Katika somo la mwisho la video, tulijifunza kwamba kiwango cha msingi fulani ni usemi ambao ni bidhaa ya msingi yenyewe, iliyochukuliwa kwa kiasi sawa na kielelezo. Hebu sasa tujifunze baadhi ya mali muhimu zaidi na uendeshaji wa nguvu.

Kwa mfano, hebu tuzidishe nguvu mbili tofauti kwa msingi sawa:

Tunawasilisha kazi hii kwa ukamilifu:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Baada ya kuhesabu thamani ya usemi huu, tunapata nambari 32. Kwa upande mwingine, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano huo huo, 32 inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya msingi sawa (mbili) kuchukuliwa mara 5. Na kwa kweli, ikiwa utahesabu, basi:

Kwa hivyo, ni salama kuhitimisha kuwa:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Sheria hii inafanya kazi vizuri kwa kipimo chochote na sababu yoyote. Sifa hii ya kuzidisha shahada inafuata kutoka kwa kanuni ya uhifadhi wa thamani ya maneno wakati wa mabadiliko katika bidhaa. Kwa msingi wowote a, bidhaa ya semi mbili (a) x na (a) y ni sawa na (x + y). Kwa maneno mengine, maneno yoyote yenye msingi sawa yanapotolewa, monomia ya mwisho huwa na shahada ya jumla inayoundwa na kuongezwa kwa shahada ya maneno ya kwanza na ya pili.

Sheria iliyowasilishwa pia inafanya kazi vizuri wakati wa kuzidisha misemo mingi. Hali kuu ni kwamba misingi ya wote ni sawa. Kwa mfano:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Haiwezekani kuongeza digrii, na kwa kweli kutekeleza vitendo vyovyote vya pamoja vya sheria na vipengele viwili vya kujieleza, ikiwa misingi yao ni tofauti.
Kama video yetu inavyoonyesha, kwa sababu ya kufanana kwa michakato ya kuzidisha na kugawanya, sheria za kuongeza nguvu katika bidhaa huhamishiwa kikamilifu kwa utaratibu wa mgawanyiko. Fikiria mfano huu:

Wacha tufanye ubadilishaji wa neno baada ya muda wa usemi kuwa umbo lake kamili na tughairi vipengele sawa katika gawio na kigawanyiko:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Matokeo ya mwisho ya mfano huu sio ya kuvutia sana, kwa sababu tayari katika kipindi cha ufumbuzi wake ni wazi kwamba thamani ya kujieleza ni sawa na mraba wa mbili. Na ni mbili ambazo hupatikana kwa kupunguza nguvu ya usemi wa pili kutoka kwa nguvu ya kwanza.

Kuamua kiwango cha mgawo, ni muhimu kuondoa kiwango cha mgawanyiko kutoka kwa kiwango cha mgawanyiko. Sheria inafanya kazi na msingi sawa kwa maadili yake yote na kwa digrii zote za asili. Kama muhtasari, tunayo:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Ufafanuzi wa digrii ya sifuri hufuata kutoka kwa sheria ya kugawanya besi sawa na digrii. Kwa wazi, usemi ufuatao ni:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

Kwa upande mwingine, ikiwa tutafanya mgawanyiko kwa njia ya kuona zaidi, tunapata:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Wakati wa kupunguza vipengele vyote vinavyoonekana vya sehemu, usemi 1/1 hupatikana daima, yaani, moja. Kwa hivyo, inakubalika kwa ujumla kuwa msingi wowote ulioinuliwa kwa nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Bila kujali thamani ya a.

Walakini, itakuwa ni upuuzi ikiwa 0 (kwa kuzidisha yoyote mtoaji bado ni 0) kwa njia fulani ni sawa na moja, kwa hivyo usemi wa fomu (0) 0 (sifuri hadi digrii sifuri) haileti maana, na kwa formula (a) 0 = 1 ongeza sharti: "ikiwa a si sawa na 0".

Wacha tusuluhishe zoezi hilo. Wacha tupate thamani ya usemi:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Kwa kuwa msingi ni sawa kila mahali na ni sawa na 34, jumla ya thamani itakuwa na msingi sawa na shahada (kulingana na sheria zilizo hapo juu):

Kwa maneno mengine:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Jibu: usemi ni sawa na moja.

Somo juu ya mada: "Sheria za kuzidisha na mgawanyiko wa digrii na viashiria sawa na tofauti. Mifano"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa. Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya antivirus.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 7
Mwongozo wa kitabu cha maandishi Yu.N. Mwongozo wa Makarycheva wa kitabu cha maandishi A.G. Mordkovich

Kusudi la somo: jifunze jinsi ya kufanya vitendo na nguvu za nambari.

Kuanza, hebu tukumbuke dhana ya "shahada ya nambari". Usemi kama $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ inaweza kuwakilishwa kama $ a ^ n $.

Mazungumzo pia ni ya kweli: $ a ^ n = \ weka chini (a * a * \ ldets * a) _ (n) $.

Usawa huu unaitwa "notation of the degree as a product". Itatusaidia kuamua jinsi ya kuzidisha na kugawanya digrii.
Kumbuka:
a Ni msingi wa shahada.
n- kielelezo.
Kama n = 1, kwa hivyo, nambari a ilichukua mara moja na ipasavyo: $ a ^ n = 1 $.
Kama n = 0, kisha $ a ^ 0 = 1 $.

Kwa nini hii inatokea, tunaweza kujua tunapofahamiana na sheria za kuzidisha na mgawanyiko wa madaraka.

Kanuni za kuzidisha

a) Ikiwa mamlaka yenye msingi sawa yanazidishwa.
Kwa $ a ^ n * a ^ m $, tunaandika nguvu kama bidhaa: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m) $.
takwimu inaonyesha kwamba idadi a wamechukua n + m mara, kisha $ a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) $.

Mfano.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Mali hii ni rahisi kutumia ili kurahisisha kazi wakati wa kuongeza nambari kwa nguvu kubwa.
Mfano.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ikiwa digrii zinazidishwa na besi tofauti, lakini kielelezo sawa.
Kwa $ a ^ n * b ^ n $, andika digrii kama bidhaa: $ \ brace ya chini (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Ikiwa tutabadilisha mambo na kuhesabu jozi zinazosababisha, tunapata: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldets * (a * b)) _ (n) $.

Kwa hivyo, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Mfano.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Kanuni za mgawanyiko

a) Msingi wa shahada ni sawa, viashiria ni tofauti.
Fikiria kugawanya kipeo na kipeo kikubwa zaidi kwa kugawanya kipeo na kipeo kidogo zaidi.

Hivyo, ni lazima $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, wapi n> m.

Wacha tuandike nguvu kama sehemu:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Kwa urahisi, tutaandika mgawanyiko kama sehemu rahisi.

Sasa hebu tughairi sehemu.

Inageuka: $ \ underbrace (a * a * \ ldets * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
Ina maana, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Mali hii itasaidia kuelezea hali hiyo kwa kuongeza nambari hadi nguvu ya sifuri. Hebu tuchukulie hilo n = m, kisha $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Mifano.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Misingi ya shahada ni tofauti, viashiria ni sawa.
Wacha tuseme unahitaji $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Wacha tuandike nguvu za nambari kama sehemu:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Kwa urahisi, hebu fikiria.

Kutumia mali ya sehemu, tunagawanya sehemu kubwa katika bidhaa za ndogo, tunapata.
$ \ underbrace (\ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ ldots * \ frac (a) (b)) _ (n) $.
Ipasavyo: $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) = (\ frac (a) (b)) ^ n $.

Mfano.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.

Kiwango cha kwanza

Shahada na sifa zake. Mwongozo wa kina (2019)

Kwa nini digrii zinahitajika? Watakufaa wapi? Kwa nini unahitaji kuchukua wakati wa kuzisoma?

Ili kujifunza kila kitu kuhusu digrii, ni nini, jinsi ya kutumia ujuzi wako katika maisha ya kila siku, soma makala hii.

Na, bila shaka, ujuzi wa digrii utakuleta karibu na kufaulu kwa OGE au USE na kuingia chuo kikuu cha ndoto zako.

Wacha tuende ... (Twende!)

Kumbuka muhimu! Ikiwa badala ya fomula unaona ujinga, futa akiba. Ili kufanya hivyo, bonyeza CTRL + F5 (kwenye Windows) au Cmd + R (kwenye Mac).

NGAZI YA KWANZA

Ufafanuzi ni operesheni sawa ya hisabati kama kujumlisha, kutoa, kuzidisha au kugawanya.

Sasa nitaeleza kila kitu kwa lugha ya binadamu kwa kutumia mifano rahisi sana. Makini. Mifano ni ya msingi, lakini inaelezea mambo muhimu.

Wacha tuanze na kuongeza.

Hakuna cha kueleza. Tayari unajua kila kitu: kuna wanane wetu. Kila mmoja ana chupa mbili za cola. Kuna cola ngapi? Hiyo ni kweli - chupa 16.

Sasa kuzidisha.

Mfano huo wa cola unaweza kuandikwa tofauti :. Wanahisabati ni watu wajanja na wavivu. Kwanza wanaona mifumo fulani, na kisha kuja na njia ya "kuhesabu" haraka. Kwa upande wetu, waliona kwamba kila mmoja wa watu wanane alikuwa na idadi sawa ya chupa za cola na walikuja na mbinu inayoitwa kuzidisha. Kukubaliana, inachukuliwa kuwa rahisi na kwa kasi zaidi kuliko.

Kwa hiyo, kuhesabu kwa kasi, rahisi na bila makosa, unahitaji tu kukumbuka meza ya kuzidisha... Unaweza, bila shaka, kufanya kila kitu polepole, ngumu na kwa makosa! Lakini…

Hapa kuna jedwali la kuzidisha. Rudia.

Na nyingine, nzuri zaidi:

Je, ni mbinu gani nyingine za ujanja wa kuhesabu ambazo wanahisabati wavivu wamekuja nazo? Haki - kuinua nambari kwa nguvu.

Kuinua nambari hadi nguvu

Ikiwa unahitaji kuzidisha nambari yenyewe mara tano, basi wanahisabati wanasema kwamba unahitaji kuongeza nambari hii kwa nguvu ya tano. Kwa mfano, . Wanahisabati wanakumbuka kwamba shahada mbili hadi tano ni. Na wao kutatua matatizo hayo katika vichwa vyao - kwa kasi, rahisi na bila makosa.

Unachohitaji kufanya ni kumbuka kile kilichoonyeshwa kwenye jedwali la nguvu za nambari... Niamini, hii itafanya maisha yako kuwa rahisi zaidi.

Kwa njia, kwa nini shahada ya pili inaitwa mraba nambari, na ya tatu - mchemraba? Ina maana gani? Hilo ni swali zuri sana. Sasa utakuwa na mraba na cubes.

Mfano wa maisha #1

Wacha tuanze na mraba au nguvu ya pili ya nambari.

Hebu fikiria bwawa la mita za mraba kwa mita. Bwawa liko katika nyumba yako ya nchi. Kuna joto na ninataka sana kuogelea. Lakini ... bwawa bila chini! Ni muhimu kufunika chini ya bwawa na matofali. Unahitaji tiles ngapi? Ili kuamua hili, unahitaji kujua eneo la chini ya bwawa.

Unaweza kuhesabu tu, ukipiga kidole chako, kwamba chini ya bwawa lina mita kwa cubes ya mita. Ikiwa una mita ya tile kwa mita, utahitaji vipande. Ni rahisi ... Lakini umeona wapi tiles kama hizo? Tile inawezekana zaidi kuwa cm kwa cm.Na kisha utateswa na "hesabu ya vidole". Kisha unapaswa kuzidisha. Kwa hiyo, kwa upande mmoja wa chini ya bwawa, tutafaa tiles (vipande) na kwa upande mwingine, pia, tiles. Kuzidisha kwa, unapata tiles ().

Umegundua kuwa tulizidisha nambari sawa na sisi wenyewe ili kuamua eneo la chini ya bwawa? Ina maana gani? Mara tu nambari sawa inapozidishwa, tunaweza kutumia mbinu ya "ufafanuzi". (Kwa kweli, unapokuwa na nambari mbili tu, bado unazizidisha au kuziinua kwa nguvu. Lakini ikiwa una nyingi, basi kuinua kwa nguvu ni rahisi zaidi na pia kuna makosa machache katika hesabu. Hii ni muhimu sana kwa mtihani).
Kwa hiyo, thelathini katika shahada ya pili itakuwa (). Au unaweza kusema kuwa mraba thelathini itakuwa. Kwa maneno mengine, nguvu ya pili ya nambari inaweza kuwakilishwa kama mraba kila wakati. Kinyume chake, ukiona mraba, ni DAIMA nguvu ya pili ya nambari. Mraba ni kiwakilishi cha nguvu ya pili ya nambari.

Mfano wa maisha halisi #2

Hapa kuna kazi kwako, hesabu ni miraba ngapi kwenye ubao wa chess ukitumia mraba wa nambari ... Kwa upande mmoja wa seli na kwa upande mwingine, pia. Ili kuhesabu idadi yao, unahitaji kuzidisha nane kwa nane au ... ikiwa unaona kwamba chessboard ni mraba na upande, basi unaweza mraba nane. Utapata seli. () Kwa hiyo?

Mfano wa maisha namba 3

Sasa mchemraba au nguvu ya tatu ya nambari. Bwawa sawa. Lakini sasa unahitaji kujua ni maji ngapi yatapaswa kumwagika kwenye bwawa hili. Unahitaji kuhesabu kiasi. (Volumes na liquids, kwa njia, hupimwa kwa mita za ujazo. Kwa kushangaza, sawa?) Chora bwawa: chini ni mita kwa ukubwa na kina cha mita na jaribu kuhesabu ni mita ngapi za ujazo kwa mita zitaingia kwenye bwawa lako.

Elekeza kidole chako na uhesabu! Moja, mbili, tatu, nne ... ishirini na mbili, ishirini na tatu ... Ni kiasi gani kiligeuka? Si waliopotea? Je, ni vigumu kuhesabu kwa kidole chako? Kwahivyo! Chukua mfano kutoka kwa wanahisabati. Wao ni wavivu, kwa hiyo waliona kwamba ili kuhesabu kiasi cha bwawa, unahitaji kuzidisha urefu wake, upana na urefu kwa kila mmoja. Kwa upande wetu, kiasi cha bwawa kitakuwa sawa na cubes ... Rahisi zaidi, sawa?

Sasa fikiria jinsi wanahisabati walivyo wavivu na wajanja ikiwa wamerahisisha hili pia. Walipunguza kila kitu kwa hatua moja. Waliona kwamba urefu, upana na urefu ni sawa na kwamba idadi sawa inazidishwa yenyewe ... Je! Hii ina maana kwamba unaweza kuchukua faida ya shahada. Kwa hiyo, kile ulichohesabu mara moja kwa kidole chako, wanafanya kwa hatua moja: tatu katika mchemraba ni sawa. Imeandikwa hivi:.

Inabakia tu kumbuka meza ya digrii... Isipokuwa, kwa kweli, wewe ni mvivu na mjanja kama wanahisabati. Ikiwa unapenda kufanya kazi kwa bidii na kufanya makosa, unaweza kuendelea kuhesabu kwa kidole chako.

Kweli, ili hatimaye kukushawishi kuwa digrii hizo ziligunduliwa na wavivu na watu wenye ujanja kutatua shida zao za maisha, na sio kukuletea shida, hapa kuna mifano michache zaidi kutoka kwa maisha.

Mfano wa maisha namba 4

Una rubles milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unatengeneza milioni nyingine kutoka kwa kila milioni. Hiyo ni, kila milioni yako mwanzoni mwa kila mwaka inaongezeka maradufu. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Ikiwa sasa umekaa na "kuhesabu kwa kidole chako," basi wewe ni mtu mwenye bidii sana na .. mjinga. Lakini uwezekano mkubwa utatoa jibu katika sekunde chache, kwa sababu wewe ni smart! Kwa hiyo, katika mwaka wa kwanza - mara mbili mbili ... katika mwaka wa pili - kilichotokea kilikuwa mbili zaidi, mwaka wa tatu ... Acha! Uligundua kuwa nambari hiyo inazidishwa yenyewe mara moja. Kwa hivyo nguvu mbili hadi tano ni milioni! Sasa fikiria kwamba una ushindani na mamilioni hayo yatapokelewa na yule anayehesabu kwa kasi ... Je, ni thamani ya kukumbuka digrii za nambari, unafikiri nini?

Mfano wa maisha halisi namba 5

Una milioni. Mwanzoni mwa kila mwaka, unapata mbili zaidi kwa kila milioni. Kubwa, sivyo? Kila milioni mara tatu. Utakuwa na pesa ngapi kwa miaka? Hebu tuhesabu. Mwaka wa kwanza - kuzidisha na, kisha matokeo kwa mwingine ... Tayari ni boring, kwa sababu tayari umeelewa kila kitu: mara tatu huongezeka kwa yenyewe. Kwa hivyo nguvu ya nne ni sawa na milioni. Unahitaji tu kukumbuka kuwa nguvu tatu hadi nne ni au.

Sasa unajua kuwa kwa kuinua nambari kwa nguvu, utarahisisha maisha yako. Wacha tuangalie kile unachoweza kufanya na digrii na kile unachohitaji kujua kuzihusu.

Masharti na dhana ... ili usichanganyikiwe

Kwa hiyo, kwanza, hebu tufafanue dhana. Nini unadhani; unafikiria nini, kielelezo ni nini? Ni rahisi sana - hii ndio nambari ambayo iko "juu" ya nguvu ya nambari. Sio kisayansi, lakini inaeleweka na rahisi kukumbuka ...

Naam, wakati huo huo msingi wa shahada kama hiyo? Hata rahisi - hii ndiyo nambari iliyo chini, kwa msingi.

Hapa kuna mchoro ili kuwa na uhakika.

Kweli, kwa maneno ya jumla, ili kujumlisha na kukumbuka bora ... Shahada iliyo na msingi "" na kiashiria "" inasomwa kama "kwa kiwango" na imeandikwa kama ifuatavyo.

Shahada ya nambari yenye kipeo asilia

Labda umekisia kufikia sasa: kwa sababu kipeo ni nambari asilia. Ndiyo, lakini ni nini nambari ya asili? Msingi! Nambari za asili ni zile zinazotumika katika kuhesabu wakati wa kuorodhesha vitu: moja, mbili, tatu ... Tunapohesabu vitu, hatusemi: "minus tano", "minus sita", "minus saba". Pia hatusemi: "moja ya tatu", au "zero uhakika, tano ya kumi." Hizi sio nambari za asili. Unafikiri ni nambari gani?

Nambari kama "ondoa tano", "toa sita", "toa saba" hurejelea nambari nzima. Kwa ujumla, nambari zote zinajumuisha nambari zote asilia, nambari zilizo kinyume na nambari asilia (yaani, zilizochukuliwa na ishara ya minus), na nambari. Zero ni rahisi kuelewa - hii ni wakati hakuna kitu. Nambari hasi ("minus") inamaanisha nini? Lakini ziligunduliwa kimsingi kuonyesha deni: ikiwa una rubles kwenye simu yako, inamaanisha kuwa una deni la rubles za waendeshaji.

Sehemu yoyote ni nambari za busara. Unafikiri zilikujaje? Rahisi sana. Miaka elfu kadhaa iliyopita, babu zetu waligundua kuwa hawakuwa na nambari za asili za kupima urefu, uzito, eneo, nk. Na walikuja na nambari za busara... Inavutia, sivyo?

Pia kuna nambari zisizo na maana. Nambari hizi ni nini? Kwa kifupi, sehemu ya desimali isiyo na kikomo. Kwa mfano, ikiwa unagawanya mzunguko wa mduara kwa kipenyo chake, unapata nambari isiyo na maana.

Muhtasari:

Wacha tufafanue wazo la digrii, kielelezo chake ambacho ni nambari asilia (yaani, nambari kamili na chanya).

1. Nambari yoyote katika nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe:
2. Kuweka nambari mraba ni kuzidisha peke yake:
3. Kuweka nambari ni kuzidisha yenyewe mara tatu:

Ufafanuzi. Kuinua nambari hadi nguvu asilia inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:
.

Tabia za nguvu

Mali hizi zimetoka wapi? Nitakuonyesha sasa.

Wacha tuone: ni nini na ?

A-kipaumbele:

Je, kuna mambo ngapi kwa jumla?

Ni rahisi sana: tuliongeza vizidishi kwa vizidishi, na jumla ni vizidishi.

Lakini kwa ufafanuzi, ni kiwango cha nambari iliyo na kielelezo, yaani, inavyohitajika kuthibitisha.

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho:

Mfano: Rahisisha usemi.

Suluhisho: Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe na misingi sawa!
Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

kwa bidhaa za digrii tu!

Katika kesi hakuna unaweza kuandika hivyo.

2.yaani - nguvu ya nambari

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuweka kiashiria". Lakini haupaswi kamwe kufanya hivi kwa jumla:

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi?

Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Shahada yenye msingi hasi

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu kile kielelezo kinapaswa kuwa.

Lakini msingi unapaswa kuwa nini?

Katika digrii na kiashiria cha asili msingi unaweza kuwa nambari yoyote... Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata.

Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ? Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini hasi ni ya kuvutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini tukizidisha kwa, inafanya kazi.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Je, uliweza?

Hapa kuna majibu: Katika mifano minne ya kwanza, tunatumai kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - shahada ni hata, ambayo ina maana kwamba matokeo yatakuwa chanya daima.

Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena!

6 mifano ya kutoa mafunzo

Kuchanganua suluhisho mifano 6

Mbali na shahada ya nane, tunaona nini hapa? Tunakumbuka programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vizidishi katika nambari, lakini kuna nini? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zingebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa rahisi sana: digrii hata ya denominator inatusaidia hapa.

Masharti yamebadilishwa kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili kinyume nao (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, lakini sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote katika digrii sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize swali: kwa nini hii ni hivyo?

Fikiria kiwango fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata sawa na ilivyokuwa -. Na ni nambari gani unapaswa kuzidisha ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote katika digrii sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, inapaswa kuwa sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha na wewe mwenyewe, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote katika digrii ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni lipi kati ya hili ambalo ni kweli? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Twende mbele zaidi. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari hasi ni za nambari kamili. Ili kuelewa nguvu hasi ni nini, wacha tufanye sawa na mara ya mwisho: zidisha nambari fulani ya kawaida kwa nguvu ile ile hasi:

Kuanzia hapa tayari ni rahisi kueleza unachotafuta:

Sasa tutapanua sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari katika nguvu hasi ni kinyume na nambari sawa katika nguvu chanya. Lakini wakati huo huo msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi haujabainishwa katika kesi. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi digrii sifuri ni sawa na moja:.

III. Nambari ambayo si sifuri iko katika nguvu hasi kinyume na nambari sawa katika nguvu chanya:.

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, na, kama kawaida, mifano ya suluhisho la kujitegemea:

Uchambuzi wa kazi kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari ni mbaya, lakini kwenye mtihani lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au uchambue suluhisho lao ikiwa haukuweza kuitatua na utajifunza jinsi ya kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua mduara wa nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa fikiria nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: yote ambayo yanaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni integers, zaidi ya hayo.

Ili kuelewa ni nini Shahada ya sehemu, zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "Shahada hadi digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, ikiinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa -th nguvu ni operesheni inverse ya exponentiation :.

Inageuka kuwa. Ni wazi, kesi hii inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu linapatikana kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya digrii-kwa-shahada:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Kumbuka sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, huwezi kutoa mizizi ya digrii hata kutoka kwa nambari hasi!

Na hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu kujieleza?

Lakini hapa ndipo tatizo linapotokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kama sehemu zingine, zinazoweza kughairiwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa iko, lakini haipo, lakini hizi ni rekodi mbili tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria kwa njia tofauti, na tena tunapata usumbufu: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia radix chanya pekee yenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

• - nambari ya asili;
• - nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo yenye mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kutoa mafunzo

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

Na sasa sehemu ngumu zaidi. Sasa tutachambua daraja isiyo na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Kwa kweli, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari nzima (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Wakati wa kusoma digrii na kiashirio cha asili, nzima na cha busara, kila wakati tulitengeneza aina ya "picha", "mlinganisho", au maelezo kwa maneno yanayojulikana zaidi.

Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari ya digrii sifuri- ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe haijaonekana - kwa hivyo, matokeo ni aina tu ya "nambari tupu. ", yaani nambari;

...kipeo kamili cha hasi- ilikuwa ni kama aina fulani ya "mchakato wa kurudi nyuma" ulifanyika, yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, katika sayansi, shahada yenye kiashiria tata hutumiwa mara nyingi, yaani, kiashiria sio hata idadi halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya shida kama hizo, utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UNAKWENDA! (ikiwa utajifunza jinsi ya kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na sheria ya kawaida ya kuongeza nguvu kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Je, anakukumbusha chochote? Tunakumbuka formula ya kuzidisha kwa kifupi, tofauti ya mraba:

Kwa kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunaleta sehemu katika vielelezo kwa muundo sawa: ama desimali zote mbili, au zote za kawaida. Hebu tupate, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

KIWANGO CHA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu:, ambapo:

• — msingi wa shahada;
• - kielelezo.

Shahada yenye kipeo asilia (n = 1, 2, 3, ...)

Kuinua nambari hadi nguvu ya asili n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Digrii kamili (0, ± 1, ± 2, ...)

Ikiwa kipeo ni chanya kabisa nambari:

Erection hadi sifuri:

Usemi huo hauna ukomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote - hii, na kwa upande mwingine - nambari yoyote hadi kiwango cha th - hii.

Ikiwa kipeo ni hasi nzima nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu sufuri: usemi haujafafanuliwa katika kesi. Ikiwa, basi.

Mifano:

Kiwango cha busara

• - nambari ya asili;
• - nambari kamili;

Mifano:

Tabia za nguvu

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

A-kipaumbele:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu, tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu lazima lazima iwe na misingi sawa. Kwa hivyo, tunachanganya digrii na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii ni - tu kwa bidhaa za digrii!

Kwa vyovyote nisiandike hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange upya kipande hiki kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuweka kiashiria". Lakini haupaswi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Shahada yenye msingi hasi.

Hadi kufikia hatua hii, tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa index shahada. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika digrii na asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na nguvu za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari itakuwa chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini hasi ni ya kuvutia zaidi. Baada ya yote, tunakumbuka sheria rahisi kutoka kwa daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika kwa infinity: kwa kuzidisha kila baadae, ishara itabadilika. Unaweza kuunda sheria rahisi kama hizi:

1. hata shahada, - nambari chanya.
2. Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
3. Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
4. Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5), kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: haijalishi msingi ni sawa na - shahada ni hata, ambayo ina maana kwamba matokeo yatakuwa chanya daima. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa unakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana kwamba msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia kanuni ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na, tugawanye kwa kila mmoja, tugawanye katika jozi na kupata:

Kabla ya kuchunguza sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maadili ya misemo:

Ufumbuzi :

Mbali na shahada ya nane, tunaona nini hapa? Tunakumbuka programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, kumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Tunaangalia kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vizidishi katika nambari, lakini kuna nini? Mpangilio usio sahihi wa masharti. Ikiwa zingebadilishwa, Kanuni ya 3 inaweza kutumika. Lakini hii inawezaje kufanywa? Inageuka kuwa rahisi sana: digrii hata ya denominator inatusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inageuka yafuatayo:

Masharti yamebadilishwa kichawi. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa uhuru ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja! Haiwezi kubadilishwa na kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje hilo? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tupanue wazo la digrii na kurahisisha:

Sasa hebu tufungue mabano. Kutakuwa na barua ngapi? mara na vizidishi - inaonekanaje? Hii si kitu zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: kulikuwa na vizidishio tu. Hiyo ni, kwa ufafanuzi, kiwango cha nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Daraja lisilo na akili

Kwa kuongezea habari kuhusu digrii za kiwango cha kati, hapa kuna digrii na kielelezo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari nzima (hiyo. ni, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa mantiki).

Wakati wa kusoma digrii na kiashirio cha asili, nzima na cha busara, kila wakati tulitengeneza aina ya "picha", "mlinganisho", au maelezo kwa maneno yanayojulikana zaidi. Kwa mfano, kielelezo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi digrii sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado haijaanza kuzidishwa, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo, matokeo ni tu. aina ya "nambari tupu", yaani nambari; shahada iliyo na kipeo kamili cha hasi ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" ulifanyika, yaani, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini iligawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake, ni kitu cha kihesabu ambacho wanahisabati waliunda kupanua dhana ya digrii hadi nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi, shahada yenye kiashiria tata hutumiwa mara nyingi, yaani, kiashiria sio hata idadi halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya shida kama hizo, utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini tunapoona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu kwa nguvu zetu zote kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

1)

2)

3)

Majibu:

1. Tunakumbuka formula ya tofauti ya mraba. Jibu:.
2. Tunaleta sehemu kwa fomu sawa: ama sehemu zote mbili za decimal, au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
3. Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inaitwa usemi wa fomu:, ambapo:

Digrii kamili

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari asilia (yaani, nambari kamili na chanya).

Daraja la busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Daraja lisilo na akili

shahada, kipeo chake ambacho ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za nguvu

Vipengele vya digrii.

• Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
• Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
• Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
• Sifuri ni sawa na digrii yoyote.
• Nambari yoyote hadi digrii sifuri ni sawa na.

SASA NENO LAKO...

Unapendaje makala? Andika kwenye maoni kama unapenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako na sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri na mitihani yako!

Kila operesheni ya hesabu wakati mwingine inakuwa ngumu sana kuandika na wanajaribu kurahisisha. Ilikuwa ni sawa na operesheni ya kuongeza. Watu walihitaji kufanya nyongeza nyingi za aina moja, kwa mfano, kuhesabu gharama ya mazulia mia moja ya Kiajemi, gharama ambayo ni sarafu 3 za dhahabu kila moja. 3 + 3 + 3 +... + 3 = 300. Kwa sababu ya shida, ilifikiriwa kupunguza rekodi hadi 3 * 100 = 300. Kwa kweli, rekodi "mara tatu mia moja" ina maana kwamba unahitaji kuchukua mia moja. mara tatu na uiongeze pamoja. Kuzidisha kulichukua mizizi na kupata umaarufu wa jumla. Lakini ulimwengu hausimama, na katika Zama za Kati ikawa muhimu kufanya kuzidisha nyingi za aina moja. Nakumbuka kitendawili cha zamani cha Mhindi kuhusu sage ambaye aliuliza kiasi kifuatacho cha nafaka za ngano kama malipo kwa kazi yake: aliuliza nafaka moja kwa mraba wa kwanza wa chessboard, mbili kwa pili, nne kwa tatu, nane kwa. ya tano, na kadhalika. Hivi ndivyo kuzidisha kwa kwanza kwa nguvu kulionekana, kwa sababu idadi ya nafaka ilikuwa sawa na mbili kwa nguvu ya nambari ya seli. Kwa mfano, kwenye seli ya mwisho kutakuwa na 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 nafaka, ambayo ni sawa na idadi ya wahusika 18 kwa muda mrefu, ambayo, kwa kweli, ni maana ya kitendawili.

Uendeshaji wa kuinua mamlaka ulichukua mizizi haraka sana, na pia haraka ikawa muhimu kutekeleza kuongeza, kutoa, mgawanyiko na kuzidisha mamlaka. Mwisho ni muhimu kuzingatia kwa undani zaidi. Njia za kuongeza digrii ni rahisi na rahisi kukumbuka. Kwa kuongeza, ni rahisi sana kuelewa wapi wanatoka ikiwa operesheni ya nguvu inabadilishwa na kuzidisha. Lakini kwanza, unahitaji kuelewa istilahi ya msingi. Usemi a ^ b (soma "a kwa uwezo wa b") unamaanisha kwamba nambari a inapaswa kuzidishwa yenyewe mara b, na "a" inaitwa msingi wa digrii, na "b" inaitwa kipeo cha nguvu. . Ikiwa misingi ya digrii ni sawa, basi fomula hutolewa kwa urahisi kabisa. Mfano halisi: pata thamani ya usemi 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Ili kujua nini kinapaswa kutokea, unapaswa kupata jibu kwenye kompyuta kabla ya kuanza suluhisho. Baada ya kuweka usemi huu kwenye kikokotoo chochote cha mtandaoni, injini ya utafutaji, kuandika "kuzidisha kwa digrii na besi tofauti na sawa" au mfuko wa hisabati, matokeo yatakuwa 128. Sasa tutaandika usemi huu: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, na 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Inatokea kwamba 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Inatokea kwamba bidhaa za digrii zilizo na msingi sawa ni sawa na msingi ulioinuliwa kwa nguvu sawa na jumla ya digrii mbili zilizopita.

Unaweza kufikiri kwamba hii ni ajali, lakini hapana: mfano mwingine wowote unaweza kuthibitisha sheria hii tu. Kwa hivyo, kwa maneno ya jumla, formula inaonekana kama hii: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Pia kuna sheria kwamba nambari yoyote katika digrii ya sifuri ni sawa na moja. Hapa tunapaswa kukumbuka utawala wa mamlaka hasi: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Hiyo ni, ikiwa 2 ^ 3 = 8, basi 2 ^ (- 3) = 1/8. Kwa kutumia kanuni hii, tunaweza kuthibitisha usawa a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) inaweza kughairiwa na kubaki moja tu. Kwa hivyo kanuni kwamba mgawo wa digrii na besi sawa ni sawa na msingi huu kwa digrii sawa na mgawo wa kipeo cha mgawanyiko na kigawanyaji: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Mfano: Rahisisha usemi 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Kuzidisha ni operesheni ya kubadilisha, kwa hivyo, lazima kwanza uongeze vielelezo vya kuzidisha: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Hatua inayofuata ni kukabiliana na mgawanyiko na kielelezo hasi. Inahitajika kuondoa faharisi ya mgawanyiko kutoka kwa faharisi ya gawio: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Inatokea kwamba uendeshaji wa mgawanyiko kwa hasi shahada ni sawa na uendeshaji wa kuzidisha kwa kielelezo chanya sawa. Kwa hivyo jibu la mwisho ni 8.

Kuna mifano ambapo kuzidisha digrii zisizo za kisheria hufanyika. Kuzidisha digrii na besi tofauti mara nyingi ni ngumu zaidi, na wakati mwingine hata haiwezekani. Mifano kadhaa ya mbinu tofauti zinazowezekana zinapaswa kutolewa. Mfano: kurahisisha usemi 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Kwa wazi, kuna kuzidisha nguvu kwa misingi tofauti. Lakini, ni lazima ieleweke kwamba besi zote ni digrii tofauti za triplet. 9 = 3 ^ 2.1 = 3 ^ 4.3 = 3 ^ 5.9 = 3 ^ 6. Kwa kutumia kanuni (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), unapaswa kuandika upya usemi huo kwa njia inayofaa zaidi: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Jibu: 3 ^ 11. Katika hali ambapo kuna misingi tofauti, sheria a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n inafanya kazi kwa viashiria sawa. Kwa mfano, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Vinginevyo, wakati kuna besi tofauti na viashiria, haiwezekani kufanya kuzidisha kamili. Wakati mwingine inawezekana kurahisisha kwa sehemu au kuamua usaidizi wa teknolojia ya kompyuta.