ปริซึม. ขนานกัน

ปริซึมเรียกว่า ทรงหลายหน้าสองหน้าเท่ากัน น-กอน (สนาม) นอนในระนาบขนานและใบหน้าที่เหลือเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หน้าด้านข้าง) . ซี่โครงข้าง ปริซึมคือด้านข้างของหน้าปัดที่ไม่ได้เป็นของฐาน

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐานเรียกว่า ตรง ปริซึม (รูปที่ 1). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เรียกว่าปริซึม เฉียง . ถูกต้อง ปริซึมเป็นปริซึมตรง ซึ่งฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ส่วนสูงปริซึมเรียกว่าระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน เส้นทแยงมุม ปริซึมเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน ส่วนทแยงมุม ส่วนของปริซึมเรียกว่าระนาบผ่านขอบด้านข้างสองด้านที่ไม่อยู่ในหน้าเดียว ส่วนตั้งฉาก ส่วนของปริซึมเรียกว่าระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้างของปริซึม

พื้นที่ผิวด้านข้าง ปริซึมเรียกว่าผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทุกด้าน พื้นที่ผิวเต็ม เรียกว่า ผลรวมของพื้นที่ของหน้าปริซึมทั้งหมด (เช่น ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างและพื้นที่ฐาน)

สำหรับปริซึมตามอำเภอใจ สูตรต่อไปนี้ใช้ได้จริง:

ที่ไหน l- ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

NS

NS

ด้านเอส

อิ่ม

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับปริซึมตรง สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน NS- ปริมณฑลฐาน

l- ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง.

ขนานกันเรียกว่า ปริซึม ซึ่งฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกับขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานเรียกว่า โดยตรง (รูปที่ 2). ถ้าขอบด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เรียกว่า ขอบขนาน เฉียง ... สี่เหลี่ยมด้านขนาน มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เรียกว่า สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันทุกประการเรียกว่า ลูกบาศก์

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่า ฝ่ายตรงข้าม ... ความยาวของขอบที่ออกจากจุดยอดหนึ่งเรียกว่า การวัด ขนานกัน เนื่องจาก Parallepiped เป็นปริซึม องค์ประกอบหลักของมันจึงถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับที่กำหนดไว้สำหรับปริซึม

ทฤษฎีบท

1. เส้นทแยงมุมของส่วนที่ขนานกันตัดกันที่จุดหนึ่งและลดลงครึ่งหนึ่ง

2. ในสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมจัตุรัสของความยาวเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของสามมิติ:

3. เส้นทแยงมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากัน

สำหรับ Parallepiped โดยพลการ สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน l- ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูง;

NS- ปริมณฑลของส่วนตั้งฉาก

NS- พื้นที่ของส่วนตั้งฉาก

ด้านเอส- พื้นที่ผิวด้านข้าง

อิ่ม- พื้นที่ผิวทั้งหมด

S หลัก- พื้นที่ฐาน;

วีคือปริมาตรของปริซึม

สำหรับเส้นตรงขนานกัน สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

ที่ไหน NS- ปริมณฑลฐาน

l- ความยาวของซี่โครงด้านข้าง

ชม- ความสูงของเส้นตรงขนานกัน

สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรต่อไปนี้เป็นจริง:

(3)

ที่ไหน NS- ปริมณฑลฐาน

ชม- ความสูง;

NS- เส้นทแยงมุม;

ก, ข, ค- การวัดของ parallelepiped

สำหรับลูกบาศก์ สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง:

ที่ไหน NS- ความยาวซี่โครง

NSคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์

ตัวอย่างที่ 1เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 33 dm และขนาดของมันสัมพันธ์กันเป็น 2: 6: 9 จงหาขนาดของส่วนสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สารละลาย.ในการหาขนาดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราใช้สูตร (3) นั่นคือ โดยข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เท่ากับผลรวมของกำลังสองของค่าที่วัดได้ ให้เราแทนด้วย kค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน จากนั้นขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็น2 k, 6kและ 9 k... มาเขียนสูตร (3) สำหรับข้อมูลปัญหากัน:

การแก้สมการนี้สำหรับ k, เราได้รับ:

ซึ่งหมายความว่าขนาดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 6 dm, 18 dm และ 27 dm

ตอบ: 6 ม. 18 ม. 27 ม.

ตัวอย่างที่ 2หาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียง ซึ่งฐานของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ถ้าขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของฐานและเอียงทำมุม 60 องศากับฐาน

สารละลาย . มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 3)

ในการหาปริมาตรของปริซึมเอียง จำเป็นต้องทราบพื้นที่ฐานและความสูง พื้นที่ฐานของปริซึมนี้คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 8 ซม. ลองคำนวณกัน:

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างฐานของมัน จากด้านบน NS 1 ของฐานบน เราลดฉากตั้งฉากกับระนาบของฐานล่าง NS 1 NS... ความยาวของมันจะเป็นความสูงของปริซึม พิจารณาD NS 1 AD: เนื่องจากนี่คือมุมเอียงของซี่โครงด้านข้าง NS 1 NSสู่ระนาบของฐาน NS 1 NS= 8 ซม. จากสามเหลี่ยมนี้เราพบว่า NS 1 NS:

ตอนนี้เราคำนวณปริมาตรตามสูตร (1):

ตอบ: 192 ซม. 3

ตัวอย่างที่ 3ขอบด้านข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติคือ 14 ซม. พื้นที่ส่วนแนวทแยงที่ใหญ่ที่สุดคือ 168 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 4)

ส่วนแนวทแยงที่ใหญ่ที่สุด - สี่เหลี่ยมผืนผ้า AA 1 DD 1 เนื่องจากเส้นทแยงมุม ADหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFเป็นสิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึม จำเป็นต้องทราบด้านข้างของฐานและความยาวของซี่โครงด้านข้าง

เมื่อทราบพื้นที่ของส่วนในแนวทแยง (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) เราจะพบเส้นทแยงมุมของฐาน

ตั้งแต่นั้นมา

ตั้งแต่นั้นมา AB= 6 ซม.

แล้วปริมณฑลของฐานคือ:

ให้เราหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึม:

พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีด้าน 6 ซม. คือ:

ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน พื้นที่ของส่วนในแนวทแยงคือ 300 ซม. 2 และ 875 ซม. 2 หาพื้นที่ผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน.

สารละลาย.มาวาดรูปกันเถอะ (รูปที่ 5)

ให้เราแสดงถึงด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผ่าน NS, เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน NS 1 และ NS 2 ความสูงของ parallelepiped ชม... ในการหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของเส้นตรงขนานกัน ให้คูณปริมณฑลของฐานด้วยความสูง: (สูตร (2)) ปริมณฑลฐาน p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, เพราะ เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน H = AA 1 = ชม... ที่. ต้องหาให้เจอ NSและ ชม.

พิจารณาส่วนในแนวทแยง AA 1 NS 1 - สี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งเป็นเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เช่น = NS 1 ที่สองคือซี่โครงด้านข้าง AA 1 = ชม, แล้ว

ในทำนองเดียวกันสำหรับส่วน BB 1 DD 1 เราได้รับ:

โดยใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อให้ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน เราจะได้ค่าเท่ากัน เราได้รับดังต่อไปนี้

"บทเรียนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส" - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำหนดประเภทของรูปสี่เหลี่ยม KMNP อุ่นเครื่อง ทำความคุ้นเคยกับทฤษฎีบท กำหนดประเภทของสามเหลี่ยม: แผนการสอน: ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์. การแก้ปัญหางานที่ง่ายที่สุด และคุณจะพบบันไดที่มีความยาว 125 ฟุต คำนวณความสูง CF ของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD การพิสูจน์. กำลังแสดงรูปภาพ การพิสูจน์ทฤษฎีบท

"ปริมาตรของปริซึม" - แนวคิดของปริซึม ปริซึมตรง ปริมาตรของปริซึมเดิมเท่ากับผลคูณ S · h. จะหาปริมาตรของปริซึมตรงได้อย่างไร? ปริซึมสามารถแบ่งออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมตรงที่มีความสูง h วาดความสูงของสามเหลี่ยม ABC การแก้ปัญหา วัตถุประสงค์ของบทเรียน อะไรคือขั้นตอนหลักในการพิสูจน์ทฤษฎีบทปริซึมโดยตรง? ศึกษาทฤษฎีบทเกี่ยวกับปริมาตรของปริซึม

"Prism polyhedrons" - ให้คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยม DABC - จัตุรมุข, รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน การประยุกต์ใช้ปริซึม ปริซึมใช้ที่ไหน? ABCDMP เป็นรูปทรงแปดด้านที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมแปดรูป ABCDA1B1C1D1 - รูปทรงหลายเหลี่ยมด้านขนานและนูน รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน แนวคิดของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยม A1A2..AnB1B2..Bn เป็นปริซึม

"ปริซึมเกรด 10" - ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าอยู่ในระนาบคู่ขนาน การใช้ปริซึมในชีวิตประจำวัน ด้าน S = P เป็นฐาน + h สำหรับปริซึมตรง: Sp.p = Pbasis h + 2S ฐาน เอียง. ถูกต้อง. ตรง. ปริซึม. สูตรการหาพื้นที่ การประยุกต์ใช้ปริซึมในงานสถาปัตยกรรม Sp.p = ด้าน S + 2S ขึ้นอยู่กับ

"การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส" - การพิสูจน์ทางเรขาคณิต ความหมายของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บทพิสูจน์ของยุคลิด "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา" การพิสูจน์ทฤษฎีบท ความหมายของทฤษฎีบทอยู่ที่ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของเรขาคณิตสามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทนี้หรือด้วยความช่วยเหลือ

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" รวมหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นเพื่อให้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ได้สำเร็จด้วยคะแนน 60-65 งานทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เสร็จสมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์ อยากสอบผ่านให้ได้ 90-100 คะแนน ต้องแก้ภาค 1 ใน 30 นาที และไม่มีพลาด!

คอร์สเตรียมสอบ ป.10-11 รวมทั้งครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการในการแก้ปัญหาส่วนที่ 1 ของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหาที่ 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือคะแนนสอบมากกว่า 70 คะแนน และทั้งนักเรียนร้อยคะแนนและนักเรียนด้านมนุษยศาสตร์ไม่สามารถทำได้โดยปราศจากพวกเขา

ทฤษฎีทั้งหมดที่คุณต้องการ วิธีแก้ปัญหา กับดัก และความลับของข้อสอบอย่างรวดเร็ว ถอดประกอบงานที่เกี่ยวข้องทั้งหมดของส่วนที่ 1 จากธนาคารงานของ FIPI หลักสูตรตรงตามข้อกำหนดของการสอบปี 2018 อย่างครบถ้วน

หลักสูตรนี้มี 5 หัวข้อใหญ่ๆ ละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อมีให้ตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและตรงไปตรงมา

ข้อสอบนับร้อย ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและจำง่ายสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์การมอบหมาย USE ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่เป็นประโยชน์ พัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติจากศูนย์สู่ปัญหาที่ 13 ทำความเข้าใจแทนการยัดเยียด คำอธิบายภาพแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก ดีกรีและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในส่วนที่ 2 ของการสอบ

ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับปริซึมตรง

พื้นผิวด้านข้างของปริซึม (ให้ละเอียดกว่านั้นคือ พื้นที่ผิวด้านข้าง) เรียกว่า ผลรวมบริเวณใบหน้าด้านข้าง พื้นผิวทั้งหมดของปริซึมเท่ากับผลรวมของพื้นผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน

ทฤษฎีบท 19.1. พื้นผิวด้านข้างของปริซึมตรงเท่ากับผลคูณของเส้นรอบรูปฐานโดยความสูงของปริซึม นั่นคือ โดยความยาวของซี่โครงด้านข้าง

การพิสูจน์. ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ฐานของสี่เหลี่ยมเหล่านี้คือด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่ที่ฐานของปริซึม และความสูงเท่ากับความยาวของขอบด้านข้าง ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของปริซึมจึงเท่ากับ

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

โดยที่ 1 และ n คือความยาวของขอบฐาน p คือปริมณฑลของฐานของปริซึม และฉัน คือความยาวของขอบด้านข้าง ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานปฏิบัติ

ความท้าทาย (22) ... ในปริซึมเอียง ส่วนตั้งฉากกับซี่โครงด้านข้างและตัดซี่โครงด้านข้างทั้งหมด หาพื้นผิวด้านข้างของปริซึมถ้าเส้นรอบรูปของส่วนเป็น p และขอบด้านข้างเป็น l

สารละลาย. ระนาบของส่วนที่วาดแบ่งปริซึมออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 411) ลองแปลงหนึ่งในนั้นให้เป็นแบบขนานที่ตรงกับฐานของปริซึม ในกรณีนี้ เราจะได้ปริซึมตรง ซึ่งฐานคือส่วนของปริซึมดั้งเดิม และขอบด้านข้างเท่ากับ l ปริซึมนี้มีพื้นผิวด้านข้างเหมือนกันกับของจริง ดังนั้นพื้นผิวด้านข้างของปริซึมเดิมจึงเท่ากับ pl

สรุปหัวข้อที่กล่าวถึง

และตอนนี้ เรามาลองสรุปหัวข้อที่ผ่านมาเกี่ยวกับปริซึมและจดจำคุณสมบัติของปริซึมกัน

คุณสมบัติของปริซึม

อย่างแรก สำหรับปริซึม ฐานทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน
ประการที่สอง ในกรณีของปริซึม ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ประการที่สาม ในรูปปริซึมที่มีหลายแง่มุม ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

นอกจากนี้ ควรจำไว้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม เช่น ปริซึม สามารถเป็นแบบตรงและเฉียงได้

ปริซึมใดเรียกว่าเส้นตรง

หากขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง

จะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะระลึกว่าใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริซึมชนิดใดที่เรียกว่าเฉียง?

แต่ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบของฐาน เราก็บอกได้เลยว่านี่คือปริซึมเอียง

ปริซึมใดเรียกว่าถูกต้อง

หากรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐานของปริซึมตรง แสดงว่าปริซึมนั้นถูกต้อง

ตอนนี้ให้เราระลึกถึงคุณสมบัติของปริซึมที่ถูกต้อง

คุณสมบัติของปริซึมที่ถูกต้อง

อย่างแรก รูปหลายเหลี่ยมปกติทำหน้าที่เป็นฐานของปริซึมปกติเสมอ
ประการที่สอง หากเราพิจารณาด้านด้านข้างของปริซึมปกติ พวกมันจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันเสมอ
ประการที่สาม ถ้าเราเปรียบเทียบขนาดของซี่โครงด้านข้าง ในปริซึมที่ถูกต้อง พวกมันจะเท่ากันเสมอ
ประการที่สี่ ปริซึมที่ถูกต้องจะตรงเสมอ
ประการที่ห้า ถ้าในปริซึมปกติ ใบหน้าด้านข้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวเลขดังกล่าวมักจะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ

ส่วนปริซึม

ทีนี้มาดูส่วนตัดขวางของปริซึม:

การบ้าน

ทีนี้ลองรวมหัวข้อที่ศึกษาโดยการแก้ปัญหา

ลองวาดปริซึมสามเหลี่ยมเฉียงกัน ซึ่งระยะห่างระหว่างขอบจะเท่ากับ 3 ซม. 4 ซม. และ 5 ซม. และพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้จะเท่ากับ 60 ซม.2 ด้วยพารามิเตอร์เหล่านี้ ให้หาขอบด้านข้างของปริซึมนี้

คุณรู้หรือไม่ว่ารูปทรงเรขาคณิตล้อมรอบเราอยู่ตลอดเวลา ไม่เพียงแต่ในบทเรียนเรขาคณิตเท่านั้น แต่ในชีวิตประจำวันยังมีวัตถุที่คล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตอีกด้วย

บ้าน โรงเรียน หรือที่ทำงานทุกหลังมีคอมพิวเตอร์ ซึ่งหน่วยระบบจะอยู่ในรูปของปริซึมตรง

หากคุณหยิบดินสอธรรมดาขึ้นมา คุณจะเห็นว่าส่วนหลักของดินสอคือปริซึม

เมื่อเดินไปตามถนนสายหลักของเมือง จะเห็นได้ว่าใต้ฝ่าเท้าของเรามีแผ่นกระเบื้องที่มีรูปร่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยม

A. V. Pogorelov, เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11, ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา