Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dajte orientačné príklady riešenia.
Sami o sebe znamenajú šablóny rozhodnutí podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím vzorcov logaritmov na riešenie vám najskôr pripomenieme všetky vlastnosti:
Teraz na základe týchto vzorcov (vlastností) ukážeme príklady riešenia logaritmov.
Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.
Logaritmus kladné číslo b v základe a (označené log a b) je exponent, na ktorý musí byť vznesené a, aby bolo b, pričom b> 0, a> 0 a 1.
Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalentné a x = b, preto log a a x = x.
Logaritmy, príklady:
log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8
log 7 49 = 2, pretože 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, pretože 5 -1 = 1/5
Desatinný logaritmus je obvyklý logaritmus, na ktorého základe je 10. Je označený ako lg.
log 10 100 = 2, pretože 10 2 = 100
Prirodzený logaritmus- tiež obvyklý logaritmus je logaritmus, ale už so základom e (e = 2,71828 ... je iracionálne číslo). Je označený ako ln.
Je vhodné pamätať si na vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože tie budeme v budúcnosti potrebovať pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovností. Skúsme každý vzorec ešte raz s príkladmi.
- Základná logaritmická identita
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4
- Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
log a (b / c) = log a b - log a c9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50-log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Vlastnosti sily logaritmu a základu logaritmu
Exponent logaritmu čísla log a b m = mlog a b
Exponent základne logaritmu log a n b = 1 / n * log a b
log a n b m = m / n * log a b,
ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prechod na nový základ
log a b = log c b / log c a,ak c = b, dostaneme log b b = 1
potom log a b = 1 / log b a
log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Ako vidíte, vzorce pre logaritmy nie sú také zložité, ako sa zdá. Po zvážení príkladov riešenia logaritmov sa môžeme presunúť k logaritmickým rovniciam. Príklady riešenia logaritmických rovníc zvážime podrobnejšie v článku: "". Nenechajte si ujsť!
Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.
Poznámka: rozhodli sme sa získať vzdelanie v inej triede, štúdium v zahraničí ako možnosť rozvoja udalostí.
\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)
Vysvetlíme to jednoduchším spôsobom. Napríklad \ (\ log_ (2) (8) \) sa rovná výkonu, na ktorý je potrebné zdvihnúť \ (2 \), aby ste získali \ (8 \). Preto je zrejmé, že \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).
|
Príklady: |
\ (\ log_ (5) (25) = 2 \) |
od \ (5 ^ (2) = 25 \) |
||
|
\ (\ log_ (3) (81) = 4 \) |
od \ (3 ^ (4) = 81 \) |
|||
|
\ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (32) \) \ (= - 5 \) |
od \ (2 ^ (- 5) = \) \ (\ frac (1) (32) \) |
Logaritmický argument a základ
Akýkoľvek logaritmus má nasledujúcu „anatómiu“:
Argument logaritmu je zvyčajne napísaný na jeho úrovni, pričom základ v dolnom indexe je bližšie k znaku logaritmu. A tento záznam znie takto: „logaritmus dvadsaťpäť k základni päť“.
Ako vypočítam logaritmus?
Na výpočet logaritmu musíte odpovedať na otázku: do akej miery by sa mala zvýšiť základňa, aby ste dostali argument?
Napríklad, vypočítajte logaritmus: a) \ (\ log_ (4) (16) \) b) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ ( \ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) d) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)
a) Do akej miery treba zvýšiť \ (4 \), aby ste získali \ (16 \)? Očividne v druhom. Preto:
\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)
\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)
c) Do akej miery treba zvýšiť \ (\ sqrt (5) \), aby ste získali \ (1 \)? A aký stupeň robí z akejkoľvek jedničky? Nula, samozrejme!
\ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) = 0 \)
d) Do akej miery treba zvýšiť \ (\ sqrt (7) \), aby ste získali \ (\ sqrt (7) \)? V prvom - akékoľvek číslo v prvom stupni sa rovná sebe.
\ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) = 1 \)
e) Do akej miery treba zvýšiť \ (3 \), aby ste získali \ (\ sqrt (3) \)? Z vieme, že ide o zlomkový stupeň, a preto druhá odmocnina je stupeň \ (\ frac (1) (2) \).
\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)
Príklad : Vypočítajte logaritmus \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)
Riešenie :
|
\ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = x \) |
Musíme nájsť hodnotu logaritmu a označiť ho x. Teraz použijeme definíciu logaritmu: |
|
|
\ ((4 \ sqrt (2)) ^ (x) = 8 \) |
Aké je prepojenie medzi \ (4 \ sqrt (2) \) a \ (8 \)? Dve, pretože obe čísla môžu byť reprezentované dvoma: |
|
|
\ (((2 ^ (2) \ cdot2 ^ (\ frac (1) (2)))) ^ (x) = 2 ^ (3) \) |
Vľavo používame vlastnosti stupňa: \ (a ^ (m) \ cdot a ^ (n) = a ^ (m + n) \) a \ ((a ^ (m)) ^ (n) = a ^ (m \ cdot n) \) |
|
|
\ (2 ^ (\ frac (5) (2) x) = 2 ^ (3) \) |
Dôvody sú rovnaké, prechádzame k rovnosti ukazovateľov |
|
|
\ (\ frac (5x) (2) \) \ (= 3 \) |
|
Vynásobte obe strany rovnice \ (\ frac (2) (5) \) |
|
|
Výsledný koreň je hodnota logaritmu |
Odpoveď : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1,2 \)
Prečo ste prišli s logaritmom?
Aby sme to pochopili, vyriešme rovnicu: \ (3 ^ (x) = 9 \). Stačí porovnať \ (x \), aby rovnosť fungovala. Samozrejme, \ (x = 2 \).
Teraz vyriešte rovnicu: \ (3 ^ (x) = 8 \). Čo je x? O to práve ide.
Najbystrejší povie: „X je o niečo menej ako dvaja.“ Ako presne napíšete toto číslo? Na zodpovedanie tejto otázky prišli s logaritmom. Vďaka nemu tu môže byť odpoveď zapísaná ako \ (x = \ log_ (3) (8) \).
Chcem zdôrazniť, že \ (\ log_ (3) (8) \), ako akýkoľvek logaritmus je len číslo... Áno, vyzerá to nezvyčajne, ale krátko. Pretože keby sme to chceli napísať ako desatinný zlomok, potom by to vyzeralo takto: \ (1,892789260714 ..... \)
Príklad : Vyriešte rovnicu \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)
Riešenie :
|
\ (4 ^ (5x-4) = 10 \) |
\ (4 ^ (5x-4) \) a \ (10 \) nemožno redukovať z rovnakého dôvodu. To znamená, že sa nemôžeme zaobísť bez logaritmu. Použime definíciu logaritmu: |
|
|
\ (\ log_ (4) (10) = 5x-4 \) |
Zrkadlite rovnicu tak, aby x bolo naľavo |
|
|
\ (5x-4 = \ log_ (4) (10) \) |
Pred nami. Presuňte \ (4 \) doprava. A nenechajte sa zastrašiť logaritmom, pristupujte k nemu ako k obyčajnému číslu. |
|
|
\ (5x = \ log_ (4) (10) +4 \) |
Rovnicu delíme 5 |
|
|
\ (x = \) \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \) |
|
Toto je náš koreň. Áno, vyzerá to zvláštne, ale oni si nevyberú odpoveď. |
Odpoveď : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)
Desatinné a prirodzené logaritmy
Ako je uvedené v definícii logaritmu, jeho základom môže byť akékoľvek kladné číslo iné ako jedno \ ((a> 0, a \ neq1) \). A zo všetkých možných dôvodov existujú dva, ktoré sa vyskytujú tak často, že bol pre ne vytvorený špeciálny krátky zápis pre logaritmy:
Prirodzený logaritmus: logaritmus, ktorého základom je Eulerovo číslo \ (e \) (rovná sa približne \ (2,7182818 ... \)), a napíše sa taký logaritmus ako \ (\ ln (a) \).
Tj. \ (\ ln (a) \) je to isté ako \ (\ log_ (e) (a) \)
Desatinný logaritmus: Logaritmus so základňou 10 sa napíše \ (\ lg (a) \).
Tj. \ (\ lg (a) \) je to isté ako \ (\ log_ (10) (a) \), kde \ (a \) je nejaké číslo.
Základná logaritmická identita
Logaritmy majú mnoho vlastností. Jeden z nich sa nazýva „Základná logaritmická identita“ a vyzerá takto:
| \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) |
Táto vlastnosť vyplýva priamo z definície. Pozrime sa, ako presne tento vzorec vznikol.
Pripomeňme si krátky zápis definície logaritmu:
ak \ (a ^ (b) = c \) potom \ (\ log_ (a) (c) = b \)
To znamená, že \ (b \) je to isté ako \ (\ log_ (a) (c) \). Potom môžeme do vzorca \ (a ^ (b) = c \) namiesto \ (b \) napísať \ (\ log_ (a) (c) \). Ukázalo sa, že \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - hlavná logaritmická identita.
Môžete nájsť ostatné vlastnosti logaritmov. S ich pomocou môžete zjednodušiť a vypočítať hodnoty výrazov pomocou logaritmov, ktoré je ťažké vypočítať „hlava-nehlava“.
Príklad : Nájdite hodnotu výrazu \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)
Riešenie :
Odpoveď : \(25\)
Ako je možné číslo zapísať ako logaritmus?
Ako bolo uvedené vyššie, akýkoľvek logaritmus je iba číslo. Platí to aj naopak: ľubovoľné číslo je možné zapísať ako logaritmus. Napríklad vieme, že \ (\ log_ (2) (4) \) sa rovná dvom. Potom môžete napísať \ (\ log_ (2) (4) \) namiesto dvoch.
Ale \ (\ log_ (3) (9) \) je tiež \ (2 \), takže môžete tiež písať \ (2 = \ log_ (3) (9) \). Podobne je to s \ (\ log_ (5) (25) \), \ (\ log_ (9) (81) \) atď. To znamená, že sa ukazuje
\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ log_ (7) (49) ... \)
Ak teda potrebujeme, môžeme napísať dva ako logaritmy s akoukoľvek bázou kdekoľvek (dokonca aj v rovnici, vo výraze, dokonca v nerovnici) - jednoducho napíšeme bázu ako argument ako druhú.
Rovnako tak s trojkou - môže byť zapísané ako \ (\ log_ (2) (8) \), alebo ako \ (\ log_ (3) (27) \), alebo ako \ (\ log_ (4) (64) \) ... Tu ako argument napíšeme základňu v kocke:
\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)
A so štvorkou:
\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)
A s mínusom jeden:
\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1 ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)
A s jednou tretinou:
\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)
Akékoľvek číslo \ (a \) môže byť reprezentované ako logaritmus so základňou \ (b \): \ (a = \ log_ (b) (b ^ (a)) \)
Príklad : Nájdite význam výrazu \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)
Riešenie :
Odpoveď : \(1\)
Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva pomocou logaritmu... Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážime, ako sa hodnoty logaritmov nachádzajú pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov z hľadiska pôvodne špecifikovaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobnými riešeniami.
Navigácia na stránke.
Výpočet logaritmov podľa definície
V najjednoduchších prípadoch je možné vykonávať rýchlo a ľahko nájdenie logaritmu podľa definície... Pozrime sa podrobnejšie na to, ako tento proces prebieha.
Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c, pričom podľa definície logaritmu je číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovností: log a b = log a a c = c.
Výpočet logaritmu sa teda podľa definície redukuje na nájdenie takého čísla c, že a c = b, a samotné číslo c je požadovanou hodnotou logaritmu.
Ak vezmeme do úvahy informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znakom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite určiť, čomu sa logaritmus rovná - je rovný exponentu. Ukážme riešenia príkladov.
Príklad.
Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5.3.
Riešenie.
Definícia logaritmu nám umožňuje okamžite povedať, že log 2 2 −3 = −3. Číslo pod znamienkom logaritmu sa skutočne rovná základni 2 mocniny –3.
Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.
Odpoveď:
log 2 2 −3 = −3 a lne 5,3 = 5,3.
Ak číslo b pod znakom logaritmu nie je uvedené ako stupeň základne logaritmu, potom musíte starostlivo zistiť, či môžete prísť k zobrazeniu čísla b v tvare a c. Takáto reprezentácia je často celkom zrejmá, najmä keď sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu s mocninou 1 alebo 2 alebo 3, ...
Príklad.
Vypočítajte logaritmy log 5 25 a.
Riešenie.
Je ľahké vidieť, že 25 = 5 2, to vám umožní vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2.
Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť reprezentované silou 7: 
(pozrite sa, ak je to potrebné). Následne 
.
Prepíšeme tretí logaritmus nasledovne. Teraz to môžete vidieť 
, odkiaľ to uzatvárame 
... Preto podľa definície logaritmu 
.
Stručne by riešenie mohlo byť napísané nasledovne :.
Odpoveď:
log 5 25 = 2, 
a .
Keď existuje dostatočne veľké prirodzené číslo v znamení logaritmu, nezaškodí ho rozložiť na hlavné faktory. To často pomáha reprezentovať také číslo vo forme určitého stupňa základne logaritmu, a preto vypočítať tento logaritmus podľa definície.
Príklad.
Nájdite hodnotu logaritmu.
Riešenie.
Niektoré vlastnosti logaritmov vám umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednej a vlastnosť logaritmu čísla rovnajúceho sa základu: log 1 1 = log a a 0 = 0 a log a a = log a a 1 = 1. To znamená, že keď je pod znakom logaritmu číslo 1 alebo číslo rovné základu logaritmu, potom sa v týchto prípadoch logaritmy rovnajú 0 a 1.
Príklad.
Čo sa rovnajú logaritmom a lg10?
Riešenie.
Odvtedy potom z definície logaritmu vyplýva 
.
V druhom prípade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje s jeho základom, preto je desatinný logaritmus desiatich rovný jednej, to znamená lg10 = lg10 1 = 1.
Odpoveď:
A lg10 = 1.
Všimnite si toho, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme diskutovali v predchádzajúcom odseku) znamená použitie protokolu rovnosti a a p = p, čo je jedna z vlastností logaritmov.
V praxi platí, že keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec 
, čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Pozrime sa na príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.
Príklad.
Vypočítajte logaritmus.
Riešenie.
Odpoveď:
.
Pri výpočte sa používajú aj vlastnosti logaritmov, ktoré nie sú uvedené vyššie, ale o tom si povieme v nasledujúcich odsekoch.
Nájdenie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov
Informácie v tejto časti pokračujú v téme používania vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu v zmysle iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Uveďme príklad na objasnenie. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963, potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
V uvedenom prípade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu produktu. Na výpočet počiatočného logaritmu z hľadiska daných vlastností je však oveľa častejšie potrebné použiť širší arzenál vlastností logaritmu.
Príklad.
Vypočítajte bázu denníkov 60 z 27, ak viete, že log 60 2 = a log 60 5 = b.
Riešenie.
Musíme teda nájsť log 60 27. Je ľahké vidieť, že 27 = 3 3 a pôvodný logaritmus, vzhľadom na vlastnosť logaritmu sily, je možné prepísať ako 3 · log 60 3.
Teraz sa pozrime, ako vyjadriť log 60 3 pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovnajúceho sa základu nám umožňuje zapísať protokol rovnosti 60 60 = 1. Na druhej strane log 60 60 = log60 (2 2 3 5) = log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5 = 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5. Preto 2 log 60 2 + log 60 3 + log 60 5 = 1... Následne log 60 3 = 1−2 log 60 2 - log 60 5 = 1−2 a - b.
Nakoniec vypočítajte pôvodný logaritmus: log 60 27 = 3 log 60 3 = 3 (1−2 a - b) = 3−6 a - 3 b.
Odpoveď:
log 60 27 = 3 (1−2 a - b) = 3−6 a - 3 b.
Samostatne by sa malo hovoriť o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu tvaru 
... Umožňuje vám prejsť od logaritmov s akýmikoľvek bázami k logaritmom so špecifickou bázou, ktorých hodnoty sú známe alebo je ich možné nájsť. Obvykle z počiatočného logaritmu pomocou prechodového vzorca prejdú na logaritmy v jednej z báz 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré vám umožňujú vypočítať ich hodnoty s určitým stupňom presnosť. V nasledujúcej časti si ukážeme, ako sa to robí.
Tabuľky logaritmov, ich použitie
Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky... Najbežnejšie používaná logaritmická tabuľka základne 2, tabuľka prirodzeného logaritmu a tabuľka desatinných logaritmov. Pri práci v desatinnom systéme je vhodné použiť tabuľku s desiatimi logaritmami. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.
Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desať tisícinu nájsť hodnoty desatinných logaritmov čísel od 1 000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu budeme analyzovať pomocou tabuľky desatinných logaritmov na konkrétnom príklade - je to jasnejšie. Nájdeme 1256 lg.
V ľavom stĺpci tabuľky desatinných logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, to znamená, že nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretiu číslicu čísla 1,256 (číslica 5) nachádzame v prvom alebo poslednom riadku vľavo od dvojriadka (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslica 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojriadka (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách logaritmickej tabuľky na priesečníku označeného riadka a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžovou farbou). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desatinného logaritmu s presnosťou na štvrté desatinné miesto, to znamená lg1,236≈0,0969 + 0,0021 = 0,0990.
Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desatinných logaritmov čísel, ktoré majú za desatinnou čiarkou viac ako tri číslice, a tiež presahovať rozsah od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.
Vypočítajme lg102,76332. Najprv musíte napísať štandardné číslo: 102,76332 = 1,0276332 10 2. Potom by mala byť mantisa zaokrúhlená na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, zatiaľ čo pôvodný desatinný logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028 · 10 2. Teraz použijeme vlastnosti logaritmu: lg1,02810 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2... Nakoniec nájdeme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desatinných logaritmov lg1,028≈0,0086 + 0,0034 = 0,012. V dôsledku toho celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: log102.76332 = log1.027633210 2 ≈ log1.02810 2 = lg1,028 + lg10 2 = lg1,028 + 2≈0,012 + 2 = 2,012.
Na záver je potrebné poznamenať, že pomocou tabuľky desatinných logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu akéhokoľvek logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desatinné logaritmy, vyhľadanie ich hodnôt podľa tabuľky a vykonanie zostávajúcich výpočtov.
Vypočítajme napríklad log 2 3. Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme. Z tabuľky desatinných logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. Preto 
.
Bibliografia.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra a začiatok analýzy: Učebnica pre 10 - 11 ročníkov vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
Inštrukcie
Zapíšte si zadaný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom je jeho zápis skrátený a vyzerá takto: lg b je desatinný logaritmus. Ak má logaritmus ako základ číslo e, napíšte výraz: ln b - prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom akéhokoľvek je sila, na ktorú je potrebné zdvihnúť základné číslo, aby sa získalo číslo b.
Pri hľadaní zo súčtu dvoch funkcií ich stačí postupne rozlíšiť a pridať výsledky: (u + v) "= u" + v ";
Pri hľadaní derivátu súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie vynásobenú prvou funkciou: (u * v) "= u" * v + v "* u;
Na nájdenie derivátu kvocientu dvoch funkcií je potrebné z produktu derivátu dividendy vynásobeného deliteľskou funkciou odpočítať súčin derivátu deliteľa deleného funkciou dividendy , a rozdeľte to všetko na deliteľnú funkciu na druhú. (u / v) "= (u" * v-v " * u) / v ^ 2;
Ak je daná komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu vnútornej funkcie a deriváciu vonkajšej. Nech y = u (v (x)), potom y "(x) = y" (u) * v "(x).
Pomocou vyššie uvedených môžete odlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:
y = x ^ 4, y "= 4 * x ^ (4-1) = 4 * x ^ 3;
y = 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "= 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * X));
Existujú tiež problémy s výpočtom derivátu v bode. Nech je daná funkcia y = e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x = 1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y "= e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).
2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y “(1) = 8 * e ^ 0 = 8
Podobné videá
Užitočné rady
Naučte sa tabuľku elementárnych derivátov. To výrazne ušetrí čas.
Zdroje:
- derivácia konštanty
Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod odmocninou, potom je rovnica považovaná za iracionálnu.
Inštrukcie
Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda zostrojenia oboch častí rovnice na námestí. Avšak. je to prirodzené, prvým krokom je zbaviť sa znamenia. Táto metóda nie je technicky náročná, ale niekedy vám môže spôsobiť problémy. Napríklad rovnica v (2x-5) = v (4x-7). Po zarovnaní oboch jeho strán získate 2x-5 = 4x-7. Túto rovnicu nie je ťažké vyriešiť; x = 1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice... Prečo? Nahraďte 1 v rovnici za x a pravá aj ľavá budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, to znamená. Táto hodnota nie je platná pre odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto daná rovnica nemá žiadne korene.
Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch strán. Po vyriešení rovnice je nevyhnutné odrezať cudzie korene. Za týmto účelom nahraďte nájdené korene pôvodnou rovnicou.
Zvážte inú.
2x + vx-3 = 0
Túto rovnicu je možné samozrejme vyriešiť rovnako ako predchádzajúcu. Presuňte kompozit rovnice ktoré nemajú odmocninu, na pravú stranu a potom použite metódu kvadratúry. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale aj iný, ladnejší. Zadajte novú premennú; vx = y. V dôsledku toho dostanete rovnicu tvaru 2y2 + y-3 = 0. To je obvyklá kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3 / 2. Ďalej sa rozhodnite pre dvoch rovnice vx = 1; vx = -3 / 2. Druhá rovnica nemá korene, z prvej zistíme, že x = 1. Nezabudnite skontrolovať korene.
Riešenie identít je dosť jednoduché. To si vyžaduje uskutočnenie rovnakých transformácií, kým sa nedosiahne cieľ. Úloha bude teda vyriešená pomocou najjednoduchších aritmetických operácií.
Budete potrebovať
- - papier;
- - pero.
Inštrukcie
Najjednoduchšou z týchto transformácií je algebraická skrátená multiplikácia (napríklad štvorec súčtu (rozdiel), rozdiel štvorcov, súčet (rozdiel), kocka súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje mnoho a goniometrických vzorcov, ktoré sú v zásade rovnaké.
Štvorec súčtu dvoch výrazov sa skutočne rovná štvorcu prvého plus dvojnásobok súčinu prvého druhého a plus štvorca druhého, to znamená (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.
Zjednodušte oboje
Všeobecné zásady riešenia
Recenzia prostredníctvom učebnice o počte alebo vyššej matematike, ktorá je jednoznačným integrálom. Ako viete, riešením určitého integrálu je funkcia, ktorej derivát poskytne integrand. Táto funkcia sa nazýva antiderivatívna. Tento princíp sa používa na konštrukciu základných integrálov.Podľa formy integrandu určte, ktorý z tabuľkových integrálov je v tomto prípade vhodný. Nie vždy je možné to okamžite určiť. Tabuľkový pohľad je často viditeľný až po niekoľkých transformáciách na zjednodušenie integrandu.
Variabilný spôsob výmeny
Ak je integrand trigonometrickou funkciou, v argumentácii ktorej je nejaký polynóm, skúste použiť metódu premennej zmeny. Za týmto účelom nahraďte polynóm v argumente integrand novou premennou. Nové limity integrácie určte zo vzťahu medzi novou a starou premennou. Na rozlíšenie tohto výrazu nájdite nový diferenciál v. Získate tak novú formu predchádzajúceho integrálu, blízku alebo dokonca zodpovedajúcu nejakému tabuľkovému.Riešenie integrálov druhého druhu
Ak je integrálom integrál druhého druhu, vektorová forma integrandu, potom budete musieť použiť pravidlá na prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z týchto pravidiel je pomer Ostrogradsky-Gauss. Tento zákon umožňuje prejsť z toku rotora určitej vektorovej funkcie na trojitý integrál cez divergenciu daného vektorového poľa.Nahradenie hraníc integrácie
Po zistení antiderivácie je potrebné nahradiť limity integrácie. Najprv zapojte hornú hraničnú hodnotu do antiderivatívneho výrazu. Dostanete nejaké číslo. Ďalej od výsledného čísla odpočítajte ďalšie číslo získané zo spodnej hranice na antideriváciu. Ak je jednou z hraníc integrácie nekonečno, potom pri jej substitúcii do antiderivatívnej funkcie je potrebné ísť na hranicu a zistiť, k čomu výraz smeruje.Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, budete musieť geometricky znázorniť hranice integrácie, aby ste pochopili, ako vypočítať integrál. V prípade povedzme trojrozmerného integrálu môžu byť hranicami integrácie celé roviny, ktoré ohraničujú integrovaný objem.
Uvažujme rovnicu a x = b, pre a> 0 a nerovnú sa jednej. Táto rovnica nemá žiadne riešenia pre b menšie alebo rovné nule. A má jedinečné riešenie pre b> 0. Toto riešenie sa nazýva logaritmus b na základňu a b a označuje sa takto:
log a (b)
Logaritmus čísla b na základňu f je exponent, do ktorého je potrebné zdvihnúť číslo a, aby sa dostalo číslo b.
a (log a (b)) = b.
Tento vzorec sa nazýva základná logaritmická identita... Platí to pre každé kladné číslo, ktoré sa nerovná jednému a, a pre každé pozitívne b.
Príklady logaritmov
Pozrime sa na niekoľko príkladov:
1. Nájdite hodnotu log 2 (32). 32 je možné považovať za 2 5. To znamená, že na to, aby sme dostali číslo 32, je potrebné zdvihnúť dvojku na piatu mocninu. Preto log 2 (32) = 5.
2. Nájdite logaritmus 1/9 na základe √3. Pretože (√3) 4 = 1/9, dostaneme log √3 (1/9) = -4.
3. Nájdite x také, aby platila nasledujúca nerovnosť: log 8 (x) = 1/3. Aplikujme základnú logaritmickú identitu:
x = 8 (log 8 (x)) = 8 (1/8) = 2.
Vlastnosti logaritmov
Logaritmy majú niekoľko vlastností, ktoré priamo vyplývajú z vlastností exponenciálnej funkcie. Základné vlastnosti logaritmov:
1.log a (1) = 0;
2.log a (a) = 1;
3.log a (x * y) = log a (x) + log a (x) - logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov;
4.log x (x / y) = log a (x) - log a (y) - logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov;
5. log a (x p) = p * log a (x) - logaritmus výkonu sa bude rovnať súčinu exponentu logaritmom základu tejto mocniny.
Vyššie uvedené vlastnosti budú platné pre akékoľvek kladné číslo ale nerovná sa jedna, akékoľvek kladné x a y a akékoľvek skutočné p.
Pre logaritmy existuje vzorec na prechod na nový základ:
log a (x) = (log b (x)) / (log b (a)).
Tento vzorec bude mať zmysel iba vtedy, ak budú dávať zmysel obe jeho časti. To znamená, že musia byť splnené nasledujúce podmienky:
x> 0, a> 0, b> 0, a nerovná sa jednému, b sa nerovná jednému.
Nazývajú sa logaritmy so základňou 10 desatinné logaritmy... Zavolajú sa logaritmy založené na čísle e prírodné logaritmy.