Štvorcový trojčlen sa nazýva polynóm tvaru sekera 2 +bx +c, Kde X- variabilný, a,b,c– nejaké čísla a a ≠ 0.
Koeficient A volal seniorský koeficient, c – voľný člen kvadratická trojčlenka.
Príklady kvadratických trinomov:
2 x 2 + 5x+4(Tu a = 2, b = 5, c = 4)
x 2 – 7 x + 5(Tu a = 1, b = -7, c = 5)
9x 2 + 9x – 9(Tu a = 9, b = 9, c = -9)
Koeficient b alebo koeficient c alebo sa oba koeficienty môžu rovnať nule súčasne. Napríklad:
5 x 2 + 3X(Tua = 5,b = 3,c = 0, takže v rovnici nie je žiadna hodnota pre c).
6x 2 – 8 (Tua = 6, b = 0, c = -8)
2x2(Tua = 2, b = 0, c = 0)
Hodnota premennej, pri ktorej polynóm zaniká, sa nazýva koreň polynómu.
Nájsť korene kvadratického trinomusekera 2 +
bx +
c, musíme to prirovnať k nule -
teda vyriešiť kvadratickú rovnicusekera 2 +
bx +
c = 0 (pozri časť „Kvadratická rovnica“).
Rozdelenie kvadratického trinomu
Príklad:
Rozložme trojčlenku 2 na faktor X 2 + 7x – 4.
Vidíme: koeficient A = 2.
Teraz poďme nájsť korene trojčlenky. Aby sme to dosiahli, vyrovnáme sa nule a vyriešime rovnicu
2X 2 + 7x – 4 = 0.
Ako vyriešiť takúto rovnicu - pozri v časti „Vzorce koreňov kvadratická rovnica. Diskriminačný." Tu hneď uvedieme výsledok výpočtov. Naša trojčlenka má dva korene:
x 1 = 1/2, x 2 = –4.
Dosadíme hodnoty koreňov do nášho vzorca, pričom hodnotu koeficientu vyberieme zo zátvoriek A a dostaneme:
2x 2 + 7x – 4 = 2 (x – 1/2) (x + 4).
Získaný výsledok je možné zapísať inak vynásobením koeficientu 2 binomom X – 1/2:
2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).
Problém je vyriešený: trojčlen sa rozkladá na faktor.
Takéto rozšírenie možno získať pre každý kvadratický trinom, ktorý má korene.
POZOR!
Ak je diskriminant kvadratického trinomu nula, tak tento trinom má jeden koreň, ale pri rozklade trinomu sa tento koreň berie ako hodnota dvoch koreňov - teda ako rovnaká hodnota X 1 aX 2 .
Napríklad trojčlen má jeden koreň rovný 3. Potom x 1 = 3, x 2 = 3.
Štvorcová TROJKA III
§ 54. Rozklad kvadratickej trojčlenky na lineárne činitele
V tejto časti zvážime nasledujúcu otázku: v akom prípade ide o kvadratický trinom sekera 2 + bx + c môže byť reprezentovaný ako produkt
(a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2)
dve lineárne relatívne X multiplikátory s reálnymi koeficientmi a 1 , b 1 , a 2 , b 2 (a 1 =/=0, a 2 =/=0) ?
1. Predpokladajme, že daný kvadratický trojčlen sekera 2 + bx + c predstavme si to vo forme
sekera 2 + bx + c = (a 1 x+b 1) (a 2 x+b 2). (1)
Pravá časť vzorec (1) zmizne, keď X = - b 1 / a 1 a X = - b 2 / a 2 (a 1 a a 2 sa podľa podmienky nerovnajú nule). Ale v tomto prípade ide o čísla b 1 / a 1 a - b 2 / a 2 sú korene rovnice
sekera 2 + bx + c = 0.
Preto diskriminant kvadratického trinomu sekera 2 + bx + c musí byť nezáporné.
2. Predpokladajme naopak, že diskriminant D = b 2 - 4ac kvadratická trojčlenka sekera 2 + bx + c nezáporné. Potom má táto trojčlenka skutočné korene X 1 a X 2. Pomocou Vietovej vety dostaneme:
sekera 2 + bx + c =A (X 2 + b / a X + c / a ) = A [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =
= A [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = A [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =
=a (X - X 1)(X - X 2).
sekera 2 + bx + c = a (X - X 1)(X - X 2), (2)
Kde X 1 a X 2 - korene trojčlenky sekera 2 + bx + c . Koeficient A možno pripísať jednému z dvoch lineárnych faktorov, napr.
a (X - X 1)(X - X 2) = (ach - sekera 1)(X - X 2).
To však znamená, že v posudzovanom prípade štvorcovú trojčlenku sekera 2 + bx + c predstavujú ho ako súčin dvoch lineárnych faktorov s reálnymi koeficientmi.
Spojením výsledkov získaných v odsekoch 1 a 2 dospejeme k nasledujúcej vete.
Veta. Štvorcový trojčlen sekera 2 + bx + c vtedy a až potom možno reprezentovať ako súčin dvoch lineárnych faktorov s reálnymi koeficientmi,
sekera 2 + bx + c = (ach - sekera 1)(X - X 2),
keď je diskriminant tohto kvadratického trinómu nezáporný (to znamená, keď má tento trinóm skutočné korene).
Príklad 1. Lineárny faktorizácia 6 X 2 - X -1.
Korene tohto kvadratického trinomu sú rovnaké X 1 = 1/2 a X 2 = - 1 / 3 .
Preto podľa vzorca (2)
6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).
Príklad 2. Lineárna faktorizácia X 2 + X + 1. Diskriminant tohto kvadratického trinomu je záporný:
D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.
Preto tento kvadratický trinom nemôže byť rozšírený na lineárne faktory s reálnymi koeficientmi.
Cvičenia
Rozložte nasledujúce výrazy do lineárnych faktorov (č. 403 - 406):
403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.
404. 2X 2 - 7Oh + 6A 2 . 406. X 2 - 3Oh + 2A 2 - ab - b 2 .
Zmenšiť zlomky (č. 407, 408):
Riešte rovnice:
Rozdelenie kvadratického trinomu môže byť užitočné pri riešení nerovností z úlohy C3 alebo úlohy s parametrom C5. Tiež veľa slovných úloh B13 bude vyriešených oveľa rýchlejšie, ak poznáte Vietovu vetu.
Túto vetu, samozrejme, možno posudzovať z pohľadu 8. ročníka, v ktorom sa vyučuje po prvýkrát. Ale našou úlohou je dobre sa pripraviť na Jednotnú štátnu skúšku a naučiť sa čo najefektívnejšie riešiť skúšobné úlohy. Preto sa v tejto lekcii uvažuje o mierne odlišnom prístupe ako v školskom.
Vzorec pre korene rovnice pomocou Vietovej vety Mnoho ľudí vie (alebo aspoň videlo):
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
kde `a, b` a `c` sú koeficienty kvadratického trinomu `ax^2+bx+c`.
Aby sme sa naučili, ako jednoducho používať vetu, pochopme, odkiaľ pochádza (v skutočnosti to uľahčí zapamätanie).
Majme rovnicu `ax^2+ bx+ c = 0`. Pre väčšie pohodlie ho vydeľte `a` a získajte `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Taká rovnica sa nazýva redukovaná kvadratická rovnica.
Dôležitá myšlienka lekcie: každý kvadratický polynóm, ktorý má korene, môže byť rozšírený do zátvoriek. Predpokladajme, že náš môže byť reprezentovaný ako `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, kde `k` a ` l` - niektoré konštanty.
Pozrime sa, ako sa otvárajú zátvorky:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Teda `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
To sa mierne líši od klasickej interpretácie Vietov teorém- v nej hľadáme korene rovnice. Navrhujem hľadať podmienky zátvorkový rozklad- týmto spôsobom si nemusíte pamätať mínus zo vzorca (čo znamená `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Stačí vybrať dve také čísla, ktorých súčet sa rovná priemernému koeficientu a súčin sa rovná voľnému termínu.
Ak potrebujeme riešenie rovnice, potom je to zrejmé: korene `x=-k` alebo `x=-l` (pretože v týchto prípadoch bude jedna zo zátvoriek nula, čo znamená, že celý výraz bude nula ).
Ukážem vám algoritmus ako príklad: Ako rozšíriť kvadratický polynóm do zátvoriek.
Príklad jedna. Algoritmus na faktorizáciu kvadratického trinomu
Cesta, ktorú máme, je kvadrantový trinom `x^2+5x+4`.
Zníži sa (koeficient `x^2` rovný jednej). Má korene. (Pre istotu môžete odhadnúť diskriminant a uistiť sa, že je väčší ako nula.)
Ďalšie kroky (musíte sa ich naučiť po dokončení všetkých výcvikové úlohy):
- Vyplňte nasledujúci záznam: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Namiesto bodiek nechajte voľné miesto, pridáme tam vhodné čísla a znamenia.
- Zobraziť všetky možné možnosti, ako môžete rozložiť číslo `4` na súčin dvoch čísel. Dostaneme dvojice „kandidátov“ na korene rovnice: „2, 2“ a „1, 4“.
- Zistite, z ktorého páru môžete získať priemerný koeficient. Je zrejmé, že je to „1, 4“.
- Napíšte $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Ďalším krokom je umiestnenie značiek pred vložené čísla.
Ako pochopiť a navždy si zapamätať, aké znaky by sa mali objaviť pred číslami v zátvorkách? Skúste ich otvoriť (zátvorky). Koeficient pred `x` k prvej mocnine bude `(± 4 ± 1)` (zatiaľ nepoznáme znamienka – musíme si vybrať) a mal by sa rovnať `5`. Je zrejmé, že budú dve plusy $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Vykonajte túto operáciu niekoľkokrát (ahoj, tréningové úlohy!) a viac problémov toto sa nikdy nestane.
Ak potrebujete vyriešiť rovnicu `x^2+5x+4`, riešenie teraz nebude ťažké. Jeho korene sú `-4, -1`.
Príklad dva. Faktorizácia kvadratického trinomu s koeficientmi rôznych znamienok
Musíme vyriešiť rovnicu `x^2-x-2=0`. Offhand, diskriminant je pozitívny.
Postupujeme podľa algoritmu.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Existuje len jeden rozklad dvoch na celočíselné faktory: `2 · 1`.
- Pointu preskočíme – nie je z čoho vyberať.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Súčin našich čísel je záporný (`-2` je voľný termín), čo znamená, že jedno z nich bude záporné a druhé kladné.
Keďže ich súčet sa rovná „-1“ (koeficient „x“), potom bude „2“ záporné (intuitívne vysvetlenie je, že dve sú väčšie z dvoch čísel, bude „ťahať“ výraznejšie negatívna stránka). Získame $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1). $$
Tretí príklad. Rozdelenie kvadratického trinomu
Rovnica je `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Faktorizácia 84 na celočíselné faktory: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
- Keďže potrebujeme, aby rozdiel (alebo súčet) čísel bol 5, je vhodná dvojica `7, 12`.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x\quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Nádej, rozšírenie tohto kvadratického trinomu do zátvoriek To je jasné.
Ak potrebujete riešenie rovnice, tu je: `12, -7`.
Tréningové úlohy
Dám do pozornosti niekoľko príkladov, ktoré sú jednoduché sú riešené pomocou Vietovej vety.(Príklady prevzaté z časopisu "Mathematics", 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Pár rokov po napísaní článku sa objavila zbierka 150 úloh na rozšírenie kvadratického polynómu pomocou Vietovej vety.
Lajkujte a pýtajte sa v komentároch!
Vypracovanie otvorenej hodiny
algebra v 8. ročníku
na tému: „Štvorcový trojčlen. Faktorizácia kvadratického trinomu."
Učiteľ matematiky, SOŠ KSU č.16, Karaganda
Bekeňová G.M.
Karaganda 2015
"Matematika sa nedá naučiť pozorovaním."
Larry Niven - profesor matematiky
Téma lekcie:
Štvorcový trojčlen.
Rozdelenie kvadratického trinomu.
Ciele lekcie:
1. Dosiahnuť úspešné precvičenie a aplikáciu poznatkov od všetkých žiakov v triede pri faktorizácii kvadratickej trojčlenky.
2. Podporovať: a) rozvoj sebakontroly a sebaučenia,
b) schopnosť používať interaktívnu tabuľu,
c) rozvoj matematickej gramotnosti a presnosti.
3. Rozvíjať schopnosť kompetentne a stručne vyjadrovať svoje myšlienky, byť tolerantný k pohľadu spolužiakov a získať uspokojenie z dosiahnutých výsledkov.
Typ lekcie: kombinovaná hodina s diferencovanou a individuálny prístup, s prvkami rozvojového a pokročilého tréningu.
Miesto lekcie: tretia lekcia na túto tému (hlavná), v prvých dvoch sa študenti naučili definíciu kvadratického trinomu, naučili sa nájsť jeho korene, oboznámili sa s algoritmom na faktorizáciu kvadratického trinomu, čo im pomôže v budúcnosti riešenie rovníc, redukčné frakcie, transformácia algebraických výrazov.
Štruktúra lekcie:
1 Aktualizácia vedomostí diferencovaným prístupom k žiakom.
2 Kontrola je sebatestovanie predtým získaných vedomostí.
3 Prezentácia nového materiálu je čiastočne rešeršnou metódou.
4 Primárna konsolidácia naučeného, individuálne diferencovaný prístup.
5 Porozumenie, zovšeobecnenie vedomostí.
6 Stanovenie domácich úloh pomocou problémového učenia.
Vybavenie: interaktívna tabuľa, pravidelná doska, kartičky úloh, učebnica Algebra 8, kopírovací papier a čisté hárky papiera, symboly fyziognómie.
Počas vyučovania
Organizovanie času (1 minúta).
1. Pozdrav žiakov; kontrola ich pripravenosti na lekciu.
2. Komunikujte účel lekcie.
Etapa I.
“Opakovanie je matkou učenia.“
1. Kontrola domácich úloh. č. 476 (b, d), č. 474, č. 475
2. Samostatná práca na kartách (4 osoby) (pri kontrole domácich úloh) (5 minút)
Etapa II.
"Dôveruj, ale preveruj"
Otestujte si prácu so sebakontrolou.
Testovacia práca (cez uhlíkový papier) s autotestom.
možnosť 1 možnosť m II
1) 2)
2. Faktor kvadratického trinomu:
Odpovede
Komu skúšobná práca
"Dôveruj, ale preveruj."
1. Nájdite korene kvadratického trinomu:
Možnosť ІІ variácia nT
2. Faktor kvadratického trinomu:
1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)
2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);
3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).
Niekoľko nápadných odpovedí na vedomie.
Otázka pre študentov:
Kde si myslíte, že môžeme použiť faktorizáciu kvadratického trinomu?
Správne: pri riešení rovníc,
pri redukcii zlomkov,
pri transformácii algebraických výrazov.
Stupeň III
” Zručnosť a práca rozdrvia všetko“(10 minút)
1. Zvážte použitie faktorizácie kvadratického trinomu pri redukcii zlomkov. Žiaci pracujú pri tabuli.
Znížiť zlomok:
2. Teraz uvažujme o použití faktorizácie kvadratického trinómu pri transformáciách algebraických výrazov.
Učebnica. Algebra 8. str. 126 č. 570 (b)
Teraz ukážte, ako používate faktorizáciu kvadratického trinomu.
Štádium IV
"Kuj železo zahorúca!"
samostatná práca (13 minút)
Možnosť I možnosť 1
Znížiť zlomok:
5. Uvedomil som si, že…….
6. Teraz môžem…….
7. Cítil som, že...
8. Kúpil som...
9. Naučil som sa......
10. Urobil som to......
11.Dokázal som...
12. Pokúsim sa......
13. Bol som prekvapený....
14. Dal mi lekciu do života...
15. Chcel som...
Informácie o domáca úloha: prineste si domácu úlohu na ďalšiu hodinu samostatná práca ktoré sme dostali pred týždňom.
Domáca samostatná práca.
Možnosť I možnosť 1
№ 560 (a, c) č. 560 (b, d)
№ 564 (a, c) č. 564 (b, d)
№ 566 (a) č. 566 (b)
№ 569 (a) č. 569 (b)
№ 571 (a, c) č. 571 (b, d)
Lekcia sa skončila.
Štvorcový trojčlen ax 2 +bx+c možno rozdeliť na lineárne faktory pomocou vzorca:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Kde x 1, x 2- korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.
Rozložte kvadratický trinom na lineárne faktory:
Príklad 1). 2x 2-7x-15.
Riešenie. 2x 2-7x-15=0.
a=2; b=-7; c= -15. Toto je všeobecný prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu. Hľadanie diskriminujúceho D.
D=b2-4ac=(-7)2-4∙2∙(-15)=49+120=169=132 >0; 2 skutočné korene.
Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).
2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Predstavili sme túto trojčlenku 2x 2-7x-15 2x+3 A x-5.
odpoveď: 2x 2-7x-15= (2x+3)(x-5).
Príklad 2). 3x 2 + 2x-8.
Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:
a=3; b=2;c= -8. Toto špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s párnym druhým koeficientom ( b=2). Hľadanie diskriminujúceho D 1.
Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).
Zaviedli sme trojčlenku 3x 2 + 2x-8 ako súčin dvojčlenov x+2 A 3x-4.
odpoveď: 3x 2 + 2x-8 =(x+2)(3x-4).
Príklad 3). 5x 2-3x-2.
Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:
a=5; b=-3; c=-2. Toto je špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s nasledujúcou podmienkou: a+b+c=0(5-3-2=0). V takých prípadoch prvý koreň sa vždy rovná jednej a druhý koreň rovná sa podielu voľného termínu deleného prvým koeficientom:
Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).
5x 2 -3x-2=5 (x-1)(x+0,4)=(x-1)(5x+2). Zaviedli sme trojčlenku 5x 2-3x-2 ako súčin dvojčlenov x-1 A 5x+2.
odpoveď: 5x 2-3x-2= (x-1)(5x+2).
Príklad 4). 6x 2 +x-5.
Riešenie. Poďme nájsť korene kvadratickej rovnice:
a=6; b=1; c= -5. Toto je špeciálny prípad pre úplnú kvadratickú rovnicu s nasledujúcou podmienkou: a-b+c=0(6-1-5=0). V takých prípadoch prvý koreň sa vždy rovná mínus jednej a druhý koreň sa rovná mínus podielu delenia voľného termínu prvým koeficientom:
Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).
Zaviedli sme trojčlenku 6x 2 +x-5 ako súčin dvojčlenov x+1 A 6x-5.
odpoveď: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).
Príklad 5). x 2 -13x+12.
Riešenie. Poďme nájsť korene danej kvadratickej rovnice:
x 2 -13x+12=0. Skontrolujeme, či sa dá aplikovať. Aby sme to urobili, nájdime diskriminant a uistite sa, že ide o dokonalú druhú mocninu celého čísla.
a=1; b=-13; c=12. Hľadanie diskriminujúceho D.
D=b2-4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .
Aplikujme Vietovu vetu: súčet koreňov sa musí rovnať druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa musí rovnať voľnému členu:
xi + x2 = 13; x 1 ∙ x 2 = 12. Je zrejmé, že x 1 = 1; x 2 = 12.
Aplikujme vzorec: ax 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2).
x 2-13x+12=(x-1)(x-12).
odpoveď: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).
Príklad 6). x 2-4x-6.
Riešenie. Poďme nájsť korene danej kvadratickej rovnice:
a=1; b=-4; c= -6. Druhý koeficient je párne číslo. Nájdite diskriminant D 1.
Diskriminant nie je dokonalá druhá mocnina celého čísla, preto nám Vietova veta nepomôže a korene nájdeme pomocou vzorcov pre párny druhý koeficient:
Aplikujme vzorec: ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2) a napíšte odpoveď.