Idadi isitoshe tofauti hutuzunguka kila siku. Hakika watu wengi walishangaa angalau mara moja ni nambari gani inachukuliwa kuwa kubwa zaidi. Unaweza kumwambia mtoto tu kwamba hii ni milioni, lakini watu wazima wanajua vizuri kwamba idadi nyingine hufuata milioni. Kwa mfano, ni muhimu tu kuongeza moja kwa nambari kila wakati, na itakuwa zaidi na zaidi - hii hutokea ad infinitum. Lakini ukitenganisha nambari zilizo na majina, unaweza kujua nambari kubwa zaidi ulimwenguni inaitwa nini.
Kuibuka kwa majina ya nambari: ni njia gani zinazotumiwa?
Leo kuna mifumo 2 kulingana na ambayo nambari hupewa majina - Amerika na Kiingereza. Ya kwanza ni ya moja kwa moja, wakati ya pili ni ya kawaida zaidi duniani kote. Amerika hukuruhusu kutoa majina kwa idadi kubwa kama hii: kwanza, nambari ya ordinal katika Kilatini imeonyeshwa, na kisha kiambishi "illion" kinaongezwa (isipokuwa hapa ni milioni, ikimaanisha elfu). Mfumo huu unatumiwa na Wamarekani, Wafaransa, Wakanada, na pia hutumiwa katika nchi yetu.
Kiingereza kinatumika sana nchini Uingereza na Uhispania. Kulingana na hilo, nambari hizo zimetajwa kama ifuatavyo: nambari kwa Kilatini ni "pamoja" na kiambishi "illion", na nambari inayofuata (mara elfu) ni "pamoja" na "illiard". Kwa mfano, kwanza inakuja trilioni, ikifuatiwa na trilioni, ikifuatiwa na quadrillion, na kadhalika.
Kwa hivyo, idadi sawa katika mifumo tofauti inaweza kumaanisha vitu tofauti, kwa mfano, bilioni ya Amerika katika mfumo wa Kiingereza inaitwa bilioni.
Nambari za nje ya mfumo
Mbali na nambari ambazo zimeandikwa kulingana na mifumo inayojulikana (hapo juu), pia kuna zisizo za utaratibu. Wana majina yao wenyewe, ambayo hayajumuishi viambishi vya Kilatini.
Unaweza kuanza kuzizingatia kwa nambari inayoitwa elfu kumi. Inafafanuliwa kama mamia mia moja (10000). Lakini kwa madhumuni yake yaliyokusudiwa, neno hili halitumiki, lakini linatumika kama dalili ya wasiohesabika. Hata kamusi ya Dahl itatoa ufafanuzi wa nambari kama hiyo.
Ifuatayo baada ya elfu kumi ni googol, inayoashiria 10 kwa nguvu ya 100. Jina hili lilitumiwa kwanza mwaka wa 1938 - na mtaalamu wa hisabati kutoka Amerika E. Kasner, ambaye alibainisha kuwa jina hili lilizuliwa na mpwa wake.
Google (injini ya utaftaji) ilipata jina lake kwa heshima ya googol. Kisha 1-tsa na googol ya sifuri (1010100) ni googolplex - Kasner pia aligundua jina hili.
Kubwa zaidi kwa kulinganisha na googolplex ni nambari ya Skuse (e hadi e kwa nguvu ya e79), iliyopendekezwa na Skuse katika uthibitisho wa dhana ya Rimmann juu ya primes (1933). Kuna nambari nyingine ya Skuse, lakini inatumika wakati nadharia ya Rimmann si sahihi. Ni ngumu kusema ni nani kati yao zaidi, haswa linapokuja suala la digrii kubwa. Walakini, nambari hii, licha ya "ukubwa" wake, haiwezi kuzingatiwa kuwa wengi zaidi ya wale wote ambao wana majina yao wenyewe.
Na kiongozi kati ya idadi kubwa zaidi ulimwenguni ni nambari ya Graham (G64). Ni yeye ambaye alitumiwa kwa mara ya kwanza kutekeleza uthibitisho katika uwanja wa sayansi ya hisabati (1977).
Linapokuja suala la nambari kama hiyo, unahitaji kujua kuwa huwezi kufanya bila mfumo maalum wa kiwango cha 64 iliyoundwa na Knut - sababu ya hii ni unganisho la nambari G na hypercubes za bichromatic. Mjeledi aligundua digrii ya juu, na ili iwe rahisi kuandika maandishi yake, alipendekeza kutumia mishale ya juu. Kwa hivyo tulijifunza jina la nambari kubwa zaidi ulimwenguni. Inafaa kumbuka kuwa nambari hii ya G ilipata kwenye kurasa za Kitabu maarufu cha Rekodi.
Juni 17, 2015
"Ninaona vikundi vya nambari zisizo wazi ambazo zimejificha huko, gizani, nyuma ya sehemu ndogo ya mwanga ambayo mshumaa wa akili hutoa. Wananong'ona wao kwa wao; kula njama ambaye anajua nini. Labda hawatupendi sana kwa kuwakamata wadogo zao kwa akili zetu. Au, pengine, wanaongoza tu njia ya maisha ya nambari isiyo na utata, huko, zaidi ya ufahamu wetu'.
Douglas Ray
Tunaendelea na yetu. Leo tunayo nambari ...
Hivi karibuni au baadaye, kila mtu anateswa na swali, ni nambari gani kubwa zaidi. Swali la mtoto linaweza kujibiwa kwa milioni. Nini kinafuata? Trilioni. Na hata zaidi? Kwa kweli, jibu la swali la nambari kubwa zaidi ni rahisi. Unahitaji tu kuongeza moja kwa nambari kubwa zaidi, kwani haitakuwa kubwa zaidi. Utaratibu huu unaweza kuendelea kwa muda usiojulikana.
Na ikiwa unauliza swali: ni nambari gani kubwa zaidi iliyopo, na jina lake mwenyewe ni nini?
Sasa sote tutajua ...
Kuna mifumo miwili ya kutaja nambari - Amerika na Kiingereza.
Mfumo wa Amerika ni rahisi sana. Majina yote ya idadi kubwa yameundwa kama ifuatavyo: mwanzoni kuna nambari ya Kilatini ya ordinal, na mwishowe kiambishi-milioni kinaongezwa kwake. Isipokuwa ni jina "milioni" ambalo ni jina la nambari elfu moja (lat. mille) na kiambishi-milioni kinachoongezeka (tazama jedwali). Hivi ndivyo nambari zinavyopatikana - trilioni, quadrillion, quintillion, sextillion, septillion, octillion, nonillion na decillion. Mfumo wa Amerika unatumika USA, Canada, Ufaransa na Urusi. Unaweza kujua idadi ya sufuri katika nambari iliyoandikwa katika mfumo wa Amerika kwa kutumia fomula rahisi 3 x + 3 (ambapo x ni nambari ya Kilatini).
Mfumo wa majina ya Kiingereza ndio unaojulikana zaidi ulimwenguni. Inatumika, kwa mfano, huko Uingereza na Uhispania, na vile vile katika koloni nyingi za zamani za Kiingereza na Uhispania. Majina ya nambari katika mfumo huu yamejengwa kama hii: kwa hivyo: kiambishi-milioni kinaongezwa kwa nambari ya Kilatini, nambari inayofuata (mara 1000 kubwa) imejengwa kulingana na kanuni - nambari ile ile ya Kilatini, lakini kiambishi ni . -bilioni. Hiyo ni, baada ya trilioni katika mfumo wa Kiingereza, kuna trilioni, na kisha tu quadrillion, ikifuatiwa na quadrillion, nk. Kwa hivyo, quadrillion katika mifumo ya Kiingereza na Amerika ni nambari tofauti kabisa! Unaweza kujua idadi ya sufuri katika nambari iliyoandikwa katika mfumo wa Kiingereza na kumalizia na kiambishi-milioni kwa fomula 6 x + 3 (ambapo x ni nambari ya Kilatini) na kwa formula 6 x + 6 kwa nambari zinazoishia. -bilioni.
Ni idadi tu bilioni (10 9) iliyopitishwa kutoka kwa mfumo wa Kiingereza hadi lugha ya Kirusi, ambayo bado ingekuwa sahihi zaidi kuiita kama Wamarekani wanavyoiita - bilioni, kwani ni mfumo wa Amerika ambao umepitishwa katika nchi yetu. Lakini ni nani katika nchi yetu anafanya kitu kulingana na sheria! ;-) Kwa njia, wakati mwingine neno trilioni hutumiwa pia kwa Kirusi (unaweza kujionea mwenyewe kwa kuendesha utafutaji katika Google au Yandex) na ina maana, inaonekana, trilioni 1000, i.e. quadrillion.
Mbali na nambari zilizoandikwa kwa kutumia viambishi vya Kilatini kulingana na mfumo wa Amerika au Kiingereza, kinachojulikana nambari za mfumo wa mbali pia hujulikana, i.e. nambari ambazo zina majina yao bila viambishi vya Kilatini. Kuna nambari kadhaa kama hizo, lakini nitazungumza juu yao kwa undani zaidi baadaye kidogo.
Hebu turejee kuandika kwa kutumia nambari za Kilatini. Inaweza kuonekana kuwa wanaweza kuandika nambari kwa infinity, lakini hii sio kweli kabisa. Acha nieleze kwa nini. Wacha tuone kwanza jinsi nambari kutoka 1 hadi 10 33 zinaitwa:
Na kwa hivyo, sasa swali linatokea, ni nini kinachofuata. Nini nyuma ya decillion? Kimsingi, kwa kweli, inawezekana, kwa kweli, kwa kuchanganya viambishi awali kutoa monsters kama vile: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion na novemdecillion, lakini haya yatakuwa tayari majina ya kiwanja, lakini sisi. walivutiwa na nambari. Kwa hivyo, kulingana na mfumo huu, pamoja na hapo juu, bado unaweza kupata majina matatu tu - vigintillion (kutoka lat.macho- ishirini), sentimita (kutoka lat.centum- mia moja) na milioni (kutoka lat.mille- elfu). Warumi hawakuwa na zaidi ya elfu ya majina yao wenyewe kwa nambari (nambari zote zaidi ya elfu zilikuwa za mchanganyiko). Kwa mfano, Warumi waliita milioni moja (1,000,000)decies centena milia, yaani, "laki kumi". Na sasa, kwa kweli, meza:
Kwa hivyo, kulingana na mfumo kama huo, nambari ni kubwa kuliko 10 3003 , ambayo ingekuwa na jina lake mwenyewe, lisilo la mchanganyiko, haiwezekani kupata! Lakini hata hivyo, nambari zaidi ya milioni milioni zinajulikana - hizi ni nambari zisizo na mfumo. Hebu hatimaye tuwaambie kuhusu wao.
Nambari ndogo kama hiyo ni elfu kumi (hata katika kamusi ya Dahl), ambayo inamaanisha mamia, ambayo ni, 10,000 haimaanishi nambari dhahiri kabisa, lakini seti isiyohesabika, isiyohesabika ya kitu. Inaaminika kuwa neno elfu kumi lilikuja katika lugha za Uropa kutoka Misri ya Kale.
Kuna maoni tofauti juu ya asili ya nambari hii. Wengine wanaamini kwamba ilitoka Misri, wakati wengine wanaamini kwamba ilizaliwa tu katika Ugiriki ya Kale. Iwe hivyo kwa kweli, lakini maelfu ya watu walipata umaarufu kutokana na Wagiriki. Miriadi lilikuwa jina la 10,000, lakini hapakuwa na majina ya nambari zaidi ya elfu kumi. Hata hivyo, katika noti "Psammit" (yaani calculus ya mchanga), Archimedes alionyesha jinsi mtu anaweza kuunda kwa utaratibu na kutaja idadi kubwa kiholela. Hasa, akiweka chembe 10,000 za mchanga kwenye mbegu ya poppy, anapata kwamba katika Ulimwengu (tufe yenye kipenyo cha maelfu ya vipenyo vya Dunia) sio zaidi ya 10. 63
nafaka za mchanga. Inashangaza kwamba mahesabu ya kisasa ya idadi ya atomi kwenye Ulimwengu unaoonekana husababisha nambari 10. 67
(mara elfu moja tu zaidi). Archimedes alipendekeza majina yafuatayo kwa nambari:
1 elfu = 10 4.
1 d-miriad = maelfu ya maelfu = 10 8
.
1 elfu mia tatu = di-miriad di-myriad = 10 16
.
1 tetra-miriadi = elfu kumi elfu kumi na tatu = 10 32
.
na kadhalika.
Googol (kutoka kwa Kiingereza googol) ni nambari ya kumi hadi ya mia, ambayo ni, moja ikifuatiwa na sufuri mia moja. Googol iliandikwa kwa mara ya kwanza mnamo 1938 katika nakala "Majina Mapya katika Hisabati" katika toleo la Januari la Scripta Mathematica na mwanahisabati wa Amerika Edward Kasner. Kulingana naye, mpwa wake Milton Sirotta mwenye umri wa miaka tisa alipendekeza kuwaita watu wengi "googol". Nambari hii ilijulikana shukrani kwa injini ya utaftaji iliyopewa jina lake. Google... Kumbuka kuwa "Google" ni chapa ya biashara na googol ni nambari.
Edward Kasner.
Kwenye mtandao, mara nyingi unaweza kupata imetajwa kuwa - lakini sio ...
Katika risala maarufu ya Wabuddha Jaina Sutra iliyoanzia 100 KK, nambari asankheya (kutoka Ch. asenci- isitoshe) sawa na 10 140. Inaaminika kuwa nambari hii ni sawa na idadi ya mizunguko ya ulimwengu inayohitajika kufikia nirvana.
Googolplex (eng. googolplex) ni nambari ambayo pia ilivumbuliwa na Kasner akiwa na mpwa wake na ina maana moja yenye googol ya sufuri, yaani, 10. 10100 ... Hivi ndivyo Kasner mwenyewe anaelezea "ugunduzi" huu:
Maneno ya hekima husemwa na watoto angalau mara nyingi kama wanasayansi. Jina "googol" lilibuniwa na mtoto (mpwa wa Dk. Kasner wa miaka tisa) ambaye aliulizwa kufikiria jina la nambari kubwa sana, yaani, 1 na sifuri mia baada yake. Na hakika kwamba nambari hii haikuwa na kikomo, na kwa hivyo hakika kwamba ilipaswa kuwa na jina.Wakati huo huo alipopendekeza "googol" alitoa jina kwa nambari kubwa zaidi: "Googolplex." Googolplex ni kubwa zaidi kuliko googol, lakini bado ina mwisho, kama mvumbuzi wa jina alikuwa haraka kutaja.
Hisabati na Mawazo(1940) na Kasner na James R. Newman.
Nambari kubwa zaidi kuliko googolplex, nambari ya Skewes ", ilipendekezwa na Skewes mnamo 1933 (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) katika kuthibitisha dhana ya Riemann kuhusu nambari kuu. Inamaanisha e kwa kiasi e kwa kiasi e kwa mamlaka ya 79, yaani, ee e 79 ... Baadaye, Riele (te Riele, H. J. J. "Juu ya Ishara ya Tofauti NS(x) -Li (x)" Hisabati. Kompyuta. 48, 323-328, 1987) ilipunguza nambari ya Skuse kuwa ee. 27/4 , ambayo ni takriban sawa na 8.185 · 10 370. Ni wazi kuwa kwa kuwa thamani ya nambari ya Skuse inategemea nambari e, basi sio nambari, kwa hivyo hatutazingatia, vinginevyo tutalazimika kukumbuka nambari zingine zisizo za asili - pi, e, nk.
Lakini ikumbukwe kwamba kuna nambari ya pili ya Skuse, ambayo katika hisabati inaashiria Sk2, ambayo ni kubwa zaidi kuliko nambari ya kwanza ya Skuse (Sk1). Nambari ya pili ya Skewes, ilianzishwa na J. Skuse katika makala hiyo hiyo ili kuashiria nambari ambayo nadharia ya Riemann si sahihi. Sk2 ni 1010 10103 , yaani, 1010 101000 .
Kama unavyoelewa, zaidi kuna idadi ya digrii, ni ngumu zaidi kuelewa ni ipi kati ya nambari ni kubwa zaidi. Kwa mfano, ukiangalia nambari za Skuse, bila mahesabu maalum, karibu haiwezekani kuelewa ni ipi kati ya nambari hizi mbili ni kubwa zaidi. Kwa hivyo, inakuwa ngumu kutumia nguvu kwa idadi kubwa sana. Kwa kuongezea, unaweza kufikiria nambari kama hizo (na tayari zimevumbuliwa) wakati digrii za digrii haziingii kwenye ukurasa. Ndiyo, ni ukurasa gani! Hawatatoshea, hata katika kitabu cha ukubwa wa Ulimwengu wote! Katika kesi hii, swali linatokea jinsi ya kuziandika. Shida, kama unavyoelewa, inaweza kutatuliwa, na wanahisabati wameunda kanuni kadhaa za kuandika nambari kama hizo. Kweli, kila mtaalamu wa hisabati ambaye aliuliza tatizo hili alikuja na njia yake ya kuandika, ambayo ilisababisha kuwepo kwa njia kadhaa zisizohusiana za kuandika nambari - hizi ni maelezo ya Knuth, Conway, Steinhouse, nk.
Fikiria nukuu ya Hugo Steinhaus (H. Steinhaus. Picha za Hisabati, toleo la 3. 1983), ambayo ni rahisi sana. Stein House ilipendekeza kuandika idadi kubwa ndani ya maumbo ya kijiometri - pembetatu, mraba na mduara:
Steinhaus alikuja na nambari mbili kubwa zaidi. Alitaja namba Mega na namba Megiston.
Mtaalamu wa hisabati Leo Moser aliboresha nukuu ya Stenhouse, ambayo ilipunguzwa na ukweli kwamba ikiwa inahitajika kuandika nambari kubwa zaidi kuliko megiston, shida na usumbufu ziliibuka, kwani miduara mingi ililazimika kuchorwa moja ndani ya nyingine. Moser alipendekeza kuchora sio miduara, lakini pentagoni baada ya mraba, kisha hexagons, na kadhalika. Pia alipendekeza nukuu rasmi kwa poligoni hizi ili nambari ziandikwe bila kuchora michoro changamano. Nukuu ya Moser inaonekana kama hii:
Kwa hivyo, kulingana na nukuu ya Moser, mega ya Steinhouse imeandikwa kama 2, na megiston kama 10. Kwa kuongezea, Leo Moser alipendekeza kuita poligoni yenye idadi ya pande sawa na mega-megagon. Na akapendekeza nambari "2 katika Megagon", yaani 2. Nambari hii ilijulikana kama nambari ya Moser (nambari ya Moser) au kwa kifupi kama moser.
Lakini Moser sio idadi kubwa pia. Nambari kubwa zaidi kuwahi kutumika katika uthibitisho wa hisabati ni idadi ya kikomo inayojulikana kama nambari ya Graham "s, iliyotumika kwa mara ya kwanza mnamo 1977 kuthibitisha makadirio moja katika nadharia ya Ramsey. Inahusishwa na hypercubes ya bichromatic na haiwezi kuonyeshwa. bila mfumo maalum wa ngazi 64. ya alama maalum za hisabati iliyoanzishwa na Knuth mnamo 1976.
Kwa bahati mbaya, nambari iliyoandikwa katika nukuu ya Knuth haiwezi kutafsiriwa katika mfumo wa Moser. Kwa hivyo, tutalazimika kuelezea mfumo huu pia. Kimsingi, hakuna chochote ngumu juu yake pia. Donald Knuth (ndio, ndio, huyu ndiye Knuth aliyeandika Sanaa ya Kupanga na kuunda mhariri wa TeX) aligundua wazo la digrii ya juu, ambayo alipendekeza kuandika na mishale inayoelekeza juu:
Kwa ujumla, inaonekana kama hii:
Nadhani kila kitu kiko wazi, kwa hivyo turudi kwenye nambari ya Graham. Graham alipendekeza kinachojulikana kama nambari za G:
- G1 = 3..3, ambapo idadi ya mishale ya shahada ya juu ni 33.
- G2 = ..3, ambapo idadi ya mishale ya shahada ya juu ni sawa na G1.
- G3 = ..3, ambapo idadi ya mishale ya shahada ya juu ni sawa na G2.
- G63 = ..3, ambapo idadi ya mishale ya digrii nyingi ni sawa na G62.
Nambari ya G63 ilijulikana kama nambari ya Graham (mara nyingi huonyeshwa kama G). Nambari hii ndio nambari kubwa zaidi inayojulikana ulimwenguni na hata imejumuishwa katika Kitabu cha kumbukumbu cha Guinness. Na hapa
Swali "Ni nambari gani kubwa zaidi ulimwenguni?" Je, kusema kidogo, sio sahihi. Kuna mifumo ya nambari tofauti - desimali, binary na hexadecimal, na aina anuwai za nambari - nusu-rahisi na rahisi, ya mwisho ikigawanywa kuwa halali na haramu. Kwa kuongezea, kuna "nambari" ya Skewes, Steinhouse na wanahisabati wengine ambao, kwa utani au kwa umakini, wanavumbua na kuchapisha exotics kama "megiston" au "moser" kwa umma.
Ni nambari gani kubwa zaidi ya desimali ulimwenguni
Katika mfumo wa desimali, wengi "wasio-hisabati" wanafahamu vyema milioni, bilioni na trilioni. Kwa kuongezea, ikiwa Warusi wanahusisha milioni na hongo ya dola ambayo inaweza kubebwa kwenye koti, basi wapi kusukuma bilioni (bila kutaja trilioni) noti za Amerika Kaskazini - wengi hawana mawazo ya kutosha. Walakini, katika nadharia ya idadi kubwa, kuna dhana kama vile quadrillion (kumi hadi kumi na tano nguvu - 1015), sextillion (1021) na octillion (1027).
Katika mfumo wa desimali wa Kiingereza, mfumo wa decimal unaotumiwa zaidi ulimwenguni, decimal inachukuliwa kuwa nambari ya juu - 1033.
Mnamo 1938, kuhusiana na maendeleo ya hesabu iliyotumika na upanuzi wa micro- na macrocosm, profesa katika Chuo Kikuu cha Columbia (USA), Edward Kasner, alichapisha kwenye kurasa za jarida "Scripta Mathematica" pendekezo la wake tisa- mpwa mwenye umri wa miaka kutumia mfumo wa decimal wa idadi kubwa ya "googol" ("googol") - inayowakilisha nguvu kumi hadi mia (10100), ambayo kwenye karatasi imeonyeshwa kama moja na sifuri mia moja. Walakini, hawakuishia hapo na baada ya miaka michache walipendekeza kuanzisha katika mzunguko idadi mpya kubwa zaidi ulimwenguni - "googolplex", ambayo ni kumi, iliyoinuliwa hadi nguvu ya kumi na mara nyingine tena ikainuliwa kwa nguvu ya mia - (1010) 100, iliyoonyeshwa na kitengo ambacho googol ya zero imepewa kulia. Walakini, kwa wataalamu wengi wa hisabati, "googol" na "googolplex" ni za kupendeza tu, na haziwezi kutumika kwa chochote katika mazoezi ya kila siku.
Nambari za kigeni
Ni nambari gani kubwa zaidi ulimwenguni kati ya nambari kuu - zile ambazo zinaweza kugawanywa peke yao na kwa moja. Mmoja wa wa kwanza kurekebisha nambari kuu zaidi, 2,147,483,647, alikuwa mwanahisabati mkuu Leonard Euler. Kuanzia Januari 2016, nambari hii inatambuliwa kama usemi uliokokotolewa kama 274 207 281 - 1.
Umewahi kujiuliza ni zero ngapi katika milioni moja? Hili ni swali moja kwa moja. Vipi kuhusu bilioni au trilioni? Moja yenye sifuri tisa (1,000,000,000) - jina la nambari ni nini?
Orodha fupi ya nambari na muundo wao wa idadi
- Kumi (zero 1).
- Mia moja (sifuri 2).
- Elfu (zero 3).
- Elfu kumi (zero 4).
- Laki moja (sifuri 5).
- Milioni (sifuri 6).
- Bilioni (zero 9).
- Trilioni (zero 12).
- Quadrillion (zero 15).
- Quintillon (zero 18).
- Sextillion (21 zero).
- Septillon (zero 24).
- Oktalion (zero 27).
- Nonalion (zero 30).
- Decalion (zero 33).
Kupanga sufuri
1,000,000,000 - jina la nambari ambayo ina sifuri 9 ni nini? Hii ni bilioni. Kwa urahisi, ni kawaida kuweka nambari kubwa katika seti tatu, zikitenganishwa kutoka kwa kila mmoja na nafasi au alama za uakifishaji kama vile koma au kipindi.
Hii inafanywa ili kurahisisha kusoma na kuelewa thamani ya kiasi. Kwa mfano, jina la nambari 1,000,000,000 ni nini? Katika fomu hii, ni vyema kujifanya kidogo, kuhesabu. Na ukiandika 1,000,000,000, basi kazi ni rahisi kuibua mara moja, kwa hivyo unahitaji kuhesabu si zero, lakini mara tatu ya zero.
Nambari zilizo na sufuri nyingi sana
Maarufu zaidi ni Milioni na Bilioni (1,000,000,000). Jina la nambari iliyo na sufuri 100 ni nini? Hii ni takwimu ya googol, pia inaitwa Milton Sirotta. Hii ni kiasi kikubwa sana. Unafikiri idadi hii ni kubwa? Basi vipi kuhusu googolplex, moja ikifuatiwa na googol ya sufuri? Takwimu hii ni kubwa sana kwamba ni ngumu kupata maana yake. Kwa hakika, hakuna haja ya majitu hayo, isipokuwa kuhesabu idadi ya atomi katika ulimwengu usio na mwisho.
Bilioni 1 ni nyingi?
Kuna mizani miwili ya kipimo - fupi na ndefu. Ulimwenguni kote katika uwanja wa sayansi na fedha, bilioni 1 ni milioni 1,000. Hii ni kwa kiwango kifupi. Kulingana na hayo, hii ni nambari iliyo na zero 9.
Pia kuna kiwango kirefu ambacho kinatumika katika baadhi ya nchi za Ulaya, ikiwa ni pamoja na Ufaransa, na hapo awali kilitumika huko Uingereza (hadi 1971), ambapo bilioni moja ilikuwa milioni 1, yaani, sifuri moja na 12. Kiwango hiki pia huitwa kiwango cha muda mrefu. Kiwango kifupi sasa kinatawala katika maswala ya kifedha na kisayansi.
Baadhi ya lugha za Ulaya kama vile Kiswidi, Kideni, Kireno, Kihispania, Kiitaliano, Kiholanzi, Kinorwe, Kipolandi, Kijerumani hutumia majina bilioni (au bilioni) katika mfumo huu. Kwa Kirusi, nambari iliyo na zero 9 pia inaelezewa kwa kiwango kifupi cha milioni elfu, na trilioni ni milioni milioni. Hii inaepuka mkanganyiko usio wa lazima.
Chaguzi za mazungumzo
Katika hotuba ya mazungumzo ya Kirusi baada ya matukio ya 1917 - Mapinduzi ya Oktoba Kuu - na kipindi cha mfumuko wa bei mapema miaka ya 1920. Rubles bilioni 1 iliitwa "Limard". Na katika miaka ya 1990, msemo mpya wa slang "watermelon" ulionekana kwa bilioni, milioni iliitwa "limau".
Neno "bilioni" sasa linatumika kimataifa. Hii ni nambari asilia, ambayo inawakilishwa katika mfumo wa desimali kama 10 9 (zero moja na 9). Pia kuna jina lingine - bilioni, ambalo halitumiwi nchini Urusi na nchi za CIS.
Bilioni = Bilioni?
Neno kama bilioni hutumiwa kutaja bilioni tu katika majimbo hayo ambayo "kiwango kifupi" kinachukuliwa kama msingi. Hizi ni nchi kama vile Shirikisho la Urusi, Uingereza ya Uingereza na Ireland ya Kaskazini, Marekani, Kanada, Ugiriki na Uturuki. Katika nchi nyingine, neno bilioni linamaanisha nambari 10 12, yaani, sifuri moja na 12. Katika nchi zilizo na "kiwango kifupi", pamoja na Urusi, takwimu hii inalingana na trilioni 1.
Mkanganyiko kama huo ulionekana nchini Ufaransa wakati uundaji wa sayansi kama vile algebra ulikuwa unafanyika. Hapo awali, bilioni hiyo ilikuwa na sufuri 12. Walakini, kila kitu kilibadilika baada ya kuonekana kwa kitabu kikuu cha hesabu (na Tranchan) mnamo 1558), ambapo bilioni tayari ni nambari iliyo na zero 9 (milioni elfu moja).
Kwa karne kadhaa zilizofuata, dhana hizi mbili zilitumiwa kwa msingi sawa na kila mmoja. Katikati ya karne ya 20, yaani mwaka wa 1948, Ufaransa ilibadili mfumo wa nambari wa muda mrefu. Katika suala hili, kiwango kifupi, kilichokopwa mara moja kutoka kwa Kifaransa, bado ni tofauti na kile wanachotumia leo.
Kihistoria, Uingereza imetumia bilioni ya muda mrefu, lakini tangu 1974 takwimu rasmi za Uingereza zimetumia kiwango cha muda mfupi. Tangu miaka ya 1950, kiwango cha muda mfupi kimezidi kutumika katika nyanja za uandishi wa kiufundi na uandishi wa habari, ingawa kiwango cha muda mrefu bado kiliendelea.
Haiwezekani kujibu swali hili kwa usahihi, kwa kuwa mfululizo wa nambari hauna kikomo cha juu. Kwa hivyo, kwa nambari yoyote inatosha kuongeza moja ili kupata nambari kubwa zaidi. Ingawa nambari zenyewe hazina kikomo, hazina majina mengi yao wenyewe, kwani wengi wao wameridhika na majina yanayoundwa na nambari ndogo. Kwa hivyo, kwa mfano, nambari na zina majina yao "moja" na "mia moja", na jina la nambari tayari linajumuisha ("mia moja na moja"). Ni wazi kuwa katika seti fupi ya nambari ambazo ubinadamu umetoa kwa jina lake, lazima kuwe na idadi kubwa zaidi. Lakini inaitwa nini na ni sawa na nini? Wacha tujaribu kuigundua na wakati huo huo tujue ni idadi kubwa gani iligunduliwa na wanahisabati.
"Mfupi" na "mrefu" wadogo
Historia ya mfumo wa kisasa wa majina kwa idadi kubwa ilianza katikati ya karne ya 15, wakati huko Italia walianza kutumia maneno "milioni" (halisi - elfu kubwa) kwa mraba elfu, "bilioni" kwa milioni. mraba na "trilioni" kwa cubed milioni. Tunajua kuhusu mfumo huu shukrani kwa mwanahisabati Mfaransa Nicolas Chuquet (c. 1450 - c. 1500): katika mkataba wake "Sayansi ya nambari" (Triparty en la science des nombres, 1484), alianzisha wazo hili, akipendekeza matumizi zaidi ya Nambari za kardinali za Kilatini (tazama jedwali), na kuziongeza kwenye mwisho "-milioni". Kwa hivyo, "bilioni" za Schuquet zikawa bilioni, "trilioni" kuwa trilioni, na nguvu milioni hadi nne ikawa "quadrillion".
Katika mfumo wa Schücke, idadi kati ya milioni na bilioni haikuwa na jina lake yenyewe na iliitwa tu “milioni elfu moja,” vivyo hivyo inaitwa “bilioni elfu moja,” “trilioni elfu moja,” na kadhalika. Haikuwa rahisi sana, na mnamo 1549 mwandishi na mwanasayansi Mfaransa Jacques Peletier du Mans (1517-1582) alipendekeza kutaja nambari kama hizo "za kati" kwa kutumia viambishi sawa vya Kilatini, lakini mwisho "-bilioni". Kwa hiyo, ilianza kuitwa "bilioni" - "billiard" - "trilioni", nk.
Mfumo wa Suke-Peletier polepole ukawa maarufu na ukaanza kutumika kote Ulaya. Hata hivyo, katika karne ya 17, tatizo lisilotazamiwa lilizuka. Ilibadilika kuwa wanasayansi wengine kwa sababu fulani walianza kuchanganyikiwa na kuita nambari hiyo sio "bilioni" au "milioni elfu", lakini "bilioni". Hivi karibuni kosa hili lilienea haraka, na hali ya kutatanisha ikatokea - "bilioni" ikawa sawa na "bilioni" () na "milioni" ().
Mkanganyiko huu ulidumu kwa muda wa kutosha na kusababisha ukweli kwamba Marekani iliunda mfumo wake wa kutaja idadi kubwa. Kulingana na mfumo wa Amerika, majina ya nambari yamejengwa kwa njia sawa na katika mfumo wa Schuke - kiambishi awali cha Kilatini na mwisho "illion". Walakini, ukubwa wa nambari hizi ni tofauti. Ikiwa katika mfumo wa Shuke majina na "milioni" ya mwisho ilipokea nambari ambazo zilikuwa digrii milioni, basi katika mfumo wa Amerika "-milioni" ya mwisho ilipokea digrii elfu. Hiyo ni, milioni elfu moja () ilianza kuitwa "bilioni", () - "trilioni", () - "quadrillion", nk.
Mfumo wa zamani wa kutaja idadi kubwa uliendelea kutumika katika Uingereza ya kihafidhina na ilianza kuitwa "Waingereza" ulimwenguni kote, licha ya ukweli kwamba iligunduliwa na Schuquet ya Kifaransa na Peletier. Walakini, katika miaka ya 1970, Uingereza Kuu ilibadilisha rasmi kwa "mfumo wa Amerika", ambayo ilisababisha ukweli kwamba ikawa ya kushangaza kuita mfumo mmoja wa Amerika na mwingine wa Uingereza. Kama matokeo, mfumo wa Amerika sasa unajulikana kama "kiwango kifupi", na mfumo wa Uingereza, au mfumo wa Schuke-Peletier, kama "kiwango kirefu."
Ili kutochanganyikiwa, wacha tufanye muhtasari wa matokeo ya kati:
| Jina la nambari | Thamani ya mizani fupi | Thamani ya Kiwango kirefu |
| Milioni | ||
| Bilioni | ||
| Bilioni | ||
| Billiard | - | |
| Trilioni | ||
| Trilioni | - | |
| Quadrillion | ||
| Quadrillion | - | |
| Quintillion | ||
| Quintilliard | - | |
| Sextillion | ||
| Bilioni ya ngono | - | |
| Septilioni | ||
| Septilliard | - | |
| Oktilioni | ||
| Octilliard | - | |
| Quintillion | ||
| Mabilioni | - | |
| Decillion | ||
| Decilliard | - | |
| Vigintillion | ||
| Vigintilliard | - | |
| Centillion | ||
| Centilliard | - | |
| Milioni | ||
| Milliard | - |
Kiwango kifupi cha kutaja sasa kinatumika Marekani, Uingereza, Kanada, Ayalandi, Australia, Brazili na Puerto Rico. Urusi, Denmark, Uturuki na Bulgaria pia hutumia kiwango kifupi, isipokuwa kwamba nambari haiitwa "bilioni", lakini "bilioni". Kiwango kirefu, hata hivyo, kinaendelea kutumika katika nchi nyingine nyingi kwa wakati huu.
Inashangaza kwamba katika nchi yetu mpito wa mwisho kwa kiwango kifupi ulifanyika tu katika nusu ya pili ya karne ya 20. Kwa mfano, Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) katika Hesabu yake ya Burudani anataja uwepo sambamba wa mizani miwili katika USSR. Kiwango kifupi, kulingana na Perelman, kilitumika katika maisha ya kila siku na mahesabu ya kifedha, na kiwango cha muda mrefu kilitumika katika vitabu vya kisayansi juu ya unajimu na fizikia. Walakini, sasa ni makosa kutumia kiwango kirefu nchini Urusi, ingawa nambari huko zinageuka kuwa kubwa.
Lakini nyuma kutafuta idadi kubwa zaidi. Baada ya decillion, majina ya nambari hupatikana kwa kuchanganya viambishi awali. Hivi ndivyo nambari kama vile undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, nk. Walakini, majina haya hayatuvutii tena, kwani tulikubali kupata nambari kubwa zaidi na jina letu lisilojumuisha.
Ikiwa tutageuka kwenye sarufi ya Kilatini, tutaona kwamba Warumi walikuwa na majina matatu tu yasiyo ya mchanganyiko kwa nambari zaidi ya kumi: viginti - "ishirini", centum - "mia moja" na mille - "elfu". Kwa idadi kubwa kuliko "elfu", Warumi hawakuwa na majina yao wenyewe. Kwa mfano, milioni () Warumi waliiita "decies centena milia", yaani, "mara kumi laki." Kulingana na sheria ya Schücke, nambari hizi tatu za Kilatini zilizobaki zinatupa majina ya nambari kama vile "vigintillion", "centillion" na "milleillion".
Kwa hivyo, tuligundua kuwa kwa "kiwango kifupi" nambari ya juu ambayo ina jina lake mwenyewe na sio mchanganyiko wa nambari ndogo ni "milioni" (). Ikiwa "kiwango cha muda mrefu" cha nambari za majina kilipitishwa nchini Urusi, basi nambari kubwa zaidi yenye jina lake itakuwa "milliard" ().
Walakini, kuna majina ya nambari kubwa zaidi.
Nambari nje ya mfumo
Nambari zingine zina jina lao, bila uhusiano wowote na mfumo wa majina kwa kutumia viambishi vya Kilatini. Na kuna idadi kubwa kama hiyo. Unaweza, kwa mfano, kukumbuka nambari e, nambari "pi", dazeni, nambari ya mnyama, nk. Walakini, kwa kuwa sasa tunavutiwa na idadi kubwa, tutazingatia nambari hizo tu na zisizo zao. majina ya mchanganyiko, ambayo ni zaidi ya milioni.
Hadi karne ya 17, Urusi ilitumia mfumo wake wa kutaja nambari. Makumi ya maelfu waliitwa "giza", mamia ya maelfu - "majeshi", mamilioni - "leodra", makumi ya mamilioni - "jogoo", na mamia ya mamilioni - "staha". Hesabu hii hadi mamia ya mamilioni iliitwa "hesabu ndogo", na katika maandishi mengine waandishi pia walizingatia "hesabu kubwa", ambayo majina sawa yalitumiwa kwa idadi kubwa, lakini kwa maana tofauti. Kwa hivyo, "giza" halikumaanisha elfu kumi, lakini elfu elfu () , "Legion" - giza la wale () ; "Leodr" - jeshi la majeshi () , "Raven" - leodr leodrov (). Kwa sababu fulani, "staha" katika akaunti kubwa ya Slavic haikuitwa "kunguru wa kunguru" () , lakini "kunguru" kumi tu, yaani (tazama jedwali).
| Jina la nambari | Maana katika "hesabu ndogo" | Thamani katika "alama kuu" | Uteuzi |
| Giza | |||
| Jeshi | |||
| Leodre | |||
| Kunguru (vran) | |||
| Sitaha | |||
| Giza la mandhari |  |
Nambari hiyo pia ina jina lake mwenyewe na ilivumbuliwa na mvulana wa miaka tisa. Na ilikuwa hivi. Mnamo mwaka wa 1938, mwanahisabati wa Marekani Edward Kasner (1878-1955) alitembea katika bustani na wapwa zake wawili na kujadili idadi kubwa nao. Wakati wa mazungumzo, walizungumza juu ya nambari iliyo na zero mia moja, ambayo haikuwa na jina lake. Mmoja wa wapwa, Milton Sirott mwenye umri wa miaka tisa, alipendekeza ipigie nambari hiyo "googol". Mnamo 1940, Edward Kasner, pamoja na James Newman, waliandika kitabu maarufu cha sayansi "Mathematics and Imagination", ambapo aliwaambia wapenzi wa hesabu kuhusu idadi ya googols. Google ilipata umaarufu zaidi mwishoni mwa miaka ya 1990, shukrani kwa injini ya utaftaji ya Google iliyopewa jina lake.
Jina la nambari kubwa zaidi kuliko googol lilianza mnamo 1950 shukrani kwa baba wa sayansi ya kompyuta, Claude Elwood Shannon (1916-2001). Katika makala yake "Kupanga Kompyuta kwa Kucheza Chess," alijaribu kukadiria idadi ya chaguzi zinazowezekana za mchezo wa chess. Kulingana na yeye, kila mchezo huchukua wastani wa hatua na kwa kila hoja mchezaji hufanya chaguo kwa wastani wa chaguzi, ambayo inalingana (takriban sawa) na chaguzi za mchezo. Kazi hii ilijulikana sana, na nambari hii ilijulikana kama "nambari ya Shannon".
Katika risala maarufu ya Wabuddha Jaina Sutra, iliyoanzia 100 BC, nambari "asankheya" inapatikana sawa. Inaaminika kuwa nambari hii ni sawa na idadi ya mizunguko ya ulimwengu inayohitajika kufikia nirvana.
Milton Sirotta mwenye umri wa miaka tisa alishuka katika historia ya hisabati sio tu kwa sababu alikuja na nambari ya googol, lakini pia kwa sababu wakati huo huo alipendekeza nambari nyingine - "googolplex", ambayo ni sawa na nguvu ya "googol". ", yaani, moja yenye googol ya sufuri.
Nambari mbili zaidi, kubwa kuliko googolplex, zilipendekezwa na mwanahisabati wa Afrika Kusini Stanley Skewes (1899-1988) wakati wa kuthibitisha nadharia ya Riemann. Nambari ya kwanza, ambayo baadaye ilikuja kuitwa "nambari ya kwanza ya Skuse", ni sawa na digrii kwa digrii, yaani. Walakini, "nambari ya pili ya Skewes" ni kubwa zaidi na ni.
Kwa wazi, kadiri digrii zinavyozidi, ndivyo inavyokuwa ngumu zaidi kuandika nambari na kuelewa maana yake wakati wa kusoma. Kwa kuongeza, inawezekana kuja na nambari kama hizo (na, kwa njia, tayari zimezuliwa), wakati digrii za digrii haziingii kwenye ukurasa. Ndiyo, ni ukurasa gani! Havitatoshea hata kwenye kitabu cha ukubwa wa Ulimwengu mzima! Katika kesi hii, swali linatokea jinsi ya kuandika nambari kama hizo. Shida, kwa bahati nzuri, inaweza kutatuliwa, na wanahisabati wameunda kanuni kadhaa za kuandika nambari kama hizo. Kweli, kila mtaalamu wa hisabati ambaye aliuliza tatizo hili alikuja na njia yake ya kuandika, ambayo ilisababisha kuwepo kwa njia kadhaa zisizohusiana za kuandika idadi kubwa - hizi ni nukuu za Knuth, Conway, Steinhaus, nk Sasa inabidi tushughulikie baadhi yao.
Vidokezo vingine
Mnamo 1938, mwaka uleule ambao Milton Sirotta mwenye umri wa miaka tisa alivumbua nambari googol na googolplex, kitabu kuhusu hisabati ya kuburudisha, Kaleidoscope ya Hisabati, kilichoandikwa na Hugo Dionizy Steinhaus (1887-1972) kilichapishwa nchini Poland. Kitabu hiki kimekuwa maarufu sana, kimepitia matoleo mengi na kimetafsiriwa katika lugha nyingi, ikiwa ni pamoja na Kiingereza na Kirusi. Ndani yake, Steinhaus, akijadili idadi kubwa, hutoa njia rahisi ya kuandika, kwa kutumia maumbo matatu ya kijiometri - pembetatu, mraba na mduara:
"Katika pembetatu" inamaanisha "",
"Mraba" ina maana "katika pembetatu"
"Katika mduara" inamaanisha "katika mraba".
Akielezea njia hii ya uandishi, Steinhaus anakuja na nambari "mega" sawa katika duara na inaonyesha kuwa ni sawa katika "mraba" au katika pembetatu. Ili kuhesabu, unahitaji kuinua kwa nguvu, kuinua nambari inayosababisha kwa nguvu, kisha kuinua nambari inayosababisha kwa nguvu ya nambari inayosababisha, na kadhalika, ongeza kila kitu kwa nguvu ya nyakati. Kwa mfano, calculator katika MS Windows haiwezi kuhesabu kutokana na kufurika hata katika pembetatu mbili. Takriban idadi hii kubwa ni.
Baada ya kuamua nambari "mega", Steinhaus inawaalika wasomaji kukadiria nambari nyingine - "mezons", sawa kwenye duara. Katika toleo jingine la kitabu, Steinhaus, badala ya Medzon, anapendekeza kutathmini idadi kubwa zaidi - "megiston", sawa katika mduara. Kufuatia Steinhaus, nitapendekeza pia wasomaji kuachana na maandishi haya kwa muda na kujaribu kuandika nambari hizi wenyewe kwa kutumia digrii za kawaida ili kuhisi ukubwa wao mkubwa.
Walakini, kuna majina ya idadi kubwa. Kwa mfano, mwanahisabati wa Kanada Leo Moser (1921-1970) aliboresha nukuu ya Steinhaus, ambayo ilipunguzwa na ukweli kwamba ikiwa ilihitajika kuandika nambari nyingi kubwa za kumbukumbu, basi shida na usumbufu ungetokea, kwani duru nyingi zingekuwa. kuvutwa mmoja ndani ya mwingine. Moser alipendekeza kuchora sio miduara, lakini pentagoni baada ya mraba, kisha hexagons, na kadhalika. Pia alipendekeza nukuu rasmi kwa poligoni hizi ili nambari ziandikwe bila kuchora michoro changamano. Nukuu ya Moser inaonekana kama hii:
"Pembetatu" = =;
"Squared" = = "katika pembetatu" =;
"Katika pentagoni" = = "katika mraba" =;
"Katika -gon" = = "katika -gons" =.
Kwa hivyo, kulingana na nukuu ya Moser, "mega" ya Steinhaus imeandikwa kama, "mezon" kama, na "megiston" kama. Kwa kuongeza, Leo Moser alipendekeza kuita poligoni yenye idadi ya pande sawa na mega - "mega-gon". Na alipendekeza nambari « katika megagon ", yaani. Nambari hii ilijulikana kama nambari ya Moser, au kwa kifupi kama "Moser".
Lakini hata Moser sio idadi kubwa zaidi. Kwa hivyo, nambari kubwa zaidi kuwahi kutumika katika uthibitisho wa hisabati ni "nambari ya Graham". Nambari hii ilitumiwa kwa mara ya kwanza na mwanahisabati wa Marekani Ronald Graham mwaka wa 1977 wakati wa kuthibitisha makadirio moja katika nadharia ya Ramsey, yaani, wakati wa kuhesabu vipimo vya fulani. -enye mwelekeo hypercubes ya bichromatic. Lakini nambari ya Graham ilipata umaarufu tu baada ya hadithi kuhusu yeye katika kitabu cha Martin Gardner "From Penrose Mosaics to Reliable Ciphers", kilichochapishwa mwaka wa 1989.
Ili kueleza jinsi nambari ya Graham ilivyo kubwa, tunapaswa kueleza njia nyingine ya kuandika nambari kubwa, iliyoanzishwa na Donald Knuth mwaka wa 1976. Profesa wa Marekani Donald Knuth alikuja na dhana ya shahada ya juu, ambayo alipendekeza kuandika na mishale inayoelekeza juu.
Operesheni za kawaida za hesabu - kujumlisha, kuzidisha, na kuongeza - kwa kawaida zinaweza kupanuliwa katika mlolongo wa waendeshaji wakubwa kama ifuatavyo.
Kuzidisha kwa nambari za asili kunaweza kufafanuliwa kupitia operesheni ya kuongeza mara kwa mara ("ongeza nakala za nambari"):
Kwa mfano,
Kuinua nambari hadi kwa nguvu kunaweza kufafanuliwa kama operesheni ya kuzidisha inayorudiwa ("zidisha nakala za nambari"), na katika nukuu ya Knuth nukuu hii inaonekana kama mshale mmoja unaoelekeza juu:
Kwa mfano,
Kishale hiki cha juu kilitumika kama ikoni ya digrii katika lugha ya programu ya Algol.
Kwa mfano,
Baadaye, usemi huo hutathminiwa kila wakati kutoka kulia kwenda kushoto, na viendeshaji vishale vya Knuth (kama operesheni ya upanuzi), kwa ufafanuzi, huwa na ushirika wa kulia (kuagiza kutoka kulia kwenda kushoto). Kulingana na ufafanuzi huu,
Hii tayari inaongoza kwa idadi kubwa kabisa, lakini nukuu haiishii hapo. Opereta ya vishale vitatu hutumika kuandika udhihirisho unaorudiwa wa kiendesha mishale miwili (pia hujulikana kama pentation):
Kisha opereta "mshale wa mara nne":
Nk. Opereta wa kanuni za jumla "-Mimi mshale ", kwa mujibu wa ushirika sahihi, inaendelea kulia katika mfululizo wa waendeshaji « mshale". Kwa mfano, hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo,
Kwa mfano:
Fomu ya nukuu kwa kawaida hutumiwa kuandika kwa mishale.
Nambari zingine ni kubwa sana hata kuandika kwa mishale ya Knuth inakuwa ngumu sana; katika kesi hii, matumizi ya -arrow operator ni preferred (na pia kwa maelezo na idadi ya kutofautiana ya mishale), au sawa, kwa hyperoperators. Lakini nambari zingine ni kubwa sana hata rekodi kama hiyo haitoshi. Kwa mfano, nambari ya Graham.
Unapotumia nukuu ya Knuth Arrow, nambari ya Graham inaweza kuandikwa kama
Ambapo idadi ya mishale katika kila safu, kuanzia juu, imedhamiriwa na nambari katika safu inayofuata, ambayo ni, wapi, ambapo maandishi ya juu ya mshale yanaonyesha jumla ya mishale. Kwa maneno mengine, imehesabiwa kwa hatua: katika hatua ya kwanza, tunahesabu na mishale minne kati ya triplets, kwa pili - na mishale kati ya triplets, katika tatu - na mishale kati ya triplets, na kadhalika; mwishoni tunahesabu kutoka kwa mishale kati ya triplets.
Inaweza kuandikwa kama, wapi, ambapo maandishi ya juu y inamaanisha kurudia juu ya vitendaji.
Ikiwa nambari zingine zilizo na "majina" zinaweza kulinganishwa na nambari inayolingana ya vitu (kwa mfano, idadi ya nyota katika sehemu inayoonekana ya Ulimwengu inakadiriwa katika sextillons -, na idadi ya atomi zinazounda dunia ni ya utaratibu wa dodecalions), basi googol tayari ni "virtual", bila kutaja kuhusu nambari ya Graham. Kiwango cha muhula wa kwanza pekee ni kikubwa sana kiasi kwamba ni vigumu kukielewa, ingawa ingizo lililo hapo juu ni rahisi kuelewa. Ingawa hii ni idadi tu ya minara katika fomula hii, nambari hii tayari ni kubwa zaidi kuliko idadi ya juzuu za Planck (kiasi kidogo zaidi cha kimwili) ambacho kimo katika ulimwengu unaoonekana (takriban). Baada ya mshiriki wa kwanza, mshiriki mwingine wa mlolongo unaokua kwa kasi anatungoja.