Logaritmické nerovnosti
V predchádzajúcich lekciách sme sa zoznámili s logaritmickými rovnicami a teraz vieme, čo sú a ako ich riešiť. Dnešná lekcia bude venovaná štúdiu logaritmických nerovností. Aké sú tieto nerovnosti a aký je rozdiel medzi riešením logaritmickej rovnice a nerovnicou?
Logaritmické nerovnosti sú nerovnosti, ktoré majú premennú vystupujúcu pod logaritmickým znamienkom alebo na jeho základni.
Alebo môžeme tiež povedať, že logaritmická nerovnosť je nerovnosť, v ktorej sa jej neznáma hodnota, ako v logaritmickej rovnici, objaví pod znamienkom logaritmu.
Protozoa logaritmické nerovnosti vyzerať takto:
kde f(x) a g(x) sú nejaké výrazy, ktoré závisia od x.
Pozrime sa na to pomocou tohto príkladu: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Riešenie logaritmických nerovností
Pred riešením logaritmických nerovností stojí za zmienku, že po vyriešení sú podobné exponenciálnym nerovnostiam, konkrétne:
Po prvé, keď prechádzame od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom, musíme tiež porovnať základ logaritmu s jedným;
Po druhé, pri riešení logaritmickej nerovnosti pomocou zmeny premenných musíme riešiť nerovnosti vzhľadom na zmenu, kým nedostaneme najjednoduchšiu nerovnosť.
Ale vy a ja sme zvažovali podobné aspekty riešenia logaritmických nerovností. Teraz sa pozrime na pomerne významný rozdiel. Všetci vieme, že logaritmická funkcia má obmedzenú oblasť definície, takže pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znakom musíme brať do úvahy doménu prijateľné hodnoty(ODZ).
To znamená, že by sa malo vziať do úvahy, že pri riešení logaritmickej rovnice môžeme vy a ja najprv nájsť korene rovnice a potom toto riešenie skontrolovať. Riešenie logaritmickej nerovnosti však nebude fungovať týmto spôsobom, pretože pri prechode od logaritmov k výrazom pod logaritmickým znamienkom bude potrebné zapísať ODZ nerovnosti.
Okrem toho je potrebné pripomenúť, že teória nerovností pozostáva z reálnych čísel, ktoré sú kladné a záporné čísla, ako aj číslo 0.
Napríklad, keď je číslo „a“ kladné, musíte použiť nasledujúci zápis: a >0. V tomto prípade bude súčet aj súčin týchto čísel kladné.
Hlavným princípom riešenia nerovnosti je nahradiť ju jednoduchšou nerovnicou, ale hlavné je, že je ekvivalentná danej. Ďalej sme tiež získali nerovnosť a opäť sme ju nahradili nerovnosťou, ktorá má jednoduchší tvar atď.
Pri riešení nerovností s premennou je potrebné nájsť všetky jej riešenia. Ak majú dve nerovnosti rovnakú premennú x, potom sú takéto nerovnosti ekvivalentné za predpokladu, že sa ich riešenia zhodujú.
Pri vykonávaní úloh na riešenie logaritmických nerovností si musíte pamätať, že keď a > 1, potom sa logaritmická funkcia zvýši a keď 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Metódy riešenia logaritmických nerovností
Teraz sa pozrime na niektoré metódy, ktoré sa používajú pri riešení logaritmických nerovností. Pre lepšie pochopenie a asimiláciu sa ich pokúsime pochopiť na konkrétnych príkladoch.
Všetci vieme, že najjednoduchšia logaritmická nerovnosť má nasledujúci tvar:
V tejto nerovnosti je V – jedným z nasledujúcich znakov nerovnosti:<,>, ≤ alebo ≥.
Keď je základ daného logaritmu väčší ako jedna (a>1), pri prechode z logaritmov na výrazy pod znamienkom logaritmu sa v tejto verzii znamienko nerovnosti zachová a nerovnosť bude mať nasledujúci tvar:
ktorý je ekvivalentný tomuto systému:
V prípade, že základňa logaritmu väčší ako nula a menej ako jeden (0 Toto je ekvivalentné tomuto systému: Pozrime sa na ďalšie príklady riešenia najjednoduchších logaritmických nerovností znázornených na obrázku nižšie: Cvičenie. Skúsme vyriešiť túto nerovnosť: Riešenie rozsahu prijateľných hodnôt. Teraz skúsme vynásobiť jeho pravú stranu: Pozrime sa, čo môžeme vymyslieť: Teraz prejdime ku konverzii sublogaritmických výrazov. Vzhľadom k tomu, že základ logaritmu je 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; A z toho vyplýva, že interval, ktorý sme získali úplne patrí do ODZ a je riešením takejto nerovnosti. Tu je odpoveď, ktorú sme dostali: Teraz sa pokúsme analyzovať, čo potrebujeme na úspešné vyriešenie logaritmických nerovností? Najprv sústreďte všetku svoju pozornosť a snažte sa nerobiť chyby pri vykonávaní transformácií, ktoré sú dané v tejto nerovnosti. Treba tiež pamätať na to, že pri riešení takýchto nerovností je potrebné vyhnúť sa rozširovaniu a zmršťovaniu nerovností, čo môže viesť k strate alebo získaniu cudzích riešení. Po druhé, pri riešení logaritmických nerovností sa musíte naučiť myslieť logicky a pochopiť rozdiel medzi pojmami, ako je systém nerovností a množina nerovností, aby ste mohli ľahko vyberať riešenia nerovnosti, pričom sa riadite jej DL. Po tretie, na úspešné vyriešenie takýchto nerovností musí každý z vás dokonale poznať všetky vlastnosti elementárnych funkcií a jasne pochopiť ich význam. Medzi takéto funkcie patria nielen logaritmické, ale aj racionálne, mocenské, trigonometrické atď., jedným slovom všetky tie, ktoré ste študovali počas školskej algebry. Ako vidíte, po preštudovaní témy logaritmických nerovností nie je pri riešení týchto nerovností nič ťažké, za predpokladu, že ste opatrní a vytrvalí pri dosahovaní svojich cieľov. Aby ste sa vyhli akýmkoľvek problémom pri riešení nerovností, musíte sa čo najviac precvičiť, riešiť rôzne úlohy a zároveň si zapamätať základné metódy riešenia takýchto nerovností a ich sústavy. Ak sa vám nepodarí vyriešiť logaritmické nerovnosti, mali by ste svoje chyby dôkladne analyzovať, aby ste sa k nim v budúcnosti nevrátili. Ak chcete lepšie porozumieť téme a konsolidovať preberaný materiál, vyriešte nasledujúce nerovnosti: Úvod Logaritmy boli vynájdené na urýchlenie a zjednodušenie výpočtov. Myšlienka logaritmu, to znamená myšlienka vyjadrenia čísel ako mocniny rovnakej základne, patrí Michailovi Stiefelovi. Ale v dobe Stiefela nebola matematika taká rozvinutá a myšlienka logaritmu nebola rozvinutá. Logaritmy boli neskôr vynájdené súčasne a nezávisle od seba škótskym vedcom Johnom Napierom (1550-1617) a Švajčiarom Jobstom Burgim (1552-1632), ktorý ako prvý publikoval prácu v roku 1614. pod názvom „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ bola Napierova teória logaritmov uvedená v pomerne úplnom zväzku, metóda výpočtu logaritmov bola uvedená ako najjednoduchšia, preto Napierove zásluhy na vynáleze logaritmov boli väčšie ako zásluhy Bürgiho . Burgi pracoval na tabuľkách v rovnakom čase ako Napier, no dlho ich tajil a zverejnil ich až v roku 1620. Napier zvládol myšlienku logaritmu okolo roku 1594. hoci tabuľky boli zverejnené o 20 rokov neskôr. Najprv nazval svoje logaritmy „umelé čísla“ a až potom navrhol nazvať tieto „umelé čísla“ jedným slovom „logaritmus“, čo v preklade z gréčtiny znamená „korelované čísla“, prevzaté jedno z aritmetického postupu a druhé z geometrický postup špeciálne vybraný na to. Prvé tabuľky v ruštine boli publikované v roku 1703. za účasti úžasného učiteľa 18. storočia. L. F. Magnitského. Veľký význam pre rozvoj teórie logaritmov mali práce petrohradského akademika Leonharda Eulera. Ako prvý považoval logaritmy za prevrátenú mocninu, zaviedol pojmy „základ logaritmu“ a „mantisa“ zostavil tabuľky logaritmov so základom 10. Desatinné tabuľky sú pre praktické použitie vhodnejšie, ich teória je. jednoduchšie ako logaritmy Napier. Preto sa desiatkové logaritmy niekedy nazývajú Briggsove logaritmy. Pojem „charakterizácia“ zaviedol Briggs. V tých vzdialených časoch, keď mudrci prvýkrát začali uvažovať o rovnosti obsahujúcich neznáme množstvá, pravdepodobne neexistovali žiadne mince ani peňaženky. Ale boli tam hromady, ako aj hrnce a košíky, ktoré boli ako stvorené na úlohu úložných skrýš, do ktorých sa zmestil neznámy počet predmetov. V starovekých matematických úlohách Mezopotámie, Indie, Číny, Grécka neznáme veličiny vyjadrovali počet pávov v záhrade, počet býkov v stáde a súhrn vecí, ktoré sa brali do úvahy pri delení majetku. Pisári, úradníci a kňazi zasvätení do tajných vedomostí, dobre vyškolení vo vede účtovníctva, sa s takýmito úlohami celkom úspešne vyrovnali. Zdroje, ktoré sa k nám dostali, naznačujú, že starovekí vedci mali nejaké všeobecné techniky na riešenie problémov s neznámymi množstvami. Avšak ani jeden papyrus alebo hlinená tabuľka neobsahuje popis týchto techník. Autori len občas doplnili svoje numerické výpočty skromnými komentármi ako: „Pozri sa!“, „Urob toto!“, „Našli ste toho pravého.“ V tomto zmysle je výnimkou „Aritmetika“ gréckeho matematika Diophantusa z Alexandrie (III. storočie) - zbierka úloh na zostavovanie rovníc so systematickou prezentáciou ich riešení. Prvým manuálom na riešenie problémov, ktorý sa stal všeobecne známym, však bola práca bagdadského vedca z 9. storočia. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Slovo „al-jabr“ z arabského názvu tohto pojednania – „Kitab al-jaber wal-mukabala“ („Kniha obnovy a opozície“) – sa postupom času zmenilo na známe slovo „algebra“ a dielo samotného al-Khwarizmiho slúžilo ako východiskový bod vo vývoji vedy o riešení rovníc. Logaritmické rovnice a nerovnice 1. Logaritmické rovnice Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu alebo na jej základe sa nazýva logaritmická rovnica. Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica tvaru log a
x
= b
. (1) Vyhlásenie 1. Ak a
> 0, a≠ 1, rovnica (1) pre akúkoľvek reálnu hodnotu b má unikátne riešenie x
= a b
. Príklad 1. Riešte rovnice: a) denník 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c) Riešenie. Pomocou výroku 1 dostaneme a) x= 2 3 alebo x= 8; b) x= 3 -1 alebo x= 1/3; c) Ukážeme si základné vlastnosti logaritmu. P1. Základná logaritmická identita: Kde a
> 0, a≠ 1 a b
> 0. P2. Logaritmus súčinu kladných faktorov sa rovná súčtu logaritmov týchto faktorov: log a
N 1 · N 2 = log a
N 1 + log a
N
2
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0). Komentujte. Ak N 1 · N 2 > 0, potom má vlastnosť P2 tvar log a
N 1 · N 2 = log a
|N 1 | + denník a
|N
2
| (a
> 0, a
≠ 1, N 1 · N
2
> 0). P3. Logaritmus podielu dvoch kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa Komentujte. Ak P4. Logaritmus mocniny kladného čísla sa rovná súčinu exponentu a logaritmu tohto čísla: log a
N
k
= k log a
N
(a
> 0, a
≠ 1, N
> 0). Komentujte. Ak k- párne číslo ( k
= 2s), To log a
N
2s
= 2s log a
|N
| (a
> 0, a
≠ 1, N
≠ 0). P5. Vzorec pre prechod na inú základňu: najmä ak N
= b, dostaneme Použitím vlastností P4 a P5 je ľahké získať nasledujúce vlastnosti a ak v (5) c- párne číslo ( c
= 2n), prebieha Uveďme hlavné vlastnosti logaritmickej funkcie f
(x) = log a
x
: 1. Definičný obor logaritmickej funkcie je množina kladných čísel. 2. Rozsah hodnôt logaritmickej funkcie je množina reálnych čísel. 3. Kedy a> 1 logaritmická funkcia sa striktne zvyšuje (0< x
1
< x 2log a
x
1
< loga
x 2) a na 0< a
< 1, - строго убывает (0 < x
1
< x 2log a
x 1 > log a
x
2). 4.log a 1 = 0 a log a
a
= 1 (a
> 0, a
≠ 1). 5. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia záporná x(0;1) a kladné pri x(1;+∞), a ak je 0< a
< 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) a záporné pri x
(1;+∞). 6. Ak a> 1, potom je logaritmická funkcia konvexná smerom nahor a ak a(0;1) - konvexné smerom nadol. Nasledujúce tvrdenia (pozri napríklad) sa používajú pri riešení logaritmických rovníc. Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť. Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby. Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov. Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť. Aké osobné údaje zhromažďujeme: Ako používame vaše osobné údaje: Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám. Výnimky: Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením. Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov. Spomedzi celej škály logaritmických nerovností sa osobitne študujú nerovnosti s premenlivým základom. Riešia sa pomocou špeciálneho vzorca, ktorý sa z nejakého dôvodu v škole len zriedka vyučuje: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 Namiesto začiarkavacieho políčka „∨“ môžete zadať ľubovoľné znamienko nerovnosti: viac alebo menej. Hlavná vec je, že v oboch nerovnostiach sú znamienka rovnaké. Takto sa zbavíme logaritmov a zredukujeme problém na racionálnu nerovnosť. Posledne menované je oveľa jednoduchšie vyriešiť, ale pri vyradení logaritmov sa môžu objaviť ďalšie korene. Na ich odrezanie stačí nájsť rozsah prijateľných hodnôt. Ak ste zabudli ODZ logaritmu, dôrazne ho odporúčam zopakovať - pozri „Čo je logaritmus“. Všetko, čo súvisí s rozsahom prijateľných hodnôt, musí byť napísané a vyriešené samostatne: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Tieto štyri nerovnosti tvoria systém a musia byť uspokojené súčasne. Keď sa nájde rozsah prijateľných hodnôt, zostáva ho len pretnúť s riešením racionálnej nerovnosti - a odpoveď je pripravená. Úloha. Vyriešte nerovnosť: Najprv si napíšme ODZ logaritmu: Prvé dve nerovnosti sa vyrovnajú automaticky, no posledná bude musieť byť vypísaná. Pretože druhá mocnina čísla je nula vtedy a len vtedy, ak je samotné číslo nula, máme: x 2 + 1 ≠ 1; Ukazuje sa, že ODZ logaritmu sú všetky čísla okrem nuly: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Teraz vyriešime hlavnú nerovnosť: Prechádzame z logaritmickej nerovnosti na racionálnu. Pôvodná nerovnosť má znamienko „menšie ako“, čo znamená, že výsledná nerovnosť musí mať znamienko „menšie ako“. Máme: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0; Nuly tohto výrazu sú: x = 3; x = -3; x = 0. Navyše x = 0 je koreň druhej násobnosti, čo znamená, že pri prechode cez ňu sa znamienko funkcie nemení. Máme: Dostaneme x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Táto množina je úplne obsiahnutá v ODZ logaritmu, čo znamená, že toto je odpoveď. Pôvodná nerovnosť sa často líši od vyššie uvedenej. Toto sa dá ľahko opraviť štandardné pravidlá práca s logaritmami - pozri „Základné vlastnosti logaritmov“. menovite: Samostatne by som vám chcel pripomenúť rozsah prijateľných hodnôt. Pretože v pôvodnej nerovnosti môže byť niekoľko logaritmov, je potrebné nájsť VA každého z nich. Všeobecná schéma riešenia logaritmických nerovností je teda nasledovná: Úloha. Vyriešte nerovnosť: Nájdite doménu definície (DO) prvého logaritmu: Riešime pomocou intervalovej metódy. Nájdenie núl v čitateli: 3x − 2 = 0; Potom - nuly menovateľa: x - 1 = 0; Na šípke súradníc označujeme nuly a znamienka: Dostaneme x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Druhý logaritmus bude mať rovnakú VA. Ak mi neveríte, môžete si to overiť. Teraz transformujeme druhý logaritmus tak, aby základ bol dva: Ako vidíte, trojky na základni a pred logaritmom sa zmenšili. Máme dva logaritmy s rovnaký základ. Sčítajme ich: log 2 (x − 1) 2< 2; Získali sme štandardnú logaritmickú nerovnosť. Pomocou vzorca sa zbavíme logaritmov. Keďže pôvodná nerovnosť obsahuje znamienko „menej ako“, výsledný racionálny výraz musí byť tiež menší ako nula. Máme: (f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0; Máme dve sady: Zostáva pretínať tieto množiny - dostaneme skutočnú odpoveď: Zaujíma nás priesečník množín, preto vyberáme intervaly, ktoré sú vytieňované na oboch šípkach. Dostaneme x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - všetky body sú prepichnuté. Ciele lekcie: Didaktické: Vzdelávacie: rozvíjať pamäť, pozornosť, logické myslenie, porovnávacie schopnosti, schopnosť zovšeobecňovať a vyvodzovať závery Vzdelávacie: kultivovať presnosť, zodpovednosť za vykonávanú úlohu a vzájomnú pomoc. Vyučovacie metódy:
verbálne ,
vizuálny ,
praktické ,
čiastočné vyhľadávanie ,
samospráva ,
ovládanie. Formy organizácie kognitívnej činnosti študentov:
čelný ,
individuálne ,
pracovať vo dvojiciach. Vybavenie:
súprava testovacie úlohy, podporné poznámky, prázdne hárky na riešenia. Typ lekcie: učenie sa nového materiálu. Pokrok v lekcii 1. Organizačný moment. Oznamuje sa téma a ciele hodiny, plán hodiny: každý študent dostane hodnotiaci hárok, ktorý študent počas hodiny vypĺňa; pre každú dvojicu žiakov - tlačené materiály s úlohami musia byť vyplnené vo dvojiciach; prázdne listy pre riešenia; podporné listy: definícia logaritmu; graf logaritmickej funkcie, jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností. Všetky rozhodnutia po sebahodnotení sa predkladajú vyučujúcemu. Výsledkový list študenta 2. Aktualizácia vedomostí. Pokyny učiteľa. Spomeňte si na definíciu logaritmu, graf logaritmickej funkcie a jej vlastnosti. Na tento účel si prečítajte text na s. 88–90, 98–101 učebnice „Algebra a začiatky analýzy 10–11“, ktorú vydali Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin a iní. Študenti dostanú hárky, na ktorých sú napísané: definícia logaritmu; ukazuje graf logaritmickej funkcie a jej vlastnosti; vlastnosti logaritmov; algoritmus na riešenie logaritmických nerovností, príklad riešenia logaritmickej nerovnosti, ktorá sa redukuje na kvadratickú. 3. Štúdium nového materiálu. Riešenie logaritmických nerovností je založené na monotónnosti logaritmickej funkcie. Algoritmus na riešenie logaritmických nerovností: A) Nájdite definičný obor nerovnice (sublogaritmický výraz je väčší ako nula). Učebný prvok #1. Cieľ: konsolidovať riešenie najjednoduchších logaritmických nerovností Forma organizácie kognitívnej činnosti žiakov: samostatná práca. Úlohy pre samostatná práca po dobu 10 minút. Pre každú nerovnosť existuje niekoľko možných odpovedí, musíte vybrať správnu a skontrolovať ju pomocou kľúča. Učebný prvok č. 2. Cieľ: konsolidovať riešenie logaritmických nerovností pomocou vlastností logaritmov. Pokyny učiteľa. Pamätajte na základné vlastnosti logaritmov. K tomu si prečítajte text učebnice na s. 92, 103–104. Úlohy na samostatnú prácu na 10 minút. KĽÚČ: 2113, maximálny počet bodov – 8 bodov. Učebný prvok č. 3. Účel: študovať riešenie logaritmických nerovností metódou redukcie na kvadratickú. Inštrukcie učiteľa: metóda redukcie nerovnosti na kvadratickú je transformovať nerovnosť do takého tvaru, že určitá logaritmická funkcia je označená novou premennou, čím sa získa kvadratická nerovnosť vzhľadom na túto premennú. Využime intervalovú metódu. Prešli ste prvou úrovňou zvládnutia materiálu. Teraz si musíte zvoliť svoj vlastný spôsob riešenia logaritmické rovnice s využitím všetkých svojich vedomostí a schopností. Učebný prvok č. 4. Cieľ: konsolidovať riešenie logaritmických nerovností nezávislým výberom metódy racionálneho riešenia. Úlohy na samostatnú prácu na 10 minút Učebný prvok č. 5. Pokyny učiteľa. Výborne! Zvládli ste riešenie rovníc druhého stupňa zložitosti. Cieľom vašej ďalšej práce je uplatniť svoje vedomosti a zručnosti v zložitejších a neštandardných situáciách. Úlohy na samostatné riešenie: Pokyny učiteľa. Je skvelé, ak ste splnili celú úlohu. Výborne! Známka za celú hodinu závisí od počtu bodov získaných za všetky vzdelávacie prvky: Hodnotiace papiere odovzdajte učiteľovi. 5. Domáce úlohy: ak ste dosiahli maximálne 15 bodov, pracujte na svojich chybách (riešenia môžete prevziať od učiteľa), ak ste dosiahli viac ako 15 bodov, dokončite kreatívnu úlohu na tému „Logaritmické nerovnosti“.
Príklady riešenia
3x > 24;
x > 8. 
Čo je potrebné na riešenie logaritmických nerovností?
Domáce úlohy
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
(a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
(b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Sprístupnenie informácií tretím stranám
Ochrana osobných údajov
Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.
Prevod logaritmických nerovností
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).
B) Predstavte (ak je to možné) ľavú a pravú stranu nerovnosti ako logaritmy na rovnakú základňu.
C) Určte, či je logaritmická funkcia rastúca alebo klesajúca: ak t>1, potom rastúca; ak 0
D) Prejdite na ďalšie jednoduchá nerovnosť(sublogaritmické výrazy), berúc do úvahy, že znamienko nerovnosti zostane, ak sa funkcia zvýši, a zmení sa, ak sa zníži.
KĽÚČ: 13321, maximálny počet bodov – 6 bodov.
