Kolme numeroa 12x, x 2-5 ja 4 tässä järjestyksessä muodostavat kasvavan aritmeettisen progression https://youtu.be/U0VO_N9udpI Valitse oikea lause MATEMATICS ZFTSH MIPT Moskovan fysiikan ja tekniikan instituutti (valtion yliopisto) Fysiikan ja tekniikan kirjeenvaihtajakoulu. http://pin.it/9w-GqGp Etsi kaikki x, y ja z siten, että luvut 5x + 3, y2 ja 3z + 5 muodostavat aritmeettisen progression tässä järjestyksessä. Etsi x ja osoita tämän etenemisen ero. Ratkaise yhtenäisen valtiontutkinnon matematiikan yhtälöjärjestelmä. Video oppitunnit. Kokonaislukujen jaollisuus. Lineaarinen funktio. Jako-ongelmat. Vietan lause, käänteislause, Vietan kaavat. fiksu #opiskelijat #yhtälöt #vietas_lause #lause Seuraavaksi tarkastellaan lausetta päinvastoin kuin Vietan lause. Tämän jälkeen analysoimme ratkaisuja tyypillisimpiin esimerkkeihin. Tämä todistaa Vietan lauseen ensimmäisen suhteen toisen asteen yhtälön juurien summalle. Siirrytään toiseen. Kuinka todistaa Vietan lauseen käänteinen? DOK-VO: x2+px+f=0 x2-(M+N) *x+M*N=0 x2-Mx-Nx+M*N=0 x (x-N) -M (x-N) = 0 (x-M) ) (x-N) = 0 x-M = 0 x-N = 0 x = M x = N CTD. Näin todistimme sen erikoisluokassa matemaattisella harhalla. Vastaukset: auttaa ymmärtämään Vietan lauseen käänteislausetta erityisten esimerkkien ansiosta Vietan lauseen käänteislause auttaa ratkaisemaan ratkaisun: Jos kerroin a on luku, josta on helppo erottaa rationaalisen kokonaisluvun neliöjuuri, niin x1:n ja x2:n summa on yhtä suuri kuin luku Todista käänteinen lause Vieta - katso kuinka valittaa Vietan lauseen todistuksesta. Muotoile ja todista Vietan lause sekä käänteinen lause ja käytä lauseita yhtälöiden ja ongelmien ratkaisemiseen. Todista Vietan lauseen käänteinen. Matematiikan yhtenäinen valtiokoe 100 pisteellä: salaisuuksia, joita koulun opettajat eivät kerro, ongelmia johdannaisissa. Monet hakijat ajattelevat, että heidän ei tarvitse valmistautua neljääntoista ensimmäiseen ongelmaan, koska ne ovat erittäin helppoja, mutta näin ei ole! Suurin osa kokeen suorittajista tekee yksinkertaisimpia aritmeettisia virheitä, jättäen siten varjoonsa C-osan tehtävien erinomaisen ratkaisun. Tällaisia tilanteita tulee hyvin usein, joten ensimmäisiin ongelmiin valmistautumista ei pidä laiminlyödä, vaan valmistautua samalla tavalla kuin urheiluharjoittelussa: jos haet 90-100 pistettä - harjoittele ensimmäisen lohkon ratkaisemista 20-25 minuutissa, jos 70-80 pistettä - noin 30 minuuttia, ei enempää. Loistava tapa kouluttautua on ratkoa tuutorin seurassa kursseilla, joille asetetaan tietyt ehdot: esimerkiksi ratkaiset ennen ensimmäistä virhettä, sitten luovutat työt; Toinen vaihtoehto on, että jokaisesta tekemästäsi virheestä lahjoitat rahaa yleiseen kassakoneeseen. Huolimatta siitä, kuinka oudolta se saattaa tuntua, emme suosittele virallista verkkosivustoa, koska kaikki siellä olevat testit ovat niin sekaisin, että sitä on mahdotonta käyttää. Osan C tehtävien muotoilu on tärkeää. Jos ratkaisua ei laadita huolellisesti, tehtävän ratkaiseminen on epäselvää, ja siksi tarkastaja löytää tästä varmasti virheen ja laskee pisteitäsi. Näyttää siltä, että puhuimme hyvin yksinkertaisista asioista, mutta noudattamalla neuvojamme varmistat, että läpäiset onnistuneesti yhtenäisen valtionkokeen! Mestarikurssilla käsitellyt salaiset linkit löytyvät täältä - nämä ovat linkkejä Unified State Exam -kokeeseen valmistautumisvideokursseille. Saatua tulosta kutsutaan Vietan lauseeksi. Supistetun neliötrinomin 2 x px q kohdalla Vietan lause näyttää tältä: jos on juuria, pätee myös Vietan lauseen käänteis: jos luvut täyttävät ehdot, niin nämä luvut ovat yhtälön juuria. Tämän lauseen todistus on yksi Tehtävän ohjauskysymyksistä. Joskus lyhyyden vuoksi molempia Vietan lauseita (suoraa ja käänteistä) kutsutaan yksinkertaisesti Vietan lauseeksi.
Yksi menetelmistä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi on käyttää VIET-kaavat, joka on nimetty FRANCOIS VIETTEN mukaan.
Hän oli kuuluisa asianajaja, joka palveli Ranskan kuningasta 1500-luvulla. Vapaa-ajallaan hän opiskeli tähtitiedettä ja matematiikkaa. Hän loi yhteyden toisen asteen yhtälön juurien ja kertoimien välille.
Kaavan edut:
1 . Kaavaa soveltamalla löydät nopeasti ratkaisun. Koska toista kerrointa ei tarvitse syöttää neliöön, sitten vähentää siitä 4ac, löytää erottaja ja korvata sen arvo kaavassa juurten löytämiseksi.
2 . Ilman ratkaisua voit määrittää juurien merkit ja valita juurien arvot.
3 . Kun on ratkaistu kahden tietueen järjestelmä, ei ole vaikeaa löytää itse juuret. Yllä olevassa toisen asteen yhtälössä juurien summa on yhtä suuri kuin toisen kertoimen arvo, jossa on miinusmerkki. Yllä olevan toisen asteen yhtälön juurien tulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertoimen arvo.
4 . Kirjoita näiden juurien avulla toisen asteen yhtälö, eli ratkaise käänteisongelma. Tätä menetelmää käytetään esimerkiksi ratkaistaessa teoreettisen mekaniikan ongelmia.
5 . Kaavaa on kätevä käyttää, kun johtava kerroin on yksi.
Virheet:
1
. Kaava ei ole universaali.
Vietan lause 8. luokka
Kaava
Jos x 1 ja x 2 ovat pelkistetyn toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0 juuret, niin:
Esimerkkejä
x 1 = -1; x 2 = 3 - yhtälön juuret x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Käänteinen lause
Kaava
Jos luvut x 1, x 2, p, q liittyvät toisiinsa ehdoilla:
Tällöin x 1 ja x 2 ovat yhtälön x 2 + px + q = 0 juuria.
Esimerkki
Luodaan toisen asteen yhtälö käyttämällä sen juuria:
X 1 = 2 - ? 3 ja x 2 = 2 + ? 3.
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Vaadittava yhtälö on muotoa: x 2 - 4x + 1 = 0.
Vietan lause
Olkoot ja merkitsevät pelkistetyn toisen asteen yhtälön juuret
(1)
.
Sitten summa juuret on yhtä suuri kuin kerroin , otettu vastakkaisella merkillä. Juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi:
;
.
Huomautus useista juurista
Jos yhtälön (1) diskriminantti on nolla, niin tällä yhtälöllä on yksi juuri. Hankalien muotoilujen välttämiseksi on kuitenkin yleisesti hyväksyttyä, että tässä tapauksessa yhtälöllä (1) on kaksi monikertaista tai yhtä suurta juurta:
.
Todiste yksi
Etsitään yhtälön (1) juuret. Voit tehdä tämän käyttämällä kaavaa toisen asteen yhtälön juurille:
;
;
.
Etsi juurien summa:
.
Löytääksesi tuotteen, käytä kaavaa:
.
Sitten
.
Lause on todistettu.
Todiste kaksi
Jos luvut ovat toisen asteen yhtälön (1) juuria, niin
.
Sulkujen avaaminen.
.
Siten yhtälö (1) saa muodon:
.
Vertaamalla kohtaan (1) löydämme:
;
.
Lause on todistettu.
Vietan käänteislause
Olkoon mielivaltaisia lukuja. Sitten ja ovat toisen asteen yhtälön juuret
,
Missä
(2)
;
(3)
.
Todistus Vietan käänteislauseesta
Harkitse toisen asteen yhtälöä
(1)
.
Meidän on todistettava, että jos ja , sitten ja ovat yhtälön (1) juuret.
Korvataan (2) ja (3) kohteeksi (1):
.
Ryhmittelemme termit yhtälön vasemmalle puolelle:
;
;
(4)
.
Korvataan (4):
;
.
Korvataan (4):
;
.
Yhtälö pätee. Eli luku on yhtälön (1) juuri.
Lause on todistettu.
Vietan lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle
Tarkastellaan nyt täydellistä toisen asteen yhtälöä
(5)
,
missä , ja on joitain numeroita. Lisäksi.
Jaetaan yhtälö (5) seuraavalla:
.
Eli saimme annetun yhtälön
,
Missä ; .
Silloin Vietan lause täydelliselle toisen asteen yhtälölle on seuraavanlainen.
Olkoot ja merkitsevät täydellisen toisen asteen yhtälön juuret
.
Sitten juurien summa ja tulo määritetään kaavoilla:
;
.
Vietan lause kuutioyhtälölle
Samalla tavalla voimme muodostaa yhteyksiä kuutioyhtälön juurien välille. Harkitse kuutioyhtälöä
(6)
,
missä , , , on joitain numeroita. Lisäksi.
Jaetaan tämä yhtälö:
(7)
,
Missä , , .
Olkoon , , yhtälön (7) (ja yhtälön (6)) juuret. Sitten
.
Vertaamalla yhtälöön (7) saamme:
;
;
.
Vietan lause n:nnen asteen yhtälölle
Samalla tavalla voit löytää yhteyksiä juurien , , ... , , välillä n:nnen asteen yhtälölle
.
Vietan lause n:nnen asteen yhtälölle on seuraavanlainen:
;
;
;
.
Näiden kaavojen saamiseksi kirjoitamme yhtälön seuraavasti:
.
Sitten yhtälöimme kertoimet , , , ... , ja vertaamme vapaata termiä.
Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: oppikirja 8. luokalle yleisopetuksessa, Moskova, Koulutus, 2006.
Vietan lausetta käytetään usein jo löydettyjen juurien tarkistamiseen. Jos olet löytänyt juuret, voit käyttää kaavoja \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) laskeaksesi arvot \(p \) ja \(q\ ). Ja jos ne osoittautuvat samoiksi kuin alkuperäisessä yhtälössä, juuret löytyvät oikein.
Ratkaiskaamme esimerkiksi käyttämällä yhtälöä \(x^2+x-56=0\) ja hankitaan juuret: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Tarkastetaan, teimmekö virheen ratkaisuprosessissa. Meidän tapauksessamme \(p=1\) ja \(q=-56\). Vietan lauseen mukaan meillä on:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Molemmat lauseet lähentyivät, mikä tarkoittaa, että ratkaisimme yhtälön oikein.
Tämä tarkistus voidaan tehdä suullisesti. Se kestää 5 sekuntia ja säästää sinut typeriltä virheiltä.
Vietan käänteislause
Jos \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), niin \(x_1\) ja \(x_2\) ovat toisen asteen yhtälön juuret \ (x^ 2+px+q=0\).
Tai yksinkertaisella tavalla: jos sinulla on yhtälö muotoa \(x^2+px+q=0\), niin järjestelmän ratkaiseminen \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) löydät sen juuret.
Tämän lauseen ansiosta voit nopeasti löytää toisen asteen yhtälön juuret, varsinkin jos nämä juuret ovat . Tämä taito on tärkeä, koska se säästää paljon aikaa.
Esimerkki . Ratkaise yhtälö \(x^2-5x+6=0\).
Ratkaisu
: Käyttämällä Vietan käänteistä lausetta havaitsemme, että juuret täyttävät ehdot: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Katso järjestelmän toista yhtälöä \(x_1 \cdot x_2=6\). Mihin kahdeksi luku \(6\) voidaan jakaa? \(2\) ja \(3\), \(6\) ja \(1\) tai \(-2\) ja \(-3\) ja \(-6\) ja \(- 1\). Järjestelmän ensimmäinen yhtälö kertoo, mikä pari valitaan: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ja \(3\) ovat samanlaisia, koska \(2+3=5\).
Vastaus
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Esimerkkejä
. Käytä Vietan lauseen käänteistä toisen asteen yhtälön juuret:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Ratkaisu
:
a) \(x^2-15x+14=0\) – mihin tekijöihin \(14\) jakautuu? \(2\) ja \(7\), \(-2\) ja \(-7\), \(-1\) ja \(-14\), \(1\) ja \(14\) ). Mitkä lukuparit muodostavat \(15\)? Vastaus: \(1\) ja \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) – mihin tekijöihin \(-4\) jakautuu? \(-2\) ja \(2\), \(4\) ja \(-1\), \(1\) ja \(-4\). Mitkä lukuparit muodostavat \(-3\)? Vastaus: \(1\) ja \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – mihin tekijöihin \(20\) jakautuu? \(4\) ja \(5\), \(-4\) ja \(-5\), \(2\) ja \(10\), \(-2\) ja \(-10\ ), \(-20\) ja \(-1\), \(20\) ja \(1\). Mitkä lukuparit muodostavat \(-9\)? Vastaus: \(-4\) ja \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) – mihin tekijöihin \(780\) jakautuu? \(390\) ja \(2\). Onko niiden summa \(88\)? Ei. Mitä muita kertoimia arvolla \(780\) on? \(78\) ja \(10\). Onko niiden summa \(88\)? Joo. Vastaus: \(78\) ja \(10\).
Viimeistä termiä ei tarvitse laajentaa kaikkiin mahdollisiin tekijöihin (kuten viimeisessä esimerkissä). Voit heti tarkistaa, antaako niiden summa \(-p\).
Tärkeä! Vietan lause ja käänteinen lause toimivat vain , eli sellaisen kanssa, jonka kerroin \(x^2\) on yhtä suuri kuin yksi. Jos meille annettiin alun perin pelkistämätön yhtälö, voimme tehdä sen pelkistetyksi yksinkertaisesti jakamalla kertoimella \(x^2\) edessä.
Esimerkiksi, olkoon yhtälö \(2x^2-4x-6=0\) ja haluamme käyttää yhtä Vietan lauseista. Mutta emme voi, koska kerroin \(x^2\) on yhtä suuri kuin \(2\). Päätetään siitä eroon jakamalla koko yhtälö \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
Valmis. Nyt voit käyttää molempia lauseita.
Vastaukset usein kysyttyihin kysymyksiin
Kysymys:
Käyttämällä Vietan lausetta voit ratkaista minkä tahansa ?
Vastaus:
Valitettavasti ei. Jos yhtälö ei sisällä kokonaislukuja tai yhtälöllä ei ole juuria ollenkaan, niin Vietan lause ei auta. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä syrjivä
. Onneksi 80 %:lla koulumatematiikan yhtälöistä on kokonaislukuratkaisuja.
Neliöllinen toiminto.
Kaavalla y = ax2 + bx + c annettu funktio, jossa x ja y ovat muuttujia ja a, b, c on annettuja lukuja ja a ei ole yhtä suuri kuin 0.
nimeltään neliöfunktio
Koko neliön valitseminen.
Toisen yhtälön juurien kaavan johtaminen, niiden olemassaolon ehdot ja luvut.
– toisen asteen yhtälön diskriminantti.
Suorat ja käänteiset Vieta-lauseet.
Neliöllisen trinomin hajoaminen lineaarisiin tekijöihin.
Lause. Antaa
x 1 ja x 2 - neliötrinomin juuretx 2 + px + q. Sitten tämä trinomi jaetaan lineaarisiksi tekijöiksi seuraavasti:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).Todiste. Korvataan sen sijaan
s Ja qheidän ilmaisunsa läpix 1 ja x 2 ja käytä ryhmittelymenetelmää:x 2+ px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Lause on todistettu.
Toisen asteen yhtälö. Neliöllisen trinomin kuvaaja
Muodon yhtälö
kutsutaan toisen asteen yhtälöksi. Luku D = b 2 - 4ac on tämän yhtälön erottaja.
Jos
sitten numerot
ovat toisen asteen yhtälön juuria (tai ratkaisuja). Jos D = 0, niin juuret ovat samat:
Jos D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Kelvolliset kaavat:
— Vieta-kaavat; A
ax 2 + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) -
faktorointikaava.
Toisen funktion (neliön trinomin) y = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli. Paraabelin sijainti kertoimen a ja diskriminantin D etumerkeistä riippuen on esitetty kuvassa.
Numerot x 1 ja x 2 abskissa-akselilla ovat toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + + c = 0 juuria; paraabelin kärjen koordinaatit (piste A) kaikissa tapauksissa
paraabelin ja ordinaattisen akselin leikkauspisteellä on koordinaatit (0; c).
Kuten suora ja ympyrä, paraabeli jakaa tason kahteen osaan. Yhdessä näistä osista kaikkien pisteiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön y > ax 2 + bx + c, ja toisessa päinvastoin. Määritämme epäyhtälömerkin valitussa tason osassa etsimällä sen mistä tahansa pisteestä tässä tason osassa.
Tarkastellaan paraabelin (tai ympyrän) tangentin käsitettä. Kutsumme suoraa y - kx + 1 paraabelin (tai ympyrän) tangenttia, jos sillä on yksi yhteinen piste tämän käyrän kanssa.
Kosketuspisteessä M(x; y) paraabelille yhtälö kx +1 = ax 2 + bx + c pätee (ympyrälle yhtälö (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0 ) 2 - R 2). Tasaamalla tuloksena olevan toisen asteen yhtälön diskriminantin nollaan (koska yhtälöllä täytyy olla ainutlaatuinen ratkaisu), päästään tangenttikertoimien laskemisen ehtoihin.