือ $ n = 6 $ เหตุการณ์ได้รับการสนับสนุนโดยผลลัพธ์ดังกล่าวเท่านั้นเมื่อใบหน้าที่มีคะแนน 2, 4 หรือ 6 (คู่เท่านั้น) หลุดออกมา ใบหน้าดังกล่าวคือ $ m = 3 $ จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ $ P = 3/6 = 1/2 = 0.5 $

ตัวอย่างที่ 2 ลูกเต๋าถูกโยน หาความน่าจะเป็นที่จะออกอย่างน้อย 5 คะแนน

เราให้เหตุผลแบบเดียวกับในตัวอย่างที่แล้ว จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันเมื่อโยนลูกเต๋าคือ $ n = 6 $ และเงื่อนไข "อย่างน้อย 5 คะแนนหลุดออกมา" นั่นคือ "5 หรือ 6 แต้มหลุดออกมา" พอใจกับ 2 ผลลัพธ์ $ m = 2 เหรียญ ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $ P = 2/6 = 1/3 = $ 0.333

ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะยกตัวอย่างเพิ่มเติม มาต่อกันที่ลูกเต๋าสองลูก ที่ทุกอย่างน่าสนใจและซับซ้อนกว่า

สองลูกเต๋า

เมื่อมีปัญหากับการโยนลูกเต๋า 2 ลูก ใช้งานสะดวกมาก ตารางคะแนน... ในแนวนอน เราลดจำนวนแต้มที่ตกในการไดัครั้งแรก ในแนวตั้ง - จำนวนแต้มที่ตกบนไดย์ที่สอง เราจะมีช่องว่างดังกล่าว (โดยปกติฉันสร้างใน Excel คุณสามารถดาวน์โหลดไฟล์ได้):

แล้วเซลล์ของตารางล่ะคุณถาม? และขึ้นอยู่กับว่าเราจะแก้ปัญหาอะไร จะมีปัญหาเกี่ยวกับผลรวมของคะแนน - เราจะเขียนผลรวมที่นั่น เกี่ยวกับส่วนต่าง - เราจะเขียนส่วนต่างและอื่น ๆ เริ่มต้น?

ตัวอย่างที่ 3 โยนลูกเต๋า 2 ลูกพร้อมกัน หาความน่าจะเป็นที่ผลรวมจะน้อยกว่า 5 คะแนน

อันดับแรก มาดูจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดในการทดสอบกัน เมื่อเราโยนหนึ่งตาย ทุกอย่างก็ชัดเจน 6 ด้าน - 6 ผลลัพธ์ มีลูกเต๋าสองลูกอยู่แล้ว ดังนั้นผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นคู่ของตัวเลขเช่น $ (x, y) $ โดยที่ $ x $ คือจำนวนแต้มที่ตกจากลูกเต๋าแรก (จาก 1 ถึง 6) $ y $ คือ ลูกเต๋าที่สองตกกี่แต้ม (จาก 1 ถึง 6) เห็นได้ชัดว่าจำนวนคู่ของตัวเลขดังกล่าวจะเท่ากับ $ n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (และตรงกับ 36 เซลล์ในตารางผลลัพธ์)

ตอนนี้ได้เวลากรอกตารางแล้ว ในแต่ละช่อง เราใส่ผลรวมของจำนวนแต้มที่ทิ้งบนลูกเต๋าที่หนึ่งและที่สอง และเราจะได้ภาพต่อไปนี้:

ตอนนี้ ตารางนี้จะช่วยให้เราค้นหาจำนวนผลลัพธ์ที่เอื้ออำนวยต่อกิจกรรม "จะจับได้ทั้งหมดน้อยกว่า 5 คะแนน" ในการทำเช่นนี้ เรานับจำนวนเซลล์ที่ค่าของผลรวมจะน้อยกว่า 5 (นั่นคือ 2, 3 หรือ 4) เพื่อความชัดเจน เราจะกรอกข้อมูลในเซลล์เหล่านี้ ซึ่งจะเป็น $ m = 6 $:

จากนั้นความน่าจะเป็นคือ: $ P = 6/36 = 1/6 $

ตัวอย่างที่ 4 ลูกเต๋าสองลูกถูกโยน หาความน่าจะเป็นที่ผลคูณของจำนวนคะแนนหารด้วย 3 ลงตัว

เราทำตารางผลคูณของคะแนนที่ลดลงในลูกเต๋าที่หนึ่งและที่สอง เราเลือกตัวเลขเหล่านั้นที่เป็นทวีคูณของ 3: ทันที

เหลือเพียงสังเกตว่าจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ $ n = 36 $ (ดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ การให้เหตุผลเหมือนกัน) และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (จำนวนเซลล์ที่เติมในตารางด้านบน) คือ $ m = 20 ดอลลาร์ จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ $ P = 20/36 = 5/9 $

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาประเภทนี้สามารถแก้ไขได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายด้วยการเตรียมการที่เหมาะสม (วิเคราะห์ปัญหาอีกสองสามข้อ) มาทำการเปลี่ยนแปลงกับตารางอื่นกัน (สามารถดาวน์โหลดตารางทั้งหมดได้ที่ด้านล่างของหน้า)

ตัวอย่างที่ 5 ลูกเต๋าถูกทอยสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ผลต่างของจำนวนแต้มในลูกเต๋าที่หนึ่งและที่สองจะอยู่ระหว่าง 2 ถึง 5

มาเขียนตารางคะแนนความแตกต่างกัน เลือกเซลล์ในนั้น ซึ่งค่าความแตกต่างจะอยู่ระหว่าง 2 ถึง 5:

ดังนั้น จำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้เท่ากันคือ $ n = 36 $ และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (จำนวนเซลล์ที่เติมในตารางด้านบน) คือ $ m = 10 $ จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับ $ P = 10/36 = 5/18 $

ดังนั้น ในกรณีของการโยนลูกเต๋า 2 ลูกและเหตุการณ์ง่ายๆ คุณต้องสร้างตาราง เลือกเซลล์ที่จำเป็นในนั้น และหารจำนวนด้วย 36 นี่จะเป็นความน่าจะเป็น นอกจากปัญหาสำหรับผลรวม ผลคูณ และส่วนต่างของจำนวนคะแนน แล้ว ยังมีปัญหาสำหรับโมดูลัสของส่วนต่าง จำนวนจุดที่ออกน้อยที่สุดและมากที่สุด (คุณสามารถค้นหาตารางที่เหมาะสมได้ใน)

ปัญหาอื่นๆ เกี่ยวกับลูกเต๋าและลูกบาศก์

แน่นอนว่าปัญหาการโยนลูกเต๋าสองประเภทข้างต้นไม่ได้จำกัดอยู่แค่เพียงเท่านั้น (ปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในหนังสือและคู่มือปัญหา) ยังมีอีกหลายอย่าง สำหรับการเปลี่ยนแปลงและความเข้าใจในการแก้ปัญหาโดยประมาณ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติมอีกสามรายการ ตัวอย่างทั่วไป: สำหรับการโยนลูกเต๋า 3 ลูก สำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและสำหรับสูตรของเบอร์นูลลี

ตัวอย่างที่ 6 โยนลูกเต๋า 3 ลูก หาความน่าจะเป็นที่รวมเป็น 15 คะแนน

ในกรณีของลูกเต๋า 3 ลูก ตารางจะถูกสร้างขึ้นไม่บ่อยนัก เนื่องจากพวกมันต้องการมากถึง 6 ชิ้น (และไม่ใช่หนึ่งชิ้นดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) พวกเขาได้โดยการแจงนับอย่างง่ายของชุดค่าผสมที่จำเป็น

มาหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบกัน ผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นเลขสามตัวเรียงตามลำดับเช่น $ (x, y, z) $ โดยที่ $ x $ คือจำนวนคะแนนที่ตกลงในการตายครั้งแรก (จาก 1 ถึง 6) $ y $ คือจำนวนคะแนนที่ตกลงบน ดายที่สอง (จาก 1 ถึง 6) $ z $ - กี่แต้มที่ตกลงไปจากการตายครั้งที่สาม (จาก 1 ถึง 6) เห็นได้ชัดว่าผลรวมของเลขสามตัวดังกล่าวจะเท่ากับ $ n = 6 \ cdot 6 \ cdot 6 = 216 $

ตอนนี้เรามาเลือกผลลัพธ์ที่รวมกันได้มากถึง 15 คะแนน

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

เราได้ $ m = 3 + 6 + 1 = $ 10 ผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $ P = 10/216 = 0.046 $

ตัวอย่างที่ 7 โยนลูกเต๋า 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกแรกมีแต้มไม่เกิน 4 แต้ม โดยที่ผลรวมของแต้มจะเป็นคู่

วิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหานี้คือการใช้ตารางอีกครั้ง (ทุกอย่างจะชัดเจน) เช่นเคย เราเขียนตารางผลรวมของคะแนนและเลือกเฉพาะเซลล์ที่มีค่าเท่ากัน:

เราได้รับตามเงื่อนไขของการทดลอง ไม่มี 36 ผลลัพธ์ แต่มี $ n = 18 $ ผลลัพธ์ทั้งหมด (เมื่อผลรวมของคะแนนเท่ากัน)

ตอนนี้ ของเซลล์เหล่านี้เลือกเฉพาะผู้ที่ตรงกับเหตุการณ์ "ไม่เกิน 4 คะแนนในการตายครั้งแรก" - นั่นคือเซลล์ใน 4 แถวแรกของตาราง (เน้นด้วยสีส้ม) จะมี $ m = 12 $.

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $ P = 12/18 = 2/3 $

งานเดียวกันสามารถ ตัดสินใจต่างกันโดยใช้สูตรความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข มาแนะนำกิจกรรม:
A = ผลรวมของจำนวนแต้มเป็นคู่
B = ดายแรกมีสูงสุด 4 คะแนน
AB = ผลรวมของจำนวนแต้มเป็นเลขคู่และลูกเต๋าแรกมีแต้มไม่เกิน 4 แต้ม
จากนั้นสูตรของความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ: $$ P (B | A) = \ frac (P (AB)) (P (A)) $$ จงหาความน่าจะเป็น จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ $ n = 36 $ สำหรับเหตุการณ์ A จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ (ดูตารางด้านบน) $ m (A) = 18 $ และสำหรับเหตุการณ์ AB - $ m (AB) = 12 $ เราได้รับ: $$ P (A) = \ frac (m (A)) (n) = \ frac (18) (36) = \ frac (1) (2); \ quad P (AB) = \ frac (m (AB)) (n) = \ frac (12) (36) = \ frac (1) (3); \\ P (B | A) = \ frac (P (AB)) (P (A)) = \ frac (1/3) (1/2) = \ frac (2) (3) $$ คำตอบตรงกัน

ตัวอย่างที่ 8 ลูกเต๋าถูกทอย 4 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มเป็นจำนวนคู่ 3 ครั้งพอดี

ในกรณีที่ลูกเต๋า เร่งหลายครั้งแต่การกล่าวสุนทรพจน์ในงานไม่เกี่ยวกับปริมาณ สินค้า ฯลฯ ลักษณะสำคัญ แต่เกี่ยวกับ .เท่านั้น จำนวนหยด บางชนิด, เราใช้คำนวณความน่าจะเป็นได้

ย้อนกลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้นและอาจไม่ได้แสดงถึงตัวเลือกการนำเสนอทั้งหมด หากคุณสนใจ งานนี้โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เทคโนโลยีการสอน: เทคโนโลยีการสอนที่มีภาพประกอบอธิบาย เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ แนวทางการเรียนรู้ที่เน้นนักเรียนเป็นศูนย์กลาง เทคโนโลยีการรักษาสุขภาพ

ประเภทบทเรียน : บทเรียนในการหาความรู้ใหม่

ระยะเวลา: 1 บทเรียน.

ชั้นเรียน: เกรด 8

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ทำซ้ำทักษะการใช้สูตรเพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และสอนวิธีใช้ลูกเต๋าในปัญหา
• ดำเนินการให้เหตุผลตามหลักฐานในการแก้ปัญหา ประเมินความถูกต้องเชิงตรรกะของการให้เหตุผล รับรู้การใช้เหตุผลที่ไม่ถูกต้องตามหลักเหตุผล

กำลังพัฒนา:

• พัฒนาทักษะในการค้นหา ประมวลผล และนำเสนอข้อมูล
• พัฒนาความสามารถในการเปรียบเทียบ วิเคราะห์ หาข้อสรุป
• พัฒนาการสังเกตตลอดจนทักษะการสื่อสาร

เกี่ยวกับการศึกษา:

• ปลูกฝังความเอาใจใส่ความเพียร
• เพื่อสร้างความเข้าใจในความสำคัญของคณิตศาสตร์เพื่อเป็นแนวทางในการรู้จักโลกรอบตัว

อุปกรณ์บทเรียน: คอมพิวเตอร์, มัลติมีเดีย, มาร์กเกอร์, เครื่องถ่ายเอกสาร mimio (หรือกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ), ซองจดหมาย (ประกอบด้วยการมอบหมายงานภาคปฏิบัติ, การบ้าน, ไพ่สามใบ: สีเหลือง, สีเขียว, สีแดง), โมเดลลูกเต๋า

แผนการเรียน

เวลาจัด.

ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ทำความคุ้นเคยกับสูตรความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก

ความน่าจะเป็น P ของการเกิดเหตุการณ์สุ่ม A คืออัตราส่วนของ m ต่อ n โดยที่ n คือจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ และ m คือจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจทั้งหมด.

สูตรนี้เรียกว่านิยามคลาสสิกของความน่าจะเป็นลาปลาซ ซึ่งมาจากโดเมน การพนันโดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อกำหนดแนวโน้มที่จะชนะ สูตรนี้ใช้สำหรับการทดลองที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันในจำนวนจำกัด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ = จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ / จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันทั้งหมด

ดังนั้นความน่าจะเป็นจึงเป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1

ความน่าจะเป็นเป็น 0 ถ้าเหตุการณ์นั้นเป็นไปไม่ได้

ความน่าจะเป็นคือ 1 ถ้าเหตุการณ์นั้นเชื่อถือได้

มาแก้ปัญหาด้วยวาจา: บนชั้นวางหนังสือมีหนังสือ 20 เล่ม โดย 3 เล่มเป็นหนังสืออ้างอิง โอกาสที่หนังสือที่นำออกจากชั้นวางจะไม่กลายเป็นหนังสืออ้างอิงคืออะไร?

สารละลาย:

จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากัน - 20

จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 20 - 3 = 17

คำตอบ: 0.85

2. ได้ความรู้ใหม่

และตอนนี้กลับไปที่หัวข้อของบทเรียนของเรา: "ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์" เราจะลงนามในสมุดบันทึกของเรา

จุดประสงค์ของบทเรียน: เพื่อเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาการหาความน่าจะเป็นเมื่อโยนลูกเต๋าหรือลูกเต๋า 2 ลูก

หัวข้อของเราในวันนี้เกี่ยวข้องกับลูกเต๋าหรือเรียกอีกอย่างว่าลูกเต๋า ลูกเต๋าเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณ เกมลูกเต๋าเป็นหนึ่งในเกมที่เก่าแก่ที่สุด ต้นแบบแรกของลูกเต๋าถูกพบในอียิปต์ และมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 20 ก่อนคริสตกาล NS. มีหลายแบบตั้งแต่แบบธรรมดา (ตัวที่โยนทิ้ง ปริมาณมากคะแนน) ไปสู่ความซับซ้อนซึ่งคุณสามารถใช้กลยุทธ์ต่าง ๆ ของเกม

กระดูกที่เก่าแก่ที่สุดมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 20 ก่อนคริสตกาล e. พบในธีบส์ ในขั้นต้น กระดูกทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการทำนายดวงชะตา จากการขุดค้นทางโบราณคดีพบว่ามีการเล่นลูกเต๋าในทุกมุมโลก ชื่อมาจากวัสดุดั้งเดิม - กระดูกสัตว์

ชาวกรีกโบราณเชื่อว่าชาว Lydians ได้ประดิษฐ์กระดูกเพื่อหนีความหิว อย่างน้อยก็เพื่อครอบครองจิตใจของพวกเขา

เกมลูกเต๋าสะท้อนให้เห็นในตำนานอียิปต์โบราณกรีกโรมันเวท กล่าวถึงในพระคัมภีร์, อีเลียด, โอดิสซี, มหาภารตะ, คอลเลกชันของเพลงสวดเวท "Rigveda" ในวิหารของเทพเจ้า อย่างน้อยก็มีเทพเจ้าหนึ่งองค์เป็นเจ้าของลูกเต๋าเป็นองค์ประกอบสำคัญ http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

หลังจากการล่มสลายของจักรวรรดิโรมัน เกมดังกล่าวได้แพร่กระจายไปทั่วยุโรป โดยเฉพาะในช่วงยุคกลาง เนื่องจากลูกเต๋าถูกนำมาใช้ไม่เพียงแต่สำหรับการเล่น แต่ยังสำหรับการทำนายดวงชะตาด้วย คริสตจักรจึงพยายามแบนเกมซ้ำแล้วซ้ำเล่า ด้วยเหตุนี้ การลงโทษที่ซับซ้อนที่สุดจึงถูกคิดค้นขึ้น แต่ความพยายามทั้งหมดก็จบลงด้วยความล้มเหลว

จากข้อมูลทางโบราณคดีพบว่ามีการเล่นลูกเต๋าในรัสเซียนอกรีต หลังจากการบัพติศมา คริสตจักรออร์โธดอกซ์พยายามที่จะขจัดเกมออกไป แต่ในหมู่คนทั่วไป เกมนี้ยังคงได้รับความนิยม ตรงกันข้ามกับยุโรป ที่ซึ่งขุนนางสูงสุดและแม้แต่พระสงฆ์ทำบาปด้วยการเล่นลูกเต๋า

สงครามประกาศโดยทางการ ประเทศต่างๆเกมลูกเต๋าได้ก่อให้เกิดเทคนิคการโกงที่แตกต่างกันมากมาย

ในยุคแห่งการตรัสรู้ งานอดิเรกสำหรับเกมลูกเต๋าค่อยๆ ลดลง ผู้คนพัฒนางานอดิเรกใหม่ๆ พวกเขาเริ่มสนใจวรรณกรรม ดนตรี และการวาดภาพมากขึ้น ปัจจุบันลูกเต๋ายังไม่แพร่หลายมากนัก

กระดูกที่ถูกต้องมีโอกาสที่ขอบจะหลุดออกมาเช่นเดียวกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใบหน้าทั้งหมดจะต้องเหมือนกัน: เรียบ แบน มีพื้นที่เดียวกัน เนื้อ (ถ้ามี) ต้องเจาะรูที่ความลึกเท่ากัน ผลรวมของจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามคือ 7

แม่พิมพ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือภาพทางคณิตศาสตร์ของแม่พิมพ์ปกติ คณิตศาสตร์กระดูกไม่มีขนาด สี น้ำหนัก ฯลฯ

เมื่อขว้าง กำลังเล่น กระดูก(ลูกบาศก์) ใบหน้าทั้งหกของมันสามารถหลุดออกมาได้ เช่น เกิดขึ้นใด ๆ ของ เหตุการณ์- หลุดออกจาก 1 ถึง 6 คะแนน (คะแนน) แต่ไม่มี สองและไม่สามารถปรากฏใบหน้าจำนวนมากขึ้นพร้อมกันได้ เช่น พัฒนาการเรียกว่าไม่สอดคล้องกัน

พิจารณากรณีที่ทอยลูกเต๋า 1 อัน มาดำเนินการครั้งที่ 2 ในรูปแบบของตาราง

พิจารณากรณีที่ทอยลูกเต๋า 2 ลูก

หากลูกแรกมีหนึ่งแต้ม ลูกที่สองสามารถดรอปได้ 1, 2, 3, 4, 5, 6 เราจะได้คู่ (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4 ), (1; 5), (1; 6) เป็นต้น กับแต่ละใบหน้า ทุกกรณีสามารถแสดงเป็นตาราง 6 แถวและ 6 คอลัมน์:

ตารางกิจกรรมระดับประถมศึกษา

คุณมีซองจดหมายอยู่บนโต๊ะทำงานของคุณ

นำใบมอบหมายงานจากซองจดหมาย

ตอนนี้ คุณจะเสร็จสิ้นการฝึกปฏิบัติโดยใช้ตารางกิจกรรมเบื้องต้น

แสดงโดยแรเงาเหตุการณ์ที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์:

ภารกิจที่ 1 “ คะแนนเท่ากันหลุดออกมา”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

ภารกิจที่ 2 “ ผลรวมของคะแนนคือ 7”;

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

ภารกิจที่ 3 “ คะแนนรวมไม่น้อยกว่า 7”

“ไม่น้อย” หมายถึงอะไร? (คำตอบคือ "มากกว่าหรือเท่ากับ")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

และตอนนี้เราจะพบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ซึ่งใน ฝึกงานแรเงาเหตุการณ์ที่ดี

เราจะเขียนในสมุดบันทึกฉบับที่ 3

แบบฝึกหัดที่ 1

จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด - 36

คำตอบ: 1/6.

ภารกิจที่ 2

จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด - 36

ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 6

คำตอบ: 1/6.

ภารกิจที่ 3

จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ36

ผลลัพธ์ที่น่าพอใจ - 21

พี = 21/36 = 7/12

คำตอบ: 7/12.

№4. Sasha และ Vlad กำลังเล่นลูกเต๋า แต่ละคนหมุนลูกเต๋าสองครั้ง ผู้ชนะคือผู้ที่มีคะแนนรวมสูงสุด หากคะแนนเท่ากัน เกมจะจบลงด้วยการเสมอกัน Sasha เป็นคนแรกที่โยนลูกเต๋าและเขาได้ 5 แต้ม 3 แต้ม ตอนนี้วลาดกำลังขว้างลูกเต๋า

ก) ในตารางกิจกรรมระดับประถมศึกษา ให้ระบุ (โดยการแรเงา) เหตุการณ์เบื้องต้นที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ "วลาดชนะ"

b) ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "วลาดชนะ"

3. พลศึกษา.

ถ้าเหตุการณ์เชื่อถือได้ พวกเราปรบมือ

ถ้าเหตุการณ์นั้นเป็นไปไม่ได้ พวกเราก็กระทืบเท้าไปด้วยกัน

ถ้าเหตุการณ์สุ่มสั่นหัวเรา / ซ้าย-ขวา

“มีแอปเปิ้ล 3 ลูกในตะกร้า (สีแดง 2 ลูก สีเขียว 1 ลูก)

ดึงสีแดง 3 อันออกจากตะกร้า - (เป็นไปไม่ได้)

แอปเปิ้ลแดงถูกดึงออกจากตะกร้า - (สุ่ม)

แอปเปิ้ลเขียวถูกดึงออกจากตะกร้า - (สุ่ม)

พวกเขาดึง 2 สีแดงและ 1 สีเขียวออกจากตะกร้า - (เชื่อถือได้)

มาแก้เลขถัดไปกัน

ดายที่ถูกต้องถูกรีดสองครั้ง เหตุการณ์ใดมีแนวโน้มมากกว่า:

A: “ทั้งสองครั้งมี 5 คะแนน”;

ถาม:“ ครั้งแรกที่ฉันได้ 2 คะแนน ครั้งที่สอง 5 คะแนน”;

S: “ครั้งหนึ่งลดลง 2 แต้ม อีกครั้ง 5 แต้ม”?

มาวิเคราะห์เหตุการณ์ A: จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือ 1 (5; 5)

มาวิเคราะห์เหตุการณ์ B: จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือ 1 (2; 5)

มาวิเคราะห์เหตุการณ์ C: จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดคือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือ 2 (2; 5 และ 5; 2)

คำตอบ: เหตุการณ์ C.

4. คำชี้แจงการบ้าน

1. ตัดรีมเมอร์ออกแล้วทากาวลูกบาศก์ นำมาสู่บทเรียนต่อไป

2. ทำการขว้าง 25 ครั้ง บันทึกผลลัพธ์ลงในตาราง: (ในบทเรียนถัดไป คุณสามารถป้อนแนวคิดของความถี่ได้)

3. แก้ปัญหา: โยนลูกเต๋าสองลูก คำนวณความน่าจะเป็น:

ก) “ผลรวมของคะแนนเท่ากับ 6”;

b) “คะแนนรวมไม่น้อยกว่า 5”;

c) "มีคะแนนในการตายครั้งแรกมากกว่าครั้งที่สอง"

ความน่าจะเป็นที่แต้มคู่จะตกในการทอยครั้งเดียวเป็นเท่าไหร่?

54. Katya และ Anya กำลังเขียนคำสั่ง ความน่าจะเป็นที่คัทย่าจะทำผิดพลาดคือ 60% และความน่าจะเป็นของอัญญาคือ 40% ค้นหาความน่าจะเป็นที่เด็กหญิงทั้งสองจะเขียนตามคำบอกโดยไม่มีข้อผิดพลาด

55. โรงงานผลิตสินค้าพรีเมี่ยม 15%, 25% - ชั้นหนึ่ง, 40% - ชั้นสองและส่วนที่เหลือมีข้อบกพร่อง หาความน่าจะเป็นที่สินค้าที่เลือกจะไม่มีข้อบกพร่อง

ความน่าจะเป็นที่ทารกจะเกิดในวันที่ 7 คืออะไร?

57. นักแม่นปืนสามคนแต่ละคนยิงไปที่เป้าหมายหนึ่งครั้งและการยิงของมือปืนคนแรกคือ 90% คนที่สอง - 80% คนที่สาม - 70% หาความน่าจะเป็นที่ลูกศรทั้งสามจะพุ่งเข้าเป้า?

ในกล่องมีลูกบอลสีขาว 7 ลูกและสีดำ 9 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลออกมาแล้วส่งคืน แล้วเอาลูกบอลออกอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งสองเป็นสีขาว

โอกาสที่เสื้อแขนอย่างน้อยหนึ่งอันจะปรากฏขึ้นเมื่อพลิกเหรียญสองเหรียญ?

วี กล่องเครื่องมือมีชิ้นส่วนมาตรฐาน 15 ชิ้นและชิ้นส่วนชำรุด 5 ชิ้น หนึ่งชิ้นถูกนำออกจากกล่องโดยสุ่ม หาความน่าจะเป็นที่ส่วนนี้เป็นมาตรฐาน

แผงควบคุมมีอุปกรณ์เตือนภัยที่ติดตั้งแยกกันสามเครื่อง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์แรกเกิดขึ้นคือ 0.9 ครั้งที่สองคือ 0.7 และครั้งที่สามคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะไม่มีการเตือนในกรณีที่เกิดอุบัติเหตุ

62. นิโคเลย์และลีโอนิดแสดง ทดสอบ... ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการคำนวณสำหรับ Nikolai คือ 70% และสำหรับ Leonid - 30% ค้นหาความน่าจะเป็นที่ Leonidas จะทำผิดพลาดและ Nikolai จะไม่ทำ

63. คณะดุริยางค์กำลังรับสมัครนักเรียน โอกาสที่จะไม่ได้รับเครดิตในการทดสอบหูดนตรีคือ 40% และความรู้สึกของจังหวะคือ 10% ความน่าจะเป็นของการทดสอบในเชิงบวกคืออะไร?

64. นักยิงสามคนแต่ละคนยิงไปที่เป้าหมายหนึ่งครั้ง และความน่าจะเป็นที่จะโดนผู้ยิง 1 คนคือ 80% คนที่สอง - 70% คนที่สาม - 60% หาความน่าจะเป็นที่คนยิงคนที่สองเท่านั้นที่จะโดนเป้าหมาย

65. ตะกร้าประกอบด้วยผลไม้ ได้แก่ กล้วย 30% และแอปเปิ้ล 60% โอกาสที่ผลไม้ที่ถูกสุ่มเลือกจะเป็นกล้วยหรือแอปเปิ้ลเป็นอย่างไร?

กล่องประกอบด้วย 4 สีฟ้า, 3 สีแดง, 9 สีเขียว, 6 ลูกสีเหลือง. ความน่าจะเป็นที่ลูกที่เลือกจะไม่เป็นสีเขียวเป็นเท่าไหร่?

ลอตเตอรีมีตั๋ว 1,000 ใบ โดยในจำนวนนี้ถูกรางวัล 20 ใบ ซื้อตั๋วหนึ่งใบ ความน่าจะเป็นที่ตั๋วนี้ไม่ใช่ตั๋วที่ชนะคืออะไร?

68. มีหนังสือเรียน 6 เล่ม โดย 3 เล่มถูกผูกไว้ สุ่มหยิบหนังสือเรียน 2 เล่ม โอกาสที่หนังสือเรียนทั้งสองเล่มจะจบลงด้วยการผูกมัดคือ….

69. การประชุมเชิงปฏิบัติการมีพนักงานชาย 7 คน และผู้หญิง 3 คน 3 คนจะถูกสุ่มเลือกจากหมายเลขบุคลากร ความน่าจะเป็นที่ผู้ถูกเลือกทั้งหมดจะเป็นผู้ชายคือ….

70. ในกล่องมี 10 ลูก โดย 6 ลูกเป็นสี สุ่มเอา 4 ลูกออกโดยไม่ส่งคืน ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้งหมดที่ถูกนำออกมาจะเป็นสีคือ….

71. ในกล่องมีลูกบอลสีแดง 4 ลูกและสีน้ำเงิน 2 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลสามลูกออกมา ความน่าจะเป็นที่ทั้งสามลูกนี้เป็นสีแดงคือ….

72. นักเรียนรู้ 20 คำถามจาก 25 คำถามเกี่ยวกับวินัย เขาเสนอ 3 คำถาม ความน่าจะเป็นที่นักเรียนรู้จักคือ….

73. มีลูกบอลสีขาว 4 ลูกและสีดำ 3 ลูกในโกศ นำออกสองลูกในเวลาเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองลูกเป็นสีขาวคือ….

74. โยนลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นที่จะดร็อป 3 แต้มคือ….

แพทย์ในพื้นที่รับผู้ป่วย 35 รายภายในหนึ่งสัปดาห์ โดยผู้ป่วย 5 รายได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นแผลในกระเพาะอาหาร กำหนดความถี่สัมพัทธ์ของการนัดหมายกับผู้ป่วยโรคกระเพาะ