Utafiti wa kitu kama hicho cha uchambuzi wa kihesabu kama kazi ina kubwa thamani na katika nyanja zingine za sayansi. Kwa mfano, katika uchambuzi wa uchumi, unahitaji kila mara kutathmini tabia kazi faida, ambayo ni kuamua kubwa zaidi thamani na kuandaa mkakati wa kuifanikisha.
Maagizo
Utafiti wa tabia ya mtu yeyote unapaswa kuanza kila wakati na kupata uwanja. Kawaida, kulingana na hali ya kazi maalum, inahitajika kuamua kubwa zaidi thamani kazi ama juu ya eneo hili lote, au kwa muda maalum na mipaka iliyo wazi au iliyofungwa.
Kulingana na, kubwa ni thamani kazi y (x0), ambayo ukosefu wa usawa y (x0) (y (x) (х ≠ x0) unashikilia kwa hatua yoyote ya kikoa cha ufafanuzi. Kwa kielelezo, hatua hii itakuwa ya juu zaidi ikiwa utapanga maadili ya hoja kwenye mhimili wa abscissa, na kazi yenyewe kando ya mhimili uliowekwa.
Kuamua kubwa zaidi thamani kazi, fuata algorithm ya hatua tatu. Kumbuka kuwa lazima uweze kufanya kazi kwa njia moja na, na pia uhesabu derivative. Kwa hivyo, wacha kazi fulani y (x) ipewe na inahitajika kupata kubwa zaidi thamani kwa muda fulani na maadili ya mpaka A na B.
Tafuta ikiwa muda huu uko ndani ya wigo kazi... Ili kufanya hivyo, unahitaji kuipata, ukizingatia vizuizi vyote vinavyowezekana: uwepo katika usemi wa sehemu, mizizi ya mraba, n.k. Upeo ni seti ya maadili ya hoja ambayo kazi ina maana. Tambua ikiwa muda uliopewa ni sehemu ndogo yake. Ikiwa ndivyo, nenda kwa hatua inayofuata.
Pata inayotokana kazi na utatue mlingano unaosababishwa kwa kulinganisha derivative na sifuri. Kwa hivyo, unapata maadili ya kile kinachoitwa vituo vya kusimama. Kadiria ikiwa angalau mmoja wao ni wa muda A, B.
Fikiria vidokezo hivi katika hatua ya tatu, badilisha maadili yao kwenye kazi. Fanya hatua zifuatazo za ziada kulingana na aina ya muda. Katika uwepo wa sehemu ya fomu [A, B], alama za mipaka zinajumuishwa katika muda, hii inaonyeshwa na mabano. Hesabu maadili kazi kwa x \u003d A na x \u003d B. Ikiwa muda wazi ni (A, B), maadili ya mpaka yamechomwa, i.e. hazijumuishwa ndani yake. Suluhisha mipaka ya upande mmoja kwa x → A na x → B. Kipindi cha pamoja cha fomu [A, B) au (A, B], moja ya mipaka ambayo ni yake, nyingine haipatikani. Pata kikomo cha upande mmoja kwani x inaelekea kwenye thamani iliyotobolewa, na ubadilishe nyingine kwenye kazi. Kipindi cha pande mbili (-(, + ∞) au vipindi visivyo na kipimo vya upande mmoja wa fomu :, (-∞, B) Kwa mipaka halisi A na B, fanya kulingana na kanuni zilizoonyeshwa tayari, na kwa kuangalia isiyo na kipimo kwa mipaka ya x → -∞ na x → + ∞, mtawaliwa.
Kazi katika hatua hii
Na kuisuluhisha, unahitaji ujuzi mdogo wa mada. Mwaka ujao wa shule unamalizika, kila mtu anataka kwenda likizo, na ili kuleta wakati huu karibu, mimi huingia kwenye biashara mara moja:
Wacha tuanze na eneo hilo. Eneo linalotajwa katika hali hiyo ni mdogo imefungwa seti ya alama za ndege. Kwa mfano, seti ya alama zilizofungwa na pembetatu, pamoja na pembetatu NZIMA (ikiwa ni kutoka mipaka "Gouge" angalau nukta moja, basi eneo hilo litaacha kufungwa)... Katika mazoezi, pia kuna maeneo ya maumbo ya mstatili, pande zote na ngumu zaidi. Ikumbukwe kwamba ufafanuzi mkali hutolewa katika nadharia ya uchambuzi wa hesabu mapungufu, kutengwa, mipaka, nk., lakini nadhani kila mtu anafahamu dhana hizi kwa kiwango cha angavu, na zaidi haihitajiki sasa.
Eneo tambarare linaonyeshwa na barua kama kiwango, na, kama sheria, imewekwa kiuchambuzi - na hesabu kadhaa (sio lazima kuwa na mstari); kukosekana kwa usawa mara nyingi. Mauzo ya kawaida: "eneo lililofungwa, lililofungwa na mistari."
Sehemu muhimu ya kazi inayozingatiwa ni ujenzi wa eneo kwenye kuchora. Jinsi ya kufanya hivyo? Inahitajika kuteka mistari yote iliyoorodheshwa (katika kesi hii, 3 sawa) na uchanganue kile kilichotokea. Eneo linalohitajika kawaida hupigwa kidogo, na mpaka wake unasisitizwa na laini kali: 
Eneo sawa linaweza kuweka na usawa wa usawa:, ambayo kwa sababu fulani mara nyingi huandikwa kama orodha iliyoorodheshwa, na sio mfumo.
Kwa kuwa mpaka ni mali ya mkoa, usawa wote, kwa kweli, kulegea.
Na sasa kiini cha shida. Fikiria mhimili unaotokana na asili moja kwa moja kuelekea kwako. Fikiria kazi ambayo kuendelea kwa kila hatua ya eneo hilo. Grafu ya kazi hii inawakilisha zingine uso, na furaha ndogo iko katika ukweli kwamba kutatua shida ya leo, hatuhitaji kujua jinsi uso huu unavyoonekana. Inaweza kuwa iko juu, chini, ikikatiza ndege - yote haya sio muhimu. Na yafuatayo ni muhimu: kulingana na nadharia za Weierstrass, kuendelea katika imefungwa kidogoeneo, kazi hufikia kiwango cha juu ("wa juu zaidi") na ndogo ("chini kabisa") maadili ambayo unataka kupata. Maadili kama hayo yanapatikana au katika vituo vya stationary, mali ya mkoaD , aukwa alama ambazo ziko kwenye mpaka wa eneo hili. Kutoka kwa kile kinachofuata algorithm rahisi na ya uwazi ya suluhisho:
Mfano 1
Katika eneo lililofungwa fupi
Uamuzi: Kwanza kabisa, unahitaji kuonyesha eneo kwenye kuchora. Kwa bahati mbaya, ni ngumu kwangu kufanya kielelezo cha maingiliano ya shida, na kwa hivyo nitatoa kielelezo cha mwisho, ambacho kinaonyesha alama zote "za tuhuma" zilizopatikana wakati wa utafiti. Kawaida hubandikwa moja baada ya nyingine kama zinavyopatikana: 
Kulingana na utangulizi, ni rahisi kugawanya uamuzi katika alama mbili:
I) Pata alama zilizosimama. Hii ni hatua ya kawaida ambayo tumefanya mara kwa mara kwenye somo. extrema ya anuwai kadhaa:
Imepata hatua ya kusimama ni mali maeneo: (weka alama kwenye kuchora), ambayo inamaanisha kwamba tunapaswa kuhesabu thamani ya kazi wakati huu:
- kama ilivyo katika kifungu hicho Thamani kubwa na ndogo za kazi kwenye sehemu, Nitaangazia matokeo muhimu kwa herufi nzito. Katika daftari ni rahisi kuelezea kwa penseli.
Zingatia furaha yetu ya pili - hakuna maana ya kuangalia hali ya kutosha kwa ukali... Kwa nini? Hata ikiwa kwa wakati kazi hufikia, kwa mfano, kiwango cha chini cha ndani, basi BADO HAINA MAANA kuwa thamani inayosababishwa itakuwa ndogo katika mkoa wote (angalia mwanzo wa somo kuhusu extrema isiyo na masharti) .
Je! Ikiwa mahali pa kusimama sio mali ya eneo hilo? Karibu chochote! Ikumbukwe kwamba na nenda kwenye bidhaa inayofuata.
II) Chunguza mpaka wa mkoa.
Kwa kuwa mpaka una pande za pembetatu, ni rahisi kugawanya utafiti katika vitu vitatu. Lakini ni bora usifanye hivyo. Kwa maoni yangu, mwanzoni ni faida zaidi kuzingatia sehemu zinazofanana na shoka za kuratibu, na kwanza - zikiwa juu ya shoka zenyewe. Ili kupata mlolongo mzima na mantiki ya vitendo, jaribu kusoma mwisho "kwa njia moja":
1) Wacha tushughulikie upande wa chini wa pembetatu. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha moja kwa moja kwenye kazi:
Vinginevyo, unaweza kuipanga kama hii: 
Kijiometri, hii inamaanisha kuwa ndege ya kuratibu (ambayo pia hutolewa na equation) "Sanamu" nje nyuso Parabola "ya anga", vertex ambayo mara moja huwa chini ya tuhuma. Wacha tujue yuko wapi:
- thamani iliyopatikana "hit" eneo hilo, na inaweza kuwa hiyo kwa uhakika (alama kwenye mchoro) kazi hufikia kiwango cha juu au cha chini kabisa katika eneo lote. Njia moja au nyingine, tunafanya mahesabu:
"Wagombea" wengine, kwa kweli, ndio mwisho wa sehemu hiyo. Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwa alama 
(alama kwenye mchoro):
Hapa, kwa njia, unaweza kufanya uchunguzi wa maneno kwa kutumia toleo la "kupigwa chini": 
2) Kusoma upande wa kulia wa pembetatu, tunaibadilisha na kazi na "kuweka mambo sawa huko":
Hapa tutafanya ukaguzi mbaya mara moja, "tukipiga" mwisho wa sehemu tayari:
, vizuri.
Hali ya kijiometri inahusiana na hatua ya awali:
- thamani iliyopatikana pia "imejumuishwa katika nyanja ya masilahi yetu", ambayo inamaanisha kuwa tunahitaji kuhesabu ni nini kazi hiyo ni sawa na mahali paonekana:
Wacha tuchunguze mwisho wa pili wa sehemu:
Kutumia kazi 
, wacha tuchunguze: 
3) Labda kila mtu anajua jinsi ya kuchunguza upande uliobaki. Tunabadilisha katika kazi na tunarahisisha:
Sehemu inaisha 
tayari tumeshachunguzwa, lakini kwenye rasimu bado tunaangalia ikiwa tumepata kazi kwa usahihi 
:
- sanjari na matokeo ya kifungu cha 1;
- sanjari na matokeo ya kifungu cha 2.
Inabakia kujua ikiwa kuna kitu cha kupendeza ndani ya sehemu:
- kuna! Kuingiza laini moja kwa moja kwenye equation, tunapata upendeleo wa "kupendeza" hii:
Tunatia alama kwenye kuchora na kupata thamani inayolingana ya kazi hiyo:
Wacha tuangalie mahesabu kulingana na toleo la "bajeti" 
:
, kuagiza.
Na hatua ya mwisho: KWA HAKIKA tunatazama nambari zote za "mafuta", ninapendekeza kwamba Kompyuta hata ziandike orodha moja 
ambayo tunachagua maadili makubwa na madogo. Jibu tunaandika kwa mtindo wa shida ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kwenye sehemu:
Ikiwa tu, nitatoa maoni tena juu ya maana ya kijiometri ya matokeo:
- hapa ndio hatua ya juu kabisa ya uso katika eneo hilo;
Ni eneo la chini kabisa katika eneo hilo.
Katika shida iliyochanganuliwa, tuligundua vidokezo 7 "vya kutiliwa shaka", lakini idadi yao inatofautiana kutoka shida hadi shida. Kwa eneo la pembetatu, kiwango cha chini cha "utafiti uliowekwa" lina alama tatu. Hii hufanyika wakati kazi, kwa mfano, inaweka ndege - ni wazi kabisa kuwa hakuna alama zilizosimama, na kazi inaweza kufikia maadili makubwa / madogo tu kwenye vipeo vya pembetatu. Lakini kuna mifano mingi mara moja au mbili - kawaida lazima ushughulike na zingine uso wa mpangilio wa 2.
Ikiwa utatatua kazi hizo kidogo, pembetatu zinaweza kukufanya kichwa chako kigeuke, na kwa hivyo nimekuandalia mifano isiyo ya kawaida kuifanya iwe mraba :))
Mfano 2
Pata maadili na kazi ndogo zaidi 
katika eneo lililofungwa lililofungwa na mistari
Mfano 3
Pata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi katika eneo lililofungwa lililofungwa.
Zingatia haswa agizo la busara na ufundi wa kuchunguza mpaka wa mkoa, na vile vile kwa mlolongo wa hundi za kati, ambazo zitaepuka kabisa makosa ya kihesabu. Kwa ujumla, unaweza kuitatua kama unavyopenda, lakini katika shida zingine, kwa mfano, katika Mfano huo huo wa 2, kuna kila nafasi ya kutatanisha maisha yako. Mfano wa takriban kumaliza kazi katika mwisho wa somo.
Wacha tuweke utaratibu wa suluhisho la suluhisho, vinginevyo, na bidii yangu kama buibui, kwa namna fulani ilipotea kwenye uzi mrefu wa maoni kutoka kwa mfano wa 1:
- Katika hatua ya kwanza, tunaunda eneo, ni muhimu kuifunika, na kuonyesha mpaka na laini. Wakati wa suluhisho, alama zitaonekana ambazo zinahitaji kuwekwa kwenye kuchora.
- Pata alama zilizosimama na uhesabu maadili ya kazi tu katika hizoambayo ni ya eneo hilo. Tunachagua maadili yaliyopatikana katika maandishi (kwa mfano, tunaelezea kwa penseli). Ikiwa mahali pa kusimama SI mali ya mkoa huo, basi tunaashiria ukweli huu na ikoni au kwa maneno. Ikiwa hakuna alama zilizosimama kabisa, basi tunatoa hitimisho lililoandikwa kwamba hawapo. Kwa hali yoyote, kipengee hiki hakiwezi kurukwa!
Wacha tuchunguze mpaka wa eneo hilo. Kwanza, ni faida kushughulika na mistari iliyonyooka ambayo ni sawa na shoka za uratibu (ikiwa ipo)... Tunaangazia pia maadili ya kazi iliyohesabiwa kwenye alama "za tuhuma". Mengi yamesemwa hapo juu juu ya mbinu ya suluhisho na kitu kingine kitasemwa hapa chini - soma, soma tena, chunguza!
- Kutoka kwa nambari zilizochaguliwa, chagua maadili makubwa na madogo na upe jibu. Wakati mwingine hufanyika kwamba kazi hufikia maadili kama haya kwa alama kadhaa mara moja - katika kesi hii, alama hizi zote zinapaswa kuonyeshwa katika jibu. Wacha, kwa mfano, 
na ikawa thamani ndogo zaidi. Kisha tunaandika hiyo
Mifano ya mwisho imejitolea kwa maoni mengine muhimu ambayo yatasaidia katika mazoezi:
Mfano 4
Pata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi katika eneo lililofungwa 
.
Nimeweka uundaji wa mwandishi, ambayo mkoa huo umepewa kama usawa mara mbili. Hali hii inaweza kuandikwa na mfumo sawa au kwa fomu ya jadi zaidi kwa shida hii: 
Nakumbusha kwamba tangu isiyo ya kawaida usawa tuliokutana nao, na ikiwa hauelewi maana ya kijiometri ya notation, basi tafadhali usiahirishe na kufafanua hali hiyo hivi sasa ;-)
Uamuzi, kama kawaida, huanza na kujenga eneo, ambalo ni aina ya "pekee": 
Hmm, wakati mwingine inabidi ugune sio tu granite ya sayansi….
I) Pata vidokezo vya kusimama: 
Ndoto ya mfumo-mpumbavu :) 
Sehemu ya kusimama ni ya mkoa huo, ambayo iko kwenye mpaka wake.
Na kwa hivyo, ni, hakuna ... somo lilikwenda kwa furaha - ndivyo inamaanisha kunywa chai sahihi \u003d)
II) Chunguza mpaka wa mkoa. Bila ado zaidi, wacha tuanze na abscissa:
1) Ikiwa, basi
Wacha tutafute mahali vertex ya parabola iko:
- thamini wakati kama huo - "piga" sawa wakati ambapo kila kitu tayari kiko wazi. Lakini usisahau kuhusu kuangalia: 
Wacha tuhesabu maadili ya kazi mwisho wa sehemu: 
2) Tutashughulika na sehemu ya chini ya "pekee" katika kikao kimoja "- bila magumu yoyote tunaibadilisha na kazi, zaidi ya hayo, tutavutiwa tu na sehemu hiyo:
Udhibiti:
Hii tayari inaleta uamsho kwa uendeshaji wa kupendeza kwenye wimbo uliofungwa. Wacha tupate alama muhimu:
Tunatatua equation ya quadratic, unakumbuka hii zaidi? ... Walakini, kumbuka, kwa kweli, vinginevyo usingekuwa umesoma mistari hii \u003d) Ikiwa katika hesabu za mifano miwili iliyopita katika sehemu ndogo zilikuwa rahisi (ambazo, kwa njia, ni nadra), hapa tunasubiri sehemu ndogo za kawaida. Tunapata mizizi ya "x" na tunatumia equation kuamua kuratibu zinazofanana za "mchezo" wa alama za "mgombea": 
Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye sehemu zilizopatikana: 
Angalia kazi mwenyewe.
Sasa tunasoma kwa uangalifu nyara zilizoshinda na kuandika jibu:
Hawa ni "wagombea", kwa hivyo "wagombea"!
Kwa suluhisho la kujitegemea:
Mfano 5
Pata maadili madogo na makubwa ya kazi 
katika eneo lililofungwa 
Kuingia na braces zilizopindika husomeka kama hii: "vidokezo vingi, vile vile".
Wakati mwingine katika mifano kama hiyo hutumia njia ya kuzidisha ya Lagrange, lakini hitaji halisi la kuitumia haliwezekani kutokea. Kwa hivyo, kwa mfano, ikiwa kazi imepewa na kikoa sawa "de", basi baada ya kuibadilisha - bila ya shida yoyote; zaidi ya hayo, kila kitu kimetengenezwa "katika mstari mmoja" (na ishara) bila hitaji la kuzingatia semicircles za juu na chini kando. Lakini, kwa kweli, pia kuna kesi ngumu zaidi ambapo, bila kazi ya Lagrange (ambapo, kwa mfano, usawa sawa wa mduara) ni ngumu kusimamia - ni ngumuje kufanya bila kupumzika vizuri!
Ni vizuri kila mtu kupitisha kikao na kukuona hivi karibuni msimu ujao!
Suluhisho na Majibu:
Mfano 2: Uamuzi: onyesha eneo kwenye mchoro:
Ukurasa wa 1
Ukweli wa nadharia:
Mraba trinomial \u003d ax2 + bx + c ina thamani kubwa iliyochukuliwa na hiyo kwa
Thamani hii inageuka kuwa ndogo ikiwa\u003e 0, na kubwa ikiwa a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
# 1. Ondoa nambari chanya iliyopewa A kwa maneno mawili ili bidhaa yao iwe kubwa zaidi.
Uamuzi. Wacha tuonyeshe moja ya masharti yanayotakiwa na x Kisha kipindi cha pili kitakuwa sawa na A - x, na bidhaa zao 
au. 
Kwa hivyo, swali lilipelekwa kupata thamani kama hiyo ya x, ambayo mraba huu utapata thamani kubwa zaidi. Kulingana na Theorem 4, thamani kama hiyo ipo (kwa sababu hapa mgawo unaoongoza ni sawa na - 1, i.e., hasi) na ni sawa na Katika kesi hii, na kwa hivyo, maneno yote lazima yawe sawa na kila mmoja.
Kwa mfano, nambari 30 inaruhusu upanuzi ufuatao:
Kazi zote zilizopokelewa ni chini ya
# 2. Kuna waya wa urefu L. Inahitajika kuinama ili mstatili upatikane, ukipunguza eneo kubwa zaidi.
Uamuzi. Wacha tuashiria (Mtini. 1) moja ya pande za mstatili kupitia x. Halafu, ni wazi, upande wake mwingine utakuwa 
au 
... Kazi hii inachukua thamani yake kubwa, ambayo itakuwa thamani inayotarajiwa ya pande moja ya mstatili. Kisha upande wake mwingine utakuwa, ambayo ni, mstatili wetu unageuka kuwa mraba. Suluhisho lililopatikana la shida linaweza kufupishwa kwa njia ya nadharia ifuatayo.
Kati ya mstatili wote ambao una mzunguko sawa, mraba una eneo kubwa zaidi.
Maoni.
Shida yetu pia ni rahisi kutatua kwa kutumia matokeo yaliyopatikana katika kutatua shida 1.
Hakika, tunaona kwamba eneo la mstatili wa kupendeza kwetu ni Kwa maneno mengine, kuna bidhaa ya sababu mbili x na Lakini jumla ya mambo haya ni 
, t. Hiyo ni, idadi ambayo haitegemei uchaguzi wa x. Hii inamaanisha kuwa jambo limepunguzwa hadi kuharibika kwa nambari kwa maneno mawili ili bidhaa yao iwe kubwa zaidi. Kama tunavyojua, bidhaa hii itakuwa kubwa zaidi wakati maneno yote ni sawa, i.e.
Nambari 3. Kutoka kwa bodi zilizopo, unaweza kujenga uzio urefu wa mita 200. Inahitajika kufunika ua wa mstatili wa eneo kubwa na uzio huu, ukitumia ukuta wa kiwanda kwa upande mmoja wa ua.
kazi ya nadharia ya trinomial
Uamuzi. Wacha tuashiria (Mtini. 2) moja ya pande za yadi kupitia x. Kisha upande wake mwingine utakuwa sawa na eneo lake litakuwa
Kulingana na nadharia, dhamana kubwa zaidi ya kazi hii inapatikana kwa
Kwa hivyo, upande wa yadi, inayoendana na ukuta wa kiwanda, inapaswa kuwa m 50, kutoka kwa upande unaofanana na ukuta, thamani ni 100 m, ambayo ni, yadi inapaswa kuwa na sura ya nusu mraba.
Kwa mtazamo wa vitendo, ya kufurahisha zaidi ni matumizi ya derivative kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi. Sababu ya hii ni nini? Kuongeza faida, kupunguza gharama, uamuzi wa mzigo bora wa vifaa ... Kwa maneno mengine, katika nyanja nyingi za maisha ni muhimu kutatua shida ya uboreshaji wa vigezo vyovyote. Na hizi ni kazi za kutafuta maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi.
Ikumbukwe kwamba dhamana kubwa na ndogo ya kazi kawaida hutafutwa kwa muda fulani X, ambayo ni uwanja wote wa kazi au sehemu ya kikoa. Kipindi cha X yenyewe inaweza kuwa sehemu, muda wazi 
, kipindi kisicho na mwisho.
Katika nakala hii tutazungumza juu ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi iliyopewa wazi ya ubadilishaji mmoja y \u003d f (x).
Urambazaji wa ukurasa.
Thamani ya juu na ya chini kabisa ya kazi - ufafanuzi, vielelezo.
Wacha tukae kwa ufupi juu ya ufafanuzi kuu.
Thamani kubwa zaidi ya kazi 
hiyo kwa yeyote 
usawa ni kweli.
Thamani ndogo zaidi ya kazi y \u003d f (x) kwenye kipindi X inaitwa thamani kama hiyo 
hiyo kwa yeyote usawa ni kweli.
Ufafanuzi huu ni wa angavu: Thamani kubwa zaidi (ndogo) ya kazi ni kubwa zaidi (ndogo) inayokubalika kwa thamani katika kipindi kinachozingatiwa kwenye abscissa
Vituo vya kusimama Je! Ni maadili ya hoja ambayo chanzo cha kazi hupotea.
Kwa nini tunahitaji vidokezo vya kusimama wakati wa kupata maadili makubwa na madogo? Jibu la swali hili limetolewa na nadharia ya Fermat. Inafuata kutoka kwa nadharia hii kwamba ikiwa kazi inayotofautishwa ina kiwango cha juu (kiwango cha chini cha mitaa au kiwango cha juu cha mitaa) wakati fulani, basi hatua hii imesimama. Kwa hivyo, kazi mara nyingi huchukua dhamana yake kubwa zaidi (ndogo) kwenye muda wa X kwenye moja ya vituo vya kusimama kutoka kwa kipindi hiki.
Pia, mara nyingi, kazi inaweza kuchukua dhamana kubwa na ndogo kwa alama ambapo kipato cha kwanza cha kazi hii haipo, na kazi yenyewe imeainishwa.
Wacha tujibu mara moja moja ya maswali ya kawaida juu ya mada hii: "Je! Inawezekana kila wakati kuamua dhamana kubwa zaidi (ndogo) ya kazi"? Hapana sio kila wakati. Wakati mwingine mipaka ya muda X huambatana na mipaka ya kikoa cha ufafanuzi wa kazi, au muda X hauna mwisho. Na kazi zingine katika ukomo na kwenye mipaka ya kikoa cha ufafanuzi zinaweza kuchukua maadili makubwa na makubwa kidogo. Katika visa hivi, hakuna kitu kinachoweza kusema juu ya kiwango cha juu na cha chini kabisa cha kazi.
Kwa uwazi, tutatoa kielelezo cha picha. Angalia picha na mengi yatakuwa wazi.
Kwenye sehemu
Katika kielelezo cha kwanza, kazi inachukua nambari kubwa zaidi (max y) na ndogo (min y) kwa alama za msimamo ndani ya sehemu [-6; 6].
Fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye takwimu ya pili. Badilisha sehemu iwe. Katika mfano huu, dhamira ndogo zaidi ya kazi hiyo inafanikiwa kwa sehemu iliyosimama, na kubwa zaidi - kwa hatua na abscissa inayolingana na mpaka wa kulia wa kipindi hicho.
Katika Mchoro 3, sehemu za mipaka ya sehemu [-3; 2] ni visukuzi vya vidokezo vinavyolingana na dhamana kubwa na ndogo ya kazi.
Kwa muda wazi
Katika kielelezo cha nne, kazi inachukua nambari kubwa zaidi (max y) na ndogo (min y) kwenye alama za stationary ziko ndani ya muda wazi (-6; 6).
Kwenye muda, hakuna hitimisho linaloweza kutolewa juu ya dhamana kubwa zaidi.
Katika ukomo
Katika mfano ulioonyeshwa kwenye takwimu ya saba, kazi inachukua thamani kubwa zaidi (max y) kwa sehemu ya kusimama na abscissa x \u003d 1, na dhamira ndogo zaidi (min y) hufikiwa kwenye mpaka wa kulia wa muda. Kwa upungufu wa chini, maadili ya njia ya kufanya kazi bila dalili y \u003d 3.
Katika muda, kazi haifikii thamani ndogo au kubwa zaidi. Wakati wa kuchungulia x \u003d 2 upande wa kulia, maadili ya kazi huwa na kutokuwa na mwisho (mstari wa moja kwa moja x \u003d 2 ni alama ya wima), na wakati abscissa inaelekea kutokuwa na mwisho, maadili ya kazi hukaribia y \u003d 3. Kielelezo cha picha ya mfano huu kinaonyeshwa kwenye Mchoro 8.
Algorithm ya kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi inayoendelea kwenye sehemu.
Wacha tuandike algorithm ambayo inatuwezesha kupata dhamana kubwa na ndogo ya kazi kwenye sehemu.
- Pata kikoa cha kazi na angalia ikiwa ina sehemu nzima.
- Tunapata vidokezo vyote ambavyo asili ya kwanza haipo na ambayo iko kwenye sehemu (kawaida alama kama hizo hupatikana katika kazi na hoja chini ya ishara ya moduli na katika kazi za nguvu na sehemu ya busara ya busara). Ikiwa hakuna alama kama hizo, nenda kwenye bidhaa inayofuata.
- Tambua alama zote zilizosimama ambazo zinaanguka kwenye sehemu. Ili kufanya hivyo, tunaihesabu kuwa sifuri, tatua usawa unaosababishwa na uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hakuna alama zilizosimama au hakuna hata moja inayoanguka kwenye sehemu, kisha nenda kwenye kitu kingine.
- Tunahesabu maadili ya kazi kwenye sehemu zilizosimama za stationary (ikiwa ipo), kwenye sehemu ambazo kipato cha kwanza haipo (ikiwa ipo), na pia x \u003d a na x \u003d b.
- Kutoka kwa maadili yaliyopatikana ya kazi hiyo, tunachagua kubwa zaidi na ndogo - zitakuwa maadili yanayotarajiwa ya ukubwa na ndogo ya kazi, mtawaliwa.
Wacha tuchambue algorithm wakati wa kusuluhisha mfano wa kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi kwenye sehemu.
Mfano.
Pata thamani kubwa zaidi na ndogo ya kazi
- kwenye sehemu;
- kwenye sehemu [-4; -1].
Uamuzi.
Kikoa cha kazi ni seti nzima ya nambari halisi, isipokuwa sifuri, ambayo ni. Sehemu zote mbili zinaanguka ndani ya eneo la ufafanuzi.
Pata kipato cha kazi kwa heshima na: 
Kwa wazi, derivative ya kazi ipo katika sehemu zote za sehemu na [-4; -1].
Pointi za kusimama zimedhamiriwa kutoka kwa equation. Mzizi halali tu ni x \u003d 2. Sehemu hii ya kusimama iko kwenye sehemu ya kwanza.
Kwa kesi ya kwanza, tunahesabu maadili ya kazi mwisho wa sehemu na kwa sehemu ya kusimama, ambayo ni, kwa x \u003d 1, x \u003d 2 na x \u003d 4: 
Kwa hivyo, dhamana kubwa zaidi ya kazi 
inapatikana kwa x \u003d 1, na thamani ndogo zaidi 
- kwa x \u003d 2.
Kwa kesi ya pili, tunahesabu maadili ya kazi tu mwisho wa sehemu [-4; -1] (kwani haina sehemu moja tu ya msimamo): 
Wakati mwingine shida B15 hupata kazi "mbaya" ambayo ni ngumu kupata inayotokana. Hapo awali, hii ilikuwa kwenye uchunguzi tu, lakini sasa majukumu haya ni ya kawaida sana kwamba hayawezi kupuuzwa tena wakati wa kujiandaa kwa mtihani halisi.
Katika kesi hii, ujanja mwingine hufanya kazi, moja ambayo ni - monotoni.
Kazi f (x) inaitwa kuongezeka kwa monotiki kwenye sehemu ikiwa zifuatazo zinashikilia alama yoyote x 1 na x 2 ya sehemu hii:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Kazi f (x) inaitwa kupungua kwa monotoni kwenye sehemu ikiwa kwa alama yoyote x 1 na x 2 ya sehemu hii yafuatayo ni kweli:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1\u003e f ( x 2).
Kwa maneno mengine, kwa kazi inayoongezeka, kubwa x, kubwa f (x). Kwa kazi inayopungua, kinyume ni kweli: kubwa x, the chini f (x).
Kwa mfano, logarithm huongezeka kimonetiki ikiwa msingi a\u003e 1, na hupungua kwa monotiki ikiwa 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) \u003d logi x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)
Mraba wa hesabu (na sio mraba tu) huongezeka kihemko juu ya uwanja wote:
Kazi ya ufafanuzi hufanya sawa na logarithm: inakua kwa\u003e 1 na inapungua kwa 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) \u003d x (a\u003e 0)
Mwishowe, waonyeshaji hasi. Unaweza kuziandika kama sehemu. Kuwa na hatua ya kukomesha ambayo monotony imevunjwa.
Kazi hizi zote hazipatikani katika fomu yao safi. Wanaongeza polynomials, sehemu ndogo na upuuzi mwingine, kwa sababu ambayo inakuwa ngumu kuhesabu derivative. Kinachotokea katika kesi hii - sasa tutachambua.
Uratibu wa parabola vertex
Mara nyingi, hoja ya kazi hubadilishwa na mraba tatu ya fomu y \u003d shoka 2 + bx + c. Grafu yake ni parabola ya kawaida ambayo tunavutiwa nayo:
- Matawi ya Parabola - yanaweza kwenda juu (kwa\u003e 0) au chini (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Vertex ya parabola ni hatua ya mwisho ya kazi ya quadratic ambayo kazi hii inachukua ndogo zaidi (kwa\u003e 0) au kubwa zaidi (a< 0) значение.
Ya kuvutia zaidi ni haswa kilele cha parabola, abscissa ambayo inahesabiwa na fomula:
Kwa hivyo, tumepata kiwango cha mwisho cha kazi ya quadratic. Lakini ikiwa kazi ya asili ni monotonic, kwa maana hiyo nambari x 0 pia itakuwa hatua ya mwisho. Kwa hivyo, tutatunga sheria muhimu:
Sehemu za mwisho za utatu wa utatu na kazi ngumu inayoingia sanjari. Kwa hivyo, unaweza kutafuta x 0 kwa mraba wa mraba, na upate alama kwenye kazi.
Kutoka kwa hoja hiyo hapo juu, bado haijulikani ni hatua ipi tunayopata: kiwango cha juu au kiwango cha chini. Walakini, kazi hizo zimeundwa mahsusi ili iwe haijalishi. Jaji mwenyewe:
- Hakuna sehemu katika taarifa ya shida. Kwa hivyo, hauitaji kuhesabu f (a) na f (b). Inabaki kuzingatia tu alama za mwisho;
- Lakini kuna hatua moja tu kama hii - hii ni vertex ya parabola x 0, uratibu ambao umehesabiwa kwa njia ya mdomo na bila derivatives yoyote.
Kwa hivyo, suluhisho la shida limerahisishwa sana na inakuja kwa hatua mbili tu:
- Andika usawa wa parabola y \u003d shoka 2 + bx + c na upate vertex yake kwa fomula: x 0 \u003d −b / 2a;
- Pata thamani ya kazi ya asili wakati huu: f (x 0). Ikiwa hakuna hali ya ziada, hii itakuwa jibu.
Kwa mtazamo wa kwanza, algorithm hii na mantiki yake inaweza kuonekana kuwa ngumu. Kwa makusudi siandiki mpango wa suluhisho "wazi", kwani utumiaji wa sheria kama hizo umejaa makosa.
Fikiria shida halisi kutoka kwa jaribio la jaribio katika hesabu - hapa ndipo mbinu hii inakutana mara nyingi. Wakati huo huo, tutahakikisha kwamba kwa njia hii majukumu mengi ya B15 huwa karibu ya maneno.
Chini ya mzizi kuna kazi ya quadratic y \u003d x 2 + 6x + 13. Grafu ya kazi hii ni parabola iliyo na matawi juu, kwani mgawo a \u003d 1\u003e 0.
Kitambulisho cha parabola:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6/2 \u003d -3
Kwa kuwa matawi ya parabola yameelekezwa juu, kwa uhakika x 0 \u003d -3 kazi y \u003d x 2 + 6x + 13 inachukua dhamani ndogo zaidi.
Mzizi huongezeka kwa monotonically, kwa hivyo x 0 ndio hatua ya chini ya kazi nzima. Tuna:
Kazi. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi:
y \u003d kumbukumbu 2 (x 2 + 2x + 9)
Chini ya logarithm, kuna tena kazi ya quadratic: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafu ni parabola iliyo na matawi juu, kwani a \u003d 1\u003e 0.
Kitambulisho cha parabola:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d −2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Kwa hivyo, kwa uhakika x 0 \u003d -1 kazi ya quadratic inachukua dhamana ndogo. Lakini kazi y \u003d logi 2 x ni monotonic, kwa hivyo:
y min \u003d y (-1) \u003d kumbukumbu 2 ((−1) 2 + 2 (-1) + 9) \u003d ... \u003d kumbukumbu 2 8 \u003d 3
Kielelezo kina kazi ya quadratic y \u003d 1 - 4x - x 2. Wacha tuiandike tena katika hali yake ya kawaida: y \u003d −x 2 - 4x + 1.
Kwa wazi, grafu ya kazi hii ni parabola, matawi chini (a \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 (−1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d −2
Kazi ya asili ni ya ufafanuzi, ni monotonic, kwa hivyo dhamana kubwa itakuwa katika hatua inayopatikana x 0 \u003d -2:
Msomaji makini atagundua kuwa hatukuandika anuwai ya maadili halali ya mzizi na logarithm. Lakini hii haikuhitajika: ndani kuna kazi ambazo maadili yake huwa mazuri kila wakati.
Matokeo kutoka kikoa cha kazi
Wakati mwingine kupata vertex ya parabola haitoshi kutatua Tatizo B15. Thamani inayotarajiwa inaweza kusema uwongo mwisho wa sehemu, lakini sio mahali pa mwisho. Ikiwa hakuna sehemu iliyoainishwa katika shida kabisa, angalia anuwai ya maadili halali kazi ya asili. Yaani:
Kumbuka tena: sifuri inaweza kuwa chini ya mzizi, lakini kamwe kwenye logarithm au dhehebu la sehemu. Wacha tuone jinsi hii inafanya kazi na mifano maalum:
Kazi. Pata thamani kubwa zaidi ya kazi:
Chini ya mzizi tena kuna kazi ya quadratic: y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafu yake ni parabola, lakini matawi kwenda chini, kwani a \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Tunaandika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa (ODZ):
3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Sasa wacha tupate kipeo cha parabola:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 (−1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1
Hoja x 0 \u003d -1 ni ya sehemu ya ODZ - na hii ni nzuri. Sasa tunahesabu thamani ya kazi katika hatua x 0, na vile vile kwenye mwisho wa ODZ:
y (-3) \u003d y (1) \u003d 0
Kwa hivyo, tulipata nambari 2 na 0. Tunaulizwa kupata kubwa zaidi - hii ndiyo nambari 2.
Kazi. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi:
y \u003d logi 0.5 (6x - x 2-5)
Ndani ya logarithm kuna kazi ya quadratic y \u003d 6x - x 2 - 5. Hii ni parabola iliyo na matawi chini, lakini hakuwezi kuwa na nambari hasi kwenye logarithm, kwa hivyo tunaandika ODZ:
6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Kumbuka: usawa ni mkali, kwa hivyo mwisho sio wa ODZ. Hii ndio jinsi logarithm inatofautiana na mzizi, ambapo miisho ya sehemu hiyo inafaa kwetu.
Tunatafuta juu ya parabola:
x 0 \u003d −b / (2a) \u003d -6 / (2 (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3
Vertex ya parabola inafaa kwa ODV: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Lakini kwa kuwa hatupendezwi na mwisho wa sehemu hiyo, tunazingatia thamani ya kazi hiyo kwa uhakika x 0:
y min \u003d y (3) \u003d logi 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) \u003d logi 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d logi 0.5 4 \u003d −2