Badilisha jumla (tofauti) ya cosines ya pembe mbili kwa bidhaa
Kwa jumla na tofauti ya cosines ya pembe mbili, fomula zifuatazo ni kweli:
Jumla ya cosines ya pembe mbili ni sawa na bidhaa mbili za cosine ya nusu-jumla na cosine ya tofauti ya nusu ya pembe hizi.
Tofauti kati ya kosini za pembe mbili ni sawa na minus mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu-jumla na sine ya nusu-tofauti ya pembe hizi.
Mifano ya
Fomula (1) na (2) zinaweza kupatikana kwa njia nyingi. Hebu tuthibitishe, kwa mfano, fomula (1).
cos α cos β = 1 / 2 .
Kumwamini (α + β) = NS , (α - β) = katika, tunakuja kwenye fomula (1). Njia hii ni sawa na ile ambayo formula ya jumla ya sines ya pembe mbili ilipatikana katika aya iliyotangulia.
Njia ya 2. Katika sehemu iliyopita, tulithibitisha fomula
Kumwamini α = NS + π / 2, β = katika + π / 2, tunapata:
Lakini kulingana na fomula za kutupwa dhambi ( NS+ π / 2) == cos x, dhambi (y + π / 2) = cos y;
Kwa hivyo,
Q.E.D.
Tunawaalika wanafunzi wathibitishe fomula (2) peke yao. Jaribu kutafuta angalau njia mbili tofauti za uthibitisho!
Mazoezi
1. Hesabu bila jedwali, kwa kutumia fomula za jumla na tofauti za cosines za pembe mbili:
a). cos 105 ° + cos 75 °. G). cos 11π / 12- kos 5π / 12..
b). cos 105 ° - cos 75 °. e). cos 15 ° -sin 15 °.
v). cos 11π / 12+ cos 5π / 12..f). dhambi π / 12+ cos 11π / 12.
2 ... Rahisisha misemo hii:
a). cos ( π / 3 + α ) + cos ( π / 3 - α ).
b). cos ( π / 3 + α ) - cos ( π / 3 - α ).
3. Kila moja ya vitambulisho
dhambi α + cos α = \/ 2 dhambi ( α + π / 4)
dhambi α - kos α = \/ 2 dhambi ( α - π / 4)
thibitisha kwa angalau njia mbili tofauti.
4. Maneno haya yanapaswa kuwasilishwa kwa namna ya kazi:
a). \/ 2 + 2cos α ... v). dhambi x + cos y.
b). \/ 3 - 2 cos α ... G). dhambi x - kos y.
5 ... Rahisisha usemi dhambi 2 ( α - π / 8) - cos 2 ( α + π / 8) .
6 .Fuata maneno haya (Na. 1156-1159):
a). 1 + dhambi α - kos α
b). dhambi α + dhambi (α + β) + dhambi β .
v). cos α + cos 2a+ cos 3a
G). 1 + dhambi α + cos α
7. Thibitisha utambulisho uliopewa
8. Thibitisha kwamba cosines ya pembe α na β ni sawa ikiwa na ikiwa tu
α = ± β + 2 nπ,
ambapo n ni nambari kamili.
Fomula za kutuma
Njia za utumaji hufanya iwezekane kupata maadili ya kazi za trigonometric kwa pembe zozote (sio zile za papo hapo tu). Kwa msaada wao, unaweza kufanya mabadiliko ambayo hurahisisha fomu ya misemo ya trigonometric.
Picha 1.
Mbali na fomula za kupunguza, kanuni zifuatazo za msingi hutumiwa katika kutatua matatizo.
1) Fomula za pembe moja:
2) Ufafanuzi wa baadhi ya vipengele vya trigonometric katika suala la wengine:
Maoni
Katika fomula hizi, ishara kali lazima itanguliwe na $ "+" $ au $ "-" $, kulingana na robo ambayo kona iko.
Jumla na tofauti ya sines, jumla na tofauti ya cosines
Fomula za jumla na tofauti za utendakazi:
Kwa kuongezea fomula za jumla na tofauti za kazi, wakati wa kutatua shida, fomula za bidhaa ya kazi ni muhimu:
Mahusiano ya msingi kati ya vipengele vya pembetatu za oblique
Hadithi:
$ a $, $ b $, $ c $ - pembetatu pande;
$ A $, $ B $, $ C $ - pembe kinyume na pande zilizoorodheshwa;
$ p = \ frac (a + b + c) (2) $ - nusu ya mzunguko;
$ S $ - eneo;
$ R $ - radius ya mzunguko wa mzunguko;
$ r $ - radius ya mduara ulioandikwa.
Mahusiano ya kimsingi:
1) $ \ frac (a) (\ dhambi A) = \ frac (b) (\ dhambi B) = \ frac (c) (\ dhambi C) = 2 \ cdot R $ - sine theorem;
2) $ a ^ (2) = b ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot b \ cdot c \ cdot \ cos A $ - cosine theorem;
3) $ \ frac (a + b) (a-b) = \ frac (tg \ frac (A + B) (2)) (tg \ frac (A-B) (2)) $ - tangent theorem;
4) $ S = \ frac (1) (2) \ cdot a \ cdot b \ cdot \ dhambi C = \ sqrt (p \ cdot \ kushoto (pa \ kulia) \ cdot \ kushoto (pb \ kulia) \ cdot \ kushoto (pc \ kulia)) = r \ cdot p = \ frac (a \ cdot b \ cdot c) (4 \ cdot R) $ - fomula za eneo.
Kutatua pembetatu za oblique
Suluhisho la pembetatu za oblique linajumuisha ufafanuzi wa mambo yake yote: pande na pembe.
Mfano 1
Kuna pande tatu $ a $, $ b $, $ c $:
1) katika pembetatu, theorem tu ya cosine inaweza kutumika kuhesabu pembe, kwani tu thamani kuu ya arccosine iko ndani ya $ 0 \ le \ arccos x \ le + \ \ pi $ inayolingana na pembetatu;
3) pata pembe $ B $ kwa kutumia nadharia ya cosine $ \ cos B = \ frac (a ^ (2) + c ^ (2) -b ^ (2)) (2 \ cdot a \ cdot c) $, na kisha inverse trigonometric kazi $ B = \ arccos \ kushoto (\ cos B \ kulia) $;
Mfano 2
Kwa kuzingatia pande mbili $ a $, $ b $ na pembe $ C $ kati yao:
1) pata upande wa $ c $ kwa nadharia ya cosine $ c ^ (2) = a ^ (2) + b ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot b \ cdot \ cos C $;
2) pata pembe $ A $ kwa kutumia nadharia ya cosine $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2)) (2 \ cdot b \ cdot c) $, na kisha inverse trigonometric kazi $ A = \ arccos \ kushoto (\ cos A \ kulia) $;
3) pata pembe $ B $ kwa formula $ B = 180 () ^ \ circ - \ kushoto (A + C \ kulia) $.
Mfano 3
Kwa kuzingatia pembe mbili $ A $, $ B $ na upande $ c $:
1) pata angle $ C $ kwa formula $ C = 180 () ^ \ circ - \ kushoto (A + B \ kulia) $;
2) pata upande wa $ a $ kwa nadharia ya sine $ a = \ frac (c \ cdot \ dhambi A) (\ dhambi C) $;
3) pata upande wa $ b $ kwa nadharia ya sine $ b = \ frac (c \ cdot \ dhambi B) (\ dhambi C) $.
Mfano 4
Kwa kuzingatia pande $ a $, $ b $ na kona $ B $ kinyume na upande $ b $:
1) tunaandika theorem ya cosine $ b ^ (2) = a ^ (2) + c ^ (2) -2 \ cdot a \ cdot c \ cdot \ cos B $, kwa kutumia maadili yaliyotolewa; kutoka kwa hili tunapata equation ya quadratic $ c ^ (2) - \ kushoto (2 \ cdot a \ cdot \ cos B \ kulia) \ cdot c + \ kushoto (a ^ (2) -b ^ (2) \ kulia) = 0 $ kwa heshima na pande $ c $;
2) baada ya kusuluhisha equation ya quadratic iliyopatikana, kinadharia tunaweza kupata moja ya kesi tatu - maadili mawili chanya kwa upande wa $ c $, dhamana moja nzuri kwa upande wa $ c $, kutokuwepo kwa maadili chanya kwa $ c $ upande; ipasavyo, shida itakuwa na suluhisho mbili, moja au sifuri;
3) kwa kutumia thamani maalum chanya ya upande $ c $, tunapata pembe $ A $ kwa kutumia theorem ya cosine $ \ cos A = \ frac (b ^ (2) + c ^ (2) -a ^ (2) )) (2 \ cdot b \ cdot c) $ ikifuatiwa na kazi kinyume cha trigonometric $ A = \ arccos \ kushoto (\ cos A \ kulia) $;
4) pata pembe $ C $ kwa formula $ C = 180 () ^ \ circ - \ kushoto (A + B \ kulia) $.
Fomula za jumla na tofauti za sine na kosini za pembe mbili α na β huruhusu moja kutoka kwa jumla ya pembe zilizoonyeshwa hadi kwa bidhaa ya pembe α + β 2 na α - β2. Mara moja, tunaona kwamba haupaswi kuchanganya kanuni za jumla na tofauti za sines na cosines na kanuni za sines na cosines za jumla na tofauti. Hapo chini tunaorodhesha fomula hizi, toa asili yao, na uonyeshe mifano ya utumiaji wa shida maalum.
Fomula za jumla na tofauti za sine na kosini
Hebu tuandike jinsi jumla na fomula za tofauti zinavyoonekana kwa sine na kwa kosini
Jumla na Fomula za Tofauti za Sines
dhambi α + dhambi β = 2 dhambi α + β 2 cos α - β 2 dhambi α - dhambi β = 2 dhambi α - β 2 cos α + β 2
Jumla na fomula tofauti za kosini
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 dhambi α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 dhambi α + β 2 β - α 2
Fomula hizi ni halali kwa pembe zozote α na β. Pembe α + β 2 na α - β 2 zinaitwa, kwa mtiririko huo, nusu ya jumla na nusu ya tofauti ya alpha na beta. Wacha tutoe muundo kwa kila fomula.
Ufafanuzi wa fomula za jumla na tofauti za sine na kosini
Jumla ya sines ya pembe mbili ni sawa na bidhaa mbili za sine ya nusu-jumla ya pembe hizi kwa kosine ya nusu-tofauti.
Tofauti ya sines ya pembe mbili ni sawa na bidhaa mbili za sine ya nusu-tofauti ya pembe hizi kwa kosine ya nusu-jumla.
Jumla ya cosines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya cosine ya nusu-jumla na cosine ya tofauti ya nusu ya pembe hizi.
Tofauti ya cosines ya pembe mbili ni sawa na bidhaa mbili za sine ya nusu-jumla na cosine ya tofauti ya nusu ya pembe hizi, zilizochukuliwa na ishara mbaya.
Utoaji wa fomula za jumla na tofauti za sine na kosini
Ili kupata fomula za jumla na tofauti ya sine na kosine ya pembe mbili, kanuni za nyongeza hutumiwa. Tunawawasilisha hapa chini
dhambi (α + β) = dhambi α cos β + cos α dhambi β dhambi (α - β) = dhambi α cos β - cos α dhambi β cos (α + β) = cos α cos β - dhambi α dhambi β cos ( α - β) = cos α cos β + dhambi α dhambi β
Pia tunawakilisha pembe zenyewe kama jumla ya nusu-jumla na nusu-tofauti.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Tunaendelea moja kwa moja kwenye upataji wa jumla na kanuni tofauti za sin na cos.
Utoaji wa fomula ya jumla ya sines
Katika jumla ya dhambi α + sin β, badilisha α na β na usemi wa pembe hizi zilizotolewa hapo juu. Tunapata
dhambi α + dhambi β = dhambi α + β 2 + α - β 2 + dhambi α + β 2 - α - β 2
Sasa tunatumia fomula ya kuongeza kwa usemi wa kwanza, na fomula ya sine ya tofauti za pembe hadi ya pili (tazama fomula hapo juu)
dhambi α + β 2 + α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 dhambi α + β 2 + α - β 2 + dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 + dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 Panua mabano, wasilisha maneno yanayofanana na upate fomula inayohitajika.
dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 + dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 dhambi α + β 2 cos α - β2
Hatua za kupata fomula zingine ni sawa.
Utoaji wa fomula ya tofauti ya sines
dhambi α - dhambi β = dhambi α + β 2 + α - β 2 - dhambi α + β 2 - α - β 2 dhambi α + β 2 + α - β 2 - dhambi α + β 2 - α - β 2 = dhambi α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 dhambi α - β 2 - dhambi α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 dhambi α - β 2 cos α + β2
Utoaji wa fomula ya jumla ya cosines
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β2
Utoaji wa formula ya tofauti ya cosines
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + dhambi α + β 2 dhambi α - β 2 = = - 2 dhambi α + β 2 dhambi α - β 2
Mifano ya kutatua matatizo ya vitendo
Kwanza, hebu tuangalie moja ya fomula kwa kubadilisha maadili maalum ya pembe ndani yake. Acha α = π 2, β = π 6. Hebu tuhesabu thamani ya jumla ya sines za pembe hizi. Kwanza, tutatumia jedwali la maadili ya msingi ya kazi za trigonometric, na kisha tutatumia formula ya jumla ya sines.
Mfano 1. Kuangalia fomula ya jumla ya sines ya pembe mbili
α = π 2, β = π 6 dhambi π 2 + dhambi π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 dhambi π 2 + dhambi π 6 = 2 dhambi π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = dhambi 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Wacha tuzingatie kesi hiyo wakati maadili ya pembe yanatofautiana na maadili ya kimsingi yaliyowasilishwa kwenye jedwali. Hebu α = 165 °, β = 75 °. Wacha tuhesabu thamani ya tofauti kati ya sines za pembe hizi.
Mfano 2. Utumiaji wa fomula ya tofauti ya sines
α = 165 °, β = 75 ° dhambi α - dhambi β = dhambi 165 ° - dhambi 75 ° dhambi 165 - dhambi 75 = dhambi 2 165 ° - 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 dhambi 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Kwa kutumia fomula za jumla na tofauti za sine na kosini, unaweza kutoka kwa jumla au tofauti hadi kwa bidhaa ya kazi za trigonometric. Fomula hizi mara nyingi huitwa kanuni za mpito za jumla-kwa-bidhaa. Fomula za jumla na tofauti za sine na kosini hutumika sana wakati wa kutatua milinganyo ya trigonometric na wakati wa kubadilisha usemi wa trigonometric.
Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali chagua na ubofye Ctrl + Ingiza
Mada ya somo. Jumla na tofauti ya sinuses. Jumla na tofauti ya cosines.
(Somo la kunyanyua maarifa mapya.)
Malengo ya somo.
Didactic:
kupata fomula za jumla ya sines na jumla ya cosines na kuwezesha uigaji wao wakati wa kutatua shida;
kuendelea na malezi ya ujuzi katika matumizi ya fomula za trigonometric;
kudhibiti kiwango cha unyambulishaji wa nyenzo kwenye mada.
Kukuza:
kuchangia katika maendeleo ya ujuzi wa matumizi ya kujitegemea ya ujuzi;
kukuza ujuzi wa kujidhibiti na kudhibiti pamoja;
kuendelea na kazi ya ukuzaji wa fikra za kimantiki na hotuba ya hesabu ya mdomo katika kutafuta suluhisho la shida inayoletwa.
Kielimu:
kufundisha uwezo wa kuwasiliana na kusikiliza wengine;
kuelimisha usikivu na uchunguzi;
kuchochea motisha na hamu ya kujifunza trigonometria.
Vifaa: uwasilishaji, ubao mweupe shirikishi, fomula.
Wakati wa madarasa:
Wakati wa kuandaa. - dakika 2.
Kusasisha maarifa ya kimsingi. Kurudia. - dakika 12
Mpangilio wa malengo. - dakika 1.
Mtazamo na ufahamu wa maarifa mapya. - 3 dakika.
Utumiaji wa maarifa yaliyopatikana. - dakika 20.
Uchambuzi wa mafanikio na marekebisho ya shughuli. - dakika 5.
Tafakari. - dakika 1.
Kazi ya nyumbani. - dakika 1.
1. Wakati wa kuandaa.(slaidi ya 1)
- Habari! Trigonometry ni mojawapo ya maeneo ya kuvutia zaidi ya hisabati, lakini kwa sababu fulani wanafunzi wengi wanaona kuwa ni vigumu zaidi. Hii inaweza kuelezewa zaidi na ukweli kwamba kuna fomula nyingi katika sehemu hii kuliko nyingine yoyote. Ili kusuluhisha shida za trigonometry, unahitaji kuwa na ujasiri katika fomula nyingi. Fomula nyingi tayari zimesomwa, lakini zinageuka, sio zote. Kwa hiyo, kauli mbiu ya somo hili itakuwa neno la Pythagoras "Barabara itasimamiwa na yule anayetembea, na hesabu - anayefikiri". Hebu fikiria!
2. Kusasisha maarifa ya kimsingi. Kurudia.
1) maagizo ya hisabati na ukaguzi wa pande zote(slaidi za 2-5)
Kazi ya kwanza. Kwa kutumia fomula zilizojifunza hesabu:
Chaguo 1
Chaguo la 2
dhambi 390 0
gharama 4200
1 - cos 2 30 0
1 - dhambi 2 60 0
cos 120 0 ∙ cos 30 0 + dhambi 120 0 ∙ dhambi 30 0
dhambi 30 0 ∙ cos 150 0 + cos 30 0 ∙ dhambi 150 0
Majibu:; 1; -; ; -; - 1; 1; ; ; 0; ; 3. - uthibitishaji wa pande zote.
Vigezo vya tathmini: (kazi hukabidhiwa kwa mwalimu)
"4" - 10 - 11
2) kazi ya shida(slide 6) - uwasilishaji wa mwanafunzi.
Rahisisha usemi kwa kutumia fomula za trigonometric:
Je, inawezekana kutatua tatizo hili tofauti? (Ndiyo, na fomula mpya.)
3. Kuweka malengo(slaidi ya 7)
Mada ya somo:
Jumla na tofauti ya sinuses. Jumla na tofauti ya cosines. - kuandika katika daftari
Malengo ya somo:
kupata fomula za jumla na tofauti za sines, jumla na tofauti ya kosini;
kuwa na uwezo wa kuzitumia kwa vitendo.
4. Mtazamo na ufahamu wa maarifa mapya. ( slaidi 8-9)
Tunapata fomula ya jumla ya sines: - mwalimu
Fomula zilizobaki zimethibitishwa vivyo hivyo: (fomula za kubadilisha jumla kuwa bidhaa)
Sheria za kukariri!
Katika uthibitisho wa ni fomula gani zingine za trigonometric zilitumiwa fomula za nyongeza?
5. Matumizi ya ujuzi uliopatikana.(slaidi za 10-11)
Na fomula mpya:
1) Hesabu: (ubaoni) - Jibu litakuwa nini? (nambari)
Kuamuru na mwalimu
6. Uchambuzi wa mafanikio na marekebisho ya shughuli.(slaidi ya 13)
Jaribio lililotofautishwa la kujipima na kujipima
Hesabu:
7. Tafakari.(slaidi ya 14)
Je, umeridhika na kazi yako katika somo?
Je, ungejitathmini vipi kwa somo zima?
Ni wakati gani wa kuvutia zaidi katika somo?
Ulipaswa kuzingatia wapi zaidi?
8. Kazi ya nyumbani: jifunze kanuni, kazi za kibinafsi kwenye kadi.
) Njia hizi huruhusu kutoka kwa jumla au tofauti ya sines na cosines ya pembe na kwenda kwa bidhaa ya sines na / au cosines ya pembe na. Katika makala hii, tutaorodhesha kwanza fomula hizi, kisha tuonyeshe asili yao, na kwa kumalizia, fikiria mifano kadhaa ya matumizi yao.
Urambazaji wa ukurasa.
Orodha ya fomula
Wacha tuandike fomula za jumla na tofauti za sines na cosines. Kama unavyoweza kufikiria, kuna nne kati yao: mbili kwa sines na mbili kwa cosines.
Sasa hebu tutoe maneno yao. Wakati wa kuunda kanuni za jumla na tofauti za sines na cosines, pembe inaitwa nusu ya jumla ya pembe na, na angle inaitwa nusu-tofauti. Kwa hiyo,
Ikumbukwe kwamba kanuni za jumla na tofauti za sines na cosine ni halali kwa pembe yoyote na.
Utoaji wa fomula
Ili kupata fomula za jumla na tofauti za sines, unaweza kutumia fomula za kuongeza, haswa, fomula.
sine jumla,
tofauti ya sine,
cosine ya jumla na
cosine ya tofauti.
Tunahitaji pia uwakilishi wa pembe katika fomu 
na 
... Uwakilishi huu ni halali, pamoja na kwa pembe yoyote na.
Sasa tutachambua kwa undani kupatikana kwa fomula ya jumla ya sines ya pembe mbili aina.
Kwanza, kwa jumla, tunabadilisha na na kuendelea , na tunapata. Sasa kwa 
tunatumia fomula ya sine ya jumla, na kwa 
- formula ya sine ya tofauti: 
Baada ya kupunguza masharti kama haya, tunapata 
... Kama matokeo, tunayo fomula ya jumla ya sines za fomu.
Ili kuonyesha fomula zingine, unahitaji tu kufanya vivyo hivyo. Hapa kuna uundaji wa fomula za tofauti za sines, pamoja na jumla na tofauti ya cosines: 
Kwa tofauti ya cosines, tumetoa fomula za aina mbili, au 
... Wao ni sawa tangu 
, ambayo ifuatavyo kutoka kwa mali ya sines ya pembe kinyume.
Kwa hivyo, tumechambua uthibitisho wa fomula zote za jumla na tofauti za sines na cosines.
Mifano ya kutumia
Wacha tuangalie mifano kadhaa ya kutumia fomula za jumla ya sines na cosines, na pia tofauti kati ya sines na cosines.
Kwa mfano, hebu tuangalie uhalali wa formula kwa jumla ya sines ya fomu, kuchukua na. Ili kufanya hivyo, tunahesabu maadili ya pande za kushoto na kulia za fomula ya pembe hizi. Kwa kuwa na (ikiwa ni lazima, angalia jedwali la maadili ya msingi ya sines na cosines), basi. Kwa na tunayo 
na 
, basi. Kwa hivyo, maadili ya pande za kushoto na kulia za fomula ya jumla ya sines na sanjari, ambayo inathibitisha uhalali wa fomula hii.
Katika baadhi ya matukio, matumizi ya fomula kwa jumla na tofauti ya sines na cosines hukuruhusu kuhesabu maadili ya misemo ya trigonometric wakati pembe ni tofauti na pembe za msingi ( 
) Wacha tutoe suluhisho kwa mfano unaothibitisha wazo hili.
Mfano.
Kuhesabu thamani halisi ya tofauti kati ya sines ya nyuzi 165 na 75.
Suluhisho.
Hatujui maadili halisi ya sines ya digrii 165 na 75, kwa hivyo hatuwezi kuhesabu moja kwa moja thamani ya tofauti iliyotolewa. Lakini formula ya tofauti ya sines inaturuhusu kujibu swali la shida. Hakika, nusu ya jumla ya pembe 165 na digrii 75 ni 120, na nusu ya tofauti ni 45, na maadili halisi ya sine 45 digrii na cosine 120 digrii zinajulikana.
Hivyo, tuna 
Jibu:
.
Bila shaka, thamani kuu ya fomula za jumla na tofauti za sines na cosines ni kwamba hukuruhusu kwenda kutoka kwa jumla na tofauti hadi kwa bidhaa ya kazi za trigonometric (kwa sababu hii, fomula hizi mara nyingi huitwa fomula za mpito. kutoka kwa jumla hadi bidhaa ya kazi za trigonometric). Na hii, kwa upande wake, inaweza kuwa na manufaa, kwa mfano, wakati kubadilisha usemi wa trigonometric au kwa kutatua milinganyo ya trigonometric... Lakini mada hizi zinahitaji mjadala tofauti.
Bibliografia.
- Aljebra: Kitabu cha kiada. kwa 9 cl. jumatano shule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky.- M .: Elimu, 1990.- 272 p.: mgonjwa.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa 10-11 cl. jumatano shk. - Toleo la 3. - M .: Elimu, 1993 .-- 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
- Aljebra na mwanzo wa uchanganuzi: Kitabu cha kiada. kwa 10-11 cl. elimu ya jumla. taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M .: Elimu, 2004 - 384 p.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Hisabati (mwongozo kwa waombaji kwa shule za ufundi): Kitabu cha maandishi. mwongozo - M .; Juu zaidi. shk., 1984.-351 p., mgonjwa.