ค่าสูงสุดของไตรโนเมียลกำลังสอง วิธีแก้ปัญหา B15 โดยไม่มีอนุพันธ์

การศึกษาวัตถุของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นฟังก์ชันมีขนาดใหญ่ has ความหมายและในสาขาวิทยาศาสตร์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น ใน การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ต้องประเมินพฤติกรรมอย่างต่อเนื่อง การทำงานกำไร กล่าวคือ กำหนดสูงสุด ความหมายและพัฒนากลยุทธ์เพื่อให้บรรลุ

คำแนะนำ

การวิจัยพฤติกรรมของทุกคนควรเริ่มต้นด้วยการมองหาขอบเขตของคำจำกัดความ โดยปกติตามเงื่อนไขของงานเฉพาะจะต้องกำหนดมากที่สุด the ความหมาย การทำงานทั่วทั้งพื้นที่นี้ หรือในช่วงเวลาเฉพาะที่มีขอบเขตเปิดหรือปิด

ขึ้นอยู่กับ ที่ใหญ่ที่สุดคือ ความหมาย การทำงาน y (x0) ซึ่งอสมการ y (x0) ≥ y (x) (х ≠ x0) ถือเป็นจุดใดๆ ของขอบเขตคำจำกัดความ ในทางกราฟิก จุดนี้จะสูงที่สุดหากคุณจัดเรียงค่าของอาร์กิวเมนต์ตาม abscissa และฟังก์ชันเองตามพิกัด

เพื่อกำหนดความยิ่งใหญ่ที่สุด ความหมาย การทำงานให้ทำตามอัลกอริทึมสามขั้นตอน โปรดทราบว่าคุณต้องสามารถทำงานแบบทางเดียวและคำนวณอนุพันธ์ได้ ดังนั้น ให้ฟังก์ชัน y (x) มา และจำเป็นต้องหาค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ความหมายในช่วงเวลาที่มีค่าขอบเขต A และ B.

ค้นหาว่าช่วงเวลานี้อยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ การทำงาน... ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหามัน โดยพิจารณาข้อจำกัดที่เป็นไปได้ทั้งหมด: การมีอยู่ในนิพจน์ของเศษส่วน รากที่สอง ฯลฯ ขอบเขตคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ฟังก์ชันเหมาะสม กำหนดว่าช่วงที่กำหนดเป็นส่วนย่อยของมันหรือไม่ ถ้าใช่ ไปที่ขั้นตอนถัดไป

หาอนุพันธ์ การทำงานและแก้สมการผลลัพธ์โดยให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ดังนั้นคุณจะได้รับค่าของจุดนิ่งที่เรียกว่า ประเมินว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นอยู่ในช่วง A, B

พิจารณาในขั้นตอนที่สามจุดเหล่านี้แทนค่าลงในฟังก์ชัน ทำตามขั้นตอนเพิ่มเติมต่อไปนี้ตามประเภทของช่วงเวลา หากมีส่วนของรูปแบบ [A, B] จุดขอบเขตจะถูกรวมไว้ในช่วงเวลา ซึ่งระบุด้วยวงเล็บ คำนวณค่า การทำงานที่ x = A และ x = B หากช่วงเปิดคือ (A, B) ค่าขอบเขตจะถูกเจาะเข้าไป เช่น ไม่รวมอยู่ในนั้น แก้ขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับ x → A และ x → B ช่วงเวลารวมของรูปแบบ [A, B) หรือ (A, B] ซึ่งหนึ่งในขอบเขตที่เป็นของมัน อื่น ๆ ไม่ใช่ ค้นหาขีด จำกัด ด้านเดียวเนื่องจาก x มีแนวโน้มที่จะเจาะค่าและแทนที่อีกอัน ลงในฟังก์ชัน ช่วงอนันต์สองด้าน (-∞, + ∞) หรือช่วงอนันต์ด้านเดียวของรูปแบบ:, (-∞, B) สำหรับขีดจำกัดจริง A และ B ให้ปฏิบัติตามหลักการที่อธิบายไว้แล้ว และสำหรับ ค้นหาไม่จำกัดสำหรับ x → -∞ และ x → + ∞ ตามลำดับ

ภารกิจในขั้นตอนนี้

และเพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องมีความรู้เกี่ยวกับหัวข้อเพียงเล็กน้อย สิ้นสุดต่อไป ปีการศึกษาทุกคนต้องการไปเที่ยวพักผ่อนและเพื่อให้ช่วงเวลานี้ใกล้ชิดยิ่งขึ้นฉันลงมือทำธุรกิจทันที:

เริ่มจากพื้นที่กันก่อน พื้นที่ที่อ้างถึงในเงื่อนไขคือ ถูก จำกัด ปิด ชุดของจุดของเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น ชุดของจุดที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม รวมทั้งสามเหลี่ยมทั้งหมด (ถ้ามาจาก ขอบเขต"เซาะร่อง" อย่างน้อย 1 จุด แล้วบริเวณนั้นจะหยุดปิด)... ในทางปฏิบัติ ยังมีส่วนที่มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยม กลม และซับซ้อนกว่าเล็กน้อย ควรสังเกตว่ามีการกำหนดคำจำกัดความที่เข้มงวดในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ข้อจำกัด การแยก ขอบเขต ฯลฯแต่ฉันคิดว่าทุกคนตระหนักดีถึงแนวคิดเหล่านี้ในระดับสัญชาตญาณ และตอนนี้ก็ไม่จำเป็นอีกต่อไป

พื้นที่ราบมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร และตามกฎแล้ว พื้นที่นั้นถูกกำหนดโดยการวิเคราะห์ - ด้วยสมการหลายสมการ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง); ความไม่เท่าเทียมกันน้อยกว่า การหมุนเวียนทั่วไป: "พื้นที่ปิด ล้อมรอบด้วยเส้น"

ส่วนสำคัญของงานที่กำลังพิจารณาคือการสร้างพื้นที่ในภาพวาด ทำอย่างไร? จำเป็นต้องวาดเส้นที่ระบุไว้ทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 3 ตรง) และวิเคราะห์ว่าเกิดอะไรขึ้น พื้นที่ที่ต้องการมักจะถูกฟักออกเล็กน้อย และเส้นขอบของมันถูกเน้นด้วยเส้นหนา:


สามารถกำหนดพื้นที่เดียวกันได้และ ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น: ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างมักจะเขียนเป็นรายการแจกแจงไม่ใช่ ระบบ.
เนื่องจากเขตแดนเป็นของภูมิภาค แน่นอนว่าความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด หละหลวม.

และตอนนี้แก่นแท้ของปัญหา ลองนึกภาพแกนที่ยื่นออกมาจากจุดกำเนิดตรงเข้าหาคุณโดยตรง พิจารณาฟังก์ชันที่ ต่อเนื่อง ในแต่ละจุดของพื้นที่ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงถึงบางส่วน พื้นผิวและความสุขเล็กๆ น้อยๆ อยู่ที่การแก้ปัญหาในปัจจุบัน เราไม่จำเป็นต้องรู้ว่าพื้นผิวนี้เป็นอย่างไร มันสามารถอยู่สูงขึ้น ต่ำลง ตัดกันระนาบ - ทั้งหมดนี้ไม่สำคัญ และที่สำคัญดังต่อไปนี้: ตาม ทฤษฎีบทไวเออร์สตราส, ต่อเนื่องใน ปิดจำกัดพื้นที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุด (สูงที่สุด")และที่เล็กที่สุด ("ต่ำสุด")ค่าที่คุณต้องการค้นหา บรรลุคุณค่าดังกล่าว หรือใน จุดนิ่ง, ที่อยู่ในภูมิภาคNS , หรือที่บริเวณชายแดนบริเวณนี้ จากสิ่งต่อไปนี้อัลกอริธึมโซลูชันที่เรียบง่ายและโปร่งใส:

ตัวอย่างที่ 1

ในจำนวนจำกัด พื้นที่ปิด

วิธีการแก้: ก่อนอื่น คุณต้องพรรณนาพื้นที่ในภาพวาด น่าเสียดายที่ทางเทคนิคเป็นเรื่องยากสำหรับฉันที่จะสร้างแบบจำลองเชิงโต้ตอบของปัญหา ดังนั้นฉันจะให้ภาพประกอบในขั้นสุดท้ายทันที ซึ่งแสดงจุดที่ "น่าสงสัย" ทั้งหมดที่พบในระหว่างการศึกษา โดยปกติแล้วจะติดอยู่ทีละส่วนตามที่พบ:

ตามคำนำจะสะดวกที่จะแยกการตัดสินใจออกเป็นสองประเด็น:

I) ค้นหาจุดนิ่ง นี่คือ การกระทำมาตรฐานที่เราได้แสดงซ้ำแล้วซ้ำเล่าในบทเรียน สุดขั้วของตัวแปรหลายตัว:

พบจุดนิ่ง เป็นของพื้นที่: (ทำเครื่องหมายบนภาพวาด)ซึ่งหมายความว่าเราควรคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

- ดังในบทความ ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ฉันจะเน้นผลลัพธ์ที่สำคัญเป็นตัวหนา สะดวกในการร่างไว้ในสมุดบันทึกด้วยดินสอ

ใส่ใจกับความสุขที่สองของเรา - ไม่มีประเด็นในการตรวจสอบ สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว... ทำไม? แม้ว่า ณ จุดหนึ่งที่ฟังก์ชันไปถึง ตัวอย่างเช่น ขั้นต่ำในท้องถิ่นก็ไม่ได้หมายความว่าค่าที่ได้จะเป็น มินิมอลทั่วภูมิภาค (ดูจุดเริ่มต้นของบทเรียน เกี่ยวกับ extrema ที่ไม่มีเงื่อนไข) .

เกิดอะไรขึ้นถ้าจุดนิ่งไม่อยู่ในพื้นที่? แทบไม่มีอะไร! ควรสังเกตว่าและไปที่จุดถัดไป

II) สำรวจขอบเขตของภูมิภาค

เนื่องจากเส้นขอบประกอบด้วยด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม จึงสะดวกที่จะแบ่งการศึกษาออกเป็น 3 ส่วนย่อย แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า จากมุมมองของฉัน ในตอนแรกการพิจารณาส่วนที่ขนานกับแกนพิกัดในตอนแรกจะเป็นประโยชน์มากกว่า และก่อนอื่น - นอนอยู่บนแกนเอง หากต้องการเข้าใจลำดับและตรรกะของการกระทำทั้งหมด ให้ลองศึกษาตอนจบ "ในครั้งเดียว":

1) มาจัดการกับด้านล่างของสามเหลี่ยมกัน ในการดำเนินการนี้ เราแทนที่ฟังก์ชันโดยตรง:

หรือคุณสามารถจัดเรียงได้ดังนี้:

ในทางเรขาคณิต นี่หมายความว่า พิกัดเครื่องบิน (ซึ่งได้จากสมการด้วย)"แกะสลัก" ออก พื้นผิวพาราโบลา "เชิงพื้นที่" จุดยอดที่สงสัยทันที มาหาคำตอบกัน เธออยู่ที่ไหน:

- ค่าที่ได้รับ "ได้" เข้าไปในพื้นที่และอาจเป็นไปได้ว่า ณ จุดนั้น (ทำเครื่องหมายในรูปวาด)ฟังก์ชั่นถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในพื้นที่ทั้งหมด ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราทำการคำนวณ:

แน่นอนว่า "ผู้สมัคร" คนอื่น ๆ คือจุดสิ้นสุดของกลุ่ม เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด (ทำเครื่องหมายในรูปวาด):

อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำการตรวจสอบด้วยวาจาแบบย่อโดยใช้เวอร์ชัน "ปล้น" ได้ที่นี่:

2) เพื่อศึกษาด้านขวาของรูปสามเหลี่ยม เราแทนที่มันลงในฟังก์ชันและ "จัดวางสิ่งต่างๆ ไว้ตรงนั้น":

ที่นี่เราจะทำการตรวจสอบคร่าวๆ ทันที "ส่งเสียง" สิ้นสุดเซ็กเมนต์ที่ประมวลผลแล้ว:
, สมบูรณ์แบบ.

สถานการณ์ทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับจุดก่อนหน้า:

- ค่าที่ได้รับยัง "รวมอยู่ในขอบเขตของความสนใจของเรา" ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องคำนวณว่าฟังก์ชันนั้นมีค่าเท่ากับ ณ จุดที่ปรากฏขึ้น:

ลองตรวจสอบส่วนท้ายที่สองของส่วน:

การใช้ฟังก์ชัน มาลองดูกัน:

3) ทุกคนคงรู้วิธีสำรวจด้านที่เหลือ เราแทนที่ในฟังก์ชันและทำการลดความซับซ้อน:

สิ้นสุดเซ็กเมนต์ ค้นคว้าไปแล้ว แต่ในร่างเรายังตรวจสอบว่าเราพบฟังก์ชันถูกต้องหรือไม่ :
- ใกล้เคียงกับผลลัพธ์ของอนุวรรคที่ 1
- ใกล้เคียงกับผลลัพธ์ของอนุวรรคที่ 2

ยังคงต้องค้นหาว่ามีอะไรที่น่าสนใจในส่วนนี้หรือไม่:

- มี! การแทนที่เส้นตรงลงในสมการ เราจะได้พิกัดของ "ความน่าสนใจ" นี้:

เราทำเครื่องหมายจุดในรูปวาดและค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน:

มาตรวจสอบการคำนวณตามเวอร์ชั่น "งบประมาณ" กันเถอะ :
, คำสั่ง.

และขั้นตอนสุดท้าย: เราดูตัวเลขที่ "ตัวหนา" ทั้งหมดอย่างระมัดระวัง ฉันแนะนำให้ผู้เริ่มต้นทำรายการเดียว:

จากที่เราเลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ตอบเราเขียนลงในโวหารของปัญหาในการค้นหา ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์:

ในกรณีที่ฉันจะแสดงความคิดเห็นอีกครั้งเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์:
- นี่คือจุดสูงสุดของพื้นผิวในพื้นที่
- นี่คือจุดต่ำสุดของพื้นผิวในพื้นที่

ในปัญหาที่วิเคราะห์ เราระบุ 7 จุด "น่าสงสัย" แต่จำนวนจุดจะแตกต่างกันไปในแต่ละงาน สำหรับพื้นที่สามเหลี่ยม "ชุดการวิจัย" ขั้นต่ำคือสามจุด สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อฟังก์ชัน เช่น sets เครื่องบิน- ค่อนข้างชัดเจนว่าไม่มีจุดคงที่และฟังก์ชั่นสามารถเข้าถึงค่าที่ใหญ่ที่สุด / น้อยที่สุดที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น แต่มีตัวอย่างมากมายครั้งหรือสองครั้ง - โดยปกติคุณต้องจัดการกับมัน พื้นผิวของลำดับที่ 2.

หากคุณแก้ปัญหาดังกล่าวเพียงเล็กน้อย หัวก็สามารถหมุนจากสามเหลี่ยมได้ ดังนั้นฉันจึงเตรียมตัวอย่างที่ผิดปกติเพื่อให้คุณทำให้มันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส :))

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ในพื้นที่ปิด จำกัดด้วยเส้น by

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิดที่มีขอบเขต

ความสนใจเป็นพิเศษให้ความสนใจกับลำดับที่มีเหตุผลและเทคนิคในการศึกษาขอบเขตของภูมิภาคตลอดจนห่วงโซ่ของการตรวจสอบระดับกลางซึ่งเกือบจะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณได้เกือบทั้งหมด โดยทั่วไปแล้ว คุณสามารถแก้ปัญหาได้ตามใจชอบ แต่ในปัญหาบางอย่าง เช่น ในตัวอย่างที่ 2 เดียวกัน มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตของคุณยุ่งยากขึ้นอย่างมาก ตัวอย่างโดยประมาณของการมอบหมายงานให้เสร็จเมื่อจบบทเรียน

มาจัดระบบอัลกอริธึมของโซลูชันกันเถอะ มิฉะนั้น ด้วยความขยันของฉันในฐานะสไปเดอร์ มันก็หายไปในความคิดเห็นยาวๆ จากตัวอย่างแรก:

- ในขั้นตอนแรก เราสร้างพื้นที่ ขอแนะนำให้แรเงาและเน้นเส้นขอบด้วยเส้นหนา ในระหว่างการแก้ปัญหา จุดที่ต้องวางไว้บนภาพวาดจะปรากฏขึ้น

- ค้นหาจุดที่อยู่กับที่และคำนวณค่าของฟังก์ชัน เฉพาะในพวกเขาที่อยู่ในพื้นที่นั้น เราเลือกค่าที่ได้รับในข้อความ (ตัวอย่างเช่นเราร่างด้วยดินสอ) หากจุดที่อยู่กับที่ไม่ได้เป็นของภูมิภาค เราจะทำเครื่องหมายข้อเท็จจริงนี้ด้วยไอคอนหรือด้วยวาจา หากไม่มีจุดนิ่งเลยเราจะสรุปเป็นลายลักษณ์อักษรว่าขาดหายไป รายการนี้ไม่สามารถข้ามได้!

- สำรวจชายแดนของพื้นที่กันเถอะ อย่างแรก จะเป็นประโยชน์ในการจัดการกับเส้นตรงที่ขนานกับแกนพิกัด (ถ้ามี)... นอกจากนี้เรายังเน้นค่าของฟังก์ชันที่คำนวณที่จุด "น่าสงสัย" มีการกล่าวไว้ข้างต้นมากมายเกี่ยวกับเทคนิคการแก้ปัญหา และจะกล่าวอย่างอื่นด้านล่าง - อ่าน อ่านซ้ำ เจาะลึก!

- จากตัวเลขที่เลือก ให้เลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดแล้วให้คำตอบ บางครั้งก็เกิดขึ้นที่ฟังก์ชันถึงค่าดังกล่าวหลายจุดในครั้งเดียว - ในกรณีนี้จุดทั้งหมดเหล่านี้ควรสะท้อนให้เห็นในคำตอบ ให้ตัวอย่างเช่น และปรากฎว่าสิ่งนี้ ค่าที่น้อยที่สุด... แล้วเราก็เขียนว่า

ตัวอย่างสุดท้ายเน้นไปที่ผู้อื่น ข้อคิดที่เป็นประโยชน์ที่จะเป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติ:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในพื้นที่ปิด .

ฉันได้เก็บสูตรของผู้เขียนไว้ ซึ่งภูมิภาคนี้ถูกกำหนดให้เป็นอสมการสองเท่า เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้โดยระบบที่เทียบเท่าหรือในรูปแบบดั้งเดิมสำหรับปัญหานี้:

ฉันเตือนคุณว่าตั้งแต่ ไม่เชิงเส้นความไม่เท่าเทียมกันที่เราพบ และหากคุณไม่เข้าใจความหมายทางเรขาคณิตของสัญกรณ์ โปรดอย่าเลื่อนและชี้แจงสถานการณ์ในตอนนี้ ;-)

วิธีการแก้เช่นเคย มันเริ่มต้นด้วยการสร้างพื้นที่ซึ่งเป็น "พื้นรองเท้า" ชนิดหนึ่ง:

อืม บางครั้งคุณต้องแทะไม่เพียงแค่หินแกรนิตของวิทยาศาสตร์เท่านั้น….

I) ค้นหาจุดนิ่ง:

ความฝันของ System-idiot :)

จุดนิ่งเป็นของภูมิภาค กล่าวคือ อยู่บนขอบเขต

ดังนั้นจึงไม่มีอะไร ... บทเรียนดำเนินไปอย่างร่าเริง - การดื่มชาที่ถูกต้องหมายถึงอะไร =)

II) สำรวจขอบเขตของภูมิภาค เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา เรามาเริ่มกันที่ abscissa กันก่อน:

1) ถ้า แล้ว

ค้นหาว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่ไหน:
- ชื่นชมช่วงเวลาดังกล่าว - "ตี" ทันทีที่ทุกอย่างชัดเจนแล้ว แต่เรายังไม่ลืมเกี่ยวกับการตรวจสอบ:

มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์:

2) C ล่างลองหา "พื้นรองเท้า" "ในที่เดียว" กัน - โดยไม่มีเชิงซ้อนใด ๆ เราแทนที่พวกมันในฟังก์ชัน นอกจากนี้ เราจะสนใจเฉพาะส่วนเท่านั้น:

การควบคุม:

สิ่งนี้นำการฟื้นฟูมาสู่การขับขี่ที่ซ้ำซากจำเจบนเส้นทางที่เป็นสันโค้ง เราจะพบว่า จุดวิกฤต:

เราแก้ สมการกำลังสอง, จำอันนี้เพิ่มเติม? ... อย่างไรก็ตาม อย่าลืมว่า มิฉะนั้น คุณจะไม่ได้อ่านบรรทัดเหล่านี้ =) ถ้าในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้ การคำนวณใน เศษส่วนทศนิยม(ซึ่งโดยวิธีการที่หายาก) แล้วตามปกติ เศษส่วนทั่วไป... เราค้นหาราก "x" และใช้สมการเพื่อกำหนดพิกัด "เกม" ที่สอดคล้องกันของคะแนน "ผู้สมัคร":


มาคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่พบ:

ตรวจสอบฟังก์ชันด้วยตัวเอง

ตอนนี้เราศึกษาถ้วยรางวัลที่ชนะอย่างระมัดระวังและจดบันทึก คำตอบ:

เหล่านี้เป็น "ผู้สมัคร" ดังนั้น "ผู้สมัคร"!

สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ในพื้นที่ปิด

รายการที่มีวงเล็บปีกกาอ่านดังนี้: "ชุดของจุดเช่นนั้น"

บางครั้งใน ตัวอย่างที่คล้ายกันใช้ วิธีตัวคูณลากรองจ์แต่ความจำเป็นในการใช้งานจริงไม่น่าจะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น หากฟังก์ชันถูกกำหนดด้วยโดเมน "de" เดียวกัน หลังจากการแทนที่ด้วยฟังก์ชันนั้น - ด้วยอนุพันธ์ที่ไม่มีปัญหา นอกจากนี้ทุกอย่างถูกวาดขึ้น "ในบรรทัดเดียว" (พร้อมป้าย) โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาครึ่งวงกลมบนและล่างแยกจากกัน แต่แน่นอนว่า มีกรณีที่ซับซ้อนกว่าที่ไม่มีฟังก์ชันลากรองจ์ (ตัวอย่างเช่น สมการเดียวกันของวงกลม)มันยากที่จะทำ - มันยากแค่ไหนถ้าไม่มี พักผ่อนให้เต็มที่!

เป็นการดีสำหรับทุกคนที่จะผ่านช่วงเซสชั่นและพบกันใหม่ในฤดูกาลหน้า!

โซลูชั่นและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: วิธีการแก้: พรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

หน้า 1

ข้อเท็จจริงเชิงทฤษฎี:

ไตรโนเมียลกำลังสอง = ax2 + bx + c มีค่ามากที่

ค่านี้จะกลายเป็นค่าที่น้อยที่สุดถ้า a> 0 และค่าที่มากที่สุดคือถ้า a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.

# 1 แยกจำนวนบวก A ที่กำหนดออกเป็นสองเทอมเพื่อให้ผลคูณของจำนวนนั้นมีค่ามากที่สุด

วิธีการแก้. ให้เราแสดงหนึ่งในเงื่อนไขที่กำหนดโดย x จากนั้นเทอมที่สองจะเท่ากับ A - x และผลคูณของพวกมัน หรือ.

ดังนั้น คำถามจึงนำไปสู่การหาค่าของ x ซึ่งไตรนามกำลังสองนี้จะได้รับค่าที่มากที่สุด ตามทฤษฎีบท 4 ค่าดังกล่าวมีอยู่แน่นอน (เพราะที่นี่สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ - 1 คือลบ) และเท่ากับ ในกรณีนี้ ดังนั้น พจน์ทั้งสองจึงต้องเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น หมายเลข 30 อนุญาตให้มีการขยายต่อไปนี้:

ผลงานที่ได้รับทั้งหมดมีค่าน้อยกว่า

ลำดับที่ 2 มีลวดยาว L จำเป็นต้องงอเพื่อให้ได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จำกัด พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้

วิธีการแก้. ให้เราแสดง (รูปที่ 1) ด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่าน x แน่นอนว่าอีกด้านของมันจะเป็น หรือ ... ฟังก์ชันนี้ใช้ค่าสูงสุดที่ ซึ่งจะเป็นค่าที่ต้องการจากด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นอีกด้านของมันจะเป็น นั่นคือ สี่เหลี่ยมของเรากลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับสามารถสรุปได้ในรูปแบบของทฤษฎีบทต่อไปนี้

จากสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่มีเส้นรอบรูปเท่ากัน สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นมีพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด

ความคิดเห็น

ปัญหาของเราแก้ไขได้ง่ายด้วยความช่วยเหลือของผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้ปัญหาที่ 1

ที่จริงแล้วเราจะเห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เราสนใจคือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีผลคูณของตัวประกอบสองตัว x และ แต่ผลรวมของตัวประกอบเหล่านี้คือ ,NS. นั่นคือตัวเลขที่ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก x ซึ่งหมายความว่าสสารจะลดลงจนถึงการสลายตัวของตัวเลขเป็นสองเทอมเพื่อให้ผลิตภัณฑ์ของพวกมันมีขนาดใหญ่ที่สุด อย่างที่เราทราบ ผลคูณนี้จะใหญ่ที่สุดเมื่อทั้งสองเทอมเท่ากัน นั่นคือ

ลำดับที่ 3 จากแผงที่มีอยู่คุณสามารถสร้างรั้วยาว 200 ม. รั้วนี้ต้องล้อมรั้วสี่เหลี่ยม พื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดโดยใช้ผนังโรงงานด้านหนึ่งของสนาม

ฟังก์ชันอนุพันธ์ของทฤษฎีบทไตรนาม

วิธีการแก้. ให้เราแสดง (รูปที่ 2) ด้านใดด้านหนึ่งของลานผ่าน x แล้วอีกด้านหนึ่งจะเท่ากันและพื้นที่ของมันจะเป็น

ตามทฤษฎีบท ค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้ได้มาโดยมันสำหรับ it

ดังนั้น ด้านข้างของลานซึ่งตั้งฉากกับผนังโรงงานควรเป็น 50 ม. ดังนั้นสำหรับด้านที่ขนานกับผนัง ค่าคือ 100 ม. นั่นคือ ลานควรมีรูปทรงครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส

จากมุมมองเชิงปฏิบัติ สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือการใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน อะไรคือสาเหตุของเรื่องนี้? การเพิ่มผลกำไรสูงสุด การลดต้นทุน การกำหนดโหลดอุปกรณ์ที่เหมาะสม ... กล่าวอีกนัยหนึ่งในหลาย ๆ ด้านของชีวิตจำเป็นต้องแก้ปัญหาการปรับพารามิเตอร์ให้เหมาะสมที่สุด และนี่คือภารกิจในการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ควรสังเกตว่าค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันมักจะถูกค้นหาในช่วงเวลา X ซึ่งอาจเป็นโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือส่วนหนึ่งของโดเมน ช่วง X เองอาจเป็นส่วนของเส้น ช่วงเวลาเปิด , ช่วงที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในบทความนี้เราจะพูดถึงการหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดอย่างชัดเจนexp ฟังก์ชั่นที่กำหนดหนึ่งตัวแปร y = f (x)

การนำทางหน้า

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความภาพประกอบ

ให้เราอาศัยอยู่สั้น ๆ เกี่ยวกับคำจำกัดความหลัก

ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ว่าสำหรับใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง

ค่าฟังก์ชันที่เล็กที่สุด y = f (x) บนช่วง X เรียกว่าค่าดังกล่าว ว่าสำหรับใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกันเป็นความจริง

คำจำกัดความเหล่านี้ชัดเจนโดยสัญชาตญาณ: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ยอมรับมากที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลาที่พิจารณาที่ abscissa

จุดเครื่องเขียนคือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันหายไป

เหตุใดเราจึงต้องการจุดคงที่เมื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด คำตอบสำหรับคำถามนี้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากทฤษฎีบทนี้ว่าถ้าฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลมีสุดขั้ว (ค่าต่ำสุดในพื้นที่หรือค่าสูงสุดในพื้นที่) ในบางจุด จุดนี้จะอยู่กับที่ ดังนั้น ฟังก์ชันมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลา X ที่จุดคงที่จุดใดจุดหนึ่งจากช่วงเวลานี้

นอกจากนี้ ฟังก์ชันมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันนี้ และฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้แล้ว

มาตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ทันที: "เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน"? ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่วง X ตรงกับขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หรือช่วง X นั้นไม่มีที่สิ้นสุด และฟังก์ชันบางอย่างที่อนันต์และบนขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความสามารถรับค่าได้ทั้งค่าขนาดใหญ่และค่าขนาดเล็กอย่างอนันต์ ในกรณีเหล่านี้ เราไม่สามารถพูดถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันได้

เพื่อความชัดเจนเราจะให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพแล้วหลายๆ อย่างจะชัดเจนขึ้น

ในส่วนของ

ในรูปแรก ฟังก์ชันใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าที่เล็กที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในเซ็กเมนต์ [-6; 6]

พิจารณากรณีที่แสดงในรูปที่สอง เปลี่ยนเซ็กเมนต์เป็น ในตัวอย่างนี้ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเกิดขึ้นที่จุดคงที่ และค่าที่ใหญ่ที่สุด - ที่จุดที่มี abscissa ที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านขวาของช่วง

ในรูปที่ 3 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3; 2] คือ abscissas ของจุดที่สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาเปิด

ในรูปที่สี่ ฟังก์ชันใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าที่เล็กที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในช่วงเวลาที่เปิด (-6; 6)

ในช่วงเวลานี้ จะไม่มีข้อสรุปใดๆ เกี่ยวกับค่าที่มากที่สุด

ที่อินฟินิตี้

ในตัวอย่างที่แสดงในรูปที่เจ็ด ฟังก์ชันใช้ค่าที่มากที่สุด (max y) ที่จุดคงที่โดยมีค่า abscissa x = 1 และค่าที่น้อยที่สุด (min y) จะไปถึงที่ขอบด้านขวาของช่วง ที่ลบอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่มีซีมโทติค

ในช่วงเวลา ฟังก์ชันไม่ถึงค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุด เมื่อพุ่งไปที่ x = 2 ทางด้านขวา ค่าของฟังก์ชันมักจะลบด้วยอนันต์ (เส้นตรง x = 2 คือเส้นกำกับแนวตั้ง) และเมื่อ abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชัน เข้าใกล้ y = 3 โดยไม่มีอาการ ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์

มาเขียนอัลกอริธึมที่ช่วยให้เราสามารถหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชันและตรวจสอบว่ามีเซ็กเมนต์ทั้งหมดหรือไม่
2. เราพบทุกจุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับแรกและอยู่ในเซ็กเมนต์ (โดยปกติจุดดังกล่าวจะพบในฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสและในฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน) หากไม่มีจุดดังกล่าว ให้ไปที่รายการถัดไป
3. กำหนดจุดที่อยู่กับที่ทั้งหมดที่อยู่ในกลุ่ม ในการทำเช่นนี้ เราให้มันเป็นศูนย์ แก้สมการผลลัพธ์และเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดที่อยู่กับที่หรือไม่มีจุดใดอยู่ในส่วน ให้ไปที่รายการถัดไป
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดนิ่งที่เลือก (ถ้ามี) ที่จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับแรก (ถ้ามี) รวมถึงสำหรับ x = a และ x = b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชันเราเลือกค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด - ค่าเหล่านี้จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต้องการตามลำดับ

ให้เราวิเคราะห์อัลกอริทึมเมื่อแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในกลุ่ม

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

• ในส่วน;
• ในส่วน [-4; -1]

วิธีการแก้.

โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นศูนย์ นั่นคือ ทั้งสองส่วนอยู่ในพื้นที่คำจำกัดความ

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเกี่ยวกับ:

แน่นอน อนุพันธ์ของฟังก์ชันมีอยู่ทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4; -1]

จุดนิ่งถูกกำหนดจากสมการ รูทที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียวคือ x = 2 จุดที่อยู่กับที่นี้อยู่ในส่วนแรก

สำหรับกรณีแรก เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดนิ่ง นั่นคือ สำหรับ x = 1, x = 2 และ x = 4:

ดังนั้น ค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ได้มาที่ x = 1 และค่าที่น้อยที่สุด - สำหรับ x = 2

สำหรับกรณีที่ 2 เราคำนวณค่าของฟังก์ชันเฉพาะที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ [-4; -1] (เนื่องจากไม่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียว):

บางครั้งปัญหา B15 เจอฟังก์ชัน "ไม่ดี" ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ยาก ก่อนหน้านี้เป็นเพียงการสอบสวนเท่านั้น แต่ตอนนี้งานเหล่านี้เป็นเรื่องธรรมดามากจนไม่สามารถละเลยในการเตรียมตัวสำหรับการสอบจริงได้อีกต่อไป

ในกรณีนี้ กลอุบายอื่นๆ ได้ผล ซึ่งหนึ่งในนั้นคือ - เสียงเดียว.

ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าการเพิ่มแบบโมโนโทนบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุด x 1 และ x 2 ของเซ็กเมนต์นี้เป็นจริง:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าการลดลงแบบโมโนโทนบนเซ็กเมนต์ หากสิ่งต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับจุด x 1 และ x 2 ของเซ็กเมนต์นี้:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> ฉ ( x2).

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ยิ่ง x มากเท่าใด f (x ก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น) สำหรับฟังก์ชันที่ลดลง สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: ค่า x ที่มากกว่า, the น้อยฉ (x).

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนถ้าฐาน a> 1 และลดลงแบบโมโนโทนถ้า 0< a < 1. Не забывайте про область ค่าที่อนุญาตลอการิทึม: x> 0

f (x) = บันทึก a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)

เลขคณิตสแควร์รูท (และไม่ใช่แค่สแควร์รูท) จะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความ:

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทำงานคล้ายกับลอการิทึม: เพิ่มขึ้นสำหรับ a> 1 และลดลงเป็น 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ไม่ใช่แค่ x> 0:

ฉ (x) = ก x (a> 0)

สุดท้าย เลขชี้กำลังลบ คุณเขียนมันเป็นเศษส่วนได้ มีจุดไม่ต่อเนื่องที่ขาดความซ้ำซากจำเจ

ฟังก์ชันทั้งหมดนี้ไม่เคยพบในรูปแบบที่บริสุทธิ์ พวกมันบวกพหุนาม เศษส่วน และเรื่องไร้สาระอื่นๆ เพราะมันยากที่จะนับอนุพันธ์ จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้ - ตอนนี้เราจะวิเคราะห์

พิกัดจุดยอดพาราโบลา

ส่วนใหญ่แล้ว อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะถูกแทนที่ด้วย ไตรนามสี่เหลี่ยมของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c กราฟของเขาคือพาราโบลามาตรฐานที่เราสนใจ:

1. สาขาพาราโบลา - สามารถขึ้นได้ (สำหรับ a> 0) หรือลง (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. จุดยอดของพาราโบลาคือจุดสุดขั้วของฟังก์ชันกำลังสองที่ฟังก์ชันนี้มีค่าน้อยที่สุด (สำหรับ a> 0) หรือมากที่สุด (a< 0) значение.

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือ precise จุดสูงสุดของพาราโบลา, abscissa ซึ่งคำนวณโดยสูตร:

เราพบจุดสุดขั้วของฟังก์ชันกำลังสองแล้ว แต่ถ้าฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นโมโนโทน สำหรับมัน จุด x 0 จะเป็นจุดสุดโต่งด้วย ดังนั้น เราจะกำหนดกฎสำคัญ:

แต้มสุดขีด ไตรนามสี่เหลี่ยมและฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่มันเข้ามาพร้อมกัน ดังนั้น คุณสามารถค้นหา x 0 สำหรับพหุนามกำลังสอง และทำคะแนนบนฟังก์ชัน

จากเหตุผลข้างต้น ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าเราได้รับจุดใด: สูงสุดหรือต่ำสุด อย่างไรก็ตาม งานต่างๆ ได้รับการออกแบบมาเป็นพิเศษเพื่อให้ไม่สำคัญ ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

1. ไม่มีส่วนใดในข้อความแจ้งปัญหา ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณ f (a) และ f (b) ยังคงต้องพิจารณาเฉพาะจุดสุดโต่งเท่านั้น
2. แต่มีจุดดังกล่าวเพียงจุดเดียว - นี่คือจุดยอดของพาราโบลา x 0 พิกัดที่คำนวณด้วยวาจาอย่างแท้จริงและไม่มีอนุพันธ์ใดๆ

ดังนั้น การแก้ปัญหาจึงง่ายขึ้นอย่างมาก และเหลือเพียงสองขั้นตอน:

1. เขียนสมการของพาราโบลา y = ax 2 + bx + c แล้วหาจุดยอดด้วยสูตร: x 0 = −b / 2a;
2. ค้นหาค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม ณ จุดนี้: f (x 0) หากไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม นี่จะเป็นคำตอบ

เมื่อมองแวบแรก อัลกอริธึมนี้และเหตุผลอาจดูน่ากลัว ฉันจงใจไม่โพสต์รูปแบบการแก้ปัญหา "เปล่า" เนื่องจากการใช้กฎดังกล่าวอย่างไม่ใส่ใจนั้นเต็มไปด้วยข้อผิดพลาด

พิจารณางานจริงจาก ข้อสอบในวิชาคณิตศาสตร์ - นี่คือที่ที่เทคนิคนี้เกิดขึ้นบ่อยที่สุด ในเวลาเดียวกัน เราจะทำให้แน่ใจว่าด้วยวิธีนี้งาน B15 จำนวนมากจะกลายเป็นคำพูดเกือบ

ใต้รากคือฟังก์ชันกำลังสอง y = x 2 + 6x + 13 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ a = 1> 0

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3

เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาถูกชี้ขึ้นด้านบน ที่จุด x 0 = −3 ฟังก์ชัน y = x 2 + 6x + 13 จะใช้ค่าที่น้อยที่สุด

รากจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ดังนั้น x 0 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันทั้งหมด เรามี:

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 2 (x 2 + 2x + 9)

ภายใต้ลอการิทึม มีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = x 2 + 2x + 9 กราฟเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้นตั้งแต่ a = 1> 0.

จุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1

ดังนั้น ณ จุด x 0 = -1 ฟังก์ชันกำลังสองจะใช้ค่าที่น้อยที่สุด แต่ฟังก์ชัน y = log 2 x เป็นแบบโมโนโทนิก ดังนั้น:

y นาที = y (-1) = บันทึก 2 ((-1) 2 + 2 (-1) + 9) = ... = บันทึก 2 8 = 3

เลขชี้กำลังประกอบด้วยฟังก์ชันกำลังสอง y = 1 - 4x - x 2 ลองเขียนมันใหม่ในรูปแบบปกติ: y = −x 2 - 4x + 1

เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลาแยกย่อย (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (-1)) = 4 / (- 2) = −2

ฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล เป็นโมโนโทนิก ดังนั้นค่าที่มากที่สุดจะอยู่ที่จุดที่พบ x 0 = −2:

ผู้อ่านที่เอาใจใส่อาจสังเกตเห็นว่าเราไม่ได้เขียนช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของรูทและลอการิทึม แต่สิ่งนี้ไม่จำเป็น: ภายในมีฟังก์ชั่นที่มีค่าเป็นบวกเสมอ

ผลที่ตามมาจากโดเมนของฟังก์ชัน

บางครั้งการหาจุดยอดของพาราโบลาไม่เพียงพอจะแก้ปัญหาข้อ B15 ค่าที่ต้องการอาจอยู่ ในตอนท้ายของเซ็กเมนต์แต่ไม่ถึงจุดสุดโต่ง หากไม่มีส่วนที่ระบุในปัญหาเลย เราจะดูที่ ช่วงของค่าที่ถูกต้องฟังก์ชั่นเดิม กล่าวคือ:

หมายเหตุอีกครั้ง: ศูนย์อาจอยู่ใต้รูท แต่ไม่เคยอยู่ในลอการิทึมหรือตัวส่วนของเศษส่วน มาดูกันว่ามันทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน:

ใต้รูทจะมีฟังก์ชันกำลังสองอีกครั้ง: y = 3 - 2x - x 2 กราฟของมันคือพาราโบลา แต่จะแตกแขนงลง เนื่องจาก a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่

เราเขียนช่วงของค่าที่อนุญาต (ODZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; หนึ่ง]

ตอนนี้ หาจุดยอดของพาราโบลา:

x 0 = −b / (2a) = - (- 2) / (2 (-1)) = 2 / (- 2) = -1

จุด x 0 = -1 เป็นส่วนหนึ่งของ ODZ และนี่เป็นสิ่งที่ดี ตอนนี้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เช่นเดียวกับที่ส่วนท้ายของ ODZ:

y (−3) = y (1) = 0

เราได้ตัวเลข 2 และ 0 แล้ว เราขอให้หาจำนวนที่มากที่สุด - นี่คือหมายเลข 2

งาน. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน:

y = บันทึก 0.5 (6x - x 2 - 5)

ภายในลอการิทึมมีฟังก์ชันกำลังสอง y = 6x - x 2 - 5 นี่คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านลง แต่ลอการิทึมไม่สามารถมีได้ ตัวเลขติดลบดังนั้นเราจึงเขียน ODZ:

6x - x 2 - 5> 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด ดังนั้นจุดจบไม่อยู่ใน ODZ นี่คือความแตกต่างของลอการิทึมจากรูท ซึ่งจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับเรา

เรากำลังมองหาจุดสูงสุดของพาราโบลา:

x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 (-1)) = −6 / (- 2) = 3

จุดยอดของพาราโบลาเหมาะสำหรับ ODV: x 0 = 3 ∈ (1; 5) แต่เนื่องจากเราไม่สนใจส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ เราจึงพิจารณาค่าของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่านั้น:

y นาที = y (3) = บันทึก 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = บันทึก 0.5 (18 - 9 - 5) = บันทึก 0.5 4 = −2