ANGLE KATI YA MIPANGO
Fikiria ndege mbili α 1 na α 2, iliyotolewa na hesabu, mtawaliwa:
Chini ya pembe kati ya ndege mbili tunamaanisha moja ya pembe za dihedral iliyoundwa na ndege hizi. Kwa wazi, pembe kati ya veki za kawaida na ndege α 1 na α 2 ni sawa na moja ya pembe zilizoonyeshwa za dihedral zilizo karibu au 
... kwa hiyo 
... Kwa sababu 
na 
basi
.
Mfano. Kuamua pembe kati ya ndege x+2y-3z+ 4 \u003d 0 na 2 x+3y+z+8=0.
Hali ya kufanana kwa ndege mbili.
Ndege mbili α 1 na α 2 ni sawa ikiwa na ikiwa vectors zao za kawaida na ni sawa, ambayo inamaanisha 
.
Kwa hivyo, ndege mbili zinafanana kwa kila mmoja ikiwa na ikiwa tu coefficients katika kuratibu zinazofanana ni sawa:
au
Hali ya utaftaji wa ndege.
Ni wazi kwamba ndege mbili ni za moja kwa moja ikiwa na ikiwa tu veta zao za kawaida ni za kawaida, na kwa hivyo, au.
Kwa njia hii, .
Mifano.
SAWA NAFASI.
VIFAA VYA MSTARI WA VECTOR.
VIFAA VYA MFANO WA MSTARI
Msimamo wa laini moja kwa moja kwenye nafasi imedhamiriwa kabisa kwa kubainisha yoyote ya alama zake zilizowekwa M 1 na vector inayofanana na mstari huu.
Vector inayofanana na laini moja kwa moja inaitwa kuongoza vector ya mstari huu.
Kwa hivyo iwe sawa l hupitia hatua hiyo M 1 (x 1 , y 1 , z 1) amelala kwenye mstari wa moja kwa moja sambamba na vector.
Fikiria hatua ya kiholela M (x, y, z) kwenye mstari ulionyooka. Takwimu inaonyesha hiyo 
.
Vectors na ni collinear, kwa hivyo kuna idadi kama hiyo t, nini, sababu iko wapi t inaweza kuchukua thamani yoyote ya nambari kulingana na nafasi ya uhakika M kwenye mstari ulionyooka. Sababu t inaitwa parameter. Kuonyesha vectors ya radius ya alama M 1 na M mtawaliwa, kupitia na, tunapata. Mlinganyo huu unaitwa vector equation ya mstari sawa. Inaonyesha kuwa kwa kila thamani ya parameta t inalingana na vector ya radius ya hatua fulani Mamelala kwenye mstari ulio sawa.
Wacha tuandike usawa huu kwa fomu ya kuratibu. Angalia, kwamba, 
na kutoka hapa
Usawa unaosababishwa unaitwa parametri equations ya mstari sawa.
Wakati wa kubadilisha parameter t inaratibu mabadiliko x, y na z na onyesha M huenda kwa mstari ulio sawa.
VIFAA VYA KIKONIKONI VYA DIRECT
Acha M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ni hatua iliyolala kwenye laini moja kwa moja lna 
Je, ni vector ya mwelekeo wake. Chukua tena hatua ya kiholela kwenye mstari wa moja kwa moja M (x, y, z) na fikiria vector.
Ni wazi kwamba vectors na ni collinear, kwa hivyo kuratibu zao zinazolingana lazima ziwe sawia, kwa hivyo
– kanuni usawa wa mstari.
Sema 1. Kumbuka kuwa hesabu za kisheria za laini moja kwa moja zinaweza kupatikana kutoka kwa zile za parametric kwa kuondoa parameter t... Kwa kweli, kutoka kwa hesabu za parametric tunapata 
au .
Mfano. Andika equation ya mstari sawa 
kwa fomu ya parametric.
Tunaashiria 
, kutoka hapa x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.
Sema 2. Wacha laini moja kwa moja iwe sawa na moja ya shoka za kuratibu, kwa mfano, mhimili Ng'ombe... Kisha vector inayoongoza ni ya pekee Ng'ombe, kwa hivyo, m\u003d 0. Kwa hivyo, hesabu za parametric ya laini moja kwa moja huchukua fomu
Kuondoa parameter kutoka kwa equations t, tunapata equations ya mstari wa moja kwa moja kwa fomu
Walakini, katika kesi hii pia, tunakubali kuandika rasmi hesabu za kisheria za laini moja kwa moja katika fomu 
... Kwa hivyo, ikiwa sehemu ya sehemu moja ni sifuri, basi hii inamaanisha kuwa mstari huo ni sawa na mhimili unaofanana wa uratibu.
Vivyo hivyo, hesabu za kisheria 
inalingana na mstari wa moja kwa moja sawa na shoka Ng'ombe na Oy au mhimili sambamba Oz.
Mifano.
VIFAA VYA JUMLA VYA MSTARI KWA AJILI YA UJINGA WA MIPANGO MIWILI
Idadi isiyo na kipimo ya ndege hupita kila mstari wa moja kwa moja angani. Wawili kati yao, wakikatiza, wanafafanua katika nafasi. Kwa hivyo, hesabu za ndege hizo mbili, zinazozingatiwa pamoja, zinawakilisha usawa wa laini hii iliyonyooka.
Kwa ujumla, ndege zozote mbili zisizo sawa zinazotolewa na hesabu za jumla
fafanua mstari wa makutano yao. Hesabu hizi huitwa equations jumla sawa.
Mifano.
Jenga laini moja kwa moja iliyotolewa na equations 
Ili kujenga laini moja kwa moja, inatosha kupata alama zake mbili. Njia rahisi ni kuchagua alama za makutano ya mstari na ndege za kuratibu. Kwa mfano, hatua ya makutano na ndege xOy sisi kupata kutoka equations ya mstari wa moja kwa moja, kuweka z= 0:
Baada ya kutatua mfumo huu, tunapata uhakika M 1 (1;2;0).
Vivyo hivyo, kuweka y\u003d 0, tunapata uhakika wa makutano ya mstari ulionyooka na ndege xOz:
Kutoka kwa equations ya jumla ya mstari wa moja kwa moja, unaweza kwenda kwa hesabu zake za kisheria au parametric. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata hatua M 1 kwenye mstari na vector ya mwelekeo wa mstari.
Kuratibu za uhakika M 1 itapatikana kutoka kwa mfumo huu wa equations kwa kupeana thamani ya kiholela kwa moja ya kuratibu. Ili kupata vector ya mwelekeo, kumbuka kuwa vector hii lazima iwe sawa kwa vectors zote za kawaida 
na 
... Kwa hivyo, nyuma ya vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja l tunaweza kuchukua bidhaa ya msalaba ya vectors ya kawaida:
.
Mfano. Toa equations ya jumla ya mstari wa moja kwa moja 
kwa fomu ya kisheria.
Pata hoja iliyolala kwenye mstari ulionyooka. Ili kufanya hivyo, sisi huchagua moja ya kuratibu, kwa mfano, y\u003d 0 na utatue mfumo wa equations:
Wataalamu wa kawaida wa ndege wanaofafanua mstari ulio sawa wana kuratibu 
Kwa hivyo, vector inayoongoza itakuwa
... Kwa hivyo, l: 
.
ANGLE KATI YA UWANGO
Kona kati ya mistari iliyonyooka katika nafasi tutaita pembe yoyote iliyo karibu inayoundwa na mistari miwili iliyonyooka iliyochorwa kwa njia ya kiholela inayofanana na data.
Wacha mistari miwili iliyonyooka ipewe katika nafasi:
Kwa wazi, pembe kati ya mistari iliyonyooka inaweza kuchukuliwa kama pembe kati ya vector za mwelekeo wao na. Kwa kuwa, basi, kulingana na fomula ya cosine ya pembe kati ya vectors, tunapata
Nitakuwa mfupi. Pembe kati ya mistari miwili ni sawa na pembe kati ya vectors ya mwelekeo wao. Kwa hivyo, ikiwa unaweza kupata kuratibu za vector mwelekeo a \u003d (x 1; y 1; z 1) na b \u003d (x 2; y 2; z 2), unaweza kupata pembe. Kwa usahihi, cosine ya pembe na fomula:
Wacha tuone jinsi fomula hii inafanya kazi na mifano maalum:
Kazi. Pointi E na F zimewekwa alama kwenye mchemraba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - alama za katikati za kingo za A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.
Kwa kuwa ukingo wa mchemraba haujaonyeshwa, tunaweka AB \u003d 1. Tambulisha mfumo wa kuratibu wa kawaida: asili iko katika hatua ya A, x, y, z axes zimeelekezwa kando ya AB, AD na AA 1, mtawaliwa. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB \u003d 1. Sasa tunapata kuratibu za vector za mwelekeo kwa mistari yetu.
Pata kuratibu za vector AE. Ili kufanya hivyo, tunahitaji alama A \u003d (0; 0; 0) na E \u003d (0.5; 0; 1). Kwa kuwa kumweka E ni katikati ya sehemu A 1 B 1, kuratibu zake ni sawa na maana ya hesabu ya kuratibu za mwisho. Kumbuka kuwa asili ya vector AE inafanana na asili, kwa hivyo AE \u003d (0.5; 0; 1).
Sasa wacha tushughulikie vector BF. Vivyo hivyo, tunachanganua alama B \u003d (1; 0; 0) na F \u003d (1; 0.5; 1), kwa sababu F - katikati ya sehemu B 1 C 1. Tuna:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).
Kwa hivyo vector za mwelekeo ziko tayari. Kosini ya pembe kati ya mistari iliyonyooka ni cosine ya pembe kati ya vector za mwelekeo, kwa hivyo tuna:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya trihedral ABCA 1 B 1 C 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama D na E zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AD na BE.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, mhimili wa x umeelekezwa kando ya AB, z - pamoja na AA 1. Tunaelekeza mhimili wa y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya ABC. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB \u003d 1. Pata kuratibu za vector za mwelekeo kwa laini zilizotafutwa.
Kwanza, wacha tupate kuratibu za vector ya AD. Fikiria vidokezo: A \u003d (0; 0; 0) na D \u003d (0.5; 0; 1), kwa sababu D - sehemu ya katikati ya sehemu A 1 B 1. Kwa kuwa asili ya vector AD inafanana na asili, tunapata AD \u003d (0.5; 0; 1).
Sasa wacha tupate kuratibu za vector BE. Uhakika B \u003d (1; 0; 0) ni rahisi. Na kumweka E - katikati ya sehemu C 1 B 1 - ngumu kidogo. Tuna:
Inabaki kupata cosine ya pembe:
Kazi. Katika prism ya kawaida ya hexagonal ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama K na L zimewekwa alama - alama za katikati ya kingo A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AK na BL.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kiwango cha prism: weka asili ya kuratibu katikati ya msingi wa chini, elekeza mhimili wa x kando ya FC, mhimili wa y kupitia katikati ya sehemu za AB na DE, na z-axis wima juu. Sehemu ya kitengo tena ni sawa na AB \u003d 1. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:
Pointi K na L ni alama za katikati za sehemu A 1 B 1 na B 1 C 1, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kupitia maana ya hesabu. Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AK na BL:
Sasa wacha tupate cosine ya pembe:
Kazi. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, kingo zote ambazo ni sawa na 1, alama E na F zimewekwa alama - alama za katikati za pande za SB na SC, mtawaliwa. Pata pembe kati ya mistari AE na BF.
Wacha tuanzishe mfumo wa uratibu wa kawaida: asili iko kwenye hatua A, shoka za x na y zimeelekezwa kando ya AB na AD, mtawaliwa, na mhimili wa z umeelekezwa wima juu. Sehemu ya kitengo ni sawa na AB \u003d 1.
Pointi E na F ni alama za katikati za sehemu za SB na SC, mtawaliwa, kwa hivyo kuratibu zao hupatikana kama maana ya hesabu ya mwisho. Wacha tuandike kuratibu za alama za kupendeza kwetu:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)
Kujua vidokezo, tunapata kuratibu za vector mwelekeo AE na BF:
Kuratibu za vector AE sanjari na kuratibu za uhakika E, kwani uhakika A ndio asili. Inabaki kupata cosine ya pembe:
Ufafanuzi.Ikiwa mistari miwili iliyonyooka y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 imepewa, basi pembe ya papo hapo kati ya mistari hii iliyonyooka itafafanuliwa kama
Mistari miwili iliyonyooka ni sawa ikiwa k 1 \u003d k 2. Mistari miwili iliyonyooka ni sawa ikiwa k 1 \u003d -1 / k 2.
Nadharia.Mistari iliyonyooka Ax + Vy + C \u003d 0 na A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ni sawa wakati mgawo wa sawia A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ikiwa pia С 1 \u003d λС, basi mistari inafanana. Uratibu wa hatua ya makutano ya mistari miwili hupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations wa mistari hii.
Mlingano wa laini iliyonyooka kupita kwenye nukta fulani
Inayohusiana na mstari huu
Ufafanuzi.Mstari wa moja kwa moja unapita kupitia hatua M 1 (x 1, y 1) na sawa kwa mstari wa moja kwa moja y \u003d kx + b inawakilishwa na equation:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Nadharia.Ikiwa hatua M (x 0, y 0) imepewa, basi umbali wa mstari wa moja kwa moja Ax + Vy + C \u003d 0 imedhamiriwa kama
.
Ushahidi.Wacha kumweka M 1 (x 1, y 1) iwe msingi wa kiambatisho kilichoporomoka kutoka kwa alama M kwenda kwenye laini iliyonyooka. Kisha umbali kati ya alama M na M 1:
(1)
Kuratibu x 1 na y 1 zinaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations:
Mlingano wa pili wa mfumo ni equation ya laini moja kwa moja inayopitia nukta iliyopewa M 0 kwa njia ya mstari ulionyooka. Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Na 0 + C \u003d 0,
kisha, kutatua, tunapata:
Kubadilisha maneno haya kuwa sawa (1), tunapata:
Nadharia imethibitishwa.
Mfano... Tambua pembe kati ya mistari iliyonyooka: y \u003d -3 x + 7; y \u003d 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2; tgφ \u003d 
; φ \u003d p / 4.
Mfano... Onyesha kuwa mistari iliyonyooka 3x - 5y + 7 \u003d 0 na 10x + 6y - 3 \u003d 0 ni moja kwa moja.
Uamuzi... Tunapata: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, kwa hivyo, mistari iliyonyooka ni sawa.
Mfano... Vipeo vya pembetatu A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) hutolewa. Pata equation kwa urefu uliotokana na vertex C.
Uamuzi... Tunapata usawa wa upande AB: 
; 4 x \u003d 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 \u003d 0;
Ulinganisho wa urefu unaohitajika ni: Ax + By + C \u003d 0 au y \u003d kx + b. k \u003d. Kisha y \u003d. Kwa sababu urefu hupita kupitia hatua C, kisha kuratibu zake zinakidhi usawa huu: 
wapi b \u003d 17. Jumla:. 
Jibu: 3 x + 2 y - 34 \u003d 0.
Mlinganyo wa laini iliyonyooka kupita kwa hatua iliyopewa kwa mwelekeo uliopewa. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita alama mbili zilizopewa. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka. Hali ya ulinganifu na upeo wa mistari miwili. Uamuzi wa hatua ya makutano ya mistari miwili
1. Mlingano wa laini iliyonyooka kupita kwenye nukta fulani A(x 1 , y 1) katika mwelekeo huu, imedhamiriwa na mteremko k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Mlingano huu unafafanua penseli ya mistari inayopita kwenye hatua hiyo A(x 1 , y 1), ambayo huitwa katikati ya boriti.
2. Mlingano wa laini moja kwa moja inayopita alama mbili: A(x 1 , y 1) na B(x 2 , y 2) imeandikwa kama ifuatavyo:
Mteremko wa laini moja kwa moja unapita kwenye vidokezo viwili umedhamiriwa na fomula
3. Angle kati ya mistari iliyonyooka A na B inaitwa pembe ambayo unahitaji kugeuza kwanza moja kwa moja A karibu na hatua ya makutano ya mistari hii kinyume cha saa mpaka inalingana na mstari wa pili B... Ikiwa mistari miwili ya moja kwa moja imepewa na equations na mteremko
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
basi pembe kati yao imedhamiriwa na fomula
Kumbuka kuwa katika hesabu ya sehemu, mteremko wa laini ya kwanza moja kwa moja hutolewa kutoka mteremko wa laini ya pili ya moja kwa moja.
Ikiwa equations ya mstari wa moja kwa moja imepewa kwa fomu ya jumla
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
pembe kati yao imedhamiriwa na fomula
4. Masharti ya ulinganifu wa mistari miwili:
a) Ikiwa mistari iliyonyooka imepewa na equations (4) na mteremko, basi hali ya lazima na ya kutosha kwa ulinganifu wao ni usawa wa mteremko wao:
k 1 = k 2 . (8)
b) Kwa kesi wakati mistari iliyonyooka inapewa na equations kwa jumla (6), hali ya lazima na ya kutosha kwa ulinganifu wao ni kwamba coefficients katika kuratibu zinazofanana za sasa katika hesabu zao ni sawia, i.e.
5. Masharti ya utaftaji wa mistari miwili:
a) Katika kesi wakati mistari iliyonyooka inapewa na equations (4) na mteremko, hali ya lazima na ya kutosha kwa utaftaji wao ni kwamba mteremko wao ni sawa kwa ukubwa na kinyume na ishara, i.e.
Hali hii pia inaweza kuandikwa kwa fomu
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ikiwa hesabu za mistari iliyonyooka zimetolewa kwa jumla (6), basi hali ya upeo wao (muhimu na ya kutosha) ni utimilifu wa usawa
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Uratibu wa hatua ya makutano ya mistari miwili iliyonyooka hupatikana kwa kusuluhisha mfumo wa equations (6). Mistari iliyonyooka (6) inapita ikiwa na ikiwa tu
1. Andika milinganyo ya mistari iliyonyooka inayopitia nukta M, moja ambayo ni sawa na nyingine ni sawa kwa mstari uliopewa l.
OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooKwa hivyo, tutaendelea na sehemu ya kwanza, natumai, mwishoni mwa nakala hiyo, nitabaki kuwa mchangamfu.
Msimamo wa jamaa wa mistari miwili iliyonyooka
Kesi wakati watazamaji wanaimba pamoja na kwaya. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:
1) mechi;
2) kuwa sambamba :;
3) au ungana kwa wakati mmoja:.
Msaada kwa Dummies : tafadhali kumbuka ishara ya hesabu ya makutano, itakuwa kawaida sana. Ujumbe unaonyesha kuwa mstari unapita na mstari kwa hatua.
Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili iliyonyooka?
Wacha tuanze na kesi ya kwanza:
Mistari miwili ya moja kwa moja inafanana ikiwa na ikiwa tu coefficients zao zinazofanana ni sawia, ambayo ni kwamba, kuna idadi "lambda" ambayo usawa
Fikiria mistari iliyonyooka na tunga hesabu tatu kutoka kwa coefficients zinazofanana:. Inafuata kutoka kwa kila mlingano kwamba, kwa hivyo, mistari hii inafanana.
Hakika, ikiwa ni coefficients zote za equation 
kuzidisha na -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation 
imepunguzwa na 2, unapata usawa sawa:.
Kesi ya pili, wakati mistari ni sawa:
Mistari miwili iliyonyooka ni sawa ikiwa na ikiwa tu coefficients yao ya vigeuzi ni sawa: 
lakini.
Kama mfano, fikiria mistari miwili. Tunaangalia usawa wa coefficients inayolingana kwa anuwai: 
Walakini, ni wazi kabisa kuwa.
Na kesi ya tatu, wakati mistari inavuka:
Mistari miwili iliyonyooka inapita ikiwa na ikiwa tu coefficients zao za vigeuzi SI sawia, ambayo ni, HAKUNA dhamana kama hiyo ya "lambda" kufanya usawa 
Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutatunga mfumo: 
Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata hiyo, na kutoka kwa mlinganyo wa pili :, kwa hivyo, mfumo haufanani (hakuna suluhisho). Kwa hivyo, mgawo wa vigeuzi sio sawa.
Hitimisho: mistari inapita
Katika shida za kiutendaji, unaweza kutumia mpango wa suluhisho uliozingatiwa tu. Kwa njia, ni sawa na algorithm ya kukagua vectors kwa collinearity, ambayo tumezingatia katika somo Dhana ya utegemezi wa laini (isiyo) ya vectors. Msingi wa vector... Lakini kuna ufungaji zaidi wa kistaarabu:
Mfano 1
Tafuta msimamo wa jamaa wa mistari iliyonyooka: 
Uamuzi kulingana na utafiti wa vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
a) Kutoka kwa equations tunapata vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
.
, kwa hivyo vectors sio collinear na mistari hupishana.
Ikiwezekana, nitaweka jiwe na viashiria kwenye njia panda:
Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata, moja kwa moja kwa Kashchei the Immortal \u003d)
b) Pata vector za mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
Mistari ina mwelekeo sawa wa vector, ambayo inamaanisha kuwa zinafanana au zinafanana. Hakuna haja ya kuhesabu kitambulisho hapa.
Ni dhahiri kuwa coefficients ya haijulikani ni sawia, wakati.
Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli: 
Kwa njia hii,
c) Pata vector za mwelekeo wa mistari iliyonyooka: 
Wacha tuhesabu hesabu inayojumuisha kuratibu za vectors hizi: 
kwa hivyo vector za mwelekeo ni koli. Mistari inaweza kuwa sawa au sanjari.
Mgawo wa uwiano "lambda" sio ngumu kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vectors wa mwelekeo wa kola. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations wenyewe: 
.
Sasa wacha tujue ikiwa usawa ni kweli. Maneno yote ya bure ni sifuri, kwa hivyo:
Thamani inayosababisha hutosheleza usawa huu (nambari yoyote kwa ujumla huiridhisha).
Kwa hivyo, mistari inafanana.
Jibu:
Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua shida inayozingatiwa kwa mdomo kwa sekunde chache tu. Katika suala hili, sioni sababu ya kupendekeza kitu kwa suluhisho huru, ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:
Jinsi ya kujenga laini moja kwa moja sambamba na ile uliyopewa?
Kwa ujinga wa kazi hii rahisi, Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.
Mfano 2
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Linganisha mstari unaofanana ambao unapitia hatua.
Uamuzi: Wacha tuonyeshe barua isiyojulikana ya moja kwa moja. Je! Hali hiyo inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua hiyo. Na ikiwa mistari iliyonyooka ni sawa, basi ni dhahiri kwamba vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ujenzi wa mstari wa moja kwa moja "de".
Tunachukua vector ya mwelekeo kutoka kwa equation:
Jibu:
Jiometri ya mfano inaonekana rahisi: 
Uthibitishaji wa uchanganuzi una hatua zifuatazo:
1) Tunaangalia kuwa mistari ina vector sawa ya mwelekeo (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vectors watakuwa collinear).
2) Angalia ikiwa hatua inakidhi equation iliyopatikana.
Mapitio ya uchambuzi ni katika hali nyingi rahisi kufanya kwa mdomo. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka ulinganifu wa mistari iliyonyooka bila kuchora yoyote.
Mifano ya suluhisho la kibinafsi leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado unapaswa kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.
Mfano 3
Fanya equation ya laini moja kwa moja ikipitia nukta inayofanana na laini moja ikiwa
Kuna suluhisho la busara na sio la busara sana. Njia fupi ni mwisho wa somo.
Tumefanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya kushikamana na mistari iliyonyooka haifai sana, kwa hivyo fikiria shida ambayo unajua kwako kutoka kwa mtaala wa shule:
Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?
Ikiwa sawa 
intersect kwa uhakika, basi kuratibu zake ni suluhisho mifumo ya usawa sawa 
Jinsi ya kupata uhakika wa makutano ya mistari? Tatua mfumo.
Sana kwako maana ya kijiometri ya mfumo wa equations mbili za mstari katika haijulikani mbili Je! Kuna mistari miwili ya kukatiza (mara nyingi) moja kwa moja kwenye ndege.
Mfano 4
Pata hatua ya makutano ya mistari
Uamuzi: Kuna njia mbili za kutatua - picha na uchambuzi.
Njia ya picha ni kuchora tu mistari ya data na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa kuchora: 
Hapa kuna maoni yetu: Ili kukiangalia, unapaswa kuchukua nafasi ya kuratibu zake katika kila equation ya laini moja kwa moja, zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za hoja ni suluhisho la mfumo. Kimsingi, tuliangalia njia ya kusuluhisha mifumo ya usawa sawa na hesabu mbili, mbili zisizojulikana.
Njia ya kielelezo, kwa kweli, sio mbaya, lakini kuna shida kubwa. Hapana, ukweli sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivyo, ukweli ni kwamba itachukua muda kupata mchoro sahihi na SAWA. Kwa kuongezea, mistari mingine iliyonyooka sio rahisi sana kujenga, na sehemu ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali pengine katika ufalme thelathini nje ya karatasi ya daftari.
Kwa hivyo, ni afadhali zaidi kutafuta sehemu ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tutatue mfumo: 
Ili kutatua mfumo, njia ya nyongeza ya muda-kwa-muda ya equations ilitumika. Tembelea somo ili kujenga ujuzi unaofaa. Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?
Jibu:
Hundi ni ndogo - uratibu wa sehemu ya makutano lazima iridhishe kila usawa katika mfumo.
Mfano 5
Pata sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inapita.
Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Ni rahisi kugawanya kazi hiyo kwa hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kile kinachohitajika:
1) Fanya equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Fanya equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Tafuta msimamo wa jamaa wa mistari iliyonyooka.
4) Ikiwa mistari inapita, basi pata sehemu ya makutano.
Ukuaji wa algorithm ya vitendo ni kawaida kwa shida nyingi za kijiometri, na nitazingatia hii mara kwa mara.
Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa mafunzo:
Jozi ya viatu bado haijachakaa, kwani tulifika kwenye sehemu ya pili ya somo:
Mistari ya moja kwa moja inayofanana. Umbali kutoka hatua hadi mstari.
Angle kati ya mistari iliyonyooka
Wacha tuanze na kazi ya kawaida na muhimu sana. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga laini moja kwa moja na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitabadilika nyuzi 90:
Jinsi ya kujenga laini kwa moja kwa moja?
Mfano 6
Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Sawa mstari wa perpendicular kupitia hatua.
Uamuzi: Kwa hali inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja. Kwa kuwa mistari ni ya moja kwa moja, ujanja ni rahisi:
Kutoka kwa equation "ondoa" vector ya kawaida :, ambayo itakuwa vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja.
Wacha tutunge equation ya mstari wa moja kwa moja na hatua na vector ya mwelekeo:
Jibu: 
Wacha tueneze mchoro wa kijiometri:
Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia wa machungwa.
Uthibitishaji wa uchambuzi wa suluhisho:
1) Chukua vector za mwelekeo kutoka kwa equations 
na kwa msaada bidhaa ya dot ya vectors tunafikia hitimisho kwamba mistari iliyonyooka ni ya kweli :.
Kwa njia, unaweza kutumia vectors kawaida, ni rahisi zaidi.
2) Angalia ikiwa hatua inakidhi equation iliyopatikana 
.
Cheki, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.
Mfano 7
Pata hatua ya makutano ya mistari inayoendana ikiwa equation inajulikana 
na onyesha.
Huu ni mfano wa suluhisho la kujifanya mwenyewe. Kuna vitendo kadhaa katika kazi hiyo, kwa hivyo ni rahisi kuandaa suluhisho kwa hatua.
Safari yetu ya kusisimua inaendelea:
Umbali kutoka hatua hadi mstari
Mbele yetu kuna ukanda wa moja kwa moja wa mto na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vizuizi, na njia bora zaidi itakuwa harakati kando ya moja kwa moja. Hiyo ni, umbali kutoka kwa hatua hadi mstari wa moja kwa moja ni urefu wa mstari wa perpendicular.
Umbali katika jiometri kijadi inaashiria na herufi ya Uigiriki "ro", kwa mfano: - umbali kutoka kwa hatua "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".
Umbali kutoka hatua hadi mstari 
imeonyeshwa na fomula
Mfano 8
Pata umbali kutoka hatua hadi mstari 
Uamuzi: unachohitaji tu ni kuziba nambari kwa uangalifu katika fomula na kufanya mahesabu:
Jibu: 
Wacha tutekeleze mchoro: 
Umbali kutoka hatua hadi mstari uliopatikana ni sawa kabisa na urefu wa laini nyekundu. Ikiwa utatengeneza kuchora kwenye karatasi ya cheki kwa kiwango cha kitengo 1. \u003d 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.
Fikiria kazi nyingine kwa ramani hiyo hiyo:
Kazi ni kupata kuratibu za nukta ambayo ni sawa na hatua kwa heshima na laini iliyonyooka 
... Ninapendekeza kufanya vitendo mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:
1) Tafuta laini iliyo sawa na laini.
2) Pata hatua ya makutano ya mistari: 
.
Hatua zote mbili zimeelezewa katika mafunzo haya.
3) Jambo ni katikati ya sehemu ya mstari. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya ncha. Na fomula za kuratibu katikati ya sehemu tunapata.
Haitakuwa mbaya kuangalia kwamba umbali pia ni vitengo 2.2.
Shida hapa zinaweza kutokea kwa mahesabu, lakini kwenye mnara, kikokotoo kidogo husaidia sana, hukuruhusu kuhesabu sehemu ndogo za kawaida. Mara kwa mara inashauriwa, itashauri na tena.
Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?
Mfano 9
Pata umbali kati ya mistari miwili inayofanana
Huu ni mfano mwingine wa suluhisho la kujitegemea. Nitatoa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kuisuluhisha. Kujadili mwisho wa somo, lakini bora jaribu kujifikiria mwenyewe, nadhani umeweza kutawanya ujanja wako vizuri.
Angle kati ya mistari miwili iliyonyooka
Kila pembe ni jamb: 
Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka inachukuliwa kama pembe ndogo, ambayo inaashiria moja kwa moja kuwa haiwezi kufifia. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mseto wa mistari iliyonyooka. Na jirani yake "kijani" huzingatiwa kama hivyo, au inayoelekezwa kinyume Kona ya "Crimson".
Ikiwa mistari iliyonyooka iko sawa, basi pembe zozote nne zinaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.
Je! Pembe hutofautianaje? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo wa kona "kusogeza" ni muhimu sana. Pili, pembe iliyoelekezwa vibaya imeandikwa na ishara ya kuondoa, kwa mfano, ikiwa.
Kwa nini nilisema hivi? Inaonekana kwamba unaweza kufanya na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba katika njia ambazo tutapata pembe, unaweza kupata matokeo mabaya kwa urahisi, na hii haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya kutoweka sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe hasi, hakikisha kuonyesha mwelekeo wake na mshale (saa moja kwa moja).
Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna njia mbili za kufanya kazi:
Mfano 10
Pata pembe kati ya mistari iliyonyooka
Uamuzi na Njia ya kwanza
Fikiria mistari miwili iliyonyooka iliyopewa na equations kwa jumla 
Ikiwa sawa sio ya pekeebasi inayoelekezwa pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: 
Wacha tuangalie kwa dhehebu - hii ndio haswa bidhaa ya scalar vector mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
Ikiwa, basi dhehebu la fomula linatoweka, na vectors watakuwa orthogonal na mistari iliyonyooka ni sawa. Ndio sababu uhifadhi ulifanywa juu ya kutokuwa kwa upana wa mistari iliyonyooka katika uundaji.
Kulingana na yaliyotangulia, ni rahisi kupanga suluhisho kwa hatua mbili:
1) Mahesabu ya bidhaa ya scalar ya vectors ya mwelekeo wa mistari iliyonyooka:
, kwa hivyo mistari iliyonyooka sio sawa.
2) Pembe kati ya mistari iliyonyooka inapatikana kwa fomula:
Kutumia kazi ya kugeuza, ni rahisi kupata kona yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):
Jibu: 
Katika jibu, tunaonyesha thamani halisi, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana kwa digrii na katika radians), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.
Kweli, toa, kwa hivyo kuondoa, hiyo ni sawa. Hapa kuna mfano wa kijiometri: 
Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa na mwelekeo hasi, kwa sababu katika taarifa ya shida nambari ya kwanza ni laini moja kwa moja na "kupotosha" kwa pembe kulianza nayo.
Ikiwa kweli unataka kupata pembe nzuri, unahitaji kubadilisha mistari iliyonyooka, ambayo ni, chukua coefficients kutoka kwa equation ya pili 
, na coefficients huchukuliwa kutoka kwa equation ya kwanza. Kwa kifupi, lazima uanze na laini moja kwa moja 
.
Maagizo
Kumbuka
Kipindi cha kazi ya trigonometric ya tangent ni digrii 180, ambayo inamaanisha kuwa mteremko wa mistari iliyonyooka hauwezi, kwa thamani kamili, kuzidi thamani hii.
Ushauri muhimu
Ikiwa mteremko ni sawa na kila mmoja, basi pembe kati ya mistari kama hiyo ni 0, kwani mistari kama hiyo inaambatana au ni sawa.
Kuamua thamani ya pembe kati ya kuvuka mistari iliyonyooka, ni muhimu kusonga mistari miwili ya moja kwa moja (au moja yao) kwenye nafasi mpya kwa kutumia njia inayofanana ya kuhamisha kabla ya kuvuka. Baada ya hapo, unapaswa kupata thamani ya pembe kati ya mistari inayosababisha kukatiza.
Utahitaji
- Mtawala, pembetatu ya kulia, penseli, protractor.
Maagizo
Kwa hivyo, wacha vector V \u003d (a, b, c) na ndege A x + B y + C z \u003d 0 itolewe, ambapo A, B na C ni uratibu wa kawaida N. Kisha cosine ya pembe α kati ya vector V na N ni sawa na: сos α \u003d (A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Ili kuhesabu thamani ya pembe kwa digrii au radians, unahitaji kuhesabu kazi inverse kwa cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. arccosine: α \u003d arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Mfano: pata pembe kati vector (5, -3, 8) na ndegeiliyotolewa na equation ya jumla 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0 Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N \u003d (2, -5, 3). Badili maadili yote yanayojulikana katika fomula iliyo hapo juu: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / -3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.
Video Zinazohusiana
Mstari wa moja kwa moja ambao una nukta moja sawa na duara ni laini kwa duara. Kipengele kingine cha tangent ni kwamba kila wakati ni sawa na eneo linalopatikana kwa ncha tangent, ambayo ni kwamba, tangent na radius huunda laini moja kwa moja. pembe... Ikiwa kutoka hatua moja Tangents mbili hutolewa kwenye mduara AB na AC, basi kila wakati ni sawa kila mmoja. Kuamua pembe kati ya tangents ( pembe ABC) hutengenezwa kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.
Maagizo
Kuamua pembe, unahitaji kujua eneo la mduara OB na OS na umbali wa mahali pa asili ya tangent kutoka katikati ya mduara - O. Kwa hivyo, pembe za ABO na ACO ni sawa, eneo la OB, kwa mfano, cm 10, na umbali wa katikati ya duara AO ni cm 15. Tambua urefu wa tangent kando ya duara. fomula kulingana na nadharia ya Pythagorean: AB \u003d mzizi wa mraba wa AO2 - OB2 au 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;